傅里叶级数发展史

傅里叶级数由正弦和余弦函数构成，通过将原始函数展开成一系列正弦 和余弦函数的线性组合，可以表示任意周期函数。
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成 分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行 频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数， 且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。

Fourier与小波变换发展概况 与小波变换发展概况
1822年Fourier变换 在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。 年 变换,在频域的定位最准确 变换 在频域的定位最准确，无任何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确， δ 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持 变换， 年 变换 ， 固定不变。不构成正交基。 固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编码 提出金字塔式图像压缩编码， 年 提出金字塔式图像压缩编码 子带编码(subband coding),多采 多采 样率滤波器组(multirate 样率滤波器组(multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 提出规范正交基。 年 提出规范正交基 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波函数的存在。 系进行改进， 年 对 系进行改进 证明了小波函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波 年 提出了连续小波 1985年,Meyer,Grossmann,Daubecies提出离散的小波基 年 提出离散的小波基 1986年,Meyer证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基， 证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基， 年 证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基 证明了小波的自正交性。 证明了小波的自正交性。 1987年,Mallat统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法。 统一了多分辨率分析和小波变换， 年 统一了多分辨率分析和小波变换 给出了快速算法。
a0 ∞ 下面推到假设： 下面推到假设： + ∑ | an | + | bn | 收敛 2 n =1

m=1
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2

03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。

FFT基于分治策略，将大问题分解为小问题，从而显著提高了计算效率。
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。

把函数表示成幂级数是最自然不过的事，但是，能用幂级数表示的函数并不多，因
为要想用幂级数表示，起码这函数得无穷次连续可微，而且即使无穷次可微也不一定就 行。这傅里样叶，的要 科 想用无穷级数表示一般的连续函数，就得另觅他途，我们所熟悉的比多项
式稍复杂的函数就是三角函数。三角函数图像清楚，有表可查，当然是最有力的候补者。
学位论文原创性声明
本人所提交的学位论文《傅里叶级数的起源和发展》，是在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中标明。
本声明的法律后果由本人承担。
指霹嚣ｐ二篇：即畴≥ 论文作者（签名）：前嘲Ｐ
１８３０ ｔ０ ｔｈｅ ｅＩｌｄ ｏｆｔｈｅ １９ｔｈ ｃｅｌｌｔｕ哆ＩＩｌ Ｐａｎ ｏｎｅ ｏｎ ｍｅ ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ｓ耐ｅｓ ｉＩｌ
ｔｈｅ １ ８ｔｌｌ ｃｅｌｌｔｕｌＭ Ｉ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔ１１ｅ Ｋｓｔｏｒｉｃａｌ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｃｏｍｅｓ ｆＩｏｎｌｌ．ＩＩｌ Ｐ眦ｔ、）Ｉ，ｏ ｏｎ ｍｅ １ｉｆｅ ｏｆ Ｆｏ嘶ｅｒ ａｎｄ ｍｅ ｂｉｒｔｈ ｏｆｈｉｓ ｔｈｅｏⅨＩ ｐｒｅｓｅｎｔ １１ｉｓ ｗｏｒｋ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ａｎｄ ｔｈｏｒｏｕ曲１ｙ．
傅里叶讨论热问题所用的方法是真正的先驱，因为他运用了尚未真正建立的概念。 当别人还在讨论连续函数时，他已在研究不连续函数；当积分还处于简单地作为反导数 时，他已用积分作为面积；在收敛定义之前，他已谈到函数级数的收敛。在１８１１年他 获奖论文结尾时，他甚至积分一个在一点取值为∞而其它点均为０的“函数”。这种方 法在向电磁学、音响学、空气动力学等其它学科中证明是富有成果的。傅里叶的研究在 应用上的成功，使得有必要修改函数的定义，引入收敛的定义，重新检查积分的概念以 及一致连续与一致收敛的概念，它也诱导集合论的发现，它也是引导测度论思想的背景 并包含广义函数论的萌芽。本文第三部分在详尽占有材料的基础上，系统介绍了傅里叶 以后各位数学家如狄利克雷（Ｐｅｔｅｒ ＧｕｓｔａＶ Ｌｅｊｅｕｎｅ．Ｄｉｒｉｃｌｌｌｅｔ，１８０５—１８５９）、黎曼、勒贝格 （Ｈｅｎｒｉ Ｌ６０ｎ Ｌｅｂｅｓｇｕｅ，１８７５—１９４１）、康托尔（Ｇｅｏ唱Ｆｅｒｄｉｎａｎｄ Ｌｕｄｗｉｇ Ｐｈｉｌｉｐｐ Ｃａｎｔｏｒ，１８４５— １９１８）等的工作，分析了他们如何以傅里叶级数为基础，推动了１９世纪数学分析的进展， 甚至开创出作为数学基础的集合论。

傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期信号分 解为不同频率的正弦和余弦函数 的数学方法。
三角函数系
傅里叶级数使用正弦和余弦函数 作为基底，将周期信号表示为这 些函数的线性组合。
频谱分析
通过傅里叶级数，可以分析周期 信号的频谱，了解信号中各个频 率分量的强度和分布。
周期信号的频谱分析
频谱图
频谱图是用来表示周期信 号中各个频率分量强度的 图形，横轴表示频率，纵 轴表示幅度。
傅里叶级数的发展经历了多个阶段， 包括早期的数学证明和后来的完善， 最终成为数学和工程领域中分析周期 信号的重要工具。
傅里叶级数的应用领域
1 2 3
通信领域
傅里叶级数用于信号处理和调制解调，例如在频 分复用（FDM）和调频（FM）中分析信号的频 谱特性。
振动分析
傅里叶级数用于分析机械振动，通过将振动信号 分解为不同频率的分量，可以研究振动的模式和 频率成分。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中广泛应用，通过将图像 信号表示为傅里叶级数，可以实现图像的滤波、 去噪、压缩等处理。
02 傅里叶级数的数学基础
三角函数和正弦函数三角Fra bibliotek数包括正弦函数、余弦函数、正切函数 等，它们在周期信号的分解中起着关 键作用。
正弦函数
正弦函数是周期函数，其基本周期为 $2pi$，在信号处理中常用于描述周 期信号。
周期信号的频谱分析
频谱分析
通过将周期信号分解为不同频率的正弦波分量，可以分析信号中各频率分量的 幅度和相位。
频谱密度函数
描述了信号中各频率分量的分布情况，其图形称为频谱图或频谱密度图。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数
是一个无穷级数，可以用来表示任何周期信号。

02
该公式将复杂的函数f(x)表示为简单的三角函数之和，便于分析函数的性质和求 解相关问题。
03
展开公式中的系数a0、an、bn可以通过函数的积分得到。
傅里叶级数的展开步骤
01
第一步是将待展开的函数f(x)进行傅里叶级数的展开，得到展开式。
02
第二步是求解展开式中的系数a0、an、bn，可以通过函数的积分得 到。
傅里叶级数的应用领域
傅里叶级数在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用。
在信号处理、图像处理、振动分析、 量子力学等领域，傅里叶级数被用于 分析信号和系统的频率成分，以及进 行频域分析和处理。
02
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
收敛的条件
傅里叶级数在满足一定条件下收敛， 如狄利克雷条件和黎曼条件等。这些 条件限制了周期函数的波形和振幅， 以确保级数收敛。
傅里叶级数的对称性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的 性质和级数的运算规则。
傅里叶级数的周期性
周期性的应用
周期性在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如，在信号处理中， 可以利用周期性来分析信号的频率成分和周期性变化。
周期性的证明
傅里叶级数的周期性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的周 期性和级数的运算规则。
03
第三步是将求解出的系数代入展开式中，得到函数的傅里叶级数展开 式。
04
第四步是利用傅里叶级数的性质和公式，对展开后的函数进行分析和 求解相关问题。
04
傅里叶级数的应用实例
信号处理中的傅里叶级数
信号分析
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法，有 助于信号的频谱分析和特征提取。

FFT具有高效性、稳定性和易于实现 等优点，是数字信号处理领域的重要 算法之一。
FFT广泛应用于语音识别、图像处理 、频谱分析、雷达和声呐信号处理等 领域。
小波变换（Wavelet Transform）
定义
小波变换是一种时频分析方法， 它通过小波基函数的伸缩和平移 来分析信号在不同尺度上的变化 特性。小波变换能够提供信号在 不同频率和时间尺度上的信息， 具有多分辨率分析的特点。
周期函数的傅里叶级数展开可以通过傅里叶变换来实现，傅里叶变换将 时域信号转换为频域信号，提供了一种分析信号频率成分的有效方法。
非周期函数的展开
非周期函数的特性
非周期函数没有固定的重复模式，其波形不具有周期性。
非周期函数的近似展开
对于非周期函数，傅里叶级数展开式中的正弦和余弦函数具有连续的频率，这些频率覆盖了整个频域。通过选取一定 数量的频率分量，可以对非周期函数进行近似展开。
三角恒等式
正弦和余弦函数的线性组合
对于任意的实数$a$和$b$，有$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$和$cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b$。
三角恒等式的应用
在傅里叶级数展开中，三角恒等式用于将一个复杂的周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。
其中，a0、an和bn为常数，n为整数 ，Σ表示求和符号，x为自变量。
傅里叶级数的一般形式为：f(x) = a0 + Σ[(an * cos(nx)) + (bn * sin(nx))]
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数的起源可以追溯到18世纪 初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫· 傅里叶在研究热传导问题时提出了该 理论。