1.4.1 运用立体几何中的向量方法解决平行问题(学生版)

专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见考法归类（80题）题型一 求直线的方向向量题型二 求平面的法向量题型三 用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的平行关系求参数（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行（2）利用向量方法证明线面平行（3）利用向量方法证明面面平行（4）与平行有关的探索性问题题型四 利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的垂直关系求参数（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直（2）利用向量方法证明线面垂直（3）利用向量方法证明面面垂直（4）与垂直有关的探索性问题在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP 表示.我们把向量OP称为点P 的位置向量.如图.注：线段中点的向量表达式：对于AP → ＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM → ＝12(OA → ＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式．2、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta = ，即AP t AB=3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+ ①或OP OA t AB =+ ②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对(,)x y ，使得AP xa yb =+，如图；取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP OA xAB y AC =++ .5.直线的方向向量若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．6.平面的法向量定义：AB l ABl直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a.注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.7.平面法向量的性质（1）平面a 的一个法向量垂直于平面a 内的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．8.平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面a 的法向量为(,,)n x y z =选向量：选取两不共线向量,AB AC列方程组：由00n AB n AC ì×=ïí×=ïî列出方程组解方程组：解方程组00n AB n AC ì×=ïí×=ïî赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1)得结论：得到平面的一个法向量.题型一 求直线的方向向量解题策略：1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．（空间中一条直线的方向向量有无数个）．2.求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量．1.（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点()()2,3,2,1,0,1A B --，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）A ．()1,1,1a =-B ．()1,1,1a =-C ．()1,1,1a =-D ．()1,1,1a =2．【多选】（2024·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（ ）A ．1AAB ．1C EC ．ABD ．1A A3．（2024·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．4．（2024·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y = ________.5．（2024·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线1l 的方向向量是()2,2,a x =-，直线2l 的方向向量是()2,,2b y =-，若3a = ，且12l l ^，则x y -的值是（ ）A ．-4或0B ．4或1C ．-4D ．07.（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（ ）A ．相交或异面B ．相交C ．异面D ．平行题型二 求平面的法向量解题策略:1.求平面法向量的方法①设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)；③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00{=×=×b n a n ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．注：利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标．2.求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为08.【多选】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）直线l 的方向向量是(1,2,0)a =，若l a ^，则平面a 的法向量可以是（ ）A ．()1,2,0n = B ．()2,4,0n =--C ．()2,1,0n =-D ．()2,1,2n =-9.（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，已知点()2,0,2A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（ ）．A ．()2,1,2B ．()1,2,1-C ．()2,4,2D ．()2,1,2-10．（2024·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（ ）A ．()1,1,1B ．C ．111(,,)333D ．11.（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为 1， 以D 为原点， {}1,,DA DC DD为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面1AB C 的一个法向量是（ ）A ．(1,1,1)B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-12．（2024·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13.（2023春·高二课时练习）已知四边形ABCD 是直角梯形，90ABC ∠= ，SA ^平面ABCD ，1SA AB BC ===，12A D =，求平面SCD 的一个法向量．14．（2024·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1111,A D A B 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B 的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量.15．（2024·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ^平面BCD ，=90BDC ∠°，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（ ）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,016．（2024·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ^平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；17.（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2,AB PB =与平面xDy 的所成角为4p，E 为PB 中点，则平面ABE 的单位法向量0n =______．（用坐标表示）18．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB =，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（ ）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是ö÷÷øC ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-19．（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面a ，b 的法向量，则平面a ，b 交线的方向向量可以是（ ）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,120．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面a 内，()3,1,2=n 是平面a 的一个法向量，则下列点P 中，在平面a 内的是（ ）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P æöç÷èøC ．31,3,2P æö-ç÷èøD ．31,3,4P æö---ç÷èø(1)线线平行的向量表示：设u 1，u 2分别是直线l 1，l 2的方向向量，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2.(2)线面平行的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l ⊄α，则l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0.注：（1）在平面a 内取一个非零向量a ，若存在实数x ，使得u xa =，且l a Ë，则//l a ．（2）在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若存在实数,x y ，使得u xa yb =+，且l a Ë，则//l a ．(3)面面平行的向量表示：设n 1 ，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2 .2．利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．3．证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．4．证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．题型三 用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系21．（2024·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a =，平面α的一个法向量为()111，，u ®=-，则（ ）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交22．（2024·高二单元测试）若平面a 与b 的法向量分别是()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r，则平面a 与b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断23．（2024·山东菏泽·高二统考期末）已知平面a 与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面a 与平面ABC 的位置关系是________.24．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -¢¢¢¢中，222AA AB AD ¢===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD ¢分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD ¢所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．25．【多选】（2024·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0m =-，则l //a C ．若两个不同平面a ，b 的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//a bD ．若平面a 经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面a 的法向量，则1u t +=（二）已知直线、平面的平行关系求参数26.（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-=，平面a 的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面a 平行，则实数x 的值为（ ）A ．12B ．12-C ．10D ．10-27．（2024·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =-，平面a 的法向量()222,,n x x x =+- ，若直线//l 平面a ，则x =______．28．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面a 的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l a ，则实数x =_______．29．（2024·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s ®=，平面a 的法向量()21,,n x x x ®=--，若直线l a ∥，则x =___________.30.（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB 的中点，111B F B D l =，且//EF 平面1ACD ，则实数l 的值为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1231.【多选】（2023春·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 中点，若直线//EF 平面11A BC ，则点F 的位置可能是（ ）A ．线段1CC 中点B ．线段BC 中点C ．线段CD 中点D ．线段11C D 中点32．（2024·上海·高二校联考阶段练习）已知平面a 的一个法向量为()11,2,3n =-，平面b 的一个法向量为()22,4,n k =--，若//a b ，则k 的值为______（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行解题策略：向量法证明两条直线平行的方法：两直线的方向向量共线时，两直线平行或共线，否则两直线相交或异面．33.（2023·江苏·高二专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A D 上，点Q 在线段AC 上，线段PQ 与直线1A D 和AC 都垂直，求证：1PQ BD .34.（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，13AA =，点S 、P 在棱1CC 、1AA 上，且112CS SC =，12AP PA =，点R 、Q 分别为AB 、11D C 的中点．求证：直线PQ ∥直线RS ．35.（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =,12AA =，点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点．(1)求证：1EF BD ^ 且1EF CC ^ ；(2)求证：EF AC ∥．（2）利用向量方法证明线面平行解题策略：1.利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系．(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．2.利用向量法证明线面平行的三种思路（1）与法向量垂直：设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u , 则要证明l //α,只需证明u a ^,即0=×u a .（2）与平面内一个向量平行：在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.（3）用平面内两个不共线向量线性表示：证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.注：证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算．36．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；37．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ^平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114A C =.证明：//DE 平面11ACC A ；38.（2023春·高二课时练习）如图，在四面体A BCD -中，AD ^平面BCD ，BC CD ^，2AD =，BD =．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．证明：PQ 平面BCD ；39.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC .,3,2,AD AB AD AB BC PA ^===^平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB .40．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ^底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；41．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ^底面ABC ，90BAC ∠=°．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；42．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ^，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；43.（2024·高二课时练习）如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP BC ∥，AP AB ^，122AB BC AP ===，D 是AP 的中点，,,E F G 分别为,,PC PD CB 的中点，将PCD V 沿CD 折起，使得PD ^平面ABCD ，试用向量方法证明AP 平面EFG .（3）利用向量方法证明面面平行解题策略：(1)由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可；(2)若能求出平面b a ，的法向量υm ，,则要证明b a //,只需证明υm //.值得注意的是，虽然空间向量的坐标运算比线性运 算更为简单，但法向量的求解有时比较烦琐，有时在 平面内找与直线平行的向量也不直观，因此求解时，需要灵活选择解题方法.44．（2024·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F A G ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．45．（2024·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F ．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；46.（2023春·高二课时练习）如图所示，平面PAD ^平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，求证：平面EFG 平面PBC ．47.（23-24高二上·新疆·期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点．求证：平面//AMN 平面BDEF ．（4）与平行有关的探索性问题解题策略：平行关系中的探究性问题探究点的位置时，可先设出对应点的坐标，然后根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，建立与所求点的坐标有关的方程，通过解方程可得点的坐标．48.（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体P ABCD -的底面ABCD 是一个直角梯形，其中90BAD ∠=,//AD BC ,BA BC a ==,2AD a =，且PA ^底面ABCD ，PD 与底面成30 角．(1)若8BC PD ×= ，求该几何体的体积；(2)若AE 垂直PD 于E ，证明：BE PD ^；(3)在（2）的条件下，PB 上是否存在点F ，使得//EF BD ，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．49.（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱111ABC A B C - 中，已知ABC ∆为正三角形，四边形11ACC A 是菱形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11ACC A ⊥平面ABC .(1)求证：1A C ^平面BDE ；(2)若160C CA ∠= ，在线段1DB 上是否存在点M ，使得//AM 平面BDE ？若存在，求1DM DB 的值，若不存在，请说明理由．50.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =.(1)求证：1AC BC ^；(2)在AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1CDB ，若存在，确定D 点位置并说明理由，若不存在，说明理由．51.（2022·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点．在棱1CC 上是否存在一点Q ，使得平面1//D BQ 平面PAO ？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(1)线线垂直的向量表示：设 u 1，u 2 分别是直线 l 1 , l 2 的方向向量，则l 1⊥l 2⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.(2)线面垂直的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .注：在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若0a u b u ×=×= .则l a ^．(3)面面垂直的向量表示：设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.2.利用向量法证明空间中的平行、垂直可以通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行和垂直问题．破解此类题的关键点如下：①合理建系，抓住空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立空间直角坐标系．②确定坐标，利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标．③准确运算，验证两向量平行或垂直的条件成立．④得出结论，由运算结果说明原问题得证．题型四 利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系52．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--= ，则（ ）A ．12l l ^B ．1l ∥2lC ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合53．（2024·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面a 的法向量为311,,22n æö=--ç÷èø ，则直线l 和平面a 位置关系是（ ）A ．l a ^B ．//l a C ．l a ÌD ．不确定54．【多选】（2024·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v 为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面a ,b 的法向量（a ,b 不重合）,那么下列说法中正确的有（ ）．A ．12n n a bÛ∥∥ B ．12n n a b ^Û^ C ．1v n l Û a ∥∥D ．1v n l ^Û^ a55.（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．1AB 和1AC B ．1A B 和1CD C ．1C D 和1B C D ．1A B 和11B C 56．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=-- ，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面a 的法向量是()6,4,1u =- ，则l a^C ．两个不同的平面,a b 的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=- ，则a b^D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0u =- ，则l a∥57．【多选】（2024·高二课时练习）下列命题是真命题的有( )A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b æö=-ç÷èør 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n æö=ç÷èø ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=r n u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1（二）已知直线、平面的垂直关系求参数58.（2023·全国·高三专题练习）设直线12,l l 的方向向量分别为(1,2,2),(2,3,)a b m =-=- ，若12l l ^，则实数m等于（）A ．1B ．2C ．3D ．459．（2024·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面a 的法向量为()1,2,0n = ，直线l的方向向量为v ，则下列选项中使得l a ^的是（ ）A ．()2,1,0v =- B ．()2,1,0v = C ．()2,4,0v = D ．()1,2,0v =- 60．（江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =- ，平面a 的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+ÎR .若l a ^，则3a b +的值为（ ）A ．5-B ．2-C ．1D ．461．（2024·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+Î 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r 是平面a 的法向量．若l a ^，则ab =______．62．（2024·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面a 的法向量为11,,22æöç÷èø，且l a ^，则m 为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．54-63.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知(2,,)(,)=-+-Î m a b a b a b R 是直线l 的方向向量，(2,1,2)=- n 是平面a 的法向量．若l a ^，则下列选项正确的是（ ）A ．340a b --=B ．350a b --=C ．13,22a b =-=D ．13,22a b ==-64．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC 中，AB =2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO l =uuu r uuu r ，若PA ^平面PBC ，则实数l =（ ）A ．12B ．13-C D 65.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一点，且1(01)DG DA l l =££ ,若1A C ^平面EFG ，则l =（ ）A ．14B ．13C D ．1266.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ^平面ABCD ，O ，M 分别为AD ，DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ^．点N 在直线AD 上，若平面BMN ^平面ABE ，则线段AN 的长为_________．（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直解题策略：利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．67.【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11CDD C 及其边界上运动，并保持1BP A C ^，若正方体边长为，则1A P 的可能取值是（ ）A B C D 68.（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1DD BD 、的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：1EF B C ^．69.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，π2BAC ∠=，,,D E F 分别是11A B ，1CC ，BC 的中点．求证：AE DF ^；70.（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A 为一个顶点，D ，E ，F 分别是所在棱的中点．则满足直线AD EF ^的图形个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）利用向量方法证明线面垂直解题策略：向量法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，用向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．71．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .72.（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 的中点．求证：1AB ^平面1A BD .73．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 是等腰三角形，且π,26ACB AB AC ∠===，又侧棱1BB =面对角线116A C A B ==，点,D F 分别是棱11,A B CB 的中点，11344AE AC AC =+ .证明：1B E ^平面AEF ；74．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，平面11ADD A ^平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2AD =，11111DD D A A A ===.求证：1AD ^平面11CDD C .（3）利用向量方法证明面面垂直解题策略：证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．75．（2024秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ^平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．求证：平面MAC ^平面PCD ；76．（2024·高二课时练习）如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD .求证：平面DEA ⊥平面ECA .77．（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，点E 在BC 上，,,22248AD BC AB AD BC AB AD AP BE ^=====∥．求证：平面PDE ^平面PAC ；（4）与垂直有关的探索性问题解题策略：解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理．(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0,0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP → ＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算．78．（2024·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体ABCDE 中，ABC V ，BCD △，CDE V 都是边长为2的等边三角形，平面ABC ^平面BCD ，平面CDE ^平面BCD ．(1)判断A ，B ，D ，E 四点是否共面，并说明理由；(2)在ABC V 中，试在边BC 的中线上确定一点Q ，使得DQ ^平面BCE ．79.（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 是PA 的中点．(1)求证：//PC 平面BDE ．(2)若2PA =，线段PC 上是否存在一点F ，使AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请说明理由．80.（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60,BAD DE AB ∠=^ 于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D BE ^，如图2．(1)求证：1A E ^平面BCDE ；(2)在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ^平面1A BD ？若存在，求BP BD 的值；若不存在，说明理由．。

解题宝典立体几何知识是高中数学中的重要内容，也是高考的重点考查对象.有些立体几何问题采用常规方法求解较为困难，此时我们不妨转换解题的思路，将“形”转化为“数”，将向量作为它们转化的桥梁，运用向量法将立体几何问题转化为向量问题来求解.利用向量的性质、运算的几何意义可以轻松证明线线垂直（平行）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直），以及解答线线夹角、线面夹角、面面所成的角等问题.一、运用向量法证明线面平行与垂直运用向量法证明线面平行与垂直的关键是求得所证直线的方向向量和所证平面的法向量.直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个.若直线l ⊥平面α，直线l 的方向向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个，且它们是共线向量.求平面的法向量的方法是在平面内找到两个与法向量垂直的向量，运用向量积公式建立关系式即可.在运用向量法证明线面平行与垂直时，只需要证明直线与平面的法向量平行或者垂直即可.例1.已知线段PA 垂直于矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB 与PC 的中点，求证：MN //平面APD .分析：要证明MN //平面APD ，只需证明MN 的方向向量垂直平面APD 的法向量.证明：如图1，设E 为AC 的中点，连接ME 、NE ，设AP = e 1、 AD = e 2、AB = e 3，n 为平面APD 的法向量.∵ MN = ME + EN = e 12+e 22=12( e 1+ e 2)，且n ∙ MN =( e 1× e 2)∙12( e 1+ e 2)=0，∴n ⊥ MN ，∴MN //平面APD .图1本题若采用常规的方法来求解，需要连接NE ，ME ，利用三角形中位线的性质证明NE //PA ，ME //AD ，由面面平行的性质定理得到MN //平面PAD .而向量法是利用两向量的内积为零来证明两向量垂直，从而推出线面平行.相比较而言，运用向量法解题的思路更加简单.例2.在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且AC ⊥DC ，AB ⊥AD ，∠ABC =60°，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点.证明：PD ⊥平面ABE .分析：要证明PD ⊥平面ABE ，只需证明PD 垂直于与平面APD 平行的任意向量即可.证明：∵PA ⊥底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 两两垂直.以A 为坐标原点，以 AB , AD ,AP 为坐标向量建立空间直角坐标系，如图2所示，设PA =AB =BC =k ，则B (k ,0,0)，A (0,0,0)，P (0,0,k )（其中k ≠0），∵AB =BC ，∠ABC =60°，∴AC =AB =k .又∵∠DAC =30°，且DC ⊥AC ，E 是PC 的中点，∴C (k 2，D ，∴E 为(k 4,k 2).∴AB =()k ,0,0， AE =æèçöø÷k 4,k 2， PD =æèçöø÷-k .设λ1,λ2为两不全为零的任意实数，∴r =λ1 AB +λ2 AE =æèççöø÷÷λ1k +λ2k 4,3λ2k 4,λ2k 2，且r//平面ABE.∵ PD ∙r =0，∴ PD ⊥r ，∴PD ⊥平面ABE .图2用向量法证明直线与平面垂直，可以根据已知条件建立空间直角坐标系，得出相关向量的坐标，利用向量内积的几何意义证明垂直关系.同时也可验算过程，一举两得.43解题宝典二、运用向量法求二面角求二面角的大小即求二面角平面角的大小.两平面的法向量间的夹角即为二面角的平面角（或其补角）.若平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉=θ，则二面角α-l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|=|cos θ|=|n 1⋅n 2||n 1||n 2|.例3.设四棱锥S -ABCD 底面是直角梯形，其中∠ABC =90°，SA =AB =BC =1，AD =12，并且SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，求平面SCD 与平面SAB 与所成的二面角的平面角α的正切值.分析：两平面的法向量间的夹角即为二面角的平面角（或其补角），所以解答本题，只需求得平面SCD 与平面SAB 的法向量间夹角的正切值即可.解：∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AD 、AB 、AS 两两垂直.以A 为坐标原点，以 AD , AB ,AS 为坐标向量建立空间直角坐标系.如图3，其中A (0，0，0)，D (12,0,0)，B (0,1,0)，S (0,0,1)，C (1,1,0)，则 AD =æèöø12,0,0， SC =()0,1,-1，SD =æèöø12,0,-1.又∵AD ⊥平面SAB ， SD × SC =æèöø-1,-12,-12，∴所以可设平面SAB 的法向量为n 1=(1,0,0)，平面SCD 的法向量为n 2=)2,1,1.∴cos α=|| n 1∙ n2|| n 1|| n 2=(0<α<π)，∴sin α=，∴tan α.图3解答本题的主要思路是，根据已知条件建立空间直角坐标系，利用向量的内、外积性质计算平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的平面角α的正弦值，再利用三角函数的关系求出α的正切值.本题若用几何方法求解，需要用垂面法构造出二面角的平面角，要求我们具备很强的观察能力和敏锐的思维能力.可见运用向量法解题更简单、便捷，计算量更小.三、运用向量法求异面直线所成的角向量法是求空间角的通用方法.在运用向量法求异面直线所成的角时，需要结合图形建立合适的空间直角坐标系，然后确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量，再利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.两异面直线所成角的余弦就等于两向量夹角余弦值的绝对值．例4.在棱锥P -ABCD 中，ABCD 为梯形，AB //CD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且AB =PA =PD =DA =2，∠BCD =π4,∠DAB =π2，求BC 与PD 所成角α的大小.分析：要求两异面直线BC 与PD 所成角，只需要计算两向量PD 与 BC 的夹角余弦值的绝对值即可.解：如图4，过P 点作PO ⊥平面ABCD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且AB =PA =PD =DA ，∴O 为AD 的中点.以O 为坐标原点，以 OA , OM ,OP 为坐标向量建立空间直角坐标系，由题设易得，P (0，0，3)，D (-1，0，0)，C (-1，4，0)，B(1，2，0)，∴ PD =()-1,0,-3，BC =()-2,2,0.∴cos α=|| PD ∙BC || PD |BC =22×22(0≤α≤π2)，∴α=arc .图4值得注意的是，运用向量法求得两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.夹角余弦值的符号需要根据夹角的范围来确定.向量法是解答高中立体几何证明题和计算题的重要方法.运用向量法可以把空间中的点、线、面的位置关系用向量表示出来，使几何问题代数化.这样不仅能拓展我们的解题思路，还能提高解题的效率.本文系基金项目：四川省级大学生创新训练项目（S202010646124，S202010646088），阿坝师范学院质量工程项目（201907018，202004041），阿坝师范学院创新训练项目（202021100，202021109）.（作者单位：阿坝师范学院）44。

1.4.1运用立体几何中的向量方法解决平行问题一、单选题1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB =,则点C 的坐标为（）A ．715(,,)222-B ．3(,3,2)8-C ．7(,1,1)3--D ．573(,,222-【答案】C【解析】设C 的坐标是（x ，y ，z ）∵A (3,3,-5),B (2,-3,1)，∴166,335AB AC x y z =--=--+（，，）（，，）∵23AC AB = ，∴2335166,3x y z --+=--（，，）（，，）由此解得7,1,1,3x y z ==-=-，故选C.2．在正方体1111ABCD A B C D -中,平面1ACB 的一个法向量为（）A ．1BDB ．DBC ．1BA D ．1BA【答案】A【解析】如图所示，由正方体的性质可得：BD 1⊥B 1C ，BD 1⊥AC ．∴BD 1⊥平面ACB 1．∴平面ACB 1的一个法向量为1BD．故选A ．3．已知空间四边形ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是（）A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形【答案】D【解析】因为111222PQ BQ BP BC BA AC =-=-= .同理12SR AC = ,所以PQ SR = ,所以四边形PQRS 为平行四边形.又111222PS AS AP AD AB BD =-=-=,所以|PS |=1|2BD |,即PS=12BD.又|PQ |=1|2AC |,故PQ=12AC ,而AC=BD ,所以PS=PQ ,故四边形ABCD 为菱形.故选D ．4．如图，在平行六面体ABCD -1111A B C D 中，点,,M P Q 分别为棱AB ，,CD BC 中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①1A M ∥1D P ；②1A M ∥1B Q ；③1A M ∥平面11DCC D ；④1A M ∥平面11D PQB ，则以上正确说法的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】连接PM ，因为M 、P 为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD 。

立体几何之空间向量法【知识要点】1. 利用空间向量证明平行问题的方法(1)线线平行：直线与直线平行，只需证明它们的方向向量平行．(2)线面平行：利用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；利用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(3)面面平行：平面与平面的平行，除了利用面面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两个平面的法向量平行即可．下面用符号语言表述为：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．(1)线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(2)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0.(3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.2. 利用空间向量证明垂直问题的方法(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两条直线的方向向量垂直．(2)线面垂直：利用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；利用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行．(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两个平面的法向量垂直即可．下面用符号语言表述为：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．(1)线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3.(3)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.3. (1)夹角计算公式①两条异面直线的夹角若两条异面直线a 和b 的方向向量分别为n 1，n 2，两条异面直线a 和b 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|.②直线与平面所成的角若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线a 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪a ·n |a ||n |.③二面角设n 1，n 2分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为θ，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，其中cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|. (2)距离公式①点点距离：点与点的距离，是以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距离：点M 到直线a 的距离，设直线的方向向量为a ，直线上任一点为N ，则点M到直线a 的距离d ＝|MN |sin 〈MN ，a 〉； ③线线距离：两条平行线间的距离，转化为点线距离；两条异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距离：点M 到平面α的距离，如平面α的法向量为n ，平面α内任一点为N ，则点M 到平面α的距离d ＝|MN ||cos 〈MN ，n 〉|＝||||MN n n ； ⑤线面距离：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；⑥面面距离：两平行平面间的距离，转化为点面距离．4. (1)用空间向量解决立体几何问题的步骤及注意事项①建立空间直角坐标系，要写理由，坐标轴两两垂直要证明；②准确求出相关点的坐标(特别是底面各点的坐标，若底面不够规则，则应将底面单独抽出来分析)，坐标求错将前功尽弃；③求平面法向量或直线的方向向量；④根据向量运算法则，求出问题的结果．(2)利用空间向量巧解探索性问题空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行繁杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．一、真题试做1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )．A ．55B ．53C ．255D ．352．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是__________．3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ；(2)求二面角F －BD －C 的余弦值．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．二、热点例析热点一利用空间向量证明平行问题【例１】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1.变式训练1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC ，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：＝90°，且AB＝AA(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.热点二利用空间向量证明垂直问题【例２】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F，求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.变式训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．热点三利用空间向量求角和距离【例３】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.B1所成角的余弦值；(1)求异面直线AC与A(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．变式训练3 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的 高．热点四 用向量法解决探索性问题【例４】如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P －AC －D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，请说明理由．变式训练4 如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD＝2；E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．(1)求证：PB ∥平面EFG ；(2)求异面直线EG 与BD 所成的角的余弦值； (3)在线段CD 上是否存在一点Q ，使得A 到平面EFQ 的距离为45若存在，求出CQ 的值；若不存在，请说明理由．三、思想渗透转化与化归思想——利用向量解决空间位置关系及求角问题主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围；(2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角．【典型例题】如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.图1 图2(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．四、练习巩固 1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若,AB BC BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 的值分别为( )．A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．4072,4D ．4，407，－15 2．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )．A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱BB 1，AD 的中点，则直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角的正弦值是( )．A ．26B ．36C ．13D ．664．在四面体PABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为__________．5．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是__________．7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .(1)若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；(2)若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．。

利用向量解决几何平行问题在几何学中，平行是一个非常重要的概念，它被定义为不相交的直线或平面。

然而，在某些情况下，确定两条线是平行的可能会出现困难，尤其是当它们不是水平或垂直时。

在这种情况下，通过使用向量可以更容易地判断它们是否平行。

本文将介绍如何利用向量解决几何平行问题。

1. 向量的基础知识向量是指有大小和方向的量。

在平面几何中，向量通常用箭头来表示，箭头的起点是向量的原点，箭头的末端表示向量所到达的点。

向量通常用粗体字母表示，例如 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$。

向量的大小通常用线段的长度表示，方向用箭头的方向表示，两个向量相等当且仅当它们的长度和方向都相同。

向量的加法和减法都是有定义的，它们的运算结果仍然是向量。

向量的加法可以用平行四边形法则表示，即将将两个向量的起点相连，会得到一个新的向量，它的方向是两个向量方向的平行四边形的对角线。

2. 判断线段是否平行的向量方法给定两个不平行的线段 $\overrightarrow{PQ}$ 和$\overrightarrow{RS}$，我们需要确定它们是否平行。

向量法可以得到一个简单而通用的方法来解决这个问题。

如果两个线段是平行的，那么它们的方向向量也应该是平行的。

首先，我们需要计算出线段 $\overrightarrow{PQ}$ 和$\overrightarrow{RS}$ 的方向向量，可以用下列公式计算：$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}Q_x-P_x \\Q_y-P_y\end{pmatrix}$$\overrightarrow{RS}=\begin{pmatrix}S_x-R_x \\S_y-R_y\end{pmatrix}$其中 $(P_x,P_y)$ 和 $(Q_x,Q_y)$ 是线段 $\overrightarrow{PQ}$ 的起始点和终止点的坐标，$(R_x,R_y)$ 和 $(S_x,S_y)$ 是线段$\overrightarrow{RS}$ 的起始点和终止点的坐标。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（ 1）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》,本节课主要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系,主要是平行。

在向量坐标化的基础上,将空间中线线、线面、面面的位置关系,转化为向量语言,进而运用向量的坐标表示,从而实现运用空间向量解决立体几何问题,为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为培养学生思维提供了更广阔的空间。

1.教学重点:用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系2.教学难点: 用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系多媒体教学过程 教学设计意图 核心素养目标一、情境导学牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。

在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。

牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。

如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。

这是为什么呢? 二、探究新知一、空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示.我们把向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量.如图.2.空间直线的向量表示式如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t a ,即AP⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t a , ① 或OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.创设问题情境,引导学生回顾空间中线线、线面、面面的位置关系,并提出运用空间向量解法立体几何的问题,实现将空间几何问题代数化的基本思想1.下列说法中正确的是( ) A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的答案:B 详细解析:由平面法向量的定义可知,B 项正确.3.空间平面的向量表示式如图,取定空间任意一点O ,空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ,y ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.平面的法向量如图,直线l ⊥α,取直线l 的方向向量a ,我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ,那么过点A ,且以向量a 为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0}.点睛:空间中,一个向量成为直线l 的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l 平行或重合.2.若直线l 过点A (-1,3,4),B (1,2,1),则直线l 的一个方向向量可以是( )A.(-1,12,-32) B.(-1,-12,32) C.(1,12,32) D.(-23,13,1) 答案:D 详细解析: AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-3)=-3(-23,13,1),故选D . 3.若两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,1),则平面ABC 的一个法向量为( )答案:平行详细解析:因为u ·n =(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u ⊥n .所以直线与平面平行,即l ∥β.例1.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC=1,E 是PC 的中点,求平面EDB 的一个法向量.思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.解:如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D (0,0,0),P (0,0,1), E (0,12,12),B (1,1,0),于是DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12), DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面EDB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ⊥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是{n ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +12z =0,n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0,取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB 的一个法向量为n =(1,-1,1). 延伸探究:本例条件不变,你能分别求出平面PAD 与平面PCD 的一个法向量吗?它们之间的关系如何?解:如同例题建系方法,易知平面PAD 的一个法向量为n 1=(0,1,0),平面PCD 的一个法向量为n 2=(1,0,0),因为n 1·n 2=0,所以n 1⊥n 2.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n =(x ,y ,z ).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a =(a 1,b 1,c 1),b =(a 2,b 2,c 2).(3)根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组{n ·a =0,n ·b =0.(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.1.如图所示,已知四边形ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,∠ABC=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=1, AD=12,试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD 的一个法向量; (2)求平面SAB 的一个法向量; (3)求平面SCD 的一个法向量.解:以点A 为原点,AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D 12,0,0,S (0,0,1).(1)∵SA ⊥平面ABCD ,∴AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量. (2)∵AD ⊥AB ,AD ⊥SA ,∴AD ⊥平面SAB , ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗ =12,0,0是平面SAB 的一个法向量.(3)在平面SCD 中,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,1,0,SC⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1). 设平面SCD 的法向量是n =(x ,y ,z ),则n ⊥DC⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥SC ⃗⃗⃗⃗ ,∴{n ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n ·SC ⃗⃗⃗⃗ =0, 得方程组{12x +y =0,x +y -z =0,∴{x =-2y ,z =-y ,令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).例2.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,AD=3,AA 1=2,点P ,Q ,R ,S 分别是AA 1,D 1C 1,AB ,CC 1的中点.求证:PQ ∥RS.证明: (方法1)以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P (3,0,1),Q (0,2,2),R (3,2,0),S (0,4,1),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,1),RS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,1), ∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RS ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥RS ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即PQ ∥RS.(方法2)RS ⃗⃗⃗⃗⃗ =RC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CS ⃗⃗⃗⃗=12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,通过典型例题的分析和解决,让学生感受空间向量坐标运算在解决立体几何问题的应用。

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系一、内容和内容解析1.内容空间中点、直线和平面的向量表示；直线的方向向量和平面的法向量.2.内容解析在本章前三节中，学生类比平面向量，学习了空间向量的概念、线性运算和数量积运算、空间向量基本定理及空间向量的坐标运算，体会了平面向量与空间向量的共性和差异．在这一节中，学生将会运用向量方法研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题，从中体会向量方法与几何方法的共性和差异，通过运用向量方法解决简单数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；而解决这些问题经常要用到平面的法向量．结合以上分析，确定本节课的教学重点：平面法向量的概念及求法.二、目标和目标解析1.目标（1）能用向量表示空间中的点、直线和平面；（2）理解平面的法向量的概念，会求法向量；（3）经历用代数运算解决几何问题的过程，提升直观想象、数学运算素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）理解用位置向量与空间中的点建立对应关系，理解一个点和一个定方向唯一确定一条直线，一个定点和两个定方向确定一个平面，能推导出直线和平面向量表示式．（2）理解与平面垂直的直线的方向向量是平面的法向量，从而法向量不是唯一的，清楚在用待定系数法求法向量的坐标时，为什么只需要两个方程．三、教学问题诊断分析对于问题“空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．如何用向量表示直线l？”学生可能会感到比较抽象，不知道需要做什么．教师可以进行追问将问题描述地更加具体，起到提示和辅助学生的作用．比如换成思考“直线上任意一点P如何用向量表达式表示，式子中只含有点A和方向向量a”.上述问题解决后，在提出问题“一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”时，学生可以利用直线的向量表示式的经验去思考．最后对于问题“一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”，有的同学可能觉得“经过一条直线和直线外一点”也可以确定平面，这时教师要注意强调问题中的一个定点的任意性（即可能在直线上）．这样提出“经过定点A且垂直于l的平面是唯一确定的”就比较自然．另外与前几个问题不同的是，在表示平面上任意一点P时，用到数量积运算而不是线性运算，究其原因一是让学生结合线面垂直的定义理解法向量与平面内的任意向量垂直，二是向量垂直关系用运算表达等价于数量积为0．本节课的教学难点是空间中的点、直线和平面的向量表示.四、教学过程设计引言：我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．（一）思考空间中点、直线和平面的向量表示问题1：如何用向量表示空间中的一个点？追问:取空间中一个定点O为起点,空间中的向量与向量的终点间有怎样的关系？师生活动：教师引导学生类比平面中用向量表示点．设计意图：引发学生思考起点确定时，空间中任意一个点作为终点都可以得到一个空间向量，这种一一对应关系决定能用向量OP表示点P．问题2：我们知道，空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l ．如何用向量表示直线l ？师生活动：教师在课件中给出图形，即点A 和直线l 的方向向量a ，并向学生阐明，用向量表示直线l ，就是用点A 和向量a 表示直线l 上的任意一点．学生观察图形，进行思考．追问：（1）P 是直线l 上的任意一点，由方向向量的定义可知，AP 怎样用a 来表示？（2）假设O 是空间任意一点，运用问题1中用位置向量表示点的方法，又可以怎样表示AP ？ 师生活动：教师引导学生观察、讨论、分析．设计意图：教材第1节就给出了直线的方向向量的概念，根据空间向量数乘运算的意义，AP =t a （t ∈R ）．通过追问2，让学生得到OA OP AP -=，从而得出直线的向量表示式a t OA OP +=，进一步深化理解点的向量表示．同时应指出，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使a t OA OP +=．问题3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？追问：（1）我们知道，经过两条相交直线可以确定一个平面α，设这两条直线的交点为A ，方向向量为a 和b ，P 为平面α内任意一点，根据平面向量基本定理，如何表示AP ？（2）取定空间任意一点O ，类似于问题2，你能得到平面ABC 的向量表示式吗？师生活动：教师展示图形，引导学生思考并进行演算．设计意图：根据平面向量基本定理，存在唯一实数对（x ，y ），使得b a y x AP +=．类比问题2的推导过程，学生容易得到平面的向量表示式AC y AB x OA OP ++=，由学生自行推导，强调前后知识的联系，形成解决同类问题的思想方法．（二）平面的法向量的概念及求法问题4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？师生活动：教师展示图形，经过定点A 且垂直于l 的平面是唯一确定的，给出平面法向量的概念，即l ⊥α，l 的方向向量a 叫做α的法向量．对于第二个问题可进行如下追问．追问：（1）对于平面内任意一点P ，AP 与a 有怎样的关系？可以用哪种运算来表示这种关系？（2）如果另有一条直线m ⊥α，在m 上取向量b ，则b 与a 有什么关系？设计意图：让学生在思考中理解垂直关系可以用向量数量积为0来表示，为后面求平面的法向量提供依据．教师给出集合{}|0P AP •=a 表示平面，加强知识间的联系，用集合的观点表示图形．例 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，M 是AB 中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC 1B 1的法向量．（2）求平面MCA 1的法向量．设计意图：第（1）问是通过定义法求法向量，第（2）问是用待定系数法求法向量，加深学生对法向量的概念理解，熟练空间直角坐标系和空间向量的坐标表示．问题5：如果设平面MCA 1的法向量为n=（x ，y ，z ），如何得到x 、y 、z 满足的方程？师生活动：学生通过观察结合本节课所学，可知平面MCA 1可以看成由MC ，1MA ，1AC 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算列出方程．追问：为什么只需用n 与两个不共线的向量数量积为0列方程组就可以？设计意图：让学生通过线面垂直的判定定理理解用待定系数法求法向量的过程．同时教师应指出方程组有无数个解，我们只需求出平面的一个法向量，求直线的方向向量也是如此．（三）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：（1）如何用向量表示空间中的点、直线和平面？（2）什么是平面的法向量，如何求平面法向量？（3）通过本节课对你今后解决立体几何问题有哪些启发？设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．布置作业：教科书习题1.4第1，2题．思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系？五、目标检测设计1．如图，在三棱锥A -BCD 中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且EF =2F A ．设a =BC ，b =BD ，c =BA ，求直线AE 、BF 的方向向量．设计意图：考查学生用基底法求直线的方向向量.2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2．以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面BCC1B1的法向量；（2）求平面A1BC的法向量．设计意图：考查学生用空间向量坐标运算求法向量.。

3.2 立体几何中的向量方法第1课时 用向量方法解决平行问题课时过关·能力提升基础巩固1在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,平面ACB 1的一个法向量为( ) A .BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析:由于直线BD 1⊥平面ACB 1,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ACB 1的一个法向量. 答案:A2设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k ),若α∥β,则k 等于( ) A.2B.-4C.4D.-2解析:∵α∥β,∴1-2=2-4=-2k,∴k =4.答案:C3若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A.相交 B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内. 答案:D4若两个不同的平面α与β的法向量分别是a =(1,0,-2),b =(-1,0,2),则平面α与平面β的关系是 ( ) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.无法判断 解析:∵a=-b ,∴a ∥b ,∴α∥β.答案:A5若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为u ,则能使l ∥α的是( ) A.a =(1,0,0),u =(-2,0,0)B.a =(1,3,5),u =(1,0,1)C.a =(0,2,1),u =(-1,0,1)D.a =(1,-1,3),u =(0,3,1)解析:∵l ∥α,∴a ⊥u ,即a ·u =0.故选D .答案:D6已知两个不同的平面α与β有公共的法向量n =(1,-1,1),则平面α,β的位置关系为 . 答案:α∥β7如图,在正三棱锥S-ABC 中,点O 是△ABC 的外心,点D 是棱BC 的中点,则平面ABC 的一个法向量可以是 ,平面SAD 的一个法向量可以是 .答案:OS ⃗⃗⃗⃗⃗ BC⃗⃗⃗⃗⃗ (答案不唯一) 8已知a =(3λ,6,λ+6),b =(λ+1,3,2λ)为两个平行平面的法向量,则λ= . 答案:29已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,M ,N 分别是BC ,AE ,CD 1的中点,AD=AA 1=a ,AB=2a. 求证:MN ∥平面ADD 1A 1.证明:以D 为原点,分别以DA ,DC ,DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则A (a ,0,0),B (a ,2a ,0),C (0,2a ,0),D 1(0,0,a ),E (12a ,2a ,0).∵M ,N 分别为AE ,CD 1的中点, ∴M (34a ,a ,0),N (0,a ,a2).∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-34a ,0,a2). 取n =(0,1,0),显然n ⊥平面A 1D 1DA ,且MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n .又MN ⊄平面ADD 1A 1, ∴MN ∥平面ADD 1A 1.10如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,∠ABC =π4,PP ⊥底面ABCD ,PA=2,点M 为PA 的中点,点N 为BC 的中点.AF ⊥CD 于点F ,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD 的一个法向量并证明MN ∥平面PCD.解:由题设知,在Rt △AFD 中,AF=FD =√22,A (0,0,0),B (1,0,0),F (0,√22,0), D (-√22,√22,0),P(0,0,2),M(0,0,1),N (1-√24,√24,0). MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-√24,√24,-1),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,-2),PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,√22,-2). 设平面PCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{ √22y -2z =0,-√22x +√22y -2z =0,令z =√2,得n =(0,4,√2). 因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =(1-√24,√24,-1)·(0,4,√2)=0,且MN ⊄平面PCD ,所以MN ∥平面PCD.能力提升1已知直线l 的方向向量a =(2,3,13),平面α的法向量为n =(6,λ,-12),若l ∥α,则λ的值是( )A.4B.−7118C.253D.−236解析:∵l ∥α,∴a ⊥n ,即a ·n =0,∴2×6+3λ−16=0,解得λ=−7118.答案:B2给出下列命题:①若n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则n 1∥n 2⇔α∥β; ②若n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n 1·n 2=0;③若n 是平面α的法向量,且向量a 与平面α共面,则a ·n =0.其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2C.3D.0解析:①中,α与β可能重合;②中,α∥β可得到n 1∥n 2.答案:A3在三棱锥P-ABC 中,CP ,CA ,CB 两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB 的法向量的是( )A .(1,1,12)B.(1,√2,1)C.(1,1,1)D.(2,-2,1)解析:PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0). 设平面PAB 的一个法向量为n =(x ,y ,1), 则{x -2=0,-x +y =0,解得{x =2,y =2,∴n =(2,2,1).又(1,1,12)=12n ,∴A 正确.答案:A4已知直线a ,b 的方向向量分别为m =(4,k ,k-1)和n =(k ,k +3,32),若a ∥b ,则k= .解析:①当k=0时,a 与b 不平行.②当k ≠0时,由4k =k k+3=k -132,解得k=-2.答案:-25已知向量a =(1,3,5),b =(2,4,6),若n 与x 轴垂直,且a ·n =12,n ·b =14,则n = . 解析:设n =(0,y ,z ), 由题意得{3y +5z =12,4y +6z =14,解得{y =-1,z =3.故n =(0,-1,3). 答案:(0,-1,3)6已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的法向量为n =(-1,-1,-1),且β与α不重合,则α β.(填“⊥”或“∥”)解析:AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1), 则n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×0+(−1)×1+(−1)×(−1)=0, n ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×1+(−1)×0+(−1)×(−1)=0. 又α与β不重合,故α∥β. 答案:∥7在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,DA=2,DC=3,DD 1=4,M ,N ,E ,F 分别是棱A 1D 1,A 1B 1,D 1C 1,B 1C 1的中点,求证:平面AMN ∥平面EFBD.证法一:建立如图所示的空间直角坐标系,取MN ,DB 及EF 的中点R ,T ,S ,连接RA ,ST ,则A (2,0,0),M (1,0,4),N (2,32,4),D (0,0,0),B (2,3,0),E (0,32,4),F(1,3,4),R (32,34,4),S (12,94,4),T (1,32,0),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,0),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,0), AR ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,34,4),TS ⃗⃗⃗⃗ =(-12,34,4).∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AR ⃗⃗⃗⃗⃗ =TS ⃗⃗⃗⃗ ,∴MN ∥EF ,AR ∥TS ,∴MN ∥平面EFBD ,AR ∥平面EFBD.又MN ∩AR=R ,∴平面AMN ∥平面EFBD.证法二:由证法一可知,A (2,0,0),M (1,0,4),N (2,32,4),D(0,0,0),E (0,32,4),F(1,3,4),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,4),AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,4), DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,4),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,4).设平面AMN ,平面EFBD 的法向量分别为 n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 1·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x 1+4z 1=0,32y 1+4z 1=0,令x 1=1,得z 1=14,y1=−23.又{n 2·DE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{32y 2+4z 2=0,x 2+3y 2+4z 2=0,令y 2=-1,得z 2=38,x 2=32.∴n 1=(1,-23,14),n 2=(32,-1,38). ∴n 2=32n1,得n 1∥n 2. ∴平面AMN ∥平面EFBD.8★如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是正方形,EF ∥AB ,EF ⊥FB ,AB=2EF ,∠BFC=90°,BF=FC ,H 为BC 的中点,求证:FH ∥平面EDB.证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB ⊥BC. 又EF ∥AB ,∴EF ⊥BC. 又EF ⊥FB ,FB ∩BC=B ,∴EF ⊥平面BFC , ∴EF ⊥FH.∴AB ⊥FH.又BF=FC ,H 为BC 的中点,∴FH ⊥BC.又AB ∩BC=B ,∴FH ⊥平面ABC.以H 为坐标原点,HB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴正方向,HF ⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设BH=1,则F (0,0,1),HF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1). 设AC 与BD 的交点为G ,连接GE ,GH , 则E (0,-1,1),G (0,-1,0),∴GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1). ∴HF⃗⃗⃗⃗⃗ =GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即HF ∥GE.∵GE⊂平面EDB,FH⊄平面EDB, ∴FH∥平面EDB.。

§3.2 立体几何中的向量方法第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 (1)用向量表示直线的位置(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b 来确定：②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：(3)直线的方向向量和平面的法向量知识点二 平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 知识点三 用空间向量处理平行关系设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则.(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) (3)若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) (4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√) (5)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则l 1⊥l 2.(√)类型一 求平面的法向量例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →＝(1，－1,0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋3z ＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ， 则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．类型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量证明 (1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1-→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1-→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1-→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1-→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1-→，n 2⊥C 1B 1-→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1-→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1-→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量解 存在点E 使CE ∥平面P AB .以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ， ∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)，∵PE →∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0，① ∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 B解析 由l 1∥l 2，得v 1∥v 2，得1λ＝24＝36，故λ＝2.2．已知直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若l 1∥l 2，则λ与μ的值可以分别是( )A ．2，12B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,2考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量答案 A解析 由题意知⎩⎨⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A解析 因为AB →＝(2,4,6)，所以与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量． 4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 C解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， ∴2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 (1,1,1)(答案不唯一)解析 不妨设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，设平面ACD 1的一个法向量a ＝(x ，y ，z )， 则a ·AC →＝0, a ·AD 1-→＝0.因为AC →＝(－1,1,0)，AD 1-→＝(－1,0,1)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧(－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z ，不妨取x ＝1，则a ＝(1,1,1)．(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D ．a ＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D解析 由l ∥α，故a ⊥μ，即a ·μ＝0，故选D.2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10D ．6和10考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A解析 由两直线l 1∥l 2，得两向量a ，b 平行，即2－4＝－3x ＝5y ，所以x ，y 的值分别是6和－10.3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．±2 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D解析 依题意得，－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)． 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AC →·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)， 单位法向量为⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33. 5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D解析 当a ·b ＝0时，l ⊂α或l ∥α.6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 B解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 7．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－2 C ．1,2D ．－1，－2考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 A解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋n ＋1＝0，m ＋5n －9＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2. 二、填空题8．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 2∶3∶(－4)解析 由已知得，AB →＝⎝⎛⎭⎫1，－3，－74， AC →＝⎝⎛⎭⎫－2，－1，－74， ∵a 是平面α的一个法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 即⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ，∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 9．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 12解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y＋2＝0，∴y ＝12. 10．设平面α的法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 4解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2k，解得k ＝4. 三、解答题11．已知平面α经过点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4y －3z ＝0，x －2y －4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2， ∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．12.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)， C (1，3，0)，于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．13．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD . 考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 如图，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接ED ，易知Q 在线段ED 上，∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心， ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13AD →， ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD .四、探究与拓展14．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )A ．(1，－4,2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D ．(0，－1,1)考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量答案 D解析 因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D. 15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AA 1＝4，AD ＝5.求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .考点 直线的方向向量与平面的法向量题点 求平面的法向量证明 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A 1(5,0,4)，B (5,3,0)，D 1(0,0,4)，B 1(5,3,4)，C (0,3,0)，∴A 1D -→＝(－5,0，－4)，A 1B -→＝(0,3，－4)，D 1C -→＝(0,3，－4)，B 1C -→＝(－5,0，－4)．设平面A 1BD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥A 1D -→，m ⊥A 1B -→，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A 1D -→＝－5x －4z ＝0，m ·A 1B -→＝3y －4z ＝0. 取z ＝1，得x ＝－45，y ＝43，则m ＝⎝⎛⎭⎫－45，43，1. 设平面B 1D 1C 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1C -→＝0，n ·B 1C -→＝0，得n ＝⎝⎛⎭⎫－45，43，1. ∵m ＝n ，即m ∥n ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .。