2015-2016年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷及答案

2015-2016学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5.00分）函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为．3．（5.00分）函数f（x）=ln（2﹣x）的定义域是．4．（5.00分）若向量=（3，4），则||=．5．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）=．6．（5.00分）已知a=log2，b=2，c=（）2，则a，b，c的大小关系为（用“＜”连接）．7．（5.00分）10lg2﹣log2﹣log26=．8．（5.00分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则sinA﹣cosA=．9．（5.00分）如图，在△ABC中，==2，=λ+μ，则λ+μ=．10．（5.00分）已知方程2x+x=4的解在区间（n，n+1）上，其中n∈Z，则n=．11．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则=．12．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上的增函数，若f（1）=0，则f（log2x）＞0的解集是．13．（5.00分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，点P在边BC上，若•=﹣，则•=．14．（5.00分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知||=1，||=，=（，1），求：（1）||；（2）与的夹角．16．（14.00分）已知函数f（x）=sin（x+），将y=f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=h（x）的图象．（1求y=h（x）的单调递增区间；（2）若f（α）=，求sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值．17．（15.00分）如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S 的最大值．18．（15.00分）已知=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），函数f（x）=•﹣1，θ∈[﹣π，π]．（1）当θ=π时，该函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，求θ的取值范围．19．（16.00分）设函数f（x）=x|x﹣1|+m．（1）当m=﹣2时，解关于x的不等式f（x）＞0．（2）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值．20．（16.00分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g（x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．2015-2016学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5.00分）函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为1．【解答】解：函数f（x）=2tan（πx+3）的最小正周期为：=1．故答案为：1．3．（5.00分）函数f（x）=ln（2﹣x）的定义域是（﹣∞，2）．【解答】解：由题意得：2﹣x＞0，解得：x＜2，故答案为：（﹣∞，2）．4．（5.00分）若向量=（3，4），则||=5．【解答】解：向量=（3，4），则||==5．故答案为：5．5．（5.00分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（﹣1）=﹣1．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2﹣1）=﹣1，故答案为：﹣16．（5.00分）已知a=log2，b=2，c=（）2，则a，b，c的大小关系为a＜c＜b（用“＜”连接）．【解答】解：∵a=log2＜=0，b=2＞20=1，c=（）2=，∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．7．（5.00分）10lg2﹣log2﹣log26=1．【解答】解：10lg2﹣log2﹣log26=2+log23﹣log26=2+log2=2﹣1=1．故答案为：1．8．（5.00分）在△ABC中，已知sinA+cosA=，则sinA﹣cosA=．【解答】解：在△ABC中，由sinA+cosA=，两边平方可得：1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=﹣．∴A为钝角，sinA≥cosA．则sinA﹣cosA===．故答案为：．9．（5.00分）如图，在△ABC中，==2，=λ+μ，则λ+μ=0．【解答】解：∵==2，∴=，=，∵=﹣=﹣=（+）﹣=﹣+，又∵=λ+μ，∴λ=﹣，μ=，故λ+μ=0．故答案为：0．10．（5.00分）已知方程2x+x=4的解在区间（n，n+1）上，其中n∈Z，则n=1．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，易知f（x）=2x+x﹣4在R上单调递增且连续，且f（1）=2+1﹣4=﹣1＜0，f（2）=4+2﹣4=2＞0，故方程2x+x=4的解在区间（1，2）上，故答案为：1．11．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣1，2），则=﹣4．【解答】解：由角α的终边经过点（﹣1，2），可得cosα=﹣，sinα=，则===﹣4．故答案为：﹣4．12．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上的增函数，若f（1）=0，则f（log2x）＞0的解集是（0，）∪（2，+∞）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（log2x）＞0等价为f（|log2x|）＞f（1），即|log2x|＞1，即log2x＞1或log2x＜﹣1，即x＞2或0＜x＜，故不等式的解集为{x|x＞2或0＜x＜}，故答案为：（0，）∪（2，+∞）13．（5.00分）在△ABC中，已知AB=AC，BC=2，点P在边BC上，若•=﹣，则•=．【解答】解：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（1，0），B（﹣1，0），设A（0，n），P（m，0），则，．由•=﹣，得﹣m（1﹣m）=﹣，解得：．∴．故答案为：﹣．14．（5.00分）已知函数，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是．【解答】解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以，若满足a＞b≥0，时f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）已知||=1，||=，=（，1），求：（1）||；（2）与的夹角．【解答】解：（1）由已知=（，1），所以（）2=||2+||2+2=4，所以=0，所以||2=||2+||2﹣2=4，所以||=2；（2）与的夹角的余弦值为=，所以与的夹角为120°．16．（14.00分）已知函数f（x）=sin（x+），将y=f（x）的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=h（x）的图象．（1求y=h（x）的单调递增区间；（2）若f（α）=，求sin（﹣α）+sin2（﹣α）的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由题意，可得h（x）=sin（x+），…2分由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得y=h（x）的单调递增区间为：[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z…7分（2）f（α）=，即sin（）=，令t=a+，则sint=，sin（﹣α）=sin（﹣（t﹣））=sin（π﹣t）=sint=，…10分sin2（﹣α）=sin2（﹣（t﹣））=sin2（﹣t）=cos2t=1﹣sin2t=…13分因此，sin（﹣α）+sin2（﹣α）=…14分注：未写“k∈Z”扣2分．17．（15.00分）如图，用一根长为10m绳索围成了一个圆心角小于x且半径不超过3m的扇形场地，设扇形的半径为xm，面积为Scm2．（1）写出S关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围扇形场地的面积S最大，并求S 的最大值．【解答】解：（1）设扇形的弧长为l，则l=10﹣2x，由题意可得，解得＜x≤3，∴S=（5﹣x）x=﹣x2+5x，＜x≤3；（2）由（1）和基本不等式可得S=（5﹣x）x≤（）2=，当且仅当5﹣x=x即x=时取等号，此时l=5，圆心角α==2，∴当半径x和圆心角α分别为和2时，所围扇形场地的面积S最大，且最大值18．（15.00分）已知=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），函数f（x）=•﹣1，θ∈[﹣π，π]．（1）当θ=π时，该函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，求θ的取值范围．【解答】解：（1）由=（1，﹣x），=（x2，4cosθ），得f（x）=•﹣1=x2﹣4xcosθ﹣1，当时，f（x）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2．函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值f（x）max=f（2）=7，最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣2；（2）若f（x）在区间[1，]上不单调，则1，即．∵θ∈[﹣π，π]，∴θ∈（）∪（）．19．（16.00分）设函数f（x）=x|x﹣1|+m．（1）当m=﹣2时，解关于x的不等式f（x）＞0．（2）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值．【解答】解：（1）x＞1时：f（x）=x2﹣x﹣2＞0，解得：x＞2或x＜﹣1，故x＞2；x≤1时：f（x）=x﹣x2﹣2＞0，不等式无解；综上：不等式的解集是（2，+∞）；（2）x∈[0，1]时：f（x）=x（1﹣x）+m=﹣+m+，当x=时：f（x）max=m+，当x（1，m]时：f（x）=x（x﹣1）+m=+m﹣，∵函数f（x）在（1，m]递增，∴f（x）max=f（m）=m2，由m2≥m+得：m2﹣m﹣≥0，又m＞1，故m≥，f（x）max=．20．（16.00分）已知函数f k（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（k∈Z，a＞0，a≠1，x∈R），g（x）=．（1）若a＞1时，判断并证明函数y=g（x）的单调性；（2）若y=f1（x）在[1，2]上的最大值比最小大2，证明函数y=g（x）的奇函数；（3）在（2）条件下，函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）有零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）===1﹣，若a＞1，a x+a﹣x＞0恒成立，∴g（x）是R上的增函数，证明如下：任取x1＜x2，g（x1）﹣g（x2）=，∵a＞1，x1＜x2，∴+1＞0，﹣＜0，故g（x1）＜g（x2），g（x）在R递增；（2）由题意y=f1（x）=a x，a＞1时，a2﹣a=2，解得：a=2或a=﹣1（舍），当0＜a＜1时，a﹣a2=2，无解，综上，a=2，由（1）得：此时g（x）=的定义域是R，定义域关于原点对称，g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数；（3）在（2）的条件下，f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x），∵x∈[1，+∞），∴2x﹣2﹣x＞0，故条件等价于﹣2m=在x∈[1，+∞）有零点，令p=2x，则p≥2，令t=p﹣，则t在p∈[2，+∞）递增，∴t≥，﹣2m=，设h（t）==t+，任取t1＞t2≥，则t1﹣t2＞0，t1•t2＞，h（t1）﹣h（t2）=t1+﹣（t2+）=＞0，∴h（t）在t∈[，+∞）递增，h（t）≥，即﹣2m≥，∴m≤﹣．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

. . . . . . . . 答案：1．答案：5．注意事项：苏州市 2015 – 2016 学年第一学期期末考试2016.1.14高一数学1. 本试卷共 4 页．满分 160 分，考试时间 120 分钟．2. 请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3. 答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1. 若集合 A = {−1, 0, 1}，A = {0, 1, 2}，则 A ∩ A =.答案：{0, 1}．2. 函数 A (A ) = 2 tan (πA + 3) 的最小正周期为．3. 函数 A (A ) = ln (2 − A ) 的定义域是 ．答案：(−∞, 2)．4. 若向量 A = (3, 4)，则 |A | 的值为．5. 已知 A (A ) 是定义在 R 上的奇函数，当 A > 0 时，A (A ) = 2A − A 2，则 A (−1) 的值是．答案：−1．建议解法：因为 A (1) = 2 − 1 = 1，所以 A (−1) = −A (1) = −1．6. 已知 A = log 13 2，A = 2 13 ，A = ( 13)2，则 A , A , A 的大小关系为．（用 < 号连接）答案：A < A < A ．7. 计算 10lg 2 − log 2 13− log 2 6 的值是．8. 答案：1．在△AA A 中，已知 sin A + cos A = 15，则 sin A − cos A 的值为 ．是如图，在 △AA A 中，A A = A A A A= 2，若 A # A »= A A # A » + A A # A »， 则A + A 的值 ．9.答案：0．A A建议解法：A # A » = A # A » − A # A » = 31 A # A » − 23 A # A » = 13 (A # A » + A # A ») − 23 A # A » = − 13 A # A »+ 13 A # A »．10. 已知方程 2A + A = 4 的解在区间 (A , A + 1) 上，其中 A ∈ Z ，则 A 的值是 ．11.答案：−4．− A + 2 A− A + 2建议解法：化简得，原式 = sin cos =tan ，而 tan A = −2． sin A + cos A tan A + 112. 已知 A (A ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0, +∞) 上是增函数，若 A (1) = 0，则 (A (log 2 A ) > 0 的解集是．13.答案：1．已知角 A 的终边经过点 A (−1, 2)，则 sin (π + A ) + 2 c πos (2π − A )的值是 ．因为 A (A ) 的图象连续，且 A (1) = −1 < 0，建议解法：设 A (A ) = 2 + A − 4，则 A (A ) 在 (−∞, +∞) 上递增，AA (2) = 2 > 0 ，所以存在唯一零点 A ∈ (1, 2)． 0 sin A + sin ( 2+A )在 △AAA 中，已知 AA = AA ，．AA = 2 ，点 A 在边 AA 上，若 A A ⋅ A A = − ，则 A A ⋅ A A 的值是# » # » 1# » # »建议解法：设 ，3由图象知 2，． A , A |A | = 1 得到 A = ℎ(A ) 的图象． ， ， 14. 已知函数 A (A ) = ⎧⎪⎨A A + 1,1若 A > A ⩾ 0， 且 A (A ) = A (A )， 则 AA (A ) 的取值范围是．⎪⎩2 答案：[ 34, 2)．− 2 , A ⩾ 1,3A (A ) = A (A ) = A A ∈ [ , 2) A + 1 = A 所以 AA (A ) = (A − 1)A 在 A ∈ [ 2 , 2) 上单调递增，取值范围是 [ 43 , 2)．二. 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答. 题. 卡. 指. 定. 区. 域. 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 14 分）|A | = √3 A + A = (√3, 1)(1) 求 |A − A | 的值；(2) 求 A + A 与 A − A 的夹角．16.（本小题满分 14 分） π已知函数 A (A ) = sin (A + 6)，将 A = A (A ) 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变）(1) 求A = ℎ(A )1的单调递5减π 区间； 2 π(2) 若 A (A ) = 4 ，求 sin ( 6 − A ) + sin ( 3− A ) 的值．满足： 已知向量0 ⩽ A < 1,．的扇形场地．设扇形的半径为 A 2m ，面积为 A m ． π A (1) 当 A = 3π 时，求函数 A (A ) 在 [−2, 2] 上的最大值和最小值； 17.（本小题满分 15 分）如图，用一根长为 10 m 的绳索围成一个圆心角小于 且半径不超过 3 m(1) 写出 A 关于A 的函数表达式，并指出该函数的定义域； (2) 当半径 A 的圆心角 A 分别是多少时，所围扇形场地的面积 A 最大，并求出的最大值．已知向量 A 2= (1, −A )，A = (A 2, 4 cos A )，函数 A (A ) = A ⋅ A − 1，A ∈ [−π, π]．(2) 若函数 A (A ) 在区间 [1, √2] 上不单调，求角 A 的取值范围．18.（本小题满分 15 分）AA19.（本小题满分16 分）设函数A (A) = A |A− 1| + A，常数A∈ R．(1) 当A = −2 时，解关于A的不等式A (A) > 0；(2) 当A > 1 时，求函数A (A) 在区间[0, A] 上的最大值．20.（本小题满分16 分）A2(A)−AA已知函数A A(A) = A− (A− 1)A（A∈ Z，A > 0，A≠ 1，A∈ R），A(A) =A0(A) ．(1)当A > 1 时，判断并证明函数A(A) 的单调性；(2)若函数A1(A) 在区间[1, 2] 上的最大值与最小值之差为2，求证：函数A(A) 是奇函数；(3) 在(2) 的条件下，若函数ℎ(A) = A0(2A) + 2AA2(A) 在A∈ [1, +∞) 上有零点，求实数A的取值范围．。

苏州市2016－2017学年第二学期期末调研测试高一数学模拟测试参考公式：样本数据的方差，其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1. 已知集合，集合，若，则实数＝________．2. 函数的最小正周期为________．3. 已知幂函数的图象经过点，则________．4. 已知，则的最大值为________．5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为________．6. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．7. 设等差数列的公差为，若的方差为1，则=________．8. 已知函数的最大值为，则________．9. 设数列是公差为1的等差数列，其前n项和为，且55 则的值为________．10. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1， D是边BC上一点，，则＝________．11. 已知函数若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．12. 记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则=________．13. 已知函数,x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是________．14. 若△的内角满足,则的最小值是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格. 某班50名学生参加测试结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．① 写出所有等可能的基本事件；② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．16. 设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前n项和．17. 设平面向量＝，，，（1）若，求的值；（2）若，证明和不可能平行；（3）若，求函数的最大值，并求出相应的值．18. 如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，和．（1）求烟囱AB的高度；（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．19. 已知数列{a n}共有2k项（），数列{a n}的前n项和为S n，满足：a1 = 2，a n+1 = (p- 1) S n+ 2（n = 1，2，…， 2k-1），其中常数p > 1．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若，数列{b n }满足（n = 1，2，…， 2k），求数列{b n }的通项公式；（3）对于（2）中数列{b n }，求和T n = ．20. 若函数f(x)和g(x)满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y＝f(x)－g(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上具有关系G．（1）若f(x)＝lg x，g(x)＝3－x，试判断f(x)和g(x)在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；（2）若f(x)＝2|x－2|＋1和g(x)＝mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．...。

2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．6．化简：+=．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为．8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4，故答案为：4．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=﹣1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将点（2，）的坐标代入y=x a中，可得=2a，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点（2，）在幂函数y=x a的图象上，则有=2a，解可得a=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查幂函数解析式的计算，注意幂函数与指数函数的区别．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=（x﹣2）（x2+1）．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】分组提取公因式即可得出．【解答】解：原式=x2（x﹣2）+（x﹣2）=（x﹣2）（x2+1）．故答案为：（x﹣2）（x2+1）．【点评】本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】由函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，我们可得函数f（x）的图象向右平移a个单位得到函数f（x﹣a）的图象，再根据原函数的解析式为y=sinx，向右平移量为个单位，易得平移后的图象对应的函数解析式．【解答】解：根据函数图象的平移变换的法则故函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）故答案为：y=sin（x﹣）【点评】本题考查的知识点函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=0．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用根的存在性确定函数零点所在的区间，然后确定k的值．【解答】解；∵f（x）=x3+2x﹣1，∴f′（x）=3x2+2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1+2﹣1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数零点所在的区间为（0，1），∴k=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．6．化简：+=2．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式求解．【解答】解：+=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要注意根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式的合理运用．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．【解答】解：∵，且∴∵||=1∴=﹣1∵||=2∴cos＜＞==﹣∵＜＞∈[0，π]∴＜＞=120°故答案为120°【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜＞=同时要注意＜＞∈[0，π]这一隐含条件！8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=﹣1．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1x2=﹣2，即可求出答案．【解答】解：联立方程组得，∴x2﹣x﹣1=x+1，∴x2﹣2x﹣2=0，∴x1+x2=2，x1x2=﹣2，∴+===﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数图象的交点问题，以及韦达定理的应用，属于基础题．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为（﹣4，﹣3）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设C的坐标为（x，y），向量的坐标运算和向量共线垂直的条件得到关于x，y的方程组，解得即可．【解答】解：设C的坐标为（x，y），O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），∴=（x+2，y﹣1），=（x，y），=（1，2），=（﹣2，1），+2=（﹣3，4），∵与共线，且⊥（+2），解得x=﹣4，y=﹣3，∴点C的坐标为（﹣4，﹣3），故答案为：（﹣4，﹣3）【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量共线垂直的条件，属于基础题．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为[，π]．【考点】余弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间．【解答】解：∵点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，∴φ=﹣，函数y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π，求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[，π]，故答案为：[，π]．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是5﹣．【考点】指、对数不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】化简集合{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}，求出x的取值范围，再求函数y的最小值即可．【解答】解：因为{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}={x|（log2x+1）（log2x﹣2）≤0}={x|﹣1≤log2x≤2}={x|≤x≤4}，且函数y=4x﹣2x+3=22x﹣2x+3=+，所以，当x=时，函数y取得最小值是+=5﹣．故答案为：5﹣．【点评】本题考查了指数与对数不等式的解法与应用问题，解题的关键是转化为等价的不等式，是基础题目．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x﹣4），从而可以得到f（﹣log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1），可判断log23﹣1∈（0，1），从而可以求出，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案．【解答】解：f（x）的图象关于x=1对称；∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4）；即f（x）=f（x﹣4）；∴f（﹣log224）=﹣f（log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1）；∵log23﹣1∈（0，1）；∴==；∴．故答案为：．【点评】考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2a﹣x），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为﹣1．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，结合二次函数的性质通过讨论对称轴的位置，解出即可．【解答】解：当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即x1＜x2时都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+bx﹣|x﹣1|，故需满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，①当0≤x＜1时，h（x）=x2+（b+1）x﹣1，对称轴x=﹣≤0，解得：b≥﹣1，②当1≤x≤2时，h（x）=x2+（b﹣1）x+1，对称轴x=﹣≤1，解得：b≥﹣1，综上：b≥﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考察了二次函数的性质、考察转化思想，是一道中档题．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】正弦函数的图象；函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）没有零点求得x的范围，再根据f（asinx+1）没有零点可得asinx+1的范围，根据正弦【解答】解：若函数f（x）=sin（πx﹣）=sinπ（x﹣）没有零点，故0＜（x﹣）π＜π，或﹣π＜（x﹣）π＜0，即0＜（x﹣）＜1，或﹣1＜（x﹣）＜0，即＜x＜或﹣＜x＜．由于函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则＜asinx+1＜，或﹣＜asinx+1＜，当a＞0时，∵1﹣a≤asinx+1≤1+a，或，解得0＜a＜．当a＜0时，1+a≤asinx+1≤1﹣a，∴或，求得﹣＜a＜0．当a=0时，函数y=f（asinx+1）=f（1）=sin=≠0，满足条件．综上可得，a的范围为（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点的定义，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B；（2）根据补集与交集的定义，求出（∁U A）∩B．【解答】解：（1）∵2x＞8=23，且函数y=2x在R上是单调递增，∴x＞3，∴A=（3，+∞）；又x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，∴B=（﹣1，4）；（2）∵全集U=R，A=（3，+∞），A=∞3∴（∁U A）∩B=（﹣1，3]．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=1解出A点坐标，利用AB=2得出B点坐标，把B点坐标代入g（x）解出a；（2）利用对数的运算性质去掉对数符号列出方程解出x，结合函数的定义域得出x的值．【解答】解：（1）解log2（x+2）=1得x=0，∴A（0，1），∵AB=2，∴B（2，1）．把B（2，1）代入g（x）得log a2=1，∴a=2．（2）∵f（x）+g（x）=3，∴log2（x+2）+log2x=log2[x（x+2）]=3，∴x（x+2）=8，解得x=﹣4或x=2．由函数有意义得，解得x＞0．∴方程f（x）+g（x）=3的解为x=2．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，对数方程的解法，属于基础题．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）根据函数的图象经过点（0，1），求得φ的值，再根据周期性求得ω，可得函数f（x）的解析式．（2）由条件求得sinα+cosα=，平方可得sinαcosα的值，从而求得sinα﹣cosα的值，再利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：（1）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），可得sinφ=1，∴φ=，．∵其相邻两对称轴之间的距离为π，∴=π，求得ω=1，∴f（x）=sin（x+）=cosx．（2）∵sinα+f（α）=，α∈（0，π），即sinα+cosα=，平方可得sinαcosα═﹣，∴α为钝角，sinα﹣cosα==，∴====﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，属于基础题．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）；（3）分段求最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）=；（3）x＞50，W=﹣24（x+100）（x﹣1050）=﹣24（x﹣475）2+7935000，∴x=475时，W max=7935000；0≤x≤50，W═24（x+100）（x+950）单调递增，∴x=50时，W max=3600000；综上所述，要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为475元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知结合共线向量基本定理得答案；（2）由已知结合向量加法、减法的运算法则求解；（3）由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案．【解答】解：（1）∵E，F分别为BD，DC的中点，∴，则；（2）=；（3）=，∵=10﹣6cos∠AEF．∴当∠AEF=π时，取得最大值16．∴的最大值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法与减法的三角形法则，是中档题．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】新定义；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，结合二阶不动点和二阶周期点的定义，可得答案；②由二阶周期点的定义，结合f（x）=kx+1，可求出满足条件的k值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，则函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，解得答案．【解答】解：（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，解4x+3=x得：x=﹣1，即﹣1为函数f（x）的二阶不动点，时f（﹣1）=﹣1，即﹣1不是函数f（x）的二阶周期点；②∵f（x）=kx+1，∴f（f（x））=k2x+k+1，令f（f（x））=x，则x==，（k≠±1），或x=0，k=﹣1，令f（x）=x，则x=，若函数f（x）存在二阶周期点，则k=﹣1，（2）若x0为函数f（x）的二阶周期点．则f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，若x1为函数f（x）的二阶不动点，则f（f（x1））=x1，且f（x1）=x1，则f（x0）=f（x1），则x0≠x1，且f（x0）+f（x1）=﹣b，即函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，故△=（b﹣1）2﹣4c＞0恒成立，解得：c＜0．【点评】本题以二阶不动点和二阶周期点为载体，考查了二次函数的基本性质，正确理解二阶不动点和二阶周期点的概念是解答的关键．。

2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为．2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是．3．四位男生和一位女生站成一排，则女生站在中间的排法共有种．（用数字作答）4．若双曲线的离心率为2，则a等于．5．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）6．函数f（x）=e x+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是．7．设某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）的值是．8．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程．9．若f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，则a1+a2+…+a5的值是（用数字作答）．10．设由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数的集合为A，从A中任取一个数，则取到的数恰好为偶数的概率是．11．已知点A（﹣3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，过点A的直线与抛物线C在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是．12．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，则p的值是．13．若函数f（x）=2ae x﹣x2+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是．14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二、解答题15．一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．（1）从中取1个小球，求取到白球的概率；（2）从中取2个小球，记取到白球的个数为X，求X的概率分布和数学期望．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（1）求证：A1B∥平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．17．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．（1）按下列要求写出函数关系式：①设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；②设∠SDO1=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC，A1C1的中点．（1）求直线EF与平面ABC所成角的正弦值；（2）设D是边B1C1上的动点，当直线BD与EF所成角最小时，求线段BD的长．19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．20．已知函数f（x）=e x﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f（x）的导函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当c＞1时，试求证：①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；②函数y=f（x）有两个相异的零点．请从以下4组中选做2组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分.A组[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：AB2=AD•AE．22．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．（1）求证：AB•AC=AD•AE；（2）求证：DG=DH．B组[选修4-2：矩阵与变换]23．已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．24．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．C组[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），曲线C2的参数方程为，（θ为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；（2）若P是曲线C2上的动点，求P到直线l：，（t为参数）的距离的最大值．26．选修4﹣4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．D组[选修4-5：不等式选讲]27．已知关于x的不等式|ax﹣1|+a|x﹣1|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集是R，求正实数a的取值范围．28．已知a，b，c均为正实数，求证：（1）+≥；（2）++≥++．2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为∃x≥1，x2＜1．【考点】命题的否定．【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为：∃x≥1，x2＜1．故答案为：∃x≥1，x2＜1．2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是5．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z===．∴|z|==5．故答案为：5．3．四位男生和一位女生站成一排，则女生站在中间的排法共有24种．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：1、先安排女生，易得其有1种排法；2、将4名男生全排列，安排在其他4个位置，由排列数公式可得学生的排法数目，由分步计数原理原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：1、先安排女生，要求女生必须站在正中间，则其有1种排法；2、将4名男生全排列，安排在其他4个位置，有A44=24种排法；则不同的排法有1×24=24种；故答案为：24．4．若双曲线的离心率为2，则a等于1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出b2=3，再由离心率为，得到a的值．【解答】解：由=1可知虚轴b=，而离心率e=，解得a=1．故答案：1．5．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据两直线垂直，求出a的值，即可判断．【解答】解：∵直线l1：ax+y+1=0和l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，∴a（a+2）﹣3=0，解得a=﹣3，或a=1，故实数“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．6．函数f（x）=e x+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是y=3x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程．【解答】解：函数f（x）=e x+2x的导数为f′（x）=e x+2，可得f（x）的图象在点（0，1）处的切线斜率为k=e0+2=3，即有图象在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．故答案为：y=3x+1．7．设某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）的值是．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】X=3是指第一次和第二次都测到次品，第三次测到正品，由此能求出P（X=3）．【解答】解：∵某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，∴X=3是指第一次和第二次都测到次品，第三次测到正品，∴P（X=3）==．故答案为：．8．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．【考点】圆的标准方程．【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆心到两点A （0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程．【解答】解：由于圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆过两点A（0，4），B（4，6），可得[（2b+2）﹣0]2+（b﹣4）2=[（2b+2）﹣4]2+（b﹣6）2，解得b=1，可得圆心为（4，1），半径为=5，故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．9．若f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，则a1+a2+…+a5的值是61（用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】令x=0，求得a0，利用二项展开式的通项公式求得a6的值；令x=1可得a0+a1+a2+…+a5+a6=64，从而求得a1+a2+…+a5的值．【解答】解：∵f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，令x=0，可得a0=2，再根据a6==1，则令x=1可得a0+a1+a2+…+a5+a6=64，∴a1+a2+…+a5=61，故答案为：61．10．设由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数的集合为A，从A中任取一个数，则取到的数恰好为偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】数字0不能排在首位，末位是0时又是偶数，分情况讨论即可．【解答】解：由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数，0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同，0在末位时，共有=6中结果，0不在末位时，共有••=12种结果，故共有6+12=18种结果，设“取到的数恰好为偶数：为事件A，在所给的数字中，0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同，个位是0时，十位和百位从1，2，3这3个元素中选两个进行排列有A32=6种结果，当末位不是0时，个位只能是2，百位从1，3两个元素中选一个，十位从0和余下的元素中选1个根据分类计数原理知共有=4种结果，故偶数共有6+4=10中结果，∴P（A）==，故答案为：．11．已知点A（﹣3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，过点A的直线与抛物线C在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，设出切点B（m，）（m＜0），对抛物线方程求导，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐标，运用两点求斜率公式即可得到所求直线BF的斜率．【解答】解：∵点A（3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，即准线方程为：y=﹣2，∴p＞0，则﹣=﹣2，即p=4，∴抛物线C：x2=8y，即．设B（m，）（m＜0），由y=的导数为y′=，可得切线的斜率为k=，即有，化为m2+6m﹣16=0，解得m=﹣8，或m=2（舍去），可得B（﹣8，8），又F（0，2），则直线BF的斜率是．故答案为：．12．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，则p的值是．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式列出方程，由此能求出p的值．【解答】解：∵某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，∴﹣2p2（1﹣p）2+p（1﹣p）3=，解得p=．故答案为：．13．若函数f（x）=2ae x﹣x2+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（0，）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数恰有两个极值点，等价于其导函数f′（x）恰有两个零点，通过讨论a讨论函数的单调性，从而结合函数零点的判定定理确定实数a的取值范围．【解答】解：函数恰有两个极值点，等价于f′（x）=2ae x﹣2x恰有两个零点，①当a＜0时，函数f（x）=2ae x﹣x2+3，函数f′（x）=2ae x﹣2x，令f′（x）=0，ae x=x，由函数图象可知，y=ae x和y=x仅有一个交点，∴f（x）=2ae x﹣x2+3仅有一个极值点；②当a=0时，f（x）=﹣x2+3，由二次函数图象可知，f（x）仅有一个极值点；③当a＞0时，函数f（x）=2ae x﹣x2+3，函数f′（x）=2ae x﹣2x，令f′（x）=0，a=，设g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=1，当g′（x）＞0，x＜1，当g′（x）＜0，x＞1，g（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；∴g（x）最大值为g（1）=，总上可知，实数a的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是20．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】用换元法，设=x，=y，则x≥0，y≥0；求出b与a的解析式，由a=+2得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值．【解答】解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．二、解答题15．一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．（1）从中取1个小球，求取到白球的概率；（2）从中取2个小球，记取到白球的个数为X，求X的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先求出基本事件总数和其中取到白球包含的基本事件个数，由此能求出取到白球的概率．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．从中取1个小球，基本事件总数n=6，其中取到白球包含的基本事件个数m=2，∴取到白球的概率p==．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，XEX==．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（1）求证：A1B∥平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接FO，要证A1B∥平面AFC，只需证明直线A1B 平行平面AFC内的直线FO即可；（2）要证平面A1B1CD⊥平面AFC，只需证明平面A1B1CD内的直线B1D垂直平面AFC 即可．【解答】证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点．∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．又A1B∉平面AFC，FO⊂平面AFC，∴A1B∥平面AFC．（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．又∵CD⊥平面A1ADD1，AF⊂平面A1ADD1，∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD．∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．而B1D⊂平面A1B1CD，∴平面A1B1CD⊥平面AFC．17．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y 百元． （1）按下列要求写出函数关系式：①设OO 1=h （米），将y 表示成h 的函数关系式； ②设∠SDO 1=θ（rad ），将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．【考点】不等式的实际应用． 【分析】（1）分别用h ，θ表示出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底面积，得出y 关于h （或θ）的关系式；（2）求导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最小值．【解答】解：（1）①当OO 1=h 时，SO 1=8﹣h ，SC==，S 圆柱底=π×42=16π，S 圆柱侧=2π×4×h=8πh ，S 圆锥侧=π×4×．∴y=2（S 圆柱底+S 圆柱侧）+4S 圆锥侧=32π+16πh +16π（h ≥4）．②若∠SDO 1=θ，则SO 1=4tan θ，SD=．∴OO 1=8﹣4tan θ． ∵OO 1≥4，∴0＜tan θ≤1．∴0．∴S 圆柱底=π×42=16π，S 圆柱侧=2π×4×（8﹣4tan θ）=64π﹣32πtan θ，S 圆锥侧=π×4×=．∴y=2（S 圆柱底+S 圆柱侧）+4S 圆锥侧=32π+128π﹣64πtan θ+=160π+64π（）．（2）选用y=160π+64π（），则y ′（θ）=64π＜0，∴y （θ）在（0，]上是减函数，∴当时．y 取得最小值y （）=160π+64π×=96π+64π．∴制作该存储设备总费用的最小值为96π+64π．18．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，E 、F 分别是BC ，A 1C 1的中点．（1）求直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值；（2）设D 是边B 1C 1上的动点，当直线BD 与EF 所成角最小时，求线段BD 的长．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）取AC 的中点M ，连结FM ，EM ．则可证FM ⊥平面ABC ，故而∠FEM 为所求的角，（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，设=λ，求出和的坐标，计算cos ＜＞得出cos ＜＞关于λ的函数，求出|cos ＜＞|取得最大值时对应的λ的值，得到的坐标，求出||． 【解答】解：（1）取AC 的中点M ，连结FM ，EM ．∵F ，M 分别是A 1C 1，AC 的中点，四边形ACC 1A 1是矩形， ∴FM ∥AA 1，FM=AA 1=2， ∵AA 1∥平面ABC ， ∴FM ⊥平面ABC ，∴∠FEM 是EF 与平面ABC 所成的角． ∵E ，M 分别是BC ，AC 的中点，∴EM==1．∴EF==．∴sin∠FEM==．∴直线EF与平面ABC所成角的正弦值为．（2）以A为原点，以AB，AC，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（2，0，0），E（1，1，0），F（0，1，2）．B1（2，0，2），C1（0，2，2）．∴=（﹣1，0，2），=（0，0，2），=（﹣2，2，0），设=λ=（﹣2λ，2λ，0），则=+=（﹣2λ，2λ，2）．（0≤λ≤1）∴=2λ+4．∴cos＜＞===．∴当即λ=时，cos＜＞取得最大值，即直线BD与EF所成角最小．此时，=（﹣，，2），∴|BD|=||=．19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．①求x12+x22的值；②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（2）①运用直线的斜率公式，可得k1k2==﹣，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；②由题意可得C（x2，﹣y2），运用椭圆方程可得y12+y22=，配方可得（y1+y2）2=（3+4y1y2），（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=，可得椭圆标准方程为+=1；（2）①由题意可得k1k2==﹣，即为x12x22=16y12y22，又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，可得4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，即有x12x22=（6﹣x12）（6﹣x22），化简可得x12+x22=6；②由题意可得C（x2，﹣y2），由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，可得y12+y22==，由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，则直线AC的斜率为k AC==±=±．20．已知函数f（x）=e x﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f（x）的导函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当c＞1时，试求证：①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；②函数y=f（x）有两个相异的零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得f（x）的导数，讨论c的范围：当c≤0时，当c＞0时，解不等式即可得到所求单调区间；（2）①作差可得，f（lnc+x）﹣f（lnc﹣x）=c（e x﹣e﹣x﹣2x），设g（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，x ＞0，求出导数g′（x），运用基本不等式判断单调性，即可得证；②求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，且为最小值，判断小于0，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣cx﹣c的导数为f′（x）=e x﹣c，当c≤0时，f′（x）＞0恒成立，可得f（x）的增区间为R；当c＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lnc；由′（x）＜0，可得x＜lnc．可得f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（﹣∞，lnc）；（2）证明：①f（lnc+x）﹣f（lnc﹣x）=e lnc+x﹣c（lnc+x）﹣c﹣e lnc﹣x+c（lnc﹣x）+c=c（e x﹣e﹣x﹣2x），设g（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，x＞0，g′（x）=e x+e﹣x﹣2，由x＞0可得e x+e﹣x﹣2＞2﹣2=0，即g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，可得g（x）＞g（0）=0，又c＞1，则c（e x﹣e﹣x﹣2x）＞0，可得不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；②函数f（x）=e x﹣cx﹣c的导数为f′（x）=e x﹣c，c＞1时，f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（﹣∞，lnc），可得x=lnc处f（x）取得极小值，且为最小值，由f（lnc）=e lnc﹣clnc﹣c=c﹣clnc﹣c=﹣clnc＜0，可得f（x）=0有两个不等的实根．则函数y=f（x）有两个相异的零点．请从以下4组中选做2组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分.A组[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：AB2=AD•AE．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）推导出∠ABC=∠DEC，∠ABC=∠ADB，∠ADB=∠EDF，由此能证明DE平分∠CDF．（2）由∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，得△ABD∽△ABE，由此能证明AB2=AD•AE．【解答】证明：（1）∵圆O是四边形ABCD的外接圆，∴∠ABC=∠DEC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，∵∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB=∠EDF，∴∠DEC=∠EDF，∴DE平分∠CDF．（2）∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，∴△ABD∽△ABE，∴，∴AB2=AD•AE．22．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．（1）求证：AB•AC=AD•AE；（2）求证：DG=DH．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接CE，证明△ADB∽△ACE，即可证明AB•AC=AD•AE；（2）根据三角形高的定义得到∠BEC=90°，∠ADC=90°，根据等角的余角相等得到∠EBC=∠3，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠CBG=∠3，则∠EBC=∠CBG，然后根据等腰三角形三线合一即可得到结论．【解答】证明：（1）连接CE，∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥CE，∵AD是△ABC的两条高，∴AD⊥BC，∵∠B=∠E，∴△ADB∽△ACE，∴，∴AB•AC=AD•AE；（2）连接BG，∵AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，∴∠EBC=∠3，∵∠CBG=∠3，∴∠EBC=∠CBG，而BD⊥HG，∴BD平分HG，即DH=DG．B组[选修4-2：矩阵与变换]23．已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．24．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．【考点】特征值与特征向量的计算；二阶矩阵．【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，﹣3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．【解答】解：（1）由=，得a+1=﹣3∴a=﹣4（2）由（1）知，则矩阵A的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3当λ=﹣1时二元一次方程∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为当λ=3时，二元一次方程∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．C组[选修4-4：坐标系与参数方程]25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），曲线C2的参数方程为，（θ为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；（2）若P是曲线C2上的动点，求P到直线l：，（t为参数）的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将极坐标方程展开，两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C1的直角坐标方程，根据同角三角函数的关系消元得出C2的普通方程；（2）求出直线l的普通方程，根据点到直线的距离公式得出P到直线l的距离d关于θ的函数，利用三角恒等变换得出d的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），∴ρ=8sinθ﹣8cosθ，∴ρ2=8ρsinθ﹣8ρcosθ，∴曲线C1的极坐标方程为x2+y2﹣8y+8x=0，即（x+4）2+（y﹣4）2=32．∵曲线C2的参数方程为，（θ为参数）∴曲线C2的普通方程为．（2）直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0．∴P（8cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==．∴当cos（θ+φ）=﹣1时，d取得最大值=．∴P到直线l的最大距离为．26．选修4﹣4：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．（2）设射线l的倾斜角为α，则射线l的参数方程为（t为参数，）．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，解得t1=0，t2=2cosα．∴|OA|=|t2|=2cosα．把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，解得t1=0，t2=．∴|OB|=|t2|=．∴|OA|•|OB|=2cosα•=2tanα=2k．∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2]．D组[选修4-5：不等式选讲]27．已知关于x的不等式|ax﹣1|+a|x﹣1|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集是R，求正实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，由此求得不等式的解集．（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，解得x﹣1≥或x﹣1≤﹣，∴x≥或x≤﹣∴不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．…（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．…28．已知a，b，c均为正实数，求证：（1）+≥；（2）++≥++．【考点】不等式的证明．【分析】（1）运用两个正数的均值不等式，可得a+b≥2， +≥2，相乘即可得证；（2）由（1）可得+≥；同理可得+≥； +≥．三式相加，整理即可得证．【解答】证明：（1）a，b均为正实数，可得a+b≥2，+≥2，相乘可得（a+b）（+）≥2•2=4，当且仅当a=b，取得等号．则+≥；（2）由（1）可得+≥；同理，由b，c为正实数，可得+≥；由c，a为正实数，可得+≥．相加可得，2（++）≥++，即有++≥++．2016年8月9日。

一、选择题 (本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置．．．．．．．上) 1.－3的相反数是( )A ．－3B ．3C ．－13D ．13【答案】B考点：相反数的定义2.下列四个数中，在－2到0之间的数是( )A ．3B ．1C ．－3D ．－1【答案】D 【解析】试题分析：零大于一切负数，小于一切正数，正数大于负数；当两个负数比较大小时，绝对值越大则说明原数越小；当两个正数比较大小时，绝对值越大则说明原数就越大. 考点：数的大小比较 3.下列计算正确的是 ( )A ．3a ＋4b ＝7abB ．7a －3a ＝4C ．3a ＋a ＝3a 2D ．3a 2b －4a 2b ＝－a 2b【答案】D 【解析】试题分析：A 和C 两个选项不是同类项，无法进行计算；B 、原式=(7－3)a=4a ；D 、计算正确. 考点：单项式求和4.下列图形中，能折叠成正方体的是( )【答案】A 【解析】试题分析：根据正方体的展开图的性质可得：A 选项为正方体的展开图. 考点：正方体的展开图5.已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式12a b a b +--++的结果是( )A ．1B ．2a －3C ．2b ＋3D ．－1【答案】C 【解析】试题分析：根据数轴可得：a+b ＞0，a －1＞0，b+2＞0，则原式=a+b －a+1+b+2=2b+3. 考点：(1)、数轴；(2)、绝对值的化简.6.下列说法中：①棱柱的上、下底面的形状相同； ②若AB=BC ，则点B 为线段AC 的中点；③相等的两个角一定是对顶角； ④不相交的两条直线叫做平行线； ⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B7.如果一个角α的度数为13°14'，那么关于x 的方程x x 31802-︒=-α的解为( ) A ．76°46' B ．76°86' C ．86°56' D ．166°46'【答案】A 【解析】试题分析：1°=60′，根据题意可得：2x=180°－2α，解得：x=90°－α=90°－13°14′=76°46′. 考点：角度的计算-=+，那么对于结论(1)a一定不是负数； (2)b可能是负数．其中( ) 8.a、b是有理数，如果a b a bA．只有(1)正确B．只有(2)正确C．(1)，(2)都正确 D．(1)，(2)都不正确【答案】A【解析】试题分析：根据绝对值的性质可得：a≥0，b≤0，则a一定不是负数，b一定不是正数.考点：绝对值的性质二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答卷纸相应位．．．．．．置．上9.与原点的距离为2.5个单位的点所表示的有理数是▲．【答案】±2.5【解析】试题分析：互为相反数的两个数位于原点两侧且到原点的距离相等，则到原点距离2.5个单位长度的点所表示的有理数为±2.5.考点：绝对值的性质10.若代数式x－y的值为3，则代数式2x－3－2y的值是▲．【答案】3【解析】试题分析：将原式化简可得：原式=2(x－y)－3=2×3－3=3.考点：整体思想求解11.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的周长是32 cm，则小长方形的面积是▲cm2．【答案】12考点：二元一次方程组的应用12.如图，C为线段AB上一点，AC=5，CB=3，若点E、F分别是线段AC、CB的中点，则线段EF的长度为▲．【答案】4【解析】试题分析：根据中点的性质可得：EC=12AC=2.5，CF=12BC=1.5，则EF=EC+CF=2.5+1.5=4.考点：线段长度的计算13.已知关于x的方程kx=7－x有正整数解，则整数k的值为▲．【答案】0,6【解析】试题分析：根据一元一次方程的解法可得：x=71k+，因为x为正整数，k为整数，则k=0或6.考点：一元一次方程14.已知∠AOB＝80o，以O为顶点，OB为一边作∠BOC＝20o，则∠AOC的度数为▲．【答案】60°或100°【解析】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论计算，当OB在角内部时，∠AOC=80°－20°=60°；当OB在角外部时，则∠AOC=80°+20°=100°.考点：角度的计算15.上右图是2016年1月份的日历，在日历上任意圈出一个竖列．．上相邻的3个数．如果被圈出的三个数的和为54，则这三个数中最大的一个数表示：2016年1月▲日．【答案】25【解析】试题分析：设最大的一个数为x，则其他的两个数为(x－7)和(x－14)，则根据题意得：x+x－7+x－14=54，解得：x=25，即最大的一个数表示2016年1月25日. 考点：一元一次方程的应用16.直线AB 外有C 、D 两个点，由点A 、B 、C 、D 可确定的直线条数是 ▲ ． 【答案】6或4 【解析】试题分析：本题需要分两种情况来进行讨论，当A 、C 、D 或B 、C 、D 任意三点都不共线时有6条直线；当A 、C 、D 或B 、C 、D 有任意三点共线时有4条直线. 考点：线段的条数17.有m 辆校车及n 个学生，若每辆校车乘坐40名学生，则还有10名学生不能上车；若每辆校车乘坐43名学生，则只有1名学生不能上车．现有下列四个方程：①40m ＋10＝43m －1；②1014043n n ++=；③1014043n n --=；④40m ＋10＝43m ＋1．其中正确的是 ▲ (请填写相应的序号) 【答案】③④ 【解析】试题分析：设有m 辆校车，则根据题意可得： 40m+10=43m+1；设有n 名学生，则根据题意可得：1014043n n --=. 考点：方程的应用18.如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第7幅图中有 ▲ 个正方形．【答案】140 【解析】试题分析：第一幅有1个正方形，第二幅有1+4=5个正方形，第三幅有1+4+9=14个正方形；第四幅有1+4+9+16=30个正方形，根据题意可得：第7幅有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形. 考点：规律题第1幅 第2幅 第3幅 第4幅三、解答题 (本大题共10小题，共64分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.计算：(本题满分6分，每小题3分) (1)313()(24);468-+-⨯-(2)(－1)3×(－5)÷[(－3)2＋2×(－5)]．【答案】(1)、23；(2)、－5.考点：有理数的计算.20.(本题满分4分) 先化简，再求值：2m 2－4m ＋1－2(m 2＋2m －21)，其中m ＝－1．【答案】－8m+2；10. 【解析】试题分析：首先根据去括号的法则将括号去掉，然后再进行合并同类项化简，最后将m 的值代入化简后的式子进行计算，得出答案.试题解析：22m －4m ＋1－2(2m ＋2m －12)＝22m －4m ＋1－22m －4m+1=－8m ＋2；当m ＝－1时，原式=8＋2=10． 考点：化简求值21.(本题满分9分，每小题3分) 解方程(组)：(1)4－3x ＝6－5x ；(2)32121x x -=-+；(3)⎩⎨⎧-=+=-1373y x y x ．【答案】(1)、x=1；(2)、x=75；(3)、21x y ì=ïí=-ïî【解析】试题分析：(1)、进行移项合并同类项，最后将系数化为1求出方程的解；(2)、首先进行去分母，然后进行去括号、移项合并同类项，最后将系数化为1求出方程的解；(3)、首先将y 的系数化成互为相反数，然后利用加减消元法求出方程组的解. 试题解析：(1)、4－3x ＝6－5x移项，得 5x －3x ＝6－4． 合并同类项，得 2x ＝2． 系数化为1，得 x ＝1 (2)、x ＋12－1＝2－x 3．去分母，得 3(x ＋1)－6＝2(2－x)． 去括号，得 3x ＋3－6＝4－2x ． 移项、合并同类项，得 5x ＝7． 系数化为1，得x ＝75．(3)、①×3＋②，得 9x ＋x ＝20 x ＝2 把x ＝2代入①中，得y ＝－1 ∴方程组的解是⎩⎨⎧-==.1;2y x考点：(1)、解一元一次方程；(2)、解二元一次方程组.22.(本题满分5分) 某班同学分组参加迎新年活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加2组．这个班共有多少人？ 【答案】48人考点：一元一次方程的应用.23.(本题满分6分) (1)由大小相同的小立方块搭成的几何体如左图，请在右图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．(2)用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 ▲ 个小立方块，最多要 ▲ 个小立方块． 【答案】(1)、答案见解析；(2)、5；7. 【解析】试题分析：(1)、根据三视图的画法画出三视图；(2)、根据立体图形的俯视图和左视图推导出小正方体的个数.试题解析：(1)如图所示： (2)最少5块；最多7块；俯视图左视图考点：三视图24.(本题满分6分) 随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程(如下表)，以50km 为标准，多于50km 的记为“＋”，不足50km 的记为“－”，刚好50km 的记为“0”．(1)、请你用所学的数学知识，估计小明家一个月(按30天计)要行驶多少千米？(2)、若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升4.74元，试求小明家一年(按12个月计)的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)、1500千米；(2)、6825.6元. 【解析】试题分析：(1)、首先求出前七天的平均值，然后求出一个月的行驶千米数；(2)、首先求出一个月的汽油费，然后求出一年的费用.试题解析：(1)、50+(－8+－11－14+0－16+41+8)÷7=50(千米) 50×30=1500(千米) (2)、1500×1008×4.74×12＝6825.6元考点：有理数的计算25.(本题满分6分) 如果方程22834+-=--x x 的解与方程126)13(4-+=+-a x a x 的解相同，求式子a a 1-的值．【答案】－334【解析】试题分析：首先根据方程的解法求出第一个方程的解，然后将x 的值代入第二个方程，从而求出a 的值，最后将a 的值代入代数式求出代数式的值. 试题解析：解方程42832x x -+-=-可得：x=10 把x ＝10代入方程4x －(3a+1)=6x+2a －1得：40－3a －1=60+2a －1 解得：a=－4 ∴1a a-＝334-俯视图 左视图考点：(1)、解一元一次方程；(2)、代数式求值.26.(本题满分6分) 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠AOC ＝72°，∠DOF ＝90°． (1)写出图中任意一对互余的角；(2)求∠EOF 的度数．【答案】(1)、∠BOF 与∠BOD 或∠DOE 与∠EOF ；(2)、∠EOF=54°.考点：角度的计算27.(本题满分7分) 某车间共有75名工人生产A 、B 两种工件，已知一名工人每天可生产A 种工件15件或B 种工件20件，但要安装一台机械时，同时需A 种工件1件，B 种工件2件，才能配套．问车间如何分配工人生产，才能保证一天连续安装机械时，两种工件恰好配套？ 【答案】30名工人生产A 种工件，45名工人生产B 种工件 【解析】试题分析：首先设分配x 名工人生产A 种工件，然后根据A 种工件数量的2倍等于B 种工件的数量列出方程进行求解，得出答案.试题解析：设分配x 名工人生产A 种工件，根据题意，得：2×15x=20(75－x) 解得：x ＝30 ∴75－x=75－30=45答：分配30名工人生产A 种工件，45名工人生产B 种工件. 考点：一元一次方程的应用E BFCAO28.(本题满分9分) 如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．(1)若7:4ACBC，求点C到原点的距离；:=(2)如图2，在(1)的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；(3)如图3，在(1)的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问MNPT-的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．【答案】(1)、100；(2)、7个单位长度/秒；(3)、不会发生改变，定值为30.【解析】试题分析：(1)、首先根据比值得出AC的长度，然后根据数轴的性质得出点C所表示的数，从而得到距离；(2)、设R的速度为每秒x个单位，从而分别得出R、P、Q所对应的数，求出PQ和QR的长度，然后根据题意列出方程得出答案；(3)、首先设运动时间为t秒，求出点P、T、R、M、N所对应的数，求出PT和MN的长度，然后得出PT－MN的值.试题解析：(1)、根据题意可得：AC=140，则点C所表示的数为40－140=－100∴点C到原点的距离为100；(2)、设R的速度为每秒x个单位，则R对应的数为405xx+，-+， Q对应的数为1015-，P对应的数为10015xPQ＝5115-=-或11551525x xx x-=-x-∵PQ＝QR ∴51151525x-或1155x- QR＝1525解得x＝－9(不合题意，故舍去)或x＝7 ∴动点Q的速度是7个单位长度/秒.(3)、设运动时间为t秒，P对应的数为1005t++， PT＝1004t--，T对应的数为t-，R对应的数为402tM对应的数为503t+∴PT－MN＝30--，N对应的数为20t+， MN＝704t∴PT MN-的值不会发生变化，是30．考点：(1)、数轴；(2)、分类讨论思想；(3)、动点问题.高考一轮复习：。

2015-2016学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。

请将答案填在答题卡相应的位置上1．（5分）不等式x2＜2x的解集为．2．（5分）已知△ABC的面积为S，在边AB上任取一点P，则△PAC的面积大于的概率为．3．（5分）某人一周5次乘车上班的时间（单位：分钟）分别为10，11，9，x，11，已知这组数据的平均数为10，那么这组数据的方差为．4．（5分）如图程序运行后，输出的结果为．5．（5分）设M=5a2﹣a+1，N=4a2+a﹣1，则M，N的大小关系为．6．（5分）在等比数列{a n}中，若a1+a3=10，a2+a4=﹣30，则a5=．7．（5分）在锐角△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，cosA=，则角B等于．8．（5分）在等差数列{b n}中，已知b3，b11是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，若b7=3，则=．9．（5分）袋中有3个黑球和2个白球，从中任取两个球，则取得的两球中至少有一个白球的概率为．10．（5分）求和，其结果为．11．（5分）不等式组，所表示的可行域的面积是．12．（5分）如图所示，客轮由A至B再到C匀速航行，速度为2v海里/小时；货轮从AC的中点M出发，沿某一直线匀速航行，将货物送达客轮，速度为v海里/小时．已知AB⊥BC，且AB=BC=20海里．若两船同时出发，恰好在点N处相遇，则CN为海里．13．（5分）在△ABC中，若2sinA+sinB=sinC，则角A的取值范围是．14．（5分）在数列{a n}中，若a1=1，a n•a n+1=（）n﹣2，则满足不等式+++…++＜2016的正整数n的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，满分90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．数据表明，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组比第七组少1人．（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x，y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．16．（14分）已知函数f（x）=（a∈R）．（1）若不等式f（x）＜1的解集为（﹣1，4），求a的值；（2）设a≤0，解关于x的不等式f（x）＞0．17．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sinA=4cosBsinC+bsin2C，且C≠．（1）求c；（2）若C=，求△ABC周长的取值范围．18．（16分）政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款．一位大学毕业生向自主创业，经过市场调研、测算，有两个方案可供选择．方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润．方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.259=7.45，1.2510=9.3，1.029=1.20，1.0210=1.22）．（1）10年后，方案1，方案2的总收入分别有多少万元？（2）10年后，哪一种方案的利润较大？19．（16分）设函数f（x）=a2x+（a，b，c为常数，且a＞0，c＞0）．（1）当a=1，b=0时，求证：|f（x）|≥2c；（2）当b=1时，如果对任意的x＞1都有f（x）＞a恒成立，求证：a+2c＞1．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣3，数列{b n}的前n项和T n满足=+1且b1=1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n；（3）数列{S n}中是否存在不同的三项S p，S q，S r，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分。

江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·张家口期末) 已知全集，，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高三上·北区期中) 等差数列{an}和等比数列{bn}的首项为相等的正数，若a2n+1=b2n+1 ，则an+1与bn+1的关系为（）A . an+1≥bn+1B . an+1＞bn+1C . an+1＜bn+1D . an+1≤bn+13. （2分）在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（）A . 1B . 2C . 3D .4. （2分）设，若线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是（）．A . (-8,6)B . (8，-6)C . (4，-6)D . (4，-3)5. （2分）若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A . -2B . 0C . 1D . 26. （2分）若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角等于（）．A .B .C .D .7. （2分）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A . 2x+y-3=0B . 2x-y-3=0C . 4x-y-3=0D . 4x+y-3=08. （2分） (2018高三上·张家口期末) 体积为的正方体内有一个体积为的球，则的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·通辽月考) 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则an＝（）A .B .C .D .10. （2分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n，其中正确命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分）已知直线l,m，平面，且，给出四个命题：①若∥，则；②若，则∥；③若，则l∥m；④若l∥m，则．其中真命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 112. （2分）在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（）A . 米B . 米C . 米D . 米二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·邹城期中) 已知 ,且 ,则当取得最小值时相应的________.14. （1分） (2015高一上·福建期末) 两直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，则它们之间的距离为________．15. （1分）(2017·湘西模拟) 已知函数f（x）= ，数列{an}的通项公式为，则此数列前2017项的和为________．16. （1分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为________ (arcsin,arccos)（结果用反三角表示）三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高三上·四川月考) 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为 .（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.18. （5分） (2017高三上·东莞期末) 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，且 a= b cosC+c sinB．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若点M 为BC的中点，且 AM=AC，求sin∠BAC．19. （5分） (2017高一上·石嘴山期末) 如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC 的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．20. （10分）(2017·上高模拟) 已知数列{an}中，a1=1，a3=9，且an=an﹣1+λn﹣1（n≥2）．（1）求λ的值及数列{an}的通项公式；（2）设，且数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n．21. （10分） (2017高二下·金华期末) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y+x﹣t=0，P为直线l上一动点，O为坐标原点．（1）若直线l交圆C于A、B两点，且∠AOB= ，求实数t的值；（2）若t=4，过点P做圆的切线，切点为T，求• 的最小值．22. （15分）已知点A（a，0）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆x2+y2﹣4x﹣4y+3=0相交于C、D 两点，且|CD|=2．（1）求（a﹣4）（b﹣4）的值；（2）求线段AB的中点的轨迹方程；（3）求△AOM的面积S的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2018-2019 学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题tan 1 ，解得45故选： B ．点睛】 本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力， 属于基础题．2．从 A ， B ，C 三个同学中选 2 名代表，则 A 被选中的概率为（答案】 D中的概率． 【详解】从 A ， B ， C 三个同学中选 2名代表， 基本事件总数为： AB,AC,BC ，共 3个，A 被选中包含的基本事件为： AB,AC ，共 2个，2A 被选中的概率 p 3．3故选： D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．3．正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，异面直线 AA 1与 BC 所成角的大小为（1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : xA ． 0B ． 45【答案】 B【解析】 设直线 l :x y 0 的倾斜角为【详解】设直线 l :x y 0 的倾斜角为 ， [0y 0 的倾斜角为（ ）C ． 90D ．135[0 ，180 ） ，可得 tan 1，解得A ．B ． 1C ．D ．解析】 先求出基本事件总数， A 被选中包含的基本事件个数 2 ，由此能求出 A 被选、单选题，180 ) ．【答案】 D【解析】 利用异面直线 AA 1与 BC 所成角的的定义，平移直线 BC ，即可得答案． 【详解】在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，易得 A 1AD 90 ．Q AD//BC异面直线 AA 1 与 BC 垂直，即所成的角为 90 . 故选： D ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题 .4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】 C【解析】 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人 中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选． 【详解】Q 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小， 说明丙的成绩最稳定，综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定， 丙是最佳人选， 故选： C ．A ． 30°B ． 45C ． 60D ． 9点睛】 本题考查平均数和方差的实际应用， 考查数据处理能力， 求解时注意方差越小数据越稳定. 5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P （ 2，– 1）到直线 l ： 4x – 3y +4=0 的距离为（ ） A ．3 【答案】 A B ．11 C ．1 D ． 3 5 解析】 由点到直线距离公式计算． 详解】 4 2 3 ( 1) 4 42 ( 3)2 故选： A ． 点睛】 本题考查点到直线的距离公式，掌握距离公式是解题基础．点 P(x 0, y 0 )到直线Ax By C 0 的距离为 d Ax 0 By 0 C 6．在VABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 a2，Ac 则sin cCA ．4B ． 43 3C ． 2 3【答案】 B 【解析】 由正弦定理可得， a sin A c，代入即可求解 sinC【详解】值为（ ） D ． 342， A 3 ，∴由正弦定理可得，3ac sin A sinCc 2 4 3 则sinC 3 3 2故选： B ． 【点睛】 本题考查正弦定理的简单应用，考查函数与方程思想， 考查运算求解能力， 属于基础题．7．用斜二测画法画一个边长为 2 的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A．B．1C．31D．4A．3B．3C．6D．6 2442【答案】C【解析】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.详解：因为根据直观图画法得底不变，为2，高为31 2=6，2 2 4所以直观图的面积是126=6，2 4 4选 C.点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：则至少有两人排队的概率为（）A．0.16 B．0.26 C．0.56【答案】D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：P 1 P(X 0) P(X 1) 1 0.1 0.16 0.74．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题．9．在△ ABC中，如果sin A :sin B:sin C 2:3: 4 ，那么cosC等于（）D．0.743第 4 页共16 页答案】 C解析】 设长方体过一个顶点的三条棱长分别为 a ， b ，c ，由已知面积求得 a ，b ，c 的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求． 【详解】 设长方体过一个顶点的三条棱长分别为 a ，b ， c ，ab 2则 bc 3 ，解得 a 2， b 1， c 3．ac 6长方体的对角线长为 22 12 32 14 ． 则长方体的外接球的半径为 14 ，2 此长方体的外接球的表面积等于 4 （ 14）2 14 ．2故选： C ． 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的求法， 考查空间想象能力和运算求解能力， 求解时注意 长方体的对角线长为长方体外接球的直径 .11 ．已知平面平面 ，直线 m 平面 ，直线 n 平面 ， I l ，在下列说法中，①若 m n ，则 m l ；②若 m l ，则 m ；③若 m ，则 m n . 正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【答案】 D【解析】 由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①； 由面面垂直的性质定理可判断 ②；由线面垂直的性质定理可判断③． 详解】答案】 D解析】 解：由正弦定理可得； sinA ： sinB ：sinC=a ： b ：c=2： 3：4 可设 a=2k ，b=3k ，c=4k （k > 0） 10．若长方体三个面的面积分别为 1 由余弦定理可得， CosC=- , 选 D42，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于 （ ） A ． 49B ． 494C ．1414D ．32平面 平面 ．直线 m 平面 ，直线 n 平面 ， I l ， ① 若 m n ，可得 m ，l 可能平行，故①错误；② 若 m l ，由面面垂直的性质定理可得 m ，故②正确； ③ 若 m ，可得 m n ，故③正确． 故选： D ．【点睛】 本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推 理能力，属于基础题．12．已知 VABC 中，AB 2 ，BC 3，CA 4 ，则 BC 边上的中线 AM 的长度为 (由题意知四边形 ABDC 是平行四边形，且满足 AD 2 BC 2 2(AB 2 AC 2) ，2 2 2 2即 32 (2AM )2 2(22 42) ，故选： A ． 点睛】C ． 2 31D ． 314答案】 A解析】 利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求 AM 的长．CD ，如图所示；解得 AM31 2所以 BC 边上的中线 AM 的长度为2详解】，连接 BD 、本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题， 想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．二、填空题13．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x ay 2a 2与直线 x y 1 0 平行，则实 数 a 的值为 _____________ . 【答案】 1【解析】 由a 1 0，解得 a ，经过验证即可得出． 【详解】由 a 1 0 ，解得 a 1 ． 经过验证可得： a 1满足直线 x ay 2a 2 与直线 x y 1 0 平行， 则实数 a 1 ． 故答案为： 1．【点睛】 本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 14．如图，某人在高出海平面方米的山上 P 处，测得海平面上航标 A 在正东方向，俯角为 30°，航标 B 在南偏东 60 ，俯角 45 ，且两个航标间的距离为 200 米，则【答案】 200【解析】 根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出 h 的 值． 【详解】航标 A 在正东方向，俯角为 30°，由题意得 APC 60 ， PAC 30 ． 航标 B 在南偏东60 ，俯角为 45 ，则有 ACB 30 ， CPB 45 ．所以 BC PC h ， AC PC 3h ；tan30由余弦定理知 AB 2 BC 2 AC 2 2BCgACgcos ACB ，考查函数与方程思可求得 h 200（米 ） ． 故答案为： 200．【点睛】 本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题， 考查余弦定理应用问题， 是中档题．15 ．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图 1，底面处于水平状态） ，将容器放倒（如图 2，一个侧面处于水平状态）E AE B 2 222 1．故答案为： 2 1 ． 点睛】三棱柱的体积等基础知识， 考查运算求解能力， 是中档题．，这时水面与各棱交点分别AE解析】 设ABk ，EF BCV AEF A 1E 1F 1k，由题意得： VV ABC A 1B 1C 1k 2 1AE，由此能求出 的2EB值． 详解】AE AB k ，则 EFBC k ，由题意得： V AEF A 1E 1F 1V ABC A 1B 1C 1AE EF sin AEF AA 1 k 2AB BC sin ABC AA 112，解得 k 22 ，本题考查两线段比值的求法、 AE为 E ，F 、 E 1， F 1，则 的值是 _________EB16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直角 VABC 中，直角顶点 A 在直线 x y 6 0 上，顶点 B ，C 在圆 x 2 y 2 10上，则点 A 横坐标的取值范围是 ____________ . 【答案】 [ 4, 2]【解析】 由题意画出图形，写出以原点为圆心，以 2 5 为半径的圆的方程，与直线方 程联立求得 x 值，则答案可求． 【详解】如图所示，当点 A 往直线两边运动时， BAC 不断变小， 当点 A 为直线上的定点时，直线AB, AC 与圆相切时， BAC 最大， ∴当 ABOC 为正方形，则 OA 2 5 ，则以 O 为圆心，以 2 5 为半径的圆的方程为 x 2 y 2 20． 解得 x 4或 x 2 ．点 A 横坐标的取值范围是 [ 4, 2] ． 故答案为： [ 4, 2] ．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑 推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用 .三、解答题17．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是直线 2x y 0与直线 x y 3 0 的交点 . （ 1）求点 P 的坐标；2）若直线 l 过点 P ，且与直线 3x 2y 1 0垂直，求直线 l 的方程 .答案】（ 1） （1,2） ；（ 2） 2x 3y 4 0联立x62y 220，得 6x 8 0 ．【解析】（ 1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；（ 2）设与直线 3x 2y 1 0垂直的直线方程为 2x 3y m 0，代入点 P 的坐标求 得 m 的值，可写出 l 的方程．2x y 0与直线 x y 3 0 组成方程组，0 xy30所以点 P 的坐标为 （1,2） ；（ 2）设与直线 3x 2y 1 0垂直的直线 l 的方程为 2x 3y m 0， 又直线 l 过点 P （1,2） ，所以 2 6 m 0，解得 m 4 ， 直线 l 的方程为 2x 3y 4 0．【点睛】 本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻 辑推理能力和运算求解能力 .18．在 VABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c . 已知 A 30 ，B 105 ，a 10.（ 1）求 c ：（2）求 VABC 的面积 .答案】（ 1） 10 2 ；（2）25 3 25解析】（ 1）由已知可先求 C ，然后结合正弦定理可求 c 的值；sin B 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．详解】1)Q A 30 ， B 105 ， C 45 ，acQ a 10 ，由正弦定理 ，可得： c sin A sinC详解】 1）由直线得2x y 解得x1y2agsin C sin A10 2 .2）利用两角和的正弦函数公式可求2)Q sin105 sin(60 45 ) sin60 cos45 cos60 sin4562 41 1 6 2S ABC acsin B 10 10 2 25 3 25 ．2 2 4【点睛】 本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查 逻辑推理能力和运算求解能力 .19．某地区 2012 年至 2018 年农村居民家庭人均纯收入 y （单位： 千元） 的数据如下表：1）已知 y 与 x 线性相关，求 y 关于 x 的线性回归方程；2）利用（ 1）中的线性回归方程，预测该地区 2020 年农村居民家庭人均纯收入a y bx ，其中 x,y 为样本平均数）答案】（ 1） y? 0.5x 2.3 ；（ 2） 6.8 千元．2020 年对应 x 9 时 y?的值，即可得出结论．详解】11)由表中数据，计算 x (1 2 3 4 5 6 7) 4 ，71 y (2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.3 ，7(x i x)(y i y) i13 ( 1.4) ( 2) ( 1) ( 1) ( 0.7) 0 0.5 1 0.9 2 1.6 3 14 ，72 2 2 22 2 22(x ix)2 ( 3)2( 2)2( 1)202 12 223228，i1附：线性回归方程 y? bx a 中， bnnx i y inxyx i x y i y i1 i 1，nn ，222x i nx x i xi1i1解析】（ 1）由表中数据计算 x y ，求出回归系数，得出 y 关于 x 的线性回归方程；2）利用线性回归方程计算(x i x)(y i y)b i 1 7i i140.5 ，72 28(x i x)i1a y bx 4.3 0.5 4 2.3 ，y关于x 的线性回归方程为：y? 0.5x 2.3；（2）利用线性回归方程，计算x 9时，y? 0.5 9 2.3 6.8 （千元），预测该地区2020 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，查数据处理．20．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC ，AB 2 ，AA1 AB中点，点M在边AB上.1）当点M为AB中点时，求证：C1N / / 平面A1CM ；2）试确定点M的位置，使得AB1 平面A1CM .答案】（1）见解析；（2）见解析解析】（1）推导出C1N//CM ，由此能证明C1N //平面A1CM2）当点M 是AB中点时，推导出AA1 CM ，AB CM ，从而CMAA1B1B，进而A1M CM ，推导出△ AA1M ∽ BAB1 ，从而AB1 A1M 明AB1平面A1CM ．【详解】（1）Q 在直三棱柱ABC A1B1C1 中，点N 为A1B1 中点，M 为AB中点，，点N 为平面由此能证C1N / /CMQC1N 平面A1CM ，CM平面A1CM ，C1N / / 平面A1CM ．（2）当点M 是AB 中点时，使得AB1 平面A1CM ．证明如下：Q在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC，AB 2，AA1 2，点N 为A1B1中点，点M 是AB 中点，AA1CM ，AB CM ，Q AA1AB A，CM 平面AA1B1B ，Q A1M平面AA1B1B，A1M CM ，Q A1M12( 2)23，AB122( 2)26 ，A1M AA1 ，△AA1M∽BAB1，AB1ABAA1M BAB1 ，AMA1AB1B，AB1A1M ，Q A1M CM M ，AB1平面A1CM ．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0,6），圆C : x2 y2 10x 10y 0.（1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程；（2）过点P的直线l 与圆C依次相交于A，B两点.①若AO PB ，求l 的方程；②当VABC 面积最大时，求直线l 的方程.2 2 48【答案】（1）（ x 3）2（y 3）2 18 ；（2）① 8x 5y 30 0；②x 0或y x 6．55【解析】（1）设所求圆的圆心为C1 ，而所求圆的圆心与C 、O共线，故圆心C1在直线y x上，又圆 C 1同时经过点 O 与点 P(0,6) ，求出圆 C 1的圆心和半径，即可得答案；( 2)①由题意可得 OB 为圆 C 的直径，求出 B 的坐标，可得直线 l 的方程； ②当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x 0，求出 A ， B 的坐标，得到 ABC 的面 积；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y kx 6 ．利用基本不等式、点到直线的距 离公式求得 k ，则直线方程可求． 【详解】(1)由 x 2 y 2 10x 10y 0，得 (x 5)2 (y 5)2 50，圆 C 的圆心坐标 ( 5, 5) ，设所求圆的圆心为 C 1 ． 而所求圆的圆心与 C 、 O 共线，故圆心 C 1在直线 y 又圆 C 1同时经过点 O 与点 P(0,6) ，当且仅当 a 2 50 a 2，即 a 5 时等号成立．此时弦长为 10，圆心到直线的距离为 5，由 | 5k 5 2 6| 5，解得 k 48 1 k 2 55x 上，圆心C 1 又在直线 y3上，则有：x，解得：33，即圆心 C 1 的坐标为 (3,3) ，3又 |OC 1 | 32 32 3 2 ，即半径故所求圆 C 1 的方程为(x 3)2(y 3)2 18；2)①由 AO PB ，得 OB 为圆 C 的直径，则 OB 过点 C ，OB 的方程为 y x ，联立 y x 2(x 5)2(y5)2 50，解得 B( 10, 10) ，直线 l 的斜率则直线 l 的方程为 y 10 6 8 ，10 0 5 8x 6，即 8x 5y 30 0 ；5②当直线 l 的斜率不存在时， 直线方程为 x 0，此时 A(0,0) ，B(0, 10) ，C( 5, 5) ，1S ABC 210 5 25 ；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y kx 6 ．再设直线被圆所截弦长为 2a ，则圆心到直线的距离 d 50 a 2 ，则S ABC12g2ag 50 a 2 a 2(50 a 2), (22a 50 a 2 ．2)225 ．1)①Q A(2,0) ， B(10,0) ， C(11,3)， D(10,6) ，直线方程为 y 48x 655当 ABC 面积最大时，所求直线 l 的方程为： x 0或 y 48x 6． 55本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化 归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2,0) ， B(10,0) ，C(11,3)， D(10,6) .圆的圆心为 AD 的中点，然后求出点 P 的坐标；可得 E 的坐标．详解】cos ADC 0 ； ②证明：存在点 P 使得 PA PB PC PD . 并求出 P 的坐标；2)过 C 点的直线 l 将四边形 ABCD 分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为 E ，求点 E 的坐标 . 答案】( 1)①见解析；②见解析， 解析】( 1)①利用夹角公式可得 14 3 (6,3) ；(2) (14,3). 55 cos ABC cos ADC 0 ；②由条件知点 P 为四 边形 ABCD 外接圆的圆心，根据 u A u B ur g u B u C ur 0，可得 AB BC ，四边形 ABCD 外接2)根据条件可得uu ur EDuuur 9AE ，然后设 E 的坐标为 (x,y) ，根据 10 x 9(x 2)，6 y 9y点睛】uuur uuur(1,3) ， DA ( 8, 6)， DC uuur uuur BAgBC 810 cos ABC uuuur uuuuur ，| BA||BC | 8 10 10uuur uuur DAgDC 10 10cos ADC uuuuur uuuuur，| DA ||DC | 10 10 10 cos ABC cos ADC 0 ；PD 知，点 P 为四边形 ABCD 外接圆的圆心，uuur uuurQ AB (8,0) ， BC (0,6) ，AB BC ，四边形 ABCD 外接圆的圆心为 AD 的中点，点 P 的坐标为 (6,3) ； ( 2)由两点间的距离公式可得， AB 8， BC CD 10 ， AD 10 ，Q 过 C 点的直线 l 将四边形 ABCD 分成周长相等的两部分， uuur uuur ED 9AE ，uuur uuur设 E 的坐标为 (x,y) ，则 ED (10 x,6 y) ， AE (x 2,y) ，10 x 9(x 2) 6 y 9y14 3点 E 的坐标为 (14,3) ．55【点睛】 本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函 数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力 .uuur uuurBA ( 8,0) ， BC(1, 3) ，②由 PA PB PCuuur uuur ABgBC 0 ，14。

某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。

2015-2016学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5.00分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，1}，则A∪B=．2．（5.00分）若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则f（2）=．3．（5.00分）函数f（x）=tan（2x+）的最小正周期是．4．（5.00分）已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为．5．（5.00分）已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．6．（5.00分）函数y=的定义域为．7．（5.00分）（lg5）2+lg2×lg50=．8．（5.00分）角α的终边经过点P（﹣3，y），且，则y=．9．（5.00分）方程的解为x=．10．（5.00分）若||=1，||=，且（﹣）⊥，则向量与的夹角为．11．（5.00分）关于x的方程cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，则实数a的取值范围是．12．（5.00分）下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．13．（5.00分）若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是．14．（5.00分）已知f（x）=，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14.00分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16．（14.00分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．（2）若AB=，BC=2，当•=1时，求DF的长．17．（15.00分）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2），其中0＜θ＜π．（1）若∥，求sinθ•cosθ的值；（2）若|，求θ的值．18．（15.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求A和ω的值；（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b﹣a的最大值．19．（16.00分）扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d 为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．（1）求a，b的值；（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．①将y表示为x的函数；②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．20．（16.00分）已知f（e x）=ax2﹣x，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]•log x e对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5.00分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，1}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【解答】解：A={0，1}，B={﹣1，1}，∴A∪B={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}2．（5.00分）若幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），则f（2）=．【解答】解：因为函数f（x）为幂函数，设f（x）=xα．由函数f（x）的图象经过点A（4，2），所以4α=2，得．所以f（x）=．则f（2）=．故答案为．3．（5.00分）函数f（x）=tan（2x+）的最小正周期是．【解答】解：∵f（x）=tan（2x+），∴其最小正周期T=，故答案为：．4．（5.00分）已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=×2=根据扇形的面积公式可得S=lr=××2=．故答案为：．5．（5.00分）已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．【解答】解：如图所示，点P在线段AB上，且，∴==；又，∴λ=．故答案为：．6．（5.00分）函数y=的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．．【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．7．（5.00分）（lg5）2+lg2×lg50=1．【解答】解：原式=lg25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1．故答案为：1．8．（5.00分）角α的终边经过点P（﹣3，y），且，则y=4．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，y），且，∴r=，sinα==，解得y=4或y=﹣4（舍）．故答案为：4．9．（5.00分）方程的解为x=﹣2．【解答】解：∵，∴，∴4（2x）2+3（2x）﹣1=0，解得或2x=﹣1（舍），解得x=﹣2．经检验，x=﹣2是原方程的根，∴方程的解为x=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5.00分）若||=1，||=，且（﹣）⊥，则向量与的夹角为．【解答】解：∵，∴，∴，∴，∴cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴向量与的夹角为，故答案为：11．（5.00分）关于x的方程cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解，则实数a的取值范围是．【解答】解：cosx﹣sinx+a=0在区间[0，π]上有解即a=sinx﹣cosx=在[0，π]上有解∵0≤x≤π∴∴∴∴故答案为：12．（5.00分）下列说法中，所有正确说法的序号是②④．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tanx在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．【解答】解：①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z}，不正确；②令x﹣=kπ+，k∈z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈z，令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），故正确；③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=＜1=tan45°，∴函数y=tanx在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；④由于函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移个长度单位即可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故正确；故答案为：②④．13．（5.00分）若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，则实数a的取值范围是a＞2．【解答】解：若函数y=log a（﹣x2﹣ax﹣1），（a＞0且a≠1）有最大值，由函数y=log a t为增函数，且t=﹣x2﹣ax﹣1的最大值为正，即，解得：a＞2，故实数a的取值范围是：a＞2．故答案为：a＞214．（5.00分）已知f（x）=，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是m＞﹣．【解答】解：f（x）=是R上的递增函数由f（x+2m）+mf（x）＞0得（x+2m）|x+2m|+mx2＞0，x≥1，当m≥0时，即有（x+2m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（），∴x+2m＞，∴（1﹣）x+2m＞0在x≥1恒成立．∴1﹣＞0且1﹣+2m＞0，∴m＞﹣1且（4m+1））（m+1）＞0，∴m＞﹣．故答案为：m＞﹣．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14.00分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=0，集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜3}．则A∩B={x|﹣1＜x＜1}∩{x|0＜x＜3}={x|0＜x＜1}；（2）若A⊆B，则，即1≤a≤2，∴实数a的取值范围是1≤a≤2．16．（14.00分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．（2）若AB=，BC=2，当•=1时，求DF的长．【解答】解：（1）=﹣=+﹣（+）=+﹣（+）=+﹣（+）=﹣=λ+，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=．（2）以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系如图：AB=，BC=2则A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2），∴=（，1），=（x﹣，2），∵•=1，∴（x﹣）+2=1，∴x=，∴|DF|=．17．（15.00分）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2），其中0＜θ＜π．（1）若∥，求sinθ•cosθ的值；（2）若|，求θ的值．【解答】解：（1）因为，所以2sinθ=cosθ﹣2sinθ，显然cosθ≠0，所以．所以sinθ•cosθ===，（2）因为，所以，所以cos2θ+sinθcosθ=0，cosθ=0或sinθ=﹣cosθ．又0＜θ＜π，所以或．18．（15.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求A和ω的值；（2）求函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间；（3）若函数g（x）=f（x）+1在区间（a，b）上恰有10个零点，求b﹣a的最大值．【解答】解：（1）A=2，，ω=2，所以．（2）令，k∈Z，求得．又因为x∈[0，π]，所以函数y=f（x）在[0，π]的单调增区间为和．（3）由，求得或，函数f（x）在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以b﹣a最大值为．19．（16.00分）扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d 为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．（1）求a，b的值；（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．①将y表示为x的函数；②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．【解答】解：（1）当x=6时，d=x+b=6+b=10，则b=4，当x=16时，，则a=1；所以a=1，b=4．…（4分）（2）①当0＜x≤6时，，当6＜x＜17时，所以．…（10分）②当0＜x≤6时，，不符合题意，当6＜x＜17时，解得15≤x＜123，所以15≤x＜17∴汽车速度x的范围为[15，17）．…（16分）20．（16.00分）已知f（e x）=ax2﹣x，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）求x∈（0，1]时，f（x）的值域；（3）设a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]•log x e对任意的x1，x2∈[e﹣3，e﹣1]，总有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设e x=t，则x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）2﹣lnt所以f（x）=a（lnx）2﹣lnx（x＞0）；…（3分）（2）设lnx=m（m≤0），则f（x）=g（m）=am2﹣m当a=0时，f（x）=g（m）=﹣m，g（m）的值域为[0，+∞）当a≠0时，若a＞0，，g（m）的值域为[0，+∞）若a＜0，，g（m）在上单调递增，在上单调递减，g （m）的值域为…（7分）综上，当a≥0时f（x）的值域为[0，+∞）当a＜0时f（x）的值域为；…（8分）（3）因为对任意总有所以h（x）在[e﹣3，e﹣1]满足…（10分）设lnx=s（s∈[﹣3，﹣1]），则，s∈[﹣3，﹣1]当1﹣a＜0即a＞1时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增所以，即，所以（舍）当a=1时，r（s）=s﹣1，不符合题意…（12分）当0＜a＜1时，则=a（s+）﹣1，s∈[﹣3，﹣1]若即时，r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递增所以，则若即时r（s）在递增，在递减所以，得若即时r（s）在区间[﹣3，﹣1]单调递减所以，即，得…（15分）综上所述：．。