(完整版)图形的相似知识点总结和练习,推荐文档

相似三角形根本知识点总结及练习 知识点一：比例线段有关概念及性质 〔1〕有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得 AB 、CD 的长度分别是 m 、n ，那么就说这两条线段的比是 AB:CD ＝m ：n例：线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段 AB 与CD 的比。

2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d的比，即a c〔或a ：bdb=c ：d 〕，那么，这四条线段 a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

〔注意：在求线段比时，线段单位要统一 ，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

〕例：b,a,d,c 是成比例线段，其中 a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。

〔2〕比例性质. 根本性质:a cadbc 〔两外项的积等于两内项积〕b d2. 反比性质：a cb d 把比的前项、后项交换)bda(c更比性质(交换比例的内项或外项)：a b，(交换内项)cda c d c ，(交换外项)b d b a b ．(同时交换内外项)ca等比性质：〔分子分母分别相加，比值不变.〕如果a c e m(b df n0)，那么a c e ma ．b d f n b d f n b注意：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法〞，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．-1-图形的相似知识点总结及练习例：ac e 4(bdf 0),求ace的值b df5bd f5.合比性质：ac ab cd〔分子加〔减〕分母,分母不变〕bd bd．知识点二：平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截 ,所得的对应线段成比例。

用符号语言表示： AD//BE//CF,ABDE BCEF ABDE∴BC=EF ,AC=DF ,AC=DF2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

中考数学知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。

它不仅在几何题目中频繁出现，也是解决实际问题的有力工具。

下面就让我们一起来详细了解一下图形相似的相关知识。

一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。

比如说，两个正方形，它们的边长可能不同，但形状是一样的，这就是相似图形。

相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。

二、相似三角形1、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

（3）三边成比例的两个三角形相似。

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（1）相似三角形对应边的比等于相似比。

（2）相似三角形对应角相等。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

三、相似三角形的应用1、测量高度在实际生活中，我们常常需要测量一些物体的高度，比如旗杆、建筑物等。

这时就可以利用相似三角形的知识来解决。

通过测量一些已知长度的线段和对应的角度，构建相似三角形，从而求出物体的高度。

2、测量距离相似三角形还可以用于测量距离。

比如，在河的一岸要测量到对岸某一点的距离，可以在这一岸选取两个点，构建相似三角形，通过测量已知边的长度和角度，来计算出河的宽度。

四、位似图形1、位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

（2）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。

3、位似图形的作图在位似图形的作图中，要先确定位似中心，然后根据位似比确定对应点的位置，最后连接各点得到位似图形。

8 相似三角形常见的图形DB　(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

（6）．对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

知识点12 相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．知识点13 位似图形有关的概念与性质及作法1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图形的所有性质.4. 画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),经典例题透析类型一、相似三角形的概念 1．判断对错： (1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？ (2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ (3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ (4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？ (5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件. 解：(1)不一定相似.反例 直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似. (2)不一定相似.反例 等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似. (3)一定相似. 在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中 设AB=a，A′B′=b，则BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b ∴ ∴ABC∽A′B′C′ (4)一定相似. 因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似. (5)一定相似. 全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1. 举一反三 【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？ 解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等.又相似比为1，所以对应边相等. 因此这两个三角形全等. 总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似. (1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似. (2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似. (3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等. 【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.类型二、相似三角形的判定 2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC， ∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴△BEF∽△CDF∽△AED. ∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比； 当△CDF∽△AED时，相似比. 总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数. 3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC 和△EDF相似吗？为什么？ 思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例. 解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°. 由勾股定理得. 在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°. 由勾股定理，得. 在△ABC和△EDF中，，，， ∴， ∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似). 总结升华： (1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相 似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边. (2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似. 4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举. 思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可. 解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC. 条件一：∠1=∠B. 条件二：∠2=∠ACB. 条件三：，即. 总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法，可先假设△ACD∽△ABC，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的. 举一反三 【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP．思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下： 证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2 ∵=3，∴=4 又∵BC=2DQ，∴=2 在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°， ∴△ADQ∽△QCP． 【变式2】如图，弦和弦相交于内一点，求证：. 思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用. 证明：连接，. 在 ∴∽ ∴. 【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点． 求证：△DFE∽△ABC． 思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似． 证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线， ∴　DE=AB， 即　=． 同理　=． ∵　EF为△ABC的中位线， ∴　EF=BC， 即　=． ∴　==． ∴　△DFE∽△ABC． 总结升华：本题证明方法较多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比例，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以证出△DEF∽△ABC．类型三、相似三角形的性质 5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由. 思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论. 解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y. (1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. (3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而x=cm，y=cm. 综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能. 总结升华：一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类. 6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积. 解：∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF. ∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比，得， ∴，∴，. ∴ EF=6cm，EH=12cm. ∴. 总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高. 举一反三 【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求. 解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC ∴ ∵M为DE中点，∴ ∵DM∥BC ，∴△NDM∽△NBC ∴ ∴=1：2. 总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题.类型四、相似三角形的应用 7．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 方案1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到AB=CD，得到河宽. 方案2： 思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90° 又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 答：河宽为85m． 总结升华：方案2利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等. 举一反三 【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m． (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90° ∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴ ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m ∴ ∴DE=16m 答：古塔的高度为16m. 【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？ 思路点拨：光线AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比例关系求出BC. 解：作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE，所以又因为， 所以，所以. 因为AB∥EF，AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m. 所以m.类型五、相似三角形的周长与面积 8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC 交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积． 思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其他有关的已知条件，可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，根据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF 的面积． 解：∵　DA∥BC， ∴　△ADE∽△BCE． ∴　S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2． ∵　AE︰BE=1︰2， ∴　S△ADE︰S△BCE=1︰4． ∵　S△ADE=1， ∴　S△BCE=4． ∵　S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2， ∴　S△ABC=6． ∵　EF∥BC， ∴　△AEF∽△ABC． ∵　AE︰AB=1︰3， ∴　S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9． ∴　S△AEF==． 总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方． 举一反三 【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比. 解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2. ∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且，， ∴， ∴. 【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上． (1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长； (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长； 解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ ∴S△PQC：S△ABC=1：2 ∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2 ∴CP2=42×，∴CP=. (2)∵S△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等， ∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6 ∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC ∴，即： 解得，CP=类型六、综合探究 9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说 明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180° ∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°， 又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE ∴，即 ∴ (2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ∵，∵均符合题意，故AP=1或 4. 总结升华： (1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似 三角形的知识解决. (2)解决第(2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程 解决，体现了数形结合的思想. 10．如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F. (1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围； (2)当P在BC边上什么位置时，值最大.∴，∴∴，∴∴∴.(2)∴当时，即边的中点时，值最大出发，以cm/st=a CM=a=CD点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．23. (本小题满分9分)如图12－1，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF DE，交直线AB于点F．(1) 若点F与B重合，求CE的长；(3分)(2) 若点F在线段AB上，且AF＝CE，求CE的长；(4分)(3) 设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式(直接写出结果即可)．(2分)24．(本小题满分9分)如图11，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=3，AD=1，BC=6，∠A=∠B=90°. 设动点P、Q、R在梯形的边上，始终构成以P为直角顶点的等腰直角三角形，且△PQR的一边与梯形ABCD的两底边平行.(1) 当点P在AB边上时，在图中画出一个符合条件的△PQR (不必说明画法)；(2) 当点P在BC边或CD边上时，求BP的长.23．（本小题满分8分）如图7，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α(0°<α<180°)．(1) (6分) 求证：BE=DG，且BE⊥DG；(2) (2分) 设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．(直接写出结果，不必说明理由)图7。

相似【知识脉络】【基础知识】Ⅰ . 相关相似形的见解(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。

(2) 假如两个边数同样的多边形的 对应角相等，对应边成比率， 这两个多边形叫做相似多边形。

．．．．．．．．．．．．．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) 。

Ⅱ . 比率的性质（注意性质立的条件：分母不可以为 0）（ 1）基天性质：① a : b c : dad bc ；② a : b b : c b 2 a c ．注：由一个比率式只可化成一个等积式， 而一个等积式共可化成八个比率式， 如 adbc ，除了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d c : d a : b b : d a : c b : a d : c。

， ， ，a b，互换内项)c d (（ 2）换比性质 ( 互换比率的内项或外项 ) ：ac d c ，互换外项 ( )bdbadb．(同时互换内外项 ) c aⅢ . 平行线分线段成比率定理基础图形：定理：如上图，三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比率.推论：平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比率．Ⅳ . 相似三角形（ 1）见解：对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形。

相似用符号“∽” 表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) 。

注：①对应性：即两个三角形相似时，必定要把表示对应极点的字母写在对应地点上，这样写比较简单找到相似三角形的对应角和对应边；② 次序性：相似三角形的相似比是有次序的；③ 两个三角形形状同样，但大小不用然同样；④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形。

两者的差别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比率。

（ 2）判断：依据相似图形的特点来判断。

（对应边成比率，对应角相等）①. 平行于三角形一边的直线 ( 或两边的延伸线 ) 和其余两边订交 , 所组成的三角形与原三角形相似；② . 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；③. 假如两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等 , 那么这两个三角形相似；④ . 假如两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似；直角三角形相似判判断理 ：直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形和原三角形相似注：射影定理： 在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。

中考知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。

理解和掌握图形的相似对于解决许多几何问题至关重要。

下面我们就来详细总结一下这部分的知识点。

一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。

两个图形相似，对应角相等，对应边的比相等。

例如，两个大小不同但形状完全相同的正方形就是相似图形，它们的角都是直角，对应边的比值也相等。

在判断两个图形是否相似时，关键要看它们的形状是否相同，而大小是否相同并不是决定因素。

二、相似多边形相似多边形是指两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。

相似多边形的性质有很多。

比如，相似多边形的对应边成比例，对应角相等；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

这里的相似比是指相似多边形对应边的比。

三、相似三角形相似三角形是相似多边形中的重要类型。

1、相似三角形的判定方法（1）两角分别相等的两个三角形相似。

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）三边成比例的两个三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

四、位似图形位似图形是一种特殊的相似图形，具有特殊的位置关系。

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

在位似变换中，位似中心可以在两个图形的同侧，也可以在两个图形之间。

五、图形相似的应用图形的相似在实际生活中有广泛的应用。

例如，在测量物体的高度时，如果无法直接测量，可以利用相似三角形的性质来解决。

通过在同一时刻测量一个已知高度的物体的影长和需要测量高度的物体的影长，利用相似三角形对应边成比例的性质，就可以计算出物体的高度。

相似知识点总结中考1. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

当两个三角形的对应角度相等时，它们就是相似三角形。

相似三角形有以下性质：- 对应边的比例相等：如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们对应边的长度之比相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

- 相似三角形的高线、中线和角平分线的比例：在相似三角形中，高线、中线和角平分线的比例等于相似三角形任意两条对应边的比例。

2. 相似多边形相似多边形是指具有相同形状但大小不同的多边形。

当两个多边形的对应角度相等且对应边的比例相等时，它们就是相似多边形。

相似多边形的性质与相似三角形类似，对应边的比例相等。

3. 相似图形的应用相似图形在生活和工作中有着广泛的应用，例如地图上的放大和缩小、相似三角形的测量、相似多边形的制图等。

4. 相似比相似比是指两个相似图形中对应边的比值。

在相似图形中，对应边的比值即为相似比。

当两个图形相似时，它们的相似比是相等的。

5. 直角三角形的三线比在直角三角形中，三线比是指三角形的三条高、中线和角平分线之间的比例关系。

在相似直角三角形中，三线比仍然成立。

6. 相似多边形的计算在计算相似多边形的过程中，可以利用相似三角形和相似比的性质，通过对应边的比例关系来求解未知变量。

7. 相似图形的证明在证明相似图形时，可以利用对应角度相等和对应边的比例相等的性质来进行推导和证明。

8. 相似图形的判定判定两个图形是否相似，需要验证它们的对应角度是否相等，对应边的比例是否相等，从而得出相似的结论。

9. 相似图形的变换相似图形的变换是指对已知图形进行等比例放大或缩小，保持图形的形状不变。

通过相似变换，可以得到不同大小的相似图形。

10. 相似图形的应用实例相似图形在生活中有着广泛的应用，例如建筑制图、地图测量、影视特效等方面都有相似图形的应用。

以上是关于相似知识点的总结，希望对你有所帮助。

相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。

图形的相似知识点总结及练习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN相似三角形基本知识点总结及练习知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。

2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。

（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么ban f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

中考数学知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点，它不仅在几何题目中经常出现，也与实际生活有着密切的联系。

下面就让我们一起来详细了解一下图形相似的相关知识。

一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。

两个图形相似，意味着它们的对应角相等，对应边成比例。

例如，两个三角形，如果它们的对应角相等，对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

相似图形的特点主要有以下几点：1、对应边的长度成比例。

2、对应角的度数相等。

3、图形的形状相同，但大小可能不同。

二、相似三角形（一）相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。

比如说，如果在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，角 A ＝角 A'，角B ＝角 B'，那么这两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且角 A ＝角 A'，那么这两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

假设三角形 ABC 和三角形 A'B'C'的三边对应成比例，即 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C'，则它们相似。

（二）相似三角形的性质1、相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

2、相似三角形的对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

三、相似多边形（一）相似多边形的概念相似多边形是指两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似的。

（二）相似多边形的性质1、相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

相似三角形基本知识点总结及练习知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。

2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。

（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

中考知识点总结图形的相似图形的相似是中考数学中的一个重要知识点，理解和掌握这部分内容对于解决相关问题至关重要。

接下来，让我们一起系统地梳理一下图形的相似的知识点。

一、相似图形的定义相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。

两个图形相似，对应角相等，对应边的比相等。

比如，两个大小不同的正方形就是相似图形，它们的角都是直角，对应边的比例相同。

二、相似多边形1、相似多边形的定义如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。

2、相似比相似多边形对应边的比叫做相似比。

需要注意的是，相似比为1 时，两个多边形全等。

3、相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

（2）相似多边形周长的比等于相似比。

（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方。

三、相似三角形1、相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）三边成比例的两个三角形相似。

3、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

四、位似图形1、位似图形的定义如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

2、位似图形的性质（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

（2）在位似变换中，位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。

五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量物体的高度、宽度，计算不能直接测量的距离等。

例如，要测量一棵大树的高度，可以在同一时刻，测量一根直立的标杆的高度以及它的影长，同时测量大树的影长。

利用相似三角形对应边成比例的性质，就可以计算出大树的高度。

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

(6)判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD) 2=BD- DC ( 2)( AB) 2=BD • BC ,22(3)( AC) =CD・ BC。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即 2 2(AB) + ( AC) = ( BC)2典型例题:例1 如图，已知等腰 △ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG II AB , BG 分别交AD , AC 于E 、F ，求证：BE 2=EF EG证明：如图，连结 EC ,v AB = AC , AD 丄BC ,•••/ ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC••• BE = EC ，/ 1 =Z 2，•/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 ,即/ 3 = Z 4，又 CG // AB ，•/ G = Z 3，•/ 4 = Z GCE EF又•••/ CEG = Z CEF , CEF GEC , • EG = CE • EC 2= EG- EF ，故 EB 2=EF -EG【解题技巧点拨】 本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而 其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

相似图形知识点总结文库一、相似图形的定义相似图形是指两个或多个图形之间的形状相同，但大小可能不同的情况。

在几何中，通常用符号∼表示两个相似图形之间的关系。

例如，若图形A和图形B是相似的，则可以表示为A∼B。

相似图形的定义可以用比例来表达，即如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应边的比例是相等的，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

二、相似图形的判定1. AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

2. AA相似判定法：如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。

3. SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

4. 直接判定法：如果两个四边形的对应边成比例，那么它们是相似的。

在判定相似图形时，可以根据题目条件选择不同的方法进行判定，以确定两个或多个图形之间是否是相似的关系。

三、相似图形的性质1. 相似三角形的性质：(1) 相似三角形的对应角相等；(2) 相似三角形的对应边成比例；(3) 相似三角形的高线成比例；(4) 相似三角形的中位线成比例。

2. 相似四边形的性质：(1) 相似四边形的对应角相等；(2) 相似四边形的对应边成比例。

3. 相似图形的周长、面积与比例关系：(1) 如果两个图形相似，那么它们的周长之比等于它们的任意一条边的比；(2) 如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们的任意一条边的比的平方。

四、相似图形的应用1. 图形的放大与缩小：在工程设计、地图制作等领域，相似图形的概念经常被用来进行图形的放大与缩小，以便得到需要的大小。

2. 测量与估算：利用相似图形的性质，可以利用已知的尺寸进行图形的测量与估算，从而得到未知尺寸的大小。

3. 面积与体积的计算：利用相似图形的面积与比例关系，可以方便地计算出图形的面积与体积。

4. 几何问题的解决：在几何问题中，利用相似图形的性质，可以更快速地解决一些有关形状和比例的问题，如建筑设计、城市规划等。

图形的相似考点一、比例线段1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2、比例的性质（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项）⇒=dcb a ac bd =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：cd a b d c b a =⇒= （4）合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-≈ 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

nm b a =dcb a =逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。