第五章 数字调制与检测

第五章 数字调制与检测5.1信号空间分析 5.2带通调制原理 5.3幅度/相位调制 5.4频率调制 5.5脉冲成形5.6符号同步与载波恢复数字调制主要分为两类：幅度/相位调制和频率调制。

频率调制用非线性方法产生，其信号包络一般是恒定的，因此称为恒包络调制或非线性调制。

幅度/相位调制也称为线性调制。

线性调制一般比非线性调制有更好的频谱特性。

5.1信号空间分析5.1.1信号与系统模型假设在[0，T]时间间隔内传输的消息是i m 。

由于信道是模拟的，信息必须加载到适合于信道传输的模拟信号中，因此，每个消息i m 都映射到一个特定的模拟信号}t ,...,t {t m 1i ）（）（）（S S S S =∈上，其中）（t i S 定义在时间[0，T ）上，其能量为： ⎰=Ti S dt t s E 02i )( i=1，…，M每个消息代表一个比特序列，因此每个信号S S ∈）（t i 同样也代表一个比特序列。

接收端检测出发送的）（t i S 等价于检测出发送比特序列。

对于发送消息构成的序列，时间区间[kT,(k+1)T]发送的消息i m 对应有一个模拟信号)(s kT t i -，发送端发送的总信号是各时间区间内相应的模拟信号构成的序列：∑-=k i kT t s t s )()(接收机设计在消息估计方面的目标就是要使每个码元间隔[kT,(k+1)T]内估计的差错概率最小化：)()|ˆ(1sent m p sent m m m p P i Mj i i e ∑=≠=把信号},...,1i :t {i M S =）（用几何方式表示，我们就可以利用最小距离准则得到AWGN 信道下的最佳接收机设计。

5.1.2信号的几何表示每一个）（t i S S ∈都可以用这组基函数表示为：)(t 1i t s S j Nj ij φ∑==）（ 0<t<T 其中⎰=Tj i ij dt t t s s 0)()(φ线性带通调制的基函数由正弦和余弦函数组成)2cos(2t 1t f Tc πφ=）（ )2(sin 2t 2t f T c πφ=）（ 其中系数T2用于归一化。

）（t i S 可表示为： )2sin(2)()2cos(2)()(2i1i t f T t S t f T t S t S c i c ππ+= 其中两个系数对应同相分量和正交分量。

基函数也可能会包含一个用以改善发送信号频谱特性的脉冲成形滤波器g （t ）)2sin()(g )()2cos()(g )()(2i1i t f t t S t f t t S t S c i c ππ+=将表示)(i t S 的系数{)(i1t S }写成向量N T iN i i R s s s ∈=],...,[1，称其为)(i t S 的信号星座点。

所有星座点构成星座图。

把信号)(i t S 用其星座点表示，就叫做信号空间表示，包含星座图的信号空间称为信号空间。

借助于这种信号空间表示，分析无穷维的函数)(i t S ，就是分析2R 上的向量i S ，这将大大简化系统性能的分析及最佳接收机设计的推导。

为了用信号的空间表示来分析信号，我们需要了解一些向量空间N R 中的概念： N R 中向量的长度定义为：∑==Nj ij is s 12|||| 两个星座点之间的距离是：⎰∑-=-=-=Tk i Nj kj ij k idt t s t s s s s s 0212))()(()(||||两个是信号的内积：dt t s t s t s t s Tk i k i ⎰=0)()()(),(5.1.3接收机结构和充分统计量AWGN 信道下信号检测的接收机结构其中⎰=T j i ij dt t t s s 0)()(φ ⎰=Tj j dt t t 0)()(n n φN )(t rr （t ）表示为)()()()()(1j 1j t n t r t n t n sr j Nj r j Nj ij+=++∑∑==φφ，)(t n r 代表“剩余”噪声接收机的设计目标是：对于给定的接收信号r （t ），实现对发送消息检测的错误概率最小化，既要使))(|ˆ(1))(|ˆ(e t r m m p t r m mp P i i =-=≠=最小，也即使得))(|ˆ(t r m mp i =最大。

因此收到信号r(t)时，接收机应该输出能使))(|ˆ(t r m m p i =最大的消息。

由于消息和信号星座点之间是一对一的映射，所以也就等效于接收机应输出))(|(t r sent s p i 最大的消息。

经变换：)),...,(|),...,(())(|(11N iN i i r r sent s s p t r sent s p =这个结果不包含)(t n r ，只包含向量r ，就是说在检测发送消息时，弃掉剩余噪声，只用r 进行检测就可以使错判概率最小。

也就是说，),...,()(1N r r t r =是接收信号r （t ）的充分统计。

5.1.4判决域及最大似然判决准则最佳接收机通过选择m ˆ使))(|ˆ(1t r sent m p P e =-最大而使错误率最小。

也就是说，对于给定的接收向量r ，最佳接收机所选择的i m m=ˆ对应的星座点i s 满足)|()|(r sent s p r sent s p j i ≥。

定义判决域1Z ,…, M Z 为信号空间N R 的子集。

})|()|(:{i j r sent s p r sent s p r Z i i i ≠∀>=定义似然函数为 )|()(i i s r p s L = 最大化)(i s L 等价于最大化对数似然函数，即：2120||||1)(1)(i N j ij j i s r N s r N s l --=--=∑=即)(i s l 只取决于接收向量r 与星座点i s 之间的距离。

从式子中可知，与接收向量r 距离最近的i s 能使)(i s l 最大。

最大似然接收机的判决只跟向量之间的距离有关，所以结构很简单。

5.1.5误码率及联合界接下来讨论误码率以及极大似然接收机的结构对于等概率消息，有，M sent p i /1)m (=∑=∈-=Mi i ie sent m Zr p MP 1)|(11误码率积分不随星座图的旋转和平移而改变。

上式给出了错误率的精确解，但一般不能得到式中积分的闭式结果。

为此，我们来考虑错误率的联合界，它能写出一个用星座点间距离表示的闭式结果。

得到的联合界为∑∑∑=≠==≤=M i Mik k ik Mi i e i N d Q M sent m P m p P 1101e )2(1)()(得到闭式界为]4exp[/102min 0min N d N d M P e --≤π近似值为)2(minmin N d Q M P d e ≈ 注意e P 是误码元率（无消息率）：)|ˆ(e i i m m mp P ≠=，每个码元或消息包含有M2log 比特。

系统设计者一般更关心误比特率而不是误码率，因为误比特率直接影响上层网络协议及端到端的性能。

由于邻近判决域的错误容易发生，所以我们希望能设计出一种将M 种比特组合映射到消息i m （i=1,…,M ），它能使邻近判决域的错误发生时，只出现1比特错误。

若非邻近星座点的错误概率非常小，则这种映射下的误比特率近似为： MP P b 2elog ≈最常见的这种将星座点误判为邻近星座点导致单一比特错误的映射是格雷码。

5.2带通调制原理数字带通调制的基本原理是用载波信号携带信息比特流在信道中传输，在接收端，解调器从接收到得信号中提取出这些信息比特流。

信道对发送信号的损伤可能会导致解调出现比特错误。

调制的目标就是以最小的数据损伤概率实现高速传输数据。

一般来说，一条信号通过幅度。

频率或者相位来携带信息。

5.3幅度/相位调制幅度/相位调制是将信息调制到幅度和相位中。

幅度/相位调制的星座图由星座点{（21,i i s s ）2R ∈，i=1,…,M}决定。

S （t ）的等效基带表示为})(Re{)(20tf j j c ee t x t s πφ= 其中)()()(21t g js st x i i +=幅度/相位调制主要分为3种： 脉冲幅度调制（MPAM ）：只有幅度携带信息； 相移键控（MPSK ）:只有相位携带信息；正交幅度携带调制（MQAM ）:幅度和相位都携带信息。

幅度/相位调制器同向支路（I 路）)(t 正交支路（Q 路）幅度/相位解调器5.3.1脉冲幅度调制（MPAM ）一维的MPAM 是最简单的线性调制，它没有正交分量。

MPAM 调制用幅度携带信息，发送信号为：c s c i t f j i i f T t t f t g A e t g A t s c /10),2cos()(})(Re{)(2>>≤≤==ππ每个码元周期内第i 个星座点对应的MPAM 信号的能量是222220)2(cos )()(i T c i T i si A dt t f t g A dt t s E ss===⎰⎰π假设码元等概，则平均能量为：2M1i 1i sA ME ∑==MPAM 的星座映射通常采用格雷码映射，相邻星座只有一比特不同。

由于最容易出现的判决错误是将发送的星座点判决为邻近的星座点，因此在格雷码映射时，K 个比特中只错一个比特。

由于MPAM 只有一个基函数。

所以相干解调器可以简化为下图所示：i m mˆ=)(t r =5.3.2相移键控（MPSK ）MPSK 通过相位携带信息。

码元间隔s T t <≤0内的发送信号为：tf Mi t g A t f M i t g A e t g A t s c c t f j M i j i c e ππππππ2sin ))1(2sin()(2cos ))1(2cos()(})(Re{)(2/)1(2---==- MPSK 中所有发送信号有相同的能量：22)(A dt t s E sT i si ==⎰5.3.3正交幅度调制（MQAM ）MQAM 有两个自由度，其幅度和相位都携带信息。

这使得在给定平均能量时，MQAM 相比于MPAM 和MPSK 可以携带更多的信息比特，因此有更高的频谱效率。

MQAM 的发送信号为：)2cos(t f c π多门限设备)()(t s t r i =k b b b ...,,21i =s c i i c i i t f j j i i T t tf tg A t f t g A e t g e A t s c i ≤≤-==02sin )()sin(2cos )()cos(})(Re{)(2πθπθπθ信号的能量与MPAM 相同，为22)(A dt t s E sT i si ==⎰5.3.4差分调制差分调制是有记忆调制的一种。