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安徽省淮北市树人高级中学2020－2021学年下学期高二年级第一次阶段考试数学试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共分）1 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2 若的展开式中只有第六项的二次项式系数最大，则展开式中的常数项是A 180B 120C 90D 453 已知直线l：与y轴交于点M，抛物线C：的准线为，点A在抛物线C 上，点B在上，且，，，则A B C D4 在高三班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A 24B 36C 48D 605 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种生物鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有A 30种B 50种C 60种D 90种6 式子的展开式中，的系数为A 3B 5C 15D 207 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为A B C D8 已知矩形ABCD中，，取AB，CD的中点E，F，沿直线EF进行翻折，使得二面角的大小为，若翻折以后点A，B，C，D，E，F均在球O的表面上，且球O的表面积为，则A 6B 2C 4D 39 某社区要为小凯等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求这6人排成一排，小凯必须与2位老人都相邻，且2位老人不排在两端，则不同的排法种数是A 12B 24C 36D 4810 已知正六边形ABCDEF中，点G是线段DE的中点，则A B C D11 设点A，B分别为双曲线C：的左、右焦点，点M，N分别在双曲线C的左、右支上，若，，且，则双曲线C的离心率为A B C D12 对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点”已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为A BC D二、填空题（本大题共4小题，共分）13 已知，则______ ．14 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种．用数字作答15 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．用数字填写答案16 已知是球O的内接三被锥，，，则球O的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共分）17 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求边BC的长；在边BC上取一点D，使得，求的值．18 已知数列的前n项和为，且和的等差中项为1．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．19 某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，分组的频率分布直方图如图．求直方图中的值；求月平均用电量的众数和中位数；在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户20 如图，四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．证明：平面平面ABC；若，求二面角的余弦值．21 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上运动，面积的最大值为，且当时，．求椭圆C的方程；延长直线与椭圆C交于点B，若，求的值．22 已知椭圆C：，直线l：为参数．Ⅰ写出椭圆C的参数方程，直线l的普通方程；Ⅱ过椭圆C上任意一点的取值范围．【试题答案】1 D2 A3 D4 D5 B6 B7 D8 C9 B10 B11 B12 D13 8014 3615 161617 解：在中，因为，由余弦定理知，，所以，即，解得或舍，所以．在中，由正弦定理知，，所以，解得，因为，所以，即为钝角，且，又，所以为锐角，所以，所以．18 解：Ⅰ由题意，可得，整理，得，当时，，解得，当时，由，可得．两式相减，可得，化简整理，得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，，Ⅱ由Ⅰ，可得，则，．19 解：由直方图的性质可得，解方程可得，直方图中的值为；由直方图知：月平均用电量的众数是，，月平均用电量的中位数在内，设中位数为a，由，可得，月平均用电量的中位数为224；月平均用电量为的用户有，月平均用电量为的用户有，月平均用电量为的用户有，月平均用电量为的用户有，抽取比例为，月平均用电量在的用户中应抽取．20 证明：如图所示，取AC的中点O连接BO，OD．是等边三角形，，与中，，，≌，，是直角三角形，是斜边，，，，，，又，平面ACD．又平面ABC，平面平面ABC．解：由题知，点E是BD的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取，则0，，0，，0，，0，，，0，，，0，，设平面ADE的法向量为y，，则，取，得．同理可得：平面ACE的法向量为1，，二面角的余弦值为．21 解：依题意，，；由可得，，即；由可得，，将代入中，整理可得，，即，即；因为，故，则，故椭圆C的方程为；由得，设，，若直线AB的斜率为零，易知，；若直线AB的斜率不为零，可设AB的方程为，联立得方程组，消去并整理得，，，，．．，则，综上所述，．22 解：Ⅰ由，，可得椭圆C：为为参数，由直线l：为参数消去t，即可得l：．Ⅱ曲线C上任意一点到l的距离为d，，则，其中为锐角，且．当时，取得最大值，最大值为．23 解：依题意，，当时，，解得，故；当时，，解得，故；当时，，解得，故无解；综上所述，不等式的解集为．依题意，，故；而，故，即，则，故实数m的取值范围为．。
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题文第Ⅰ卷(共60分)一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的轴截面（过圆柱的轴作截面）的面积为(）A．2π B．πC．2 D．12．直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(）A．－2 B．2C．－3 D．33．过点M（2,1)的直线与x轴,y轴分别交于P，Q两点，若M 为线段PQ的中点,则这条直线的方程为()A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＋3＝04．如图所示的各图形中，不是正方体表面展开图的是() 5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心G，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝06．光线从点A(－3,5）射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10）,则光线从A到B的距离是（)A．5错误!B．2错误!C．510 D．10错误!7．用一个半径为2 cm的半圆围成一个圆锥,则圆锥底面圆的半径为()A．1 cm B．2 cmC。
错误!cm D。
错误!cm8．按如下的程序框图,若输出结果为273，则判断框?处应补充的条件为( ）A．7i>B．7i≥C．9i>D．9i≥答案b9．点M在圆(x－5)2＋（y－3）2＝9上,则点M到直线3x＋4y －2＝0的最短距离为（）A．9 B．8C．5 D．210．设有四个命题，其中，真命题的个数是（）①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥;③用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台；④侧面都是长方形的棱柱叫长方体．A．0个B．1个C．2个D．3个11．在区间[]0,1上任取两个数,a b，方程220x ax b++=有实根的概率为（）A．12B．14C．13D．2312．以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2:x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为（）A．(x－1)2＋(y－1）2＝1 B．（x＋1）2＋（y＋1)2＝1C．(x＋错误!)2＋（y＋错误!）2＝错误!D．(x－错误!）2＋（y－错误!)2＝错误!第Ⅱ卷（共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
安徽省淮北市树人高级中学2020—2021学年高二数学上学期开学考试试题 理一．选择题（每题5分,共12小题）1．设集合A ＝｛y |y ＝2x ，x ∈R ｝，B ＝｛x |y ＝,x ∈R}，则A∩B ＝( ) A ．｛1} B ．（0,+∞） C ．(0,1） D ．（0,1] 2．f （x )＝在( ）A ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是增函数B ．(﹣∞，1)∪(1,+∞）上是减函数C ．（﹣∞，1）,(1,+∞）分别是增函数D ．（﹣∞，1)，（1,+∞）分别是减函数3．能反映一组数据的离散程度的是（ )。
A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．方差4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（） (A ）65 （B ）52 (C ）61(D ）315．如图，已知点 C 为△OAB 边AB 上一点，且AC =2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC mOA nOB =+，则m n -的值为（ ）．A ．13-B ．0C ．13 D ．236．若变量x ，y 满足约束条件，则z ＝3x ﹣y 的最小值是（ ) A ．﹣7 B ．﹣9C ．﹣1D ．﹣57．若A ,B 为互斥事件,则（ )A ．()()1P A PB +< B ．()()1P A P B +≤C ．()()1P A P B +=D ．()()1P A P B +>8．如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（ )A ．84，84B ．84,85C ．86,84D ．84，869．从1,2,3，4，5中任取三个数, 则这三个数成递增的等差数列的概率为（ )A ．310B ．25 C.12D ．3510．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是（ ） A ．B ．1﹣C ．D ．11．若直线1ax by +=与圆221xy +=有两个公共点,则点(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能 12．已知函数2()2cos3sin 2f x x x=-，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-,若6a =，则ABC 的面积的最大值为（）A ．33B ．332C ．34D ．23二．填空题（每题5分,共20分)13．一组样本数据x ,4，5，6，y 的平均数为5,标准差为4，则x 2+y 2＝ 128 ．14．已知某种产品产量x （吨)与所需某种原材料y (吨)具有线性相关关系,在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为（4.5，3.5）,y 关于x 的线性回归方程为＝x +0.35，据此可估计x ＝7时，＝15．从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的序号为 ③④ ． ①至少有1个白球;都是白球．②至少有1个白球；至少有1个红球． ③恰有1个白球；恰有2个白球． ④至少有1个白球；都是红球．16．三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C 23A =B =，14AA=，则这个球的表面积为 ．三．解答题（共6小题,计70分）17．（10分）已知ABC ∆三内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为BC 边的中点，()cos 2cos a B b c A =-+，1AD =.（1)求A ；(2)求ABC ∆面积的最大值.18．（12分）庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表:年收入(万元)2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y （万元）1.0 1.5 1.6 2。
安徽省淮北市第一中学 20212021 学年高二数学上学期 期末考试试题理（含解析）数学（理科）试题第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，∴ 2. “ A.．故选项 A 正确，选项 B,C,D 不正确．选 A． ”的否定是（ ）B.C.D.【答案】D【解析】“，”的否定是，,故选 D.3. “”是“方程表示焦点在 轴上的椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 若方程表示焦点在 轴上的椭圆，则，因此，因此是方程表示焦点在 轴上的椭圆的充分不必要条件，故选 A.4. 曲线 与直线与直线 所围成的封闭图形的面积为（ ）- 1 - / 16A.B.C.D.【答案】D 【解析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为图形可得封闭图形的面积为，应选答案 D。
，结合5. 设双曲线A.B.【答案】D【解析】双曲线的离心率是 ，则其渐近线的方程为（ ）C.D.的离心率是 ，可得 ，即，可得则其渐近线的方程为 故选6. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范畴是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵，∴，由得，∴函数 的单调减区间为 ，又函数 在区间上单调递减，∴，∴，解得，∴实数的取值范畴是 ．选 C． 点睛：已知函数在区间上的单调性求参数的方法- 2 - / 16（1）利用导数求解，转化为导函数在该区间上大于等于零（或小于等于零）恒成立的问题求 解，一样通过分离参数化为求函数的最值的问题． （2）先求出已知函数的单调区间，然后将问题转化为所给的区间是函数相应的单调区间的子 集的问题处理．7. 设 ，函数的图象向右平移 个单位长度后与原图象重合，则 的最小值是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】函数的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数解析式为，由题意得，∴，∵，∴ 的最小值是 ．选 A．8. 公差不为 0 的等差数列 中，已知 且A. 25 B. 26 【答案】BC. 27D. 28【解析】设等差数列 的公差为 ,，其前 项和 的最大值为（ ）∵，∴，整理得，∵，∴．∴，∴当 时， ．- 3 - / 16故最大，且．选 B．点睛：求等差数列前 n 项和最值的常用方法： ①利用等差数列的单调性， 求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前 n 项和(A、B 为常数)看作关于 n 的二次函数，依照二次函数的性质求最值． 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 表面积为（ ）A.B.C. 90 D. 81【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的平行六面体（四棱柱）．其底面的面积为，前后两个面的面积为，左右两个面的面积为．故棱柱的表面积为．选 B．10. 已知实数 满足约束条件假如目标函数的最大值为 ，则实数的值为（ ）A. 3 B.C. 3 或D. 3 或【答案】D【解析】先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为的最大值只需直线的截距最大，，目标函数- 4 - / 16当，(1),即 时，最优解为，（2），即 时，最优解为 ，当，（3），即 时，最优解为，（4） ，即时，最优解为 ，，综上：实数的值为 3 或 ，选 D.，符合题意； ，不符舍去；，符合；，不符舍去；，11. 在中，，若一个椭圆通过 两点，它的一个焦点为点 ，另一个焦点在边 上，则那个椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】设另一焦点为中，，- 5 - / 16又，在中焦距则故选点睛：本题要紧考查了椭圆的简单性质。
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以复数－24＋m i(m∈R)的实部为首项，虚部为公差的等差数列{a n}，当且仅当n＝10时其前n项和最小，则m的取值范围是（）A．12(,)5+∞B．128,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．128,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．128(,)532．已知集合A={x|-1≤x≤1}和集合B={y|y=x2}，则A∩B等于（）A．{y|0<y<1} B．{y|0≤y≤1} C．{y|y>0} D．{(0，1)，(1，0)}3．我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件25,11,28,x yy xx-≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则该小组最多选拔学生（）A．24名B．19名C．16名D．14名4．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A．6钱B．7钱C．8钱D．9钱5．函数21()ln(2)xf x x e-=+-的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知二项式()nx y+的展开式的二项式项的系数和为64，2012(23)(1)(1)n x a a x a x +=+++++⋅⋅⋅+(1)nn a x +，则2a =（ ）A ．20B ．30C ．60D ．807．已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）A ．sin()4y x π=+B ．3sin(2)4y x π=+C ．cos()4y x π=+ D ．3cos(2)4y x π=+8．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，记nn S b n =则（ ）A ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差也为dB ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差为2dC ．数列{}n n a b +是等差数列，{}n n a b +的公差为dD ．数列{}nn a b -是等差数列，{}n n a b -的公差为2d9．已知||||3a b ==，e 是与向量b 方向相同的单位向量，向量a 在向量b 上的投影向量为32e，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．15010．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若,.,a b c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则222+=a b c ，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC -中，90AOB BOC AOC ∠=∠=∠=，S 为顶点O 所对面的面积，123,,S S S 分别为侧面OAB OAC OBC ∆∆∆，，的面积，则下列选项中对于123,,S S S 满足的关系描述正确的为（ ）A ．123S S S S =++B ．2222123111S S S S =++C ．2222123S S S S =++D ．123111S S S S =++11．已知点()1,2A -，()2,0B ，P为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,7B ．[]1,7-C．1,3⎡+⎣D．1,3⎡-+⎣12．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意∈x R ，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x=；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*∈n N ，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭ C ．80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过点(2,4)作函数32y x x =-的切线，则切线方程是_________． 14．已知等差数列{}n a 中，3722a a +=，49a =，数列{}n b 满足12n a n b -=，则123n b b b b ⋅⋅⋅⋅=______.15．已知点()1,2P 在抛物线E ：()220y px p =>上，过点()1,0M 的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，若3AM MB =，则直线l 的倾斜角的正弦值为______.16．已知三棱锥P ABC -中，二面角PAB C 的大小为120︒，ABC 是边长为4的正三角形，PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______.三、解答题：共70分。
安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．22．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．258．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．2【解答】解：由（1+i）Z=i，得Z=，∴|Z|=．故选：A．2．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={y|y=x2+1}={y|y≥1}，则A∩B={x|1≤x≤3}=[1，3]，故选：D3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由程序框图可知：当a=96，b=42时，满足a＞b，则a=96﹣42=54，i=1由a＞b，则a=54﹣42=12，i=2由a＜b，则b=42﹣12=30，i=3由a＜b，则b=30﹣12=18，i=4由a＜b，则b=18﹣12=6，i=5由a＞b，则a=12﹣6=6，i=6由a=b=6，输出i=6．故选：C．5．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设z==2+，z的几何意义是区域内的点到D（3，1）的斜率加2，作出实数x，y满足关系对应的平面区域如图：由图形，可得C（，），由图象可知，直线CD的斜率最小值为=，∴z的最小值为，∴λ的取值范围是（﹣∞，]．故选：A．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．25【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则有a6==15，则q==5，则==q2=25；故选：D．8．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵f（1+x）=f（3﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，∴f（3）=f（1）．当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f′（x）＜0，∴f′（x）＞0，即f（x）单调递增，∵0＜＜1，∴f（0）＜f（）＜f（2），即a＜b＜c，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：f（x）=asinx﹣2cosx=sin（x+θ），由于函数f（x）的对称轴为：x=﹣，所以f（﹣）=﹣a﹣3，则|﹣a﹣3|=，解得：a=2；所以：f（x）=4sin（x﹣），由于：f（x1）•f（x2）=﹣16，所以函数f（x）必须取得最大值和最小值，所以：x1=2kπ+或x2=2kπ﹣，k∈Z；所以：|x1+x2|的最小值为．故选：C．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，故选D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，即为（e x﹣a）2+（x﹣a）2≤，表示点（x，e x）与（a，a）的距离的平方不超过，即最大值为．由（a，a）在直线l：y=x上，设与直线l平行且与y=e x相切的直线的切点为（m，n），可得切线的斜率为e m=1，解得m=0，n=1，切点为（0，1），由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=e x的距离的最小值，可得（0﹣a）2+（1+a）2=，解得a=，则a的取值集合为{}．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=6．【解答】解：∵设等差数列的等差为d，{a n}前15项的和S15=30，∴=30，即a1+7d=2，则a2+a9+a13=（a1+d）+（a1+8d）+（a1+12d）=3（a1+7d）=6．故答案为：6．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是②⑤①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）【解答】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示：f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．故答案为：②⑤．16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为2．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，∴S△ABC =2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，S△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1，∴丨MB丨•丨MC丨=．∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．∴•+2≥+2×﹣2×=2•，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值为2；方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，则•+2的最小值为2；故答案为：2．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为acosB=（3c﹣b）cosA，由正弦定理得：sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA，可得：sinC=3sinCcosA，在△ABC中，sinC≠0，所以．…（5分）（2）∵=2，两边平方得：=4，由b=3，||=3，，可得：，解得：c=7或c=﹣9（舍），所以△ABC的面积．…（12分）18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在圆台OO′中，∵CD⊂圆O′，∴CD∥平面ABE，∵面BCD∩面ABE=l，∴l∥CD，∵CD⊂平面CDE，l⊄平面CDE，∴l∥面CDE；（Ⅱ）解：连接OO′、BO′、OE，则CD∥OE，由AB⊥CD，得AB⊥OE，又O′B在底面的射影为OB，由三垂线定理知：O′B⊥OE，∴O′B⊥CD，∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角．设AB=4，由母线与底面成角，可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2，OO′=，∴cos∠O′BO=．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：p1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为：p2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．（Ⅱ）将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有：=18不同的分配方法．（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为：ξ012P所以随机变量ξ数学期望为E（ξ）==．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）过F1直线l：x+my+=0，令y=0，解得x=﹣，∴c=，∵e==，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），由2=+，得：x3=x1+x2，y3=y1+y2代入椭圆方程可得：（x1+x2）2+（y1+y2）2﹣1=0，∴（x12+y12）+（x22+y22）+（x1x2+4y1y2）=1，∴x1x2+4y1y2=0联立方程消x可得（m2+4）y2+2my﹣1=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴x1x2+4y1y2=（my1+）（my2+）+4y1y2=（m2+4）4y1y2+m（y1+y2）+3=0，即m2=2，解得m=±所求直线l的方程：x±y+=0．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣alnx，导数为f′（x）=x﹣，函数f（x）在[，+∞）上单调递增，可得f′（x）=x﹣≥0在[，+∞）恒成立，即为a≤x2的最小值，由x2在[，+∞）的最小值为，可得a≤；（2）证明：由f（x）=x2﹣alnx，a＞0，可得f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，即有f（x）为凹函数，由m1+m2=1，可得对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）由f（x）=x2﹣2lnx，可得导数为f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，则f（x）为凹函数，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）]，即为f（x1）+f（x2）+f（x3）≥3f（）=3f（1）=3×=，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为：ρ=2sin（θ﹣）=2（sinθcos﹣cosθsin）=2sinθ﹣2cosθ，∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）直线l的参数方程为，t为参数，直线l的参数方程可化为，t′为参数，代入（x+1）2+（y﹣1）2=2，得（﹣+1）2+（）2=2，化简得：t'2﹣﹣1=0，∴=﹣1，∴|MA|•|MB|=||=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．即|x﹣m|﹣3≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．∴m+3=4，m﹣3=﹣2，解得m=1．（Ⅱ）∵∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，即|x﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|，∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3，令g（t）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立，∴t+3≤g（x）max=1，∴t≤﹣2．。
