河北省石家庄市复兴中学高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学案

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙讨论结果:略（三）应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.变式训练在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则⊥,所以·=0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±. 例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴·=3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=∙=∙AC AB(2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则 cosθ=.2225315||||-=⨯-=∙b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1). 同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是: AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0, ∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.。

高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.【知识梳理】知识回顾：1．两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量(1)、  (2)、当与同向时，  = ，当与反向时， 特别的： =_____或，|  | ≤ | || |， =________新知探究：已知非零向量，，怎样用和的坐标表示 ？1、平面两向量数量积的坐标表示：即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2. 平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定：设，，则 4.两向量夹角的余弦（） = =思考感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有  0（0）？对点练习：1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2), 则a→b→等于( )A. —14B. —D. 82.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1), 则(a→b→)c→等于 ( )A. —14B. —(7,—7) D. (—7,7)3.已知A(—1,1),B(1,2), 则|AB→|等于 ( )A. 5 B—1 D. 74. 已知a→=(3,4),b→=(5,12), 则a→,b→夹角的余弦为( )A. 6365 BD. 13【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；（1）求，；（2）求的值；（3）求的值；变式1：已知向量，；（1）求向量与的夹角；（2）若向量与垂直，求的值；例2.设 = (5，7)， = (6，4)，求及、间的夹角θ的余弦值。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：3．练习：（1）已知||=1，||=2，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知||=2，||=1，与之间的夹角为3π，那么向量=-4的模为（ ） A.2 B .23 C. 6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用和的坐标表示∙？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即∙2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x =22y x +=22y x +=. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，221221)()(y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定 设),(11y x =，),(22y x b =，则⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，a 与b 之间的夹角为θ（πθ≤≤0）co s θ222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2设a= (5，-7)，b= (-6，-4)，求a∙b，a、b间的夹角θ的余弦及│a-4b│。

2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 级 基础巩固一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6 解析：因为a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，所以3×2＋m ·(－1)＝0，所以m ＝6.答案：D2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：A3．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝( ) A ．5 3 B ．3 5 C ．2 5 D ．2 2解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a －b |＝3 5.答案：B4．若a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量为( )A ．2 5B ．2 C. 5 D ．10解析：设a ，b 的夹角为θ，则|a |cos θ＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝2×3＋1×45＝2.答案：B5．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8解析：法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0， 解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.答案：D二、填空题6．(2016·北京卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．解析：由题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a ·b ＝1×3＋3×1＝2 3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6. 答案：π67．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________．解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎨⎧－2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6.所以点C 的坐标为(－2，6)．答案：(－2，6)8．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________________．解析：由于a 与b 的夹角为锐角，所以a·b >0，且a 与b 不共线同向．由a·b >0⇒－3λ＋10>0，解得λ<103. 当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65， 因此λ的取值范围是λ<103且λ≠－65. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ⎪⎪⎪λ<103且λ≠－65 三、解答题9．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，(1)当x 为何值时，使(a ＋2b )∥(2a －b )?(2)当x 为何值时，使(a ＋2b )⊥(2a －b )?解：由a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，得a ＋2b ＝(2x ＋1，4)，2a －b ＝(2－x ，3)．(1)因为(a ＋2b )∥(2a －b )，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，解得x ＝12. (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(2x ＋1)(2－x )＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝72. 10．设平面三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，(1)试求向量2AB →＋AC →的模；(2)若向量AB →与AC →的夹角为θ，求cos θ；(3)求向量AB →在AC →上的投影．解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，所以AB →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，AC →＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)，所以2AB →＋AC →＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)，所以|2AB →＋AC →|＝ （－1）2＋72＝5 2.(2)由(1)知AB →＝(－1，1)，AC →＝(1，5)，所以cos θ＝（－1，1）·（1，5）（－1）2＋12×12＋52＝21313. (3)由(2)知向量AB →与AC →的夹角的余弦为cos θ＝21313，且|AB →|＝2.所以向量AB →在AC →上的投影为|AB →|cos θ＝2×21313＝ 22613. B 级 能力提升1．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)、B (4，1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C2.如图所示，已知点A (1，1)，单位圆上半部分上的点B 满足OA →·OB →＝0，则向量OB →的坐标为________．解析：设B (x ，y )，y >0，⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y ＝0，⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝22，所以OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－22，22 3．已知向量a ＝(2，0)，b ＝(1，4)．(1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以a ＋b ＝(3，4)，则|a ＋b |＝5.(2)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)； 因为向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12. (3)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)； 因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12，解得k >－92或k ≠12.。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。

2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。

3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．思考1i·i，j·j，i·j分别是多少？[答案]i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.思考2取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.[答案]∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考3若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？[答案]a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．[答案]∵a＝x i＋y j，x，y∈R，∴a2＝(x i＋y j)2＝(x i)2＋2xy i·j＋(y j)2＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝x2＋y2.思考2 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →的模？[答案] ∵AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 梳理知识点三 平面向量夹角的坐标表示思考 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[答案] cos θ＝a·b|a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( × ) 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.( × )3．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( × ) 提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.类型一 数量积的坐标运算例1 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )等于( ) A ．10B ．－10C ．3D ．－3[考点] 平面向量数量积的坐标表示与应用 [题点] 坐标形式下的数量积运算 [答案] B[解析] a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →，则AE →·BF →的值是________．[考点] 平面向量数量积的坐标表示与应用 [题点] 坐标形式下的数量积运算 [答案] 43[解析] 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 为BC 的中点，∴E (2，1)， ∵点F 在边CD 上，且DF →＝2FC →， ∴F ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝(2，1)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BF →＝－23＋2＝43.反思与感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于()A．－1 B．0 C．1 D．2[考点]平面向量数量积的坐标表示与应用[题点]坐标形式下的数量积运算[答案] C[解析]因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a＋b)·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.类型二平面向量的模例2已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.[考点]平面向量模与夹角的坐标表示的应用[题点]利用坐标求向量的模解(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝72＋32＝58.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.反思与感悟求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2＝x2＋y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25[考点] 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 [题点] 利用坐标求向量的模 [答案] C[解析] ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.类型三 平面向量的夹角问题例3 (2017·山东枣庄八中月考)已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6[考点] 平面向量夹角的坐标表示与应用 [题点] 求坐标形式下的向量的夹角 [答案] D[解析] 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． [考点] 平面向量夹角的坐标表示与应用 [题点] 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．类型四 平面向量的垂直问题例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． [考点] 向量平行与垂直的坐标表示的应用 [题点] 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16[考点] 向量平行与垂直的坐标表示的应用 [题点] 已知向量垂直求参数 [答案] B[解析] 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 [考点] 平面向量夹角的坐标表示与应用 [题点] 求坐标形式下的向量的夹角 [答案] A [解析] |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53[考点] 平面向量数量积的坐标表示与应用 [题点] 已知数量积求参数[答案] A[解析]a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于()A．－4 B．－3 C．－2 D．－1[考点]向量平行与垂直的坐标表示的应用[题点]已知向量垂直求参数[答案] B[解析]因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 4．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b等于()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)[考点]平面向量数量积的坐标表示与应用[题点]已知数量积求向量的坐标[答案] A[解析]由题意设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b|＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6)．5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．[考点]向量平行与垂直的坐标表示的应用[题点]已知向量垂直求参数解(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝(－1)2＋22＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角命题方向1 数量积的坐标运算例1. 已知向量a ∥b ，b ＝(1,2)，|a ·b |＝10.(1)求向量a 的坐标．(2)若a 、b 同向，c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a ，(a ·b )·c .[分析] 解答本题可根据a 与b 共线设出a 的坐标，再利用已知条件构建方程(组)求得a 的坐标，进而进行求解．[解析] (1)设a ＝(x ，y )，∴a ·b ＝x ＋2y .∵a ∥b ，∴y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，|x ＋2y |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. ∴a ＝(2,4)或a ＝(－2，－4)．(2)∵a 、b 同向，∴a ＝(2,4)．∴(b ·c )·a ＝[1×2＋2×(－1)]·a ＝0·a ＝0.命题方向2 求向量的夹角例2. (1)已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，求a 与b 的夹角；(2)已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,5)，求证△ABC 是锐角三角形．[分析] (1)分别求出a ·b ，|a |，|b |，代入夹角公式求解；(2)△ABC 是锐角三角形，即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，确定该三角形三个内角的余弦值均大于0即可．[解析] (1)解：由a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，得a ·b ＝3＋1＋3×(3－1)＝4，|a |＝2，|b |＝2 2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝22， 又0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)证明：由条件得AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,3)，CA ＝(3，－4)，因为AB →·BC →＝－4＋3＝－1<0，所以AB →、BC →的夹角是钝角，从而∠ABC 为锐角．同理∠BCA ，∠BAC 也为锐角，所以△ABC 是锐角三角形．命题方向3 利用平行、垂直求参数例3. 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．[分析] 本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论，讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性．[解析] 当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0，∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23. 当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113. 当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0.∴k ＝3±132. 综上所述：k ＝－23或113或3±132.命题方向4 已知夹角求参数例4 设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围．[分析] θ为钝角，则cos θ<0.[解析] 由cos θ<0得x <85， 因为a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ， 所以a 与b 反向，θ＝π，故x <85且x ≠－52.。

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.（预习教材P106—P107） 复习：1.向量a r 与b r 的数量积a b ⋅r r = . 2.设a r 、b r 是非零向量，e r 是与b r 方向相同的单位向量，θ是a r 与b r 的夹角，则 ①a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；②a =r ；③cos θ= .二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，怎样用a r 与b r 的坐标表示a b ⋅r r 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅v v v v （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。

问题2：如何求向量(),a x y =r ()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式 （1）设a=(x,y),v 则2a =v ________________或a v________________。

（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。

问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==r r 的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a r 与b r 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,v v 则⇔⊥_________________※ 典型例题例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。

——爱迪生学习目标1．理解掌握平面向量数量级的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算.2．理解掌握相连的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题. 学习重点利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等学习难点平面向量数量积坐标运算的灵活应用自主学习1．平面向量的数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a•b=______.2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零的向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则______. 3．三个重要公式(1)向量模的公式：若a=(x,y)，则=_____________.(2)两点间的夹角公式：A=(x1,y1),B=(x2,y2),，则=__________.(3)向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，则c osθ=______________.预习评价1．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角为180°，且,则b=A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)2．若a=(3,4),b=(2,-1)则= , = ,a•b= .3．若a=(4,-2),b=(k,-1)且a⊥b则k=____________.4．已知，则向量a，b的夹角θ=___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．平面向量数量积的坐标运算及向量模的坐标表示根据平面向量数量积的坐标表示公式a•b=x1x2+y1y2，(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))，探究下列问题：(1)如何用向量a与向量b的坐标推导表示a•b？(2)平面向量数量积的坐标表示的作用是什么？2．如何利用向量的数量积坐标表示公式推导？3．平面向量的夹角与垂直的坐标表示设a，b为非零向量，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a与b的夹角为θ，回答下列问题：(1)能否用向量a与b的坐标表示其夹角？(2)当θ＝90°即a⊥b时，利用向量a与b的坐标能得到什么关系？教师点拨平面向量的夹角与垂直的坐标表示的四点说明已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a与b的夹角为θ.(1)夹角公式：其作用是求两个向量的夹角，证明两个向量垂直；判断两个向量夹角的范围.(2)垂直的等价形式：.(3)平面向量的夹角公式与垂直的坐标表示的前提条件是：a≠0且b≠0.(4)因为，所以.交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算1．在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,错误！未找到引用源。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班级 姓名 小组 号【学习目标】1．说出平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角． 2．能用两个向量的坐标判断它们的垂直关系． 3．增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识． 【重点难点】重点：用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角． 难点：公式的灵活应用 【学情分析】学生已经学习了向量的和、差以及数乘的运算，对平面向量的性质有了初步的了解，这一节我们将从平面向量数量积的坐标角度处理向量问题。

【导学流程】 自主学习内容 一、回顾旧知：1.零向量与任意向量的数量积为____。

2.平面向量数量积的性质：设a b 与均为非空向量： ①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝ ， ③=⋅a a __________或a =___________。

④a b ⋅≤ ⑤cos =θ 二、基础知识感知阅读课本106-107页，总结向量数乘的相关知识，填写下列内容。

1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝___________.即两个向量的数量积等于______________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔_____________. 3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝__________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝______________________.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝ ______________________. 三．探究问题:探究一：平面向量数量积的坐标表示 【例1】已知向量a ＝()4，3，b ＝()－2，1. (1)求||a ，||b ； (2)求a ·b 的值；(3)求()a ＋2b ·()a －b 的值．探究二：求向量的模【例2】设a ＝(1,2)，b ＝(－3,1)，求|3a ＋2b |.探究三：两向量的垂直问题【例3】在△ABC 中，设AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 是直角三角形，求k 的值．探究四：两向量的夹角问题【例4】已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，k a －b 与a ＋b 的夹角为120°请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设:已知a 与b 同向，b ＝()1，2，a ·b ＝10. (1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝()2，－1，求a ()b ·c 及()a ·b c .提问展示问题预设：已知向量a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，求向量b课堂训练问题预设：1．已知向量a ＝()4，3，b ＝()－2，1. (1)求向量a ＋b 与a －b 的夹角θ；(2)若向量a －λb 与2a ＋b 垂直，求λ的值．整理内化： 1、 课堂小结2、 本节课学习内容中的问题和疑难2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【课后限时训练】时间50分钟第Ⅰ部分 本节知识总结第Ⅱ部分 基础知识达标一、选择题(每题5分，共45分)1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 上的投影为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 5 D ．2 52．m ，n 是两个非零向量，m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下不等式与m ⊥n 等价的个数有( ) ①m ·n ＝0；②x 1·x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.1524．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，－1)，则(a ·b )·(a ＋b )＝( ) A ．(1，1) B ．(－4，－4) C ．－4 D ．(－2，－2)5．设向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于( ) A.52 B ．2 C ．1 D.726．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.34π7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(0,1)，则|a ＋2b |＝( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 D ．48．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．29．已知OA →＝(－3,1)，OB →＝(0,5)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，294 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－294 二、填空题(每题5分，共10分)10．已知向量a ＝(1,2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |＝________.11．设m ∈R ，向量a ＝(m ＋1,3)，b ＝(2，－m )，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝________. 三．解答题（共45分）15．（15分）已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝()1，0，e 2＝()0，1.(1)求a ·b ； (2)求||a ＋b (3)求a 与b 的夹角的余弦值．9．（15分）已知向量a ＝()1，2，b ＝()x ，1， (1)当x 为何值时，使()a ＋2b ∥()2a －b ？ (2)当x 为何值时，使()a ＋2b ⊥()2a －b ？10．（15分）已知三个点A ()2，1，B ()3，2，D ()－1，4. (1)求证：AB →⊥AD →；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值答疑解惑本节学习中存在的疑难：。