2014北京石景山高考一模数学理
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2014年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，{}|10B x x =-≥，那么U A B = ð（）A ．{}|01x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<2．下列函数中，在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数的是（） A ．2y x =B ．1y x =+C ．lg ||y x =-D ．2x y =3．在251()x x-的展开式中，x 的系数为（）A ．10B ．10-C ．20D ．20-4．已知Rt △ABC 中，o 9054C AB BC ∠===，，，以BC 为直径的圆交AB 于D ，则BD 的长为（）5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的点到焦点的 距离为3，则焦点到准线的距离为（）A ．2B ．8C ．3D ．46．右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（）7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A ．2-B ．12C ．1-D ．2A ．4B ．95C ．125D ．165A ．612B ．33 C ．64 D ．36 ACDB否开始1i i =+ 11A A=-2014i >是 输出A 02i A ==， 1主视图左视图俯视图8．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF = 且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（）A ．3B ．3C ．125D ．1第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知命题p ：0x x e ∃∈<R ，，则p ⌝是____________________．10．在等比数列}{n a 中，14=2=16a a ，，则数列}{n a 的通项公式=n a _____________，设2log n n b a =，则数列}{n b 的前n 项和=n S _____________．11．已知圆C 的极坐标方程为=2ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C 的直角坐标方程为_______________，若直线:30l kx y ++=与圆C 相切，则实数k 的值为_____________．12．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，则x y 的取值范围是_________．13．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．14．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知函数2()1f x x =-和函数()2ln g x x =，那么函数()f x 和函数()g x 的隔离直线方程为_________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<，32sin a b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，7b =，求c 边的长和△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．01235567889135567罗非鱼的汞含量（ppm）17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A BD A --的大小；（Ⅲ）在线段1AA 上是否存在一点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD ，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．A1A1B1CCDB18．（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(01]，上是减函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为1．19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为(20)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，． （ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值．xOy P1l2lMN20．（本小题满分13分）对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一项，把i a 或i a -（234i n = ，，，，）作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列12345，，，，的一个生成数列是12345--，，，，．已知数列{}n b 为数列1{}()2n n *∈N 的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （Ⅰ）写出3S 的所有可能值； （Ⅱ）若生成数列{}n b 满足311(1)78n n S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于给定的n *∈N ，n S 的所有可能值组成的集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．2014年石景山区高三统一测试 高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A CB D D BC A二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，第二空3分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为32sin a b A =，所以3sin 2sin sin A B A =，…………………………2分因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以3sin 2B =，………………………… 4分 因为0B π<<，且a b c <<，所以60B = ．…………………………6分 （Ⅱ）因为2a =，7b =，所以由余弦定理得2221(7)2222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍），所以c 边的长为3．…………………………10分11333=sin 232222ABC S ac B ∆=⨯⨯⨯=．…………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591． …………………………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==，………………5分 ξ可能取0，1，2，3． …………………………6分则30318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．……………………10分 其分布列如下：ξ12 3题号 9 10 11 12 13 14 答案 0x x e ∀∈≥R ， 2n ；(1)2n n + 22+=4x y ；52k =± [59，6] 180 22y x =-P827 49 29 127…………………………12分所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AB 交1A B 于M ，连结1B C DM ，， 因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11AA B B 是矩形， 所以M 为1A B 的中点．因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形1AB C 的中位线，…………………………2分所以MD ∥1B C ．…………………………3分因为MD ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， 所以1B C ∥平面1A BD ．…………………………4分 （Ⅱ）解：作CO AB ⊥于O ，所以CO ⊥平面11ABB A ，所以在正三棱柱111ABC A B C -中如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为2AB =，13AA =，D 是AC 的中点．所以(100)A ，，，(100)B -，，，(003)C ，，，1(130)A ，，，…………………………5分 所以13(0)22D ，，，33(0)22BD = ，，，1(230)BA =，，． 设()n x y z =，，是平面1A BD 的法向量，所以100n BD n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，即33022230x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，令3x =-，则2y =，3z =，所以(323)n =-，，是平面1A BD 的一个法向量．…………………………6分 由题意可知1(030)AA =，，是平面ABD 的一个法向量，…………………………7分 所以1231cos 243n AA <>== ，．…………………………8分所以二面角1A BD A --的大小为3π．…………………………9分 （Ⅲ）设(10)E x ，，，则1(133)C E x =-- ，，，11(103)C B，，=-- 设平面11B C E 的法向量1111()n x y z ，，=， 所以111100n C E n C B，，⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111(3)3030x x y z x z ，，⎧-+-+=⎪⎨--=⎪⎩ 令13z =-，则13x =，163y x=-，x yz OB D A1A1B 1CC MA1A1B1CBCD16(33)3n x，，=--，…………………………12分又10n n ⋅=，即1233+3303x --=-，解得33x =， 所以存在点E ，使得平面11B C E ⊥平面1A BD 且33AE =．…………………………14分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）时，2()ln (0)f x x ax xx =+->，1(21)(1)()21x x f x x x x-+'∴=+-＝，…………………………1分11(0)()0()()022x f x x f x ''∈<∈+∞>，，，，，，的减区间为1(0)2，，增区间1()2+∞，．…………………………3分 （Ⅱ）1()2f x x a x'=+-()f x 在区间(01]，上是减函数， ()0f x '∴≤对任意(01]x ∈，恒成立，即120x a x +-≤对任意(01]x ∈，恒成立，…………………………5分 12a x x ∴≤-对任意(01]x ∈，恒成立， 令1()2g x x x=-，min ()a g x ∴≤，…………………………7分易知()g x 在(01]，单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-． 1a ∴≤-．…………………………8分（Ⅲ）设切点为(())M t f t ，，1()2f x x a x'=+-， 切线的斜率，又切线过原点，，存在性：满足方程，所以，是方程的根．…………………………11分 再证唯一性：设，，()t ϕ在(0,)+∞单调递增，且，所以方程有唯一解．综上，切点的横坐标为1．…………………………13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）231c a b ==∴= ，，，∴椭圆方程为2213x y +=，………………………………2分准圆方程为224x y +=．………………………………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=． 因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，………………………………6分所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，．………………………………7分 ，12l l ∴⊥．………………………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：3x =±，当1l ：3x =时，与准圆交于点(31)(31)-，，，，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：3x =-时，直线12l l ，垂直．………………………………10分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00()P x y ，，其中22004x y +=． 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=．由0∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=．设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直．………………………………12分 综合①②知：因为12l l ，经过点00(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直． 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，||4MN ＝，所以线段MN 的长为定值．………………………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知，112b =，1||(,2)2n n b n n *=∈≥N ， ∴231148b b =±=±，， 由于1117111511131111,2488248824882488++=+-=-+=--=，，，∴3S 可能值为13578888，，，．…………………………3分121l l k k ⋅=- 1l（Ⅱ）∵311(1)78n n S =-， 当1n =时，1233111(1)788a a a S ++==-=， 当2n ≥时，32313333111111(1)(1)78788n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---=，3231318n n n n a a a --∴++=，*n ∈N ，…………………………5分∵{}n b 是1()2n n *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 的生成数列，∴323212n n b --=±；313112n n b --=±；3312n n b =±；∴323133231311111(421)()22288n n n n n n n n b b b n *----++=±±±=±±±=∈N ，在以上各种组合中，当且仅当32313421()888n n n n n n b b b n *--==-=-∈N ，，时，才成立． ∴132213 2.2nn nn k b k n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩N ，，（），．…………………………8分（Ⅲ）2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形．23231111111122222222n n n S ----≤≤++++ ，即12122n n n n S -≤≤， 又12322212n n n n nS ---±±±±= ，分子必是奇数， 满足条件121222n n n nx -≤≤的奇数x 共有12n -个．…………………………10分 设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k 项．由于1||||2k k k a b ==，不妨设00k k a b ><，， 则11()()n n k k n k k n S T a a a b b b ++-=+++-+++12111122()2222k k k n ++≤⨯-⨯+++ 1111122()02222k k n n -=⨯-⨯-=>， 所以，只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时，才有n n S T =．……12分∴2311112222n n S =±±±± 共有12n -种情形，其值各不相同．∴n S 可能值必恰为135212222n n n n n - ，，，，，共12n -个．即n S 所有可能值集合为121{|2}2n n k x x k k *--=∈≤N ，，．…………………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。
