云南师大附中2021届高三高考适应性月考(六)理科数学试题(含答案解析)

云南师大附中2021届高三高考适应性月考卷(一)理科数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21M x y x ==+，{}2(,)1N x y y x ==-+，则MN =（ ）A. {}1B. ()0,1C. ∅D. {}(0,1)【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素的特征，直接得出结果.【详解】因为集合{}21M x y x ==+为数集，{}2(,)1N x y y x ==-+为点集，所以两集合没有共同元素，则M N ⋂=∅. 故选：C.【点睛】本题主要考查求集合的交集，属于基础题型. 2. 在复平面内，复数21ii-+(i 为复数单位)对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限. D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数除法运算化简出21ii-+，即可得出对应点象限. 【详解】()()()()22122313111222i i i i i i i i i ----+===-++-, ∴对应的点13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 3. 若随机变量(1,4),(0)0.2X N P X ≤=， 则(02)P X <<=（ ）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.8【答案】A 【解析】 【分析】 由随机变量(1,4)X N ，得到正态曲线的对称轴1x =，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】由题意，随机变量(1,4)XN ，可得正态曲线的对称轴1x =，所以()(02)1200.6P X P X <<=-≤=. 故选: A ．【点睛】本题主要考查了正态分布的概率的计算，其中解答中熟记正态分布曲线的对称性是解答的关键，属于基础题. 4. 已知tan 2α=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.35B.45 C.35D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化为221tan 1ta sin n 22πααα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即可得出结果.【详解】因为tan2α=，所以222222cos sin1tsin22an3cos2sin cos1tan5αααααααπα⎛⎫--===-+=⎪⎝++⎭，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，熟记同角三角函数基本关系以及诱导公式即可，涉及二倍角的余弦公式，属于基础题型.5. 电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5，将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21，其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1，1，2，3，5，8，13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A. 731092πB.891092πC.1621092πD.161092π【答案】A【解析】【分析】根据图甲，分别求出阴影部分的面积，以及整个长方形的面积，面积比即为所求概率. 【详解】由题意，阴影部分包括半径为8和半径为3的两个圆，面积分别为64π和9π，而整个长方形的宽为161026+=，长为261642+=， 所以该点落在阴影部分的概率是64973π42261092P ππ+==⨯.故选：A ．【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，属于基础题型.6. 双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()3,0F ，且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，则双曲线C 的离心率为（ ）D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意，得到3c =，渐近线方程为0bx ay ±=，根据点到直线距离公式，求出1b =，得出a ，即可求出离心率.【详解】因为双曲线的右焦点为()3,0F ，即3c =，双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=；又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，1=，即31bc=，所以1b =，则a ==因此4c e a ==. 故选：B ．【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型. 7. 如图，在ABC 中，3AC = ，2AB = ，60CAB ∠=︒ ，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则||=AD （ ）A.373B.37 C.43D.433【答案】A 【解析】 【分析】将AD 用AB ，AC 表示出来，然后平方，结合向量的数量积运算即可求出. 【详解】由题意，1121()3333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+.所以2222214141137||2393344499299999AD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=++⋅+=+⨯=⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭⨯，37||AD =故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及数量积运算，是基础题.8. 在正项等比数列{}n a 中，11a =，前三项的和为7，若存在,m n N *∈14m n a a a =，则19m n +的最小值为（ ） A. 23 B. 43C.83D.114【答案】D 【解析】 【分析】先求出数列{}n a 14m n a a a =可得6m n +=，再利用基本不等式可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 前三项的和为7，则1237a a a ++=， 即260q q +-=，解得2q或3q =-(舍去)，又由14m n a a a =，得11211116m n a q a q a --⋅=，即2422n m +-=，得6m n +=，所以19m n += 1198()63m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当32m =，92n =时，等号成立，但是m ，*n N ∈，故2m =，4n =时，最小值为114. 故选:D ．【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式的综合应用，属于基础题. 9. 如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是（ ）A.56B.83C. 1D.163【答案】D 【解析】 【分析】先由三视图还原几何体，得到该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，进而可求出结果.【详解】由题意三视图对应的几何体如图所示，所以该几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积， 即3111622222323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D ．【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，熟记几何体的结构特征即可，属于基础题型.10. 已知函数2212cos 42cos 2x x x x e x e f x x -+-+⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122019202020202020f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A. 2019B. 2020C. 4038D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到21(e e )22cos 2x x x f x x --⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，令2(e e )()cos 2x x x h x x --=+，得到其为奇函数，推出()f x 关于122⎛⎫ ⎪⎝⎭，成中心对称，进而可得出结果.【详解】22212cos e e 4(e e )22cos 2cos 2x x x x x x x x f x x x --+-+-⎛⎫+==+ ⎪++⎝⎭，令2(e e )()cos 2x x x h x x --=+，则2(e e )()()cos 2x x x h x h x x ---==-+，所以()h x 为奇函数， 所以()h x 关于坐标原点对称，则()f x 关于122⎛⎫ ⎪⎝⎭，成中心对称， 则有()(1)4f x f x +-=，所以122019112019+++2019=4038202020202020220202020f ff f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…. 故选：C ．【点睛】本题主要考查通过构造奇函数求函数值，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型. 11. 设动直线x =t 与曲线x y e =以及曲线ln y x =分别交于P ，Q 两点，min PQ 表示PQ 的最小值，则下列描述正确的是（ ） A. min 2PQ =B.min 522PQ <<C. min 22PQ << D. min 3PQ >【答案】B 【解析】 【分析】根据条件将PQ 表示为函数的形式，然后利用导数研究对应函数的单调性并分析min PQ 的取值范围.【详解】根据条件可知()(),,,ln tP t e Q t t ，所以ln tPQ e t =-，不妨令()()e ln 0x F x x x =->，则1()e x F x x'=-，又因为1320,0222F F ⎛⎫⎛⎫''=<=>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在012x ⎛∈ ⎝⎭，使得0001()e 0x F x x '=-=， 所以()F x 在()00,x 上递减，在()0+x ∞，上递增， 所以()F x 在0x 处取得最小值，且000001()e ln xF x x x x =-=+， 根据对勾函数的单调性可知：1y x x =+在12⎛ ⎝⎭上单调递减，00152x x <+<，所以有min 5||22PQ <<， 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数解决函数的最值问题，对学生的转化与化归能力要求较高，其中对于极值点范围的分析是一个重点，难度较难.12. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作抛物线的弦与抛物线交于A 、B 两点，M 为AB的中点，分别过A 、B 两点作抛物线的切线1l 、2l 相交于点P .PAB △又常被称作阿基米德三角形.下面关于PAB △的描述： ①P 点必在抛物线的准线上； ②AP PB ⊥；③设()11,A x y 、()22,B x y ，则PAB △的面积S 的最小值为22p ；④PF AB ⊥； ⑤PM 平行于x 轴. 其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出直线1l 、2l 的方程，求出点P 的坐标，可判断①的正误；利用直线PA 、PB 斜率的关系可判断②的正误；计算出PAB △的面积S 的表达式，可判断③的正误；利用直线PF 、AB 的斜率关系可判断④的正误；求出直线PM 的斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.【详解】先证明出抛物线()220y px p =>在其上一点()00,x y 处的切线方程为00y y px px =+.证明如下：由于点()00,x y 在抛物线22y px =上，则2002y px =，联立2002y px y y px px ⎧=⎨=+⎩，可得20022y y y px =+，即220020y y y y -+=，0∆=，所以，抛物线()220y px p=>在其上一点()00,x y处的切线方程为00y y px px=+.如下图所示：设()11,A x y、()22,B x y，设直线AB的方程为2px my=+，联立222px myy px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x得2220y mpy p--=，由韦达定理可得212y y p=-，122y y mp+=，对于命题①，抛物线22y px=在点A处的切线方程为11y y px px=+，即2112yy y px=+，同理可知，抛物线22y px=在点B处的切线方程为2222yy y px=+，联立21122222yy y pxyy y px⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212222y y pxpy yy mp⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，所以点P的横坐标为2p-，即点P在抛物线的准线上，①正确；对于命题②，直线1l斜率为11pky=，直线2l的斜率为22pky=，212121pk ky y∴==-，所以，AP PB⊥，②正确；对于命题④，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF AB⊥；当AB 不与x 轴垂直时，直线AB 的斜率为1AB k m=， 直线PF 的斜率为PF mpk m p==--，1AB PF k k ∴⋅=-，则PF AB ⊥. 综上，PF AB ⊥，④正确；对于命题③，12AB y y =-，PF ===所以，()2212111122PABp p S AB PF y y m y y =⋅=-⋅=+⋅+△()22211122p p p m y p y ⎛⎫=⋅+⋅+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当1m y p =⎧⎨=±⎩时，等号成立，③错误；对于命题⑤，当AB 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性可知，点P 为抛物线的准线与x 轴的交点，此时直线PM 与x 轴重合，⑤错误. 故选：B.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查了抛物线的焦点弦的几何性质以及韦达定理法的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设实数x ，y 满足0210210x y y x x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的最小值为_________【答案】23【解析】 【分析】画出不等式所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果.【详解】画出210210x yy xx y-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域如下，由z x y=+得y x z=-+，则z表示直线y x z=-+在y轴上的截距；由图像可得，当直线y x z=-+过点M时，在y轴上的截距最小；由210x yy x+-=⎧⎨=⎩得11,33M⎛⎫⎪⎝⎭，因此min23z=.故答案为：23.【点睛】本题主要考查求线性规划的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.14. 在9(xx的展开式中，则3x的系数为_____________【答案】10206【解析】【分析】先求出9xx⎛⎝的展开式的通项公式，令x的指数为3，即可求出系数.【详解】9xx⎛+⎝的展开式的通项公式39219C3rr rrT x-+=，令3932r-=，解得4r=，所以3x的系数为449C3=10206．故答案为：10206.【点睛】本题考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于基础题.15. 已知P 是直线l : 260x y ++=上一动点，过点P 作圆C :22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A 、B .则四边形P ACB 面积的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由圆的方程为求得圆心(1,0)C -、半径r 为2，由“若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【详解】由题意得：圆的方程为：22(1)4x y ++=∴圆心为(10)-，，半径r 为2，又∵四边形P ACB 的面积S PA AC ==22224PC AC AC PC -=-，所以当PC 最小时，四边形P ACB 面积最小．将(10)-，代入点到直线的距离公式，min 22||521PC ==+，22||||521PA PB ∴==-=||222PACB PA rS ⋅=⋅= 故四边形P ACB 面积的最小值为2． 故答案为：2【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题．16. 已知有两个半径为2的球记为1O 、2O ，两个半径为3的球记为3O 、4O 这四个球彼此相外切，现有一个球O 与这四个球1O 、2O 、3O 、4O 都相内切，则球O 的半径为______. 【答案】6 【解析】 【分析】设12O O 的中点为M ，34O O 的中点为N ，推导出球心O 在MN 上，设球O 的半径为R ，根据勾股定理列方程解出R 即可.【详解】由题意可得124O O=，131423245O O O O O O O O====，346O O=，取12O O的中点M，34O O的中点N，连接MN、1O N、2O N、3O M、4O M，则123O O O M⊥，124O O O M⊥，又34O M O M M=，12O O∴⊥平面34O O M，同理可证34O O⊥平面12O O N，又因为平面12O O N平面34O O M MN=，所以，球心O在线段MN上，设球O的半径为R，则12OO R=-，43OO R=-，245O O=，43O N=，24O N∴=，222223MN O N O M=-=()2221124OM OO O M R=-=--()2224439ON OO O N R=-=--，MN OM ON=+()()22243923R R----=6R=.故答案为：6.【点睛】本题考查球的半径的求解，确定球心O的位置是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(sin sin)(sin sin)(sin sin)sinA C A C AB B+-=-（1）求角C；（2）若5c=且sin sin(2)sin2C C A A++=，求△ABC的面积.【答案】（1）π3C=；（2）536或534.【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再根据余弦定理可求出1cos 2C =，继而得出角C ； （2）根据条件可得sin cos sin cos B A A A =，分cos 0A =和cos 0A ≠两种情况讨论可求出面积.【详解】（1）已知(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A C A C A B B +-=-， 由正弦定理，()()()a c a c a b b +-=-，整理得222ab a b c =+-， 由余弦定理：1cos 2C =，又0πC <<， 所以π3C =． （2）已知sin sin(2)sin 2C C A A ++=， 整理得sin()sin(π)sin 2A B B A A ++-+=，sin()sin()sin 2A B B A A ++-=，即2sin cos 2sin cos B A A A =．①当cos 0A =时，ABC 为直角三角形，,3tan 3c c C b C π====, 12ABC S ==△； ②当cos 0A ≠时，sin sin B A =， 所以a b =，ABC为等边三角形，ABC S =△, ABC ∴或4．【点睛】本题考查正余弦定理的应用以及三角恒等变换解三角形，考查三角形面积的求解，属于中档题.18. 某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图（1）求x 的值和数学成绩在90分以上的人数；（2）用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有的中学生(人数很多)中随机选取4人，用ξ表示所选4人中成绩在110以上的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望 【答案】（1）0.02；12；（2）分布列见解析，0.8. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，由频率分布直方图列出方程，即可求出x ，进而可求出数学成绩在90分以上的人数；（2）先得出从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率0.2P =，由题意，可得(40.2)B ξ，，进而可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由题意，x 的值为10.050.10.150.30.0220x ----==，数学成绩在90分以上的人数：20(0.40.150.05)12⨯++=．（2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人，成绩在110以上的概率0.150.050.2P =+=，所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取4人， 所选4人中成绩在110以上的人数(40.2)B ξ，，随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，4(0)0.80.4096P ξ===，134(1)C 0.20.80.4096P ξ==⨯⨯=，2224(2)C 0.20.80.1536P ξ==⨯⨯=，334(3)C 0.20.80.0256P ξ==⨯⨯=，4(4)0.20.0016P ξ===， 随机变量ξ的分布列ξ0 1 2 3 4 P0.40960.40960.15360.02560.0016随机变量ξ数学期望()40.20.8E ξ=⨯=．【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求参数，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1A B ⊥平面ABC ，1AB AC ==，12AA =()1证明:平面1AA B ⊥平面11AAC C ； ()2求二面角1B AC C --的正弦值.【答案】()1证明见解析；()2154. 【解析】 【分析】()1利用面面垂直的判定定理证明即可；()2建立空间直角坐标系，利用二面角的正弦值的求法及向量积的知识点得出结果.【详解】解：()1证明：如图，1A B⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴1A B AC⊥．又AB AC⊥，1AB A B B⋂=，∴AC⊥平面1AA B．又AC⊂平面11AAC C，∴平面1AA B⊥平面11AAC C．()2过点A作平面ABC的垂线作为z轴，AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000A，，，()100B，，，()010C，，，(1103A，，，(1113C，，，()0,1,0AC=，(13AC =，()1,0,0AB=，设平面1ACC的法向量()1111n x y z=，，，则有111AC nAC n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111130yx y z=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令11z=，()1301n=-，，，设平面1ABC的法向量()2222n x y z=，，，则有111AB nAC n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222230xx y z=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令21z=，()2031n=，，，向量1n ，2n 所成角的余弦值：12121cos 4n nn n θ⋅==⋅．∴sin 4θ==，∴二面角1B AC C --的正弦值为4．【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查二面角正弦值的求法，考查分析问题能力，空间想象能力，属于中档题.20. 已知点P 3(1,)2-是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，124PF PF += （1）求椭圆C 的标准方程;（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问:直线l 是否过定点?证明你的结论【答案】（1）22143x y +=；（2）直线l 过定点(40)-，．证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可知2a =，再代入P 3(1,)2-即可求出b ，写出椭圆方程；（2）设直线l 的方程y kx m =+，联立椭圆方程，求出k 和m 之间的关系，即可求出定点. 【详解】（1）由12||||4PF PF +=，得2a =， 又312P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在椭圆上，代入椭圆方程有221914a b+=，解得b = 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，11()A x y ，，11()B x y -，，11121332211y y k k x ---+==+，解得14x =-，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y kx m =+，11()A x y ，，22()B x y ，，由2234120y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(34)84120k x kmx m +++-=， 122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，22430k m ∆=-+>． 由121k k +=，整理得12125(21)()2402k x x k m x x m ⎛⎫-++-++-= ⎪⎝⎭，即(4)(223)0m k m k ---=． 当32m k =+时，此时，直线l 过P 点，不符合题意； 当4m k =时， 22430k m ∆=-+>有解，此时直线l ：(4)y k x =+过定点(40)-，． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题，属于中档题. 21. 已知函数2()(12)ln f x x a x a x =+--(R a ∈且0)a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当2a >时，若函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明:0()0f x '>.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到(21)()()x x a f x x+-'=，分别讨论0a <和0a >两种情况，进而可得出函数单调性；（2）先由（1）得到()2(12)a f x x a x'=+--，()0,x ∈+∞，对其求导，判定2a >时，()'f x 单调递增；将0()0f x '>转化为0x a >，设()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<， 将问题转化为证明122x x a +>；根据题意，得到()212121ln ln 21a x x x x a x x -+=-+-，证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+，令211x t x =>，()4ln 21t h t t =+-+，根据导数的方法判定其单调性，即可得出()21ln 1t t t ->+，进而可得结论成立.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，22(12)(21)()()0x a x a x x a f x x x +--+-'===，解得112x =-(舍去)，2x a =． 当0a <时，()0f x '>在(0+)∞，上恒成立，所以函数()f x 单调递增； 当0a >时，在(0)a ，上()0f x '<，函数()f x 单调递减，在()a +∞，上()0f x '>，函数()f x 单调递增．综上，0a <时，函数()f x 单调递增；0a >时，()f x 在(0)a ，上单调递减；在()a +∞，上单调递增； （2）由（1）知，()2(12)a f x x a x '=+--，()0,x ∈+∞， 令()2(12)a g x x a x =+--，()0,x ∈+∞， 则2()2a g x x '=+，当2a >时，2()20a g x x '=+>恒成立，所以()g x 单调递增， 即()'f x 单调递增；又()0f a '=，故要证0()0()f x f a ''>=，即证0x a >；设()1,0A x ，()2,0B x ，且120x x <<，由题设条件知，1202x x x +=，因此只需证122x x a +>；由题意，21112222(12)ln 0(12)ln 0x a x a x x a x a x ⎧+--=⎨+--=⎩， 两式作差可得，()()()2221212112ln ln 0x x a x x a x x -+----=， 即()()()2221212121ln ln x x a x x a x x -=--+-， 即()212121ln ln 21a x x x x a x x -+=-+-，下面先证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即证21221212112122ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++， 令211x t x =>，()()()212144ln ln ln 2111t t h t t t t t t t -+-=-=-=+-+++， 则()()()()()()22222141140111t t t h t t t t t t t +--'=-==>+++显然成立， 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，所以()21ln 1t t t ->+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 所以212121ln ln 2x x x x x x ->-+， 因此()21212121ln ln 22121a x x a x x a a x x x x -+=-+>-+-+， 即()21212122a x x x x a x x -++->+，()()212121220x x a x x a x x +-+-+>+， 即()21211210x x a x x ⎛⎫+-+> ⎪+⎝⎭因此122x x a +>，所以原命题得证.【点睛】本题主要考查判定函数的单调性，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的普通方程：28y x =，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系.（1）分别求曲线1C 、曲线2C 的极坐标方程；（2）射线3πθ=与曲线1C 、曲线2C 的交点分别为P 、Q （均异于O 点），()11,0C ，求1PQC △的面积.【答案】（1）1:2cos C ρθ=，22:sin 8cos C ρθθ=；（2. 【解析】【分析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，进行利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将曲线1C 、曲线2C 的普通方程化为极坐标方程；（2）计算出PQ 以及点1C 到直线PQ 的距离，利用三角形的面积公式可求得1PQC △的面积.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程1cos sin x yθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， 消参得曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即222x y x +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线1C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即2cos ρθ=. 曲线2C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=；（2）设点P 、Q 的极坐标分别为1,3P πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,3Q πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1228cos1332cos 33sin 3PQ ππρρπ=-=-=，点1C 到直线PQ 的距离sin 3d π==， 所以112PQC S PQ d ==△. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.【选修4-5：不等式选讲】23. （1）求函数()2123f x x x =--+的最大值m ;（2）若a >1，b >1，c >1，a +b +c =m ，求111111a b c ++---的最小值. 【答案】（1）4；（2）9.【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式即可求出最大值；（2）利用柯西不等式可以求出.【详解】（1）由绝对值不等式()|21||23||2123|4f x x x x x =--+---=≤， 所以4m =．（2）由（1）知：4m =，即4a b c ++=，所以1111a b c -+-+-=， 由柯西不等式：2111111(111)(111)9111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++-+-+-++= ⎪------⎝⎭≥， 当且仅当43a b c ===，等号成立， 111111a b c ++---的最小值为9． 【点睛】本题考查绝对值不等式和柯西不等式的应用，属于基础题.。

P
S阴影 S圆
2 π
，②正确；③：令 2x
t(t
0) ，故③中方程等价于 t2
t
1 m图50 ຫໍສະໝຸດ 而命题P是假命题，则
t2
t
1
m
0(t
0)
无解，由于对称轴
t
1 2
0
，只需1
m≥
0
m
≤1
即 可 ， ③ 不 正 确 ； ④ ： 因 为 g(x) cos x 为 偶 函 数 ， 所 以 g(x) cos x cos | x | ， 所 以
1 a1
1 2a2
1 3a3
…
1 (n 1)an1
2(n 1) n
，②
① ②，得 1 nan
2n n 1
2(n 1) n
2， n(n 1)
∴ an
n 1， 2
∴ an
n
2
1
对
n
1也适合．
综上， an
n
2
1
(n
N*
)
．
…………………………………………………（6 分）
（2）证明： bn
1 an an 1
故该影院开业第 8 天前来观影的人次为 267． …………………………………（7 分）
（3）从残差图易知，7 天中有 5 天为“观影正常日”，记这 5 天为 1，2，3，4，5，
2 天“非观影正常日”为 a，b， 所以从 7 天中选出 3 天的种数为① (1，2，a) ，(1，2，b) ，(1，3，a) ，(1，3，b) ，…，(4，5，a) ，
S△SBC
S△SAD
1 2
2
2
22
2 ． 又等腰△SCD 底边上的高为

A．以 ， 为直径的圆与抛物线 的准线相切
B．
C．过点 ， 分别作抛物线 的切线，则两切线互相垂直
D．记原点为 ，则
12．下列四个命题：① ，② ，③ ，④ ，其中真命题为（）
A．①②③B．①③C．①②④D．③④
二、填空题
13．若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______
14．二项式 展开式的二项式系数之和为64，则二项式展开式中的常数项为______
又因为 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.
2．C
【分析】
根据条件由 可得 ，即 且 ，可得答案.
【详解】
根据条件由
则 ，所以 且
所以
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的相等，考查新定义，属于基础题.
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（二）数学（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程： （i为虚数单位），根据此公式可知，若 ，则 的一个可能值为（）
A．38B．35C．32D．29
6．为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了“文明行为进班级”的评比活动，现对甲､乙两个年级进行评比，从甲､乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过茎叶图比较甲､乙两个年级成绩的平均数及方差大小（）

云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔一〕理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以根底知识和根本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的根本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重根底、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 【题文】1、全集U 和集合A 如图1所示，那么()U C A B ⋂= A.{3} B.{5,6} C.{3,5,6} D.{0,4,5,6,7,8} 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 解析：由图易知()U A B ={5,6}.那么选B.【思路点拨】此题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键.【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，那么12z z = A .－2i B.2i C .－2 D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-那么选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法那么进行计算.A .6 B.22 C .10 D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解.A .1 B.2 C .3 D.4 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =那么选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，假设sinC=2sinAcosB,那么此三角形一定是 A .等腰直角三角形 B.直角三角形 C .等腰三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由及正、余弦定理得，22222a c b c a ac +-=，所以22a b =，即a b =.那么选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A .1 B.132 C .32D.13+【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3cos 2sin 2226x f x x x x x x -⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.那么选C. 【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，那么z=x+3y 的取值范围是A .[1,9] B.[2,9] C .[3,7] D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影局部．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点 (0,3)M 和(2,0)N 位置时，max 0339z =+⨯=， min 230 2.z =+⨯=那么选B.【思路点拨】此题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm ，高为3cm 的圆锥毛坯切割得到，那么毛坯外表积与切削得的零件外表积的比值为 A .310 B.510 C .710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D 解析：圆锥毛坯的底面半径为4cm r =，高为3cm h =，那么母线长5cm l =，所以圆锥毛坯的外表积2ππ36πS rl r =+=原表，切削得的零件外表积2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．那么选D. 【思路点拨】由三视图求几何体的外表积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、假设任取x,y ∈[0,1]，那么点P(x,y)满足2y x >的概率为 A .23 B.13 C .12 D.34【知识点】定积分 几何概型K3 B13【答案解析】A 解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y 满足2y x >的面积为12310012(1)33x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．那么选A. 【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，假设事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，假设2AP PB =，那么椭圆的离心率是A .32 B.22 C .13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =，那么12,2,2OA OF a c e ===∴∴．那么选D.【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，那么AC 与DM 所成角的余弦值为 A .23 B.24 C .32 D.33【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -，那么(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C那么AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 此题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC 的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，假设作其平面角不方便时，可采取向量法求解. 【题文】12、函数()()3f x x x x R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，那么实数a 的取值范围是A .(﹣∞，1] B.(﹣∞,1) C .(1, ＋∞) D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．那么选A. 【思路点拨】此题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗〞：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，那么3654⊗-⊗=_______. 【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答.【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，假设11a =，那么4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，假设无性质特征，那么用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________. 【知识点】二项式定理J3【答案解析】π6或5π6． 解析：1C C 17n n n n n -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6． 【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，那么a b cb a++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 根本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b t a =(1)t >，那么问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题总分值12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球. (1)假设有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)假设不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1)54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========． 所以ξ的分布列如下表：ξ 0 1 2P110 35 3101336()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题总分值12分)如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,A C AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，∠BCA=90°，12AA AC BC ===. (1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值. 【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 21解析：方法一：〔1〕证明：∵点O 、E 分别是11A C 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．〔2〕解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A A B C C AA B V V --=， 即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，11122A B AB ==, ∴11AA B S △7=221d 11A C 与平面11AA B 21． 方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -， 那么(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,2A E ⎛-- ⎝⎭， 1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．〔1〕证明：∵OE =130,,2⎛- ⎝⎭， 1(0,1,3)AC =-，∴112OE AC =-，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ． 〔2〕解：设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)A C =，11(2,2,0)A B =，1(0,1,3)A A =.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩则即 不妨令1x =，可得31,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴11221sin cos ,7723AC n θ=〈〉==⋅， ∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为217． 【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，假设直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解.【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-. (1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设11,n n n a b S n+-=为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1) 11n a n =-． (2)略解析：〔1〕解：将112n n a a +=-代入11111n n a a +---可得111111n n a a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故 所以11n a n=-．〔2〕证明：由〔Ⅰ〕得11111n n a n n b nn nnn +-+-===-+⋅+111111nnn k k k S b k k n =====<++∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、函数()()1ln f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)假设函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2) 211e b -≤ 解析：〔1〕11()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， ∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值．∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．〔2〕∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =， ∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1xg x x x=+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211eb -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常别离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C上一点H ()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174. (1)求抛物线C 的方程；(2)假设直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值. 【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =-解析：〔1〕∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．〔2〕方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=， 可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．②①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D. (1)求证：直线AB 是圆O 的切线； (2)假设1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长. 【知识点】几何证明选讲N1 【答案解析】(1)略； (2)5解析：〔1〕证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB == ∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线.〔2〕解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒， 在Rt △ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠， 又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD ∽△BEC , ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =那么2BC x =， 又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+，∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，假设直线与圆有公共点，那么公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可. 【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，假设点P 的坐标为(5，求PA PB +. 【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】3232解析：〔1〕由25ρθ=，可得22250x y y +-=， 即圆C 的方程为22(5)5x y +=．由23,25,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 〔t 为参数〕可得直线l 的方程为530x y +=． 所以，圆C 的圆心到直线l 05533222+--=．〔2〕将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即23240t t -+=．由于2(32)4420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，．又直线l 过点(35)P ，， 故由上式及t 的几何意义得1212||||||||32PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答.【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲]一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <；(2)假设不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围.【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，不等式的解集为62x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. (2) 15a -≤≤且a ≠0．解析：〔1〕()4f x <⇔24ax -<⇔424ax -<-<⇔26ax -<<，当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，不等式的解集为62x x aa ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. 〔2〕()3f x ≤⇔23ax -≤⇔323ax --≤≤⇔15ax -≤≤⇔5,1,ax ax ⎧⎨-⎩≤≥ ∵[0,1]x ∈，∴当x =0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常别离参数转化为函数的最值问题进行解答.。