【最新】2020浙江省杭州市余杭区数学试卷+解析

2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）若x 与3互为相反数，则||3x +等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．62．（3分）下列运算正确的是( ) A ．22()a a -=B ．624a a a -=C ．224363a a a -+=D ．235()a a =3．（3分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,2)-，作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '，再将点A '向下平移4个单位，得到点A ''，则点A ''的坐标是( ) A ．(1,2)--B ．(1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)-4．（3分）如图中有四条互相不平行的直线1L 、2L 、3L 、4L 所截出的七个角 ． 关于这七个角的度数关系， 下列何者正确( )A ．247∠=∠+∠B ．316∠=∠+∠C ．146180∠+∠+∠=︒D ．235360∠+∠+∠=︒5．（3分）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是( )A ．12x y x y -=⎧⎨=⎩B ．2(1)x y x y =⎧⎨=-⎩C ．12(1)x yx y -=⎧⎨=-⎩D ．12(1)x yx y +=⎧⎨=-⎩6．（3分）王师傅驾车到某地办事，洗车出发前油箱中有50升油．王师傅的车每小时耗油12升，行驶3小时后，他在一高速公路服务站先停车加油26升，再吃饭、休息，此过程共耗时1小时，然后他继续行驶，下列图象大致反映油箱中剩余油量y （升)与行驶时间t （小时）之间的函数关系的是( )A ．B ．C ．D ．7．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，tan 2BAC ∠=，(0,)A a ，(,0)B b ，点C 在第二象限，BC 与y 轴交于点(0,)D c ，若y 轴平分BAC ∠，则点C 的坐标不能表示为( )A ．(2,2)b a b +B ．(2,2)b c b --C ．(,22)b c a c ----D ．(,22)a c a c ---8．（3分）已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转；⋯⋯连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是( )A ．0.5B ．0.7C 21D 319．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以OB 为直径画圆M ，过D 作M 的切线，切点为N ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，已知5AE =，3CE =，则DF 的长是( )A ．3B ．4C ．4.8D ．510．（3分）小轩从如图所示的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象中，观察得出了下面五条信息：①0abc <；②0a b c ++<；③20b c +>；④240ac b ->；⑤32a b =．你认为其中正确信息的个数有()A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分， 11．（4分）分解因式2233a b -= ．12．（4分）若一组数据4，a ，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是 ．13．（4分）ABC ∆的两边长分别为2和3，第三边的长是方程28150x x -+=的根，则ABC ∆的周长是 ． 14．（4分）如图，在22⨯的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ABO ∠的值为 ．15．（4分）如图，已知P 为等边ABC ∆形内一点，且3PA cm =，4PB cm =，5PC cm =，则图中PBC ∆的面积为 2cm ．16．（4分）如图，在菱形ABCD 中，45DAB ∠=︒，2AB =，P 为线段AB 上一动点，且不与点A 重合，过点P 作PE AB ⊥交AD 于点E ，将A ∠沿PE 折叠，点A 落在直线AB 上点F 处，连接DF 、CF ，当CDF ∆为等腰三角形时，AP 的长是 ．三、解答题：本大题有7个小题，共66分.17．如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为13x +．（1）求被墨水污染的部分； （2）原分式的值能等于17吗？为什么？ 18．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）: 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表 年级 最高分 平均分 中位数众数方差 七年级 98 94am7.6 八年级98n94 936.6根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a = ；m = ；n = ； （2）两个年级中， 年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：1A ，2A ，八年级第一、第二名选手分别记为1B ，2B ，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率． 19．我们把有两边对应相等，且夹角互补（不相等）的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，ABCD 中，AOB ∆和BOC ∆是“互补三角形”． （1）写出图1中另外一组“互补三角形” ；（2）在图2中，用尺规作出一个EFH ∆，使得EFH ∆和EFG ∆为“互补三角形”，且EFH ∆和EFG ∆在EF 同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等．20．跳跳一家外出自驾游，出发时油箱里还剩有汽油30升，已知跳跳家的汽车没百千米平均油耗为12升，设油箱里剩下的油量为y （单位：升），汽车行驶的路程为x （单位：千米）， （1）求y 关于x 的函数表达式；（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于5升时，仪表盘会亮起黄灯警报．要使油箱中的存油量不低于5升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？21．已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧． （1）如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；（2）当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB ∠的大小．22．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ．点C 的坐标是(1,0)-，抛物线22y ax bx =+-经过A 、C 两点且交y 轴于点D ．点P 为x 轴上一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点M ，交抛物线于点Q ，连接DQ ，设点P 的横坐标为(0)m m ≠．（1）求点A 的坐标． （2）求抛物线的表达式．（3）当以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求m 的值．23．如图：AB 是O 的直径，点D 在O 上，AC 交O 于G ，E 是AG 上一点，D 为BCE ∆内心，BE 交AD 于F ，且DBE BAD ∠=∠． （1）求证：BC 是O 的切线； （2）求证：DF DG =；（3）若45ADG ∠=︒，1DF =，则有两个结论：①AD BD 的值不变；②AD BD -的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分． 1．【解答】解：x 与3互为相反数， 3x ∴=-，||3|3|3336x ∴+=-+=+=．故选：D ．2．【解答】解：A 、22()a a -=，正确；B 、62a a -，无法计算，故此选项错误；C 、222363a a a -+=，故此选项错误；D 、236()a a =，故此选项错误．故选：A ．3．【解答】解：点A 的坐标是(1,2)-，作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '， (1,2)A ∴'，将点A '向下平移4个单位，得到点A ''，∴点A ''的坐标是：(1,2)-．故选：C ． 4．【解答】解：四条互相不平行的直线1L 、2L 、3L 、4L 所截出的七个角，1AOB ∠=∠，46180AOB ∠+∠+∠=︒， 146180∴∠+∠+∠=︒． 故选：C ．5．【解答】解：设男孩x 人，女孩有y 人，根据题意得出：12(1)x yy x -=⎧⎨-=⎩， 解得：43x y =⎧⎨=⎩，故选：C ．6．【解答】解：根据题意可得：油量先下降到14升，然后加油，油量上升，加油、吃饭、休息的这一小时，油量不减少，然后开始行驶，油量降低． 故选：D ．7．【解答】解：作CH x ⊥轴于H ，AC 交OH 于F ．tan 2BCBAC AB∠==， 90CBH ABH ∠+∠=︒，90ABH OAB ∠+∠=︒， CBH BAO ∴∠=∠，90CHB AOB ∠=∠=︒， CBH BAO ∴∆∆∽，∴2BH CH BCAO BO AB===， 2BH a ∴=-，2CH b =，(2,2)C b a b ∴+，由题意可证CHF BOD ∆∆∽，∴CH HFBO OD =， ∴2b FHb c=， 2FH c ∴=，(2,2)C b c b ∴--， 222c b a +=-，222b a c ∴=--，b a c =--，(,22)C a c a c ∴---，故选：C ．8．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B ，M 间的距离大于等于221，当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是131， 故选：D ．9．【解答】解：延长EF ，过点B 作直线平行AC 和EF 相交于P ， 5AE =，3EC =， 8AC AE CE ∴=+=，四边形ABCD 是菱形， 142OA OC AC ∴===，AC BD ⊥， 431OE OC CE ∴=-=-=，以OB 为直径画圆M ， AC ∴是M 的切线， DN 是M 的切线， 1EN OE ∴==，MN AN ⊥， 90DNM DOE ∴∠=∠=︒， MDN EDO ∠=∠， DMN DEO ∴∆∆∽， ::DM MN DE OE ∴=，12MN BM OM OB ===，3DM OD OM MN ∴=+=，33DE OE ∴==， //OE BP ， ::OD OB DE EP ∴=， OD OB =， 3DE EP ∴==， 22BP OE ∴==， //OE BP ， EFC PFB ∴∆∆∽，::3:2EF PF EC BP ∴==， :3:5EF EP ∴=，31.85EF EP ∴=⨯=，3 1.8 4.8DF DE EF ∴=+=+=．故选：C ．10．【解答】解：图象开口向下， 0a ∴<，对称轴132b x a =-=-，32b a ∴=，则32a b =，0b ∴<，图象与x 轴交于y 轴正半轴， 0c ∴>，0abc ∴>，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当1x =时，0y <， 0a b c ∴++<，故选项②正确；③当1x =-时，0y a b c =-+>，∴302b bc -+>，20b c ∴+>，故选项③正确；④抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ->，则240ac b -<， 故选项④错误． 故正确的有3个． 故选：B ．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分， 11．【解答】解：2233a b -223()a b =- 3()()a b a b =+-．故答案是：3()()a b a b +-．12．【解答】解：一组数据4，a ，7，8，3的平均数是5 478355a ∴++++=⨯解得：3a =从小到大排列为：3，3，4，7，8 第3个数是4，∴这组数据的中位数为4．故答案为：4．13．【解答】解：解方程28150x x -+=可得3x =或5x =， ABC ∴∆的第三边为3或5，但当第三边为5时，235+=，不满足三角形三边关系， ABC ∴∆的第三边长为3， ABC ∴∆的周长为2338++=，故答案为：8．14．【解答】解：如图，连接OA ，过点A 作AC OB ⊥于点C ，则1AC =，2OA OB ==，在Rt AOC ∆中，2222213OC OA AC =-=-=23BC OB OC ∴=-=-，∴在Rt ABC ∆中，1tan 2323AC ABO BC ∠===+-． 故答案是：23+．15．【解答】解：如图，将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BKA ∆， 则4PB BK ==，5AK PC ==，60PBK ∠=︒，KBP ∴∆为等边三角形，60KPB ∴∠=︒，4KP =， 3AP =，222AP KP AK ∴+=，90APK ∴∠=︒， 150APB ∴∠=︒，作BH AP ⊥于H ，则30BPH ∠=︒， 122BH BP ∴==， PBC ∴∆的面积AKB =∆的面积213134423343242APK BPK APB S S S ∆∆∆=+-=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+． 故答案为：433+．16．【解答】解：如图1，当DF CD =时，点F 与A 重合或在点F '处． 在菱形ABCD 中，2AB =， 2CD AD ∴==，作DN AB ⊥于N ，由折叠的性质得：此时点P 与N 重合， 在Rt ADN ∆中，2AD =，45DAN ∠=︒，2DN AN NF =='2AP ∴如图2，当2CF CD ==时，点F 与B 重合或在F '处，点F 与B 重合，PE ∴是AB 的垂直平分线，112AP AB ∴==； 点F 落在F '处时，222AF '=+， 1122AP AF '∴==+； P 在AB 上，2AP ∴<，12AP =+，舍去如图3中，当FD FC =时， 21AF =+，121222AP AF ∴==+． 综上所述：当CDF ∆为等腰三角形时，AP 的长为2或1或2122+． 故答案为：2或1或2122+．三、解答题：本大题有7个小题，共66分. 17．【解答】解：（1）设被墨水污染的部分是A ，由题意得，241933x A x x x -÷=--+， 解得4A x =-；故被墨水污染的部分为4x -； （2）解：不能，若1137x =+， 则4x =， 由分式，2244439394x x x x x x x x ----÷=⋅----， 当4x =时，原分式无意义， 所以不能．18．【解答】解：（1）94a =；92m =， 1(88939393949495959798)9410n =+++++++++=； （2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小， 所以八年级的成绩稳定； 故答案为94，92，94；八； （3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，P ∴（这两人分别来自不同年级的概率）82123==． 19．【解答】解：（1）ABCD 中，OA OC =， OD OD =，180AOD COD ∠+∠=︒，AOD ∴∆和DOC ∆是“互补三角形”， 故答案为：AOD ∆和DOC ∆；（2）如图所示，//EH FG ，且EH FG =，则EFH ∆即为所求，证明：连接GH ，//EH FG ，且EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，//GH EF ∴， EFG EFH S S ∆∆∴=．20．【解答】解：（1）设y 关于x 的函数表达式为：y kx b =+，因为0.12k =-， 把0x =，30y =代入0.12y x b =-+， 可得30b =，y 关于x 的函数表达式为：0.1230y x =-+；（2）当5y 时，0.12305x -+， 6253x 答：跳跳爸爸至多能够行驶6253千米就要进加油站加油． 21．【解答】解：（1）①如图，作AE PB ⊥于点E ，APE ∆中，45APE ∠=︒，2PA =221AE PE ∴===， 4PB =，3BE PB PE ∴=-=，在Rt ABE ∆中，90AEB ∠=︒，2210AB AE BE ∴=+=．②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将PAD ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到△P AB '，可得PAD ∆≅△P AB '，PD P B '=，PA P A '=． 90PAP '∴∠=︒，45APP '∠=︒，90P PB '∠=︒ 22PP PA ∴'==，22222425PD P B PP PB ∴='='+=+=；解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，与DA 的 延长线交PB 于G ． 在Rt AEG ∆中， 可得10cos cos 3AE AE AG EAG ABE ===∠∠，13EG =，23PG PE EG =-=． 在Rt PFG ∆中，可得10cos cos 5PF PG FPG PG ABE =∠=∠=，1015FG =． 在Rt PDF ∆中，可得，2222101010()()(10)255153PD PF AD AG FG =+++=+++=． （2）如图所示，将PAD ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到△P AB '，PD 的最大值即为P B '的最大值，△P PB '中，P B PP PB ''<+，22PP PA '==，4PB =， 且P 、D 两点落在直线AB 的两侧，∴当P '、P 、B 三点共线时，P B '取得最大值（如图）此时6P B PP PB ''=+=，即P B '的最大值为6． 此时180135APB APP '∠=︒-∠=度．22．【解答】解：（1）令1202y x =-+=，解得：4x =，0y =，则2x =，即：点A 坐标为：(4,0)，B 点坐标为：(0,2)；（2）把点A 、C 坐标代入二次函数表达式， 解得：32b =-，12a =，故：二次函数表达式为：213222y x x =--； （3）设点1(,2)2M m m -+，则213(,2)22Q m m m --，以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时， 则：21||(4)42MQ m m BD =±--==，当21442m m --=，解得：1m = 当21442m m --=-， 解得：2m =，0m =（舍去）；故：2m =或1+或1 23．【解答】（1）证明：连接DE ，BG ．D 为BCE ∆内心，DBC DBE ∴∠=∠，DBE BAD ∠=∠，DBC BAD ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AGB ∴∠=︒， 90BCG CBG ∴∠+∠=︒， 90BCG CBD GBD ∴∠+∠+∠=︒，DAC DBG ∠=∠，ADB DAC ACB CBD ∠=∠+∠+∠， 90ADB DBG ACB CBD ∴∠=∠+∠+∠=︒ 90BAD ABD ∴∠+∠=︒，90DBC ABD ∴∠+∠=︒，即90ABC ∠=︒，AB BC ∴⊥，BC ∴是O 的切线；（2）证明：如图1，连接DE ， DBC BAD ∠=∠，DBC DBE ∠=∠，DBE BAD ∴∠=∠，ABF BAD ABF DBE ∴∠+∠=∠+∠， BFD ABD ∴∠=∠，DGC ABD ∠=∠， BFD DGC ∴∠=∠， DFE DGE ∴∠=∠，D 为BCE ∆内心，DEG DEB ∴∠=∠，在DEF ∆和DEG ∆中DFE DGE DEG DEF DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF DEG AAS ∴∆≅∆， DF DG ∴=；（3）解：AD BD -的值不变；如图2，在AD 上截取DH BD =，连接BH 、BG ，AB 是直径，90ADB AGB ∴∠=∠=︒， 45ADG ∠=︒， 45ABG ADG ∴∠=∠=︒，∴AB ，90BDH ∠=︒，BD DH =， 45BHD ∴∠=︒，18045135AHB ∴∠=︒-︒=︒，9045135BDG ADB ADG ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AHB BDG ∴∠=∠， BAD BGD ∠=∠，ABH GBD ∴∆∆∽，∴2AH ABDG BG ==， 1DG =，∴2AH =，AD BD AD DH AH -=-=，∴2AD BD -=．。

2020学年第一学期九年级期中检测数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCACBCBDCB二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分． 11．4112．2213． 35；314．m ≥－1． 15． 1或7 16． ①③三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题6分)解：∵抛物线y ＝a (x －3)2＋2经过点(1，－2)∴－2＝a (x －3)2＋2∴a ＝x －1 ∴y ＝－(x －3)2＋2 ……3分∴此函数的图象开口向下，当x ＜3时，y 随x 的增大而增大，当x ＞3时，y 随x 的增大而减小，∵点A (m ，s )，B (n ，t )(m ＜n ＜3)都在该抛物线上 ∴s ＜t ……3分 18．(本题8分)解：如图，连接OC ，∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ， ∴∠AOC ＝∠DAC ， ∴AO ＝AC ， ……3分 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ……2分∴AC ＝AO ＝21AD ＝3cm ． ……3分19．(本题8分) 解：选择方案二；……1分∵方案一获奖的概率为31，…… 3分方案二中出现的可能性如下表所示：第一次第二次红 黄 蓝 红 (红，红) (黄，红) (蓝，红) 黄 (红，黄) (黄，黄) (蓝，黄) 蓝(红，蓝)(黄，蓝)(蓝，蓝)共有9种不同的情况，其中指针落在不同颜色区域的可能性为9＝3……3分 ∵32＞31∴选择方案二 ……1分20．(本小题满分10分)解：(1)如图所示，⊙O 即为所求． ……4分(2)如图，连接OB ，由题意知CD ＝8m ，AB ＝40m ，∵OD ⊥AB ，∴BC ＝AC ＝21AB ＝20m ， ……3分设圆的半径为r ，则OC ＝r －8，在Rt △BOC 中，由BO 2＝BC 2＋OC 2可得r 2＝(r －8)2＋202， 解得：r ＝29，答：这钢梁圆弧的半径为29米． ……3分 21．(本小题满分10分)解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －6)2＋5(a ≠0)，∵A (0，2)在抛物线上，∴代入得a ＝121-， ∴抛物线的解析式为y ＝121-(x －6)2＋5． ……5分(2)∵令y ＝0，即121-(x －6)2＋5＝0，解得x 1＝6－215(舍去)，x 2＝6＋215 ∴OC ＝6＋215．答：该同学把实心球扔出(6＋215)m ． ……5分22．(本小题满分12分)(1)110101+-=x y……2分 (2)解：当200=x 时，9011020=+-=y 1800090200=⨯(元)答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元．……3分(3)解：当300100≤≤x 时5.3802)195(101)39101()71(2+--=+-=-=x x x x y w ……2分 ∵0101<-=a ，抛物线开口向下 当 195<x 时，w 随x 的增大而增大又 x 为10的正整数倍∴x ＝190时，w 最大，最大值是3800 当 195>x 时，w 随x 的增大而减小 又 x 为10的正整数倍∴x ＝200 时，w 最大，最大值是3800……2分当 400300≤<x 时，w ＝(80－71)x ＝9x ∵k ＝9>0 ∴ w 随x 的增大而增大∴x ＝400 时， w 最大，最大值是3600 ……2分综上所述，当 x ＝190或 x ＝200时，w 最大，最大值是3800 ……1分23．(本小题满分12分)(1)解：把A (－1，0)，C (0，3)代入抛物线解析式c x ax y ++=492得抛物线的解析式为349432++-=x x y ……4分 (2)解：令0349432=++-x x ，解得B (4，0) ∴343+-=x y CB令3)2(43343)343(34943222+--=+-=+--++-=x x x x x x h∴x ＝2时，h 有最大值为3，此时Q 的坐标为)29,2( ……2分此时S △BCQ ＝4321⨯⨯＝6 ……2分(3)解：已有343+-=x y CB∵∠DCB ＝2∠ABC ∴CD 所在直线与CB 所在直线关于y 轴对称∴343+=x y CD又连列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=349433432x x y x y 01=x (舍去)，22=x∴则点D 坐标为)29,2(……4分。

2019-2020学年七年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．﹣的绝对值是（）A．B．﹣C．7 D．﹣72．下列各数中，属于无理数的是（）A．3.14159 B．C．D．2π3．已知某冰箱冷藏室的温度为5℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度要低15℃，则冷冻室的温度为（）A．10℃B．﹣10℃C．20℃D．﹣20℃4．用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是（）A．107 B．107.0 C．106 D．106.55．下列各组数比较大小，判断正确的是（）A．﹣6＞﹣4 B．﹣3＞+1 C．﹣9＞0 D．6．下列计算正确的是（）A．5a﹣2a＝3 B．2a+3b＝5abC．3a+2a＝5a2D．﹣3ab+ba＝﹣2ab7．估计的大小应在（）A．3.5与4之间B．4与4.5之间C．4.5与5之间D．5与5.5之间8．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为（）A．4x+1+5＝3（x+5）B．3x﹣5＝4（x﹣5）+1C．3x+5＝4（x+5）+1 D．4x﹣5＝3（x﹣5）+19．点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数是互为相反数，若点B所表示的数为a，AB＝2，则点D所表示的数为（）A．2﹣a B．2+a C．a﹣2 D．﹣a﹣210．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣2的差倒数是，如果a1＝﹣4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a1+a2+a3+a4+…+a61的值是（）A．﹣55 B．55 C．﹣65 D．65二．填空题（共6小题）11．单项式﹣2ab2的系数是，次数是．12．太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为．13．计算：＝，＝．14．若∠α＝25°42′，则它余角的度数是．15．如图，有一个盛有水的正方体玻璃容器，从内部量得它的棱长为30cm，容器内的水深为8cm，现把一块长，宽，高分别为15cm，10cm，10cm的长方体实心铁块平放进玻璃容器中，容器内的水将升高cm．16．已知点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点．设AB＝a，PB＝b，则线段BC 的长为（用含a，b的代数式表示）．三．解答题（共7小题）17．计算：（1）﹣5+7﹣8（2）18．解方程：（1）2﹣x＝3x+8（2）19．如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．（1）画直线AB和射线CB；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（要求保留作图痕迹）（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短，并写出画图的依据．20．（1）先化简．再求值：3（a2﹣ab）﹣2（a2﹣3ab），其中a＝﹣2，b＝3；（2）设A＝2x2﹣x﹣3，B＝﹣x2+x﹣25，其中x是9的平方根，求2A+B的值．21．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人．（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处？（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90＜m＜100，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人？22．自2016年1月1日起，某市居民生活用水实施年度阶梯水价，具体水价标准见下表：类别水费价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）综合水价（元/立方米）第一阶梯≤120（含）立方米 3.5 1.5 5第二阶梯120～180（含）立方米5.25 1.56.75第三阶梯＞180立方米10.5 1.5 12 例如，某户家庭年用水124立方米，应缴纳水费：120x5+（124﹣120）x6.75＝627（元）．（1）小华家2017年共用水150立方米，则应缴纳水费多少元？（2）小红家2017年共用水m立方米（m＞200），请用含m的代数式表示应缴纳的水费．（3）小刚家2017年，2018年两年共用水360立方米，已知2018年的年用水量少于2017年的年用水量，两年共缴纳水费2115元，求小刚家这两年的年用水量分别是多少？23．直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；②若OF平分∠AOE，∠AOF ＝∠DOF，求∠BOD的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣的绝对值是（）A．B．﹣C．7 D．﹣7【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣|＝．故选：A．2．下列各数中，属于无理数的是（）A．3.14159 B．C．D．2π【分析】直接利用有理数和有理数的定义分析得出答案．【解答】解：A、3.14159是有理数，不合题意；B、＝0.3是有理数，不合题意；C、是有理数，不合题意；D、2π是无理数，符合题意；故选：D．3．已知某冰箱冷藏室的温度为5℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度要低15℃，则冷冻室的温度为（）A．10℃B．﹣10℃C．20℃D．﹣20℃【分析】用某冰箱冷藏室的温度减去冷冻室的温度比冷藏室的温度要低的温度，求出冷冻室的温度为多少即可．【解答】解：5﹣15＝﹣10（℃）答：冷冻室的温度为﹣10℃．故选：B．4．用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是（）A．107 B．107.0 C．106 D．106.5【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是106，故选：C．5．下列各组数比较大小，判断正确的是（）A．﹣6＞﹣4 B．﹣3＞+1 C．﹣9＞0 D．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣6＜﹣4，∴选项A不符合题意；∵﹣3＜+1，∴选项B不符合题意；∵﹣9＜0，∴选项C不符合题意；∵﹣＞﹣，∴选项D符合题意．故选：D．6．下列计算正确的是（）A．5a﹣2a＝3 B．2a+3b＝5abC．3a+2a＝5a2D．﹣3ab+ba＝﹣2ab【分析】根据合并同类项的法则把系数相加即可．【解答】解：A、5a﹣2a＝3a，故A不符合题意；B、2a与3b不是同类项不能合并，故B不符合题意；C、3a+2a＝5a，故C不符合题意；D、﹣3ab+ba＝﹣2ab，故D符合题意；故选：D．7．估计的大小应在（）A．3.5与4之间B．4与4.5之间C．4.5与5之间D．5与5.5之间【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案．【解答】解：∵4.52＝20.25，∴的大小应在4.5与5之间．故选：C．8．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为（）A．4x+1+5＝3（x+5）B．3x﹣5＝4（x﹣5）+1C．3x+5＝4（x+5）+1 D．4x﹣5＝3（x﹣5）+1【分析】设今年儿子x岁，根据五年前父亲的年龄不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设今年儿子x岁，依题意，得：3x﹣5＝4（x﹣5）+1．故选：B．9．点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数是互为相反数，若点B所表示的数为a，AB＝2，则点D所表示的数为（）A．2﹣a B．2+a C．a﹣2 D．﹣a﹣2【分析】根据两点间的距离公式求得点A表示的数为a﹣2，由相反数的定义得到点D所表示的数．【解答】解：由题意知，点A表示的数为a﹣2，因为点A，D表示的数是互为相反数，所以点D所表示的数为2﹣a．故选：A．10．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣2的差倒数是，如果a1＝﹣4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a1+a2+a3+a4+…+a61的值是（）A．﹣55 B．55 C．﹣65 D．65【分析】根据题意可以写出前几项，然后即可发现数字的变化规律，然后即可求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，a1＝﹣4，a2＝，a3＝，a4＝﹣4，a5＝，a6＝，…，∵﹣4+＝＝﹣，61÷3＝20…1，∴a1+a2+a3+a4+…+a61＝20×（﹣）+（﹣4）＝﹣51+（﹣4）＝﹣55，故选：A．二．填空题（共6小题）11．单项式﹣2ab2的系数是﹣2 ，次数是 3 ．【分析】单项式的次数是所含所有字母指数的和，系数就前面的数字，由此即可求解．【解答】解：单项式﹣2ab2的系数是﹣2，次数是3．故答案为：﹣2，3．12．太阳中心的温度可达15500000℃，数据15500000用科学记数法表示为 1.55×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将15500000用科学记数法表示为1.55×107．故答案为：1.55×107．13．计算：＝ 5 ，＝﹣3 ．【分析】根据立方根及算术平方根的定义即可得出答案．【解答】解：①由（±5）2＝25得：25的算术平方根为＝5，②由（﹣3）3＝﹣27，所以＝﹣3．故答案为：5，﹣3．14．若∠α＝25°42′，则它余角的度数是64°18′．【分析】两角互为余角和为90°，据此可解此题．【解答】解：根据余角的定义得，25°42′的余角度数是90°﹣25°42′＝64°18′．故答案为：64°18′．15．如图，有一个盛有水的正方体玻璃容器，从内部量得它的棱长为30cm，容器内的水深为8cm，现把一块长，宽，高分别为15cm，10cm，10cm的长方体实心铁块平放进玻璃容器中，容器内的水将升高cm．【分析】利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积解答即可．【解答】解：铁块的体积为：15×10×10＝1500（cm3），容器内的水将升高的高度为：1500÷（30×30）＝（cm）．故答案为：16．已知点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点．设AB＝a，PB＝b，则线段BC 的长为a+2b或a﹣2b或﹣a+2b．（用含a，b的代数式表示）．【分析】根据点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点．设AB＝a，PB＝b，分三种情况即可求线段BC的长．【解答】解：∵点A，B，C都在直线l上，点P是线段AC的中点．设AB＝a，PB＝b，①如图BC＝a+2b；②如图，BC＝a﹣2b；③如图，BC＝a﹣（2a﹣2b）＝﹣a+2b．则线段BC的长为：a+2b或a﹣2b或﹣a+2b．故答案为：a+2b或a﹣2b或﹣a+2b．三．解答题（共7小题）17．计算：（1）﹣5+7﹣8（2）【分析】（1）根据有理数的加减混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算乘方和括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减可得．【解答】解：（1）原式＝2﹣8＝﹣6；（2）原式＝36×（﹣）+×（﹣）＝﹣42﹣2＝﹣44．18．解方程：（1）2﹣x＝3x+8（2）【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为1，进行解答便可；（2）按照解一元一次方程的一般步骤进行解答便可．【解答】解：（1）﹣x﹣3x＝8﹣2﹣4x＝6x＝﹣1.5；（2）12x﹣3（3x﹣1）＝2x12x﹣9x+3＝2x12x﹣9x﹣2x＝﹣3x＝﹣3．19．如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．（1）画直线AB和射线CB；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（要求保留作图痕迹）（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短，并写出画图的依据．【分析】（1）画直线AB和射线CB即可；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC即可；（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短．【解答】解：如图所示，（1）直线AB和射线CB即为所求作的图形；（2）连结AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使AE＝2AC；（3）在直线AB上确定一点P，使PC+PD的和最短．20．（1）先化简．再求值：3（a2﹣ab）﹣2（a2﹣3ab），其中a＝﹣2，b＝3；（2）设A＝2x2﹣x﹣3，B＝﹣x2+x﹣25，其中x是9的平方根，求2A+B的值．【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；（2）把A与B代入2A+B中，去括号合并得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝3a2﹣3ab﹣a2+6ab＝2a2+3ab，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝8﹣18＝﹣10；（2）∵A＝2x2﹣x﹣3，B＝﹣x2+x﹣25，∴2A+B＝2（2x2﹣x﹣3）+（﹣x2+x﹣25）＝4x2﹣2x﹣6﹣x2+x﹣25＝3x2﹣x﹣31，由x是9的平方根，得到x＝3或﹣3，当x＝3时，原式＝27﹣3﹣31＝﹣7；当x＝﹣3时，原式＝27+3﹣31＝﹣1．21．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人．（1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处？（2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中90＜m＜100，若要使甲处植树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人？【分析】（1）设应从乙处调x人去甲处，根据等量关系甲处植树的人数＝3×乙处植树人数列出方程，再解即可；（2）设调往乙处y人，则调往甲处（m﹣y）人，由题意得等量关系：在甲处植树的人数＝3×在乙处植树的人数，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：（1）设应从乙处调x人去甲处，则3（96﹣x）＝220+x解得x＝17；答：应从乙处调17人去甲处；（2）设调往乙处y人，则调往甲处（m﹣y）人，则3（96+y）＝220+y+my＝17+0.25m因为y是正整数，且90＜m＜100，所以m＝92或m＝96．当m＝92时，调往甲处96人，调往乙处6人．当m＝96时，调往甲处89人，调往乙处7人．22．自2016年1月1日起，某市居民生活用水实施年度阶梯水价，具体水价标准见下表：类别水费价格污水处理费综合水价（元/立方米）（元/立方米）（元/立方米）第一阶梯≤120（含）立方米 3.5 1.5 55.25 1.56.75第二阶梯120～180（含）立方米第三阶梯＞180立方米10.5 1.5 12 例如，某户家庭年用水124立方米，应缴纳水费：120x5+（124﹣120）x6.75＝627（元）．（1）小华家2017年共用水150立方米，则应缴纳水费多少元？（2）小红家2017年共用水m立方米（m＞200），请用含m的代数式表示应缴纳的水费．（3）小刚家2017年，2018年两年共用水360立方米，已知2018年的年用水量少于2017年的年用水量，两年共缴纳水费2115元，求小刚家这两年的年用水量分别是多少？【分析】（1）根据表格中规定的分段计算方法列式计算可得；（2）利用总价＝单价×数量，结合阶梯水价，即可得出结论；（3）设2017年用水x立方米，则2018年用水（360﹣x）立方米．根据两年共缴纳水费2115元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）小华家2017年应缴纳水费为120×5+（150﹣120）×6.75＝802.5（元）．答：小华家2017年应缴纳水费802.5元；（2）小红家2017年共用水m立方米（m＞200），则应缴纳的水费为：120×5+（180﹣120）×6.75+12（m﹣180）＝（12m﹣1155）元．答：小红家2017年应缴纳的水费是（12m﹣1155）元．（3）设2017年用水x立方米，则2018年用水（360﹣x）立方米．根据两年共缴纳水费2115元可得：120×5+（180﹣120）×6.75+12（x﹣180）+120×5+（360﹣x﹣120）×6.75＝2115．解得：x＝200．2018年用水量：360﹣200＝160（立方米）．答：小刚家2017年用水200立方米，2018年用水160立方米．23．直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；②若OF平分∠AOE，∠AOF＝∠DOF，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据∠BOC＝130°，OE平分∠BOD即可求∠AOE的度数；（2）①根据OF⊥OE，OE平分∠BOD，即可判断OF是∠AOD的平分线；②根据OF平分∠AOE，∠AOF＝∠DOF，即可求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，∴∠AOD＝∠BOC＝150°，∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝25°∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．答：∠AOE的度数为155°（2）①OF是∠AOD的平分线，理由如下：∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°∴∠BOE+∠AOF＝90°∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE∴∠DOE+∠AOF＝90°∠DOE+∠DOF＝90°∴∠AOF＝∠DOF∴OF是∠AOD的平分线；②∵∠AOF＝∠DOF，设∠DOF＝3x，则∠AOF＝∠5x，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝5x∴∠DOE＝2x∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝4x5x+3x+4x＝180°∴x＝15°．∴∠BOD＝4x＝60°．答：∠BOD的度数为60°．。

2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试题一、选择题1.若x 与3互为相反数，则|x |+3等于( ) A. ﹣3 B. 0C. 3D. 6【答案】D 【解析】 【分析】先利用相反数求出x 的值,再进行计算即可. 【详解】∵x 与3互为相反数， ∴x ＝﹣3，∴|x |+3＝|﹣3|+3＝3+3＝6． 故选D ．【点睛】本题考查了互为相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，比较简单,熟悉概念是解题关键． 2.下列运算正确的是（ ） A. 22()a a -= B. 624a a a -=C. 224363a a a -+=D. 352()a a =【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则、合并同类项的法则以及幂的乘方运算法则进行计算即可判断． 【详解】A 、根据积的乘方运算法则可得（﹣a ）2＝a 2，正确； B 、a 6与a 2不是同类项，不能合并，无法计算，故此选项错误； C 、根据合并同类项法则可得﹣3a 2+6a 2＝3a 2，故此选项错误； D 、根据幂的乘方运算法则可得（a 2）3＝a 6， 故此选项错误． 故答案为：A ．【点睛】本题主要考查积的乘方运算、合并同类项以及幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（– 1，2），作点A 关于y 轴的对称点，得到点A '，再将点A '向下平移4个单位，得到点A ″，则点A ″的坐标是（） A. （– 1，– 2） B. （1，2）C. （1，– 2）D. （–2，1）【答案】C 【解析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点A'坐标，再利用平移的性质得出答案．【详解】∵点A的坐标是（﹣1，2），作点A关于y轴的对称点，得到点A'，∴A′（1，2）．∵将点A'向下平移4个单位，得到点A″，∴点A″的坐标是：（1，﹣2）．故选C．【点睛】本题考查了关于y轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握平移规律是解题的关键．4.如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A. ∠2=∠4+∠7B. ∠3=∠1+∠6C. ∠1+∠4+∠6=180°D. ∠2+∠3+∠5=360°【答案】C【解析】A项，根据三角形外角的性质可知，∠2=∠4+∠6，因为L3和L4不平行，所以∠6≠∠7，所以∠2≠∠4+∠7，故A项错误；B项，根据三角形外角的性质可知，∠3=∠AOB+∠OAB，根据对顶角相等可知，∠1=∠AOB，∠7=∠OAB，所以∠3=∠1+∠7，因为L3和L4不平行，所以∠7≠∠6，所以∠3≠∠1+∠6，故B项错误；C项，根据三角形内角和定理可知，∠AOB+∠4+∠6=180°，又根据对顶角相等可知，∠1=∠AOB，所以∠1+∠4+∠6=180°，故C项正确；D项，根据三角形外角的性质可知，∠2=∠4+∠6，又因为∠5+∠6=180°，所以∠2+∠3+∠5=∠4+∠6+∠3+∠5=∠3+∠4+180°，因为L3和L4不平行，所以∠3+∠4≠180°，所以∠2+∠3+∠5≠360°，故D项错误.5.游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是( )A. 12x y x y -=⎧⎨=⎩B. 2(2)x yx y =⎧⎨=-⎩C. 12(1)x yx y -=⎧⎨=-⎩D. 12(1)x yx y +=⎧⎨=-⎩【答案】C 【解析】 【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍，进而分别得出等式即可．【详解】解：设男孩x 人，女孩有y 人，根据题意得出：12(1)x yx y -=⎧⎨=-⎩故选C ．【点睛】主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键． 6.王师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有50升油．王师傅的车每小时耗油12升，行驶3小时后，他在一高速公路服务站先停车加油26升，再吃饭、休息，此过程共耗时1小时，然后他继续行驶，下列图象大致反映油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的函数关系的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】找准几个关键点，3小时后的油量、然后加油、吃饭、休息这1小时后油量增多26升、然后油量再下降． 【详解】根据题意可得：油量先下降到14升，然后加油，油量上升，加油、吃饭、休息的这一小时，油量不减少，然后开始行驶，油量降低． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．7.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，tan ∠BAC=2，A （0，a ），B （b ，0），点C 在第二象限，BC 与y 轴交于点D （0，c ），若y 轴平分∠BAC ，则点C 的坐标不能表示为（ ）A. （b+2a ，2b ）B. （﹣b ﹣2c ，2b ）C. （﹣b ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）D. （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）【答案】C 【解析】 【分析】作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．由△CBH ∽△BAO ，推出2BH CH BCAO BO AB ===，推出BH=﹣2a ，CH=2b ，推出C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，可得CH HF BO OD =,推出2b FHb c=，推出FH=2c ，可得C （﹣b ﹣2c ，2b ），因为2c+2b=﹣2a ，推出2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ，可得C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ），由此即可判断；【详解】解：作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．∵tan ∠BAC=BCAB=2， ∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°， ∴∠CBH=∠BAO ，∵∠CHB=∠AOB=90°， ∴△CBH ∽△BAO ， ∴2BH CH BCAO BO AB===， ∴BH=﹣2a ，CH=2b ， ∴C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，∴CH HFBO OD =， ∴2b FHb c=， ∴FH=2c ，∴C （﹣b ﹣2c ，2b ）， ∵2c+2b=﹣2a ，∴2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ， ∴C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）， 故选C ．【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8.已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B ，M 间的距离可能是（ ）A. 0.5B. 0.7C. 2﹣1D. 3﹣1【答案】D【解析】【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2-2小于等于1，由此即可判断．【详解】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣2小于等于1，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或3﹣1，故选D．【点睛】本题考查正六边形、正方形性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（）A. 3B. 4C. 4.8D. 5【答案】C【解析】【分析】过点B作直线平行AC和EF的延长线相交于P，由菱形的性质，可求得OE的长，证得AC是⊙M的切线，然后由切线长定理，求得EN的长，易证得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】过点B作直线平行AC和EF的延长线相交于P．∵AE=5，EC=3，∴AC=AE+CE=8．∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC12=AC=4，AC⊥BD，∴OE=OC﹣CE=4﹣3=1．∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线．∵DN是⊙M的切线，∴EN=OE=1，MN⊥AN，∴∠DNM=∠DOE=90°．∵∠MDN=∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN=DE：OE．∵MN=BM=OM12=OB，∴DM=OD+OM=3MN，∴DE=3OE=3．∵OE∥BP，∴OD：OB=DE：EP=OE：BP．∵OD=OB，∴DE=EP=3，∴BP=2OE=2．∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF=EC：BP=3：2，∴EF：EP=3：5，∴EF=EP35⨯=1.8，∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．故选C．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定与性质、菱形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解答此题的关键．10.小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝32b．你认为其中正确信息的个数有（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象分别求出a ，b ，c 的符号，进而得出x 1=或1-时y 的符号，进而判断得出答案． 【详解】Q 图象开口向下，a 0∴<，Q 对称轴1bx 32a=-=-，3b 2a ∴=，则3a b 2=，b 0∴<，Q 图象与x 轴交与y 轴正半轴，c 0∴>，abc 0∴>，故选项①错误；选项⑤正确；②由图象可得出：当x 1=时，y 0<，a b c 0∴++<，故选项②正确；③当x 1=-时，y a b c 0=-+>，3b bc 02∴-+>， b 2c 0∴+>，故选项③正确；④抛物线与x 轴有两个交点，则2b 4ac 0->，则24ac b 0-<，故选项④错误． 故正确的有3个． 故选B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题11.分解因式：22-=________．3a3b【答案】3（a+b）（a-b）【解析】【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．【详解】解：3a2-3b2=3（a2-b2）=3（a+b）（a-b）．故答案为：3（a+b）（a-b）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12.若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是________．【答案】4【解析】【分析】先根据平均数的定义求出x的值，然后根据中位数的定义求解．【详解】由题意可知，（4+a+7+8+3）÷5=5，a=3，这组数据从小到大排列3，3，4，7，8，所以，中位数是4．故答案是：4．【点睛】考查平均数与中位数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．13.△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是_____．【答案】8【解析】试题解析：解方程x2-8x+15=0可得x=3或x=5，∴△ABC的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系， ∴△ABC 的第三边长为3， ∴△ABC 的周长为2+3+3=8．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．14.如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为_____．【答案】2+3． 【解析】 【分析】连接OA ，过点A 作AC⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt△ABC 中，根据tan∠ABO=ACBC可得答案． 【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC 中，222221OA AC --3， ∴BC=OB﹣OC=23，∴在Rt△ABC 中，tan∠ABO=23AC BC =-3． 故答案是：3【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 15.如图，已知P 为等边△ABC 形内一点，且P A ＝3cm ，PB ＝4 cm ，PC ＝5 cm ，则图中△PBC 的面积为________cm 2．【答案】43＋3【解析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，可得△KBP为等边三角形，KP=4，因为AP2+KP2=AK2，可得∠APK=90°，所以∠APB=150°，作BH⊥AP于H，则∠BPH=30°，根据△PBC的面积=△AKB的面积=S△APK+S△BPK-S△APB即可得出△PBC的面积．【详解】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，则PB=BK=4，AK=PC=5，∠PBK=60°，∴△KBP为等边三角形，∴∠KPB=60°，KP=4，∵AP=3，∴AP2+KP2=AK2，∴∠APK=90°，∴∠APB=150°，作BH⊥AP于H，则∠BPH=30°，∴BH=12BP=2，∴△PBC的面积=△AKB的面积=S△APK+S△BPK-S△APB=12×3×4+34×42−12×2×3＝3．故答案为3．【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握图形旋转的性质．16.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，P为线段AB上一动点，且不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在直线AB上点F处，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长是_____．2或1或2或21 22【解析】【分析】如图1，当DF＝CD时，有一个解，如图2，当CF＝CD＝2时，有两个解，如图3中，当FD＝FC时有一个解，根据折叠变换的性质和直角三角形的性质分别求出即可．【详解】解：如图1，当DF＝CD时，点F与A重合或在点F′处．∵在菱形ABCD中，AB＝2，∴CD＝AD＝2，作DN⊥AB于N，由折叠的性质得：此时点P与N重合，在Rt△ADN中，∵AD＝2，∠DAN＝45°，DN＝AN＝NF′2，∴AP2如图2，当CF＝CD＝2时，点F与B重合或在F′处，∵点F与B重合，∴PE是AB的垂直平分线，∴AP＝12AB＝1；点F落在F'处时，AF'＝2，∴AP＝12AF'＝2；如图3中，当FD＝FC时，AF2，∴AP＝12AF＝2122+．综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为2或1或1+2或21 22+.故答案为2或1或1+2或21 22+【点睛】本题考查菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及分类讨论；熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分类讨论．三、解答题17.如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为1x3 +．(1)求被墨水污染的部分；(2)原分式的值能等于17吗？为什么？【答案】(1)x-4；(2)不能，见解析.【解析】试题分析：（1）设被墨水污染的部分是A ，计算即可得到结论； （2）令1137x =+，解得x =4，而当x =4时，原分式无意义，所以不能． 试题解析：解：（1）设被墨水污染的部分是A ，则2443193(3)(3)3x A x x x x x x A x ---÷=⋅=--+-+，解得：A = x -4； （2）不能，若1137x =+，则x =4，由原题可知，当x =4时，原分式无意义，所以不能． 18.某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）： 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a ＝ ；m ＝ ；n ＝ ； （2）两个年级中， 年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A 1，A 2，八年级第一、第二名选手分别记为B 1，B 2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率． 【答案】（1）94；（2）94，92，94；八；（3）23【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解； （2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）n ＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：乙甲A1A2B1B2A1（A1，A2）（A1，B1）（A1，B2）A2（A2，A1）（A2，B1）（A2，B2）B1（B1，A1）（B1，A2）（B1，B2）B2（B2，A1）（B2，A2）（B2，B1）共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82=123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．19.我们把有两边对应相等，且夹角互补(不相等)的两个三角形叫做“互补三角形”，如图1，□ABCD中，△AOB和△BOC是“互补三角形”.(1)写出图1中另外一组“互补三角形”_______；(2)在图2中，用尺规作出一个△EFH，使得△EFH和△EFG为“互补三角形”，且△EFH和△EFG在EF同侧，并证明这一组“互补三角形”的面积相等.【答案】(1)答案不唯一，△AOD和△AOB，△ABD和△ABC；(2)如图所示，见解析.【解析】【分析】（1）根据“互补三角形”的定义解答.（2）在G点同侧作GH=EF.FH=EG，则四边形EFHG是平行四边形，根据“互补三角形”的定义，△EFH和△EFG为“互补三角形”，且△EFH和△EFG是同底等高的，即面积相等.【详解】(1)答案不唯一，如：△AOD和△AOB，△ABD和△ABC(2)如图所示，△EFH为所求作的三角形，∵GH=EF，FH=EG，∴四边形EFHG是平行四边形，∴GH∥EF，GP＝HQ，△EFH和△EFG同底等高，三角形面积相等.【点睛】本题考查的是新定义，正确的理解新定义并应用是关键.20.跳跳一家外出自驾游，出发时油箱里还剩有汽油30升，已知跳跳家的汽车每百千米．．．的平均油耗为12升，设油箱里剩下的油量为y（单位：升），汽车行驶的路程为x（单位：千米．．）.（1）求y关于x的函数表达式；（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于5升时，仪表盘会亮起黄灯警报. 要使邮箱中的存油量不低于5升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？【答案】（1）y=-0.12x+30 ;（2）625 3.【解析】【分析】（1）汽车每千米平均油耗为0.12升，再根据题意得到y关于x的函数表达式；（2）当y≥5时，得到关于x的不等式，求不等式得到x的取值范围即可得解. 【详解】（1）由题意可知汽车每千米平均油耗为0.12升，则函数表达式为y=-0.12x+30 ；（2）当y≥5时，-0.12x+30≥5 ，解得：x≤625 3.答：跳跳爸爸至多能够行驶6253千米就要进加油站加油.【点睛】本题主要考查一次函数的应用，一次函数与不等式，解此题的关键在于准确理解题意得到y关于x 的函数表达式.21.已知：PA=2，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．(1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．【答案】（1）10AB=，PD=25；（2）P B 的最大值为6【解析】【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°．【详解】(1)①如图，作AE⊥PB于点E，∵△APE 中，∠APE ＝45°，P A ＝，∴AE ＝PE ＝×＝1，∵PB ＝4，∴BE ＝PB ﹣PE ＝3， 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°， ∴AB ＝22AE BE +＝．②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将 △P AD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ， 可得△P AD ≌△P 'AB ，PD ＝P 'B ，P A ＝P 'A ． ∴∠P AP '＝90°，∠APP '＝45°，∠P 'PB ＝90° ∴PP ′＝P A ＝2，∴PD ＝P ′B ＝2PP 2PB ''+＝2224+＝25； 解法二：如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，与DA 的 延长线交PB 于G ． 在Rt △AEG 中， 可得AG ＝AE cos EAG ∠＝AE cos ABE ∠＝103，EG ＝13，PG ＝PE ﹣EG ＝23．在Rt △PFG 中，可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝105，FG＝1015．在Rt△PDF中，可得，PD＝22PF(AD AG FG)+++＝22101010105153⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝25．(2)如图所示，将△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝2P A＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．【点睛】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中通过添加辅助线，确定P′B取得最大值时点P′的位置．22.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB 于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求m 的值．【答案】（1）点A 坐标为（4，0）；（2）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（3）m ＝2或17或117 【解析】 【分析】 (1)直线y=﹣12x +2中令y=0，即可求得A 点坐标； (2)将A 、C 坐标代入，利用待定系数法进行求解即可；(3)先求出BD 的长，用含m 的式子表示出MQ 的长，然后根据BD=QM ，得到关于m 的方程，求解即可得. 【详解】(1)令y ＝﹣12x +2＝0，解得：x ＝4， 所以点A 坐标为：(4，0)；(2)把点A 、C 坐标代入二次函数表达式，得0164202a b a b =+-⎧⎨=--⎩， 解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故：二次函数表达式为：y ＝12x 2﹣32x ﹣2； (3)y=﹣12x +2中，令x=0，则y=2，故B(0，2)， y ＝12x 2﹣32x ﹣2中，令x=0，则y=-2，故D(0，-2)，所以BD=4， 设点M (m ，﹣12m +2)，则Q (m ，12m 2﹣32m ﹣2)，则MQ=|(12m 2﹣32m ﹣2)-(﹣12m +2)|=|12m 2﹣m ﹣4| 以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时， 则：MQ ＝BD ＝4，即|12m 2﹣m ﹣4|=4， 当12m 2﹣m ﹣4=-4时， 解得：m ＝2或m ＝0(舍去)；当12m 2﹣m ﹣4=4时， 解得m ＝1±17，故：m ＝2或1+17或1-17．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质，解一元二次方程等内容，综合性较强，熟练掌握相关内容并运用分类讨论思想是解题的关键.23.如图：AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于G ，E 是AG 上一点，D 为△BCE 内心，BE 交AD 于F ，且∠DBE=∠BAD ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求证：DF=DG ；（3）若∠ADG=45°，DF=1，则有两个结论：①AD•BD 的值不变；②AD －BD 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）正确的结论：AD ﹣BD 的值不变，证明见解析，AD ﹣2.【解析】【详解】试题分析：（1）根据三角形内心的性质得出∠DBC =∠DBE ，进而根据已知求得∠DBC =∠BAD ，根据圆周角定理即可证得90BAD ABD ∠+∠=o ，从而求得AB ⊥BC ，证得结论；（2）连接DE ，根据圆内接四边形外角的性质得出DGC ABD ，∠=∠由三角形外角的性质求得BFD ABD ，∠=∠证得BFD DGC ∠=∠， 进而求得DEG DEB ∠=∠， 由三角形内心的性质得出DEG DEB ∠=∠，然后根据AAS 证得△DEF ≌△DEG ,从而证得DF DG =；（3）在AD 上截取DH =BD ，连接BH 、BG ，证得ABG V 是等腰直角三角形，得出2AB BG =，然后证得△ABH ∽△GBD ，得出2AHABDG BG ==，求得2AH =，即可求得 2.AD BD -=试题解析：(1)证明：∵D 为△BCE 内心，∴∠DBC =∠DBE ，∵∠DBE =∠BAD .∴∠DBC =∠BAD ，∵AB 是O e 的直径，∴90ADB ∠=o ，∴90BAD ABD ∠+∠=o ，∴90,DBC ABD ∠+∠=o即90ABC ∠=o ，∴AB ⊥BC ，∴BC 是O e 的切线；(2)证明：如图1，连接DE ，∵∠DBC =∠BAD ，∠DBC =∠DBE ，∴∠DBE =∠BAD ，∴∠ABF +∠BAD =∠ABF +∠DBE ，∴∠BFD =∠ABD ，∵∠DGC =∠ABD ，∴∠BFD =∠DGC ，∴∠DFE =∠DGE ，∵D 为△BCE 内心，∴∠DEG =∠DEB ，在△DEF 和△DEG 中DFE DGEDEG DEF DE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△DEF ≌△DEG (AAS)， ∴DF =DG ；(3)AD −BD 的值不变；如图2，在AD 上截取DH =BD ，连接BH 、BG ， ∵AB 是直径，∴90ADB AGB ∠=∠=o ， ∵45ADG ∠=o ，∴45ABG ADG ∠=∠=o ， ∴2AB BG =，∵90BDH BD DH ∠==o ，， ∴45BHD ∠=o ，∴18045135AHB ∠=-=o o o ， ∵9045135,BDG ADB ADG o o o ∠=∠+∠=+=∴∠AHB =∠BDG ，∵∠BAD =∠BGD ，∴△ABH ∽△GBD ， ∴2AHABDG BG ==，∵DG =1， ∴2AH =，∵AD −BD =AD −DH =AH ，∴AD BD-=点睛：直径所对的圆周角是直角.。

2020-2021学年浙江省杭州市余杭区七年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．下列是具有相反意义的量的是（）A．向东走5米和向北走5米B．身高增加2厘米和体重减少2千克C．胜1局和亏本70元D．收入50元和支出40元2．﹣的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣3．计算机的计算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒（）A．384×109次B．38.4×1010次C．3.84×1011次D．0.384×1012次4．下列算式中，运算结果为负数的是（）A．﹣（﹣2）B．|﹣2|C．（﹣2）3D．（﹣2）25．用代数式表示：“x的5倍与y的和的一半”可以表示为（）A．5x+y B．5x+y C．x+y D．（5x+y）6．数轴上表示﹣1的点A的位置应在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．7与8之间7．在代数式（1）2a；（2）﹣3a；（3）|a|+3；（4）a2+1；（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）中，值一定为正数的代数式的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．下列说法正确的是（）①一个数的绝对值一定是正数；②绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；③任何有理数小于或等于它的绝对值；④绝对值最小的整数是1．A．②③B．①②③C．①②D．②③④9．若xy＞0，则﹣1的值为（）A．1B．﹣1或1C．﹣3D．﹣3或110．如图3×3的正方形方格中共有9个空格，小林同学想在每个空格中分别填入1、2、3个数字中的一个，使得处于同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和均不相等．你认为小林的设想能实现吗？（）A．一定可以B．一定不可以C．有可能D．无法判断二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．比较大小：﹣﹣．12．计算：＝，﹣2的倒数是．13．在实数，﹣（﹣1），，，313113113，中，无理数有个．14．某产品原价为n元，涨价30%之后，销量下降，于是又降价20%销售，则该产品现价为元．15．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，则表示的点与数表示的点重合．16．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝565，则第2020次“F运算”的结果是．三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．当a＝6，b＝﹣2时，求下列代数式的值．（1）2ab；（2）a2+2ab+b2．18．计算：（1）﹣20+14﹣18+13；（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）；（3）（﹣）÷（﹣）；（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）．19．（1）求出下列各数：①9算术平方根；②﹣27的立方根；③2的平方根．（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并将每个数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．20．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？21．一辆汽车以每小时a千米的速度行驶，从A城市到B城市需要t小时，按题意解决下列问题：（1）用a，t的代数式表示A城市到B城市的距离；（2）如果汽车行驶的速度每小时增加v千米，那么从A城市到B城市需要多少小时．（3）如果当a＝80时，t＝3，汽车从B城市返回到A城市的平均速度增加20%，那么返回时需要多少小时？22．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．23．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c，（1）当n＝1时，①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能A．在点A左侧或在A，B两点之间B．在点C右侧或在A，B两点之间C．在点A左侧或在B，C两点之间D．在点C右侧或在B，C两点之间②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、C、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请在数轴上标出点D并用含n的代数式表示a．2020-2021学年浙江省杭州市余杭区七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列是具有相反意义的量的是（）A．向东走5米和向北走5米B．身高增加2厘米和体重减少2千克C．胜1局和亏本70元D．收入50元和支出40元【分析】根据相反意义的量的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、向东走5米和向北走5米，不是具有相反意义的量，故本选项错误；B、身高增加2厘米和体重减少2千克，不是具有相反意义的量，故本选项错误；C胜1局和亏本70元、不是具有相反意义的量，故本选项错误；D、收入50元和支出40元，是具有相反意义的量，故本选项正确．故选：D．2．﹣的相反数是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：﹣的相反数是：．故选：A．3．计算机的计算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒（）A．384×109次B．38.4×1010次C．3.84×1011次D．0.384×1012次【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：384000000000用科学记数法表示为：3.84×1011．故选：C．4．下列算式中，运算结果为负数的是（）A．﹣（﹣2）B．|﹣2|C．（﹣2）3D．（﹣2）2【分析】根据在一个数的前面机上负号就是这个数的相反数，负数的绝对值是它的相反数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，可得答案．【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，故A错误；B、|﹣2|＝2，故B错误；C、（﹣2）3＝﹣8，故C正确；D、（﹣2）2＝4，故D错误；故选：C．5．用代数式表示：“x的5倍与y的和的一半”可以表示为（）A．5x+y B．5x+y C．x+y D．（5x+y）【分析】根据x的5倍与y的和先列式再求和的一半即可解决．【解答】解：根据题意，得（5x+y）故选：D．6．数轴上表示﹣1的点A的位置应在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．7与8之间【分析】估算的大小，再估算﹣1的大小，进而得出答案．【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴4﹣1＜﹣1＜5﹣1，∴3＜﹣1＜4，故选：B．7．在代数式（1）2a；（2）﹣3a；（3）|a|+3；（4）a2+1；（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）中，值一定为正数的代数式的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据平方数非负数和绝对值非负数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）2a值不一定是正数；（2）﹣3a值不一定是正数；（3）|a|≥0，所以|a|+3＞0，值一定是正数；（4）a2+1值一定是正数；（5）|﹣a2|﹣2（a为有理数）值不一定是正数；，综上所述，值一定是正数的代数式有2个．故选：C．8．下列说法正确的是（）①一个数的绝对值一定是正数；②绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；③任何有理数小于或等于它的绝对值；④绝对值最小的整数是1．A．②③B．①②③C．①②D．②③④【分析】根据绝对值的意义和性质，逐项判断即可．【解答】解：0的绝对值是0，因此选项A不符合题意；绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，因此选项B符合题意；正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，因此选项C符合题意；绝对值最小生物数是0，因此选项D不符合题意；因此，正确的结论有②③，故选：A．9．若xy＞0，则﹣1的值为（）A．1B．﹣1或1C．﹣3D．﹣3或1【分析】先确定x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，然后根据绝对值的意义进行计算．【解答】解：∵xy＞0，∴x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，﹣1＝1+1﹣1＝1；当x＜0，y＜0时，﹣1＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，综上所述，﹣1的值为1或﹣3．故选：D．10．如图3×3的正方形方格中共有9个空格，小林同学想在每个空格中分别填入1、2、3个数字中的一个，使得处于同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和均不相等．你认为小林的设想能实现吗？（）A．一定可以B．一定不可以C．有可能D．无法判断【分析】在每个空格中分别填入1、2、3三个数字中的一个，和有3～9，共有7种情况，而同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和有8个，依此即可求解．【解答】解：在每个空格中分别填入1、2、3三个数字中的一个，和有3～9，共有7种情况，而同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和有8个，7＜8．故小林的设想一定不可以实现．故选：B．二．填空题（共6小题）11．比较大小：﹣＞﹣．【分析】先计算|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，然后根据负数的绝对值越大，这个数反而越小即可得到它们的关系关系．【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，而＜，∴﹣＞﹣．故答案为：＞．12．计算：＝4，﹣2的倒数是﹣．【分析】直接利用算术平方根以及倒数的定义分别得出答案．【解答】解：＝4，﹣2的倒数是：﹣．故答案为：4，﹣．13．在实数，﹣（﹣1），，，313113113，中，无理数有2个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：是分数，属于有理数；﹣（﹣1）＝1，是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数；313113113是有限小数，属于有理数；无理数有：，共2个．故答案为：2．14．某产品原价为n元，涨价30%之后，销量下降，于是又降价20%销售，则该产品现价为 1.04n元．【分析】提高后的价格＝（提高率+1）×原价，现价＝提高后的价格×（1﹣降低率），计算出产品现价为1.04元．【解答】解：涨价30%之后的价格：（1+30%）n＝1.3n，降价20%后的价格：1.3n×（1﹣20%）＝1.04n，故答案为1.04n．15．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，则表示的点与数4﹣表示的点重合．【分析】根据对称的知识，若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，从而找到的对称点．【解答】解：若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，所以表示的点与数4﹣表示的点重合；故答案为4﹣．16．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝565，则第2020次“F运算”的结果是5．【分析】计算出n＝565时第1、2、3、4、5、6次运算的结果，找出规律再进行解答即可求解．【解答】解：若n＝1，第一次结果为3n+1＝4，第2次“F运算”的结果是：4÷22＝1；若n＝565，第1次结果为：3n+5＝1700，第2次“F运算”的结果是：＝425，第3次结果为：3n+5＝1280，第4次结果为：＝5，第5次结果为：3n+5＝20，第6次结果为：＝5，…可以看出，从第4次开始，结果就只是5，20两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是5，次数是奇数时，结果是20，而2020次是偶数，因此最后结果是5．故答案为：5．三．解答题（共7小题）17．当a＝6，b＝﹣2时，求下列代数式的值．（1）2ab；（2）a2+2ab+b2．【分析】（1）把a与b的值代入原式计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式化简，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a＝6，b＝﹣2，∴原式＝2×6×（﹣2）＝﹣24；（2）∵a＝6，b＝﹣2，∴原式＝（6﹣2）2＝16．18．计算：（1）﹣20+14﹣18+13；（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）；（3）（﹣）÷（﹣）；（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）．【分析】（1）从左向右依次计算即可．（2）首先计算乘方、绝对值，然后计算乘法、除法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可．（3）根据乘法分配律计算即可．（4）首先计算乘方、开方和括号里面的运算，然后计算括号外面的除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）﹣20+14﹣18+13＝﹣6﹣18+13＝﹣24+13＝﹣11．（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）＝2×÷（﹣）×2﹣（﹣9）＝﹣4﹣（﹣9）＝5．（3）（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣36）＝（﹣）×（﹣36）+×（﹣36）﹣×（﹣36）＝9﹣21+20＝8．（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）＝﹣1+8÷4﹣（﹣2+4）＝﹣1+2﹣2＝﹣1．19．（1）求出下列各数：①9算术平方根；②﹣27的立方根；③2的平方根．（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并将每个数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．【分析】（1）根据算术平方根、立方根、平方根的定义，求出各数即可；（2）先把各数表示在数轴上，再根据数轴上实数比较大小的方法，用不等号连接起来即可．【解答】解：（1）∵＝3，＝﹣3，∴9的算术平方根是3，﹣27的立方根是﹣3，2的平方根是；（2）如图：∴．20．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20，∴B地在A地的东边20千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：14千米；14﹣9＝5千米；14﹣9+8＝13千米；14﹣9+8﹣7＝6千米；14﹣9+8﹣7+13＝19千米；14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13千米；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25千米；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20千米．∴最远处离出发点25千米；（3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米，应耗油74×0.5＝37（升），故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）．21．一辆汽车以每小时a千米的速度行驶，从A城市到B城市需要t小时，按题意解决下列问题：（1）用a，t的代数式表示A城市到B城市的距离；（2）如果汽车行驶的速度每小时增加v千米，那么从A城市到B城市需要多少小时．（3）如果当a＝80时，t＝3，汽车从B城市返回到A城市的平均速度增加20%，那么返回时需要多少小时？【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系解答即可；（2）先表示A城市与B城市之间的距离，再表示后来的速度，最后表示后来的时间即可；（3）求出总路程和返回的速度，进而求出返回的时间．【解答】解：（1）A城市到B城市的距离为：at（千米）；（2）（小时），答：从A城市到B城市需要小时；（3）＝2.5（小时），答：返回时所用的时间为2.5小时．22．如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为；（2）在图②的4×4方格中画一个面积为8的正方形；（3）把图②中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数和﹣．【分析】（1）结合网格和利用勾股定理即可算出正方形ABCD的边长；（2）画出边长为3和1的长方形的对角线，对角线长就是，再画一个边长为的正方形即可；（3）利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数和﹣的位置．【解答】解：（1）图①中正方形ABCD的边长为＝；故答案为：；（2）如图所示：（3）如图所示：23．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c，（1）当n＝1时，①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能CA．在点A左侧或在A，B两点之间B．在点C右侧或在A，B两点之间C．在点A左侧或在B，C两点之间D．在点C右侧或在B，C两点之间②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、C、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请在数轴上标出点D并用含n的代数式表示a．【分析】（1）把n＝1代入即可得出AB＝1，BC＝2，再根据a、b、c三个数的乘积为正数即可选择出答案；（2）分两种情况讨论：当n为奇数时；当n为偶数时；用含n的代数式表示a即可．【解答】解：（1）①把n＝1代入即可得出AB＝1，BC＝2，∵a、b、c三个数的乘积为正数，∴从而可得出在点A左侧或在B、C两点之间．故选C；②b＝a+1，c＝a+3，当a+a+1+a+3＝a时，a＝﹣2，当a+a+1+a+3＝a+1时，a＝﹣，当a+a+1+a+3＝a+3时，a＝﹣；（2）依据题意得，b＝a+1，c＝b+n+1＝a+n+2，d＝c+n+2＝a+2n+4．∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，∴a+c＝0或b+c＝0．∴a＝﹣或a＝﹣；∵a为整数，∴当n为奇数时，a＝﹣，当n为偶数时，a＝﹣．。

2020-2021学年浙江省杭州市余杭区七年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 如果零上3℃记作+3℃，那么零下5℃记作 ( )A. −5B. 5C. −5℃D. 5℃2. −5的倒数是( )A. 5B. 15C. −15D. −53. 习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为( )A. 1.17×106B. 11.7×108C. 1.17×108D. 1.17×1074. 下列说法正确的是( )A. 16的平方根是4B. 互为相反数的数的立方根也互为相反数C. −2xy 5的系数是25D. 3π2是有理数5. 在数√10，227，−√273，√59，3，14，0.808008，π中，有理数有( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. 下列单项式与5x 2y 是同类项的是( )A. −3xyB. 3x 2yzC. 3xy 2D. 2x 2y7. 七年级(1)班有30人会下象棋或围棋，已知会下象棋的人数比会下围棋的人数多5人，两种棋都会下的有17人，问只会下围棋的有多少人？设只会下围棋的有x 人，可得方程( )A. x +(x −5)+17=30B. x +(x +5)+17=30C. x +(x −5)−17=30D. x +(x +5)−17=308. 如图，射线AD 上有B ，C ，D 三点，则图中有( )A. 1条射线、3条线段B. 4条射线、3条线段C. 4条射线、6条线段D. 7条射线、8条线段9. 已知x =−2是关于x 的方程12(1−2ax)=x +a 的解，则a 的值为( )A. 1B. −1C. −53D. −5210. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x 值为22，我们发现第1次输出结果为11，第2次输出结果为14，…请你探索第2020次输出的结果为( )A. 1B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. “x 的2倍与y 的差”用代数式可以表示为______． 12. 多项式3a 2b 3−5ab 2+a 2−6是______次______项式． 13. 若x 是64的算术平方根，则√x 3=______．14. 若方程(m −3)x |m|−2−5=1是关于x 的一元一次方程，则m 的值为______． 15. 已知关于x 的方程2x +3=x +k 的解与x −3=5k 的解的和为6，则k =______． 16. 有三个互不相等的有理数，既可表示为−1，a +b ，a 的形式，又可表示为0，−ba ，b 的形式，则b 2021a 2020的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 17. 计算：(1)12+|−6|−(−3)；(2)−12−23÷(−12)×14+√−273．四、解答题（本大题共6小题，共60.0分） 18. 解方程：(1)2x −3=x +5； (2)x−12=1−x−14．19.如图，在直线BC外有一点A．(1)按下列语句画图：①画线段AC，②画射线BA；③在线段BC上任取一点D(不同于B，C)，连接AD；(2)数一数，此时图中共有线段______条．20.字母a，b，c，d所表示的数如表：字母a b c d字母表示的数4的平方根−√6的相反数−12020单项式−2x2y的系数3(1)直接写出上表中各字母所表示的数；(2)计算(1)中最大数与最小数的平方差．21. (1)先化简再求值：x 2−(x 2+2xy −y 2)+5(y 2−3xy)，其中x =117，y =13．(2)已知m −n =6，求−4(m −n)+3m −3n +8的值．22. 2019年双“十一”期间，天猫商场某书店制定了促销方案：若一次性购书超过300元，其中300元按九五折优惠，超过300元的部分按八折优惠．(1)设一次性购买的书箱原价是a 元，当a 超过300时，实际付款为______元；(用含a 的代数式表示，并化简)(2)若小明购书时一次性付款365元，则所购书籍的原价是多少元？(3)小冬在促销期间先后两次下单购买书箱，两次所购书籍的原价之和为600元(第一次所购书籍的原价高于第二次)，两次实际共付款555元，则小冬两次购物所购书籍的原价分别是多少元？23. 已知式子M =(a +10)x 3+80x 2−2x +5是关于x 的二次多项式，且二次项系数为b ，数轴上A ，B 两点所对应的数分别是a 和b ． (1)a =______，b =______；(2)现在有一只甲壳虫P 从A 点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只甲壳虫Q 恰好从B 点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设爬行时间为t 秒，①当t为何值时，两只甲壳虫在数轴上的C点相遇，并写出此时C点对应的数；②当t为何值时，两只甲壳虫在数轴上相距35个单位长度，并写出此时P点对应的数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若零上3℃记作+3℃，那么零下5℃记作，应记作“−5℃”．故选C．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．本题主要考查正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2.【答案】C．【解析】解：−5的倒数是−15故选：C．根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．3.【答案】D【解析】解：11700000=1.17×107，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：A 、16的平方根是±4，故A 不正确，不符合题意；B 、两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数，故B 正确，符合题意；C 、−2xy 5的系数是−25，故C 不正确，不符合题意；D 、3π2是无理数，故D 不正确，不符合题意；故选：B ．根据平方根的定义，立方根的性质，单项式的系数，实数的概念判断即可．本题考查了实数，单项式，平方根，立方根等，熟练掌握它们的概念及性质是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：在数√10，227，−√273，√59，3，14，0.808008，π中，有理数有227，−√273，3，14，0.808008，共5个． 故选：C ．根据有理数的定义，结合所给的数据即可得出答案．本题考查了实数的知识，注意掌握有理数的定义，π是无理数，一定要熟记．6.【答案】D【解析】解：A 、−3xy 与5x 2y 所含字母完全相同，相同字母的指数不相同，故此选项不符合题意；B 、3x 2yz 与5x 2y 所含字母不完全相同，故此选项不符合题意；C 、3xy 2与5x 2y 所含字母完全相同，相同字母的指数不相同，故此选项不符合题意；D 、2x 2y 与5x 2y 所含字母完全相同，相同字母的指数也相同，故此选项符合题意． 故选：D ．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此进行判断即可． 本题考查了同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同．7.【答案】B【解析】解：设只会下围棋的有x人，则只会下象棋的有(x+5)人，依题意，得：x+(x+5)+17=30．故选：B．设只会下围棋的有x人，则只会下象棋的有(x+5)人，根据该班有30人会下象棋或围棋且两种棋都会下的有17人，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：分别以A、B、C、D为端点向右的射线共有4条，线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条，所以，有4条射线、6条线段．故选：C．根据射线和线段的定义分别计算出条数即可得解．本题考查了直线、射线、线段的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，射线要根据端点的不同确定．9.【答案】D(1+4a)=−2+a，【解析】解：根据题意得：12．解得a=−52故选：D．根据方程的解的定义，把x=−2代入方程，即可得到关于a的方程，即可求解．本题主要考查了方程的解的定义，正确解方程是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵第1次输出的结果为11，第2次输出的结果为14，第3次输出的结果为7，第4次输出的结果为10，第5次输出的结果为5，第6次输出的结果为8，第7次输出的结果为4，第8次输出的结果为2，第9次输出的结果为1，第10次输出的结果为4，……∴除去前6次的输出结果，后面每输出3次为一个周期循环，∵(2020−6)÷3=671…1，则第2020次输出的结果为4．故选：C．根据程序框图计算出前10次的输出结果，据此得出除去前6次的输出结果，后面每输出3次为一个周期循环，从而得出答案．此题考查了代数式求值，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．11.【答案】2x−y【解析】解：表示“x的2倍与y的差”的代数式为2x−y．故答案为：2x−y．根据题意直接列代数式即可．本题考查了列代数式，要注意语句中的关键字，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．12.【答案】五四【解析】解：多项式3a2b3−5ab2+a2−6是五次四项式．故答案为：五，四．根据多项式的项数和次数的确定方法即可求出答案．本题考查多项式，解题的关键是理解多项式的项数和次数的确定方法，本题属于基础题型．13.【答案】2【解析】解：∵82=64， ∴64的算术平方根8， ∴√x 3=√83=2． 故答案为：2．根据算术平方根的定义求出64的算术平方根，然后再根据立方根的定义解答． 本题考查了算术平方根和立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．14.【答案】−3【解析】解：∵关于x 的方程(m −3)x |m|−2−5=1是一元一次方程， ∴m −3≠0且|m|−2=1， 解得：m =−3， 故答案为：−3．根据一元一次方程的定义和已知条件得出m −3≠0且|m|−2=1，求出m 的值即可． 本题考查了一元一次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．15.【答案】1【解析】解：解2x +3=x +k 得x =k −3， 解与x −3=5k 得x =5k +3， 根据题意得(k −3)+(5k +3)=6， 解得：k =1． 故答案是：1．首先解两个方程，然后根据两个方程的解的和是6即可列方程求解． 本题考查了一元一次方程的解法，正确解关于x 的方程是关键．16.【答案】−1【解析】解：∵三个互不相等的有理数，既可表示为−1，a +b ，a 的形式，又可表示为0，−b a，b 的形式， ∴这两个数组的数分别对应相等．∴a +b 与a 中有一个是0，−b a 与b 中有一个是−1，但若a =0，会使−b a 无意义， ∴a ≠0，只能a +b =0，即a =−b ，于是−b a =1．∴只能是b =−1，于是a =1；∴b 2021a 2020的值为−1，故答案为：−1．根据三个互不相等的有理数，既表示为−，a +b ，a 的形式，又可以表示为0，−b a ，b 的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a +b 与a 中有一个是0，−b a 与b 中有一个是−1，再根据分式有意义的条件判断出a 、b 的值，代入计算即可． 本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a +b 与a 中有一个是0，−b a 与b 中有一个是−1”是解答此题的关键．17.【答案】解：(1)12+|−6|−(−3)=12+6+3=21；(2)−12–23÷(−12)×14+√−273=−1−8×(−2)×14+(−3)=−1+4−3=0．【解析】(1)去掉绝对值，由有理数加法法则计算即可；(2)根据有理数混合运算法则计算即可．本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数运算的顺序及混合运算的法则．18.【答案】解：(1)2x −3=x +5，移项，得2x −x =5+3，合并同类项，得x =8；(2)x−12=1−x−14，去分母，得2(x−1)=4−(x−1)，去括号，得2x−2=4−x+1，移项，得2x+x=4+1+2合并同类项，得3x=7，两边同除以3，得x=73．【解析】(1)方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．19.【答案】6【解析】解：(1)如图：①线段AC即为所求；②射线BA即为所求；③线段AD即为所求；(2)此时图中共有线段6条．故答案为6．(1)①画线段AC即可；②画射线BA即可；③在线段BC上任取一点D(不同于B，C)，连接AD即可；(2)观察图形即可得图中共有线段的条数．本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．20.【答案】解：(1)a=±√4=±2，b=−(−√6)=√6，c=−12020=−1，单项式−2x2y3的系数是−23，∴d=−23；(2)∵(1)中最大数是√6，，最小数是−2，∴(√6)2−(−2)2=6−4=2．【解析】(1)根据平方根、相反数、乘方以及单项式即可求解；(2)根据实数的性质以及平方差公式，可得答案．本题考查了实数的性质，平方差公式，正确得出各数是解题关键．21.【答案】解：(1)原式=x2−x2−2xy+y2+5y2−15xy=6y2−17xy，当x=117，y=13时，原式=6×19−17×117×13=13；(2)原式=−4(m−n)+3m−3n+8=−4(m−n)+3(m−n)+8，=−(m−n)+8当m−n=6时，原式=−6+8=2．【解析】(1)先根据整式的加减法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可；(2)先根据整式的加减法则把原式进行化简，再把m−n=6代入进行计算即可．本题考查的是整式的加减−化简求值，熟知整式的加减就是合并同类项是解答此题的关键．22.【答案】(0.8a+45)【解析】解：(1)由题意知，300×0.95+0.8(a−300)=0.8a+45故答案是：(0.8a+45)；(2)设所购书籍的原价是x元，由题意知，x>300．故0.8x+45=365．解得x=400答：若小明购书时一次性付款365元，则所购书籍的原价是400元；(3)∵第一次所购书籍的原价高于第二次，∴第一次所购书籍的原价超过300元，第二次所购书籍的原价低于300元．设第一次所购书籍的原价是b元，则第二次所购书籍的原价是(600−b)元，由题意知，0.8b+45+0.95(600−b)=555解得b=450，则600−b=150．答：第一次所购书籍的原价是450元，则第二次所购书籍的原价是150元．(1)付费由两部分组成：(300×0.95)元+0.8(a−300)元；(2)设所购书籍的原价是x元，根据销售优惠方案列出方程并解答；(2)由第一次所购书籍的原价高于第二次，可得出第一次所购物品的原价超过300元且第二次所购物品的原价低于300元，设小冬第一次所购书籍的原价是b元，则第二次所购物品的原价是(600−b)元，根据促销方案列出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，得到等量关系，列出方程．23.【答案】−1080【解析】解：(1)由题意得，a+10=0，解得a=−10，由二次项系数是80可得b=80．故答案为：−10，80；(2)①∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−10，B点对应的数为80，∴AB=80+10=90，设t秒后P、Q相遇，∴3t+2t=90，解得t=18；∴此时点P走过的路程：3×18=54，∴此时C点表示的数为−10+54=44．答：C点对应的数是44；②相遇前：(90−35)÷(2+3)=11(秒)，相遇后：(35+90)÷(2+3)=25(秒)．则经过11秒或25秒，2只甲壳虫在数轴上相距35个单位长度，P点11秒对应的数为23，25秒对应的数为65．(1)根据二次多项式的定义得到a+10=0，由此求得a的值；然后由多项式的系数的定义得到b的值；(2)①根据题意得到AB=90，再根据相遇问题列出方程可得解；②分相遇前和相遇后两种情况分别列方程即可．本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，解答(3)题时，一定要分类讨论．。

2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．（1．（3分）长度分别为1，5，x的三条线段首尾连接能组成一个三角形，则x的值可以是（）A．4B．5C．6D．72．（3分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝6x﹣1B．y＝C．y＝x2D．y＝3．（3分）下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等4．（3分）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A﹣∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c＝D．（b+c）（b﹣c）＝a25．（3分）点A（3，﹣4）到x轴的距离是（）A．B．3C．5D．46．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a＞b+2B．a+2＞b+1C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|7．（3分）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y＝2x﹣14B．y﹣＝﹣2x+18C．y＝4x D．y＝﹣2x+12 8．（3分）若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3B．4C．6D．19．（3分）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（）A．≤t＜2B．＜t≤1C．1＜t≤2D．≤t≤2且t≠110．（3分）在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D 旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF＝AB，②AE2+BF2＝S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（）＝EF2，③S四边形CEDFA．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为．12．（4分）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点坐标为．13．（4分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式kx+6＞x+b的解集是．14．（4分）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，△BPD能够与△CQP全等．15．（4分）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x+2y≤8，它的正整数解有个．16．（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图的方式放置，A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y＝x+2和x轴上，则点C2020的横坐标是．三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（6分）如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B＝26°，∠ACD ＝56°，求∠AED的度数．18．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．19．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．（1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D（保留作图痕迹）；（2）过点D画△ABD的边AB上的高DE，交线段AB于点E，若△BDE的周长是5cm，求AB的长．20．（10分）已知函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3．（1）若函数图象经过原点，求n的值；（2）若这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求n的正整数值．21．（10分）文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款．某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为x（个），付款总金额为y（元）．（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式；（2）请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8与直线y＝x﹣1交于点A（3，m）．（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣1交于点M，过点P 作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+8交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．23．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．（1．【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．【解答】解：5﹣1＜x＜5+1，4＜x＜6，只有选项5符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．2．【分析】利用正比例函数的定义进行分析即可．【解答】解：A、y＝6x﹣1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；B、y＝是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；C、y＝x2是二次函数，不是正比例函数，故此选项不合题意；D、y＝x是正比例函数，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了正比例函数定义，解题的关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k ≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．3．【分析】根据三角形外角、高、中线好全等三角形的判定判断解答即可．【解答】解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据三角形外角、高、中线好全等三角形的判定判断．4．【分析】根据直角三角形的定义，以及勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A、由题意：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，本选项符合题意．B、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．C、∵a＝1，b＝2，c＝，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，平方差公式，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．【分析】求得﹣4的绝对值即为点P到x轴的距离．【解答】解：∵点P到x轴的距离为其纵坐标的绝对值即|﹣4|＝4，∴点P到x轴的距离为4．故选：D．【点评】考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．6．【分析】根据不等式的基本性质对给出的式子进行变形，即可得出答案．【解答】解：A、因为a＞b，所以a+2＞b+2，故本选项不合题意；B、因为a＞b，所以a+1＞b+1，所以a+2＞b+1，故本选项符合题意；C、因为a＞b，所以﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；D、当a＝1，b＝﹣2时，|a|＜|b|，故本选项不合题意．故选：B．【点评】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．7．【分析】由设所求一次函数的解析式为y＝kx+b，函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，可得k＝﹣2，将点（8，2）代入即可人求解．【解答】解：设所求一次函数的解析式为y＝kx+b，∵函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，∴k＝﹣2，又过点（8，2），有2＝﹣2×8+b，解得b＝18，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+18，故选：B．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当k相同，且b 不相等，图象平行．8．【分析】求出不等式组的解集，由不等式组恰好只有2个整数解，确定出a的范围，即可求得满足条件的整数．【解答】解：解不等式组得：＜x＜2，由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得到﹣1≤＜0，即0≤a＜4，满足条件的整数a的值为0、1、2、3，整数a的值之和是0+1+2+3＝6，故选：C．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．【分析】由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．【解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则3＝2t+2，解得t＝；当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则6＝2t+2，解得t＝2；当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则4＝2t+2，解得t＝1；∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是≤t≤2且t≠1，故选：D．【点评】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．10．【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE＝CF，进而得出CE＝BF，就有AE+BF＝AC，由勾股定理就可以求出结论．【解答】解：连接CD，∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD＝AB．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，∴∠ADE＝CDF．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），＝S△CDF．∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE∵AC＝BC，∴AC﹣AE＝BC﹣CF，∴CE＝BF．∵AC＝AE+CE，∴AC＝AE+BF．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝AB，∴AE+BF＝AB．∵DE＝DF，∠GDH＝90°，∴△DEF始终为等腰直角三角形．∵CE2+CF2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2．＝S△EDC+S△EDF，∵S四边形CEDF＝S△EDC+S△ADE＝S△ABC．∴S四边形CEDF∴正确的有①②③④．故选D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明△ADE≌△CDF是关键．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．12．【分析】根据x轴上点的坐标特点是纵坐标为0解答即可．【解答】解：令y＝0，得x＝2；所以，图象与x轴交点坐标是（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了一次函数图象点的坐标，关键是根据两个特殊点（与坐标轴的交点）的求法．13．【分析】观察函数图象得到当x＜3时，函数y＝kx+6的图象都在y＝x+b的图象上方，所以关于x的不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．【解答】解：当x＜3时，kx+6＞x+b，即不等式kx+6＞x+b的解集为x＜3．故答案为：x＜3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据全等三角形的判定得出两种情况：①BD＝CP，BP＝CQ，②BD＝CQ，BP＝PC，再求出答案即可．【解答】解：设运动时间为t秒，∵AB＝12厘米，点D为AB的中点，∴BD＝AB＝6（cm），∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴要使，△BPD能够与△CQP全等，有两种情况：①BD＝CP，BP＝CQ，8﹣3t＝6，解得：t＝，∴CQ＝BP＝3×＝2，∴点Q的运动速度为2÷＝3（厘米/秒）；②BD＝CQ，BP＝PC，∵BC＝8厘米，∴BP＝CP＝BC＝4（厘米），即3t＝4，解得：t＝，∴CQ＝BD＝6厘米，∴点Q的运动速度为6÷＝4.5（厘米/秒），故答案为：3或4.5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．15．【分析】先把y作为常数，解不等式得x≤8﹣2y，根据x，y是正整数，得8﹣2y＞0，求出y的正整数值，再分情况进行讨论即可．【解答】解：x+2y≤8，x≤8﹣2y，∵x，y是正整数，∴8﹣2y＞0，解得0＜y＜4，即y只能取1，2，3，当y＝1时，0＜x≤6，正整数解为：，，，，，，当y＝2时，0＜x≤4，正整数解为：，，，，当y＝3时，0＜x≤2，正整数解为：，；综上，它的正整数解有12个．故答案为：12．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出y的整数值是本题的关键．16．【分析】根据直线解析式先求出A1（0，2），OC1＝OA1＝2，得出C1的横坐标是2＝21，再求出C2的横坐标是6＝21+22，C3的纵坐标是14＝21+22+23，得出规律，即可得出结果．【解答】解：∵直线y＝x+2，当x＝0时，y＝2，∴A1（0，2），OC1＝OA1＝2，∴C1（2，0），其中2＝21，∴A2（2，4），OC2＝2+4＝6，∴C2（6，0），其中6＝21+22，∴A3（6，8），OC3＝6+8＝14，∴C3（14，0），其中14＝21+22+23，…∴点∁n的坐标是（21+22+23+…+2n，0），∴∁n的坐标是（2n+1﹣2，0），∴点C2020的横坐标是22021﹣2，故答案为：22021﹣2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出C1、C2、C3的坐标得出规律是解决问题的关键．三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BAC＝∠ACD﹣∠B，∠AEC＝∠B+∠BAE，而AE平分∠BAC，故可求得∠AEC的度数．【解答】解：∵∠B＝26°，∠ACD＝56°∴∠BAC＝30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝15°∴∠AED＝∠B+∠BAE＝41°．【点评】本题利用了三角形内角与外角的关系和角平分线的性质求解．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1．故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】（1）利用尺规周长∠CAB的角平分线即可．（2）利用尺规过点D作DE⊥AB即可．证明△BDE的周长＝AB即可．【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求．（2）如图，线段DE即为所求．∵∠DAC＝∠DAE，∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE（AAS），∴AC＝AE，DC＝DE，∵CA＝CB，∴CB＝AE，∵△DEB的周长＝5cm，∴DE+BD+BE＝DC+BD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝5（cm）．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．【分析】（1）由函数图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n的值；（2）由函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再取其中的正整数值即可得出结论．【解答】解：（1）∵函数y＝（2n﹣8）x﹣n﹣3的图象经过原点，∴﹣n﹣3＝0，解得：n＝﹣3．（2）∵这个函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限，∴，解得：﹣3＜n＜4．∴n的正整数值为1、2、3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出n值；（2）牢记“k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限”．21．【分析】（1）根据题意，可以分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式；（2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，方案①：y＝30×8+5（x﹣8）＝5x+200（x≥8），方案②：y＝（30×8+5x）×90%＝4.5x+216（x≥8），即方案①中y与x之间的函数关系式是y＝5x+200（x≥8），方案②中y与x的函数关系式为y＝4.5x+216（x≥8）；（2）当5x+200＝4.5x+216时，解得x＝32；当5x+200＞4.5x+216时，解得x＞32；当5x+200＜4.5x+216时，解得x＜32；即购买文具盒为32个时，两种方案付款相同；购买文具盒超过32个时，方案②更省钱；购买文具盒为少于32个而不少于8个时，方案①更省钱．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．22．【分析】（1）把A点坐标代入y＝x﹣2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y＝kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN ≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【解答】解：（1）把A（3，m）代入y＝x﹣1中，得m＝3﹣1＝2，∴A（3，2），把A（3，2）代入y＝kx+8中，得2＝3k+8，解得，k＝﹣2；答：k，m的值为﹣2、2；（2）由（1）知，直线y＝kx+8为y＝﹣2x+8，根据题意，如图：∵点P（n，n），∴M（n+1，n），N（n，﹣2n+8），∴PM＝1，PN＝|3n﹣8|，∵PN≤2PM，∴|3n﹣8|≤2×1，∴2≤n≤∵P与N不重合，∴n≠﹣2n+8，∴n≠，综上，2≤n≤，且n≠．【点评】本题是一次函数图象的相交与平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，第（2）小题关键是用n的代数式表示PM与PN的长度．23．【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，根据SAS可证明△BOC≌△ADC．（2）利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；（3）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，∴∠ACD＝∠BCO，在△BOC和△ADC中，，∴△BOC≌△ADC（SAS）；（2）解：△ADO是直角三角形．理由如下：∵△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（3）解：∵∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∠OAD＝50°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，∴190°﹣α＝50°，∴α＝140°．所以，当α为125°、110°、140°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．。

2020-2021学年浙江省杭州市余杭区、临平区等七县区七年级（下）期末数学试卷一、选择题(每题3分,共30分)1．（3分）如图，∠B 的同位角是（ ）A ．∠1B ．∠2C ．∠3D ．∠42．（3分）3﹣2＝（ ） A ．19B ．−19C ．﹣6D ．163．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 3+a 3＝2a 6B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．a 6÷a 2＝a 3D ．a 5•a 3＝a 84．（3分）为了调查某校学生的身高情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ） A ．此次调查属于全面调查 B ．样本容量是80 C ．1000名学生是总体 D ．被抽取的每一名学生称为个体5．（3分）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A ．6x 2y 3＝2x 2•3y 3 B ．x 2﹣9＝（x ﹣3）（x +3） C ．x 2+2x +1＝x （x 2+2）+1D ．（x +2）（x ﹣3）＝x 2﹣x ﹣66．（3分）若x ≠y ，则下列分式化简中，正确的是（ ） A ．x+2y+2=xyB ．x−2y−2=xyC ．3x3y=xyD ．x 2y 2=xy7．（3分）如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）A ．a 2+5a +15B ．（a +5）（a +3）﹣3aC ．a （a +5）+15D ．a （a +3）+a 28．（3分）已知分式5x+n x−m（m ，n 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）x 的取值 ﹣2 2 p q 分式的值 无意义 2 01A ．m ＝﹣2B ．n ＝﹣2C ．p =25D ．q ＝﹣19．（3分）如图，下列条件中能判断AD ∥BC 的是（ ）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB +∠2+∠3＝180°．A ．①③④B ．①②④C ．①③D ．①②③④10．（3分）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（ ） A ．第1天B ．第2天C ．第3天D ．第4天二、填空题(每题4分,共24分) 11．（4分）若使分式x x−2有意义，则x 的取值范围是 ．12．（4分）一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、5组的频数分别为12、9、7、8，则第4组的频率为 ．13．（4分）如图，将长为acm （a ＞2），宽为bcm （b ＞1）的长方形ABCD 先向右平移2cm ，再向下平移1cm ，得到长方形A ′B ′C ′D ′，则阴影部分的面积为 cm 2．（用含a 、b 的代数式表示，结果要求化成最简）14．（4分）若4x ＝a ，8y ＝b ，则22x﹣3y可表示为 ．（用含a 、b 的代数式表示）15．（4分）若{x =3y =2是方程组{ax +by =9bx +cy =2的解，则a 与c 的关系是 ．16．（4分）两个边长分别为a 和b 的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S 1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b 的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S 2．若a +b ＝8，ab ＝10，则S 1+S 2＝ ；当S 1+S 2＝40时，则图3中阴影部分的面积S 3＝ ．三、解答题(共66分) 17．（6分）因式分解： （1）a 2﹣2ab +b 2； （2）8﹣2x 2．18．（8分）解下列方程组或方程． （1）{3x +4y =21x −4y =7；（2）x x−1−3=2x−1．19．（8分）某校组织全校2000名学生进行了时事知识竞赛．为了解成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整）．分组50.5≤x＜60.560.5≤x＜70.570.5≤x＜80.580.5≤x＜90.590.5≤x＜100.5合计频数2048a104148400根据所给信息，回答下列问题：（1）频数分布表中，a＝；（2）补全频数分布直方图；（3）学校将对分数x在90.5≤x＜100.5范围内的学生进行奖励，请你估算出全校获奖学生的人数．20．（10分）（1）化简：（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2；（2）先化简2a−1+a2−4a+4a2−1÷a−2a+1，再从1，﹣1，﹣2，2四个数字中选取一个合适的数作为a代入求值．21．（10分）（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问：（1）马牛各价几何？（2）马一十三匹、牛十头，共价几何？22．（12分）如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在A′B′的位置．（1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）；（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在C′D′的位置；①若EF∥C′G，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）；②若B′F⊥C′G，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数．23．（12分）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌的T恤衫，进价为15万元，数量是3月份的1.2倍，但每件涨了5元．（1）求3月份购进的T恤衫的单价是多少？4月份购进了多少件T恤衫？（2）这两批T恤衫开始都以每件180元出售，结果4月份后期出现滞销，还有一半的T 恤衫没有售出，于是5月份商店便以定价的n折开始销售（1≤n≤9的正整数），结果第二批T恤衫的共盈利800m元（m为正整数），求相应n、m值．2020-2021学年浙江省杭州市余杭区、临平区等七县区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题3分,共30分)1．（3分）如图，∠B 的同位角是（ ）A ．∠1B ．∠2C ．∠3D ．∠4【解答】解：∠B 与∠3是DE 、BC 被AB 所截而成的同位角， 故选：C ．2．（3分）3﹣2＝（ ）A ．19B ．−19C ．﹣6D ．16【解答】解：3﹣2=132=19． 故选：A ．3．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 3+a 3＝2a 6B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．a 6÷a 2＝a 3D ．a 5•a 3＝a 8【解答】解：A 、a 3+a 3＝2a 3，故原题计算错误； B 、（﹣a 2）3＝﹣a 6，故原题计算错误； C 、a 6÷a 2＝a 4，故原题计算错误； D 、a 5•a 3＝a 8，故原题计算正确； 故选：D ．4．（3分）为了调查某校学生的身高情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ） A ．此次调查属于全面调查 B ．样本容量是80 C ．1000名学生是总体D．被抽取的每一名学生称为个体【解答】解：A．此次调查属于抽样调查，故本选项不合题意；B、样本容量是80，正确，故本选项符合题意；C、1000名学生的身高情况是总体，故本选项不合题意；D、被抽取的每一名学生的身高情况称为个体．故本选项不合题意．故选：B．5．（3分）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A．6x2y3＝2x2•3y3B．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．6．（3分）若x≠y，则下列分式化简中，正确的是（）A．x+2y+2=xyB．x−2y−2=xyC．3x3y=xyD．x2y2=xy【解答】解：A、x+2y+2≠xy，故A不符合题意．B、x−2y−2≠xy，故B不符合题意．C、3x3y =xy，故C符合题意．D、x2y2≠xy，故不符合题意．故选：C．7．（3分）如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（）A．a2+5a+15B．（a+5）（a+3）﹣3aC ．a （a +5）+15D ．a （a +3）+a 2【解答】解：A ．是三个图形面积的和，正确，不符合题意；B ．是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意；C ．是上面大长方形的面积加上下面小长方形的面积，正确，不符合题意；D ．不是楼房的面积，错误，符合题意． 故选：D ． 8．（3分）已知分式5x+n x−m（m ，n 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）x 的取值 ﹣2 2 p q 分式的值 无意义 2 01A ．m ＝﹣2B ．n ＝﹣2C ．p =25D ．q ＝﹣1【解答】解：当x ＝﹣2时，分式无意义， ∴x ﹣m ＝0，∴m ＝﹣2，故A 不符合题意． 当x ＝2时， ∴10+n 2−(−2)=2，∴n ＝﹣2，故B 不符合题意． 当x ＝p 时， ∴5p−2p+2=0，∴p =25，故C 不符合题意． 当5x−2x+2=1时，∴x ＝1，即q ＝1，故D 符合题意． 故选：D ．9．（3分）如图，下列条件中能判断AD ∥BC 的是（ ）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB +∠2+∠3＝180°．A ．①③④B ．①②④C ．①③D ．①②③④【解答】解：①∵∠1＝∠2， ∴AD ∥BC ； ②∵∠3＝∠4， ∴AB ∥CD ；③∵∠2+∠5＝∠6，∠1+∠5＝∠6， ∴∠1＝∠2， ∴AD ∥BC ；④∵∠DAB +∠2+∠3＝180°， ∴∠DAB +∠ABC ＝180°， ∴AD ∥BC ；可以判断AD ∥BC 的有①③④． 故选：A ．10．（3分）某超市以同样的价格卖出同样的牙刷和牙膏，以下是4天的记录：第1天，卖出13支牙刷和7盒牙膏，收入144元；第2天，卖出18支牙刷和11盒牙膏，收入219元；第3天，卖出23支牙刷和20盒牙膏，收入368元；第4天，卖出17支牙刷和11盒牙膏，收入216元，聪明的小方发现这四天中有一天的记录有误，其中记录有误的是（ ） A ．第1天B ．第2天C ．第3天D ．第4天【解答】解：设牙刷的单价为x 元，牙膏的单价为y 元， 当第1天、第2天的记录无误时，依题意得： {13x +7y =14418x +11y =219，解得：{x =3y =15，∴23x +20y ＝23×3+20×15＝369（元），17x +11y ＝17×3+11×15＝216（元）． 又∵369≠368， ∴第3天的记录有误．故选：C ．二、填空题(每题4分,共24分) 11．（4分）若使分式x x−2有意义，则x 的取值范围是 x ≠2 ．【解答】解：当分母x ﹣2≠0，即x ≠2时，分式xx−2有意义，故答案为：x ≠2．12．（4分）一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、5组的频数分别为12、9、7、8，则第4组的频率为 0.1 ．【解答】解：由题意知第4组的频数为40﹣（12+9+7+8）＝4， ∴第4组的频率为4÷40＝0.1， 故答案为：0.1．13．（4分）如图，将长为acm （a ＞2），宽为bcm （b ＞1）的长方形ABCD 先向右平移2cm ，再向下平移1cm ，得到长方形A ′B ′C ′D ′，则阴影部分的面积为 （4b +2a ﹣4） cm 2．（用含a 、b 的代数式表示，结果要求化成最简）【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为（a ﹣2）cm ，宽为（b ﹣1）cm ， ∴阴影部分的面积＝ab ×2﹣2（a ﹣2）（b ﹣1）＝（4b +2a ﹣4）cm 2， 故答案为：（4b +2a ﹣4）． 14．（4分）若4x ＝a ，8y ＝b ，则22x﹣3y可表示为a b．（用含a 、b 的代数式表示）【解答】解：∵4x ＝22x ＝a ，8y ＝23y ＝b ， ∴22x﹣3y＝22x ÷23y =ab．故答案为：a b．15．（4分）若{x =3y =2是方程组{ax +by =9bx +cy =2的解，则a 与c 的关系是 9a ﹣4c ＝23 ．【解答】解：根据题意知{3a +2b =9①3b +2c =2②，①×3﹣②×2，得：9a ﹣4c ＝23，故答案为：9a﹣4c＝23．16．（4分）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2＝34；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3＝20．【解答】解：由图1可得，S1＝a2﹣b2，由图2可得，S2＝2b2﹣ab，因为a+b＝8，ab＝10，所以S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝82﹣3×10＝64﹣30＝34；由图3可得，S3＝a2+b2−12b（a+b）−12a2=12a2+12b2−12ab=12（a2+b2﹣ab）=12（S1+S2）=12×40＝20；故答案为：34，20．三、解答题(共66分) 17．（6分）因式分解：（1）a2﹣2ab+b2；（2）8﹣2x 2．【解答】解：（1）原式＝（a ﹣b ）2；（2）8﹣2x 2＝2（4﹣x 2）＝2（2﹣x ）（2+x ）．18．（8分）解下列方程组或方程．（1）{3x +4y =21x −4y =7； （2）x x−1−3=2x−1． 【解答】解：（1）{3x +4y =21①x −4y =7②， ①+②得：4x ＝28，解得：x ＝7，把x ＝7代入①得：21+4y ＝21，解得：y ＝0，则方程组的解为{x =7y =0； （2）去分母得：x ﹣3（x ﹣1）＝2，解得：x =12，检验：当x =12时，x ﹣1≠0，∴分式方程的解为x =12．19．（8分）某校组织全校2000名学生进行了时事知识竞赛．为了解成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整）．分组 50.5≤x ＜60.5 60.5≤x ＜70.5 70.5≤x ＜80.5 80.5≤x ＜90.5 90.5≤x ＜100.5 合计 频数 20 48 a 104 148 400 根据所给信息，回答下列问题：（1）频数分布表中，a ＝ 80 ；（2）补全频数分布直方图；（3）学校将对分数x在90.5≤x＜100.5范围内的学生进行奖励，请你估算出全校获奖学生的人数．【解答】解：（1）a＝400﹣148﹣104﹣48﹣20＝80，故答案为：80；（2）补全频数分布直方图如下：（3）2000×148400=740（人），答：全校2000名学生中获奖的大约有740人．20．（10分）（1）化简：（a+2）（a﹣2）﹣（a﹣1）2；（2）先化简2a−1+a2−4a+4a2−1÷a−2a+1，再从1，﹣1，﹣2，2四个数字中选取一个合适的数作为a代入求值．【解答】解：（1）原式＝a2﹣4﹣a2+2a﹣1＝2a﹣5；（2）原式=2a−1+(a−2)2(a−1)(a+1)×a+1a−2=2a−1+a−2a+1=a a−1， 当a ＝1，﹣1，2时，原式无意义，∴a ＝﹣2，当a ＝﹣2时，原式=−2−2−1=23． 21．（10分）（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问：（1）马牛各价几何？（2）马一十三匹、牛十头，共价几何？【解答】解：（1）设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意得：{4x +6y =483x +5y =38， 解得：{x =6y =4， 答：马每匹6两，牛每头4两；（2）由题意得：6×13+4×10＝118（两），答：马一十三匹、牛十头，共价118两．22．（12分）如图①，将一张长方形纸片沿EF 对折，使AB 落在A ′B ′的位置．（1）若∠1的度数为a ，试求∠2的度数（用含a 的代数式表示）；（2）如图②，再将纸片沿GH 对折，使得CD 落在C ′D ′的位置；①若EF ∥C ′G ，∠1的度数为a ，试求∠3的度数（用含a 的代数式表示）；②若B ′F ⊥C ′G ，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数．【解答】解：（1）如图①，由题意可知，A′E∥B′F，∴∠3＝∠1＝α，∵AD∥BC，∴∠3＝∠B′FC＝α，由折叠的性质可知，∠2＝∠BFE，∵∠BFE+∠2+∠B′FC＝180°，∴∠2=12×（180°﹣α）＝90°−12α；（2）①由（1）知，∠BFE＝90°−12α，∵EF∥C′G，∴∠BFE＝∠C′GB＝90°−12α，再由折叠的性质可知，∠3+∠HGC＝180°﹣（90°−12α），∴∠3＝∠HGC＝45°+14α；②由（1）知，∠BFE＝∠EFB′＝90°−12∠1，由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′＝90°，∴180°﹣2×（90°−12∠1）+（180°﹣2∠3）＝90°，即∠1+180°﹣2∠3＝90°，∵∠3＝∠1+20°，∴∠1＝50°．23．（12分）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌的T恤衫，进价为15万元，数量是3月份的1.2倍，但每件涨了5元．（1）求3月份购进的T恤衫的单价是多少？4月份购进了多少件T恤衫？（2）这两批T恤衫开始都以每件180元出售，结果4月份后期出现滞销，还有一半的T 恤衫没有售出，于是5月份商店便以定价的n折开始销售（1≤n≤9的正整数），结果第二批T 恤衫的共盈利800m 元（m 为正整数），求相应n 、m 值．【解答】解：（1）设3月份购进的T 恤衫的单价是x 元，则4月份购进的T 恤衫的单价是（x +5）元，依题意得：150000x+5=1.2×120000x， 解得：x ＝120，经检验，x ＝120是原方程的解，且符合题意，∴150000x+5=150000120+5=1200（件）．答：3月份购进的T 恤衫的单价是120元，4月份购进了1200件T 恤衫．（2）4月份购进的T 恤衫的单价是120+5＝125（元）．依题意得：1200×12×（180﹣125）+1200×12×（180×n 10−125）＝800m ，化简得：27n ＝2m +105．又∵m ，n 均为正整数，且1≤n ≤9，∴{m =15n =5或{m =42n =7或{m =69n =9．。

2020年杭州市余杭区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算−2×32−(−2×32)=()A. 0B. −54C. −72D. −182.地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为()A. 0.64×107B. 6.4×106C. 64×105D. 640×1043.下列计算正确的是()A. √12=2√3B. √32=√32C. √−x3=x√−xD. √x2=x4.如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为()A. 9sin31∘米B. 9cos31∘米C. 9tan31∘米D. 9米5.某车队运送一批货物，每辆汽车装4t，还剩下8t未装；每辆汽车装4.5t，就恰好装完．该车队运送这批货物的汽车共有多少辆？设该车队运送这批货物的汽车共有x辆，可列方程为()A. 4x+8=4.5xB. 4x−8=4.5xC. 4x=4.5x+8D. 4(x+8)=4.5x6.下表是某公司员工月收入的资料：月收入/元45000180001000055005000340033001000人数111361111能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是()A. 平均数和众数B. 平均数和中位数C. 中位数和众数D. 平均数和方差7.如图，已知直线a//b//c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC=8，CE=12，BD=6，则BF的值是()A. 14B. 15C. 16D. 178.如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG=64°，则∠EGD的大小是()A. 132°B. 128°C. 122°D. 112°9.如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交正方形的对角线AC于点E，连接BE，EF，则∠EBF的度数是()A. 45°B. 50°C. 60°D. 不确定10.若点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在二次函数y=ax2+4ax+3(a>0)的图象上，且y1<y2则m的取值范围是()A. m<−32B. m<−52C. m>−32D. m>−52二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.因式分解：x2−9=．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若CD=3，则AB=____．13.抛掷一质地均匀的硬币两次，出现2次都是正面朝上的概率是___________ ．14. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，弦BC//OA.若⊙O 的半径为3，∠A =50°，则BC⏜的长为______．15. 写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1,1)；②在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为_________．16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、点E 分别为AB ，AC 上的点，BE 与CD相交于点F ，BF =4EF =4，CE =AD.则S △AEB = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17. 化简：(1)(2a −1)2−a(a −4)； (2)(2x +1x +1+x −1)÷x +24x +418. 某学校为了解本校八年级学生生物考试测试情况，随机抽取了本校八年级部分学生的生物测试成绩为样本，按A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图表．请你结合图表中所给信息解答下列问题：等级人数A(优秀)40B(良好)80C(合格)70D(不合格)(1)请将上面表格中缺少的数据补充完整；(2)扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是______；(3)该校八年级共有1200名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上(含合格)的人数．19.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数．20.如图是一蓄水池的排水速度v(m3/ℎ)与排完满池水所用的时间t(ℎ)之间的函数关系的图象．(1)试确定v与t之间的函数表达式；(2)若每小时的排水量是12m3，求水池中的满池水需要多少小时排完．21.如图，AB是⊙O的直径，CD、AE是⊙O的弦，CD⊥AB于点F，AE=CD，弦AE分别交CD、BC于G、H．(1)求证：点C为劣弧AE的中点；(2)猜想CG和AH的数量关系，说明理由；(3)若CG·DG=32，CF=6，求AF的长．22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过(1,0)，且与y轴交于点C．(1)直接写出点C的坐标______；(2)求a，b的数量关系；(3)点D(t,3)是抛物线y=ax2+bx+3上一点(点D不与点C重合)．①当t=3时，求抛物线的表达式；②当3<CD<4时，求a的取值范围．23.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°.点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．(1)点E可以是AD的中点吗？为什么？(2)求证：△ABG∽△BFE；(3)设AD=a，AB=b，BC=c①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．【答案与解析】1.答案：A解析：本题主要考查了有理数混合运算，根据有理数混合运算法则进行计算即可．解：原式=−2×8−(−2×8)=−16+16=0．故选A．2.答案：B解析：解：6400000=6.4×106．故选：B．科学记数法的形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数．此题考查用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤|a|<10，n为比原数的整数位数小1的正整数．3.答案：A解析：此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．解：A、√12=2√3，正确；B、√32=√62，故此选项错误；C、√−x3=−x√−x，故此选项错误；D、√x2=|x|，故此选项错误．故选A．4.答案：A解析：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．在Rt△ABC中，根据三角函数关系，AC=AB⋅sin∠ABC，代入数据即可得出AC的长度．解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，sin31°=ACAB =AC9，AC=9sin31°米，即扶梯高AC的长为9sin31°米，故选A．5.答案：A解析：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．解：设这个车队有x辆车，由题意得，4x+8=4.5x.故选A.6.答案：C解析：此题考查了统计量的选择，涉及到众数、中位数、平均数、方差的概念，解题关键是掌握众数和中位数的定义；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数，众数即出现次数最多的数据．求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可．解：该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人的工资高于此数据，所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平；因为公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，所以该公司员工月收入的中位数为3400元；由于在25名员工中在此数据及以上的有13人，所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平；由于这组数据中含有极端数据，所以不适宜用平均数来描述工资的一般水平；因此能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数．故选C．7.答案：B解析：本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．解：∵a//b//c，AC=8，CE=12，BD=6，∴ACAE =BDBF，即820=6BF，解得BF=15．故选：B．8.答案：C解析：解：∵AB//CD，∠EFG=64°，∴∠BEF=180°−∠EFG=116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG=12∠BEF=58°，∵AB//CD，∴∠EGD=180°−∠BEG=122°．故选：C．根据平行线的性质得到∠BEF=180°−∠EFG=116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=12∠BEF= 58°，由平行线的性质即可得到结论．此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．9.答案：A解析：本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．过E作HI//BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．解：如图所示，过E作HI//BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，∵E是BF的垂直平分线EM上的点，∴EF=EB，∵E是∠BCD角平分线上一点，∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，Rt△BHE和Rt△EIF中，{EF=BEBH=EI，∴Rt△BHE≌Rt△EIF(HL)，∴∠HBE=∠IEF，∵∠HBE+∠HEB=90°，∴∠IEF+∠HEB=90°，∴∠BEF=90°，∵BE=EF，∴∠EBF=∠EFB=45°．故选A．10.答案：C解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质，当点A(m−1,y1)和B(m,y2)在直线x=−2的右侧时m−1≥−2；当点A(m−1,y1)和B(m,y2)在直线x=−2的两侧时−2−(m−1)<m−(−2)，然后分别解两个不等式即可得到m的取值范围．=−2，解：抛物线的对称轴为直线x=−4a2a∵m−1<m，y1<y2，∴当点A(m−1,y1)和B(m,y2)在直线x=−2的右侧，则m−1≥−2，解得m≥−1；；当点A(m−1,y1)和B(m,y2)在直线x=−2的两侧，则−2−(m−1)<m−(−2)，解得m>−32．综上所述，m>−32故选：C．11.答案：(x+3)(x−3)解析：本题主要考查公式法分解因式.用平方差公式法分解因式．解：x2−9=(x+3)(x−3)．故答案为(x+3)(x−3)．12.答案：6解析：本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD．解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，CD=3，∴AB=2CD=2×3=6，故答案为6．13.答案：14 解析：本题主要考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可． 解：画树状图，共4种情况，2次正面都朝上的情况数有1种，所以概率是14．故答案为14． 14.答案：53π解析：解：连接OB ，OC ，∵AB 为圆O 的切线，∴∠ABO =90°，在Rt △ABO 中，∠A =50°，⊙O 的半径为3，∴OB =3，∠AOB =40°，∵BC//OA ，∴∠OBC =∠AOB =40°，又OB =OC ，∴∠BOC =100°，则BC ⏜=100⋅π×3180=53π， 故答案为：53π.连接OB ，OC ，由AB 为圆的切线，利用切线的性质得到△AOB 为直角三角形，且∠AOB =40°，再由BC 与OA 平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC =40°，又OB =OC ，得到△BOC 为等边三角形，确定出∠BOC =100°，利用弧长公式即可求出劣弧BC 的长．此题考查了切线的性质，直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．15.答案：y=1x解析：本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键.根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答．解：该题答案不唯一，可以为y=1x等．故答案为y=1x．16.答案：5√3解析：解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠BCE=60°，AC=CB，在△ACD和△CBE中，{AC=CB∠A=∠BCE AD=CE，∴△ACD≌△CBE(SAS)，∴∠ACD=∠CBE．又∵∠CEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴EFEC =ECEB，∵BF=4EF=4，∴EC=√5．过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，如图所示．在Rt△AEM中，CE=√5，∠ECM=60°，∴CM=12CE=√52，EM=√32CE=√152．在Rt△BME中，BE=5，EM=√152，∴BM =√BE 2−EM 2=√852． ∴BC =AB =AC =√5+√852，AE =AC −CE =√85−√52， ∴S △AEB =12AB ⋅EN =12×√5+√852×√32×√85−√52=5√3．故答案为：5√3． 根据等边三角形的性质结合CE =AD ，即可得出△ACD≌△CBE(SAS)，进而得出∠ACD =∠CBE ，结合∠CEF =∠BEC ，可得出△AEF∽△BEC ，根据相似三角形的性质结合BF =4EF =4，即可求出CE 的长度，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，EN ⊥AB 于点N ，通过解直角三角形可求出BC 的长度，再根据三角形的面积公式即可求出S △AEB 的值，此题得解．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，利用相似三角形的性质结合解直角三角形，求出AB 和AE 的长度是解题的关键． 17.答案：解：(1)原式=4a 2−4a +1−a 2+4a=3a 2+1；(2)原式=x 2+2x x+1÷x+24(x+1)=x(x +2)x +1⋅4(x +1)x +2 =4x ；解析：(1)根据整式的运算法则即可求出答案．(2)根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．18.答案：解：(1)10；(2)72°；(3)根据题意得：1200×(1−5%)=1140(人)．答：测试成绩合格以上(含合格)的人数有1140人．解析：(1)由B 级的人数和对应的百分比可求出总人数，再乘以D 所占的百分比，即可求出D 对应的人数；(2)求出扇形统计图中“A ”部分所占的百分比，再乘以360即可求出所对应的圆心角的度数；(3)由样本估计总体的方法，求出样本中测试成绩合格以上(含合格)的百分比，再乘以总人数即可解答．本题考查的是扇形统计图的综合运用；读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：(1)D(不合格)的人数有：80÷40%×5%=10(人)；(2)扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是：360°×(1−35%−5%−40%)=72°；故答案为：72°；(3)见答案．19.答案：解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，又∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=72°，∴∠DBC=36°，∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=72°−36°=36°．解析：在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=72°，在△BCD中可求得∠DBC=36°，可求出∠ABD．本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．20.答案：解：(1)∵点(8,6)在此函数图象上，设v=k．t∴6=k，8∴k=48，(t>0)；∴此函数的解析式v=48t(2)∵v≤12，=12，∴48t∴t=4，答：水池中的满池水需要4小时排完．解析：主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．(1)此题根据点(8,6)在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式；(2)由v=12，列出方程，求出方程解即可．21.答案：(1)证明：∵DC⊥AB，∵A是劣弧CD的中点，∴AD⏜=AC⏜，∵AE=CD，∴CD⏜=AE⏜，C是劣弧AE的中点；(2)证明：∵C是劣弧AE的中点，∴∠B=∠1，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，∴AG=CG；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACH=90°，∠1+∠CHG=90°，∠2+∠GCH=90°，∴∠CHG=∠GCH，∴CG=GH，∴CG =12AH ；(3)解：由垂径定理得：CD =2CF =12，∴DG =CD −CG =12−CG ，∵CG ×DG =32，∴CG(12−CG)=32，解得CG =4，CG =8>6(舍去)，∴AG =CG =4，GF =CF −CG =2，∴AF =√AG 2−GF 2=2√3．解析：本题主要考查了垂径定理、圆的有关性质、勾股定理等知识，有一定难度．(1)根据垂径定理可知弧AD =弧AC ，又根据弦相等所对的弧相等可得弧CD =弧AE ，即可得到结论；(2)根据等弧所对的圆周角相等可得∠B =∠1，而CD ⊥AB ，则∠CFB =90°，根据等角的余角相等得到∠B =∠2，所以∠1=∠2，于是得到AG =CG ； 根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB =90°，根据等角的余角相等得到∠CHG =∠GCH ，于是得到CG =GH =12AH ；(3)由垂径定理得CD =2CF =12，结合图形可知DG =CD −CG =12−CG ，再根据所给条件列出关于CG 的方程，求出CG 的值，再求出GF 值，进一步利用勾股定理求出结果． 22.答案：(1)(0,3)；(2)把(1,0)代入抛物线y =ax 2+bx +3中，得：a +b +3=0；(3)①把(3,3)和(1,0)代入抛物线y =ax 2+bx +3中，得{a +b +3=09a+3b+3=3，解得：{a =32b =−92，∴抛物线的表达式为：y=32x2−92x+3；②∵抛物线经过C(0,3)和D(t,3)两点，∴对称轴是：x=12CD，CD//x轴，∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过(1,0)，∴a>0，∵3<CD<4，∴32<−b2a<2，由(2)知：b=−a−3，∴32<a+32a<2，∴1<a<32．解析：解：(1)由题意得：点C的坐标(0,3)；故答案为：(0,3)；(2)见答案；(3)见答案．(1)直接根据x=0，可得点C的坐标；(2)把(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+3中可得a，b的数量关系；(3)①把(3,3)和(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+3中，列方程组可得结论；②抛物线经过C(0,3)和D(t,3)两点，得CD//x轴，由抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过(1,0)，可知a>0，根据已知不等式和对称轴公式列不等式可得结论．本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键．23.答案：解：(1)不可以．据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE<ED，∴AE<ED，故，点E不可以是AD的中点；(2)方法一：证明：∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBF，∵△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG，∴∠EBF=∠BEF，∴FE=FB，∴△FEB为等腰三角形．∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB，在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=(180°−∠ABG)÷2，∠FBE=(180°−∠EFB)÷2，∴∠BAG=∠FBE，∴△ABG∽△BFE，方法二：∠ABG=∠EFB(见方法一)，证得两边对应成比例：ABBF =GBEF，由此可得出结论．(3)①方法一：∵四边形EFCD为平行四边形，∴EF//DC，证明两个角相等，得△ABD∽△DCB，∴ADDB =DBCB，即22=√a2+b2c，∴a2+b2=ac；方法二：如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形EFCD为平行四边形∴EF//DC，∴∠C=∠EFB，∵△ABG∽△BFE，∴∠EFB=∠GBA，∴∠C=∠ABG，∵∠DAB=∠DHC=90°，∴△ABD∽△HCD，∴ADDH =ABHC，∴ab =bc−a，∴a2+b2=ac；方法三：证明△ABD∽△GFB，则有BFDB =BGAD，∴BF√a2+b2=ba，则有BF=b√a2+b2a，∵四边形EFCD为平行四边形，∴FC=ED=c−b√a2+b2a，∵ED//BC，∴△EDG∽△FBG，∴EDBF =DGBG，∴c−b√a2+b2ab√a2+b2a =√a2+b2−bb，∴a2+b2=ac；②方法一：解关于a的一元二次方程a2−ac+22=0，得：a1=c+√c2−162>0，a2=c−√c2−162>0…9分由题意，△=0，即c2−16=0，∵c>0，∴c=4，∴a=2，∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；方法二：设关于a的一元二次方程a2−ac+22=0两根为a1，a2，a1+a2=c>0，a1⋅a2=4>0，∴a1>0，a2>0，由题意，△=0，即c2−16=0，∵c>0，∴c=4，∴a=2，∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．解析：(1)根据折叠的性质可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE>EG，从而判断点E不可能是AD的中点；(2)方法一：根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；方法二：与方法一相同求出∠ABG=∠EFB后，根据等腰三角形的两腰相等，然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似；(3)①方法一：根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；方法二：过点D作DH⊥BC于点H，然后求出∠C=∠ABD，再根据直角相等，判断出△ABD和△HCD 相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；方法三：先求出△ABD和△GFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BF的长度，再求出△EDG和△FBG相似，根据平行四边形的对边相等表示出ED，再表示出DG，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；②方法一：把b=2代入a、b、c的关系式，利用求根公式求出a的两个根，再根据a是唯一的，可以判定△=c2−16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°；方法二：把b=2代入a、b、c的关系式，利用根与系数的关系判断出关于a的方程的解是正数，再根据a是唯一的，可以判定△=c2−16=0，然后求出c=4，再代入根与系数的关系求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°．本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．。