中考数学复习方法技巧专题一数形结合思想训练含分类汇编解析.doc

中考经典考题：数形结合掌握这些几何解题技巧压轴题不再丢分解决数学中考压轴题一般都会用到数形结合等思想。

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

题型分析本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线。

第（1）题：顶点C的坐标为（1,2）。

第（2）题：F的坐标为（-3，-6）。

数形结合思想利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，以形助数，以数辅形，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使问题得以解决的一种数学思想。

数形结合思想常见的四种类型1、实数与数轴实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直观明了。

2、在解方程(组)或不等式(组)中的应用利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决；还有曲线与方程的对应关系；利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观，形象，易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解。

3、在函数中的应用函数与图像的对应关系；借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

4、在几何中的应用以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；对于几何问题，我们常通过图形,找出边、角的数量关系，通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

强化训练1.利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合。

你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？（1）如图①，是一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的12，14 ，18，…，12n ，根据图示我们可以知道：11111248162n+++++=_____。

（用含有n 的式子表示） （2）如图②，是一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的23，根据图示，计算：222239273n ++++=______。

（用含有n 的式子表示） （3）如图③，是一个边长为1的正方形，根据图示，计算：1124823927813n n -++++ =_______。

（用含有n 的式子表示）2.我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等。

小学里，把分子比分母小的分数叫作真分数。

类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式。

对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式。

例如，1121221;11111x x x x x x x x +-+-==+=+----- 2322522552;11111x x x x x x x x -+-+-⎛⎫==+=+- ⎪+++++⎝⎭（1）下列分式： 2222143,,,11211x x y m x x y m -++-+-①②③④，属于真分式的是___________。

（填序号）（2）将假分式4521aa+-化成整式与真分式的和的形式为4521aa+-=_______，若假分式4521aa+-的值为整数，则整数a的值为_______。

3.数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题。

通过数形结合将代数与几何完美地结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果。

中考数学复习数形联合思想方法技巧训练导教案（含答案）方法技巧专题一数形联合思想训练数形联合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数目关系，追求代数问题的解决方法(以形助数)，或利用数目关系来研究几何图形的性质解决几何问题(以数助形)的一种数学思想．一、选择题1．我们学习了一次函数、二次函数和反比率函数，回首学习过程，都是依照列表、描点、连线获得函数的图象，而后依据函数的图象研究函数的性质，这类研究方法主要表现的数学思想是( )A．演绎B．数形联合C．抽象D．公义化2．若实数，，c 在数轴上对应的点如图1－1所示，则以下式子中正确的选项是()abF图F1－1A．ac＞bc B．|a－b|＝a－b C．－a＜－b＜－c D．－a－c＞－b－c3．一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积是()A．1B.1C．4D．8244．端午节前夜，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队500米的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系式如图F1－2所示，以下说法错误的选项是()图F1－2A．乙队比甲队提早min抵达终点B．当乙队划行110m时，落伍甲队15mC．min后，乙队比甲队每分钟快40mD．自min开始，甲队若要与乙队同时抵达终点，甲队的速度需提升到255m/min5．已知二次函数y ＝(x－)2＋1(h为常数)，在自变量x的值知足1≤≤3的状况下，与其对应的函数值y的最小h x值为5，则h的值为()A．1或－5B．－1或5C．1或－3D．1或36．如图F1－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A(－2，0)和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC.以下1a＋b结论：①2b－c＝2；②a＝2；③ac＝b－1；④c＞0.此中正确的个数有()1/7中考数学复数形合思想方法技巧教案（含答案）F 1－3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空7．如b 的恒等式：F 1－4是由四全等的矩形片拼成的形，________．利用中空白部分面的不一样表示方法，写出一个对于a ，F 1－48．如F 1－5，直y ＝kx 和y ＝ax ＋4交于A (1，k )，不等式 kx －6<ax ＋4<kx 的解集________．F 1－59．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不断”意思是：一根一尺的木棍，假如每日截取它的一半，永也取不完，如F 1－6所示．由易得：1 1 1 ＋ 2＋ 3＋⋯＋1n ＝________．F 1－610．当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )，代数式 x 2－2x ＋3的相等， x ＝m ＋n ，代数式 x 2－2x ＋3的________．11．已知数 a 、b 足：a 2＋1＝1a ，b 2＋1＝1b ，2018|a －b|＝________．12．察以下形：F 1－7它是按必定律摆列的，依照此律，第9个形中共有________个点．2/7中考数学复数形合思想方法技巧教案（含答案）13．(1)察以下形与等式的关系，并填空：F1－8(2)察1－9，依据(1)中，算中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：FF1－91＋3＋5＋⋯＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＋1＝__________．三、解答14．如F1－10，在平面直角坐系xOy中，抛物y＝ax2＋bx＋2B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)求抛物的分析式；(2)抛物点，求△的面；D BCD1(3)若直y＝－2x向上平移b个位所得的直与抛物段BDC(包含端点B、C)部分有两个交点，求b的取范．【例l】y x22x2x24x13，y的最小___________.（尼）解思路：若想求出被开方式的最小，此失彼．y x121x229＝x12012x22032，于是化：在x上求一点C(x，0)，使它到两点A（－1，1）和B(2，3)的距离之和（即CA＋CB）最小.根源:Z&xx&【例2】直角三角形的两条直角之整数，它的周是x厘米，面是x平方厘米，的直角三角形() A．不存在B．至多1个C．有4个D．有2个3/7中考数学复习数形联合思想方法技巧训练导教案（含答案）（黄冈市比赛试题）解题思路：由题意可得若干关系式，若此关系式无解，则可推知知足题设要求的直角三角形不存在；若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且依据解的个数，可确立此直角三角形的个数．【例3】如图，在△ABC中，∠A＝900，∠B＝2∠C，∠B的均分线交AC于D，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.求证：111.BDDF AEBF AE BE（湖北省比赛试题）解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分显然．可依照题设条件，分别计算出各个线段，利用代数法证明．BEFA D C【例4】当a在什么范围内取值时，方程x25x a有且只有相异的两实数根？（四川省联赛试题）解题思路：从函数的看法看，问题可转变为函数y x25x与函数ya(a≥0)图象有且只有相异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a的取值范围．【例5】设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个极点在三角形的一边上，另两个极点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC为正三角形．（江苏省比赛试题）解题思路：设△ABC三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a，h b，h c，△ABC的面积为S，则易得三个内接正方形边长分别为2S，2S，2S，由题意得aha bhb ch c，即a h a bh b ch c2Sb 2S2SL．则a，2Sa cc b，c合适方程x L.a b xx2xy y225【例6】设正数x，y，z知足方程组y23，求xy2yz3zx的值．z293z2zx x216参照答案1．4/7中考数学复数形合思想方法技巧教案（含答案）5．B[分析](1)如①，当x ＝3，y获得最小，h>3，h＝5(＝1舍去)；解得（3－h）2＋1＝5，hh<1，(2)如②，当x＝1，y获得最小，（1－h）2＋1＝5，解得h＝－1(h＝3舍去)．6．C [分析]在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0，y＝c，∴C(0，c)，∴OC＝－c.∵OB＝OC，∴B(－c，0)．∵A(－2，0)，∴－c、－2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的数根，∴－c·(－2)＝c，∵c≠0，∴a＝1，②a2正确；∵1a＝2，－c、－2是一元二次方程122x＋bx＋c＝0的两个不相等的数根，∴－bc＋(－2)＝－1，即2b－c＝2，2①正确；把B(－c，0)代入y＝ax2＋bx＋c，得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c，即ac2－bc＋c＝0.∵c≠0，∴ac－b＋1＝0，∴ac ＝－1，③正确；∵抛物张口向上，∴a＞0.∵抛物的称在y左，∴－b＜0，∴＞0.∴＋＞0.∵b2a b ab抛物与y半交于点C，∴c＜0.∴a＋bc＜0，④不正确．7．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab58．1<x<2[分析]将A(1，k)代入y＝ax＋4得a＋4＝k，将a＋4＝k代入不等式kx－6<ax＋4<kx中得(a＋4)x－556<ax＋4<(a＋4)x，解不等式(a＋4)x－6<ax＋4得x<2，解不等式ax＋4<(a＋4)x得x>1，因此不等式的解集是1<x<2. 2n－19．1－2n(或2n)10．312．135 [分析]第1个形有3＝3×1＝3个点；第2个形有3＋6＝3×(1＋2)＝9个点；第3个形有3＋6＋9＝3×(1＋2＋3)＝18个点；⋯第n个形有3＋6＋9＋⋯＋3n＝3×(1＋2＋3＋⋯＋n)＝3n（n＋1）个点．2当n＝9，＝135个点．13.解：(1)1＋3＋5＋7＝16＝42.察，律，第一个形：1＋3＝22，第二个形： 1＋3＋5＝32，第三个形：1＋3＋5＋7＝42，⋯，第(n－1)个形：1＋3＋5＋⋯＋(2n－1)＝n2.故答案：42；n2.5/7中考数学复数形合思想方法技巧教案（含答案）察形：中黑球可分三部分，1到n行，第(n＋1)行，(n＋2)行到(2n＋1)行，即1＋3＋5＋⋯＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＋1 [1＋3＋5＋⋯＋(2n－1)]＋(2n＋1)＋[(2n－1)＋⋯＋5＋3＋1]n2＋2n＋1＋n22n2＋2n＋1.故答案：2n＋1；2n2＋2n＋1.4a－2b＋2＝6，114．解：(1)由意，得a＝，解得24a＋2b＋2＝2，b＝－1.∴抛物的分析式y＝1x2－x＋2. 2(2)如，∵12123＝－＋2＝(－1)＋，y2xx2x23∴抛物的点坐是(1，2)．由B(－2，6)和C(2，2)求得直BC的分析式y＝－x＋4.∴称与直BC的交点是H(1，3)．3DH＝2.1 313S△BDC＝S△BDH＋S△CDH＝2×2×3＋2×2×1＝3.(3)如．y＝－1x＋b，2①由消去y，得x2－x＋4－2b＝0.12y＝2x－x＋2当＝0，直与抛物只有一个公共点，6/7中考数学复习数形联合思想方法技巧训练导教案（含答案）∴(－1)2－4(4－2b)＝0，解得b＝15.81②当直线y＝－x＋b经过点C时，b＝3.1③当直线y＝－2x＋b经过点B时，b＝5.15综上，可知8＜b≤3.7/7。

中考数学数形结合思想专题知识点概述数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型（1）实数与数轴。

实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

（2）在解方程(组)或不等式(组)中的应用。

利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

（3）在函数中的应用。

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

（4）在几何中的应用。

对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.例题解析与对点练习【例题1】（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【答案】B【分析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，根据tan22.5°=ACCD 计算即可．【解析】在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =1+√2=√2−1 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C．D．【答案】C【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2【例题2】（2020•济宁）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝5 C．x＝25 D．x＝15【答案】A【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．【解析】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）∴直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P为x＝20．【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【答案】4【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+=4，∴+=4，解得：b1﹣b2=4．【例题3】（2020通化模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE 的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】见解析。

方法技巧专题(一) 数形结合思想训练【方法解读】数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方案(以形助数)，或利用数量关系研究几何图形的性质解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。

1.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.演绎B.数形结合C.抽象D.公理化2.若实数a,b,c在数轴上对应的点如图F1-1,则下列式子正确的是()图F1-1A.ac>bcB.|a-b|=a-bC.-a<-b<-cD.-a-c>-b-c3.[2017·怀化] 一次函数y=-2x+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于点A,B,则△AOB的面积是 ()A.B.C.4D.84.[2018·仙桃] 甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80 km/h的速度行驶1 h后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1 h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图F1-2所示.下列说法:①乙车的速度是120 km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有()图F1-2A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h 的值为()A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.[2018·白银] 如图F1-3是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,对于下列说法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m为常数),⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是()图F1-3A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.如图F1-4是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a,b的恒等式:.图F1-48.[2018·白银] 如图F1-5,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P(n,-4),则关于x的不等式组的解集为.图F1-59.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图F1-6.图F1-6由图易得:+++…+= .10.当x=m或x=n(m≠n)时,代数式x2-2x+3的值相等,则x=m+n时,代数式x2-2x+3的值为.11.已知实数a,b满足a2+1=,b2+1=,则2018|a-b|= .12.已知函数y=使y=k成立的x的值恰好只有3个时,k的值为.13.(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图F1-7(2)观察图F1-8,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,并用含有n的代数式填空:图F1-81+3+5+…+(2n-1)+()+(2n-1)+…+5+3+1= .14.[2018·北京] 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.参考答案1.B2.D3.B4.B[解析] 甲、乙两车最开始相距80 km,0到2 h是乙在追甲,并在2 h时追上,设乙的速度为x km/h,可得方程2x-2×80=80,解得x=120,故①正确;在2 h时甲、乙距离为0,在6 h时乙到达B地,此时甲、乙距离=(6-2)×(120-80)=160(km),故②正确;H点是乙在B地停留1 h后开始原路返回,6 h时甲、乙距离是160 km,1 h中只有甲在走,所以1 h后甲、乙距离80 km,所以点H的坐标是(7,80),故③正确;最后一段是乙原路返回,直到在n h时与甲相遇,初始距离80 km,所以相遇时间=80÷(120+80)=0.4,所以n=7.4,故④错误.综上所述,①②③正确,④错误,正确的有3个,故选B.5.B[解析] 由二次函数的顶点式y=(x-h)2+1,可知当x=h时,y取得最小值1.(1)如图①,当x=3,y取得最小值时,解得h=5(h=1舍去);(2)如图②,当x=1,y取得最小值时,解得h=-1(h=3舍去).故选B.6.A[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,即x=-=1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a+b=0,∴①②正确.∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,知抛物线与x 轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c<0,∴③错误.当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点,也是二次函数的最大值.当x=m时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此时有a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),∴④正确.∵抛物线过x轴上的A点,A点在点(2,0)和(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间,由图知,当2<x<3时,有一部分图象位于x轴下方,说明此时y<0,根据抛物线的对称性可知,当-1<x<0时,也有一部分图象位于x 轴下方,说明此时y<0,∴⑤错误.故选A.7.(a-b)2=(a+b)2-4ab8.-2<x<2[解析] ∵y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-n-2=-4,解得n=2.∴P点坐标是(2,-4).观察图象知:2x+m<-x-2的解集为x<2.解不等式-x-2<0可得x>-2.∴不等式组的解集是-2<x<2.9.1-10.311.112.1或2[解析] 画出函数解析式的图象,要使y=k成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=k这条直线有3个交点.函数y=的图象如图.根据图象知道当y=1或2时,对应成立的x值恰好有3个,∴k=1或2.故答案为1或2.13.解:(1)1+3+5+7=16=42.观察,发现规律,第一个图形:1+3=22,第二个图形:1+3+5=32,第三个图形:1+3+5+7=42,…,第(n-1)个图形:1+3+5+…+(2n-1)=n2.故答案为:42n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第(n+1)行,(n+2)行到(2n+1)行,即1+3+5+…+(2n-1)+[2(n+1)-1]+(2n-1)+…+5+3+1=[1+3+5+…+(2n-1)]+(2n+1)+[(2n-1)+…+5+3+1]=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.故答案为:2n+12n2+2n+1.14.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图,易知抛物线与y轴交于点(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.。

中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休。

”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。

二、典型例题（一）在数与式中的应用例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简2||a a b +-=_________。

（二）在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。

例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩，C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，（三）在锐角三角函数中的应用 例4、画△ABC ，使cosA=21，AB ＝2cm ，∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选，这样的三角形可以画_______个。

（四）在函数中的应用例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中： ①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =； ③0a b c ++>；④当1x >时，y 随着x 的增大而增大． 正确的说法有 ．（请写出序号）（五）在概率统计中的应用例6、某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图： ⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么⑶请你根据上述数据，a b0 · P （1，1）1 12 23 3 －1 －1Ox yxyO3 -1对该报社提出一条合理的建议。

专题一 有理数与数轴的数形结合要点归纳1．像2，31，0．25，π，30%等这样大于零的数叫做________；像－20，－32，－0．25，－30%等这样在正数前面加上负“－”的数叫做________．2．用正、负数可以表示具有相反意义的量，若一个相反意义的量中一个“意义”规定用“＋”表示，则另一个“意义”必定用“_______”表示．3．有理数按性质可分为_______、_______、______；整数和_______统称为有理数．4．我们把规定了_______、_______、______的直线叫数轴，这条直线上的任意数轴一个点表示一个数，原点左边的数都是______数，原点右边的数都是______数，在实际问题中，一个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．5．数轴上的点与有理数之间的关系：所有的______都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点不都表示有理数．典例讲解经典再现一、正、负数的识别及应用例1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？＋0．007，－200，53，－45，0．666…，－9，20．5，0，－32 【思路点拨】由正、负数的定义进行判断．解：整数：＋0．007，53，0．666…，20．5；负数：－200，－45，－9，－32． 【方法规律】正数前面可以加“＋”号，也可以不加“＋”号；负数前面的“－”号不可以省略．判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“－”号，而不是看它是不是带有“－”号，特别注意 ，“－a ”不一定是负数，如－（－5）数不是负数．例2 课桌的高度比标准高度高2c m 记作＋2c m ，那么比标准高度低3c m 记作什么？现有5 张课桌，小明测量了它们的高度，记录如下：＋1c m ，0c m ，－1c m ，＋3c m ，－1．5c m ．若规定课桌的高度与标准高度相差最多不能超过2c m ，问上述5张课桌有几张合格？【思路点拨】具有相反意义的量可以分别用“＋”、“－”数来表示，与标准高相差2c m ，是指可以高2c m ，也可以低2c m ．解：比标准高度低3c m 记作－3c m ，这5张课桌中，合格的有：比标准高度：＋1c m 、0c m 、－1c m 、－1．5c m ，共4张．【方法规律】如果超过标准高度记为“＋”，那么不是（或低于）标准高度记为“－”，在判断几张桌子合格的问题中，我们不管超过还是低于标准高度，不看数前面的“＋”、“－”号，只看符号后面数是否小于或等于0．二、有理数的相关概念（1）整数：正整数、0、负整数的统称；（2）分数：正分数、负分数的统称；（3）有理数：整数和分数的统称；（4）有理数包括有限小数和无限循环小数．例3 下列说法中，正确的是（ ）A ．正有理数和负有理数统称为有理数B ．正整数和负整数统称为整数C ．整数和分数统称为有理数D ．非正整数就是指零、负整数和所有分数【思路点拨】A 选项中，有理数应包括正有理数、0和负有理数；B 选项中也漏掉了0；D 选项中，非正整数是指负整数和0．解：C三、有理数的分类例4 把下列各数填在相应的横线上．－25，3．14，48，－32，－0．40，0，＋34，－3．5，1，41 （1）⎩⎨⎧________________________________分数：整数：有理数 （2）⎪⎩⎪⎨⎧____________________________________________负有理数：零：正有理数：有理数【思路点拨】此题考察有理数的两种分类方式，注意0是整数．解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-+---41,5.3,34,40.0,32,14.31,0,48,25:分数：整数有理数 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----+5.3,40.0,32,25041,1,34,48,14.3负有理数：零：正有理数：有理数 【方法规律】对有理数进行分类时，必须按照同一标准，不能将两种分类方式混在一起，小数（有限小数、无限循环小数）都是分数．例5 下面四个结论中，正确的结论是（ ）A ．两个不同的整数之间必有一个正分数B ．两个不同的整数之间必有一个整数C ．两个不同的整数之间必有一个有理数D ．两个不同的整数之间必有一个负数【思路点拨】对于A ，如果是两个负整数，那么中间就没有正分数；对于B ，如果是两个连续的整数，中间就再没有整数；对于D ，如果两个整数是正整数，中间就没有负数；只有C ，不论是怎样的两个不同的整数，中间必有有理数，如2和3中间有25，－2，－3之间有－25． 解：选C【方法规律】如果一个说法（结论）不正确，可举反例说明．四、数轴上的点和数例6 指出下面数轴上A 、B 、C 、D 、O 各点分别表示什么数？【思路点拨】数的性质A 点、B 点在原点的左侧，表示的是负数；C 点、D 点在原点的右侧，表示的数是整数，0点在原点；其次，还要确定每个点到原点的距离．解：点A 表示－5，点B 表示－1，点C 表示2，点D 表示5，点O 表示0．【方法规律】本题一个单位长度表示2，而不是1，容易看错，确定数轴上的点表示的数，一定性质，二定距离．例7 数轴上表示到3的点的距离是5的点表示的数是__________．【思维点拨】数轴上与表示3的点相距5个单位长度的点有两个，一个表示3的点的右侧且相距5个单位长度，另一个表示3的点的左侧且相距5个单位长度．解：8或－2【方法规律】距离是一个长度，在数轴上表示与某个点的距离为a （a ＞0）的点时，用分类讨论思想时要考虑在这个点左侧且距此点a 个单位长度有一个点；在这个点右侧且距此点a 个单位长度也有一个点．五、画数轴画数轴时，一定要体现出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，画数轴的步骤可归纳为：一画、二定、三选、四统一、五标数，即画直线、定原点、选取正方向，统一单位长度，确定要表示的数的对应点的位置．例8 如图，数轴上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点，每两个相邻的点的距离相等，那么下列说法中错误的是（ ）A ．表示原点的数在C 、D 之间B ．有三个点表示的数是负数C ．这六个数中没有表示整数的点D ．C 点与原点最接近【思维点拨】A 点到F 点的距离是436，且相邻的点之间的距离相等，所以每两个相邻点间距离为427÷5=2027，原点在C 、D 之间，213＞413，因此原点靠近D 点，A 、B 、C 三点表示的数是负数，B 点表示的数是分数．解：D拓展研究一、正、负数应用在一些实际生产和生活的问题中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”这个量作为正、负数的界限，解决问题时，要按题目的要求正确理解整数、负数所代表的实际的量的真正意义，把实际的量进行转化．例1 图中这个游戏叫做（井底之蛙），一个人或几个人玩，每人投一次骰子（可以是一粒或二粒），按点数井底之蛙开始往上爬，爬到哪一格，就按那一格的数字再往上升或往下降，只有升到井上或回到井底，才轮到第二个人．例如，投得3，往上爬三格，得“＋1”，再升一格，又得“－4”，降四格回到井底，于是轮到第二个人投骰子．现在轮到你投骰子，请你简要分析一下，如果你投到哪些数，就可以把青蛙送到井上，不再坐井观天．【思路点拨】读懂题意，将每个数按题意上升或下降这些格，看是否送到井上，是否仍回井底． 解：投到8~12时，可以把青蛙送到井上；投到1~7时，青蛙回到井底．【方法规律】理解正、负数的意义是解题的关键．二、有理数分类中0的位置0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界，是唯一的中性数．例2 下列说法正确的有（ ）①一个有理数不是正数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正数就是负数； ④一个分数不是正数就是负数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】一个有理数可能是正数、负数或0，整数也包括零，其中①④是正确的．解：B【方法规律】在有关有理数概念的考察中，0最容易被忽视，要防止“一个有理数非正即负”和“一个整数非正即负”的错误出现．三、利用正、负数探究数字的排列规律例3 观察下列依次排列的两列数，它们的排列有什么规律？你能说出这两列数的第48个数，第101个数，第2015个数分别是什么吗？（1）－1，21，－3，41，－5，61，－7，81，…； （2）21，0，－21，0，21，0，－21，0，…． 【思路点拨】（1）这列数从数的性质看正、负交替出现，再考虑分子、分母的变化规律；（2）这列数是0、21交替出现，再考虑性质符号的变化规律． 解：（1）这列数的排列规律是：对于第n 个数，n 为奇数时，此数是－n ，n 为偶数时，此数是n 1，因此，第48个数为481，第101个数为－101，第2015个数为－2015． （2）这列数的排列规律是：21，0，－21，0，…，从前往后奇数位上数是21或－21，偶数位上是0，位数除4余1的是21，位数除4余3的是－21，所以，第48个数是0，第101个数是21，第2015个数是－21． 【方法规律】从数的性质和除性质外的数的大小两方面寻找规律．四、有理数分类中小数的划分例4 下列各数中，哪些是有理数，哪些不是有理数？722，－3.0&，－31，0．121121112…，0．676767…，π，－π，0．4． 【思路点拨】722，－31是分数，－3.0&，0．676767…是循环小数，可以化为分数，0．4是有限小数，也可以化为分数，所以都是有理数．0．121121112…，π，－π都是无限不循环小数，不能化为分数，所以不是有理数．解：有理数：722，－3.0&，－31，0．676767…，0．4； 不是有理数：0．121121112…，π，－π．【方法规律】小数有三类：有限小数，无限循环小数和无限不循环小数，其中有限小数与无限小数都可以化为分数，故都是有理数，无限不循环小数不是有理数，分数可化为有限小数或无限循环小数．五、数轴上的数形结合例5 如图，数轴上有A、B、C三个点，请回答下列问题：（1）将B点在数轴上移动3个单位长度后，所表示的数是什么？（2）怎样在数轴上移点C，使移动后的C点（不与B点重合）与A点的距离等于B点与A点的距离？此时C点表示的数是什么？【思维点拨】（1）B点在数轴的移动可向正方向，也可向负方向，有两个结果；（2）A、B两点间的距离是2，C点向左移动，可在A点左边，也可在A点右边距离为2，但A点右边距离为2的点与B点重合，应排除．解：（1）－5或1（2）将C点向左移动9个单位长度，此时C点表示的数是－6．【方法规律】到数轴上某点的距离为a（a＞0）的点有两个，在该点左、右两边各有一个点．六、数轴的实际应用利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和单位长度，将实际问题在数轴上表示出来，再根据要求求解．例5 某人从A地向东走10米到达B地，然后向西走4米到达C地，又向东走7米到达D地，问此人现在在A地的哪个方向？距A地多远？【思路点拨】本题可借助数轴来解决，按照此人行走的方向和距离找出他三次行走后的位置．解：设A地是原点，向东为正方向，以1米为一个单位长度，由图可知D在A地的正东方向，距A地13米．【方法规律】本题运用数形结合思想解决问题，根据已知条件画出一条数轴，在数轴上讲三次运动过程表示出来，便能顺利解决问题．实战演练A 链接中考1．孔子出生于公元前551年，如果用－551表示，那么下列中国历史文化名人的出生年代表示为：①司马迁出生于公元前145年：__________；②李白出生于公元701年：_______．2．林艳在东西向的路上，先向东走30米，又向西走30米，她一共走了______米，她最后的位置是在_________．3．已知在数轴上有A、B两点，点A、B之间的距离为1，点A与原点的距离为3，那么点B表示的数是__________．4．数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为_______．5．点A为数轴上距原点距离4个单位长度的点，A点表示的数是_______．6．下列各组量具有相反意义的是（）A．收入3000元与增加5000元B．向东走5km与向南走3．5kmC．温度上升12℃与水位下降D．七（5）班在比赛中胜3场与负3场7．下列说法中正确的有（）①小数都是有理数；②存在最小的自然数；③－0．001是分数，也是有理数A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，数轴上的点A表示的数可能是（）A．2．4 B．－2．4 C．－1．6 D．－1．49．点A在数轴上表示－2的点所在的位置，当点A沿数轴移动5个单位长度到达点B时，点B表示的有理数是（）A．3 B．－7 C．3或－7 D．无法确定B 冲刺中考10．下列说法中，正确的个数有（）①0℃表示没有温度；②0是最小的整数；③0是偶数，也是自然数；④不带负号的数都是整数；⑤带负号的数不一定是负数A．0个B．1个C．2个D．3个11.下列说法中错误的是( )A.正整数一定是自然数B．自然数一定是正整数C．一个有理数不是整数就是分数D．任何有理数都可以表示为分数12.下列说法正确的是( )A.规定了原点、正方向的直线是数轴B．数轴上原点及原点右边的点表示的数是非正数C．有理数如11000在数轴上无法表示D．任何一个有理数都可以在数轴上找到13. 一次月考中，新欣所在班级平均分为95分，把高出平均分的部分记作正数，新欣105分，记为____，兰慧记-12分，她实际得分为分．14.下列四个判断中，错误的是( )A.存在着最小的自然数B．存在最小的正有理数C．不存在最大的正有理数D．不存在最大的负有理数15. -a 一定是( )A．正数B．负数C．正数或负数D．正数或零或负数16.下列说法错误的是( )A.数轴上原点右边的点表示的数是正数B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数C．所有的有理数都可以用数轴上的点表示D．数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3 17.已知数轴上的点A到原点的距离为2个单位长度，那么数轴上到点A的距离是3个单位长度的点所表示的数是( )A.5 B．±5 C．±1 D．±1或±518.若b为正数，利用“<“号连接a，a-b，a+b为____．19.写出5个数（不能重复），同时满足下列三个条件：①其中三个数是非正数；②其中三个数非负数；③五个数都是有理数，这五个数可以是．20．数轴上点A表示3，点B表示-4.5，点C表示-2，则点A和点B中，距离点C较远的点是___ _．21.点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点的右侧，若将点A向左移动4个单位长度，此时点A 所表示的数是____，若点B表示的数是点A开始时所表示的数的相反数，作同样的移动以后，点B所表示的数是____．22.点A、B、C、D、E在数轴上的位置如图所示，其中，B、C、E分别为相邻整数点的中点，请回答下列问题：(1)点A、B、C、D、E各表示什么数？(2)点A、B之间的距离是多少？点B、E之间的距离是多少？(3)现在把数轴的原点取在点C处，其余都不变，那么点A、B、C、D、E又分别表示什么数？23.观察下列各数12345---，…,,,,23456(1)写出第10个数；(2)写出第2015个数．24.检修组乘汽车，沿公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发，到收工时，行走记录为（单位：千米）：+8，-9，+4，+7，-2，-10，+18，-3，+7，+5(1)收工时在A地的哪边？距A地多少千米？(2)若每千米耗油0.4升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？25.如图，数轴上A、B两点对应的有理数都是整数，若A、B对应的有理数a、b满足b- 2a=5，那么请指出数轴上原点的位置．C决战中考26.将111111,,,,,,23456---…按一定规律排列如下：第1行 1第2行12-13第3行14-1516-第4行1718-19110-第5行111112-113114-115则第20行从左到右第10个数是.27．在数轴任取一条长度为201513个单位长度的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点个数为( )A. 2016B.2015C.2014D.201328.小明家、学校、邮局、图书馆坐标落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小明家西150米，邮局位于小明家东100米，图书馆位于小明家西400米．(1)用数轴表示A、B、C、D的位置（建议以小明家为原点）；(2)一天，小明从家里先去邮局寄信后，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，试问这时小明约在什么位置？距图书馆和学校各约多少米？29.如图，一条笔直的流水线上，依次有5个卡通人，它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示．(1)点M2和M5所表示的有理数是什么？(2)点M1和M4之间的距离为多少？(3)怎样将点M3移动，使它先到达M2，再到达M5，请说明；(4)若原点是一休息游乐所，那么5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？。

中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（基础）责编：常春芳【中考展望】1．用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，a的符号决定抛物线的开口方向,b与a 一起决定抛物线的对称轴的位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线图形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的有关变化.在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识，提高解题能力．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中．数与形及其相互关系是数学研究的基本内容．【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n （n+2）.故答案为n （n+2）=n 2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n 个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．【答案】解：设第n 个图形的棋子数为n S ．第1个图形，S 1=1；第2个图形，S 2=1+4；第3个图形，S 3=1+4+7；第n 个图形，S n =1+4+…+3n -2；第（n-1）个图形，S n-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n 个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．类型二、 利用数形结合解决数与式的问题 2.已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 （ ）.0a c bA.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：c ＜a ＜0；b ＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b ＞0，c-b ＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果． 具体步骤为：① a,b,c 的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】解：从数轴上a 、b 、c 的位置关系可知：c ＜a ＜0；b ＞0且|b|＞|a|，故a+b ＞0，c-b ＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c ．故选A ．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a ±b)2，二次根式((0)a a ≥.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题 3. 图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A. 22()()4m n m n mn +--=B.222()()2m n m n mn +-+=C.222()2m n mn m n -+=+D.22()()m n m n m n +-=-【思路点拨】 这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n ）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m 2+n 2），即为对角线分别是2m ，2n 的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n ）2-（m 2+n 2）=2mn ．故选B ．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n ）2-（m 2+n 2）=2mn ，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三:【变式】如图1是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n ）2、（m-n ）2、mn 之间的关系吗？【答案】解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n ）；（2）（m-n ）2；（m+n ）2-4mn ；（3）（m-n ）2=（m+n ）2-4mn ．类型四、利用数形结合思想解决极值问题4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.（2）在图2中，相距3km 的A 、B 两镇位于河岸（近似看做直线CD ）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求 22925x y +++的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A 、B ，作CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，使得CA= ____DB= ____.②在AB 上取一点P ，可设AP= _____，BP= _____.③ 22925x y +++的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值，最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，'2'210=+=.C D DE C E∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.类型五、利用数形结合思想，解决函数问题5.（2016•杭州校级自主招生）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论是（写出正确命题的序号）．【思路点拨】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=2对应y值的正负判断即可．【答案与解析】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，∵对称轴在y轴右侧，且﹣=1，即2a+b=0，∴a与b异号，即b＜0，∴abc＞0，选项①正确；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，故答案是：①④．【总结升华】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．举一反三：【变式】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C.【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．。

数形联合思想【中考热门剖析】数形联合思想是数学中重要的思想方法，它依据数学识题中的条件和结论之间的内在联系，既剖析其数目关系，又揭露其几何意义，使数目关系和几何图形奇妙的联合起来，并充足利用这类联合，探究解决问题的思路，使问题得以解决的思虑方法。

几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于掌握。

【经典考题讲练】例1.（2015衢州）如图，已知直线y3x3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线14yx22x5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线2y 3x3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．4例2.（2014?广州）已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，极点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．1）求抛物线的分析式与极点C的坐标．2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点APB、挪动后对应的点分别记为、，能否存在t ，使得首尾挨次连结、、、所PC AB组成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．分析：（1）待定系数法求分析式即可，求得分析式后变换成极点式即可．2）由于AB为直径，因此当抛物线上的点P在⊙C的内部时，知足∠APB为钝角，因此-1＜m＜0，或3＜m＜4．（3）左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′对于x轴对称点的坐标为C″，获得直线P″C″的分析式，而后把A点的坐标代入即可．答案：(1)解:依题意把的坐标代入得:;解得:抛物线分析式为极点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设挪动（向右，向左）连结22则又的长度不变四边形周长最小，只要最小即可将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左挪动单位时，此时四边形ABP’C周’长最小。

专题复习——数形结合思想一、复习内容：数形结合数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。

应用数形结合，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，这在解选择题、填空题更显优越，要注意数形结合思想意识，要胸中有图，见数想图，当然，数缺形少直观，形缺数难入微。

环节一、借助数轴解数与式的问题例1：实数ba,在数轴上的位置如图所示,化简:2)(abba-++=__________.练习：1．实数a、b上在数轴上对应位置如图1所示，则2||a b b-+等于（）A．a B．a－2b C．－a D．b－a2．不等式组114xx->⎧⎨≤⎩的解集在数轴上，图3－3－7所示）表示应是（）环节二、借助平面直角坐标系解函数问题例2：如图,已知二次函数cxaxy+-=42的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P(mm,)与点Q均在该函数图象上(其中0>m),且这两点关于抛物线的对称轴对称,写出m的值及点Q到x轴的距离.···a b例1图图1例2图5图3练习：1、已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）和直线y 2=kx+b （k ≠0）的图象如图2，则： 当x=___ ___时，y 1=0；当x____ __时，y 1<0；当x____ __时，y 1>y 2；2、已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图3，若y ＜0，则x 的取值范围是 3．如图4，在反比例函数y= kx (k ＞0）的图象上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴，y 轴围成的面积分别为S 1，S 2，S 3，则 （用等式或不等式连结S 1，S 2，S 3）； 环节三：巩固练习1．如图2所示，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点A 坐标为（－2，0），点B 在x 轴上方，设A B=a ，那么点B 的横坐标为2、已知直线y 1=2x －1和y 2=－x －1的图象如图6，根据图象填空． （1）当x______时，y 1＞y 2；当x______时，y 1=y 2；当x______时，y 1＜y 2. （2）方程组211y x y x =-⎧⎨=--⎩的解是_____________。

初三数学专题复习 ------ 数形联合思想经过初中数学的学习，除了应掌握必需的知识技术外，感情数学的思想、累积用数学去解决问题的一些方法也很重要，本专题要点解说初中阶段特别重要的一种数学思想 ------ 数形联合思想。

我们研究的对象可分为数和形两部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形联合。

数形联合的应用大概能够分为以下两种情况： 一、数能够用形来刻画：1、数轴上的点其实不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是2 ”，这类说明问题的方式表现的数学思想方法叫做 ( )A ．代人法B ．换元法C ．数形联合D ．分类议论a abb第 1 题图 1第 2 题 图 22、在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形 （a>b ）（如图 1），把余下的部分拼成一个矩形 （如图 2），依据两个图形中暗影部分的面积相等，能够考证（ ）A . (a b)2 a 2 2ab b 2B. (ab)2 a 2 2abb 2C. a 2b 2(a b)(ab)D . (a 2b)( a b) a 2ab 2b 23、 (1) 有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的正方形，如图2．用两种不一样的方法计算图2 中正方形的面积你能够得出的一个等式为：．（ 2）如图 3，现有若干张正方形硬纸片 A 、 C 和若干张长方形硬纸片 B ．假如要拼成一个长为（ 2a ＋ b ）、宽为（ a+2b ）的新长方形，则需要正方形硬纸片 A 张、正方形硬纸片 C 张、长方形硬纸片 B 张．请在右侧的方框内画出你所拼出的长方形图案（注明相应字母） ． 2a 2＋ 3ab ＋ b 2（ 3）试用图 3 中的若干张硬纸片去拼一个长方形的方法，将多项式分解因式的结果为．4、已知反比率函数y 1＝ k的图像与一次函数 y 2＝ x ＋ 1 的图像的一个交点的横坐标是－3．xy（ 1）求 k 的值；（ 2）依据反比率函数图像回答以下问题：①指出当 x ＜－ 1 时， y 1 的取值范围；②指出当 y 1 ＞ 3 时， x 的取值范围；3③指出当 y 1 ＞ y 2 时， x 的取值范围 .－ 3xO二、形能够用数来解说：1、若是用一根钢缆沿地球赤道绕 1 圈，再把这根钢缆放长10 米，这时钢缆和赤道之间的空隙能够经过一头牛仍是一只老鼠？2．。