重庆科创职业学院教案第2章第4节 微分

重庆科创职业学院授课方案（教案）课名：高等数学（上）教师：杨勇班级：编写时间：图2-1设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数：2x A =。

薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x 自0x 取得增量x ∆时，函数A 相应的增量A ∆，即()()2020202x x x x x x A ∆+∆=-∆+=∆。

从上式可以看出，A ∆分成两部分，第一部分A x ∆02是A ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分()2x ∆在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0→∆x 时，第二部分()2x ∆是比x ∆高阶的无穷小，即()()x x ∆=∆02。

由此可见，如果边长改变很微小，即x ∆很小时，面积的改变量A ∆可近似地用第一部分来代替。

一般地，如果函数()x f y =满足一定条件，则函数的增量y ∆可表示为()x x A y ∆+∆=∆0，其中A 是不依赖于x ∆的常数，因此x A ∆是x ∆的线性函数，且它与y ∆之差 是比x ∆高阶的无穷小。

所以，当0≠A ，且x ∆很小时，我们就可近似地用x A ∆来代替y ∆。

定义 设函数y =f (x )在某区间内有定义, x 0及x 0+x 在这区间内, 如果函数的增量y =f (x 0+x )-f (x 0) 可表示为y =A x +o x ),其中A 是不依赖于x 的常数, 那么称函数y =f (x )在点x 0是可微的, 而A x 叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量x 的微分, 记作dy , 即 dy =A x .函数可微的条件: 函数f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导, 且当函数f (x )在点x 0可微时, 其微分一定是 dy =f '(x 0x .证明: 设函数f (x )在点x 0可微, 则按定义有 y =A x +o x ), 上式两边除以x , 得xx o A x y ∆∆+=∆∆)(. 于是, 当x →0时, 由上式就得到)(lim00x f xyA x '=∆∆=→∆.因此, 如果函数f (x )在点x 0可微, 则f (x )在点x 0也一定可导, 且A =f '(x 0). 反之, 如果f (x )在点x 0可导, 即 )(lim00x f xyx '=∆∆→∆存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成α+'=∆∆)(0x f xy, 其中→0(当x →0), 且A f (x 0)是常数, x =o x ). 由此又有y =f '(x 0x +x .因且f '(x 0)不依赖于x , 故上式相当于 y =A x +o x ), 所以f (x )在点x 0 也是可导的. 简要证明 一方面 Ax f x y xx o A x y x o x A y x ='=∆∆⇒∆∆+=∆∆⇒∆+∆=∆→∆)(lim )()(00别一方面 xx x f y x f xyx f x y x ∆+∆'=∆⇒+'=∆∆⇒'=∆∆→∆αα)()()(lim0000以微分dy 近似代替函数增量 y 的合理性: 当f '(x 0)≠0时, 有 1lim )(1)(lim lim 00000=∆'=∆'∆=∆→∆→∆→∆dxy x f x x f y dy y x x x .y =dy +o (d y ).结论: 在f '(x 0)≠0的条件下, 以微分dy =f '(x 0x 近似代替增量y =f (x 0+x )-f (x 0)时, 其误差为o (dy ). 因此, 在|∆x |很小时, 有近似等式 y ≈dy .函数y =f (x )在任意点x 的微分, 称为函数的微分, 记作dy 或 d f (x ), 即 dy =f '(x x ,例如 d cos x =(cos x )'x =-sin x x ; de x =(e x )'x =e xx .例1 求函数y =x 2在x =1和x =3处的微分.解 函数y =x 2在x =1处的微分为dy =(x 2)'|x =1x =x ;函数y =x 2在x =3处的微分为dy =(x 2)'|x =3x =x .例2．求函数 y =x 3当x =2, x =0. 02时的微分. 解: 先求函数在任意点x 的微分dy =(x 3)'x =3x 2x .再求函数当x =2, x =0. 02时的微分dy |x x x 2| x x ⨯22⨯.自变量的微分: 因为当y x 时, dy dx x )'x x , 所以通常把自变量x 的增量x 称为自变量的微分, 记作dx , 即dx =x . 于是函数y =f (x )的微分又可记作 dy =f '(x )dx . 从而有)(x f dxdy'=. 这就是说, 函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”. 二、微分的几何意义当y 是曲线y =f (x )上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当x |很小时, y -dy |比x |小得多. 因此在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式 dy =f '(x )dx可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分运算法则. 1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式: (x )'= -1 d (x )= -1d x (sin x )'=cos x d (sin x )=cos x d x (cos x )'=-sin x d (cos x )=-sin x d x(tan x )'=sec 2 x d (tan x )=sec 2x d x(cot x )'=-csc 2x d (cot x )=-csc 2x d x (sec x )'=sec x tan x d (sec x )=sec x tan x d x(csc x )'=-csc x cot x d (csc x )=-csc x cot x d x (a x )'=a x ln a d (a x )=a xln a d x (e x )=e x d (e x )=e xd xa x x a ln 1)(log =' dx a x x d a ln 1)(log =x x 1)(ln =' dx xx d 1)(ln =211)(arcsin x x -=' dx x x d 211)(arcsin -= 211)(arccos x x --=' dx x x d 211)(arccos --=211)(arctan xx +=' dx x x d 211)(arctan +=211)cot arc (x x +-=' dx x x d 211)cot arc (+-=2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则: (u ±v )'=u '± v ' d (u ±v )=du ±dv (Cu )'=Cu ' d (Cu )=Cdu(u ⋅v )'= u 'v +uv ' d (u ⋅v )=vdu +udv)0()(2≠'-'='v v v u v u v u)0()(2≠-=v dx v udv vdu v u d 证明乘积的微分法则:根据函数微分的表达式, 有 d (uv )=(uv )'dx .再根据乘积的求导法则, 有 (uv )'=u 'v +uv '.于是 d (uv )=(u 'v +uv ')dx =u 'vdx +uv 'dx . 由于u 'dx =du , v 'dx =dv , 所以d (uv )=vdu +udv . 3. 复合函数的微分法则设y =f (u )及u =(x )都可导, 则复合函数y =f [(x )]的微分为 dy =y 'x dx =f '(u )'(x )dx .于由'(x )dx =du , 所以, 复合函数y =f [(x )]的微分公式也可以写成 dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du .由此可见, 无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式dy =f '(u )du 保持不变. 这一性质称为微分形式不变性. 这性质表示当变换自变量时, 微分形式dy =f '(u )du 并不改变. ,例3．y =sin(2x +1), 求dy .解: 把2x +1看成中间变量u , 则dy =d (sin u )=cos udu =cos(2x +1)d (2x +1) x +1)⋅2dx =2cos(2x +1)dx . 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4.)1ln(2x e y +=, 求dy . 解:)1(11)1ln(222x xx e d e e d dy ++=+=xdx eex d e ex x x x 211)(1122222⋅⋅+=⋅+=dx exe x x 2212+=.例5．y =e 1-3xcos x , 求dy . 解: 应用积的微分法则, 得dy =d (e 1-3x cos x )=cos xd (e 1-3x )+e 1-3x d (cos x )=(cos x )e 1-3x (-3dx )+e 1-3x(-sin xdx )=-e 1-3x(3cos x +sin x )dx .例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) d ( )=xdx ;(2) d ( )=cos t dt .解: (1)因为d (x 2)=2xdx , 所以)21()(2122x d x d xdx ==, 即xdx x d =)21(2.一般地, 有xdx C x d =+)21(2(C 为任意常数).(2)因为d (sin t )= cos, 所以) sin 1() (sin 1 cos t d t d tdt ωωωωω==.因此 tdt C t d cos ) sin 1(ωωω=+(C 为任意常数).四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中, 经常会遇到一些复杂的计算公式. 如果直接用这些公式进行计算, 那是很费力的. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.如果函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x )≠0, 且x |很小时, 我们有y ≈dy =f '(x 0x ,y =f (x 0+x )-f (x 0)≈dy =f '(x 0x , f (x 0+x )≈f (x 0)+f '(x 0x .若令x =x 0+x , 即x =x -x 0, 那么又有f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).特别当x 0=0时, 有 f (x )≈ f (0)+f '(0)x . 这些都是近似计算公式.例1．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)? 解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , R =0. 01cm .镀层的体积为V =V (R 0+R )-V (R 0)≈V '(R 0R =42R =4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3).于是镀每只球需用的铜约为⨯8. 9 =1. 16(g ).例2．利用微分计算sin 30︒30'的近似值. 解: 已知30︒30'3606 ππ+=, 6 0π=x , 360π=∆x .sin 30︒30'=sin(x 0+x )≈sin x 0+x cos x 0 3606 cos 6 sin πππ⋅+= 5076.03602321=⋅+=π. 即 sin 30︒30'≈0. 5076.常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）:(1)x nx n 111+≈+;(2)sin x ≈x ( x 用弧度作单位来表达); (3)tan x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(4)e x≈1+x ; (5)ln(1+x )≈x .证明 (1)取n x x f +=1)(, 那么f (0)=1, nx nf x n1)1(1)0(011=+='=-, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得x nx n 111+≈+.证明(2)取f (x )=sin x , 那么f (0)=0, f '(0)=cos x |x =0=1, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得 sin x ≈x .例3．计算05.1的近似值. 解: 已知 x nx n 111+≈+, 故025.105.021105.0105.1=⨯+≈+=.直接开方的结果是02470.105.1=. 2．误差估计在生产实践中, 经常要测量各种数据. 但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据. 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响, 测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差, 我们把它叫做间接测量误差.下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差.绝对误差与相对误差: 如果某个量的精确值为A , 它的近似值为a , 那么|A -a |叫做a 的绝对误差, 而绝对误差|A -a |与|a |的比值||||a a A -叫做a 的相对误差.在实际工作中, 某个量的精确值往往是无法知道的, 于是绝对误差和相对误差也就无法求得. 但是根据测量仪器的精度等因素, 有时能够确定误差在某一个范围内. 如果某个量的精确值是A , 测得它的近似值是a , 又知道它的误差不超过 A :|A -a |≤ A , 则 A 叫做测量A 的绝对误差限,||a A δ叫做测量A 的相对误差限(简称绝对误差).例4．设测得圆钢截面的直径D =60. 03mm , 测量D 的 绝对误差限D δ=0.05. 利用公式24D A π=计算圆钢的截面积时, 试估计面积的误差. 解: D D D A dA A ∆⋅=∆⋅'=≈∆2 π,A |≈|dA |D D D D δππ⋅≤∆⋅=2||2.已知D,D=0. 05, 所以715.405.003.6022=⨯⨯=⋅=πδπδD A D (mm 2);%17.003.6005.022422≈⨯=⋅=⋅=D D D ADD Aδπδπδ. 若已知A 由函数y =f (x )确定: A =y , 测量x 的绝对误差是x , 那么测量y 的y =?由y ≈dy =y 'x , 有y |≈|dy |=|y '|⋅x |≤|y '|⋅ x ,所以测量y 的绝对误差y =|y '|⋅ x , 测量y 的相对误差为x y y y y δδ⋅'=||.小结：本节讲述了微分的定义，练习了微分的运算和利用微分作近似计算希望大家熟记微分公式，为以后学习积分大好基础.思考: 利用微分形式的不变性;求复合函数的微分很好,复合函数的导数用类似方法做岂不更好. 作业：见习题册板 书 设 计一、微分的概念 二、微分公式 三、微分的几何意义。