镜像法1

2 2 s=⎡ ⎣ r + D − 2rD cos θ ⎤ ⎦
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授
第5讲 3/9
q ′2 ( R 2 + D 2 ) = q 2 ( b 2 + R 2 )
2 / RD / Rb + q′ 2 / cos / cos / θ = +q 2 / θ⇒
作用于球上的力
fX =
qq′ 4πε 0 ( D − b )
2
=
−q 2 R D ⎛ R2 ⎞ 4πε 0 ⎜ D − ⎟ D⎠ ⎝
q 4πε 0 D
2
=
4πε 0 ( D 2 − R 2 )
−q 2 RD
2
2. 绝缘球 [将另一个镜像电荷+q’=+qR/D 放到中心处] （零电荷）
Φ (r = R) =
0 0
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第5讲 4/9
Ⅲ. 演示4.7.1——架空导体在接地平面上感应的电荷
图4.7.2 架空导体在接地平面上的感应电荷 用探针测量。图中所示的分布是由（4.7.7） 预言的。
Hermann A.Haus和James R.Melcher赠送，经过允许。
1 2 1
2 2 2 ， s' = ⎡ ⎣b + r − 2rb cos θ ⎤ ⎦ 2 2 q − q′ ⎛ q ⎞ ⎛ q′ ⎞ Φ (r = R) = 0 ⇒ = ⇒⎜ ⎟ =⎜ ⎟ s s′ ⎝ s ⎠ ⎝ s′ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 q s′ = q′ s ⇒ q′ ⎡ ⎣ R + D − 2 RD cos θ ⎤ ⎦=q ⎡ ⎣b + R − 2 Rb cos θ ⎤ ⎦

2.镜像 法实质：以一个或几个等效电荷代替边界的影响, 将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自 由空间，从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此 称 为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原 来的边界条件。
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电 荷分布才有可能确定其镜像电荷。
(1)点电荷与无限大的导体平面
以一个镜像点电荷q代替边界的影响，使整个空间变 成
均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位
由q及q'共同产生，即
+ q q'
中= r 无限r'大导体平面的电位为零
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分 完全相同。
电场线
等位线
体
* 根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等 于 导体表面上感应电荷的总电荷量。 * 上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因 为 在上半空间中，源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜 像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须 引 入几个镜像电荷。
例如，夹角为n的导电劈需引入5个镜像电荷。
/g e :/ g
㊀/
/㊀ /㊉

兀 仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，
才可求出其镜像电荷。 为什么？
位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加 原理得知，同样可以应用镜像法求解。
.P/
•Pl
「Pl

Topic # 8—镜像法(method ofimages)­Part1n镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统n电轴~无限大接地导电平面系统的电场n电轴法 (广义镜像法)1n镜像法n定义The method of images is an analytical technique that involves replacing constant­potential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布以简化原问题的分析和计算。

场域闭合边界—一般为导体组成等位面2n镜像法n适用场合The conducting boundaries that can be modeled inthis way include infinite planes, spheres, infinitecylinders, and wedges.34n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题+q2s DP (x,y,z )1s he 导板¥r 2 0j Ñ=5n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能1. ? 不行，2. 已知场源分布，求3. 高斯定理？0 4 P qrj e = p E vd SE S · ò vv Ñ0 E S × 或 非单一媒质需要探索新的求解方法不通6n 点电荷~无限大的接地导板系统n 换一个角度考虑：考虑其边值问题20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 211221 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ7n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 12 |0S j = 0 | y n n E E e= = r r8n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n nE E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零9n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 22122210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2，可近似认为该 面元为等位面，于是：q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er10n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场原问题22 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0S y j j = =0 |0t y E = = 22122 210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 21122110 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）11n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2注意适用区域：仅上半平面？为什么？计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题De导体j = x1ryo(,,0)P x yq+h1213n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型场中电场分布,等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。

03
理论框架完善
未来研究将进一步完善镜像法的理论框架，建立更严谨的数学和物理基
础，为解决复杂问题提供更有力的工具。
镜像法在其他领域的应用前景
光学领域
镜像法在光学领域有广泛的应用前景，如光子晶体、光子器件的 设计与模拟等。
生物医学工程
镜像法可用于模拟生物组织的电磁特性，为医学成像和诊断提供技 术支持。
镜像法在静电场中主要用于解决导体表面的电荷分布和电场分布问题。
详细描述
当一个带电体放置在导体附近时，导体表面的电荷分布会受到带电体的影响。通 过应用镜像法，可以计算出导体表面的电荷分布和电场分布，从而进一步分析带 电体与导体之间的相互作用。
镜像法在静磁场中的应用
总结词
镜像法在静磁场中主要用于解决磁力线和磁感应强度分布问题。
详细描述
电动力学在许多领域都有重要的应用。例如，无线通信依赖于电磁波在空间的传播，雷达通过发射电磁波并检测 其反射来探测目标，电子显微镜利用电磁场来控制电子束的传播和成像。此外，电动力学还在电力传输、电磁兼 容性、粒子加速器等领域有广泛应用。
03 镜像法在电动力学中的应用
镜像法在静电场中的应用
总结词
镜像法的计算步骤
确定原问题和镜像模型
根据实际问题，确定需要求解的原问 题和对应的镜像模型。
建立等效关系
根据镜像法的数学模型，建立镜像电 荷或镜像边界与原电荷或原边界之间 的等效关系。
求解等效问题
利用等效关系，求解等效的静电场或 静磁场问题。
计算结果分析
对计算结果进行分析，得出原问题的 解。
镜像法的计算实例
电动力学镜像法课件
目录
Contents
• 镜像法简介 • 电动力学基础 • 镜像法在电动力学中的应用 • 镜像法的计算方法 • 镜像法的优缺点分析 • 镜像法的发展前景