第五讲 等差等比
★★★高考在考什么 【考题回放】 1．在等差数列
}
{n a 中，
8
36a a a +=，则
=
9S （ A ）
A.0
B.1
C.1-
D. -1或1
2.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为q ，则2q 的值为（ D ）
A.2
B. 21
5- C. 21
5+ D. 215±
3.已知数列{
n
a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ）
A ．9
B ．8 C. 7 D ．6
4.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且745
3n n A n B n +=
+，则使得n n
a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 5.设等差数列
{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（
B ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S
成等差数列，则{}n a 的公比为1
3．
★★★高考要考什么
等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a
等差数列的通项公式：
d
n a a n )1(1-+=------该公式整理后是关于n 的一次函数
等差数列的前n 项和 1．
2)(1n n a a n S +=
2. d n n na S n 2)
1(1-+= 3.Bn An S n +=2
等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：
2b
a A +=
或
b a A +=2
等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果n
a 是等差数列的第n 项，
m
a 是等差
数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d
m n a a m n )(-+=
对于等差数列
{}
n a ，若q p m n +=+，则q
p m n a a a a +=+。也就是：
=+=+=+--23121n n n a a a a a a ，
3．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k
k S S 23-成
等
差
数
列
。
如
下
图
所
示
：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
4．设数列
{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，
则有如下性质：
○1当n 为偶数时，
d 2n S =-奇
偶S ， ○2当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，
=偶
奇S S n n 1+， 等比数列的判定方法:①定义法：若)0(1
≠=+q q a a n
n ②等比中项：若
2
1
2++=n n n a a a ，则数列
{}n a 是等比数列。
等比数列的通项公式:如果等比数列
{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为
1
1-=n n q a a 。
等比数列的前n 项和:○1
)
1(1)
1(1≠--=q q
q a S n n ○2
)1(11≠--=
q q
q
a a S n n ○3当1=q 时，
1na S n =
等比中项:如果使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。那么ab G =2
。
等比数列的性质:
1．等比数列任意两项间的关系：如果
n
a 是等比数列的第n 项，
m
a 是等差数列的第m 项，
且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=
对于等比数列
{}
n a ，若v u m n +=+，则v
u m n a a a a ⋅=⋅也就是：
=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。
3．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*
N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成
等比数列。如下图所示：
k
k
k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++
★★ 突 破 重 难 点
【范例1】
n S 设是等差数列{}n a 的前n 项和，已知434131S S 与的等比中项为5
51
S ，4341
31S S 与的等差中项为1，求数列{}n a 的通项．
解析 由已知得2345341
11()34511234S S S S S ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即2113505222a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，
解得101d a =⎧⎨=⎩或11254d a ⎧=-
⎪⎨⎪=⎩ 1n a ∴= 或
321255n a n =- 经验证 1
=n a 或
n a n 512
532-=
均满足题意，即为所求．
【点睛】若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{
}n
S n 也是等差数列．本题是以此背景
设计此题．
【变式】已知等差数列｛an ｝的公差和等比数列｛bn ｝的公比相等，且都等于d （d ＞0，d ≠1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an ，bn ．
解：由已知
2
114112345a d a d a d a d ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩①②
由①，得a1（3d2－1）＝2d ③
由②，得a1（5d4－1）＝4d ④
因为d ≠0，由③与④得2（3d2－1）＝5d4－1， 即5d4－6d2＋1＝0，解得d ＝±1，d ＝±55
． ∵d ＞0，d ≠1，∴d ＝55
．代入③，得a1＝－5，故b1=－5. an ＝－5＋55（n －1）＝55（n －6），bn ＝－5×（55
）n －1．
本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.
