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一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知a、b是方程x^2-4x+3=0的两个实数根，则a+b的值是：A. 2B. 3C. 4D. 52. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. 3.14D. -√23. 在下列各数中，绝对值最小的是：A. 2B. -3C. 0.5D. -2.54. 已知x=2，则代数式x^2-5x+6的值为：A. 1B. 3C. 5D. 75. 若a、b是方程x^2-3x+2=0的两个实数根，则a^2+b^2的值是：A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（每题4分，共16分）6. 已知方程x^2-2x-3=0的解是x1、x2，则x1+x2=________，x1x2=________。
7. 若a、b是方程x^2-5x+6=0的两个实数根，则a^2+b^2=________。
8. 已知a、b是方程x^2-2x+1=0的两个实数根，则a^2+2ab+b^2=________。
9. 若x^2+3x-4=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2=________，x1x2=________。
10. 若x^2-3x+2=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1^2+x2^2=________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知方程x^2-4x+3=0的解是x1、x2，求（x1+x2）^2+2x1x2的值。
12. （10分）已知方程x^2-5x+6=0的解是x1、x2，求x1^2+x2^2+2x1x2的值。
13. （10分）已知方程x^2-2x+1=0的解是x1、x2，求x1^2+x2^2-x1x2的值。
答案：一、选择题1. C2. C3. C4. B5. A二、填空题6. 4，-37. 118. 19. -3，-410. 5三、解答题11. 1912. 3713. 2。
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. 3C. -1/2D. 22. 下列方程中，解为整数的是（）A. x^2 - 5x + 6 = 0B. x^2 - 4x + 3 = 0C. x^2 - 3x + 2 = 0D. x^2 - 2x + 1 = 03. 下列各数中，有理数的是（）A. √2B. πC. 1/3D. √54. 下列函数中，y是x的二次函数的是（）A. y = x^2 + 2x + 1B. y = x^2 - 2x + 1C. y = x^2 - 4x + 3D. y = x^2 + 4x + 35. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，下列说法正确的是（）A. 该方程有两个实数根B. 该方程有两个复数根C. 该方程有一个实数根D. 无法确定二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知a > 0，b < 0，则|a| + |b| = ________。
7. 若方程2x - 3 = 5的解为x = 4，则方程4x + 6 = 2的解为x = ________。
8. 已知一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0，则该方程的解为x1 = ________，x2 = ________。
9. 已知二次函数y = x^2 - 2x + 1，则该函数的顶点坐标为（ ________，____________）。
10. 已知a、b、c是三角形的三边，且a + b > c，b + c > a，a + c > b，则下列结论正确的是（）A. a、b、c能构成三角形B. a、b、c不能构成三角形C. 无法确定三、解答题（每题10分，共40分）11. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，求该方程的解。
12. 已知二次函数y = x^2 - 2x + 1，求该函数的顶点坐标。
13. 已知a、b、c是三角形的三边，且a + b > c，b + c > a，a + c > b，求证：a、b、c能构成三角形。
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001...D. -32. 若方程2x-3=5的解为x=a，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知一个正方形的边长为2cm，那么它的面积是（）A. 2cm²B. 4cm²C. 8cm²D. 16cm²4. 若等腰三角形的底边长为5cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 18cmB. 20cmC. 22cmD. 24cm5. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点B的坐标是（）A.（2，3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，-3）二、填空题（每题5分，共25分）6. 若a、b是相反数，且|a|=3，则a+b=______。
7. 已知x²-5x+6=0，则x=______。
8. 一个圆的半径扩大2倍，那么它的面积扩大______倍。
9. 若一个等边三角形的边长为6cm，那么它的周长是______cm。
10. 在平面直角坐标系中，点P（-3，4）关于x轴的对称点Q的坐标是______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 解下列方程：（1）3x-2=5（2）2(x-3)=612. 某班有男生x人，女生y人，且x+y=30。
若男生人数是女生人数的1.5倍，求男生和女生的人数。
13. 已知一个等腰直角三角形的斜边长为10cm，求这个三角形的面积。
四、拓展题（每题20分，共40分）14. 已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求：（1）数列{an}的前n项和Sn；（2）数列{an}的递推公式。
15. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）和点B（-4，5）之间的距离为多少？请写出解题过程。
七年级数学下学期综练习一、选择题。
1．如图，在数轴上有M ，N ，P ，Q 四点，其中某一点表示无理数2，这个点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q 2．下列实数中：36，11，1.414，225，39，π，无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．若点P 在第二象限，且点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，则点P 的坐标为( ) A ．(－3，2) B ．(－2，3) C ．(3，－2) D ．(2，－3) 4．下列说法不正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫－142的平方根是±14 B ．－5是25的一个平方根C ．0.9的算术平方根是0.3 D.3－27＝－35．如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件中，不能判断直线a ，b 平行的是( ) A ．∠2＝∠3 B ．∠1＝∠4 C ．∠1＋∠3＝180° D ．∠1＋∠4＝180°6．如图，直线AB ∥CD ，∠C ＝44°，∠E 为直角，则∠1等于( ) A ．132° B ．134° C ．136° D ．138° 7．已知点E (x 0，y 0)，F (x 2，y 2)，点M (x 1，y 1)是线段EF 的中点，则x 1＝x 0＋x 22，y 1＝y 0＋y 22.在平面直角坐标系中有三个点A (1，－1)，B (－1，－1)，C (0，1)，点P (0，2)关于A 的对称点为P 1(即P ，A ，P 1三点共线，且P A ＝P 1A )，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A ，B ，C 为对称点重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2015的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)8．若m ，n 满足(m －1)2＋n －15＝0，则m ＋n 的平方根是( ) A ．±4 B ．±2 C ．4 D ．29．下列命题中：①立方根等于它本身的数有－1，0，1；②负数没有立方根；③36＝2；④任何正数都有两个立方根，且它们互为相反数；⑤平方根等于它本身的数有0和1.真命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 若32－a ＝－3b －3 ，则b －a ＋3的平方根（ ）． A. ±1 B. 2±C. 3±D. ±2二、填空题。
初一数学《有理数》拓展提高试题 一选择题（每小题3分，共30分）1.某粮店出售三种品牌的面粉,袋上分别标有质量为(25±0.1)kg 、（25±0.2）kg 、 (25 ± 03)kg 的字样，从中任意拿出两袋 ，它们的质量最多相差( )A. 0.8kgB. 0.6kgC. 0.5kg D . 0.4kg2、有理数a 等于它的倒数，则a 2004是----------------------------------------------------（ ）Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数 3、若0ab ≠，则a bab+的取值不可能是-----------------------------------------------（ ） A ．0 B.1 C.2 D.－2 4、=<3-x 3-x ,3则若x A 、1 B 、-1 C 、0 D 、25、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是……………………… （ ）A 、1B 、2C 、3D 、46、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ).A.2B. -2C. 6D.2或6 7、 x 是任意有理数，则2|x |+x 的值( ).A.大于零B. 不大于零C. 小于零D.不小于零 8、观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,3316-，依此规律下一个数是（ ） A.4521 B.4519 C.6521 D.65199、下列各式中正确是（ ）（A ）22()a a =- （B ）33()a a =-（C ）33()aa =- （D ）33a a=10、的值为则满足有理数ab b b a a b a ,,,>-=A 正数B 负数C 负数或零D 非负数 二、填空题（每小题4分，共32分）11.请将3，4，－6，10这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式（每个数有且只能用一次）_______________ ______ ； 12.=--<)(0m m m ，则若 (－3)2013×( －31)2014= ； 13.20162015201620152015)()1(9)51,n m xyb a n m y x b a --+⨯-+（是它本身，求的相反数本身，的绝对值与倒数均是它互为倒数，互为相反数，与若.14绝对值大于-2.1而小于4.3的整数有 ，其和为 ．. 15.设c b a ,,为有理数，则由ccb b a a ++ 构成的各种数值是 16.设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则 │b-a │+│a+c │+│c-b•│=____ _ ___；17.2(1)20a b -++=，那么a b += 18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为501(21);n n =-∑又如“333333333312345678910+++++++++”可表示为1031n n=∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； （2）计算：521(1)n n=-∑= （填写最后的计算结果）。
一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且a>0，若其对称轴方程为x=-2，且函数在x=1时的值为0，则下列哪个选项可能是该函数的解析式？A. y=x^2-4x+3B. y=x^2+4x+3C. y=x^2-4x-3D. y=x^2+4x-32. 在直角坐标系中，点A（-1，2），点B（2，-1），点C在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标是（）。
A. （1，0）B. （-1，0）C. （-2，0）D. （2，0）3. 若等比数列{an}的前三项分别为a，ar，ar^2，且a+ar+ar^2=12，a^2+ar^2=48，则该数列的公比r是（）。
A. 2B. 3C. 4D. 64. 已知函数y=2x-3，若函数y=kx+b与y=2x-3的图象在第二象限内有两个交点，则k和b的取值范围是（）。
A. k>0，b>0B. k>0，b<0C. k<0，b>0D. k<0，b<05. 在等边三角形ABC中，点D在BC边上，且AD=BD，若∠ADB=30°，则∠ABC的度数是（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知一元二次方程x^2-4x+3=0的两个根分别为m和n，则m+n=______，mn=______。
7. 在直角坐标系中，点P（2，3），点Q在y轴上，且PQ=5，则点Q的坐标是______。
8. 若等差数列{an}的前三项分别为3，5，7，则该数列的公差是______。
9. 函数y=3x^2-12x+9在x=______时取得最小值。
10. 在等腰三角形ABC中，若底边AB=8，腰AC=10，则顶角A的度数是______。
三、解答题（共55分）11. （10分）已知一元二次方程x^2-4x+3=0，求：（1）该方程的两个根；（2）若函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且该函数的图象与x轴有两个交点，这两个交点恰为上述方程的两个根，求a、b、c的值。
三角形、多边形拔高题一、填空题1、三角形三个内角的比为1：3：5，则最大的内角是_____度2、两根木棒的长分别为cm 3和cm 5，要选择第三根木棒，将它钉成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒的长是._____cm3、若一个多边形的每一个内角都等于0135，则这个多边形是____边形，它的内角和等于____.二、选择题1、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、三角形的内部或外部．D 、三角形的内部、外部或顶点 2、适合条件C B A ∠=∠=∠21的∆ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 3、直角三角形两锐角的角平分线相交所成的角的度数是（ ） A 、045 B 、0135 C 、045或0135 D 、不能确定三、解答题1、已知∆ABC 中，A ∠比2B ∠大040，B ∠比2C ∠少010，求各角的度数．2、如图，090⋅=∠+∠+∠+∠+∠+∠n F E D C B A ，求n ；3、如图，在六边形ABCDEF 中，AF//CD ，AB//DE ，且0080120=∠=∠B A ，，求C ∠ 和D ∠的度数4、已知∆ABC 的三边长分别为c b a ，，，且05|2|2=-++-+）（c b a c b 求b 的取值范围.二元一次方程组拔高题一、填空题1、已知24x y -=，则142______x y -+=.2、若3321m n m n mx ny -+-=是关于x 、y 的二元一次方程组，则______mn=. 3、消去方程组235342x ty t=-⎧⎨=+⎩中的t ，得___________.4、当m =_______时，方程组2448x my x y +=⎧⎨+=⎩的解是正整数.5、某学生在n 次考试中，其考试成绩满足条件：如果最后一次考试得97分，则平均为90分，如果最后一次考试得73分，则平均分为87分，则n =_______.6、某商品售价a 元，利润为成本的20%，若把利润提高到30%，售价应提高到_______元.二、选择题1、已知方程组2342x y ax by -=⎧⎨+=⎩与3564x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩有相同的解，则a 、b 的值为( )A ．21a b =-⎧⎨=⎩B ．12a b =⎧⎨=-⎩C ．12a b =⎧⎨=⎩D ．12a b =-⎧⎨=-⎩2、若方程组()213431kx k y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解x 和y 互为相反数，则k 的值为( )A ．2B ．-2C ．3D ．-33、如果关于x y 、的方程组24x y mx y m +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3+214x y =的一个解，那么m 的值( )A ．1B ．-1C ．2D ．-24、6年前，A 的年龄是B 的3倍，现在A 的年龄是B 的2倍，A 现在年龄是( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．30三、解答题(1)5341134x y x yx y x y +-⎧-=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩ (2)3221456x y x y x y ++-+==2、某车间有甲、乙两种硫酸的溶液，浓度分别为90%和70%，现将两种溶液混合配制成浓度为80%的硫酸溶液500千克，甲、乙两种溶液各需取多少克？B 校50%20%25%5% 其他水粉画书法剪纸A 校28%22%40%10%其他水粉画书法剪纸数据的收集、整理与描述拔高题1.根据下图提供的信息，甲的圆心角为1200，乙的圆心角为600，丙占30％，丁占20％。
七年级下册数学期末拔高试题1. 某家电商场经销A 、B 、C 三种品牌的彩电，5月份共获利48000元，已知A 种品牌的彩电每台可获利100元，B 种品牌的彩电每台可获利144元，C 种品牌的彩电每台可获利360元，请你根据相关信息补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图。
2. 5月12日我国四川汶川县发生里氏级大地震,地震给四川,甘肃,陕西等地造成巨大人员伤亡和财产损失.灾难发生后,某校师生和全国人民一道,迅速伸出支援的双手,为灾区人民捐款捐物.为了支援灾区学校灾后重建,该校决定象灾区捐助床架60个,课桌凳100套.现计划租甲、乙两种货车共8辆将这些物质运往灾区,已知一辆甲货车可装床架5个和课桌凳20套, 一辆乙货车可装床架10个和课桌凳10套.(1)学校如何安排甲、乙两种货车可一次性把这些物资运到灾区有几种方案(2)若甲种货车每辆要付运输费1200元,乙种货车要付运输费1000元,则学校应选择哪种方案,使运输费最少最少运费是多少3. 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元买了一支钢笔和3本笔记本；小亮用31元购买了同样的钢笔2支和笔记本5本.（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出来.4. 某市公园的门票价格如下表所示： 购票人数1～50人 51～100人 100人以上 票价 10元/人 8元/人5元/人 50多人而乙班不足50人，如果以班为单位购买门票，一共要付920元；如果两个班一起购买门票，一共要付515元.问甲、乙两班分别有多少人？5. 在平面直角坐标系中，设坐标的单位长度为1cm ，整数点P 从原点O 出发，速度为1cm/s ，且点P 只能向上或向右运动，请回答下列问题：P 从O 点出发时间可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒（0,1）、（1,0） 22秒3秒个；（3）当点P 从O 出发________________秒时，可得到整数点（10,5）6. 已知1∠的度数是它补角的3倍，2∠等于45o，那么AB CD ∥吗？为什么？ 7. 如图，AB ∥CD ，BN 、DN 分别平分∠ABM 、∠MDC ，试问∠BMD 与∠BND 之 间的数量关系如何？证明你的结论。
1、三角形的三个外角中，钝角最多有（ ）。
A ：1个 B: 2个 C:3 个 D ： 4 个2、直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角是（ )。
A ：120°B ： 135° C:150° D: 165°3、如图所示，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，并且CD 、BE 交于，点P,若∠A=500 ,则 ∠BPC 等于( ）A 、90°B 、130°C 、270°D 、315°4、一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是 ,它的内角和是5、如图所示，若∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE 等于( ) A 。
120° B。
115° C。
110° D。
105°6、已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ， 它的周长是_________㎝．7、等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个等腰三角形的三边长是_________________.8、若过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形有k 条对角线，求（m －k ）n 的值__________。
9、如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___10、下列正多边形中,与正三角形同时使用能进行镶嵌的是 ( )A.正十二边形 B 。
正十边形 C 。
正八边形 D.正五边形11、如图：小明从A 点出发前进10m ，向右转150，,再前进10m ，右转150……这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了____m 。
12、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（ ） A 、8 B 、9 C 、10 D 、1113、n 边形的每个外角都为24°，则边数n 为( )A 、13B 、14C 、15D 、16（第3题）F E D C B A14、在△ABC 中，若∠C ＝2(∠A ＋∠B ），则∠C ＝ 度。
1. 若a，b是实数，且a^2 + b^2 = 1，则（a+b）^2的最大值为（）A. 2B. 1C. 0D. 32. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则第10项an =（）A. 17B. 18C. 19D. 203. 已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图象经过点A（1，3）和B（2，5），则k 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 已知一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0，则它的两个根为（）A. 1，2B. 2，1C. 1，-2D. -2，16. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1，x2，则（x1 + x2）^2的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 107. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y = x的对称点为（）A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）8. 已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，若OA = 2，OB = 3，则k的值为（）A. 3/2B. 2/3C. 3D. 29. 在△ABC中，∠A = 90°，∠B = 30°，则BC的长度为（）A. √3B. 2C. 2√3D. 310. 已知一元二次方程x^2 - 2x - 3 = 0的解为x1，x2，则x1^2 + x2^2的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 811. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = ________。
12. 已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，若OA = 2，OB = 3，则k的值为 ________。
初一下学期数学拔高训练例题二元一次方程(组)【例1】已知方程组!赛+》尸八的解x, y满足方程5x-y=3，求k的值.如4尸丘+I[【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法(1)由已知方程组消去k,得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x,y的值，最后将x, y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.(2)把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值•(3)将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11 ,又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.2兀+3尸匕①3%-4y=k+l I.②5x^=3.③解法一：②得盂-7尸11*④③得M4y=-》2f解得尸-孝杷尸-等代入③，得弘十等=3, 解得絆存把•二：一■ = J代入①，得：厂_厂」:」,解得k=-4.解法二：① X 3—② X2,得17y=k-22 ,解得杷尸特代人①「得2沪3込骨)2 , 昨牛斗铲-杷和r=nr~代入③・得氐哼-_罟_ ◎解得z解法三：①+②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】 解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到, 考巧妙解法的时间， 可能这道题我们已经用一般解法解了一半了， 当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了 •【例2】 某种商品价格为每件3 3元，某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币 各若干张，买了一件这种商品•若无需找零钱，则付款方式有哪几种 （指付出2元和5元钱 的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】 本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解 •我们先找出问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式 •然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解•最后，比较各个解对应的 x+y 的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少• 解： 设付出2元钱的张数为 x ，付出5元钱的张数为 y ，则x,y 的取值均为自然数•依 题意可得方程：2x+5y=33.因为5y 个位上的数只可能是0或5,所以2x 个位上数应为3或8胱好尸斗尸①【例3】解方程组|N 订尸& ②【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组 •解含字母系数的方程组同解含字母系数的 方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时， 也需要弄清字母的取值是否为零。
解：由①，得y=4 — mx,③把③代入②，得2x+5 （4— mx =8,解得 （2— 5m ） x=-12，当 2 — 5m ^ 0,2有思又因为2 x 是偶数，所以2x 个位上的数是8,从而此方程的解为:出的张数最少•° 得 x+y=12;由x -i4,'得x+y=15.所以第一种付款方式付答： 付款方式有3种，分别是： 付出4张2元钱和5张5元钱；付出9张2元钱和3张5元钱；付出14张2元钱和1张5元钱其中第一种付款方式付出的张数最少即〕时，方程无解，则原方程组无解•【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同， 但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况.叩+b|尸C[,中，a i 、b i 、c i 、a 2、b 2、Q 均为已知数，且 a i 与b i 、a 2与b 2都至少有一个不等于零，则 口1 J b |①’..时，原方程组有惟一解;_ Ci b I c I②「百 二时，原方程组有无穷多组解;【例4】某中学新建了一栋 4层的教学大楼，每层楼有 8间教室，这栋大楼共有 4道门, 其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同•安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时， 2分钟内可以通过 560名学生；当同时开启一道正门和一道侧 门时，4分钟可以通过800名学生.（1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2） 检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%.安全检查规定，在 紧急情况下全大楼的学生应在 5分钟内通过这4道门安全撤离•假设这栋教学大楼每间教室 最多有45名学生，问：建造的这 4道门是否符合安全规定？请说明理由 .【思考与解】（i ）设平均每分钟一道正门可通过 x 名学生，一道侧门可以通过 y 名学生• 根据题意，得原方程组的解对于x 、y 的方烬380.当2-5详0,即k'时，方程解为故当时,所以平均每分钟一道正门可以通过学生i20人，一道侧门可以通过学生80人.（2）这栋楼最多有学生4X 8X 45=i440 （人）.拥挤时5分钟4道门能通过5X 2X( 120+80)X( 1-20%) =1600 (人)因为1600>1440，所以建造的4道门符合安全规定.答：平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定•不等式（组）【例1】：解不等式隸-一奈-G解：利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以4,第二项分子、分母同乘以2）,得8x+4-2 （x- 2）< 2,去括号，得8x+4-2x+4W2,移项，合并同类项，得6x w -6两边同时除以6得x< -1.【例2】设a、b是不相等的任意正数，又x= ，则x、y这两个数一定a b是（）A. 都不大于2 B .都不小于2C . 至少有一个大于2D . 至少有一个小于22【思考与分析】不妨取a = 1, b= 3，得x = 10, y=—从而排除A、B,再取a= 3, b= 4,得1 ' r_ ，从而排除D,故选C.答案：c.【反思】用特殊值法解选择题时，如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果，则应另选特殊值再验，直至选出答案.比较两个数或两个代数式的大小，可以运用求差法：如果a- b>0，则a>b;如果a—b<0，则a<b.运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）判断差的符号；（3）确定大小.【例4】设x>y，试比较代数式-（8-10x ）与—（8-10y ）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y ,来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小解：由两式作差得-（8-10x ）—[—（8-10y ） = -8+10x+8-10y = 10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x ）>—（8-10y ）.生又由题意得-(8-10x ) >0，即x>‘，所以x最小的正整数值为 1.巧去括号【例6】L '4 3 4 -5 3【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运算简便•I 7解：去中括号，得4 ■- 「去分母，得3x+60 v 28+8x，移项，合并同类项，得-5x V -32 ,化系数为I •得"寻【例刃解不等式：2[ 〉畝3 3 5 4【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便•巧用“整体思想”【例7】解不等式：2x-l43(2x-l)+3]<|-.【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项：2x-1 ,我们把2x—1视为整体，再去中括号和分母，则可使运算简捷.解：3 (2x-1 ) -9 (2x-1 ) -9 v 5.合并同类项得-6X( 2x-1 ) V 14.2解得1 ' —反思：我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运算简便•【例1】满足斗--〜一的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于 ______________【思考与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式•解：原不等式去分母，得 3 (2 + x)> 2 ( 2x —1),去括号，移项，合并同类项，得—x>- 8，即X W8.满足x<8且绝对值不超过11的整数有0, 土 1 ,± 2,± 3,± 4,± 5,± 6,± 7,± 8,—9，—10，—11.这些整数的和为(一9) + (—10) + (—11)=—30.3 （x +4 ）= 2a + 5的解大于关于x的方程【例2】如果关于x的一元一次方程的解，那么（）4 3【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题，利用了转化的数学思想•由于第一个方程的解大于第二个方程的解，只要先分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案解：关于x的方程3 （x+ 4）= 2a+ 5的解为二二一关于x的方程的解为亠丄:4 3 J由题意得■，解得、；；一.因此选D.- J I □【例3】如果_」，2+02，那么（）.A. a-c>a+cB. c-a>c+aC. ac>-acD. 3a>2a【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.解：由.「■'-所以a<0.由2+c>2,得c>0,则有一c<c.两边都加上a,得a-c<a+c，排除A;由a<0, c>0,得ac<0,—ac>0,从而ac<-ac，排除C;由a<0,两边都加上2a,得3a<2a，排除D.答案应该选B,事实上，由a<0,得—a>0,从而—a>a，两边同时加上c,可得c —a>c+ a.【例4】四个连续整数的和为S, S满足不等式.「「；「.：，这四个数中最大数与最小数的平方差等______________ 。
【思考与分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出•解：设四个连续整数为m-1, m, m+1 m+2它们的和为S= 4m+ 2.由IJ • I"二r4r；L <19,解得7<m<9.由于m为整数，所以m= 8，则四个连续整数为7, 8, 9, 10,因此最大数与最小数的平方的差为102- 72= 51.从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离•但除零以外，绝对值都是表示两个数的绝对值，即一个数与它相反数的绝对值是一样的•由于这个性质，含有绝对等式的求解过程出现了一些新特点。
