1、 在空域中, 如何利用d 函数进行物光场分解。
( 5分)答: 根据δ函数的筛选性质, 任何输入函数都能够表示为()()()ηξηξδηξd d y x f y x f 1⎰⎰∞∞-111--=,,,上式表明, 函数()1y x f 1, 能够分解成为在1y x 1, 平面上不同位置处无穷多个δ函数的线性组合, 系数()ηξ,f 为坐标位于()ηξ, 处的δ函数在叠加时的权重。
函数()1y x f 1,经过系统后的输出为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎰⎰∞∞-112ηξηξδηξd d y x f y x g 2,,,L 根据线性系统的叠加性质, 算符{}L 与对基元函数积分的顺序能够交换, 即可将算符{}L 先作用于各基元函数, 再把各基元函数得到的响应叠加起来 ()()(){}ηξηξδηξd d y x f y x g 2⎰⎰∞∞-112--=,,,L ( 1.4) (){}ηξδ--11y x ,L 的意义是物平面上位于()ηξ, 处的单位脉冲函数经过系统后的输出, 可把它定义为系统的脉冲响应函数( 图1.3)()(){}ηξδηξ--=112y x y x h 2,,;,L ( 1.5)2、 卷积与相关各表示什么意义? 在运算上有什么差异? ( 5分)答: 函数()y x g ,和()y x h ,的卷积定义为()()()()ηd ξd ηy ξx h ηξg y x h y x g ⎰⎰∞∞---=*,,,,则()(){}()()y x y x f f H f f G y x h y x g ,,,,F ⋅=*即空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变换的乘积。
另一方面有()(){}()()y x y x f f H f f G y x h y x g ,,,,F *=⋅即空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变换的卷积。
卷积定理能够用来经过傅里叶变换方法求卷积或者经过卷积方法求傅里叶变换。
两复函数()y x g ,和()y x h ,的互相关定义为()y x g ,☆()y x h ,()()ηξηξy -ηx -ξd d h g ⎰⎰∞∞-=,,* 显然两函数的互相关能够表示为卷积的形式, 再利用卷积定理, 能够得到()(){}()()y x y x f f H f f G y x h y x g ,,,,F *⋅=☆式中()()y x y x f f H f f G ,,*⋅一般称为函数()y x g ,和()y x h ,的互谱密度, 因此式( 1.23) 说明两函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对。
这就是傅里叶变换的互相关定理。
函数与其自身的互相关称为自相关。
在式( 1.23) 中, 用()y x g ,替换()y x h ,可得自相关定理为()(){}()2=y x f f G y x g y x g ,,,F ☆ 自相关定理表明一个函数的自相关与其功率谱构成傅里叶变换对。
3、 空间傅里叶变换的物理意义, 具有哪些基本性质? 哪些函数的傅里叶变换本身还是该类型函数? 她们具有哪些特点? ( 10分)答: 若函数()y x f ,在整个xy 平面上绝对可积且满足狄里赫利条件,其傅里叶变换定义为()()()[]dxdy y f x f πj2-exp y x f ,f f F y x y x +=⎰⎰∞∞-, (1.7a)记做(){}y x f ,F 。
式中y x f f y x ,,,均为实变量, ()y x f ,可为实函数, 也可为复函数。
()y x f f F ,是否复函数取决于()y x f ,的性态。
类似地, 能够定义傅里叶反变换为()()()[]dxdy y f x f j2exp ,f f F y x f y x y x +=⎰⎰∞∞-π, (1.7b)根据欧拉公式, ()[]y f x f j2exp y x +π 是频率为y x f f ,的y x ,的余( 正) 弦函数。
式(1.7b)表示函数()y x f ,是各种频率为y x f f ,的y x ,的余( 正) 弦函数的叠加, 叠加时的权重因子是()y x f f F ,。
因此()y x f f F ,常称为函数()y x f ,的频谱。
这就是空间傅里叶变换的物理意义。
圆对称函数的傅里叶变换仍为圆对称函数。
( 1) 许多光学元器件能够用可分离变量函数表示, 因此这一性质是很有用的。
( 2) 傅里叶变换不改变函数的奇偶性( 3) 空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变换的乘积。
( 4) 空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变换的卷积。
4、 如何理解线性空间不变系统的本征函数? ( 5分)答: 如果函数()y x f ,满足以下条件(){}()y x af y x f ,,=L式中a 为一复常数, 则称()y x f ,为算符{}L 所表征的系统的本征函数。
这就是说, 系统的本征函数是一个特定的输入函数, 它相应的输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。
前面讲的基元函数——复指数函数()[]y f x f j b a +2πex p 就是不变线性系统的本征函数。
5、 超过临界采样间隔采集数据会有哪些后果? ( 5分)答: 采样函数的频谱得不到原函数的频谱。
而对原函数频谱作傅里叶反变换就得不到原函数。
6、 如何理解孔径对频谱的展宽效应?( 5分)答: 如下图所示, 在0=z 平面处有一无穷大不透明屏, 其上开一孔∑, 则该孔的透射函数为:⎪⎩⎪⎨⎧0∑1=其他内在),(),(y x y x t沿z 方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为)0,,(y x U i , 则紧靠孔径后的平面上的出射光场的复振幅)0,,(y x U t 为:),()0,,()0,,(y x t y x U y x U i t =对上式两边做傅立叶变换, 用角谱表示为 )cos ,cos ()cos ,cos ()cos ,cos (λβλαλβλαλβλαT A A i t *= 其中*为卷积, )cos ,cos (λβλαT 为孔径函数的傅里叶变换。
由于卷积运算具有展宽带宽的性质, 因此, 引入使入射光波在空间上受限制的衍射孔径的效应就是展宽了光波的角谱, 而不同的角谱分量相应于不同方向传播的平面波分量, 故角谱的展宽就是在出射波中除了包含与入射光波相同方向传播的分量之外, 还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量, 即增加了一些高空间频率的波, 这就是衍射波。
7、 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射有何区别与联系? ( 5分)答: 菲涅尔衍射计算公式()()()()()[]0020200002exp ,exp 1,dy dx y y x x z k j y x U jkz z j y x U ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=∞∞-λ 在菲涅耳衍射公式中, 对衍射孔采取更强的限制条件, 即取: )(212020y x k z +〉〉 则平方位相因子在整个孔径上近似为1, 于是00000022)](2ex p[)0,,()](2ex p[)ex p(),,(dy dx yy xx zj y x U y x z k j z j jkz z y x U +-+=⎰⎰λπλ 这就是夫琅和费衍射公式。
如图2.8所示, 在紧靠孔径后的平面上, 光场分布基本上与孔径的形状相同, 这个区域称为几何投影区; 随着传播距离的增加, 衍射图样与孔的相似性逐渐消失, 衍射图的中心产生亮暗变化, 从这个区域开始到无穷远处, 均称为菲涅耳衍射区; 当传播距离进一步增加, 这时衍射图样的相对强度关系不再改变, 只是衍射图的尺寸随距离的增加而变大, 幅度随之降低, 这个区域称为夫琅和费衍射区。
夫琅和费衍射区包含在菲涅耳衍射区内, 可是一般不太确切的把前者称作远场衍射, 后者称作近场衍射。
8、 什么是振幅全息图, 什么是位相全息图? ( 5分)答: 按照透射率函数的特点分类, 有振幅型和位相型两类。
一般说来, 全息图的透射率函数是一个复数, 一般表示为t H ( x , y ) = t 0( x , y ) · exp[ j φH ( x , y ) ]当φH = 常数时, t H = t 0, 全息图变成单纯的振幅全息图。
而当t 0= 常数时, 全息图变为位相全息图9、 透镜的标准傅里叶变换是如何实现的? ( 10分)答 : 透镜之因此能够实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用。
首先研究如图3.1所示的无像差的正薄透镜对点光源的成像过程。
取z 轴为光轴, 轴上单色点光源S 到透镜顶点1O 的距离为p , 不计透镜的有限孔径所造成的衍射, 透镜将物点S 成完善像于S '点。
S '点到透镜顶点2O 的距离为q 。
过透境两顶点1O 和2O , 分别垂直于光轴作两参考平面1P 和2P 。
由于考虑的是薄透镜, 光线经过透镜时入射和出射的高度相同。
从几何光学的观点看, 图3.1所示的成像过程是点物成点像; 从波面变换的观点看, 透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。
图3.1 透镜的位相变换作用为了研究透镜对入射波面的变换作用, 引入透镜的复振幅透过率),(y x t , 它定义为),(),(),(11y x U y x U y x t '= ( 3.1)式中, ),(y x U 1和),(y x U 1'分别是1P 和2P 平面上的光场复振幅分布。
在傍轴近似下, 位于S 点的单色点光源发出的发散球面波在1P 平面上造成的光场分布为)](2ex p[)ex p(),(221y x p k j jkp A y x U += ( 3.2)式中, A 为常数, 表明在傍轴近似下, 平面1P 上的振幅分布是均匀的, 发生变化的只是相位。
此球面波经透镜变换后向S '点会聚, 忽略透镜的吸收, 它在2P 平面上造成的复振幅分布为()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2--=221y x q k j exp jkq exp A y x U ,'( 3.3)在( 3.2) 和( 3.3) 中的相位因子)exp(jkp 和()jkp exp -仅表示常数相位变化, 它们并不影响1P 和2P 平面上相位的相对分布, 分析时可略去。
把公式( 3.2) 和( 3.3) 代入( 3.1) 式, 得到透镜的复振幅透过率或相位变换因子为)]11)((2ex p[),(),(),(2211qp y x k j y x U y x U y x t ++-='=由透镜成像的高斯公式可知f p q 111=+ ( 3.4)式中, f 为透镜的像方焦距。
