小升初奥数长方体和正方体的体积

第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。

在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；长方体的体积：V长方体＝abc．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：S正方体=62a，V正方体=3a例1 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为22a平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：190＋22a＝240，可知，2a＝25，故a＝5（厘米）．又因为22a＋4ah＝190，解得19022545h-⨯=⨯=7（厘米）所以，原来长方体的体积为：V＝2a h＝25×7＝175（立方厘米）．例2 如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长。

解：原来正方体的表面积为：6×3a×3a＝6×92a（平方厘米）．六个边长为a的小正方形的面积为：6×a×a＝62a（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3a×a×4＝122a（平方厘米）；三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：a×a×4＝42a（平方厘米）．根据题意：6×92a－62a＋3（122a－42a）＝2592，化简得：542a－62a＋242a＝2592，解得2a＝36（平方厘米），故a＝6厘米．即正方形截口的边长为6厘米．例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。

长方体和正方体体积公式推理一、长方体体积公式推理。

1. 用小正方体摆长方体的方法推导。

- 我们可以用若干个相同的小正方体来摆成长方体。

假设小正方体的棱长为1个单位长度。

- 例如，我们摆一个长为3个单位长度、宽为2个单位长度、高为2个单位长度的长方体。

- 沿着长的方向，一排可以摆3个小正方体；沿着宽的方向，可以摆2排；沿着高的方向，可以摆2层。

- 那么总共小正方体的个数就是3×2×2 = 12个。

- 这个小正方体的个数就代表了长方体的体积。

- 一般地，如果长方体的长为a个单位长度、宽为b个单位长度、高为h个单位长度，那么它所含小正方体的个数（即体积V）就是a× b× h。

所以长方体的体积公式为V = a× b× h（其中a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）。

2. 从长方体的底面积角度推导。

- 长方体的底面是一个长方形，长方形的面积S = a× b（其中a为长，b为宽）。

- 我们可以把长方体看作是由底面一层一层往上堆积而成的，堆积的层数就是高h。

- 那么长方体的体积V就等于底面积S乘以高h，因为S=a× b，所以V = a×b× h。

二、正方体体积公式推理。

1. 基于长方体体积公式推导。

- 正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，设正方体的棱长为a。

- 因为长方体的体积公式V = a× b× h，对于正方体a=b = h。

- 所以正方体的体积V=a× a× a=a^3。

2. 用小正方体摆正方体的方法推导。

- 同样用棱长为1个单位长度的小正方体来摆正方体。

- 例如，摆一个棱长为3个单位长度的正方体。

- 沿着每条棱的方向都可以摆3个小正方体。

- 那么总共小正方体的个数就是3×3×3 = 27个。

- 一般地，对于棱长为a的正方体，它所含小正方体的个数（即体积V）就是a× a× a=a^3。

长方体和正方体统一的体积计算公式一、长方体体积计算公式推导。

1. 长方体的基本元素。

- 长方体有长、宽、高这三个维度。

设长方体的长为a，宽为b，高为h。

2. 体积的意义及计算方法。

- 体积是指物体所占空间的大小。

对于长方体来说，我们可以通过数小正方体的个数来计算它的体积。

- 我们把长方体看作是由若干个单位体积（棱长为1的小正方体）组成的。

沿着长的方向，可以摆放a个小正方体；沿着宽的方向，可以摆放b个小正方体；沿着高的方向，可以摆放h个小正方体。

- 那么长方体所含小正方体的总个数（也就是长方体的体积V）就等于长、宽、高的乘积，即V = a×b×h。

二、正方体体积计算公式推导。

1. 正方体的特点。

- 正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，设正方体的棱长为a。

2. 正方体体积计算。

- 由于正方体的长、宽、高都为a，根据长方体体积公式V=a×b×h，此时b = a，h=a，所以正方体的体积V=a×a×a=a^3。

1. 统一公式的原理。

- 我们可以把长方体和正方体的体积公式统一起来。

对于长方体V = a×b×h，而正方体是特殊的长方体，当a=b = h时，正方体体积V=a^3。

- 如果我们把长方体底面的面积S = a×b（底面积就是长乘宽），那么长方体的体积V=S×h（体积等于底面积乘高）。

- 对于正方体，它的底面积S = a×a=a^2，体积V = S×a=a^2×a=a^3，也符合V = S×h这个公式（这里h=a）。

长方体正方体体积计算公式
长方体和正方体都是我们生活中常见的立体图形。

在日常生活中，很多物体都是长方体或正方体的形状，比如说糖果盒、鞋盒、书本、
电视机等等。

计算长方体和正方体的体积是我们在应用数学中经常碰
到的问题。

首先，我们来了解一下长方体和正方体的定义。

长方体是一种由
六个矩形围成的立体图形，其中相邻的矩形之间有四个直角，也就是说，每个角都是九十度。

正方体是一种由六个正方形围成的立体图形，也是有八个顶点、十二个棱和六个面。

计算长方体的体积的公式是：体积 = 长× 宽× 高，其中长、宽和高分别是长方体的三条边。

例如，一个盒子的长是15cm、宽是
10cm、高是20cm，那么它的体积就是15cm × 10cm × 20cm =
3000cm³。

计算正方体的体积的公式是：体积 = 边长³，其中边长是正方
体的一条边长。

例如，一个立方体的边长是5cm，那么它的体积就是
5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。

需要注意的是，长方体和正方体的计算公式完全不同，因为它们
的形状和大小也完全不同，每个立方体的计算方法都是独立的。

同时，我们也要确保使用正确的单位来计算体积，比如说用 cm³或 m³来
表示体积。

最后，了解长方体和正方体的体积计算公式对我们日常生活中的
应用非常有帮助，帮助我们更好地理解立体图形的性质和特点，提高
我们的数理能力。

长方体、正方体的体积第一部分知识梳理1.体积与容积的意义（1）物体所占空间的大小，叫作物体的体积。

（2）容器所能容纳物体的体积，叫作容器的容积。

2.认识常用的体积单位、容积单位。

（1）常用体积单位：立方厘米、立方分米、立方米，分别用字母cm3,dm3,m3表示。

（2）常用容积单位：毫升和升，分别用字母mL，L表示。

3.容积单位与体积单位之间的换算1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1L=1dm31mL=1cm34.体积、容积单位之间的进率及换算相邻体积、容积单位之间的进率为1000.把高级单位化低级单位乘进率，把低级单位化高级单位除以进率。

5.长方体体积的计算方法长方体的体积=长×宽×高。

字母表示为：V=abh6.正方体的体积的计算方法正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

字母公式为：V=a37.长方体、正方体的体积通用公式长方体（正方体）的体积=底面积×高，字母表示为：V=sh。

8.用排水法测量不规则物体的体积在测量不规则物体的体积时，水面升高的体积（或满杯时溢出的水的体积）相当于石块的体积。

第二部分例题精讲考点1长方体的体积例1.一根长方体木料，长4米，横截面的面积是0.08平方米，这根木料的体积是多少？变式练习1.一根长方体的木料，长6米，它的横截面的面积是1.6平方分米，10根这样的木料体积一共是多少？2.一根长方体钢材长3米，横截面是边长5厘米的正方形，每立方米钢材重7.8千克，这根钢材重多少？考点2 先求棱长再求体积或先求体积再求其它例2.一个底面是正方形的长方体水箱，如果把它的侧面打开得到一个边长是120厘米的正方形，这个水箱的容积是多少升？变式练习1.一个长方体钢材，长2.5米，宽8分米，厚3厘米，如果每立方厘米钢材重0.2千克，这块方钢重多少千克？2.在一个长为20厘米，宽和高都是4厘米长方体上截下一个最大的正方体，剩下部分的体积是多少？考点3 求放进物体的体积例3.一个长方容器，底面长2dm，宽1.5dm，放入一个铁块后水面升高了2cm，这个铁块的体积是多少？变式练习1.一只长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高4dm，水深28cm.如果投入一块棱长4dm的正方体铁块，鱼缸里的水溢出多少？2.一个长方体玻璃容器棱长2分米，向容器中倒入5升水，把一块石头放入容器中，这时显示容器内的水深为15厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？3.一个正方体形状的鱼缸棱长为40厘米，若里面放进38.4升的水，水面离上口有多少厘米？考点4.考虑到容器壁厚的问题例4.一个长方体养鱼缸，从外面量长6分米，宽4分米，深3分米，鱼缸壁厚1分米，这个鱼缸能装水多少升？变式练习1.一列运煤火车，挂有12节车厢，每节车厢从里面量长14米，宽2.5米，煤高1.6米，如果每立方米煤重1.4吨，这列火车共运了多少吨？2.有一块长30厘米，宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形，正好可以做成一个深5厘米的无盖铁盒。

《长方体和正方体表面积及体积》1．（2019春•邓州市期末）一个长方体的集装箱，从里面测量长12m、宽4m、高3m，如果要装一批棱长2m 的正方体货箱，最多能装()个．A．12B．18C．36【解答】解：1226÷=，÷=，422÷≈，32162112⨯⨯=（个)．答：最多能装12个．故选：A．2．（2019•郴州模拟）一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长4分米．制作这个鱼缸时至少需要玻璃( )平方分米．A．80B．64C．96⨯⨯=-（平方分米）【解答】解：44580答：制作这个鱼缸时至少需要玻璃80平方分米．故选：A．3．（2019春•交城县期中）用两个棱长为1分米的小正方体拼成一个长方体，发生了什么变化？() A．体积变大，表面积变小B．体积变小，表面积变大C．体积不变，表面积变大D．体积不变，表面积变小【解答】解：原来2个小正方体的表面积是：⨯⨯⨯=（平方分米）；611212⨯⨯⨯=（立方分米）；体积是：11122新长方体的长是2分米，宽是1分米，高是1分米；⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯表面积是：122122112=++，442=（平方分米）；10⨯⨯=（立方分米）；体积是：2112>平方分米，表面积变小了；12平方分米10=立方分米，体积不变．2立方分米2故选：D．4．（2017秋•江都区期末）一个长方体的盒子，从里面量，长8分米、宽5分米、高4分米．如果把棱长2分米的正方体木块放到这个盒子里，最多能放()个．A．12B．16C．20D．24÷=（个)【解答】解：824⋯（分米）÷=（排)1522÷=（层)422⨯⨯=（个)42216答：最多能放16个．故选：B．5．（2018•萧山区模拟）一长方体的铁皮烟囱，底面是边长为40厘米的正方形，高2米．做这样一个烟囱至少需要铁皮()A．320平方米B．352000平方厘米C．3.2平方米D．3.52平方米=米，【解答】解：40厘米0.4⨯⨯=（平方米），0.442 3.2答：做这样一个烟囱至少需要铁皮3.2平方米．故选：C．6．一个长方体纸箱，从里面量长64cm，宽40cm，高34cm，内装棱长8cm的正方体，可以装()盒．A．140B．160C．170D．200÷=（个)【解答】解：6488÷=（个)4085÷≈（个)3484854⨯⨯=⨯404=（个)160答：最多可以装160盒这样的正方体．故选：B．7．把一个棱长为6cm的正方体框架改做成一个长9cm、宽5cm的长方体框架，这个长方体框架的高是( )cm．A．4B．6C．7D．10⨯=（厘米）【解答】解：12672÷--72495=--1895=（厘米）4答：这个长方体框架的高是4厘米．故选：A．8．（2019春•天河区期末）小强家的书房长5米、宽4米、高3米．要在书房四面的墙壁和房顶都贴上墙纸，除去门窗面积6.5平方米，这个房间至少需要贴墙纸67.5平方米．⨯+⨯⨯+⨯⨯-【解答】解：54532342 6.5=++-203024 6.5=（平方米）67.5答：这个房间至少需要贴墙纸67.5平方米．故答案为：67.5．9．（2019春•高州市期中）一个长体长为6cm，宽为4cm，高为2cm，它的棱长总和是48厘米，六个面最大的面是平方厘米，这个长方体的表面积是平方厘米．++⨯【解答】解：(642)4124=⨯=（厘米）48⨯=（平方厘米）6424⨯+⨯+⨯⨯(646242)2=++⨯(24128)2=⨯442=（平方厘米）88答：它的棱长之和是48厘米，最大的面的面积是24平方厘米，表面积是88平方厘米．故答案为：48，24，88．10．（2019春•镇康县期中）一个长方体通风管横截面的周长是17.5dm，长3m，制作这样一节通风管至少需要用铁皮 5.252m．=米，【解答】解：17.5分米 1.75⨯=（平方米）；1.753 5.25答：制作这一节通风管要用铁皮5.25平方米．故答案为：5.25．11．（2019春•镇康县期中）用铁丝做一个棱长6dm的正方体框架，至少要用铁丝72分米，如果将它改为长8dm，宽5dm的长方体，这个长方体的高是分米．⨯=（分米）【解答】解：61272÷-+724(85)1813=-=（分米）5答：至少需要72分米的铁丝，做成长方体的高为5分米．故答案为：72；5．12．（2018春•建瓯市月考）五（2）班讲台桌的外形类似是一个正方体，它的棱长是10分米，那么它的表面积是5平方米，体积是立方米．=米【解答】解：10分米1⨯⨯=（平方米）1155⨯⨯=（立方米）1111答：它的表面积是5平方米，体积是1立方米．13．（2017秋•海安县期末）一种长3米的长方体通气管的横截面是边长2分米的正方形，制作10根这样的通气管至少需要24平方米．=米【解答】解：2分米0.2⨯⨯3(0.24)=⨯30.8=（平方米）2.4⨯=（平方米）2.41024答：制作10根这样的通气管至少需要24平方米．故答案为：24．14．（2017秋•海安县期末）一根2米长的长方体落水管，横截面是边长为8厘米的正方形，做这个落水管至少需要6400平方厘米的铁皮．=厘米【解答】解：2米20084200⨯⨯=⨯322006400=（平方厘米）；答：做这个落水管至少需要6400平方厘米的铁皮．故答案为：6400．15．（2017•吉水县）用木料做一个长5厘米，宽是4厘米，高是0.3分米的长方体，需要60立方厘米的木料，如果要在长方体木块的表面涂一层油漆，涂油漆的面积是平方厘米．=厘米，【解答】解：0.3分米3⨯⨯=（立方厘米）；54360⨯+⨯+⨯⨯(545343)2=++⨯(201512)2=⨯472=（平方厘米）；94答：需要60立方厘米的木料，涂油漆的面积是94平方厘米．16．一个正方体的玻璃鱼缸，棱长是2dm，制作这个鱼缸至少需要玻璃224dm．⨯（判断对错）．⨯⨯=（立方分米）【解答】解：22520答：制作这个鱼缸至少需要玻璃20立方分米．所以原题说法错误；故答案为：⨯．17．某种饮料采用长方形塑封纸盒包装，从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米（厚度忽略不计）．这种饮品的净含量不可能超过240毫升．√．（判断对错）=立方厘米【解答】解：1毫升1⨯⨯=（立方厘米）6410240=毫升240立方厘米240答：这个饮料盒的体积是240立方厘米．所以“这种饮品的净含量不可能超过240毫升”是正确的．故答案为：√．18．礼堂里有一根用作支撑的长方体柱子，底面是一个边长为0.4米的正方形，柱子高4.5米．油漆这根柱子，求总共油漆面积的算式是0.4 4.54⨯⨯．√．（判断对错）⨯⨯【解答】解：0.4 4.54=⨯1.84=（平方米）．7.2答：油漆面积是7.2平方米．故答案为：√．19．（2018秋•江都区期末）如图的领奖台是4个棱长为50厘米的正方体拼合而成的．（1）如果要把领奖台的表面涂漆，需要涂漆的面积是多少平方米？（底面不涂）（2）这个领奖台的体积是多少立方米？=米【解答】解：（1）50厘米0.5⨯⨯+⨯+⨯0.50.5(34222)=⨯0.2515=（平方米）3.75答：需要涂漆的面积是3.75平方米．⨯⨯⨯（2）0.50.50.54=⨯0.1254=（立方米）0.5答：这个领奖台的体积是0.5立方米．20．（2019春•南充期末）学校要做一个长58厘米、宽42厘米、高39厘米的建议箱，如果在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？【解答】解：(584239)4++⨯=⨯1394=（厘米）556=（米)5.56答：至少需要5.56米长的胶带．21．（2019•芜湖模拟）挖一个长10m、宽8m、深2m的蓄水池．（1）这个蓄水池占地多少平方米？（2）给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？（3）这个蓄水池最多蓄水多少立方米？⨯=（平方米）【解答】解：（1）10880答：这个蓄水池占地80平方米．⨯+⨯+⨯⨯-⨯（2）(10810282)2108=++⨯-(802016)280=⨯-116280=-23280=（平方米）152答：抹水泥面的面积是152平方米．⨯⨯（3）1082=⨯802=（立方米）160答：这个蓄水池最多蓄水160立方米．22．（2019•西安模拟）阿迪力老师买了一个长方体玻璃鱼缸（玻璃的厚度忽略不计），长8分米，宽4分米，高5分米．（1）把鱼缸放在柜子上，需要在柜子上留出多大的面积？（2）做这个鱼缸至少要用多少平方分米的玻璃？（3）这个鱼缸最多能盛水多少升？⨯=（平方分米）【解答】解：（1）8432答：把鱼缸放在柜子上，需要在柜子上留出32平方分米的面积．⨯+⨯⨯+⨯⨯（2）84852452328040=++=（平方分米）152答：做这个鱼缸至少要用152平方分米的玻璃．⨯⨯=（立方分米）（3）845160答：这个鱼缸最多能盛水160立方分米．23．（2019春•镇康县期中）把一段长3.6m、宽6cm、厚3cm的长方体木料，锯成棱长为3cm的小正方体．可以锯成多少个这样的小正方体？=厘米【解答】解：3.6米360⨯⨯÷⨯⨯36063(111)=÷64801=（个)6480答：可以锯成6480个小正方体．24．（2019春•龙岗区校级月考）一个长方体的长是25厘米，宽是16厘米，高是20厘米，制作一个这样的框架，至少要多少厘米长的木条？（接口处不算）++⨯【解答】解：(251620)4=⨯614=（厘米）244答：至少需要244厘米长的木条．25．（2019春•武侯区期中）王老师家挖一个长12米、宽8米、深5米的长方体水池．（1）在水池四周和底部贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？（2）该水池能蓄水多少立方米？⨯+⨯⨯+⨯⨯【解答】解：（1）1281252852=++9612080=（平方米）；296答：贴瓷砖的面积是296平方米．⨯⨯=（立方米）；（2）1285480答：该水池能蓄水480立方米．26．（2019春•榆树市校级期末）新华小学要修建操场，在操场上铺厚1.5cm砂石，操场长100m、宽50m．（1）需要多少立方米的砂石？（2）甲车每次运31.5m砂石，至少需要运多少次？（3）如果甲车运了20次后，改用乙车，乙车每次运32.5m，还要运多少次？=米，【解答】解：（1）1.5厘米0.015⨯⨯100500.015=⨯50000.01575=（立方米）；答：需要75立方米砂石．÷=（次)；（2）75 1.550答：至少需要50次．-⨯÷（3）(50 1.520) 2.5=-÷(5030) 2.520 2.5=÷=（次)；8答：还需要运8次．27．（2019春•通州区期末）用一根长96厘米的铁丝焊一个尽可能大的正方体框架．如果在它的表面糊上一层纸，糊纸的面积是多少平方厘米？【解答】】解：正方体的棱长为：96128÷=（厘米）正方体的表面积为：⨯⨯886=⨯646=（平方厘米）384答：糊纸的面积是384平方厘米．28．（2019春•武侯区期末）（1）用铁皮制作一个棱长4分米的正方体无盖水箱．至少需要铁皮多少平方分米？（2）一个淘气的孩子在这个水箱的侧面扎破了一个洞，洞口下沿距水箱底部2.2分米（如图所示），如果向这个空水箱缓慢的倒入32升水，水是否会由这个洞口漏出？【解答】解：（1）445⨯⨯165=⨯80=（平方分米）答：至少需要铁皮80平方分米．（2）44 2.235.2⨯⨯=（立方分米）35.2立方米35.2=升3235.2<所以水不会由这个洞口漏出答：水不会由这个洞口漏出．29．（2019春•邹城市期末）一辆汽车的油箱从里面量，长6分米，宽5分米，高3分米．如果每升汽油重0.72千克，这个油箱最多能装汽油多少千克？【解答】解：65390⨯⨯=（立方分米）90=（升)0.729064.8⨯=（千克）答：这个油箱最多能装汽油64.8千克．30．（2019春•皇姑区期末）健身中心要建造一个长50m ，宽20m ，深2m 的游泳池．（1）一共要挖土多少3m ？（2）如果在游泳池的四周和底部貼上瓷砖，至少要贴多少2m 瓷砖？【解答】解：（1）502022000⨯⨯=（立方米）答：一共要挖土2000立方米．（2）5020(502202)2⨯+⨯+⨯⨯10001402=+⨯=+1000280=（平方米）1280答：至少要贴是1280平方米瓷砖．31．（2018秋•徐州期末）建筑工地用混凝土浇筑一个长方体的柱子，柱子高3米，地面是边长为0.5米的正方形．浇铸这根柱子至少需要混凝土多少立方米？如果在柱子的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？⨯⨯【解答】解：0.50.53=⨯0.253=（立方米）0.7530.54⨯⨯=⨯1.54=（平方米）6答：浇注这根柱子至少需要混凝土0.75立方米；如果在柱子的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是6平方米．32．（2018春•松桃县期末）学校要粉刷多媒体教室，经测量多媒体教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗面积是12.6平方米．求需要粉刷的面积是多少平方米？⨯+⨯⨯+⨯⨯-【解答】解：9793273212.6=++-63544212.6=-15912.6=（平方米）146.4答：需要粉刷的面积是146.4平方米．33．（2017春•新泰市期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米．（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（1）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计）．⨯+⨯+⨯⨯【解答】解：（1）45(3453)220(1215)2=++⨯=+205474=（平方分米）答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米．=立方分米，（2）40升40÷⨯40(45)=÷4020=（分米）2答：水深2分米．34．（2017秋•东海县期中）有一个花坛，高0.5米，底面是边长1.3米的正方形．四周用砖砌成，厚度是0.3米，中间填满泥土．（1）花坛所占的空间有多大？（2）花坛里大约有多少立方米泥土？⨯⨯=（立方米）【解答】解：（1）1.3 1.30.50.845答：花坛所占的空间是0.845立方米．-⨯⨯-⨯⨯（2）(1.30.32)(1.30.32)0.5=⨯⨯0.70.70.5=（立方米）0.245答：花坛里大约有0.245立方米的泥土．35．（2019春•郸城县期末）一只长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高4dm，水深3dm，如果投入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯【解答】解：444863864=+-64144192=（立方分米）16=（升)16答：缸里的水溢出16升．36．（2019•天津模拟）一个长方体容器装一些水，底面长3分米，宽2分米，高1.5分米，将一块土豆放入水中后，水面升高了0.2分米，这个土豆的体积是多少立方分米？【解答】解：由题意得：土豆的体积等于上升的水的体积为：⨯⨯=（立方分米）．320.2 1.2答：这个土豆的体积是1.2立方分米．37．（2019春•武侯区月考）（1）如图（1），要给礼盒包装一下，至少需要多少平方厘米的包装纸？（不算接头处．)（2）如图（2），如果包装后再用彩带捆扎一下，结头处需彩带子5cm，那么捆扎这个礼盒至少需要多长的彩带？⨯+⨯+⨯⨯【解答】解：（1）(12812686)2=++⨯(967248)2=⨯2162=（平方厘米）432答：至少需要432平方厘米的包装纸．⨯+⨯+⨯+（2）82122645=+++1624245=（厘米）69答：彩带的长度是69厘米．38．（2019•北京模拟）用一根240cm长的铁丝做一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是1:1:2，再把它的五个面糊上纸（如图，底面不糊纸），做一个长方体孔明灯．①至少需要多少平方厘米的纸？②这个孔明灯的容积是多少立方厘米？【解答】解：①240460÷=（厘米） 1124++=160154⨯=（厘米）160154⨯=（厘米）260304⨯=（厘米）151515304⨯+⨯⨯2254504=+⨯2251800=+2025=（平方厘米）答：至少需要2025平方厘米的纸． ②1515306750⨯⨯=（立方厘米）； 答：个孔明灯的容积是6750立方厘米．。

快速计算长方体和正方体的体积长方体和正方体都属于几何学中的立体图形，计算它们的体积是数学中的基本常识之一。

本文将介绍如何快速准确地计算长方体和正方体的体积，以及一些相关的知识和方法。

1. 长方体的体积计算公式长方体是指具有三个不同的面都是长方形的立体图形。

计算长方体的体积最常用的公式是体积等于底面积乘以高度，即V = lwh，其中V表示体积，l表示长方体的长度，w表示宽度，h表示高度。

例如，假设一个长方体的长度为5厘米，宽度为3厘米，高度为2厘米，那么它的体积可以通过公式计算得到V = 5 * 3 * 2 = 30立方厘米。

2. 正方体的体积计算公式正方体是指具有六个相等的正方形面的立体图形。

计算正方体的体积同样采用底面积乘以高度的公式，即V = a³，其中V表示体积，a表示正方体的边长。

例如，假设一个正方体的边长为4厘米，那么它的体积可以通过公式计算得到V = 4³ = 64立方厘米。

3. 长方体和正方体的体积单位换算在实际计算中，我们经常需要将体积的单位进行换算。

常见的体积单位包括立方厘米、立方米、升等。

下面是一些常见的体积单位之间的换算关系：1立方米 = 1000立方厘米1升 = 1000立方厘米例如，如果一个长方体的体积为5000立方厘米，那么它的体积换算为V = 5000 / 1000 = 5立方米。

4. 快速计算技巧除了使用体积计算公式进行计算外，还有一些快速计算技巧可以帮助我们更迅速地得出结果。

对于长方体，我们可以通过观察和估算来得到近似的体积。

例如，假设一个长方体的长度为9厘米，宽度为4厘米，高度为5厘米，我们可以将这三个数字相乘得到V = 9 * 4 * 5 = 180立方厘米。

对于正方体，由于它的边长是相等的，我们只需要将边长的立方作为体积即可。

例如，当正方体的边长为6时，可以直接得到V = 6³ = 216立方厘米。

5. 应用示例下面是一些具体的应用示例，通过这些例子可以更好地理解和掌握如何计算长方体和正方体的体积。

长方体和正方体的体积典题探究例1．一个长方体，长扩大到原来的2倍，宽和高不变，体积扩大到原来的倍．例2．正方体的棱长扩大2倍，体积扩大4倍．．（判断对错）例3．有大小两个正方体，它们表面积的比是4：1，则大小正方体的体积之比是．例4．已知长方体货仓长50米，宽30米，高5米，这个长方体货仓最多可以容纳8立方米的正方体货箱个．例5．计算图形的表面积和体积（单位厘米）例6．有一个长方体，它的正面和底面的面积之和是132平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是立方厘米．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共15小题）1．（•苍溪县模拟）一个长方体长、宽、高分别是a米，b米，h米，如果高增加3米后，新的长方体体积比增加了（）立方米．A．a bh B．a bh+3 C．3ab D．3h2．（•常山县）计算一个长方体木箱的容积和体积时，（）是相同的．A．计算公式B．意义C．测量方法3．（•北塘区）一个长方体水池，从里面量长、宽、高都是1米，水池的（）是1立方米．A．体积B．容积C．重量D．面积4．（•扬州）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大（）倍．A．2B．4C．6D．85．（•福州）一个长方体水池，从里面量长、宽和高都是1米，可以说水池的（）是1立方米．A．容积B．体积C．重量6．（•雁江区）计算正方体、长方体和园柱的（），可用V=sh．A．表面积B．侧面积C．体积7．（•广西）如图，它们的体积公式可以统一成（）A．V=a b h B．V=a3C．V=s h8．（•新泰市）一个正方体的棱长总和是6分米，这个正方体的体积是（）立方分米．A．1B．6C．9．（•廊坊）用一根52厘米长的铅丝，正好可以焊成长6厘米，宽4厘米，高（）厘米的长方体教具．A．2B．3C．4D．510．（•武胜县）一种液体饮料采用长方体塑料盒密封包装，从外面量得盒子长6 厘米，宽4厘米，高10 厘米．盒面注明：“净含量250毫升”．这项说明是否真实？（）A．真实B．不真实C．无法确定11．（•龙海市模拟）正方体棱长扩大2倍，体积扩大（）倍．A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍12．（•蓬溪县模拟）一个正方体的棱长扩大2倍，它的表面积要扩大（）A．2倍B．4倍C．8倍13．（•陆良县模拟）一个正方体，如果它的棱长缩小到原来的，那么它的体积缩小到原来的（）A．B．C．14．（•陇川县模拟）大小两个正方体的棱长之比是2：3，则大小正方体的体积之比是（）A．2：3 B．4：6 C．6：9 D．8：2715．（•长寿区）一个正方体的棱长扩大2倍，它的体积扩大（）倍．A．2B．8C．4D．16二．填空题（共13小题）16．一个正方体，高减少4厘米后，表面积就减少80平方厘米，现在长方体体积是_________立方厘米；原来正方体的表面积是_________平方厘米．17．一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加80平方厘米，原来方钢的体积是_________．18．王峰家有一个表面积是24平方分米的正方形纸盒，它的体积是_________立方分米．19．（•南康市模拟）两个长方体棱长和相等，它们的体积相等，表面积也相等．_________．20．（•尚义县）一个长方体的高减少3厘米后，表面积减少48平方厘米，成为一个正方体，正方体的体积是_________立方厘米．21．（•武鸣县模拟）李师傅用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的体积是_________立方米．22．正方体的棱长增加了两倍，则它的体积增加了_________倍．23．一个长12厘米，宽4厘米，高6厘米的长方体，切割成棱长为2厘米的小正方体，能分成_________个．24．一个长方体的棱长和为272厘米，它的长、宽、高的比是7：6：4，这个长方体的体积是_________立方厘米．25．一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高不变，体积扩大_________倍．26．（•南县）一个长方体和一个正方体的体积相等，它们的表面积也一定相等．_________．（判断对错）27．（•富源县）棱长是6厘米的正方体，它的表面积和体积相等．_________．（判断对错）28．（•中山市模拟）一个长方体棱长的总和是72分米，长、宽、高的比是5：3：1，它的体积是_________立方分米．B档（提升精练）一．选择题（共15小题）1．（•福田区模拟）在一个长、宽、高分别是30厘米、25厘米、60厘米的长方体箱子里，最多能装进棱长为1分米的立方体（）个．A．45 B．30 C．36 D．722．（•道里区模拟）长方体的长、宽、高都变为原来的3倍，它的体积扩大（）倍．A．3倍B．9倍C．27倍D．10倍3．（•道里区模拟）一个长方体水箱的容积是150升，这个水箱底面是一个边长为5分米的正方形，则水箱的高是（）（水箱厚度忽略不计）A．30分米B．10分米C．4分米D．6分米4．（•蓬溪县模拟）两个长方体体积相等，下面说法正确的是（）A．底面积一定相等B．表面积一定相等C．长宽高乘积相等5．（•麻城市模拟）如果把正方体的棱长延长10%，则体积增加（）A．30% B．33% C．33.1% D．无法确定6．（•黄岩区）长方体的长5厘米，宽4厘米，高是3厘米，体积是（）A．60厘米B．60平方厘米C．60立方厘米7．（•萝岗区）一个正方体的底面周长是12cm，它的体积是（）cm3．A．9B．27 C．36 D．728．（•陕西）一个正方体棱长增加20%，它的体积就增加（）A．20% B．44% C．72.8%9．（•永定区模拟）棱长为a厘米的正方体，其体积是（）立方厘米．A．6a2B．6a C．a+a+a D．a310．（•温江区模拟）等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积相比较（）A．正方体体积大B．长方体体积大C．圆柱体体积大D．体积一样大11．（•蓬溪县模拟）一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米，如果高增加3米后，新的长方体体积比原来增加（）立方米．A．3ab B．3abh C．a b（h+3）D．a bh+3312．（•陆良县模拟）圆柱、正方体和长方体的底面周长相等，高也相等，则（）的体积最大．A．圆柱B．正方体C．长方体D．长方体的体积13．（•萝岗区）如果长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大（）A．3B．9C．6D．2714．（•蓝田县模拟）把一个棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（）立方分米．A．50.24 B．64 C．12.56 D．200.9615．（•民乐县模拟）一个正方体棱长为a厘米，如果它的棱长增加4厘米，所得到的正方体的体积比原正方体增加（）立方厘米．A．16 B．64 C．（a+4）3﹣a3D．无法计算二．填空题（共13小题）16．（•萝岗区）一个棱长是6厘米的正方体，它的体积和表面积相等．_________（判断对错）17．（•成都）把一根长12米的长方体木条沿长锯成6段，表面积增加110平方厘米．这段木条原来的体积是_________立方厘米．18．（•萝岗区）一个棱长为6厘米的正方体，它的表面积是_________．体积是_________．19．（•岚山区模拟）棱长1厘米的小正方体至少需要_________个可拼成一个较大的正方体，需要_________个可拼成一个棱长1分米的大正方体．如果把这些小正方体依次排成一排，可以排成_________米．20．（•菏泽模拟）体积相等的两个正方体，表面积也相等．_________（判断对错）21．（•蓝田县模拟）一个棱长是4分米正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥体容器里正好装满，这个圆锥体的高是_________分米．22．（•临川区模拟）1米长的方木锯成两段后，表面积比原来增加了8平方厘米，这根方木原来的体积是_________立方厘米．23．（•武平县模拟）如果长方体、正方体、圆柱体的底面积和高都分别相等，那么它们的体积也相等．_________．（判断对错）24．（•荔波县模拟）长方体、正方体和圆柱的体积公式都可以用V=sh表示．…_________．（判断对错）25．（•萧县模拟）一个棱长9cm的正方体，如果它的棱长扩大4倍，那么它的表面积扩大_________倍，体积扩大_________倍．26．（•临川区模拟）棱长和是24分米的正方体体积是_________立方分米．27．（•上海模拟）一个长方体，他的前面和上面的面积之和是108平方厘米，已知长宽高是连续的奇数，这个长方体的体积是_________立方厘米．28．（•永康市模拟）棱长3分米的正方体，它的体积是_________立方分米．3个这样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是_________平方分米．C档（跨越导练）一．填空题（共8小题）1．一个长方体的体积是1560，它的长、宽、高均为自然数，它的棱长之和最少是_________．2．（•玉门市）一个长方体和一个圆锥的底面积和高都相等，它们的体积相差18立方厘米．这个长方体的体积是_________立方厘米，圆锥体积是_________立方厘米．3．（•资中县）一个长方体前面和上面的面积之和是91平方厘米，已知长宽高的厘米数都是质数，这个长方体的体积是_________立方厘米或_________立方厘米．4．（•广东）一根长3.6米的长方体木料，其中有一组相对的面是正方形，其余四个面的面积之和是7.2平方米，这根木料的体积是_________立方米．5．（•河西区）一个长方体容器里装水770升，水深15.4分米．现将长方体容器中的水倒一部分给圆柱体容器，并使两个容器中的水高度相同．已知长方体容器的底面积是圆柱体容器底面积的倍（从内侧量），这时两个容器中的水深是_________分米．6．（•射洪县）把6个边长为1cm的小正方体拼成一个较大的长方体．拼成的长方体的体积是_________cm3，表面积最小是_________cm2．7．（•武义县）一个长方体的长、宽、高的比是3：2：5，已知它的宽是4分米，它的体积是_________立方分米．8．（•锦屏县）如图是由两个棱长都是2厘米的正方体拼成的一个长方体，这个长方体的表面积是_________；体积是_________．二．解答题（共10小题）9．把一个横截面为正方形的长方体木块，削成一个最大的圆锥体，已知圆锥的底面周长是12.56厘米，高5厘米，长方体的体积是多少？10．（•浦东新区）一个长方体形状的容器，里面长4分米，宽3分米，高4.5分米．向这个容器里注入30升水，容器里水深多少分米？11．六年的小学生活即将结束，婷婷计划星期天请5名同学到家商量去养老院参加义务劳动的事，家中只有一盒长方体饮料（如图），假如用来招待同学，给每位同学倒上满满一杯（如右图）后，她自己还有饮料吗？（请写出计算过程，箱子、杯子的厚度均忽略不计）（单位：厘米）12．（•沛县）一个圆柱形玻璃水槽，底面直径20厘米，深15厘米，用这个水槽装满水，再倒入一个空的正方体金鱼缸中，已知金鱼缸从里面量的深是30厘米．问：金鱼缸中的水面高度大约是多少厘米？（最后得数保留整厘米数．）13．（•新区）一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体．刘星说：“如果高再增加2分米，它恰好是一个正方体．”王尘说：“长方体的前后左右四个面的面积之和是96平方分米．”李成说：“它的底面周长是24分米．”张丹说：“这个长方体的棱长总和是64分米．”这四名同学得到的数据都是正确的，你能筛选出必要的数据作条件，求出这个长方体的体积吗？试试看．14．（•华亭县）长方体的棱长之和是96厘米，长、宽、高的比是3：2：1，求这个长方体的体积和表面积？15．（•兰州）有一条长方体木棍，长3米，横截面是边长4分米的正方形，如果把它加工成一根最大的圆木．需要削掉多少立方分米？16．（•资中县）把底面直径为6厘米、高为9厘米的圆柱体可口可乐瓶装满汽水，倒入一个长35厘米、宽20厘米、高6厘米的纸盒中（如下图），这个纸盒最多可以装多少瓶可口可乐汽水？（纸盒和汽水瓶的厚度忽略不计）（保留整数）17．（•龙海市）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？18．（•阳谷县）在一个棱长4分米的正方体水箱中盛满水，全部倒入一个底面积是20平方分米，高4分米的圆柱形水桶中，水深多少分米？长方体和正方体的体积答案典题探究例1．一个长方体，长扩大到原来的2倍，宽和高不变，体积扩大到原来的2倍．考点：长方体和正方体的体积．分析：根据长方体计算的公式代入字母对比就可以了．解答：解：根据题意知：V长=abc；扩大2倍后为：V长变=（2a）bc，=2abc；所以变化后体积扩大2倍；故答案为：2．点评：此题考查了长方体的计算公式的灵活应用．例2．正方体的棱长扩大2倍，体积扩大4倍．错误．（判断对错）考点：长方体和正方体的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据正方体体积=棱长3，可得正方体体积扩大的倍数是棱长扩大倍数的立方求解即可．解答：解：正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大23=8倍，所以原题说法错误．故答案为：错误．点评：考查了正方体的体积与正方体棱长的关系，是基础题型，比较简单．例3．有大小两个正方体，它们表面积的比是4：1，则大小正方体的体积之比是8：1．考点：长方体和正方体的体积；比的意义．专题：立体图形的认识与计算．分析：正方体的表面积=棱长×棱长×6，正方体的体积=棱长×棱长×棱长，再依据“大小两个正方体表面积的比是4：1”，即可分别求出它们的棱长之比和体积之比．解答：解：因为大小两个正方体表面积的比是4：1，所以大小正方体的棱长比是2：1，所以大小正方体的体积比是8：1．故答案为：8：1．点评：此题主要考查正方体的表面积和体积公式．例4．已知长方体货仓长50米，宽30米，高5米，这个长方体货仓最多可以容纳8立方米的正方体货箱750个．考点：长方体和正方体的体积．分析：先根据8立方米的正方体货箱，可求出正方体木箱的棱长是2米，由于长方体的长为50米，可知沿长边能放（50÷2）个；宽30米，可知沿宽边能放（30÷2）个；高5米，可知竖直方向只能堆两层，也就是说在长方体的货仓里只能用到4米的高度．进一步求出这个长方体货仓最多可以容纳8立方米的正方体货箱个数即可．解答：解：因为8=2×2×2，所以正方体木箱的棱长是2米，50÷2=25（个）（横着放的个数），30÷2=15（个）（竖着放的个数），5÷2=2（层）…1（米）（能放2层，还余1米空间），所以能容纳的木箱的个数为：25×15×2=750（个）．答：这个长方体货仓最多可以容纳8立方米的正方体货箱750个．故答案为：750．点评：此题考查生活中的实际问题，关键是弄明白在这个长方体货仓里能横着装几个、竖着装几个，也就是能装几层，再进一步得解．例5．计算图形的表面积和体积（单位厘米）考点：长方体和正方体的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：压轴题；立体图形的认识与计算．分析：（1）长方体的表面积=（长×宽+宽×高+高×长）×2，长方体的体积=长×宽×高；（2）圆柱的表面积=侧面积+（底面积×2），圆柱的体积=底面积×高，将所给数据分别代入相应的公式，即可分别求出对应图形的表面积和体积．解答：解：（1）长方体的表面积：（10×4+10×6+4×6）×2，=（40+60+24）×2，=124×2，=248（平方厘米）；长方体的体积：10×4×6，=40×6，=240（立方厘米）；答：长方体的表面积是248平方厘米，体积是240立方厘米．（2）圆柱的表面积：3.14×10×8+3.14×（10÷2）2×2，=251.2+157，=408.2（平方厘米）；圆柱的体积：3.14×（10÷2）2×8，=3.14×25×8，=628（立方厘米）；答：圆柱的表面积是408.2平方厘米，体积是628立方厘米．点评：此题主要考查长方体、圆柱的表面积和体积的计算方法．例6．有一个长方体，它的正面和底面的面积之和是132平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是385立方厘米．考点：长方体和正方体的体积．专题：压轴题．分析：正面和底面之和为132平方厘米，所以长×宽+长×高=长×（宽+高）=132，把132分解因数为：132=2×2×3×11，又因为长、宽、高都是质数，故长=11，宽+高=12，同样12只能分成5+7，所以这个长方体的三个棱长分别为11、5、7，由此可以解决问题．解答：解：132=11×12=11×（5+7），所以长宽高分别为：11厘米、5厘米、7厘米，体积是：11×5×7=385（立方厘米）；答：这个长方体的体积是385立方厘米．故答案为：385．点评：考查了长方体的体积解答此题的关键：先根据题意，进行分析，判断出长、宽、高的长度，然后根据长方体的体积计算公式进行解答即可．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共15小题）1．（•苍溪县模拟）一个长方体长、宽、高分别是a米，b米，h米，如果高增加3米后，新的长方体体积比增加了（）立方米．A．a bh B．a bh+3 C．3ab D．3h考点：长方体和正方体的体积；用字母表示数．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据长方体的体积公式V=abh，分别求出原来和后来的长方体体积，再相减就是增加的体积．解答：解：原来长方体的体积；V=abh，后来长方体的体积：a×b×（h+3）=abh+3ab，增加的体积：abh+3ab﹣abh=3ab，故选：C．点评：解答此题的关键是把所给出的字母当做已知数，再根据长方体的体积公式分别求出长方体的体积，进而得出答案．2．（•常山县）计算一个长方体木箱的容积和体积时，（）是相同的．A．计算公式B．意义C．测量方法考点：长方体和正方体的体积；立体图形的容积．分析：计算长方体容积是长×宽×高；计算长方体体积是长×宽×高；解答：解：根据题意知：V容=长×宽×高；V体=长×宽×高；所以计算公式相同；故选：A．点评：此题考查了长方体的容积和体积计算．3．（•北塘区）一个长方体水池，从里面量长、宽、高都是1米，水池的（）是1立方米．A．体积B．容积C．重量D．面积考点：长方体和正方体的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：求这个水池可蓄水多少立方米，是求长方体水池的容积，根据体积的计算方法，长方体的体积=长×宽×高来计算．解答：解：因为长方体水池，从里面量长、宽、高都是1米，所以水池的容积是1×1×1=1立方米．故水池的容积是1立方米．故选：B．点评：此题考查长方体的容积，解决此题的关键是分清体积和容积的区别．4．（•扬州）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大（）倍．A．2B．4C．6D．8考点：长方体和正方体的体积；积的变化规律．分析：根据长方体的体积计算公式和因数与积的变化规律可得：v=abh，三个因数都扩大2倍，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；也就是积扩大8倍．由此解答．解答：解：根据长方体的体积计算方法和因数与积的变化规律得：一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大2×2×2=8倍；故选：D．点评：此题主要考查长方体的体积计算方法和因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积．5．（•福州）一个长方体水池，从里面量长、宽和高都是1米，可以说水池的（）是1立方米．A．容积B．体积C．重量考点：长方体和正方体的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：求这个水池可蓄水多少立方米，是求长方体水池的容积，根据体积的计算方法，长方体的体积=长×宽×高来计算．解答：解：因为长方体水池，从里面量长、宽、高都是1米，所以水池的容积是1×1×1=1立方米．故水池的容积是1立方米．故选：B．点评：此题考查长方体的容积，解决此题的关键是分清体积和容积的区别．6．（•雁江区）计算正方体、长方体和园柱的（），可用V=sh．A．表面积B．侧面积C．体积考点：长方体和正方体的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据正方体、长方体、圆柱的体积公式可得，它们的体积公式都是V=sh．据此即可选择．解答：解：根据题干分析可得，计算正方体、长方体和园柱的体积，可用V=sh，故选：C．点评：此题主要考查正方体、长方体、圆柱的体积公式，熟记公式即可解答．7．（•广西）如图，它们的体积公式可以统一成（）A．V=a b h B．V=a3C．V=s h考点：长方体和正方体的体积；用字母表示数；圆柱的侧面积、表面积和体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：长方体的长×宽=它的底面积，正方体的棱长×棱长=它的底面积，长方体和正方体的统一体积公式为：v=sh；再根据圆柱的体积公式的推导过程，把圆柱切拼成近似长方体，正方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，因为长方体的体积=底面积×高，所以圆柱的体积=底面积×高．由此解答．解答：解：根据分析：长方体、正方体和圆柱体的体积公式可以统一成：v=sh．故选：C．点评：此题考查的目的是使学生理解掌握长方体、正方体和圆柱体的统一体积公式：v=sh．8．（•新泰市）一个正方体的棱长总和是6分米，这个正方体的体积是（）立方分米．A．1B．6C．考点：长方体和正方体的体积．专题：压轴题；立体图形的认识与计算．分析：根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和=棱长×12，已知棱长总和是6分米，首先求出棱长，再根据正方体的体积公式：v=a3，把数据代入公式解答．解答：解：棱长是：6÷12=0.5（分米），体积是：0.5×0.5×0.5=0.125（立方分米）；答：这个正方体的体积是0.125立方分米．故选：C．点评：此题主要考查正方体的特征和体积的计算，首先根据棱长总和的计算方法求出棱长，再根据正方体的体积公式解答．9．（•廊坊）用一根52厘米长的铅丝，正好可以焊成长6厘米，宽4厘米，高（）厘米的长方体教具．A．2B．3C．4D．5考点：长方体和正方体的体积．专题：压轴题．分析：根据长方体的棱长的特点，得出长方体是由4条长，4条宽，4条高组成的，（棱长之和﹣长×4﹣宽×4）÷4，即可求出高是多少．解答：解：（52﹣6×4﹣4×4）÷4，=（52﹣24﹣16）÷4，=12÷4，=3（厘米）；故选：B．点评：此题考查了长方体棱长之和的计算方法的灵活应用．10．（•武胜县）一种液体饮料采用长方体塑料盒密封包装，从外面量得盒子长6 厘米，宽4厘米，高10 厘米．盒面注明：“净含量250毫升”．这项说明是否真实？（）A．真实B．不真实C．无法确定考点：长方体和正方体的体积．专题：压轴题；立体图形的认识与计算．分析：先利用长方体的体积公式求出盒子的体积，再与盒子上的标注相比较即可做出判断．解答：解：6×4×10=240（立方厘米）=240（毫升）；答：盒子的体积是240毫升，而净含量为250毫升，不真实．故选：B．点评：此题主要考查长方体的体积计算，一般来说一个容器的容积要小于它的体积．11．（•龙海市模拟）正方体棱长扩大2倍，体积扩大（）倍．A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍考点：长方体和正方体的体积．分析：根据正方体的体积计算公式v=a3，以及因数与积的变化规律，正方体棱长扩大2倍，体积扩大2的立方数倍．由此解答．解答：解：根据正方体的体积计算方法可知，正方体棱长扩大2倍，体积扩大2的立方数倍，即扩大8倍．故选：D．点评：此题主要考查正方体的体积计算方法和因数与积的变化规律，由此解决问题．12．（•蓬溪县模拟）一个正方体的棱长扩大2倍，它的表面积要扩大（）A．2倍B．4倍C．8倍考点：长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．专题：压轴题．分析：令原正方体棱长为1，棱长扩大2倍，就变成了棱长为2的正方体，利用正方体的表面积公式计算出结果进行选择．解答：解：令正方体棱长为1，则棱长扩大2倍后的正方体棱长为2，1×1×6=6，2×2×6=24，24÷6=4，故选：B．点评：也可以这样思考：正方体的表面积=一个正方形面的面积×6，正方形的面积=边长×边长，当正方体的棱长扩大2倍．根据积的变化规律可得，正方体的一个正方形面的面积就会扩大2×2=4倍，所以正方体的表面积也跟着扩大4倍．13．（•陆良县模拟）一个正方体，如果它的棱长缩小到原来的，那么它的体积缩小到原来的（）A．B．C．考点：长方体和正方体的体积；积的变化规律．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据正方体的体积公式：v=a3，再根据积的变化规律，积扩大或缩小的倍数等于因数扩大或缩小倍数的乘积．由此解答．解答：解：正方体的棱长缩小到原来的，它的体积就缩小到原来的××=，答：它的体积缩小到原来的．故选：A．点评：此题主要根据正方体的体积的计算方法和积的变化规律解决问题．14．（•陇川县模拟）大小两个正方体的棱长之比是2：3，则大小正方体的体积之比是（）A．2：3 B．4：6 C．6：9 D．8：27考点：长方体和正方体的体积．专题：立体图形的认识与计算．分析：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，再依据“大小两个正方体的棱长比是2：3”，即可分别求出它们的体积之比．解答：解：因为大小两个正方体的棱长比是2：3；所以大小正方体的体积比是（2×2×2）：（3××3）=8：27．故选：D．点评：此题主要考查正方体的体积公式．15．（•长寿区）一个正方体的棱长扩大2倍，它的体积扩大（）倍．A．2B．8C．4D．16考点：长方体和正方体的体积．分析：设原来的正方体的棱长是x，则后来的正方体的棱长是2x，根据“正方体的体积=棱长3”分别求出原来、后来两个正方体的体积，然后根据求一个数是另一个数的几倍用除法解答即可．解答：解：设原来的正方体的棱长是x，则后来的正方体的棱长是2x，则（2x）3÷x3，=8x3÷x3，=8；故选：B．点评：此题考查了正方体体积的计算方法，用到的知识点：求一个数是另一个数的几倍用除法解答．二．填空题（共13小题）16．一个正方体，高减少4厘米后，表面积就减少80平方厘米，现在长方体体积是25立方厘米；原来正方体的表面积是150平方厘米．考点：长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．专题：立体图形的认识与计算．分析：根据高减少4厘米，表面积减少80平方厘米，说明减少周围四个相同的面的面积是80平方厘米，根据80÷4=20平方厘米，再根据20÷4=5厘米，可知原来正方体的棱长为5厘米，现在高还是5﹣4=1厘米，根据长方体的体积计算公式可得现在体积为：1×5×5=25立方厘米，根据正方体的表面积计算公式S=6a2可解．解答：解：80÷4÷4=5（厘米）5﹣4=1（厘米）1×5×5=25（立方厘米）5×5×6=150（平方厘米）答：现在长方体的体积是25立方厘米，原来正方体的表面积是150平方厘米．故答案为：25；150．点评：本题理解减少的面积是相同的四个面，且高为4厘米，求出原来正方体的棱长是关键．17．一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加80平方厘米，原来方钢的体积是6000立方厘米．考点：长方体和正方体的体积．分析：根据题意，可知截成3段后增加了4个横截面，表面积增加了80平方厘米，可计算出一个横截面的面积，根据正方体的体积公式底面积乘以高，可计算出原来方钢的体积，列式解答即可得到答案．解答：解：方钢的横截面面积为：80÷4=20（平方厘米），。

长方体正方体体积计算在我们的日常生活和学习中，经常会遇到与长方体和正方体体积计算相关的问题。

无论是在建筑设计、包装物品，还是在数学学习中，理解和掌握它们的体积计算方法都非常重要。

首先，让我们来认识一下长方体和正方体。

长方体是一种有六个面的立体图形，每个面都是长方形（有可能有两个相对的面是正方形），相对的面面积相等。

而正方体则是一种特殊的长方体，它的六个面都是完全相同的正方形。

那么，如何计算长方体的体积呢？我们知道，长方体的体积等于长乘以宽乘以高。

假设一个长方体的长为 5 厘米，宽为 3 厘米，高为 2厘米，那么它的体积就是 5×3×2 ＝ 30 立方厘米。

这就好比是用一个个1 立方厘米的小正方体去填充这个长方体，长的方向能放 5 个，宽的方向能放 3 个，高的方向能放2 层，所以总的小正方体个数就是 30 个，也就是长方体的体积是 30 立方厘米。

再来看正方体，由于正方体的六个面都相等，所以它的体积计算就相对简单一些，正方体的体积等于棱长的立方。

比如说，一个正方体的棱长是 4 厘米，那么它的体积就是 4×4×4 ＝ 64 立方厘米。

理解了体积的计算方法，我们来看看它们在实际生活中的应用。

比如，要建造一个长方体形状的水池，我们需要知道它的体积来确定能容纳多少水。

如果水池的长是 10 米，宽是 5 米，深是 2 米，那么水池的体积就是 10×5×2 ＝ 100 立方米，也就是说这个水池能容纳 100 立方米的水。

在包装物品时，也经常会用到体积的计算。

假设要包装一个长方体形状的礼物，礼物盒的长、宽、高分别是30 厘米、20 厘米、10 厘米，那么我们就可以通过计算体积来选择合适大小的包装纸。

这个礼物盒的体积就是 30×20×10 ＝ 6000 立方厘米。

除了实际应用，在数学学习中，长方体和正方体体积的计算也是很多问题的基础。