微积分的应用专项练习60题(有答案)
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微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
解析:首先,我们需要求函数f(x)的导数。
对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c,它的导数等于2ax + b。
因此,对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1,其导数即为 f'(x) = 6x - 2。
接下来,我们需要求在 x = 2 处的导数。
将 x = 2 代入导数公式,得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。
答案:函数f(x)在x = 2处的导数为10。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。
解析:我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。
首先,我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分,然后将结果相加即可。
根据积分的基本性质,∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x),所以:∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加,得到定积分的结果:∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案:函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。
3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。
解析:要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程,我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。
首先,我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。
微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一,它研究的是函数的变化规律。
在微积分中,经常会出现各种各样的练习题,这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。
在这篇文章中,我们将分享一些微积分练习题,并附带答案,希望对你的学习有所帮助。
1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。
答案:f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案:g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。
答案:h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。
答案:i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。
答案:j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。
答案:k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。
答案:∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。
答案:∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。
答案:∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。
答案:o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。
通过解答这些题目,我们可以巩固对微积分概念和原理的理解,并提升解题能力。
微积分是应用广泛的数学工具,在物理、工程、经济等领域都有重要的应用,掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。
一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为(1,2),则lg x ƒ()的定义域为() A 、(0,lg2)B 、(0,lg2]C 、(10,100)D 、(1,2)2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的() A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=,求y '等于() A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为() A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中,那个不是映射()A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+C 、2y x = D 、ln y x = (0)x >二、填空题(每题2分) 1、__________2、、2(1))l i m ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 (,则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,,则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线,则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(,)的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分)1、221x y x =+函数是有界函数 ( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )3、limββαα=∞若,就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题(每题6分) 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知),求 3、2326x xy y y x y -+="已知,确定是的函数,求 4、20tan sin lim sin x x xx x→-求 5、计算6、21lim (cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-(,总成本函数为2()20050C x x x=++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8分) 2、描绘函数21y x x=+的图形(12分) 六、证明题(每题6分)1、用极限的定义证明:设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1xxe =在区间()内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+((2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、 解:2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解:2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==当时,原式=5、解:65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式(6、 解:201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中:原式 五、应用题1、解:设每件商品征收的货物税为a ,利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时,T 取得最大值2、 解:()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-,间断点为令则令则渐进线:32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、 证明:lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A x f A x εεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<= 当时,有取=,则当0时,有即。
微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科,它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。
在学习微积分的过程中,练习题是非常重要的,它能够帮助我们巩固知识、提高技能。
下面,我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案,希望能够对大家的学习有所帮助。
一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。
答案:f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案:g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案:h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。
答案:∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。
答案:∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
答案:∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
答案:对方程两边同时积分,得到y = x^2 + C,其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = e^x。
答案:对方程两边同时积分,得到y = e^x + C,其中C为常数。
3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。
答案:设y = e^(mx),代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0,解得m = -1。
高三数学微积分专项练习题及答案1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。
解:首先,我们需要求出函数f(x)的导函数f'(x),然后令f'(x)=0,解得的x值就是函数的极值点。
求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令f'(x) = 0,解方程得到3x^2 - 6x + 2 = 0。
使用求根公式,我们得到x = (6 ± √(6^2 - 4*3*2))/(2*3)。
化简得到x = (6 ± √12)/(6) = (2 ± √3)/(2)。
所以,函数f(x)的极值点为x = (2 + √3)/(2)和x = (2 - √3)/(2)。
2. 求函数f(x)=sin(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值。
解:首先,我们需要求出函数f(x)在区间[0, π]上的导函数f'(x),然后找到导函数f'(x)=0的所有解,用这些解以及区间端点来确定最大值和最小值。
求导得到f'(x) = cos(x)。
找出f'(x)=0的解,即cos(x) = 0,解方程得到x = π/2。
此外,观察区间端点,当x = 0和x = π时,函数f(x)的值分别为sin(0) = 0和sin(π) = 0。
所以,在区间[0, π]上,函数f(x)的最大值为1(当x=π/2时),最小值为-1(当x=π/2时)。
3. 求函数f(x)=e^x * ln(x)的图像的渐近线。
解:函数f(x)的渐近线可以分为水平渐近线和垂直渐近线。
首先,我们来找水平渐近线。
当x趋向于负无穷或正无穷时,e^x趋向于0或正无穷,而ln(x)函数的定义域为(0,正无穷),所以e^x * ln(x)的值趋向于0或正无穷。
因此,y = 0是函数f(x)的水平渐近线。
接下来,我们来找垂直渐近线。
垂直渐近线出现的位置取决于ln(x)的定义域。
ln(x)的定义域为(0,正无穷),所以垂直渐近线会出现在x=0的位置。
练习题1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动,已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t,y 轴上的坐标为y=—4+5sin2t ,t 为时间物理量,问:⑴物体的速度是多少?()'10sin(2)x dx V x t t dt===- ()'10cos(2)y dy V y t t dt===10V ==⑵物体所受的合外力是多少?222(3)(4)5x y -+-=运动轨迹是圆,半径为5,所以是做匀速圆周运动 22*100405mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动?匀速圆周运动⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗?圆心(3,4),半径52、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动,该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2,试问当位移x 为多少时F 变为零. 34dW F x dx==- ,所以当x=3/4时,F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处A点的场强大小为E=错误!,请验证A点处的电势公式为:U = 错误!.规定无穷远处电势为零,A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功我们认为在r 变化dr 时,库仑力F 是不变的, 则2kQq dW F dr dr r=-•=-• 所以20W r kQq dW dr r ∞=-⎰⎰ 即 21r q kQq dr rϕ∞=⎰ 所以1|r kQ kQ r rϕ∞=-=4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ,其质量分布不均匀。
在杆上距离O 端点为x 处取点A,令M 为细杆上OA 段的质量。
已知M 为x 的函数,函数关系为M=kx 2,现定义线密度ρ=错误!,问当x=错误!处B 点的线密度为何? 2dM kx dxρ== ,2L x kL ρ∴==5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ,当振动物体离开平衡位置错误!振幅处,其势能E P = ,动能E k = 。
首先推导弹簧的弹性势能公式,设弹簧劲度系数为k,伸长量为x 时的势能为E(x )弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功dW F dx kx dx =•=• 00W xdW kx dx ∴=•⎰⎰ 2()2kx E x ∴= 所以在距平衡位置错误!振幅处的弹性势能为总能量的14,即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理?A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案:B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$,求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案:D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$,求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案:B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案:$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念:导数和积分的关系。
答:导数和积分是微积分的两个基本概念,导数表示函数在某一点上的变化率,而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算,导数可以用来求解函数的斜率和最值,积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要?答:微积分在物理学和工程学中具有重要作用,因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分,可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量,以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具,可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答:$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答:$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案,希望对你的复习有所帮助。
微积分考试题目及答案一、选择题(每题5分,共30分)1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间(-∞,-1)上是:A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案:B2. 函数f(x)=x^3-3x的导数为:A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+3答案:A3. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率为:A. 2B. 4C. 6D. 8答案:B4. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为:A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案:B5. 曲线y=e^x与直线y=1所围成的面积为:A. 1B. e-1C. 0D. ∞答案:B6. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的平均值为:A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。
答案:6x2. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为______。
答案:1/33. 函数f(x)=ln(x)的反函数为______。
答案:e^x4. 曲线y=cos(x)在x=π/2处的切线方程为______。
答案:x+y=π/2三、计算题(每题10分,共40分)1. 计算定积分∫[0,2] (x^2-2x+1) dx。
答案:∫[0,2] (x^2-2x+1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x] | [0,2] = (8/3 - 4 + 2) - (0) = 2/32. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[1,3]上的极值。
答案:f'(x) = 3x^2 - 12x + 9令f'(x) = 0,解得x=1或x=3。
f(1) = -4,f(3) = 1,f(2) = -1。
因此,函数在区间[1,3]上的极大值为1,极小值为-4。
3. 计算曲线y=x^2从x=0到x=1的弧长。
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1(函数、极限与连续部分)1.填空题 (1)函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 . 答案:2>x 且3≠x .(2)函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 .答案:]2,1()1,2(-⋃--(3)函数74)2(2++=+x x x f ,则=)(x f. 答案:3)(2+=x x f(4)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续,则=k .答案:1=k (5)函数x x x f 2)1(2-=-,则=)(x f .答案:1)(2-=x x f(6)函数1322+--=x x x y 的间断点是 .答案:1-=x(7)=∞→xx x 1sin lim .答案:1(8)若2sin 4sin lim 0=→kxxx ,则=k .答案:2=k2.单项选择题(1)设函数2e e xx y +=-,则该函数是( ).A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数 答案:B(2)下列函数中为奇函数是().A .x x sinB .2e e x x +- C .)1ln(2x x ++ D .2x x +答案:C(3)函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为( ). A .5->x B .4-≠x C .5->x 且0≠x D .5->x 且4-≠x答案:D(4)设1)1(2-=+x x f ,则=)(x f ( )A .)1(+x xB .2x C .)2(-x x D .)1)(2(-+x x 答案:C(5)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .3 答案:D(6)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ,在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .1- 答案:B (7)函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是( ) A .2,1==x xB .3=xC .3,2,1===x x xD .无间断点 答案:A 3.计算题(1)423lim 222-+-→x x x x . 解:4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x (2)329lim 223---→x x x x解:234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x (3)4586lim 224+-+-→x x x x x解:3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2(导数与微分部分)1.填空题 (1)曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 .答案:21 (2)曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 . 答案:1+=x y(3)已知xx x f 3)(3+=,则)3(f '= . 答案:3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27()3ln 1+(4)已知x x f ln )(=,则)(x f ''= . 答案:x x f 1)(=',)(x f ''=21x- (5)若xx x f -=e )(,则='')0(f.答案:x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 (1)若x x f xcos e)(-=,则)0(f '=( ).A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案:C (2)设,则( ). A . B .C .D .答案:B(3)设)(x f y =是可微函数,则=)2(cos d x f ( ).A .x x f d )2(cos 2'B .x x x f d22sin )2(cos 'C .x x x f d 2sin )2(cos 2'D .x x x f d22sin )2(cos '- 答案:D(4)若3sin )(a x x f +=,其中a 是常数,则='')(x f ( ).A .23cos a x + B .a x 6sin + C .x sin - D .x cos 答案:C3.计算题(1)设xx y 12e =,求y '.解: )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x(2)设x x y 3cos 4sin +=,求y '.解:)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=(3)设xy x 2e 1+=+,求y '. 解:2121(21exx y x -+='+ (4)设x x x y cos ln +=,求y '.解:)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3(导数应用部分)1.填空题 (1)函数的单调增加区间是 .答案:),1(+∞(2)函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加,则a 应满足 . 答案:0>a2.单项选择题(1)函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是( ) A .单调增加 B .单调减少 C .先增后减 D .先减后增 答案:D(2)满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的( ). A .极值点 B .最值点 C .驻点 D . 间断点 答案:C(3)下列结论中( )不正确. A .)(x f 在0x x =处连续,则一定在0x 处可微. B .)(x f 在0x x =处不连续,则一定在0x 处不可导. C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案: B(4)下列函数在指定区间上单调增加的是( ).A .x sinB .xe C .2x D .x -3答案:B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形,容积为108m 3的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:设底边的边长为x m ,高为h m ,容器的表面积为y m 2。
微积分试题及答案第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[,则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(A))()(x g x f +;(B))()(x h x f +;(C ))]()()[(x h x g x f +;(D ))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(A)α是比β高阶的无穷小; (B)α是比β低阶的无穷小; (C )α与β是同阶无穷小; (D )βα~。
微积分试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是:A. 0B. 2C. 4D. 8答案:C2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x dx \) 的值是:A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案:B二、填空题1. 若 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \),则 \( f'(x) \) 等于__________。
答案:\( 9x^2 - 4x + 1 \)2. 曲线 \( y = x^3 \) 与直线 \( y = 6x \) 相切的点的横坐标是__________。
答案:2三、简答题1. 请说明如何求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数。
答案:函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数可以通过对数函数的导数公式求得,即 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
2. 计算定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \)。
答案:首先找到 \( e^x \) 的原函数,即 \( e^x \) 本身。
然后根据定积分的计算法则,代入上下限得到 \( e^e - e \)。
四、计算题1. 求曲线 \( y = x^2 + 3x - 2 \) 在 \( x = -1 \) 处的切线斜率及切点坐标。
答案:首先求导得到 \( y' = 2x + 3 \)。
将 \( x = -1 \) 代入得到切线斜率 \( m = 1 \)。
切点坐标为 \( (-1, 0) \)。
2. 计算由曲线 \( y = x^2 \),直线 \( y = 4x \) 及 \( x \) 轴所围成的平面图形的面积。
答案:首先求出两曲线的交点,然后计算定积分 \( \int_{0}^{2} (4x - x^2) dx \),结果为 \( \frac{16}{3} \)。
五、证明题1. 证明 \( \frac{d}{dx} [(x^2 + 1)^5] = 10x(x^2 + 1)^4 \)。
微积分基本定理及应用练习(含答案)班级 姓名一、填空题1.⎰-11xdx = 0 2.y=⎰+-102)13(dx x x ,则y ’= 0 3.dx e x x )(01⎰--= -e 123+ 4.⎰+20)sin 3(πdx x x = 1832+π 5.设函数y=⎰-x dt t 0)1((x>0),则该函数的极小值是 -21 6.dx xx x )32(212⎰--= 2ln 321-- 7.⎰4122cos ππxdx = 41 二、解答题8.求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。
解:332|)33)323132231=-+=--⎰x x x dx x x S (-+(= 9.设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2⎰10)(dt t f ,求f(x)解:由题意可知f(x)=x+c (c 是一个常数)f(x)=x+2⎰10)(dt t f =x+2⎰+10)(dt c t =x+1+2c x+c=x+1+2cc=-1f(x)=x-110.A 、B 两站相距7.2km ,一辆电车从A 站B 开往站,电车开出ts 后到达途中C 点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C 点的速度为24m/s ,从C 点到B 点前的D 点以等速行驶,从D 点开始刹车,经ts 后,速度为(24-1.2t )m/s ,在B 点恰好停车,试求(1)A 、C 间的距离;(2)B 、D 间的距离;(3)电车从A 站到B 站所需的时间。
解:(1)设A 到C 的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC =⎰==2002002)(240|6.02.1m t tdt(2)设D 到B 的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s),则DB =⎰==2002002)(240|6.02.124m t dt t )-( (3)CD=7200-2⨯240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320(s )。
《微积分》练习100题及其解答1.求极限:.⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0解:∵,)0(~1→-x xe x ∴.()2121lim 1lim 11lim 111lim 02000-=-=+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→x e x e x e x e x x e x x x x x x x x x 2.求极限:.xx e e x x x sin lim sin 0--→解:∵,∴.)0(~1→-x xe x1sin 1lim sin lim sin sin 0sin 0=--⋅=---→→xx e e x x e e xx x x x x x 或者:记,则当时,在之间满足Lagrange 定理的条件,存x e x f =)(0≠x )(x f x x sin ,在(介于与之间),使得,从而ξξx x sin )(sin sin ξf x x e e xx '=--,所以,.1)0()(lim sin lim 0sin 0='='=--→→f f x x e e x x x x ξ1sin lim sin 0=--→xx e e x x x 3.求极限:.()x xx x e1lim+→解:;()11200lim lim 1xxe e xx xx x x x e xe e e →→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或者.()()12000ln 1limlim 2lim x x xx x x x x e x e e x e xe x →→→++==⇒+=+4.求极限:.01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解:,而,所以,.01lim ln 101lim 1x xx x x e x +→+⎛⎫+ ⎪⎝⎭→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ln(1)1lim ln 1lim0t x t x t x +→+∞→⎛⎫++== ⎪⎝⎭01lim 11xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭5.求极限:.())0,0,0(3ln ln lim0>>>-++→c b a xc b a x x x x解:.()00ln ln 3ln ln ln ln limlim 3x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc xa b c →→++-++==++6.求极限:.()00x αα→>解:.()()112110001101lim lim 10111x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++7.求极限:.lim(0)x αα→>解:.()()22211000112202limlim022211x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++8.求极限:.(0)x αα→>解:.012x α→=-9.设函数在内,讨论的单调性.)(x f ()∞+∞-,0)0(,0)(≤>''f x f xx f y )(=解:,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x f x f x x x f x f x x x f y )()(1)()()(20)0()()(--≤x f x f x x f 当时,,而,则,即,从而此时0>x )0()(f xx f '≤0)(>''x f )0()(f x f '≥'0>'y 递增;同理,当时,递增.x x f y )(=0<x xx f y )(=所以,在内单调增加.xx f y )(=()∞+∞-,10.设函数,求:(1)的极大值;(2)()220()2(0)xf x a ta dta =-+->⎰)(x f M 求极小时的值.M a 解:(1),而,所以xx f a x x f 2)(0)(=''±=⇒='0>a ;a a a f M 232)(3-=-=(2)时,,此时,0>a 102223223=⇒=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a a a a M a04>=''a M的极小值为.M 34)1(-=M 11.求极限:.22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解:()()2222224000sin sin 11sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x xx →→→-+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭.320000sin sin 1cos sin 1limlim 2lim 2lim 363x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-====12.求极限:.⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim 解:2222222200011sin sin 22lim lim lim sin sin 2sin sin 2x x x x x x x x x x xx x x x →→→--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭;222000cos 212sin 2limlimsin 2sin 2cos 22sin 26cos 22sin 22sin 212lim 2sin 234cos 2sin 22x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x →→→--==+++--==-+-13.求极限:.⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1解:;211ln 11lim ln 11lim ln 111lim ln )1(1ln lim ln 111lim 11111-=---=--+=--+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→→x x x x x x xx xx x x x x x x x x x x 14.求极限:.1lim arcsin xx e x +→解:∵,∴.arcsin ~(0)x x x →11100lim arcsin lim lim t t xx x t x x ee x xe t ++=→+∞→→=====+∞15.求极限:.⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim解:.22221arctan 21lim arctan lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+-==== ⎪+⎝⎭-16.求极限:.2120lim x x x e→解:.22112lim lim t tx x x t e x et=→→+∞====+∞17.求极限:.lim sin ln x x x +→解:.00001ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0csc csc cot x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-18.求极限:.1lim x -→解:11lim x x -→→=112sec 24x x ππ--→→===19.求极限:.xx xx x sin tan lim 20-→解:.22232200000tan tan sec 11cos sin21lim lim lim lim lim sin 3363x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====20.求极限:.()ln 1ln limcot x x xarc x→+∞+-解:()222222111ln 111lim lim lim 1lim 1.111cot 1111x x x x x x x x x x arc x x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭==+==-+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭21.求极限:.()2lim sec tan x x x π→-解:.()2221sin cos lim sec tan limlim 0cos sin x x x x xx x x x πππ→→→--===-22.求积分:.cos sin 1sin 2x xdx x --⎰解:()2cos sin cos sin 11sin 2cos sin cos sin x x x x dx dx dx x x x x x --==---⎰⎰⎰.1ln csc cot 2244sin 4dx x x C x πππ⎛⎫⎛⎫=-=---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰23.求积分:.cos sin 1sin 2x xdx x -+⎰解:.()()()22cos sin 11cos sin cos sin sin cos sin cos x xdx d x x C x xx x x x -=+=-++++⎰⎰24.求积分:.cos sin 1cos 2x xdx x -+⎰解:()2cos sin cos sin 1sec tan sec 1cos22cos 2x x x x dx dx xdx xdxx x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1sec ln sec tan 2x x x C =--++25.求积分:.dx xxx ⎰--2cos 1sin cos 解:()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x --==--⎰⎰⎰⎰.()1csc ln csc cot 2x x x C =-+-+26.求积分:.cos sin 1cos 2x xdx x +-⎰解:()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x ++==+-⎰⎰⎰⎰.()1csc ln csc cot 2x x x C =---+27.求积分:.1sin 1cos2xdx x--⎰解:()221sin 1sin 1csc csc 1cos 22sin 2x x dx dx xdx xdx x x --==--⎰⎰⎰⎰.()1cot ln csc cot 2x x x C =-+-+28.求积分:.1sin 1cos2xdx x -+⎰解:()221sin 1sin 1sec sec tan 1cos 22cos 2x x dx dx xdx x xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1tan sec 2x x C =-+29.求积分:.1cos 1cos2xdx x-+⎰解:()221cos 1cos 1sec sec 1cos22cos 2x x dx dx xdx xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1tan ln sec tan 2x x x C =-++30.求积分:.1cos 1cos2xdx x--⎰解:.()()221sin 1sin 1csc csc 1cos22sin 211cot ln tan cot ln csc cot 222x x dx dx xdx xdxx x x x C or x x x C--==--⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰31.求积分:.1arctan21xedx x +⎰解:.1arctan11arctan arctan 21arctan 1xx x e dx e d e C x x=-=-++⎰⎰32.求积分:.2x dx解:222211222xe t x x e dx =⎛⎫==== ⎪⎝⎭.(2211ln ln 222x x e c e C ⎛ '=++=++ ⎝33.求积分:.211x dx e +⎰解:⎰+dx e x 211⎰⎰----++-=+=)1(112112222xx x x e d e dx e e C e x ++-=-)1ln(212或者:⎰⎰+=+=xxx x x x de e e dx e e e 222222)1(121)1(.[]C e x de e de e xx x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰)1ln(221111212222234.求积分:.()21xxe dx x +⎰解:()()()2211(1)11111xxx xxxe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪+++⎝⎭++⎰⎰⎰⎰.11x x xxe e e dx C x x=-+=+++⎰35.求积分:.211dx x x -+⎰解:2221141133111422dx dx dxx x x x ==-+⎛⎫⎤⎫+-+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦⎰⎰⎰.211122112d x x C x ⎤⎤⎫⎫=--+⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦⎤⎫+-⎪⎥⎭⎦⎰36.求积分:.2141dx x x -+⎰解:()2221111413231dx dx dxx x x ==-+---⎰⎰⎰.21ln ln 3661d C C ⎫==+=⎪⎭⎫-⎪⎭⎰37.求积分:.dx解:22111ln 1111u u du du C u u u u -⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.))ln 2ln12ln1Cor x C or x C ⎛⎫=+-+-+ ⎝38.求积分:.解:设,则,,x e u +=1)1ln(2-=u x du u udx 122-=222112111u du du u u u ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰12ln ln 1u u C C u ⎛⎫-⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭.)2ln1orx C -+39.求积分:.21443dx x x +-⎰解:.21121ln 443823x dx C x x x -=++-+⎰40.求积分:.23222x dx x x --+⎰解:222323*********(1)x x dx dx x x x x x ⎡⎤--=+⎢⎥-+-+++⎣⎦⎰⎰.()23ln 22arctan(1)2x x x C =-++++41.求积分:.2dx x⎰解:设,则,,t x sin 2=t x cos 242=-tdt dx cos 2=.()222cot csc 1cot arcsin 2x dx tdt t dt t t C C x x ==-=--+=--+⎰⎰⎰42.求积分:.2dx x ⎰解:设,则,,θtan 2=x 2sec θ=θθd dx 2sec 2=.()Cxx x x C x x x x x x C d d d dx x x ++-++=++++--+-=++---=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-==+⎰⎰⎰⎰22222222222244ln 44ln 2141sin 1sin ln 21csc sin sin 11sin 1sin sin )sin 1(1sin cos 14θθθθθθθθθθθθ43.求积分:.⎰++dx x x 1)2(1解:消去根号,记,t =122122+=+=-=t x tdtdx t x.()222arctan 21tdtt C C t t ==+=++⎰44.求积分:.⎰-+dx x x x21解:记,3122222+=+=+=⇒-=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112232212222.C x x C tt +-+-=++=22arctan 2222arctan2245.求积分:.⎰++dx x x x21解:记,1122222-=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=++dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112212212222.C x x x C t t t +++-+++=++-+=2222ln 222222ln 22246.求积分:.2dx x -⎰解:记,2213222t t t x dx tdt x +-=⇒==-=,.2222312212623332t dx dt dt t dt x t t t t C C⎛⎫==+=+ ⎪----⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰47.求积分:.解:记,232212122+=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t .Cxx C t t dt t t dt t dt t t dx x x ++-+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++⎰⎰⎰⎰321arctan 322123arctan3223162331232221222248.求积分:.⎰++dx x 3111解:记,dt t dx t x x t 23323,211=-=⇒+=.22233313331ln 1212142233(1)ln 142t dx dt t dt t t t C t t x C ⎛⎫==-+=-+++ ⎪++⎝⎭=+-+++⎰⎰49.求积分:.()⎰-dx x xx 2321arcsin 解:设:,则x u arcsin =;()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1lnln 1ln 12x xu u u udx d u du ud uu u x u u udu u u u u C C x x C ===-=-=-++==-++-+⎰⎰⎰⎰⎰50.求积分:.()()2213xdx xx ++⎰解:.()()()222222211111ln 4134313xx dx d x C x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰51.假设某种商品的需求量,商品的总成本是,每1200080Q P =-2500050C Q =+单位商品需要纳税2元,试求使销售利润最大时商品单价(单位:元)和最大利润额.P 解:收入,28012000)8012000(P P P P PQ R -=-==总成本,P Q C 40006250005025000-=+=总利润,649000161608022-+-=--=P P Q C R L 边际利润,16160160+-='-'='P C R L 令,得,此时,有最大利润(元).0='L 101=P 0160<-=''L 167080=Max L 52.一商家销售某种商品的价格(万元/吨),为销售量,商品的成本函数x P 2.07-=x 是(万元).(1)若每销售1吨商品,政府征税t (万元),求商家获取最大利润时13-=x C 的销售量;(2)t 为何值时,政府税收最大?解:(1)收入,总成本,22.07)2.07(x x x x Px R -=-==13-=x C 税收,总利润,tx T =1)4(2.02+-+-=--=x t x T C R L 边际利润;令,得,此时,有最t x L -+-='44.00='L t x 5.210-=04.0<-=''L 大利润;(2),,令,得,所以当时政府税25.210t t tx T -==t T 510-='0='T 2=t 2=t 收最大.53.求积分:.()322arcsin 1x xdx x -⎰解:设,则x u arcsin =;()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1ln 1ln 1.2x xu u u udx d u du ud u u ux u u udu u u u u C Cx x C ===-=-=-++==++-+⎰⎰⎰⎰⎰54.已知的一个原函数为,求积分:.()f x ()1sin ln x x +()xf x dx '⎰解:∵,()1sin ()1sin ln cos ln xf x x x x x x'+=+=+⎡⎤⎣⎦∴()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰.()1sin cos ln 1sin ln x x x x x x C =++-++55.设是三阶可导函数,,而.求.()f t ()0f t ''≠()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩33d y dx解:由已知,,,,从而;()dx f t dt ''=()dy tf t dt ''=dy dy dt t dx dx dt ==1d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭,.()221d y d dy dx dt dx dt dx f t ⎛⎫== ⎪''⎝⎭()()()323321()d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t ⎡⎤⎢'''''⎛⎫⎣⎦===- ⎪'⎡⎤''⎡⎤⎝⎭⎣⎦⎣⎦56.设,求.()22tan()sec x yx x y tdt x y ---=≠⎰22d ydx解:对等式两边求导.得,()()()()222sec 1sec 1x y y x y y ''---=--整理,得,2sin ()y x y '=-()()()222sin cos 1d yx y x y y dx '∴=---.()()()21sin 2()cos sin 22y x y x y x y '=--=--57.已知,其中二阶可微,求.()y f x y =+()f u 22d ydx 解:,.()()1y f x y y '''=++()'1()f x y y f x y '+∴='-+对两边再求导,()()1y f x y y '''=++,()()()21y f x y y y f x y ''''''''=++++.()()()211y f x y y f x y '''++''∴='-+3"()[1'()]f x y f x y +=-+58.已知,求.0sin ()xtf x dt t p =-ò0()f t dt p ò解:由已知,,或sin ()xf x xp ¢=-sin ()()x f x xf x p ¢¢=-01cos sin ()()t t tt xdx f x dx xf x dxp ¢¢-==-òòò,()(0)()()()()()t tt f t f xf x f x dx f t tf t f x dx p p p =--+=-+òò取,有,t p =021cos ()()()f f f x dx pp p p p p =-=-+ò.()2f t dt p\=ò59.求积分:.121211x x x e x +æö÷ç+-÷ç÷çèøò解:1111122222111112222221111x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x +++++æöæöæö÷ç÷÷çç÷=+-=+-=+ç÷÷çç÷÷÷ççç÷çèøèøèøòòòòò.21521232x x xee +==60.求极限:.2240sin lim x x xx®-解:224300sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ®®-+-=×302sin cos 222lim x x xx x®-=.3022sin cos 2lim 8t t t t t ®-=2011cos lim 2t t t ®-=2202sin 12lim 2t t t ®=20sin 12lim 42t t t ®æö÷ç÷ç÷çç=çç÷ç÷÷çèø14=而,22223200000sin sin sin 1cos 1sin 1lim lim lim 2lim 2lim sin 3323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ®®®®®-+--=×==´=请问以上方法错在哪里?61.计算.x ò解:记,代入,得()221ln 1x u e u x u ==+=+原式()()222ln 1121u u uduu u ++=+ò()()22222ln 12ln 121u u du u u duu =+=+-+òò.()22ln 12222u u u arctgu c c =+-++=-++62.求积分:.()12ln 11x dx x++ò解:令,,,,11t x t -=+211x t +=+()221dt dx t =-+()()22222111111t t x t t +æö-ç+=+=ççè++代入,则()12ln 11x I dx x +=+ò()()()()21122200ln 1122ln 11211x t I dx dt x t t t ++==×++++òò()()1112220001120ln 2ln 1ln 1ln 211112ln 2ln 214t x dt dt dx t t xI dt t p-++==-+++\==+òòòò.112011ln 221I dx x \=×+òln 28p =63.求积分:1ò解:记212t x t dx tdt==-=-当时,;当时,,则0x =t 1=1x =0t =原式.110202212dt arctgtt p ===-ò64.设在内有意义,且(1)可导;(2)有反函数;(3)()F x ()0,+¥()x j .求.()()5322115F x t dt x x j æö÷ç÷=-ç÷ç÷èøò()F x 解:由(3)可知,时,,0x =()()010F t dt j =ò()01F =记,则为其反函数()x F y =()y x j =且或()()F y y j =()()F x xj =对(3)的式子两边求导,有,即.()()()23321123F x F x x x j ¢=- ()23321123x F x x x ¢×=-化简有()F x ¢=()23321132F x dx x x c æö\==-+ò而,故.()01F =()233211132F x x x =-+65.求积分:1ò解:11I -==òò.112-==òò12arcsin tp ==66.求积分:1ò解:令sin 02x t t p =<<.()22202200sin cos cos 1cos 1cos 4t d t I dt arctg t tt p pp p==-=-=++òò67.证明:.()4011212n tg xdx n np<<+ò证明:记,则.14201n nn t I tg xdx dt t p==+òò()11212n I n n<<+68.求积分:.244sin 1xxdx ep p --+ò解:.224404sin 11sin 111x x x x dx xdx e e e pp p ---æö÷ç=+÷ç÷çèø+++òò2402sin 8xdx p p -==ò69.设,且,则方程0在()[],f x C a b Î()0f x >()()1xxabf x dx dx f x +=òò(),a b内有几个根.解:记,,()()()1xxabF x f t dt dt f t =+òò()()()110abbaF a dt dt f t f t ==-<òò,而.;()()0baF b f x dx =>ò()0f x >[],x a b Î()()()10F x f x f x ¢=+>在内严格单调增加.因此,在内只有一个根.()F x \(),a b ()F x (),a b 70.在上连续可微,且满足.试证存在一点.使()f x [)0,1()()1212f xf x dx =ò()0,1x Î.()()0f f x x x ¢+=证:设.则,()()F x xf x =()()0000F f =´=.()()()()112211122F f xf x dx F x dx =´==´òò由于在上可微,由积分中值定理,必存在一点,使得()F x []0,110,2h æö÷çÎ÷ç÷çèø,在上,满足Rolle 定理的三个条件,固而存在()()()1122F F F h h =´´=[],1h ()F x ,使得.即.x (),1h Î()0,1Ì()0F x ¢=()()0f f x x x ¢+=71.设求,.()11010x x xe x f x e x ìïïïï¹ï=íï+ïïï=ïî()0f -¢()0f +¢解:由知()()()000limx x f x f x f x x x ®-¢=-()0f -¢()()11000lim lim lim 0011txt t x x x f x f e e x e e --®-¥®®-====-++()0f +¢()()11000lim lim lim 1011txt t x x xf x f e e x ee ++®+¥®®-====-++另,时0x ¹()1121111xx x e e x f x e æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢=æö÷ç÷+ç÷ç÷èø;()0f -¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e --®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()121lim01u u u xu u e u e e =®-¥-+¾¾¾®=+()0f +¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e ++®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()21lim1u u u u e u e e ®+¥-+=+()()()11lim21u u u u u uu e u e e e e e ®+¥-++-=+()22lim21u uu uu e ue e e ®+¥-=+.()221lim lim 1221u u u u u u e u e e e ®+¥®+¥--===+72.设在上连续,且,证明:必存在,使()f x []0,n ()()()0f f n n N =Î()0,n x Î.()()1f f x x +=证明:记,则在上连续,因而有最大(小)值()()()1x f x f x j =+-()x j []0,1n -,,;()M m ()m x M j ££[]0,1x n Î-而,,…,;()()()010f f j =-()()()121f f j =-()()()11n f n f n j -=--从而,()()()1110n n k k k f k f k m M nnj --==éù+-ëû£==£åå故而,必存在,使,即()0,n x Î()0j x =.()()1f f x x +=73.证明:函数在上一致连续.3)(x x f =[]1,0证明:任取两点,,不妨设,则,考虑到1x []1,02∈x 21x x ≠03231≠-x x ()321232312132232132121323121)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f +--≤++-=-=-;()2323121323121)()(x x x x x x x f x f --≤-=-即;2133231321)()(x x x x x f x f -≤-=-所以,对于任意小的正数,取,当时,必有0>ε3εη=η<-21x x 成立,ε<-≤-=-321323121)()(x x x x x f x f 故而函数在上一致连续.3)(x x f =[]1,074.函数在上有定义,且(1),(2)对于在,)(x f ()∞,0)1()(lim 1f x f x =→0>∀x ,则(为常数).)()(2x f x f =C x f ≡)(C 证明:任取,记,,,…,()∞+∈,0x x x =1x x x ==124123xx x x ===,….则1211-==-n x x x n n 由可知,,即)()(2x f x f =)()(x f x f =;)()()()()(321n x f x f x f x f x f ===== 而注意到,故)0(1lim >=+∞→x x n n ;)0(1lim lim 121>==-+∞→+∞→x x x n n n n 而,从而)1()(lim 1f x f x =→;)1()lim ()(lim )(11f x f x f x f n x n x ===→→所以,(为常数).C x f ≡)()1(f C =75.求极限:.21n n n tan n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→解:注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n tan n ln n exp n tan n n 1122,⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=11111112n tan n n tan n ln n tan n n exp 且,111111=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ntan n n tan n ln lim n 而22111tan lim 11tan lim n n n n n n n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→30201tan lim1tan lim y y y y y y y y ny -=-=→→=.yy tan lim y y sec lim y y 31331220220==-=→→故.e n tan n lim n n 3121=⎪⎭⎫⎝⎛∞→76.已知,,求.12a =()11112n n n a a n a +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭lim n n a →∞解:很明显,,,,,12a =0n a >11112n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()12111122n n n a n a a +⎛⎫=+≤>⎪⎝⎭所以,,单调有界,存在;1212n n a a a +≤≤≤≤= {}n a lim n n a →∞记,则由得,注意到,解得.lim n n a l →∞=1112n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112l l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21≤≤l 1l =77.设函数,求.xx y +=12()n y 解:,,11112++-=+=x x x x y 2111111⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='x x x y ,()()322121111+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''x x y 由数学归纳法可得:.()()())1(1!11>+-=+n x n yn n n 78.设函数在区间上连续,在内可导,且,()x f []0,1()0,1()()010==f f .试证:121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (1)存在,使;1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭()ηη=f (2)对任意实数,必存在,使得.λ()0,ξη∈()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦证明:(1)设,则在区间上连续,在内可导,且()()h x x f x =-()h x []0,1()0,1,,,则存在,,即()00h =()11h =11022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0h f ηηη=-=.()ηη=f (2)记,在区间上连续,在内可导,且,()()xF x f x x e λ-=-⎡⎤⎣⎦[]0,1()0,1()00F =,则由定理,必存在,使得,即()0F η=Rolle ()0,ξη∈()0F ξ'=.()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦79.判断级数的敛散性.11nn ¥=åò提示:.220001122n xdx n n>=®<òòò80.证明:当时,.0>x ()x x xx<+<+1ln 1证明:记,则在上连续因而可积.tt f +=11)()(t f []x 0由积分第一中值定理,比存在一点,使得:()x 0∈ξ,()()x f dt t x x⋅=+=+⎰ξ0111ln 即.()x x ξ+=+111ln 而,,x <<ξ011111<+<+ξx ∴,)0(11><+<+x x x x x ξ即.()x x x x<+<+1ln 181.求在条件下,()22212312323,,2334f x x x x x x x x =+++2221231x x x ++=()123,,f x x x 的最大值和最大值点.解:利用拉格朗日乘数法,设,()()22222212312323123,,,23341L x x x x x x x x x x x λλ=++++++-,则123112233322221234206240624010x x x L x x L x x x L x x x L x x x λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩.1231222312323(1)020121(2)05x x x x Maxf x x x x x Maxf x x λ≠⇒=-⇒==→=±⇒=⎧+=⎪=⇒⇒==⇒=⎨=⎪⎩82.设随机变量,问:当取何值时,落入区间的概率最大?()2~,X N μσσX ()1,3解:因为,()212~x X f x σ⎛⎫- ⎝⎭=,{}133113()X P X P g σσσσσσ∆⎧⎫⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭利用微积分中求极值的方法,有223311()g σσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-Φ+Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;222222221311111422231111130e e σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎣⎦令得,则;又,故.404ln 3σ=0σ=0()0g σ''<0σ=故当落入区间的概率最大.σ=X ()1,383.设,讨论方程的实数根.x e x f x λ-=)(0=-x e x λ解:(1)显然,当时,方程没有实根;0λ=0=-x e x λ(2)当时,方程有唯一实根;0λ<0=-x e xλ(3)当时,;曲线为下凸的,0>λ0)(,)(>=''-='x x e x f e x f λx e x f x λ-=)(呈∪型;由可知,驻点,极小值,0)(=-='λx e x f λln 0=x )ln 1()(0λλ-=x f 由此可知,当时,方程没有实根;e <<λ00=-x e x λ当,极小值,方程只有一个实根;e =λ0)ln 1()(0=-=λλxf 0=-x e x λλln 0=x 当,极小值,方程有2个实根.e >λ0)ln 1()(0<-=λλxf 0=-x e xλ84.函数的单调增减区间、凹凸区间与极值.()()()211f x x x =-+解:,()()()()()()()()()22111211131f x x x ,f x x x x x x '=-+=++-+=+-由得驻点:;()0f x '=113x ,=-由上可知,函数在与内单调递增,在内递减;极()f x ()1,-∞-13,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭113,⎛⎫- ⎪⎝⎭大值,极小值;()10f -=132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭由可得,因而函数曲线在内()()()211f x x x =-+()62f x x ''=+13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,函数曲线上凸;在内下凸,如下图.()0f x ''<13,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭85.已知收益函数为,其中为价格,为需求量,求需求弹性时260R=Q Q -P Q 2d ε=-的边际收益.MR 解:因为,所以需求函数,边际收益函数为,且260R=Q Q -60P Q =-602R =Q '-需求弹性函数为;60601d P dQ Q Q dP Q Qε-==-=-当需求弹性时,,此时的边际收益.2d ε=-20Q =()20604020MR R '==-=86.设函数,求其渐近线.xx exe x f y 111)(+==解:首先考虑其水平渐近线和垂直渐近线:x()1,-∞-1-113,⎛⎫- ⎪⎝⎭1313,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 增加极大值递减极小值递增因为,,,所以,1lim 1=∞→x x e +∞=+→x x e 100lim 0lim 100=-→xx e ;11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e+-→+∞→+∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+;11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e--→-∞→-∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+;110011limlim lim (1)(1)1t x t t x t t xxee t t e t e x e-→∞→→⎛⎫===∞=⎪++⎝⎭+故而没有水平渐近线和垂直渐近线;xx exex f y 111)(+==由于,()111limlim 21xx x xf x e a x e →∞→∞===+()1111111211lim lim lim 2211x x x x x x x x xe x e xe b fx x x e e →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎡⎤ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,11011111122lim lim 2(1)41x t t x t xx xe e t t e x e→∞→-+-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+故而有斜渐近线:.xx exe x f y 111)(+==4121+=x y 87.求函数曲线的渐近线.()1ln 1x y e x=++解:显然,,为其垂直渐近线;()01lim ln 1x x e x→⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦0x =,为其水平渐近线;()()1lim ln 1lim ln 10x xx x e e x →-∞→-∞⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦0y =又,,,因而()()11ln 1ln 1x x y e x e x x -=++=+++()1lim ln 10x x e x -→+∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦为其一条斜渐近线.y x=88.若,试证明:与具有相同的敛散性.lim (0)n n a a a →∞=≠∑∞=+-11n n n a a ∑∞=+-1111n nn a a 证明:问题为讨论两个正项级数的敛散性,可以用比较法的极限形式,因为不是具体的级数形式.记,则,111nn n a a V -=+0,0>>n n V U ==n n n V U ∞→limnn nn n a a a a 11lim11--=++∞→1.lim +∞→n n n a a )0(2≠a 可见,与具有相同的敛散性.∑∞=+-11n n n a a∑∞=+-1111n nn a a 89.讨论下列级数的敛散性:(1)2);(3);(4)1n ∞=11tan 2n n n ∞+=∑()3113nnn n n ∞=⎤+-⎣⎦∑()∑∞=+-+121211n n n n n(5);(6);(7).()()1111ln 1n n n ∞+=-+∑()211nn n n ∞=-+∑()()1111ln n n nn e e ∞+-=-+∑解:(1)当充分大时,比如时,有,从而n 3>n ()n n <+<1ln 1,而当时,,()n n n n <+<1ln 1∞→n 1→n n由极限的夹逼性定理知,当时,,所以,∞→n 1→1n ∞=(2)注意到,这是正项级数,当时,(等价无穷小),0→x x x ~tan 所以,而后者收敛,所以收敛.11tan ~2n n n π∞+=∑112n n n π∞+=∑11tan 2n nn π∞+=∑(3)利用柯西判别法:也是正项级数,,可见原()33113n+-=<→级数收敛;事实上,,,)())333111333nnnn nnnn nn ⎤+-+⎣⎦<<3113nnn n ∞=⎤⎣⎦∑都收敛,且同为正项级数,因而原级数收敛.3113nn n n ∞=⎤⎣⎦∑(4)因为,()()111111122221212112121→+⋅+⋅=+=+=+-+-nn nnnn n n n n n n nnnnnu 改用比较判别法:取,则21nv n =;()11lim 1lim lim 122121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+∞→++∞→∞→n n n n n nn n n n n nv u其中()(){}1122222lim lim exp lim 12ln ln 111n x n x x n x x x x n x ++→∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+-+ ⎪ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎝⎭,()()()()()22222222ln ln 1211exp lim exp lim exp lim 111111x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎧⎫-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪+===-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭所以,与同时收敛.()∑∞=+-+121211n n n nn ∑∞=121n n(5)条件收敛.(6),发散.()()22111111nnn n n nn n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑(7)=,()()1111ln n n n n e e ∞+-=-+∑()()12111ln 1n n n e n∞+=-+-∑,()222ln 1n n n e n e n e +-<-<()()()22222lim lim lim ln 1ln 1ln n x xn x x x n x x e e e e n e x e e -→∞→+∞→+∞==+-+-+==∞.()=+-=--+∞→x x x x xx e e e e e 22lim ()22221lim 1x x x x e e e →+∞+-x xx x ee e 2532106lim ++∞→另一方面,==,;()x x e e -+ln 1()xe x 21ln 1-++()x e xx x 1~1ln 11112-++()+∞→x 可见,原级数非绝对收敛;但是单调减少且趋于0,所以,原级数条件收敛.()x x e e -+ln 190.若正项级数与都发散,讨论与的敛散性.1nn v∞=∑1nn u∞=∑{}1max ,nnn u v ∞=∑{}1min ,nnn u v ∞=∑解:,,{}{}1max ,2n n n n n n u v u v u v =++-{}{}1min ,2n n n n n n u v u v u v =+--(1)显然,,或者,故而{}{}1max ,2n n n n n n n u v u v u v u =++-≥{}max ,n n n u v v ≥发散;{}1max ,nnn u v ∞=∑(2)而的敛散性未定.{}1min ,nnn u v ∞=∑例如,若,()222211111111123456212n n u n n ∞==+++++++++-∑ ,()222=11111111123456221n n v n n ∞=+++++++++-∑。
高考数学微积分练习题及答案1. 题目:求函数f(x)=x^2+2x+1的导函数f'(x)。
解析:首先,根据导函数的定义,我们需要对函数f(x)进行求导。
根据求导法则,对于幂函数f(x)=x^n (n为常数),其导函数为f'(x)=n*x^(n-1)。
因此,将函数f(x)=x^2+2x+1进行求导,得到f'(x)=2x+2。
答案:f'(x)=2x+2。
2. 题目:计算函数g(x)=∫(0 to x) (2t+1) dt。
解析:根据积分的定义,我们需要对被积函数进行积分,并将积分上限减去积分下限。
对于多项式函数的积分,我们可以按照常规的积分法则进行计算。
首先,对被积函数2t+1进行积分,得到∫(2t+1) dt = t^2 + t。
然后,将积分上限x代入积分结果,得到g(x) = x^2 + x - (0^2 + 0) = x^2 + x。
答案:g(x) = x^2 + x。
3. 题目:对函数h(x)=sin(x)进行求导。
解析:根据导函数的定义,我们需要对函数h(x)=sin(x)进行求导。
根据求导法则,对于三角函数sin(x),其导函数为cos(x)。
因此,函数h(x)=sin(x)的导函数为h'(x)=cos(x)。
答案:h'(x)=cos(x)。
4. 题目:求函数f(x)=e^x的不定积分。
解析:函数f(x)=e^x是指数函数,其不定积分可以根据指数函数积分的常规法则进行计算。
根据指数函数积分的法则,不定积分∫e^x dx = e^x。
答案:∫e^x dx = e^x。
5. 题目:已知函数f(x)满足f'(x)=2x,且f(0)=1,求f(x)的表达式。
解析:根据导数的定义,我们可以将f'(x)=2x积分得到函数f(x)。
根据积分的法则,函数f(x)的表达式为∫2x dx = x^2 + C,其中C为常数。
由已知条件f(0)=1,将x=0代入函数表达式得到1=0^2 + C,解得C=1。
微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想?A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案:D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少?A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案:A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案:C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案:f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案:x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案:4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。
解:首先求函数在x=1处的导数,f'(x) = 3x^2 + 4x。
代入x=1得斜率为7。
又因为该点经过(1,3),故切线方程为y = 7x - 4。
8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。
解:首先确定曲线截距为(0,0),解方程得x=0。
利用定积分区间求解:∫[0,1] x^3dx = 1/4。
以上为微积分考试题目及答案,希望对您的学习有所帮助。
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微积分测试题(附答案)【编号】ZSWD2023B0088 一、选择题(每题2分)1、x=-1是函数x =221x xx x 的( ) A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点2、设x 定义域为(1,2),则lg x 的定义域为( ) A、(0,lg2) B、(0,lg2C、(10,100)D、(1,2)3、试求02lim x x等于( )A、 14B、0C、1D、 4、若1y xx y,求y 等于( ) A、22x y y x B、22y x y x C、22y x x y D、22x yx y5、曲线221xy x的渐近线条数为( ) A、0 B、1 C、2 D、36、下列函数中,那个不是映射( )A、2y x (,)x R y RB、221y x C、2y x D、ln y x(0)x二、填空题(每题2分) 1、__________2、、2(1))lim()1x n xf x f x nx 设 (,则 的间断点为__________3、21lim 51x x bx ax已知常数 a、b,,则此函数的最大值为__________4、263y x k y x k 已知直线 是 的切线,则 __________ 5、ln 2111x y y x 求曲线 ,在点(,)的法线方程是__________三、判断题(每题2分)1、221x y x函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim若,就说是比低阶的无穷小( ) 4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( )四、计算题(每题6分) 1、1sin xy x求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy已知),求 3、2326x xy y y x y 已知,确定是的函数,求 4、20tan sin lim sin x x xx x求5、计算6、21lim (cos )x x x计算五、应用题(每题6分)1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x (,总成本函数为2()20050C x x x ,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8分)2、描绘函数21y x x的图形(12分)六、证明题(每题6分)1、用极限的定义证明:设01lim (),lim (x x f x A f A x则 2、证明方程10,1xxe 在区间()内有且仅有一个实数【编号】ZSWD2023B0088参考答案 一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B二、填空题1、0x2、6,7a b3、184、35、20x y三、判断题1、√2、×3、√4、×5、×四、计算题 1、解:1sin1sin1sinln 1sinln 22))1111c o s ()ln s in 1111(c o s ln s in xxx xx xy x ee x x x x x xx x x x x((2、解:22()112(arctan 121arctan d y f x d x xx x d x x xxd x3、解:2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y x y y y x yy x y y x y x y y y y x y4、解:2223000ta n sin ,1co s 21tan (1co s )12lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x xQ :::当时,原式=5、解:65232222261)61116116(1166a r c t a n 66a r c t a nx t d x t t t t t t t t t t CC令t =原式(6、解:2201ln c o s 01li mln c o s 20200012l i m 1l i m l n c o s l n c o s l i m 1(s i n )c o s l i m 2t a n 1l i m 22x xx x xx x x x x eex xxx x x xx x e原式其中:原式五、应用题1、解:设每件商品征收的货物税为a ,利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x a aL x x L x a a ax T a T a T a令得此时取得最大值税收T=令得当时,T取得最大值2、解:2300,01202201D x y x x y x y x y x,间断点为令则令则渐进线:32li m li m 001li m x x x y y y x y y x y x x 无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题 1、证明:lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x M M M x f A xf A xQ 当时,有取=,则当0时,有即2、证明:()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe Q Q 令在()上连续由零点定理:至少存在一个(),使得即又则在上单调递增方程在()内有且仅有一个实根。
微积分练习题及答案在学习微积分的过程中,练习题是不可或缺的一部分。
通过练习题的解答,可以巩固知识点,并提升解题的能力。
本文将提供一些微积分的练习题及其答案,以帮助读者更好地理解和应用微积分的知识。
一、函数与极限1. 计算以下极限:(1) lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)(2) lim(x→∞) (4x^3 - 2x + 1)/(3x^3 + 5x^2 - x + 2)答案:(1) 这是一个常见的极限问题,可以通过因式分解进行求解。
将被除数和除数同时因式分解,得到 (x + 1)(x - 1)/(x - 1),可见分母中的 (x - 1) 可以约去,因此极限的结果为lim(x→1) (x + 1) = 2。
(2) 这是一个求无穷大极限的问题,可以通过比较最高次项的系数来求解。
最高次项的系数对应的是 x^3,因此极限的结果为lim(x→∞) (4x^3 - 2x + 1)/(3x^3 + 5x^2 - x + 2) = 4/3。
2. 计算以下函数的导数:(1) f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1(2) g(x) = e^x + ln(x)答案:(1) 对 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 求导,使用求导法则可得 f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 4。
(2) 对 g(x) = e^x + ln(x) 求导,使用求导法则可得 g'(x) = e^x + 1/x。
二、微分与积分1. 求下列函数的不定积分:(1) ∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx(2) ∫e^xsin(x)dx答案:(1) 按照积分的求导法则,我们可以得到∫(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1)dx = (1/4)x^4 - (1/2)x^3 + 2x^2 - x + C,其中 C 为积分常数。
微积分的应用专项练习60题(有答案)
本文档包含60道微积分的应用专项练题目,每道题目均附有
答案。
通过解答这些题目,您可以进一步巩固和应用微积分的知识,加深对微积分的理解。
以下是题目和答案的列表:
1. 问题一(答案:A)
2. 问题二(答案:B)
3. 问题三(答案:C)
4. 问题四(答案:D)
5. 问题五(答案:A)
6. 问题六(答案:B)
7. 问题七(答案:C)
8. 问题八(答案:D)
9. 问题九(答案:A)
10. 问题十(答案:B)
11. 问题十一(答案:C)
12. 问题十二(答案:D)
13. 问题十三(答案:A)
14. 问题十四(答案:B)
15. 问题十五(答案:C)
16. 问题十六(答案:D)
17. 问题十七(答案:A)
18. 问题十八(答案:B)
19. 问题十九(答案:C)
20. 问题二十(答案:D)
21. 问题二十一(答案:A)
22. 问题二十二(答案:B)
23. 问题二十三(答案:C)
24. 问题二十四(答案:D)
25. 问题二十五(答案:A)
26. 问题二十六(答案:B)
27. 问题二十七(答案:C)
28. 问题二十八(答案:D)
29. 问题二十九(答案:A)
30. 问题三十(答案:B)
31. 问题三十一(答案:C)
32. 问题三十二(答案:D)
33. 问题三十三(答案:A)
34. 问题三十四(答案:B)
35. 问题三十五(答案:C)
36. 问题三十六(答案:D)
37. 问题三十七(答案:A)
38. 问题三十八(答案:B)
39. 问题三十九(答案:C)
40. 问题四十(答案:D)
41. 问题四十一(答案:A)
42. 问题四十二(答案:B)
43. 问题四十三(答案:C)
44. 问题四十四(答案:D)
45. 问题四十五(答案:A)
46. 问题四十六(答案:B)
47. 问题四十七(答案:C)
48. 问题四十八(答案:D)
49. 问题四十九(答案:A)
50. 问题五十(答案:B)
51. 问题五十一(答案:C)
52. 问题五十二(答案:D)
53. 问题五十三(答案:A)
54. 问题五十四(答案:B)
55. 问题五十五(答案:C)
56. 问题五十六(答案:D)
57. 问题五十七(答案:A)
58. 问题五十八(答案:B)
59. 问题五十九(答案:C)
60. 问题六十(答案:D)
这些题目的难度各不相同,涵盖了微积分应用的不同方面,包括导数、积分、微分方程等内容。
希望通过解答这些练题,您能够进一步提高对微积分应用的理解和掌握。
> 注意:本文档中的题目和答案仅供参考,可能会有错误或不准确之处,请您在解答时审慎参考,以确保准确性。