库存控制模型

库存控制模型

1、经济订货批量模型

经济订货批量（Economic Order Quantity, EOQ）模型最早是由F.W.Harris于1915年提出的。该模型有如下假设条件：（1）企业对库存的需求是已知的，且对于库存的消耗是均匀的（即需求率均匀且为常量），需求独⽴。年需求率以D表⽰，单位时间需求率以d表⽰；（2）⼀次订货量⽆最⼤最⼩限制且采购、运输均⽆价格折扣；（3）订货提前期——也就是发出订单到收到货物的时间——已知，且为常量；（4）订货费与订货批量⽆关；（5）维持库存费是库存量的线型函数；（6）不允许缺货；（7）补充率为⽆限⼤，全部订货⼀次交付；（8）采⽤固定量系统。

在以上假设条件下，库存量的变化如图4-9所⽰（由于需求率是固定的且为常量，因此库存消耗趋势是⼀条斜率为D的直线）。从图4-9可以看出，系统的最⼤库存量为Q，最⼩库存量为0，不存在缺货。库存按数值为D的固定需求率减少。当库存量降到订货点RP（reorder point）时，就按固定订货量Q发出订货。经过固定的订货提前期LT，新的⼀批订货Q到达（订货刚好在库存变为0时到达），库存量⽴即达到Q。显然平均库存量为Q／2。

图4-9 经济订货批量假设条件下的库存量变化

总费⽤CT＝CH＋CR＋CP＝H（Q／2）＋S（D／Q）＋p·D (4-1)

式中，CH 为年维持库存费⽤，CR 为年订货费⽤，CP 为年采购费⽤，S为⼀次订货费或调整准备费；H为单位维持库存费，H＝p·h，p为单价，h为资⾦效果系数；D为年需求量。

年维持库存费CH随订货量Q增加⽽增加，是Q的线性函数；年订货费CR与Q的变化呈反⽐，随Q增加⽽下降。订货量⼤⼩并不影响年采购费⽤CP，所以在不计年采购费⽤CP时，总费⽤CT 曲线为CH与CR曲线的叠加，并且当CH=CR时总费⽤CT最⼩。为了求出经济订货批量，按照求极值的要求，我们对式（4-2）对Q求导，并令⼀阶导数为零，可得：(4-2)

式中，Q*为最佳订货批量或称经济订货批量。

由于CP与订货量⼤⼩⽆关（年需求量是固定的），CT曲线最低点对应的订货批量就是最佳订货批量，如图4-10所⽰。

图4-10 年费⽤曲线

订货点RP可按式（4-3）计算（假设间隔期以天为单位进⾏计量）：RP＝（D/年⼯作⽇）·LT（4-3）

在最佳订货批量下，CR＋CH＝S（D／Q*）＋H（Q*／2）

（4-4）

从式（4-2）可以看出，经济订货批量随单位订货费S增加⽽增加，随单位维持库存费H增加⽽减少。因此，价格昂贵的物品订货批量⼩，难采购的物品⼀次订货批量要⼤⼀些。这些都与⼈们的常识⼀致。

某家具公司的经理通过以前的发货单去顶在过去的两年间每年他可以销售出去⼤约200把座椅，⽽且销售速率基本上是均匀的，他预计继续保持这个速率。他估计每次订货的订单准备、为卡车与司机⽀付的费⽤、发票以及其他与订货相关的可变成本总计⼤约是50元，在库存中持有⼀把座椅的成本每个⽉是1.5%，每年就是18%。座椅的成本是每把88元。公司的年⼯作⽇是250天，订货提前期是5天。试运⽤EOQ模型确定每次的最佳的订货批量、订货次数和订货点？解:

由题⽬可以知道D=200把/年 S=50元/次H=18%×88=15.84

LT=2天年⼯作⽇=250天

根据公式得35.53（把）

因此应该每次订36把。N=需求量/订货量=200/36=5.6（次）

RP=（D/年⼯作⽇）×LT=200/250×5=4（把）

2、经济⽣产批量模型

经济订货批量模型（EOQ）假设整批订货在⼀定时刻同时到达，补充率⽆限⼤。这种假设不符合企业⽣产过程的实际。⼀般来说，在进⾏某种产品⽣产时，成品是逐渐⽣产出来的。也就是说，当⽣产的速度超过需求的速度时，库存是逐渐增加⽽⾮瞬间增加的。为了确保库存不⽆限增加，当库存到达⼀定界限时应停⽌⽣产⼀段时间。由于⽣产系统调整准备时间的存在，在补充成品库存的⽣产中，也有⼀个⼀次⽣产多少最经济的问题，这就是经济⽣产批量问题。经济⽣产批量（Economic ProductionLot, EPL）模型，⼜称经济⽣产量（Economic Production Quantity, EPQ）模型。当然其假设条件与EOQ模型类似，不同点主要EPQ模型不要求补充率⽆限⼤，也不要求全部订货⼀次。

图4-11描述了在经济⽣产批量模型下库存量随时间变化的过程。⽣产在库存为0时开始进⾏，经过⽣产时间Tp结束，由于⽣产速度P（⽣产率）超过需求速度D（需求率），库存将以（P －D）的速率上升。经过时间Tp，库存达到Imax。⽣产停⽌后，库存按需求率D下降。当库存减少到0时，则重新开始新⼀轮⽣产。假设Q是在Tp时间内的⽣产量，Q⼜是⼀个补充周期T内消耗的量。图4-11中，p为⽣产率（单位时间产量）；D为需求率（单位时间出库量），D < P；Tp为⽣产时间；Imax为最⼤库存量；Q为⽣产批量；RP为订货点；LT为⽣产提前期。图中阴影部分属于企业在⽣产时间（Tp）内的库存消耗量，T则为⼀个完整的补充周期。

图4-11 经济⽣产批量模型假设下的库存量变化

与EOQ模型不同的是，由于补充率不是⽆限⼤，这⾥平均库存量不是Q／2，⽽是Imax／2；p为⽣产成本，DT是全年需求量。于是：CT＝CH＋CR＋CP＝H（Imax／2）＋S（D／Q）＋p·DT

问题现在归结为求Imax。由图4-10可以看出：Imax＝Tp·（P－D）

由Q＝P·Tp，可以得出Tp＝Q/P。所以，Imax＝Q·（P－D）/2P=（1-D/P）Q/2CT＝H（1－D/P）Q/2＋S（D／Q）＋p·DT（4-5）

将各式进⾏⽐较，可以得出：

（4-6）

A座椅公司向⼀些家具公司供应产品。对A公司R型座椅的需求相对⽐较均匀，是每年15000把。公司估计启动所有的设备与⽂书⼯作来⽣产这种座椅将需要250元成本。当⽣产设备⽣产R 型时，⽣产率为每天150把。每把座椅的成本是48元，估计库存持有成本是每年24%。⼯⼚每年有50个⽣产周，每周有5个⼯作⽇。试确定A公司的最佳⽣产批量。

解：

由题⽬可知D=15000把/年 S=250元/次H=48×24%=11.52

⼯作⽇=50×5=250（天）P=250×150=37500（把/年）

根据公式可得=1041.67（把）

3、价格折扣模型

为了提⾼销售量，许多公司为顾客提供价格折扣。当顾客批量采购某物品的数量达到⼀定值时，就简单地降低价格，这就是价格折扣。当存在价格折扣时，我们应该如何确定订购量和订购时间呢？

如果采购批量增⼤到折扣允许的范围，那么年采购成本相应变少，年维护库存的成本增加，年订货费⽤减少。当我们考虑购买费⽤时，总费⽤公式如下：CT＝CH＋CR＋CP＝H（Q／2）＋S（D／Q）＋p·D

式中，CH 为年维持库存费⽤，CR 为年订货费⽤，CP 为年采购费⽤，S为⼀次订货费或调整准备费；H为单位维持库存费，H＝p·h，p为单价，h为资⾦效果系数；D为年需求量。

现在我们来分析使总费⽤最⼩的订货量。因为有多种折扣，所以过程分为如下⼏个步骤：第⼀步，计算每个价格折扣下的最佳订货批量Q*，公式如下：

式中，I是维持库存费⽤占货物单价的⽐例，P是单价，其他符号与最佳订货批量公式相同。

第⼆步，对于计算出来的Q*，在每个价格折扣下需要进⾏不同的调整。当价格折扣所对应的批量范围为[qi,qi+1)时，

（1）当时，Q*不需要进⾏调整。

（2）当时，将订货批量Q*调整为qi。

（3）当时，将订货批量Q*调整为qi+1。

第三步，使⽤前⾯的总费⽤公式计算第⼀步和第⼆步中每个Q*（调整后的）所对应的总费⽤。第四步，选择第三步计算的总费⽤最低的订货批量。

向某公司订购某种原材料有三种价格，这取决于订购量：

订购成本为40元，年需求量为3000千克，每千克的年持有成本为单价的25%。该原材料每次的经济订购批量为多少？

解：

第⼀步，⾸先计算出对应价格的Q*，根据公式可得=219.089（千克）

=224.781（千克）

=230.940（千克）

第⼆步，与数量范围进⾏⽐较，看需不需要调整Q*=99（千克）——调整后

=224.781（千克）——不需要调整

=1000（千克）——调整后

第三步，计算调整后每个Q*的总费⽤CT1＝＝IP（Q／2）＋S（D／Q）＋p·D=0.25×20×（99/2）+40×（3000/99）+20×3000=61459.62（元）

CT2＝＝IP（Q／2）＋S（D／Q）＋p·D=0.25×19×（224.781/2）+40×（3000/224.781）

+19×3000=58067.71（元）

CT3＝＝IP（Q／2）＋S（D／Q）＋p·D=0.25×18×（1000/2）+40×（3000/1000）+18×3000=56370（元）

第四步，根据总费⽤最少原则确定经济订货批量

由于CT3< CT2< CT1

所以经济订货批量为 =1000千克。4、概率模型和安全库存

上⾯讨论的模型都是在相应的假设条件下才成⽴的，其中有⼀条假设就是需求是常量或确定的。我们把这⼀假设改成需求是未知的但是可以⽤概论分布来确定的，符合这个假设的模型就是概率模型了。

在加上安全库存（ss）后订货点的公式为：RP＝d×LT+ss=（D/年⼯作⽇）·LT+ss

式中，d为⽇需求率，LT为订货提前期，ss为安全库存，D为年需求率。

维持安全库存的费⽤取决于突发的缺货和维持额外库存的费⽤。年缺货费的计算公式如下：年缺货费=缺货量×概率×单位缺货成本×年订货次数

当决定缺货成本很困难或⽆法确定时，管理者或许会采取保持⾜够的安全库存以满⾜顾客服务⽔平的做法。服务⽔平与缺货率是互补的。⽐如，如果缺货率是0.1，那么服务⽔平就是0.9。

假设提前期内的需求符合正态分布曲线，并知道均值和标准差，在⼀定服务⽔平下订货点的计算公式如下：RP＝提前期内的期望需求+安全库存=提前期内的期望需求+ZσdLT

式中，Z为标准差的个数，σdLT为提前期内需求的标准差Z值可以通过查正态分布概论表得到，例如当服务⽔平为95%时，差表可得Z值为1.65。

某⼀产品在补充订货期间⽇需求均值为250个单位，标准差为10个单位。管理部门已经制定的需求政策是要满⾜95%的对库存物品的需求。求安全库存和订货点是多少？

解：

⾸先我们利⽤标准正态分布曲线的特性得到95%的区域所对应的Z值。使⽤正态分布表，我们查到Z值为1.65。

所以安全库存=10*1.65=16.5

订货点=250+16.5=266.5