椭圆,双曲线,抛物线定义,好

圆锥曲线共焦点知识点总结

一、圆锥曲线的定义

圆锥曲线是解析几何中的一种曲线，它是平面上所有点到一定点F1和F2的距离之和等于常数2a的曲线。圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本类型。

1.椭圆

椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点构成的集合。椭圆的方程是：

(x-x1)^2/a^2+(y-y1)^2/b^2=1

其中(x1, y1)是椭圆的中心，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。

2.双曲线

双曲线是平面上到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a的所有点构成的集合。双曲线的方程是：

(x-x1)^2/a^2-(y-y1)^2/b^2=1

其中(x1, y1)是双曲线的中心，a和b分别是双曲线的长半轴和短半轴的长度。

3.抛物线

抛物线是平面上到一个固定点F和一条固定直线L的距离相等的点的集合。抛物线的方程是：

x^2=4ay

其中(a, 0)是抛物线的焦点，直线y=-a是抛物线的准线。

二、共焦点的性质

在圆锥曲线中，同一类曲线的多个曲线都具有相同的焦点。这些共同的焦点称为共焦点。共焦点具有以下重要性质：

1.共焦点是曲线的特征

对于同一类的圆锥曲线，它们共有的焦点是该类曲线的特征之一。不同类型的圆锥曲线具有不同的焦点个数和位置，通过这些共焦点可以将不同曲线进行区分。

2.共焦点的位置与性质 共焦点的位置与曲线的形状和方程有直接关系。例如，对于椭圆来说，其焦点位于椭圆的长轴上；对于双曲线来说，其焦点位于双曲线的两支中垂线上；对于抛物线来说，其焦点位于抛物线的顶点上。

3.共焦点的应用

共焦点在解析几何中有广泛的应用。它可以用来确定曲线的类型、确定曲线的位置，或者利用一类曲线的焦点性质来进行曲线的证明和推导。共焦点还可以用来解决一些实际问题，如物体的运动轨迹等。

三、相关定理和应用

在圆锥曲线中，共焦点还涉及一些重要的定理和应用，下面我们来具体了解一下。

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 圆的方程

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程： x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

此方程可用于解决两圆的位置关系 ：

配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

其圆心坐标：（-D/2,-E/2）

半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2

此方程满足为圆的方程的条件是:

D^2+E^2-4F>0

若不满足,则不可表示为圆的方程

（2）点与圆的位置关系 点P（X1,Y1) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：

⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2

圆与直线的位置关系判断

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

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圆锥曲线

概述

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。

圆锥曲线的由来

两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

定义

几何观点

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

代数观点

在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。

焦点-准线观点

（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。）

椭圆的定义、性质及标准方程

高三数学备课组 刘岩老师

1. 椭圆的定义：

⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。

定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。

②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。

2.

椭圆的标准方程、图形及几何性质：

标准方程 )0(12222babyax中心在原点，焦点在x轴上 )0(12222babxay

中心在原点，焦点在y轴上

图形

范围 xayb， xbya，

顶点 12120000AaAaBbBb，、，，、， 12120000AaAaBbBb，、，，、，

对称轴 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上

焦点 1200FcFc，、， 1200FcFc，、，

焦距 )0(221ccFF )0(221ccFF

离心率 )10(eace )10(eace

准线 2axc 2ayc 参数方程与普通方程 22221xyab的参数方程为

cossinxayb为参数

22221yxab的参数方程为

cossinyaxb为参数

3. 焦半径公式：

椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，则10PFaex，20PFaex。

推导过程：由第二定义得11PFed（1d为点P到左准线的距离），