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直角坐标系中的

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直角坐标系中的“图形变换”

在“变换的鱼”这一节将会遇到很多的图形变换，为了能够帮助同学们更好的掌握这些变换，将所涉及的各种变换归纳如下：

一、平移变换

1．图形上的各点的横坐标都加上a，纵坐标不变，则图形将整体向左或向右平行移动︱a︱个单位（a>0时，向右，a<0时，向左）；反之，将一个图形向右（或向左）平行移动k个单位，其图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）k个单位.

2. 图形上的各点的纵坐标都加上a，横坐标不变，则图形将整体向上或向下平行移动︱a︱个单位（a>0时，向上，a<0时，向下）；反之，将一个图形向上（或向下）平行移动k个单位，其图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）k个单位.

例1：如图，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，3），D（1，3）.

（1）如果将矩形ABCDA向左平移3个单位得到矩形A1B1C1D1，请写出此时各顶点的坐标；

（2）如果将矩形ABCD向下平移2个单位得到矩形A2B2C2D2，请写出此时各顶点的坐标.

解析：（1）如果将矩形ABCD向左平移3个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标减去3．所以各顶点的坐标为：A1（-2，1），B1（1，1），C1（1，3），D1（-2，3）.

（2）如果将矩形ABCD向下平移2个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标减去2. 所以各顶点的坐标为：A2（1，-1），B2（4，-1），C2（4，1），D2（1，1）.

例2：以点（0，0），（2，0），（2，1）为顶点的三角形，变为以点（1，1），（3，1），（3，2）为顶点的三角形，前后发生的变化是__________．

解析：由各顶点的坐标变换可以发现，横、纵坐标都加1.故前后发生的变化应是：三角形向上平移1个单位，又向右平移1个单位.

二、对称变换

纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称；横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称；纵、横坐标都互为相反数的两个点关于原点对称．

例3：如图，作字母M关于y轴的轴对称图形，并写出所得图形相应各端点的坐标.

解析：如图，先分别作出A，B，C，D，E各点关于y轴对称的对应点，再按照原来的方式连结对应点即可．所得图形相应各端点的坐标依次为（4，0），（4，3），（2.5，0），（1，3），（1，0）.

三、伸缩变换

1．将图形上各点的横（或纵）坐标变为原来的n（︱n︱>1）倍时，所得图形形状不变，横向（或纵向）伸长为原来得n倍. 2. 将图形上各点的横（或纵）坐标变为原来的n（︱n︱<1）倍时，所得图形形状不变，横向（或纵向）压缩为原来得n倍.

例4：在直角坐标系中，将坐标为（0，0），（2，4），（2，0），（4，4）的点用线段依次连接起来，形成一个图案.

（1）这四个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 ，将所得的四个点用线段依次连接起来，所得图案与原图案相比有什么变化？

（2）这四个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，将所得的四个点用线段依次连接起来，所得图案与原图案相比有什么变化？

（3）这四个点的纵、横坐标都变为原来的2倍，将所得的四个点用线段依次连接起来，所得图案与原图案相比有什么变化？

解析：（1）由于 <1，故图案横向被压缩为原来的一半.即与原图案相比，图案纵向不变，横向被压缩为原来的一半.

（2）由于2>1，故图案纵向被拉伸为原来的2倍.即与原图案相比，图案横向不变，纵向被拉伸为原来的2倍.

（3）由于2>1，故图案纵、横向都被拉伸为原来的2倍.即与原图案相比，图案形状不变，但是图案纵、横向都被拉伸为原来的2倍.

练习：

在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（3，4），（5，4），（8，0）的点用线段依次连接起来形成一图案.

（1）这四个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1/2，将所得的四个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有什么变化？

（2）纵坐标保持不变，横坐标分别加2呢？

（3）横坐标保持不变，纵坐标分别加2呢？

（4）纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1呢

（5）横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1呢？

（6）横、纵坐标分别变为原来的2倍呢？

参考答案：

（1）横向压缩为原来的1/2；（2）向右平移2个单位长度；（3）向上平移2个单位长度；（4）与原图形关于y轴对称；（5）与原图形关于x轴对称；（6）横向拉长为原来的2倍，纵向也拉长为原来的2倍.

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初中直角坐标系

初中直角坐标系

1 平面直角坐标系

一、本章的主要知识点

（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

1、记作（a ，b）；

2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。

（二）平面直角坐标系

1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形 ；

2、构成坐标系的各种名称；

3、各种特殊点的坐标特点。

（三）坐标方法的简单应用

1、用坐标表示地理位置；

2、用坐标表示平移。

二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：

平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；

平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：

第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；

第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：

关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数

关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数

关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数

五、特殊位置点的特殊坐标：

六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：

• 建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

• 根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； • 在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

七、用坐标表示平移：见下图

二、经典例题

知识一、坐标系的理解 坐标轴上

点P（x，y） 连线平行于

坐标轴的点 点P（x，y）在各象限

的坐标特点 象限角平分线上

的点

X轴 Y轴 原点 平行X轴 平行Y轴 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、

三象限 第二、四象限

(x,0)

(0,y)

(0,0)

纵坐标相同，横坐标不同 横坐标相同，纵坐标不同 x＞0

y＞0 x＜0

y＞0 x＜0

y＜0 x＞0

y＜0 (m,m) (m,-m)

P（x，y）

平面直角坐标系中x轴上所有点组成的集合

平面直角坐标系中x轴上所有点组成的集合

平面直角坐标系中x轴上所有点组成的集合

x轴是一个数学上的概念，它是平面直角坐标系中的一个坐标轴。在平面直角坐标系中，我们可以通过x轴上的点来描述平面上的各种位置和运动。

x轴上的点可以用坐标来表示，坐标由两个数值组成，分别表示该点在x轴上的位置和y轴上的位置。例如，点A的坐标可以表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示点A在x轴上的位置，Ay表示点A在y轴上的位置。

在x轴上，我们可以找到无数个点。每一个点都有自己独特的坐标。这些点构成了x轴上的集合。这个集合可以表示为{x}，其中x表示一个具体的点。

x轴上的点具有一些特殊的性质。首先，x轴上的点可以按照大小进行排序。对于任意两个点A和B，如果Ax < Bx，则点A在点B的左侧；如果Ax > Bx，则点A在点B的右侧。这个性质在描述位置和运动时非常有用。

x轴上的点可以进行加法和减法运算。对于任意两个点A和B，可以定义它们的和为一个新的点C，其坐标为(Cx, Ay + By)；可以定义它们的差为一个新的点D，其坐标为(Dx, Ay - By)。这些运算可以用来描述点的相对位置和运动。

x轴上的点也可以进行乘法和除法运算。对于任意一个点A和一个实数k，可以定义它们的乘积为一个新的点E，其坐标为(Ex, k *

Ay)；可以定义它们的商为一个新的点F，其坐标为(Fx, Ay / k)。这些运算可以用来描述点的缩放和比例。

除了上述的基本运算，x轴上的点还可以进行其他一些运算。例如，可以计算两个点之间的距离，可以计算一个点到x轴的距离，可以计算一个点在x轴上的投影等。这些运算可以用来衡量和描述点的位置和运动。

x轴上所有点组成了一个集合，这个集合可以用来描述平面上的各种位置和运动。这个集合具有一些特殊的性质和运算，可以用来描述点的相对位置、运动、缩放、比例等。通过研究和理解x轴上的点，我们可以更好地理解和应用平面直角坐标系。

平面直角坐标系中的圆

平面直角坐标系中的圆

教学案例　

平面直角坐标系中的圆　

陈一强　（山东省滕州市北辛中学　山东滕州　２７７５００）　

摘要：平面直角坐标系和圃相结合的试题，也是中考的热点，这类问题通常是占有较大分值的综合题，做这类题应注意：（１）数形结合是　研究此类问题的重要思想方法，解题时要学会善于利用“形”帮助思考；（２）几何问题中的线段的长度都是正数，而点的坐标中的数不一定是　正数，因此注意它们区别与联系十分重要；（３）综合题总是有一定难度的，特别是有些题若不加留意，将会出现漏解或误解。　关键词：固　函数　中图分类号：Ｇ　４　文献标识码：Ａ　文章编号：１　６７３—９　７　９５（２０１１）１１（ｃ）一０１　０９—０２　

１圆在直角坐标系中　

例１：已知：如图１，在直角坐标系中，以　

点Ｍ（１，１）为圆心、半径为２的圆与ｙ轴交于　

Ａ、Ｂ两点，求点Ａ、Ｂ的坐标。　

分析：求圆与Ｘ轴、ｙ轴的交点，可以利用　垂径定理过圆心作Ｘ轴、ｙ轴垂线，并连结圆　

，０５１圆与Ｘ轴、ｙ轴的交点，运用勾股定理加　

以计算即可。本题中可以先求出ＰＡ＝ＰＢ＝　

、　＝，／５，从而求￣ＯＡｆｌＯＢ，所以Ａ、Ｂ　

两点的坐标为（ｏ，√３＋１），（０，１一√３　ｏ　

２圆和一次函数　

例２：已知：如图２，在直角坐标系中，以　

点Ｍ（１，０）为圆心、直径Ａｃ为２√互的圆与ｙ　轴交于Ａ、Ｄ两点，设过点Ａ的直线ｙ＝ｘ＋ｂ与　

ｘ轴交于点Ｂ。探究：直线ＡＢ是否０Ｍ的切　

线？并对你的结论加以证明。　

分析：由题意易求出Ａ点坐标为（０，１），　

二　

＼　、＼　

＼、　＼　

…ｊｈＭ　）　

．Ｉ　／　、　

＼　／ｘ　

Ｂ　＼　／　

图１　

～　

ｃｊ．．．－－　

Ｉ　０　

图６　而ｙ＝ｘ＋ｂ过Ａ点，故可代入求出直线ＡＢ的　解析式为ｙ＝ｘ＋１，而要证明ＡＢ是否为０Ｍ　

的切线，只需观察　ＣＡＢ是否为９０。即可，　而Ａ　ＡＯＢ和Ａ　ＡＯＭ￣ｇ是等腰直角三角形，　故ＡＢ为０Ｍ的切线。　

证明：由已知ＡＭ＝√２，ＯＭ＝ｌ，在Ｒｔ△　

ＡＯＭ中，Ａ０＝√ＡＭ　一０Ｍ：＝１．‘．点Ａ的坐　

平面直角坐标系中的基本公式

平面直角坐标系中的基本公式

1 高中2012级数学教学案

学科 数学 编制人 18

课型 新授课 课题 平面直角坐标系中的基本公式

课标要求 1、了解两点间距离公式的推导；掌握两点间的距离公式、中点公式

2、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；

重点难点 灵活运用两点间的距离公式和中点公式解几何综合题和对称问题

教学过程设计

一、 自学探究

1、自学“两点间的距离公式”的推导过程（课本68--69页）。

问题1:在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，

原点O和点A的距离d(O,A) 为多少？

问题2:已知x轴上一点P1(x，0)和y轴上一点P2(0，y)，

那么点P1和P2的距离为多少？

问题3:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，

那么点P1和P2的距离为多少？

问题4:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，

那么点P1和P2的距离为多少？

问题5:一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离。

222121(,)||()()dABABxxyy

2

2、中点公式

中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB的中点，计算公式如下：

自主学习：自学“中点公式”的推导过程（课本70--71页）。

结论：1点P(x，y)，则点P关于点M（x0，y0）对称的点坐标为P（x20-x，y20-y）

2利用中点坐标可以求得△ABC（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为

C(x3,y3)M(x,y)B(x2,y2)A(x1,y1)Oyx221xxx221yyy12312333xxxxyyyy

3

二、典例与练习

例1. 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求d(A，B)。

练习1已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（ ）