人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.1圆的方程 习题4.1》教案_15

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r 圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等.（2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间2.问题探究探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一。

第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

圆的标准方程教学目标(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．教学重点和难点重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．难点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．教学过程设计(一)导入新课，教师讲授．同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”．定点就是圆心，定长就是半径．根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程．(引导学生推导）设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r．则│CM│=r,两边平方． (x-a)2+(y-b)2=r2,我们得到圆的标准方程，这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．如果圆的圆心在原点．O(0,0)．即a=0．b=0．问题1．说出下列圆的方程：(1)圆心在点C(3, -4), 半径为7.(2) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).问题2 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：(1) (x + 7)2 + ( y- 4)2 = 36(2) x2 + y2 - 4x + 10y + 28 = 0(3) (x- a)2 + y2 = m2例1．写出圆心为C(2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点 m1(5.-7)，m2(-5,-1) 是否在这个圆上。

跟踪训练已知两点M(3,8)和N(5,2)．(1)求以MN为直径的圆C的方程；(2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？点与圆的位置关系:(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.(二)学生课堂练习1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数a 的取值范围.2.根据下列条件，求圆的方程：（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程。

教学设计与圆有关的轨迹问题一、指导思想与理论依据1.（1）建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。

由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。

（2）布鲁纳的认知—发现学习理论——学习的实质是主动形成认知结构.布鲁纳认为学习是一个积极主动的认识过程.学习者不是被动地接受知识，而是主动地获取知识，并通过把新获得的知识和已有的认知结构联系起来，积极地建构其知识体系.（3）课程标准新理念——高中数学新课程标准指出：“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一……数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。

”2. 解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一。

其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

本章在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆、圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

3. 教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“増加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，本节将数学文化与数学知识相结合选取典型样题深度解读．二、教学内容分析1．课程目标《普通高中数学课程标准（实验）》指出：在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，这种思想应贯穿平面解析何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。

人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1圆的一般方程第二课时教案第四章 圆与方程4.1 圆的方程第二课时 4.1.2圆的一般方程1 教学目标[1] 理解和掌握圆的一般方程[2] 根据圆的一般方程找出圆心和半径长[3] 用待定系数法求圆的一般方程[4] 学会数形结合的思想方法解答数学问题2 教学重点/难点重点：理解和掌握圆的一般方程及推导过程难点：待定系数法求圆的一般方程3 专家建议让学生主动参与到课堂教学中去，设置各种问题去探索相关知识点，使学生能真正地在探索中找到乐趣。

新知的学习由浅到深，诱发学生们的思考，从思考中获取新知识和分析解决问题的能力。

4 教学方法探究式教学5 教学过程5.1 复习引入【师】同学们，我们上节课讲了什么内容啊？【生】圆的标准方程【师】那么圆的标准方程是什么啊？【板演/PPT 】圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-例如：圆的标准方程3)2()1(22=++-y x ，圆心为)2,1(-，半径长为3；还有，,1)7(22=++x x 圆心为)7,0(-，半径长为1；再看看，,122=+y x 圆心为)0,0(，半径长为1，即圆心在原点，半径长等于1的圆。

所以，通过圆的标准方程，我们可以清晰的看出圆心和半径。

【师】圆的方程除了标准方程这种形式，还有别的形式吗？【生】讨论回答【师】我们知道，直线方程有一般式0=++C By Ax ，那么圆的一般式呢？【板演/PPT 】（2）若0422=-+F E D 时，此方程只有实数解2,2E y D x -=-=，它表示一个点)2,2(E D --； （3）若0422<-+F E D 时，此方程没有实数解，它不表示任何图形。

所以，当0422>-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 表示一个圆，此方程叫做圆的一般方程。

[1] 待定系数法求圆方程【师】同学们，我们再来学习一下“待定系数法”求圆的方程【板演/PPT 】用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a,b,r 或D ，E ，F 的方程组；③解出a,b,r 或D,E,F ，代入标准方程或一般方程。

圆的方程习题4.1【学习目标】1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程、与圆有关的最值问题和轨迹问题2．提高学生综合分析和应用能力3．体会数学的转化与化归的思想【教学重点】圆的标准方程和一般方程【教学难点】与圆有关的最值问题和轨迹问题【教学方法】讲练结合法【教学过程】一．知识梳理1．圆的定义、方程2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.拓展：与圆有关的最值问题基本上都利用点心距、线心距进一步求出最值3.求轨迹方程的一般步骤:(1)建立适当的坐标系，设动点M(x，y).(2)列出点M 所满足的条件.(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x ，y)=0.(4)将上述方程化简.(5)证明化简后以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.二．典型例题与巩固练习[例1] 圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________．(此题可用多种方法求解) 归纳1求圆的方程的方法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0；(2)由题目给出的条件，列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程巩固练习1经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆的方程为________．例2已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0.①求y x 的最大值与最小值；②求y －x 的最大值、最小值；③求x 2＋y 2的最大值、最小值．归纳2 与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如z=22()()x a y b -+-形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的最值问题． 巩固练习2（1）已知x ，y ∈R ，且圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求(x ＋2)2＋(y －2)2的最大值与最小值．（2）已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，①求m ＋2n 的最大值；②求n －3m ＋2的最大值和最小值． [例3] 过原点O 作圆x 2＋y 2－8x ＝0的弦OA ，则弦OA 中点M 的轨迹方程为________．归纳3 有关圆的求轨迹问题的关键点(1)设出动点的坐标(x ，y )．(2)根据动点满足的条件，结合圆的定义，几何性质，点、直线与圆的位置关系，利用几何法、定义法、直接法、代入法、建立动点满足的等式关系(方程)．(3)化简方程、得出轨迹．巩固练习3已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．三、课堂小结• 1.求圆的方程：标准方程和一般方程• 2.与圆有关的最值问题,三种常见类型• 3.与圆有关的轨迹问题,几何法、定义法、 直接法、代入法四、课后作业1. 方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是( )A. 322>-<a a 或B. 032-<<a C. 02-<<a D. 322-<<a2. 方程225x y --=表示的曲线是( )A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆3. 求圆的方程（1）求过点()()5106，，，B A ，且圆心C 在直线0872:=+-y x l 上圆的方程（2）求过A(一1，5)，B(5，5)，C(6，一2)三点的圆方程，并画出图形。

第四章4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学学科素养．1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]圆心坐标和半径．2. 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r.d与r的大小点与圆的位置d<r 点P在圆内d＝r 点P在圆上d>r 点P在圆外1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3C.(－2，3)， 2 D．(2，－3)，2D[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为 2.]2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.(x－2)2＋(y－2)2＝8D.x2＋y2＝2B[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A.在圆外B．在圆内C.在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝10[因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.]求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a ，2－a ). 又∵该圆经过A ，B 两点， ∴|CA |＝|CB |.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2， 解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1，1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)， 即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[跟进训练]1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)以点A (3，－2)，B (－5，4)为直径两端点的圆的方程． [解] (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8.(2)设圆心为C (0，b )，则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r ＝5， ∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)|AB |＝（3＋5）2＋（－2－4）2＝10. ∴半径r ＝5. 又圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，－2＋42，即(－1，1).所以圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.点与圆的位置关系【例2】 已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．[解] 因为圆心是C (－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r ＝（－3－0）2＋（－4－0）2＝5， 所以圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.因为|P 1C |＝（－1＋3）2＋（0＋4）2＝4＋16＝25<5， 所以P 1(－1，0)在圆内；因为|P 2C |＝（1＋3）2＋（－1＋4）2＝5， 所以P 2(1，－1)在圆上；因为|P 3C |＝（3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5， 所以P 3(3，－4)在圆外．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．[跟进训练]2．已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． [解] 由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52.∵a ≠0，∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52， 0∪(0，＋∞).与圆有关的最值问题 [探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？[提示] 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．2．若点P (x, y )是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点，如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？[提示] 可先求出圆心(2，－2)到直线x －y ＝0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值．【例3】 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．思路探究：首先观察x 、y 满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值． [解] 由题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O (0，0)到圆心C (－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14.1．本例条件不变，试求y x的取值范围． [解] 设k ＝y x ，变形为k ＝y －0x －0，此式表示圆上一点(x, y )与点(0, 0)连线的斜率， 由k ＝yx，可得y ＝kx ，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d ≤r ，即|－k |k 2＋1≤12，解得－33≤k ≤33. 即y x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 2．本例条件不变，试求x ＋y 的最值．[解] 令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b ，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1. 3．本例条件不变，求圆上点P 与A (－3，0)、B (0，－3)所围成的三角形的面积的最大值和最小值．[解] |AB |＝（－3）2＋（－3）2＝3 2. 圆心(－1，0)到直线AB ：y ＝－x －3的距离为d ＝22＝2，∵圆(x ＋1)2＋y 2＝14的半径为12，∴点P 到直线AB 的距离的最大值和最小值分别为2＋12，2－12.∴S △PAB 的最大值和最小值分别为： (S △ABP )max ＝12×32×⎝⎛⎭⎪⎫2＋12＝12＋324，(S △PAB )min ＝12×32×(2－12)＝12－324.与圆有关的最值问题的常见类型及解法： (1)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x, y )和(a, b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x, y )到定点(a, b )的距离的平方的最值问题．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．判断点(x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的关系的方法： 假设点(x 0，y 0)与圆心的距离为d ，则d ＞r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔在圆外； d ＝r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔在圆上； d ＜r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔在圆内．3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养．1．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为( ) A.x 2＋(y －4)2＝25 B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C.(x －4)2＋y 2＝25D ．(x ＋4)2＋y 2＝25A [由题意，圆的半径r ＝（0－3）2＋（4－0）2＝5，则圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.]2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )A.－1 B．1C.3 D．－3B[圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2).由条件知，(－1，2)适合于方程3x＋y＋a＝0，所以－3＋2＋a＝0解得a＝1，故选B.]3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4[由题意知，圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]4．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．[0，1)[由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.]5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．[解] 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝5，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.。

圆的方程习题4.1教学设计与反思一．学习目标知识与技能:1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程，并能熟练转化.给出圆的方程，能准确找出圆心和半径。

2、能用几何法和待定系数法求圆的方程。

3、会求简单的轨迹方程过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力情感态度价值观: 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

二、教学重点难点重点：圆的标准方程难点：:会根据不同的已知条件，利用几何法和待定系数法求圆的方程。

三、目标分析论证准确性分析：圆的方程处于数学必修2中的最后一章的第一节是本章的核心概念，也是解析几何的基本概念。

圆的方程是在第三章直线方程结束后进行的。

在前一章的基础上，学习圆的标准方程，圆的一般方程，继续运用坐标法研究直线与圆，圆与圆的位置关系等几何问题，坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法，通过坐标系，把点和坐标、曲线与方程联系起来，实现了数和形的统一。

圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。

圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是在方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承上启下的作用。

可行性分析：圆是学生比较熟悉的曲线。

在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。

对此，教师课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。