第八讲 函数的基本性质练习

函数的基本性质练习(含答案)基础训练A组1.若函数f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)，代入函数f(x)，得到：m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)(-x)^2+(m-2)(-x)+(m^2-7m+12)化简得到：(m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)x^2-(m-2)x+(m^2-7m+12)移项得到：4x=0，因此m=2，选B。

2.偶函数在[-∞,-1]上是增函数，说明在[1,+∞)上也是增函数，因此f(-3/2)<f(-1)<f(2)，选A。

3.因为f(x)是奇函数，所以在[-7,-3]上也是增函数，最小值为-5，因此选A。

4.F(x) = f(x) - f(-x)，代入f(-x)得到：F(x) = f(x) - (-f(x)) = 2f(x)因此F(x)是偶函数，选B。

5.对于y=x，有y'=1>0，在(0,1)上是增函数，选A。

6.化简得到f(x)=-x^2+x，因此在[0,1]上是减函数，但f(-x)=-f(x)，因此是奇函数，选B。

填空题1.因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，不等式化简得到f(x)<0，解为(-5,0)U(0,5)。

2.值域为(-∞,+∞)，因为2x+x+1可以取到任意大的值。

3.y=x+1，因此值域为(1,2]。

4.f(x)的导数为2(k-2)x+(k-1)，当x(k-1)/(2(k-2))时导数小于0，因此f(x)的递减区间为(-∞,-(k-1)/(2(k-2)))U((k-1)/(2(k-2)),+∞)。

5.命题(1)和(2)正确，命题(3)和(4)错误，因此正确的命题个数为2.解答题1.一次函数y=kx+b的单调性取决于k的符号，当k>0时单调递增，当k0时单调递减，当k0时开口向上，单调递增，当a<0时开口向下，单调递减。

2.因为定义域为(-1,1)，所以f'(x)=2x-1<0当x<1/2时，f(x)单调递减，因此f(x)在(-1/2,1/2)上取得最大值，最小值为f(1)=3.x0时，f(x)为正数。

函数的性质练习题函数的性质练习题函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的对应关系。

函数的性质是我们研究函数的重要内容之一，通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握函数的性质。

下面，我们来进行一些函数性质的练习题。

1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数所接受的自变量的取值范围，值域是指函数所能取得的因变量的取值范围。

考虑函数f(x) = √(4 - x^2)，求出它的定义域和值域。

解答：由于√(4 - x^2)中的被开方数不能为负数，所以4 - x^2 ≥ 0。

解这个不等式，我们可以得到-2 ≤ x ≤ 2。

因此，函数的定义域为[-2, 2]。

又因为函数的值域是被开方数的非负实数集合，所以值域为[0, 2]。

2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内的对称性。

如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

考虑函数f(x) = x^3 - x，判断它的奇偶性。

解答：将函数f(-x)代入函数f(x)中，得到f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x。

由于f(-x) ≠ f(x)且f(-x) ≠ -f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

3. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性。

如果对于定义域内的任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；如果对于定义域内的任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数。

考虑函数f(x) = x^2 - 2x，判断它的单调性。

解答：求出函数f(x)的导数f'(x) = 2x - 2。

当f'(x) > 0时，函数递增；当f'(x) < 0时，函数递减。

解不等式2x - 2 > 0，得到x > 1。

因此，函数f(x)在定义域内的x > 1时递增，在x < 1时递减。

函数的性质一、单调性1、单调性的判断（1）取值，在区间内取12x x < （2）做差变形，将12()()f x f x -进行恒等变形，主要手段有：因式分解，配方，通分，有理化等。

（3）判定符号（不能时，讨论）（4）确定增减。

2、复合函数的单调性（同增异减）（一般外层函数是单调唯一的）()u g x =增，()y f u =增，[()]y f g x =增()u g x =减，()y f u =减，[()]y f g x =增()u g x =增，()y f u =减，[()]y f g x =减()u g x =减，()y f u =增，[()]y f g x =减3、求解函数的单调区间（1）画图寻找（2）利用已知函数的单调性（3）定义4、单调性的应用（1）求解参数的范围已知含参函数(,)y f x a =的在区间A 是单调的，那么先表示出(,)y f x a =的对应的单调区间B ，只要A B ⊆，可以求得a 的范围（2）解不等式在某个区间上单调的函数，在区间上两点的函数值的大小关系与两点的大小关系是相互等价的，是可以相互转化的（3）二、求解函数的最值（首先确定定义域）1涉及二次函数或是可以转化成二次函数的函数2形如y ax b =+t =，代入转化成关于t 的二次函数，配方求解3对形如22ax bx c y dx ex f++=++（220a b +≠）的函数，求其最值，可采用判别式，即原函数转化为关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆≥，求解出y 的最值4利用图像求解最值5判断函数在给定区间上的单调性，画图寻找最值的位置，求解之三、函数的奇偶性1、判断函数奇偶性（1）求解定义域，判断是否关于原点对称（否，非奇非偶）（2）判断()()f x f x -=或()()f x f x -=-（较为复杂的话，判断()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=）（不满足，非奇非偶）（3）确定奇偶性2、利用奇偶性求解函数解析式已知0x >时()f x 的解析式，求解0x <时()f x 的解析式。

函数的基本性质专题训练一、 单选题1．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x =2．（2019·安徽省淮北一中高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()15f =，且()()4f x f x +=-，则()()20192020f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．53．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的x 的取值范围（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2020·绥德中学高二月考（文））已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，当0x <，()f x =（ ） A ．(1)x x --B ．(1)x x -C ．(1)x x -+D ．(1)x x +5．（2020·宁夏回族自治区高三其他（文））已知偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·绥德中学高二月考（文））设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<7．（2020·上海高一课时练习）①若T 是()f x 的周期，则2T 也是()f x 的周期；②若T 是()f x 的周期，则2T也是()f x 的周期； ③已知0x 为()y f x =定义域上的某一个值，T 是非零常数，若()()00+=f x T f x ，则T 是()y f x =的周期．以上叙述中，正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．（2018·浙江省杭州高级中学高一期中）函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(2,)-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞9．（2020·绥德中学高二月考（文））已知函数3()f x x x =+，对任意的[22]m ∈-，，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．2(2,)3- B ．2(2,)3C ．2(2,)3-D ．2(2,)3--10．（2020·北京高三二模）已知函数211,0()2,0x x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，若实数[2,0]m ∈-，则|()(1)|f x f --在区间[,2]m m +上的最大值的取值范围是（ ） A ．[1,4] B ．[2,4]C ．[1,3]D ．[1,2]二、多选题11.（2020·东营市第一中学高二期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 11e 2x xf x =-+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{}1,0,1-12．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()32bx f x ax+=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a 、b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <≤，2b =C ．1a =-，2b =D ．12a =，1b = 13．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数()f x ，x R ∀∈,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，以下结论中正确的是（ ）A ．()0(3)f f >-B ．,x R ∀∈()(1)f x f ≤-C ．23(1)()4f a a f -+≥D ．若()(2),f m f <则42m -<<14．（2020·安达市第七中学高一月考）若函数()f x 满足（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠，12x x <时，恒有()()12f x f x >，则称函数()f x 为“理想函数”，给出下列四个函数中：①()1f x x =；②()3f x x =-；③()2121x x f x -=+；④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，则被称为“理想函数”的有（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④三、填空题15．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）根据函数的图象，若1211x x -<<<，则()1f x 与()2f x 的大小关系是_____________.16．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是_______________17．（2020·绥德中学高二月考（文））定义在R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立，则(2023)f =__________.四、双空题18．（2018·贵州省高一期末）已知()f x 是定义域在R 上的奇函数，且当0x <时，()|1|f x x =+，则(2)f -=_______，(2)f =_______19．（2019·天津市滨海新区塘沽第一中学高一期中）已知函数2()2||3f x x x =-++，则()f x 的单调递増区间为________和________.20．（2020·浙江省效实中学高二期中）已知函数()f x 的定义域为R ，(2)()f x f x +=，已知[]0,2x ∈时，()f x =221x x -+，则(3)f =_________；(0)(1)(2)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+=____________.21．（2020·贵州省高一期末）有以下四个条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线； ②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数； ④()f x 恰有两个零点.若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式()f x =_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式()g x =_____________ 五、解答题22．（2019·贵州省凯里一中高一期中）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()f x 的解析式；（2）画出()f x 的图象（不需要列表）并写出()f x 的递减区间（无需证明）.23．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数()f x 定义在(,)-∞+∞上，满足：任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立，(2)1f =. （1）求(0),(1)f f 的值.（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；24．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）已知函数2()1ax bf x x+=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义证明：函数()f x 在(1,1)-上是增函数．25.（2020·宁波市北仑中学高二月考）已知函数222,0,()0,0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上是单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）求不等式()()0f x f x x--<的解集.26．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）定义在R 的函数()f x 满足对任意x yR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合. 27．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数()af x x x=+（常数a>0）. （1）证明：函数()f x在区间上是递减的；在区间)+∞上是递增的；（2）若9a =，对任意的[1,5]x ∈时，x 的不等式()21f x m ≤+都成立，求实数m 的范围.二、 单选题1．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x =【答案】D 【解析】选项A 中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；选项B 中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意； 选项C 中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意； 选项D 中，如图所示：函数为奇函数，且在R 上为增函数，符合题意；故选：D ．2．（2019·安徽省淮北一中高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()15f =，且()()4f x f x +=-，则()()20192020f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．5【答案】D 【解析】由题可得()()004f f =-=,()()151f f =-=--, 且()()4()8x x f f f x =-=++,所以()()()()201920208252382524f f f f +=⨯++⨯+()()34f f =+ ()()144f f =-++ ()()14f f =--+ (5)0=--+5=故选：D3．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的x 的取值范围（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增 则()f x 在区间(],0-∞上单调递减 若满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭则1213x -< 化简可得112133x -<-<解不等式可得1233x <<,即12,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选:A4．（2020·绥德中学高二月考（文））已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，当0x <，()f x =（ ） A ．(1)x x -- B ．(1)x x - C ．(1)x x -+ D ．(1)x x +【答案】B()y f x =是定义在R 上的奇函数，故有()()f x f x =--，任取(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞， 当0x >时，()(1)f x x x =+()(1)f x x x ∴-=--， ()()(1)f x f x x x ∴=--=-故选：B5．（2020·宁夏回族自治区高三其他（文））已知偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】有题意可知，x ∈[)0,+∞时，函数单调递增， 且函数是偶函数，()()11212133f x f f x f ⎛⎫⎛⎫∴-<⇔-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213x ∴-<112133x ∴-<-<解得1233x <<.故选A.6．（2020·绥德中学高二月考（文））设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.7．（2020·上海高一课时练习）①若T 是()f x 的周期，则2T 也是()f x 的周期； ②若T 是()f x 的周期，则2T也是()f x 的周期； ③已知0x 为()y f x =定义域上的某一个值，T 是非零常数，若()()00+=f x T f x ，则T 是()y f x =的周期．以上叙述中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】根据函数的周期的定义可知，若T 是()f x 的周期，即对定义域内x ∀，都有f x Tf x ，则()()()2f x T f x T f x +=+=即2T 也是()f x 的周期，故①；显然2T不一定是函数的周期，若()sin f x x =，其最小正周期2T π=，但()()()sin sin f x x x f x ππ+=+=-≠，故②错误； 显然③不满足周期的定义，故③错误；即正确的只有一个； 故选：B8．（2018·浙江省杭州高级中学高一期中）函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(2,)-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】B 【解析】当0a =时，1()2f x x =+在区间(2,)-+∞上单调递减，故0a =舍去， 0a ∴≠，此时1(2)1212()222ax a x a af x a x x x +++--===++++， 又因为12y x =+在区间(2,)-+∞上单调递减， 而函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，∴须有120a -<，即12a >，故选：B ．9．（2020·绥德中学高二月考（文））已知函数3()f x x x =+，对任意的[22]m ∈-，，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．2(2,)3- B ．2(2,)3C ．2(2,)3-D ．2(2,)3--【答案】A 【解析】因为函数3()f x x x =+，()()f x f x -=-，易知函数3()f x x x =+为R 上单调递增的奇函数，所以(2)()0(2)()f mx f x f mx f x -+<⇒-<-，即20xm x +-<对任意的[22]m ∈-，恒成立，设()2g m xm x =+-，只需()()2020g g ⎧<⎪⎨-<⎪⎩即可．解不等式组220220x x x x +-<⎧⎨-+-<⎩，解得223x -<<．故选：A ．10．（2020·北京高三二模）已知函数211,0()2,0x x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，若实数[2,0]m ∈-，则|()(1)|f x f --在区间[,2]m m +上的最大值的取值范围是（ ） A ．[1,4] B ．[2,4] C ．[1,3] D ．[1,2]【答案】D 【解析】由题意，当1x ≤-时，()2f x x =+；当10x -<<时，()f x x =-；当0x ≥时，2()2f x x x =-.所以()11f -=，则|()(1)||()1|f x f f x --=-，因为[2,0]m ∈-，所以区间[][,2]2,2m m +⊆-，且该区间长度为2.作出函数()f x 的图象，如图1，进而可得到|()1|y f x =-在[]2,2-上的图象，如图2， 根据图象可知|()1|y f x =-在区间[,2]m m +上的最大值的取值范围是[1,2]. 故选：D.二、多选题11.（2020·东营市第一中学高二期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 11e 2x xf x =-+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BC【解析】根据题意知，()e 1111e 221ex x xf x =-=-++． ()()e 11101e 2g f ⎡⎤==-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11111e 12g f ⎡⎤-=-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11g g ∴≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；()()e 1111e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++，()f x ∴是奇函数，B 正确； 由复合函数的单调性知()1121e x f x =-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x >，1e 1x ∴+>，()1122f x ∴-<<，()(){}1,0g x f x ∴==-⎡⎤⎣⎦，D 错误．故选BC ．12．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()32bx f x ax +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a 、b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <≤，2b =C ．1a =-，2b =D ．12a =，1b = 【答案】ABD 【解析】由题意知，不等式20ax +≠对任意的()2,x ∈-+∞恒成立.①当0a =时，()322b f x x =+在区间()2,-+∞上单调递增，则02b>，解得0b >； ②当0a >时，由20ax +≠，可得2x a ≠-，则22a-≤-，解得01a <≤，则()()222333222b b b ax bx b a a a f x ax ax ax a++--+===++++， 由于该函数在区间()2,-+∞上单调递增，230b a ∴-<，32b a ∴>， 当1a =时，3322b a >=合乎题意；当01a <≤时，322b a =>恒成立，合乎题意；当12a =时，312b a =>恒成立，合乎题意； ③当0a <时，则20a->，函数()y f x =在2x a =-没有定义，C 选项不合乎题意.故选：ABD.13．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数()f x ，x R ∀∈,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，以下结论中正确的是（ ）A ．()0(3)f f >-B ．,x R ∀∈()(1)f x f ≤-C ．23(1)()4f a a f -+≥ D ．若()(2),f m f <则42m -<<【答案】AB 【解析】由函数()f x 满足(2)()f x f x --=，则函数()f x 的图像关于直线1x =-对称，又[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，则函数()f x 在[)1,-+∞为减函数，对于选项A ，因为3(1)0(1)--->--，所以()0(3)f f >-，即A 正确；对于选项B ，由已知有()f x 在(],1-∞-为增函数，在[)1,-+∞为减函数，即max ()(1)f x f =-，即B 正确； 对于选项C ，221331()244a a a -+=-+≥，又()f x 在[)1,-+∞为减函数，所以23(1)()4f a a f -+≤，即C 错误；对于选项D ，当()(2),f m f <则(1)2(1)m -->--，则4m <-或2m >，即D 错误， 即结论正确的是AB ， 故选：AB.14．（2020·安达市第七中学高一月考）若函数()f x 满足（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠，12x x <时，恒有()()12f x f x >，则称函数()f x 为“理想函数”，给出下列四个函数中：①()1f x x =；②()3f x x =-；③()2121x x f x -=+；④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，则被称为“理想函数”的有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】BD 【解析】由()()0f x f x +-=可得：()()f x f x -=-，故函数()f x 为奇函数，对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠，12x x <时，恒有()()12f x f x >，故函数()f x 为减函数， 据此判断，②和④满足条件. 故选：BD. 三、填空题15．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）根据函数的图象，若1211x x -<<<，则()1f x 与()2f x 的大小关系是_____________.【答案】()()12f x f x < 【解析】由图象可知，()f x 在(),1-∞上单调递增，且1211x x -<<<， 结合单调性的定义得：()()12f x f x <. 故答案为：()()12f x f x <16．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是_______________【答案】][(),22,-∞-⋃+∞ 【解析】由()f x 是偶函数，得22f f =-（）（），若2f a f ≤（）（） ，有2f a f ≤-（）（）.()f x 在(],0-∞ 上是增函数，则()f x 在(]0,+∞上是减函数， 综上可得当(],0a ∈-∞时，由22f a f a （）（）≤-⇒<-；当(]0,a ∈+∞时，由22f a f a ≤⇒>（）（），所以a 的取值范围是][(),22,-∞-⋃+∞ 17．（2020·绥德中学高二月考（文））定义在R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立，则(2023)f =__________.【答案】1 【解析】 因为1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立， 所以1(4)()(2)f x f x f x +==+，即函数()f x 以4为周期； 令1x =-，则1(12)(1)f f -+=-，即(1)(1)1f f ⋅-=， 又()f x 为偶函数，且()0f x >，所以(1)(1)1f f ⋅=，即()(1)11f f =-=； 因此(2023)(15064)(1)1f f f =-+⨯=-=. 故答案为：1. 四、双空题18．（2018·贵州省高一期末）已知()f x 是定义域在R 上的奇函数，且当0x <时，()|1|f x x =+，则(2)f -=_______，(2)f =_______【答案】1 -1 【解析】0x <时,()|1|f x x =+, 21(12)=f =-+∴-;由奇函数的性质得(2)(2)f f -=-,(2)(2)=1f f ∴=---. 故答案为:1,-1.19．（2019·天津市滨海新区塘沽第一中学高一期中）已知函数2()2||3f x x x =-++，则()f x 的单调递増区间为________和________. 【答案】(,1)-∞- (0,1). 【解析】根据题意，22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧-++≥=-++=⎨--+<⎩，当0x ≥时，2()23f x x x =-++，在区间[0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数；当0x <时，2()23f x x x =--+，在区间(,1)-∞-上为增函数，在(1,0)-上为减函数， 则()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(0,1)； 故答案为：(,1)-∞-和(0,1).20．（2020·浙江省效实中学高二期中）已知函数()f x 的定义域为R ，(2)()f x f x +=，已知[]0,2x ∈时，()f x =221x x -+，则(3)f =_________；(0)(1)(2)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+=____________.【答案】0 1011 【解析】(2)()f x f x +=，故函数周期为2，()(3)11210f f ==-+=，()00011f =-+=，()()130f f ==，故()()()()(0)(1)(2)(2020)10100101011f f f f f f f +++⋅⋅⋅+=⋅++=. 故答案为：0；1011.21．（2020·贵州省高一期末）有以下四个条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线； ②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数； ④()f x 恰有两个零点.若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式()f x =_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式()g x =_____________【答案】()22f x x =-+（答案不唯一） ()22g x x x =-++（答案不唯一）【解析】根据条件②④可得，()22f x x =-+（答案不唯一），根据函数同时满足条件①②③④，可得()22g x x x =-++（答案不唯一）.故答案为：()22f x x =-+（答案不唯一）；()22g x x x =-++（答案不唯一）.五、解答题22．（2019·贵州省凯里一中高一期中）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()f x 的解析式；（2）画出()f x 的图象（不需要列表）并写出()f x 的递减区间（无需证明）.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩；（2）图象见解析，(),1-∞-和()0,1【解析】（1）当0x ≥时，()22f x x x =-.设0x <，则0x ->，()()()2222f x x x x x -=---=+.∵()y f x =是定义在R 上的偶函数，∴()()22f x f x x x =-=+，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩. （2）()f x 的图象如下：结合图象，知()f x 的单调减区间是(),1-∞-和()0,1.23．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数()f x 定义在(,)-∞+∞上，满足：任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立，(2)1f =. （1）求(0),(1)f f 的值.（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明； 【答案】（1）1(0)0,(1)2f f ==；（2）奇函数；证明见解析. 【解析】（1）令0x y ==得，()()()0000f f f +=+，解得：()00f =，令1x y ==得，()()()()111121f f f f +=+=，又(2)1f =，所以可得()112f =； （2）令y x =-，则有()()()()00f x x f x f x f -=+-==，所以()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为(,)-∞+∞上的奇函数.24．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）已知函数2()1ax bf x x+=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义证明：函数()f x 在(1,1)-上是增函数． 【答案】（1）2()1xf x x =+；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得：()()f x f x -=-，所以2211ax b ax bx x-++=-++，所以0b =， 又12()25f =，即2122151()2a b+=+，解之得：1a =， 2()1xf x x∴=+； （2）设1211x x -<<<，则有1212121222221212(1)()()11(1))((1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 1211x x -<<<，∴120x x -<，2110x +>，2210x +>，1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，∴()f x 在(1,1)-上是增函数.25.（2020·宁波市北仑中学高二月考）已知函数222,0,()0,0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上是单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）求不等式()()0f x f x x--<的解集.【答案】（1）2；（2）13a ；（3）()(),22,x ∈-∞-+∞. 【解析】（1）设0x <，则0x ->，所以2()2f x x x -=--因为()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+所以2m = （2）()f x 的图像为因为函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增 所以121a -<-≤ 所以13a（3）由()()0f x f x x --<可得2()0f x x<，即()0xf x <当0x >时()0f x <，由图像可得2x > 当0x <时()0f x >，由图像可得2x <- 综上：()(),22,x ∈-∞-+∞26．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）定义在R 的函数()f x 满足对任意x yR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合. 【答案】(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1{|}2x x ≤ 【解析】 分析：(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=； (2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2x x ≤.详解：（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0，()f x ∴是偶函数；（3）又()f x 是偶函数，()()f x fx ∴=，当0x >时，()f x 递增，由()()12f x f x +≤-，得21 ()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是1{|}2x x ≤. 27．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数()a f x x x=+（常数a>0）. （1）证明：函数()f x在区间上是递减的；在区间)+∞上是递增的；（2）若9a =，对任意的[1,5]x ∈时，x 的不等式()21f x m ≤+都成立，求实数m 的范围.【答案】（1）证明见解析；（2）92m ≥【解析】（1）设任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则有 ()()()()121212121212x x x x a a a f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(12,x x ∈时，1212120,0,0x x x x x x a -<>-<，所以有()()120f x f x ->，所以函数()f x 在区间上是递减的，当)12,x x ∈+∞时，1212120,0,0x x x x x x a -<>->，所以有()()120f x f x -<，所以函数()f x 在区间)+∞上是递增的；（2）由（1）知函数()f x 在[]1,3单调递减，在[]3,5上单调递增，而()()min 36f x f ==， ()()34110,55f f ==，所以()max 10f x =， 对任意的[1,5]x ∈时，x 的不等式()21f x m ≤+都成立，所以2110m +≥， 解得：92m ≥.。