1.1.2 集合间的基本关系(学生版)

1.1.2 集合的包含关系
一、基础知识
问题1：我们知道实数有大、小或相等的关系,那么集合间是不是也有类似的关系呢？
（一）、集合与集合间的“包含”关系：子集
如果集合B 的每个元素都是集合A 的元素，就说B 包含于A ，或者说A 包含B,
记作:B ⊆A （或A ⊇B ）。

符号⊆读作“包含于”，符号⊇读作“包含”。

若B 包含于A ，则称B 是A 的一个子集。

“B 是A 的子集”也可以表述为，如果对于任意的B x ∈都能推出A x ∈，则可推断B ⊆A 。

在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法——用平面上的封闭曲线的内部来表示集合venn （韦恩）图。

用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系
（二）、集合与集合间的 “相等”关系
如果B 是A 的子集，A 也是B 的子集，就说两个集合相等。

即：如果A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，记作B A =
⎩
⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 规定：空集包含于任一集合，是任一集合的子集。

（三） 真子集的概念
如果B 是A 的子集，但A 不是B 的子集，就说B 是A 的真子集。

也可以表示为，若集合:B ⊆A ，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合B 是集合A 的真子集（proper subset ）。

记作：B A （或A B ）
读作：B 真包含于A （或A 真包含B ）
A B
（四）空集的概念
不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

规律总结：
有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集，2n -1个非空子集，n 个元素的非空真子集有2n －2个。

二、例题
知识点一:子集的定义及其应用
例1、写出下列各集合的子集及其个数。

{}{}{},,,,,,a a b a b c ∅
例2、设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤,若M ⊆N,求k 的取值范围.
例3、已知集合{}|03A x x =<<,{}|4B x m x m =<<-,且B A ⊆，求实数m 的取值范围.
例4、已知{}{}|25,|121A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤-,B A ⊆,求实数a 的取值范围.
知识点二:相等关系的应用
例1、已知集合{}{}
22,,,2,2,A x y B x y A B ===且,求,x y 的值.
例2、已知含有３个元素的集合,
,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,{}2,,0B a a b =+,若Ａ＝Ｂ，求20102010a b +的值.
知识点三：子集、真子集、相等关系的综合
例1、写出满足{}a M ⊆{},,,a b c d 的集合Ｍ。

三、练习
1、下列各式中错误的个数为( )
①{}10,1,2∈ ②{}{}10,1,2∈ ③{}{}0,1,20,1,2⊆ ④{}{}0,1,22,0,1=
A 1
B 2
C 3
D 4
2、集合{}{}|12,|0A x x B x x a =<<=-<若A B,则a 的取值范围是＿＿＿.
3、已知集合{}
{}2|560,|1A x x x B x mx =-+===,若B A ，则实数m 所构成的集合Ｍ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
4、若集合{}
2|30A x x x a =++=为空集,则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.。