人教版九年级数学上册《圆锥、圆锥的侧面积和全面积》题组训练(含答案解析)

第3课时圆锥的侧面积与全面积
1．已知圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，则圆锥的侧面积是(C) A．20 cm2B．20 πcm2
C．18 πcm2D．18 cm2
【解析】圆锥的侧面积为πrl＝π×2×5＝10 π(cm2)．
2．小刚用一张半径为24 cm的扇形纸板做一个圆锥形小丑帽子侧面(接缝面积忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是(B) A．120πcm2B．240πcm2
C．260πcm2D．480πcm2
3．[2014·温州一模]已知圆锥的母线是3 cm，底面半径是1 cm，则圆锥的表面积是__4π__cm2.
4．已知圆锥的底面半径为40 cm，母线长为90 cm，则它的侧面展开图的圆心角为__160__度．
【解析】底面圆的周长为2π×40＝80π(cm)，
即侧面展开图的弧长为80πcm.
设侧面展开图的圆心角为n°，
∴80π＝nπ×90
180
，得n＝160.
5．如图3－4－27所示，圆锥底面圆的直径为6 cm，高为4 cm，则它的全面积为__24π__cm2.
图3－4－27
【解析】由条件知AO＝4 cm，BC＝6 cm，∴BO＝3 cm. Rt△AOB中，AB＝AO2＋BO2＝5(cm)，
运用圆锥的全面积公式得
S全＝π×3×5＋π×32＝24π(cm2)．。

第2课时圆锥的侧面积和全面积;知识点圆锥的侧面积以及全面积;1．若设圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，那么圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长是________，圆锥的侧面积S侧＝________，圆锥的全面积S全＝________．2．2016·宁波如图24－4－11，圆锥的底面圆半径r为6 cm，高h为8 cm，则圆锥的侧面积为();图24－4－11A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm23．已知圆锥底面圆的半径为3，母线长为5，则它的全面积为;()A．9πB．15πC．24πD．39π4．2016·贺州已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为()A．2 B．4 C．6 D．85．2017·宿迁若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm6．有一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝处忽略不计)，若圆锥的底面圆的直径是80 cm，则这块扇形铁皮的半径是()A．24 cm B．48 cmC．96 cm D．192 cm7．2017·泰安工人师傅用一张半径为24 cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为________．8．2017·自贡圆锥的底面圆周长为6πcm，高为4 cm，则该圆锥的全面积是________，侧面展开扇形的圆心角是________．9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.10．如图24－4－12，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h的长．图24－4－1211．如果圆锥的底面圆的周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．12．2017·齐齐哈尔一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是()A．120°B．180°C．240°D．300°13．如图24－4－13所示，圆锥的底面圆半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是()图24－4－13A．8B．10 2C．15 2 D．20 214．2016·十堰如图24－4－14，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪下一个最大的扇形OCD，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为()图24－4－14A．10 cm B．15 cmC．10 3cm D．20 2cm15．如图24－4－15，将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为()图24－4－15A．2 2cm B.2cmC.10cmD.32cm16．如图24－4－16，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高是()图24－4－16A．4 2m B．5 mC.30m D．2 15m17．2017·南充如图24－4－17，在Rt△ABC中，AC＝5 cm，BC＝12 cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为()图24－4－17A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm218．2017·苏州如图24－4－18，AB是⊙Ο的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形AOC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________．图24－4－1819．如图24－4－19，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2，若把Rt△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)图24－4－1920．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2.(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面(轴截面是指以底面圆的直径为底，圆锥的高为高的三角形)的面积为多少？21．如图24－4－20所示，一个圆锥的高为3 3cm，侧面展开图是半圆．求：(1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比；(2)∠BAC的度数；(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．图24－4－20教师详解详析1．4π 8π 12π2．C [解析] 因为圆锥的母线长为62＋82＝10(cm)，圆锥的底面圆周长为2×π×6＝12π(cm)，所以圆锥的侧面积为12×10×12π＝60π(cm 2)．3．C [解析] 圆锥底面圆的周长是2×3π＝6π，所以侧面积是12×6π×5＝15π.又因为圆锥底面积是π×32＝9π，所以它的全面积是15π＋9π＝24π.故选C.4．D [解析] 设圆锥的底面圆半径为r .已知圆锥的侧面展开图的半径为12， 又∵它的侧面展开图的圆心角是120°，∴弧长＝120π×12180＝8π，即圆锥底面圆的周长是8π，∴8π＝2πr ，解得r ＝4，∴底面圆的直径为8.5．D [解析] 根据圆锥底面圆周长＝扇形弧长，得12π＝2πr ，所以r ＝6(cm)．6．B [解析]∵用扇形铁皮围成圆锥后，扇形的弧长与圆锥的底面圆的周长相等，∴弧长l ＝80π.又l ＝πr 180·300，∴r ＝180l 300π＝180×80π300π＝48(cm)．故选B.7．2 119cm [解析] 由题意可得圆锥的母线长为24 cm ，设圆锥的底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝150π×24180，解得r ＝10，所以圆锥的高为242－102＝2 119(cm)．8．24π cm 2 216° [解析]∵圆锥的底面圆周长为6π cm ，∴底面圆半径为r ＝6π÷2π＝3(cm)，根据勾股定理，得圆锥的母线R ＝r 2＋h 2＝32＋42＝5(cm)，侧面展开扇形的弧长l ＝2πr ＝6π cm ，∴侧面展开扇形的面积S 侧＝12lR ＝12×6π×5＝15π(cm 2)，圆锥底面积S ＝πr 2＝9π(cm 2)，∴该圆锥的全面积S 全＝15π＋9π＝24π(cm 2)；设侧面展开扇形的圆心角为n °，则n πR 180＝l ，即n π×5180＝6π，解得n ＝216，∴侧面展开扇形的圆心角为216°.9．180 [解析] 设母线长为R ，底面圆半径为r ，则底面圆周长＝2πr ，底面积＝πr 2，侧面积＝12·2πr ·R ＝πrR .∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr 2＝πrR ，∴R ＝2r .设侧面展开图的圆心角为n °，则n πR180＝2πr ＝πR ，∴n ＝180. 10．解：由题意，得2πr ＝120π·l180，而r ＝2 cm ，∴l ＝6 cm ， ∴由勾股定理，得h ＝l 2－r 2＝62－22＝4 2(cm)， 即该圆锥的高h 的长为4 2cm.11．[全品导学号：82642186]解：设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝20π，120πl 180＝20π，解得r ＝10，l ＝30.∴该圆锥的侧面积为12×20π·30＝300π，圆锥的全面积为300π＋π·102＝400π.12．A [解析] 设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n °，底面圆半径为r ，由题意得3πr 2＝πrl ，∴l ＝3r .又∵3πr 2＝n 360πl 2＝n360π(3r )2，∴n ＝120.故圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是120°.13D [解析] 圆锥的侧面展开扇形的弧长为2π×5＝10π.设扇形的圆心角为n °，根据弧长公式得10π＝n π·20180，解得n ＝90.所以蜘蛛从点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程为202＋202＝20 2.故选D.14．D [解析] 过点O 作OE ⊥AB 于点E .∵OA ＝OB ＝60 cm ，∠AOB ＝120°， ∴∠A ＝∠B ＝30°，∴OE ＝12OA ＝30 cm ，∴CD ︵的长＝120×π×30180＝20π.设圆锥的底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝20π，解得r ＝10， ∴圆锥的高＝302－102＝20 2(cm)．15．A [解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为D ，交⊙O 于点C .由折叠的性质可知，OD ＝12OC ＝12OA ＝32cm ，由此可得，在Rt △AOD 中，∠OAD ＝30°.同理可得∠OBD ＝30°.在△AOB 中，由三角形内角和定理，得∠AOB ＝180°－∠OAD －∠OBD ＝120°，∴AB ︵的长为120π×3180＝2π(cm)．设围成的圆锥的底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝2π，∴r ＝1，∴圆锥的高为32－12＝2 2(cm)．故选A.16．C [解析] 依题意，线段BC 是圆的直径．利用勾股定理可得AB ＝4 2m ， ∴lBC ︵＝90π·AB 180＝2 2π(m)，∴圆锥的底面圆的半径＝2 2π÷2π＝2(m)．又圆锥的母线长为42m ，∴圆锥的高为（4 2）2－（2）2＝30(m)．故选C.17．B [解析] 由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝122＋52＝13(cm)．由题意知得到的这个几何体是圆锥，圆锥的底面圆半径AC ＝5 cm ，母线AB ＝13 cm ，所以圆锥的侧面积＝πAC ·AB ＝π×5×13＝65π(cm 2)．故选B.18.12 [解析] 根据“圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长”求解．∵∠BOC ＝2∠AOC ，∠BOC ＋∠AOC ＝180°，∴∠AOC ＝60°，∴OA ＝3.设围成的圆锥的底面圆的半径是r ，则60π×3180＝2πr ，解得r ＝12.19．8 2π [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，利用勾股定理可得AB ＝2AC ＝4，CD ＝2.以CD 为半径的圆的周长是4π，故绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×2 2＝8 2π.20．[解析] (1)由S 扇形＝n πR 2360求出R ，再代入l ＝n πR180求弧长．(2)若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求得底面圆的半径，其轴截面是一个以底面直径为底，圆锥母线为腰的等腰三角形．解：(1)设扇形的半径为R cm. 由题意，得300π＝120πR 2360，解得R ＝30，∴弧长l ＝120×π×30180＝20π(cm)．因此，扇形的弧长为20π cm. (2)如图所示．∵20π＝2πr ，∴r ＝10. 又∵R ＝30，∴AD ＝900－100＝20 2(cm)，∴S 轴截面＝12BC ·AD ＝12×20×202＝200 2(cm 2)．因此，这个圆锥的轴截面的面积为200 2cm 2.21．解：(1)设此圆锥的底面圆的半径为r cm ，母线长AC ＝l cm.∵2πr ＝πl ，∴lr ＝2.即圆锥的母线长与底面圆的半径之比为2∶1. (2)∵lr＝2，∴圆锥的高与母线的夹角为30°，则∠BAC ＝60°. (3)由图可知l 2＝OA 2＋r 2，OA ＝3 3cm ， ∴(2r )2＝(3 3)2＋r 2，即4r 2＝27＋r 2， 解得r ＝3.∴l ＝2r ＝6.∴圆锥的侧面积为πl 22＝18π cm 2.。

24.4.2 圆锥的侧面积和全面积5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm ，高为________ cm ，侧面积为________ cm2.思路解析：圆的面积为S=πr 2，所以r=ππ25=5(cm)；圆锥的高为22513-=12(cm)；侧面积为21×10π·13=65π(cm 2). 答案：5 12 65π2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm 2，锥角为_________，高为________ cm.思路解析：S 侧面积=21×10π×10=50π(cm 2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高. 答案：50π 60° 533.已知Rt △ABC 的两直角边AC=5 cm ，BC=12 cm ，则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________ cm 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ cm ，面积为___________ cm 2.思路解析：以BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，母线长为13 cm.利用公式计算.答案：65π 10π 65π4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.图24-4-2-1思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积.答案：16π10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长为3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )A.6 m 2B.6π m 2C.12 m 2D.12π m 2 思路解析：侧面积=21底面直径·π·母线长=21×4×π×3=6π(m 2). 答案：B2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为( )A.aB. 33a C.3a D.23a思路解析：展开图的弧长是a π，故底面半径是2a ，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形. 答案：D3.(江苏连云港模拟)用一张半径为9 cm 、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.思路解析：扇形的弧长为1809120⨯⨯π =6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为ππ26=3(cm). 答案：34.(河北模拟)如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留根式).图24-4-2-2思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是ππ818022⨯⨯⨯ =90°，连结AB ，则△AOB 是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB=2288+=82.答案：825.一个圆锥的高为33 cm ，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.解：如图，AO 为圆锥的高，经过AO 的截面是等腰△ABC ，则AB 为圆锥母线l ，BO 为底面半径r.(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl ，则r l =2. (2)因rl =2，则有AB=2OB ，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为60°.(3)因圆锥的母线l ，高h 和底面半径r 构成直角三角形，所以l 2=h 2＋r 2；又l=2r ，h=33 cm ，则r=3 cm ，l=6 cm.所以S 表=S 侧＋S 底=πrl ＋πr 2=3·6π＋32π=27π(cm 2).快乐时光在一节快速行驶的地铁车厢里,某人客气地对身旁的一位女士说:“车厢真黑,请允许我为你找扶手吊带吧!”不料那位女士冷冰冰地说:“我已经有扶手吊带了.”“那么请放开我的领带吧!”这个人气喘吁吁地说.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.(江苏南通模拟)已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm ，则它的侧面积为_________ cm 2(结果保留π).思路解析：S 圆锥侧=21×2×π×21×4×4=8π. 答案：8π2.(四川内江课改区模拟)如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m 的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ m.(结果不取近似数)图24-4-2-3思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图).则扇形的圆心角为66180⨯⨯⨯ππ=180°,因为P 在AC 的中点上， 所以∠PAB=90°.在Rt △PAB 中，PA=3，AB=6，则PB=2236+=35.答案：353.若圆锥的底面直径为6 cm ，母线长为5 cm ，则它的侧面积为___________.(结果保留π) 思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则r=3 cm ，l=5 cm ，∴S 侧=πr ·l=π×3×5=15π(cm 2). 答案：15π cm 24.在Rt △ABC 中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2.那么S 1∶S 2等于( )A.2∶3B.3∶4C.4∶9D.5∶12思路解析：根据题意分别计算出S 1和S 2即得答案.在求S 1和S 2时，应分清圆锥侧面展开图(扇形)的半径是斜边BC ，弧长是以AB(或AC)为半径的圆的周长.∵∠A=90°，AC=8，AB=6，∴BC=22AB AC +=2268+=10.当以AC 为轴时，AB 为底面半径，S 1=S 侧＋S 底=πAB ·BC ＋πAB 2=π×6×10＋π×36=96π.当以AB 为轴时，AC 为底面半径，S 2=S 侧＋S 底=80π＋π×82=144π.∴S 1∶S 2=96π∶144π=2∶3，故选A.答案:A5.(山东临沂模拟)如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm 2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).图24-4-2-4思路解析：由题意知：S 侧面积=21×30π×20=300π(cm 2). 答案：300π6.(2010四川金堂又新中学模拟模拟)制作一个底面直径为30 cm 、高为40 cm 的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )A.1 425π cm 2B.1 650π cm 2C.2 100π cm 2D.2 625π cm 2 思路解析:由题意知S 铁皮=底面积+侧面积=π×152+40×2π×15=15×95π=1 425π. 答案:A7.在半径为27 m 的广场中央，点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m ；2=1.414，3=1.732，5=2.236，以上数据供参考)图24-4-2-5思路分析：利用勾股定理和30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题.解：在△SAB 中，SA=SB ，∠ASB=120°.∵SO ⊥AB ，∴O 为AB 的中点，且∠ASO=∠BSO=60°，∠SAO=30°.在Rt △ASO 中，OA=27 m ，设SO=x ，则AS=2x ，∴272+x 2=(2x)2.∴x=93≈15.6(m). 答：光源离地面的垂直高度SO 为15.6 m.8.如图24-4-2-6，在小学，我们曾用试验归纳出圆锥的体积等于三分之一底面积乘以高.现在我们的试验是，取一个半径为R 的半球面，再取一个半径和高都是R 的圆锥容器.两次将圆锥容器装满细沙，并倒入半球内，发现半球恰好被装满.试根据这一试验猜想半径为R 的球的体积公式.图24-4-2-6思路分析：数学试验是获得一些结论的重要途径，同时在获取知识培养能力、增强毅力等方面有很大益处.解：V 球=34πR 3，试验结果表明：2V 圆锥=V 半球，即V 半球=32πR 3，∴V 球=34πR 3.试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理，目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便！附：如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶．伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸．”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝．良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯．一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地．课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作．1．会笔记 上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理．做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼．要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆．另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高．2．会比较 在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分．如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的．3．会质疑 “学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问．积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维．学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍．4．会分析一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的．如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记．再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系．只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法．要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维．5．会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性．我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见．在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力．二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等．1．复习及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容．首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记．在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理．同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识．2．作业会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业．一定要独立完成，决不能依赖别人．书写一定要整洁，逻辑一定要条理．对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1．认真总结测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识．2．认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功．良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒．。

圆锥的侧面积和全面积1．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（•）A．32cm B．3cm C．4cm D．6cm2．（阅读理解题）下面的解答对吗？若错误，请改正．题目：已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°，底面积为15cm2，则圆锥的侧面积为多少？解：∵底面15cm2，∴πr2=15，即r2=15π．∵扇形的圆心角为180°，∴圆锥侧面积为2180360rπ=7.5cm2．3．如果圆锥的母线长为6cm，底面直径为6cm，•那么这个圆锥的全面积为______cm2．4．（过程探究题）补充解题过程：牧民居住的蒙古包的形状一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图1所示，请你算出要搭建这样一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（π取3.14，•结果保留一位小数）解：圆锥的底面半径为r=_______，高为1.2m，则据勾股定理可求圆锥的母线a=•_______=______．圆锥的侧面积：S扇形=πar=______=______．圆柱的底面周长为________．圆柱的侧面积是一个长方形的面积，则S长方形=_______．搭建一个这样的蒙古包至少需要_______平方米的篷布．图1 图2 图35．一个扇形如图2所示，半径为10cm，圆心角为270°，•用它做成一个圆锥的侧面，那么圆锥的高为______cm．6．圆锥的母线长为5cm，高为3cm，在它的侧面展开图中，•扇形的圆心角是________．7．如图3所示，用一个半径为R，圆心角为90°的扇形做成一个圆锥的侧面，设圆锥底面半径为r，则R：r=________．8．劳技课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆半径为10cm，•母线长50cm，则制成一顶这样的纸帽所需纸面积至少为（）A．250πcm2B．500πcm2C．750πcm2D．100πcm29．从一个直径为1的圆形铁皮上剪出一个圆心角为120°的扇形ABC，用所剪的扇形铁皮围成一个圆锥，此圆锥的底面圆半径为（）A．23B．13C．16D．4310．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（•）A．32cm B．3cm C．4cm D．6cm11．（阅读理解题）下面的解答对吗？若错误，请改正．题目：已知圆锥的侧面展开图的圆心角为180°，底面积为15cm2，则圆锥的侧面积为多少？解：∵底面15cm2，∴πr2=15，即r2=15π．∵扇形的圆心角为180°，∴圆锥侧面积为2180360rπ=7.5cm2．12．如果圆锥的母线长为6cm，底面直径为6cm，•那么这个圆锥的全面积为______cm2．13．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．（1）求扇形的弧长．（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的全面积是多少？14．在如图所示，一个机器零件（尺寸单位：mm）表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积．15．（教材变式题）如图所示是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用表示）p答案:回顾探索扇形，L，2πr，πrL，πr（L+r）课堂测控1．B2．错正解：设圆锥的底面半径为r，扇形的半径为a，则πr2=15，∴2πr=218015180,22,180360aa a r Sπππ⨯∴==∴==2．3．27π4．52m，，2.77，2.77×3.14×2.5，21.74，15.7，28.26，50.0课后测控1．522．288°3．4：1 4．B 5．C6．解：（1）212012030300,30.360180RR lπππ=∴=∴==20πcm．（2）2πr=L，r=10，∴S底=πr2=100π，∴S全=S侧+S底=400π．7．解：S表面积=S圆柱侧+S圆锥侧+S圆柱底=2πrh+πrL+πr2=8000π+2000π+1600π=11600π≈3.64×104（mm2）．8．解：由题意可知：AB=6π，CD=4π，设∠AOB=n°，AO=R，则CO=R-8，由弧长公式得：(8)6,180180n R n Rπππ-==4π．解方程组618045 4180824nR nnR n R cm ⨯==⎧⎧⎨⎨⨯=-=⎩⎩得．故扇形OAB的圆心角是45°，OC=R-8=16（cm），所以S扇形OCD=12×4π×16=•32π（cm2），S扇形OAB=12×6π×24=72π（cm2），S纸杯侧面积=S扇形OAB-S扇形OCD=40π（cm2），S纸杯底面积=π·22=4π（cm2），S纸杯表面积=40π+4π=44π（cm2）．。

2 2 第 2 课时 圆锥的侧面积和全面积1. 已知一个圆锥的底面直径是 6 cm,母线长是 8 cm,则它的全面积为( )A .24π cm 2B .33 cm 2C .24 cm 2D .33π cm 22. 如图,圆锥的底面半径为 r cm,母线长为 10 cm,其侧面展开图是圆心角为 216°的扇形,则 r 的值是()A .3 B.6 C.3π D.6π3. 已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,母线长为 2,则该圆锥的底面半径是()A .1B .1C . 2D .34. 右面是一个圆锥的轴截面,则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为.5. 已知圆锥的底面周长为 6π cm,高为 4 cm,则该圆锥的全面积是 cm 2;侧面展开扇形的圆心角是 .6. 工人师傅用一张半径为 24 cm,圆心角为 150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 .7. 一个圆锥的高为 3,侧面展开图是半圆,求:(1)圆锥的母线与底面半径之比;(2)圆锥的全面积.8.如图,有一个直径是1 m 的圆形铁皮,要从中剪出一个半径为1 m 且圆心角是120°的扇形ABC,求:2(1)被剪掉后剩余阴影部分的面积.(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥底面圆的半径是多少米?9.已知圆锥的底面半径为4 cm,高为5 cm,则它的表面积为( )A.12π cm2B.26π cm2C. 41π cm2D.(4 41+16)π cm210.已知点O 为一圆锥的顶点,点M 为该圆锥底面上一点,点P 在母线OM 上,一只蚂蚁从点P 出发,绕圆锥侧面爬行,回到点P 时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿母线OM 将圆锥侧面剪开并展开, 则所得侧面展开图是( )11.如图,圆锥的底面半径为5,母线长为20,一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是.12.如图,这是一个由圆柱形材料加工而成的零件,它是以圆柱的上底面为底面,在其内部“掏取”一个与圆柱等高的圆锥而得到的,其底面直径AB=12 cm,高BC=8 cm,求这个零件的全面积.(结果保留根号)★13.如图①,在正方形的铁皮上剪下一个圆形和一个扇形,使之恰好围成如图②的一个圆锥,设图① 中圆的半径为r,扇形的半径为R,那么扇形的半径R 与☉O 的半径r 之间满足怎样的关系?并说明理由.★14.如图,一个纸杯的母线延长后相交于一点,形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图是扇形OAB,经测量,纸杯上开口圆的直径是6 cm,下底圆直径为4 cm,母线长EF=8 cm.求扇形OAB 的圆心角及这个纸杯的全面积.(面积计算结果用π表示)2 2 180 180参考答案夯基达标1.D2.B 圆锥的侧面展开图是扇形,它的弧长=216π×10=12π,弧长又等于底面圆的周长,于是 12π=2π×r ,可180 得 r=6.故选 B .3.B 设圆锥的底面半径为 r ,则圆锥的侧面积为1·2πr ·2=2πr ,底面面积为πr 2,根据题意得 2πr=2πr 2,解得 r=1,即圆锥的底面半径是 1.故选 B .4.90° ∵2π×3=�π×12,∴n=90.180 5.24π 216° 设圆锥的底面半径为 r cm,母线长为 R cm,侧面展开扇形的圆心角为 n °.∵圆锥的底面周长为 2πr=6π,∴r=3.∵圆锥的高为 4 cm,∴R= 32 + 42=5.∴圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×32+1×6π×5=24π(cm 2).∵侧面展开扇形的弧长 l=底面周长=6π=�π�,∴n=180×6π=216.π×5 即侧面展开扇形的圆心角是 216°.6.2 119 cm 由题意可得圆锥的母线长为 24 cm,设圆锥底面圆的半径为 r cm,则 2πr=150π×24,2 解得 r=10.故这个圆锥的高为 242-102=2 119(cm).7. 解 如图,设圆锥的轴截面为△ABC ,过点 A 作 AO ⊥BC 于点 O ,设母线长 AB=l ,底面☉O 的半径为 r ,高AO=h.(1) ∵圆锥的侧面展开图是半圆,∴2πr=1×2πl=πl ,�=2.2 �(2) 在 Rt △ABO 中,∵l 2=r 2+h 2,l=2r ,h=3,∴(2r )2=32+r 2.由 r 为正数,解得 r= 3,l=2r=2 3.故 S 全=S 侧+S 底=πrl+πr 2=π× 3×2 3+π×( 3)2=9π.8. 解 (1)设 O 为圆心,连接 OA ,OB ,OC.∵OA=OC=OB ,AB=AC ,∴△ABO ≌△ACO (SSS).又∠BAC=120°,∴∠BAO=∠CAO=60°.∴△ABO 是等边三角形.∴AB=1m .1 2 41 2 12 2 2 2 2 120π× 1 2 ∴� = 2 = π (m 2). 扇形A � 360 122 ∴S =π − π = π(m 2). 阴影 12 6120π×1 π (2)在扇形 ABC 中,�ˆ�的长为 2 = 1803(m). 设底面圆的半径为 r m,则 2πr=π.∴r=1(m).3 6培优促能9.D 底面半径为 4 cm,则底面周长为 8π cm,底面面积为 16π cm 2.由勾股定理得母线长为 cm,圆锥的侧面积为1×8π× 41=4 41π(cm 2),所以它的表面积为 16π+4 41π=(4 41+16)π cm 2.故选 D .10.D11. 20 将圆锥的侧面展开成扇形,连接 AA',则蜘蛛爬行的最短路程就是线段 AA'的长度.由题意知,OA=OA'=20,�ˆ�'=2π×5=10π,设∠AOA'=n °,根据弧长公式可求 n=10π×180=90.20π 所以在 Rt △AOA'中,AA'= ��2 + ��'2=20 2.12. 解 这个零件的底面积为2 π× =36π(cm 2),这个零件的外侧面积为12π×8=96π(cm 2),圆锥母线长OC= 82 + 122 =10(cm),这个零件的内侧面积为1×12π×10=60π(cm 2),2 2 2 所以这个零件的全面积为 36π+96π+60π=192π(cm 2).13. 分析 因为题图①中的圆形和扇形刚好围成题图②中的圆锥,所以题图①中的扇形的弧长等于☉O 的周长.解 扇形的半径 R 等于☉O 的半径 r 的 4 倍.理由如下:因为�ˆ�=2πR×1 = 1πR ,☉O 的周长为 2πr ,42且题图①中的扇形和☉O 能围成题图②的圆锥,所以1πR=2πr ,即 R=4r.创新应用14. 分析 展开图扇形的圆心角可利用圆锥底面周长等于展开图扇形的弧长来计算;纸杯的侧面积利用母线延长后的大圆锥的侧面积与小圆锥的侧面积的差来表示.解 由题意,知�ˆ�=6π cm,�ˆ�=4π cm .设∠AOB=n °,AO=R cm,则 CO=(R-8)cm, 根据弧长公式,�π� �π(�-8) 得 180=6π, 180 =4π.解得 n=45,R=24.所以扇形圆心角的度数为 45°.由 R=24,得 R-8=16.所以 S OCD =1×4π×16=32π(cm 2),S 扇形 OAB =1×6π×24=72π(cm 2).所以 S 纸杯侧=S 扇形 OAB -S 扇形 OCD =72π-32π=40π(cm 2). 又因为 S纸杯底=π 2 =4π(cm 2),4 2 扇形所以S=40π+4π=44π(cm2).纸杯全。

初中数学试卷马鸣风萧萧24.4.2 圆锥的侧面积和全面积一、选择题（共18小题）1．已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm2．一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是（）A．81πB．27πC．54πD．18π3．用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（）A．l=2r B．l=3r C．l=r D．5．如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（）A．1500πcm2B．300πcm2C．600πcm2D．150πcm26．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．2π7．用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．B．C．D．8．一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm210．底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．36π11．已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．30°B．60°C．90°D．180°12．如图，圆锥的侧面积为15π，底面积半径为3，则该圆锥的高AO为（）A．3 B．4 C．5 D．1513．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．πcm2 B．2πcm2C．6πcm2D．3πcm214．如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（）cm2．A．4πB．8πC．12πD．（4+4）π15．用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．B．1 C．D．216．一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．20πcm2D．30πcm217．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为（）A．3πB．3 C．6πD．618．如图，圆锥模具的母线长为10cm，底面半径为5cm，则这个圆锥模具的侧面积是（）A．10πcm2B．50πcm2C．100πcm2D．150πcm2二、填空题（共12小题）19．若圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为______cm2（结果保留π）20．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为______cm．21．如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是______．22．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是______cm2．（结果保留π）23．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为______．24．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为______．（结果保留π）25．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是______（结果保留π）．26．如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为______度．27．圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为______度．28．如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为______米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______米．29．已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为90cm，则圆锥的表面积是______cm2．（结果保留π）30．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是______，它的侧面积是______（结果不取近似值）．24.4.2 圆锥的侧面积和全面积答案一、选择题（共18小题）1．B；2．C；3．B；4．A；5．B；6．B；7．D；8．D；9．B；10．C；11．D；12．B；13．A；14．C；15．B；16．B；17．B；18．B；二、填空题（共12小题）19．15π；20．6；21．R=4r；22．60π；23．300π；24．24π；25．20π；26．120；27．120；28．1；；29．1000π；30．圆锥；2π；。

初三圆锥的练习题带答案1. 计算一个圆锥的表面积和体积，已知其底面半径为5cm，高为8cm。

解答：首先计算圆锥的侧面积。

由圆锥的母线和半径组成的三角形是等腰三角形，所以可以使用勾股定理计算斜高，然后计算出侧面积。

斜高= √(8^2 + 5^2) = √(64 + 25) = √89 ≈ 9.43侧面积= π * r * l = 3.14 * 5 * 9.43 ≈ 148.41（单位：cm²）接下来计算底面积和总面积。

底面积= π * r^2 = 3.14 * 5^2 = 3.14 * 25 = 78.5（单位：cm²）总面积 = 底面积 + 侧面积 = 78.5 + 148.41 = 226.91（单位：cm²）最后计算圆锥的体积。

体积 = (底面积 * 高) / 3 = (78.5 * 8) / 3 = 208.67（单位：cm³）所以该圆锥的表面积为226.91cm²，体积为208.67cm³。

2. 已知一个圆锥的底面半径为10cm，母线长度为15cm，求圆锥的高。

解答：根据勾股定理，我们可以求解圆锥的高。

半径和母线组成的三角形为直角三角形，斜边即为母线，直角边即为圆锥的高。

圆锥的高= √(母线^2 - 半径^2) = √(15^2 - 10^2) = √(225 - 100) = √125 = 11.18（单位：cm）所以该圆锥的高为11.18cm。

3. 已知一个圆锥的顶角为90°，底面圆的半径为6cm，求圆锥的体积。

解答：由于圆锥的顶角为90°，所以该圆锥可以视为一个圆柱体。

圆柱体的体积公式为V = π * r^2 * h，其中 r 表示底面圆的半径，h 表示圆柱体的高。

由于底面圆的半径为6cm，我们需要求圆柱体的高。

可以利用勾股定理计算圆柱体的高，因为底面圆半径和高组成的三角形是直角三角形。

圆柱体的高= √(斜边^2 - 半径^2) = √(6^2 + h^2) = √(36 + h^2)由题目可知，圆锥的顶角为90°，所以圆柱体的高等于圆锥的高。

圆锥的侧面积和全面积测试题（含答案）27.3.2圆锥的侧面积和全面积一．选择题（共8小题） 1．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（） A．10cm2 B．5π cm2 C．10π cm2 D．20π cm22．已知圆锥的高为4，母线长为5，则该圆锥的表面积为（）A．21π B．15π C．12π D．24π3．已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（） A．30° B．60° C．90° D．180°4．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（） A．1.5 B．2 C．2.5 D．35．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（） A．10cm2 B．10πcm2 C．20cm2 D．20πcm26．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm7．如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（）cm．（不考虑接缝） A．5 B．12 C．13 D．148．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．πcm2 B．2 πcm2 C．6πcm2 D．3πcm2 二．填空题（共6小题） 9．圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为_________ cm2．10．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_________ ．11．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是_________ cm2．（结果保留π）12．圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为_________ 度．13．用一个圆心角为240°半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为_________ ．14．一个底面直径为10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是_________ 度．三．解答题（共8小题） 15．如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆锥的全面积．（结果保留3个有效数字）16．如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长．17．已知圆锥的侧面积为16πcm2．（1）求圆锥的母线长L（cm）关于底面半径r（cm）之间的函数关系式；（2）写出自变量r的取值范围；（3）当圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形时，求圆锥的高．18．如图：扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm，（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．19．在△A BC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3．（1）将△ABC绕AB 所在的直线旋转一周，求所得几何体的侧面积；（2）折叠△ABC，使BC边与CA边重合，求折痕长和重叠部分的面积．20．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm．（1）求圆锥的全面积；（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．21．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥底面圆的面积．（结果保留π）22．如图，一个圆锥的高为 cm，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求∠BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．27.3.2圆锥的侧面积和全面积参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（） A． 10cm2 B．5π cm2 C．10π cm2 D．20π cm2考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．解答：解：圆锥的侧面积= •2π•2•5=10π（cm2）．故选C．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2．已知圆锥的高为4，母线长为5，则该圆锥的表面积为（）A．21π B．15π C．12π D．24π考点：圆锥的计算．菁优网版权所有分析：首先根据勾股定理求得底面半径，则可以得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．解答：解：底面半径是： =3，则底面周长是6π，则圆锥的侧面积是：×6π×5=15π，底面积为9π，则表面积为15π+9π=24π．故选D．点评：考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．3．已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（） A．30° B．60° C．90° D．180°考点：圆锥的计算．分析：根据弧长=圆锥底面周长=6π，圆心角=弧长×180÷母线长÷π计算．解答：解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×3π=6πcm，扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=6π×180÷6π=180°．故选：D．点评：本题考查的知识点为：弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系．解题的关键是熟知圆锥与扇形的相关元素的对应关系．4．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（） A． 1.5 B．2 C．2.5 D． 3考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：半径为6的半圆的弧长是6π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是6π，然后利用弧长公式计算．解答：解：设圆锥的底面半径是r，半径为6的半圆的弧长是6π，则得到2πr=6π，解得：r=3，这个圆锥的底面半径是3．故选：D．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．5．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（） A． 10cm2 B．10πcm2 C．20cm2 D．20πcm2考点：圆锥的计算．专题：数形结合．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π．故选：B．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法．6．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（） A． 9cm B．12cm C．15cm D． 18cm考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：圆锥的母线长=圆锥的底面周长× ．解答：解：圆锥的母线长=2×π×6× =12cm，故选：B．点评：本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．7．如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（）cm．（不考虑接缝） A． 5 B．12 C．13 D． 14考点：圆锥的计算．专题：几何图形问题．分析：首先求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．解答：解：先求底面圆的半径，即2πr=10π，r=5cm，∵扇形的半径13cm，∴圆锥的高= =12cm．故选：B．点评：此题主要考查圆锥的侧面展开图和勾股定理的应用，牢记有关公式是解答本题的关键，难度不大．8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．πcm2 B．2 πcm2 C．6πcm2 D．3πcm2考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体．专题：常规题型．分析：俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：此几何体为圆锥；∵半径为1cm，高为3cm，∴圆锥母线长为 cm，∴侧面积=2πrR÷2= πcm2；故选：A．点评：本题考查了圆锥的计算，该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．二．填空题（共6小题） 9．圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为60πcm2．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．解答：解：圆锥的侧面积=π×6×10=60πcm2．点评：本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．10．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为160 °．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可．解答：解：∵圆锥的底面直径是80cm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π，∵母线长90cm，∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr= ×80π×90=3600π，∴=3600π，解得：n=160．故答案为：160．点评：本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．11．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2．（结果保留π）考点：圆锥的计算．分析：先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．解答：解：圆锥的母线= =10cm，圆锥的底面周长2πr=12πcm，圆锥的侧面积= lR= ×12π×10=60πcm2．故答案为：60π．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为 lR．12．圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为120 度．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．解答：解：∵圆锥的底面半径是2cm，∴圆锥的底面周长为4π，设圆心角为n°，根据题意得：=4π，解得n=120．故答案为：120．点评：考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．13．用一个圆心角为240°半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 4 ．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解答：解：∵扇形的弧长= =8π，∴圆锥的底面半径为8π÷2π=4．故答案为：4．点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．14．一个底面直径为1 0cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是120 度．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：利用底面周长=展开图的弧长可得．解答：解：∵底面直径为10cm，∴底面周长为10π，根据题意得10π= ，解得n=120．故答案为：120．点评：考查了圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．三．解答题（共8小题） 15．如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆锥的全面积．（结果保留3个有效数字）考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体．分析：首先根据三视图确定圆锥的高和底面半径，然后求得母线长，然后代入圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．解答：解：由三视图知：圆锥的高为2 cm，底面半径为2cm，∴圆锥的母线长为4，∴圆锥表面积=π×22+π×2×4=12π≈37.7．点评：本题考查圆锥全面积公式的运用，掌握公式是关键．16．如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线AB与高AO的夹角．参考公式：圆锥的侧面积S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长．考点：圆锥的计算．分析：设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出母线与高的夹角的正弦值，也就求出了夹角的度数．解答：解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则：πl=2πr，∴l=2r，∴母线与高的夹角的正弦值= = ，∴母线AB与高AO的夹角30°．点评：此题主要考查了圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数．17．已知圆锥的侧面积为16πcm2．（1）求圆锥的母线长L（cm）关于底面半径r（cm）之间的函数关系式；（2）写出自变量r的取值范围；（3）当圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形时，求圆锥的高．考点：圆锥的计算；反比例函数的应用．专题：计算题．分析：（1）根据圆锥的底面周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长，用圆锥的底面半径和母线长表示出其侧面积就能得到；（2）根据底面半径小于其母线长且大于零确定底面半径的取值范围；（3）根据圆锥的侧面积和其圆心角的度数求出其母线长，然后利用勾股定理求圆锥的高．解答：解：（1）∵S=πrL=16πcm2，∴L= cm；（2）∵L= ＞r＞0，∴0＜r＜4；（3）∵θ=90°= ×360°，∴L=4r，又L= ，∴r=2cm，∴L=8cm，∴h=2 cm．点评：本题考查了圆锥的侧面积与圆锥的底面积之间的相互转化，二者通过圆锥的母线、圆锥的底面周长与圆锥的侧面展开扇形的弧长建立关系．18．如图：扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm，（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．考点：圆锥的计算；作图―复杂作图．分析：（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线即可作出扇形的对称轴，（2）利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π，列出方程计算．解答：解：（1）如图所示：（2）扇形的圆心角是120°，半径为6cm，则扇形的弧长是：= =4π 则圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π，设圆锥的底面半径是r，则2πr=4π，解得：r=2．圆锥的底面半径是2cm．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．19．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3．（1）将△ABC绕AB 所在的直线旋转一周，求所得几何体的侧面积；（2）折叠△ABC，使BC边与CA边重合，求折痕长和重叠部分的面积．考点：圆锥的计算；点、线、面、体；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）易得所得几何体的侧面积为2个底面半径为CH，母线长为AC，BC的圆锥，那么侧面积=π×母线长×底面半径求出即可得出；（2）首先求出BE的长，进而求出CE，DE，即可得出面积．解答：解：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=3，∴tan30°= = ，AB=6，∴AC= ，∵CH×AB=BC×AC，∴3×3 =6×CH，∴CH=R= ，；（2）过点E作ED⊥AC于点D，设折叠后点B落在点G，折痕是CE，则CG=BC=3，∴BE=EG=G A=3 �3，∴AE=6�BE=9�3 ；∴DE= ，∴CE= ，S△BCE= •BE•CH= ，（或S△CGE= ）．点评：此题主要考查了图形翻折变换以及圆锥的有关计算，根据已知得出旋转后的图形以及熟练利用翻折变换的性质得出是解题关键．20如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm．（1）求圆锥的全面积；（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．考点：圆锥的计算；平面展开-最短路径问题．专题：计算题．分析：（1）首先求得圆锥的母线长，然后求得展开扇形的弧长，进而求得其侧面积和底面积，从而求得其全面积；（2）将圆锥的侧面展开，求得其展开扇形的圆心角的度数是90°，利用勾股定理求得AM 的长即为最短距离．解答：解：（1）由题意，可得圆锥的母线SA= =40（cm）圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π•OA=20πcm ∴S侧= L•SA=400πcm2 S圆=πAO2=100πcm2，∴S全=S圆+S底=（400+100）π=500π（cm2）；（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离由（1）知，SA=40cm，弧AA′=20πcm ∵ =20πcm，∴∠S=n= =90°，∵SA′=SA=40cm，SM= 3A′M ∴SM=30cm，∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm．点评：本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等直角三角形的性质求解．2 1．如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥底面圆的面积．（结果保留π）考点：圆锥的计算．分析：本题的关键是利用弧长公式计算弧长，再利用底面周长= 展开图的弧长可得．解答：解：设圆锥的底面半径为R，则L= =2πR，解R=2cm，∴该圆锥底面圆的面积为4πcm2．点评：本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．22．如图，一个圆锥的高为 cm，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）求∠BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．考点：圆锥的计算；弧长的计算．分析：（1）直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得比值；（2）利用圆锥的高，母线和底面半径构造的直角三角形中的勾股定理和等腰三角形的基本性质解题即可；（3）圆锥的侧面积是展开图扇形的面积，直接利用公式解题即可，圆锥的侧面积为．解答：解：（1）设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC=l，∵2πr=πl，∴l：r=2：1；（2）∵AO⊥OC， =2，∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC=60°；（3）由图可知l2=h2+r2，h=3 cm，∴（2r）2=（3 ）2+r2，即4r2=27+r2，解得r=3cm，∴l=2r=6cm，∴圆锥的侧面积为=18π（cm2）．点评：本题主要考查圆锥的特点和圆锥侧面面积的计算．易错易混点：学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，从而造成错误．。

同步训练（圆锥的侧面积和全面积）一、填空题1．若一圆锥的底面半径为2cm ，母线长为6cm ，则这个圆锥的侧面积为_______cm 2．2．若一圆锥的底面半径为3cm ，高为4cm ，则这个圆锥的表面积为_________cm 2．3．圆锥的底面半径为1，表面积为4π，则圆锥的母线长为________．4．如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=13cm ，一条直角边AC=5cm ，以直线BC 为轴旋转一周得一个圆锥，则这个圆锥的表面积为_________cm 2．5．用一个半径为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为_______cm ．6．把一个半径为8m 的圆片剪去一个圆心角为90︒的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为________cm ．7．若圆锥的侧面积为154π，母线长为3，则它的侧面展开图的圆心角为________︒．二、解答题8．要在如图的一个机器零件（尺寸单位：mm ）表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积（π取3.14，结果保留3个有效数字）． C BA9．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥底面圆的半径为16πm，母线长7m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，若市场价每1m2，油毡8元钱，则共需花多少元钱？三、实践与探究10．（填空）如图甲，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图乙所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为_ ___．答案一、1．12π2．24 π3．4 4．90π5．3 (圆锥底面周长2πr 等于圆锥侧面展开图的弧长1806180π⨯)6．该圆锥底面圆周长=270812180ππ⨯=，其底面圆半径r=1262ππ=，则圆锥高==(cm )） 7．150︒二、8．3.52×104(mm 2)（提示：ππππ11600160080002000S S S S =++=++=圆柱底圆柱侧圆锥侧表）．9．896元（提示：由已知，可得底面圆的周长为16232ππ⨯⨯=， 所以1S 3271122=⨯⨯=圆锥侧，所以需要花112⨯8=896（元）． 10．R=4r (提示：由90R 2r 180ππ=，得R=4r) ．。

初三数学圆锥的侧面积和全面积试题1. 一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该圆锥的侧面积与全面积之比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，扇形的弧长为l ，根据圆周长公式及弧长公式可得r 与R 的关系，再分别表示出圆锥的侧面积与全面积，即可求得结果.设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，扇形的弧长为l ，则∴，解得 ∴S 侧=×2r·R=·2r·3r=6r 2×=3r 2S 全面积=S 侧+S 底=3r 2+r 2=4r 2∴S 表：S 底=3r 2：4r 2=3:4故选A.【考点】弧长公式，圆锥的侧面积与全面积点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.2. 若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ）A ．3：2B ．3：1C ．2：1D ．5：3【答案】C【解析】设圆锥母线为ι，底面半径为r ，根据等边三角形的性质可得ι=2r ，再分别表示出圆锥的侧面积与底面积，即可求得结果.设圆锥母线为ι，底面半径为r ，由题意得ι=2r ．∴S 侧=·2r·ι=r×2 r=2r 2∴S 侧：S 底=2r 2：r 2=2:1.【考点】圆锥的侧面积与全面积点评：等边三角形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点结合极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3. 如图，将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图所示的立体图形的是（ ）【答案】B【解析】根据直角三角形旋转的性质即可判断.由图可得将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图所示的立体图形的是第二个，故选B.【考点】旋转的性质点评：旋转的性质是初中数学平面图形中非常重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握.4.将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（）A．4B．C．D．【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，先根据圆锥的侧面积公式列方程求得底面圆的半径为r，再根据勾股定理即可求得结果.设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，由题意得r·l=32，解得则这个圆锥形容器的高故选B.【考点】圆锥的侧面积，勾股定理点评：方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意.5.一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为．【答案】10cm【解析】先根据弧长公式求得圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式即可求得结果.由题意得则这个圆锥的底面半径为.【考点】弧长公式，圆的周长公式点评：本题是弧长公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.6.一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：（1）圆锥的全面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角．【答案】（1）；（2）；（3）30°；（4）180°【解析】（1）根据圆锥的全面积公式即可求得结果；（2）根据勾股定理即可求得结果；（3）根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果；（4）根据圆的周长公式结合弧长公式即可求得结果.=r2+rl=100+200=300（cm2）；（1）S全（2）如图：在Rt△OSA中，OS=（cm）；（3）在Rt△OSA中，sin=，∴=30°；（4）设侧面展开图扇形的圆心角底数为，则2r=，解得=180°.∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.【考点】圆锥的全面积公式，勾股定理，特殊角的锐角三角函数值，弧长公式点评：本题知识点多，综合性强，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.7.用一块圆心角为300°的扇形铁皮做一个圆锥形烟囱帽，圆锥的底面直径为1m，求这个扇形铁皮的半径．【答案】0.6m【解析】设扇形的半径为R，圆锥底面半径为r，根据圆的周长公式及弧长公式即可列方程求解. 设扇形的半径为R，圆锥底面半径为r，那么r=0.5m，2r=，2×0.5=，解得R="0.6m"答：这个扇形铁皮的半径为0.6m.点拨：扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长.【考点】圆的周长公式，弧长公式点评：方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意.8.如图，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC，求：（1）被剪掉的阴影部分的面积；（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少？（结果可用根号表示）【答案】（1）；（2）【解析】（1）先根据圆周角定理可得弦BC为直径，即可得到AB=AC，根据特殊角的锐角三角函数值可求得AB的长，最后根据扇形的面积公式即可求得结果；（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，根据弧长公式及圆的周长公式即可求得结果.（1）∵∠BAC=90°∴弦BC为直径∴AB=AC∴AB=AC=BC·sin45°=∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC=()2-；（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧BC的长即为圆锥底面的周长，由题意得2r=，解得r=答：（1）被剪掉的阴影部分的面积为；（2）该圆锥的底面圆半径是.【考点】圆周角定理，特殊角的锐角三角函数值，扇形的面积公式，弧长公式点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.9.小明要在半径为1m，圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮．小明在扇形铁皮上设计了如图所示的甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并计算哪个正方形的面积较大？（估算时取1.73，结果保留两个有效数字）【答案】甲【解析】方案甲：连接OH，设EF=x，则OF=EF·cot60°=，在Rt△OGH中，根据勾股定理可得，解得；方案乙：作OM⊥G′H′于M，交E′F′于N，则M、N分别是G′H′和E′F′的中点，∠NOF′=30°.连接OG′.设E′F′=y，则ON=，在Rt△OG′M中，根据勾股定理可得，解得，再把代入计算比较即可判断.方案甲：连接OH，设EF=x，则OF=EF·cot60°=在Rt△OGH中，，即，解得；方案乙：作OM⊥G′H′于M，交E′F′于N，则M、N分别是G′H′和E′F′的中点，∠NOF′=30°.连接OG′.设E′F′=y，则ON=.在Rt△OG′M中，，解得若≈1.73，则，∴，即按甲方案剪得的正方形面积较大.【考点】勾股定理的应用点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.10.在半径为27m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°（如图），求光源离地面的垂直高度SO．（精确到0.1m；=1.44，=1.732，=2.236，以上数据供参考）【答案】15.6m【解析】先根据等腰三角形的性质可得O为AB的中点，且∠ASO=∠BSO=60°，在Rt△ASO中，根据∠ASO的余切函数即可求得结果.在△SAB中，SA=SB，∠ASB=120°.∵SO⊥AB，∴O为AB的中点，且∠ASO=∠BSO=60°.在Rt△ASO中，OA=27m，∴SO=OA·cot∠ASO=27×cot60°=27×≈15.6（m）.答：光源离地面的垂直高度SO为15.6m.【考点】等腰三角形的性质，三角函数点评：等腰三角形的性质的应用是初中数学极为重要的知识，贯穿于整个初中数学的学习，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.。

第2课时 圆锥的侧面积和全面积一、课前预习 (5分钟训练)1圆锥的底面积为25π，母线长为13 c ，这个圆锥的底面圆的半径为________ c ，高为________ c ，侧面积为________ c 2 2圆锥的轴截面是一个边长为10 c 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ c 2，锥角为_________，高为________ c3已知Rt△AB 的两直角边A=5 c ，B=12 c ，则以B 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_________ c 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________ c ，面积为_________ c 24如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________图24-4-2-1 图24-4-2-2二、课中强化(10分钟训练)1粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 ，母线长为3 ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )A6 2 B6π 2 12 2 D12π 2 2若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为( ) Aa B 33a 3a D 23a 3用一张半径为9 c 、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ c4如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是______(结果保留根式)5一个圆锥的高为33 c，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积三、课后巩固(30分钟训练)1已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 c，则它的侧面积为_________ c2(结果保留π)2如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 的正三角形AB，母线A的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ (结果不取近似数)图24-4-2-3 图24-4-2-43若圆锥的底面直径为6 c，母线长为5 c，则它的侧面积为___________(结果保留π)4在Rt△AB中，已知AB=6，A=8，∠A=90°如果把Rt△AB绕直线A旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△AB绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2那么S1∶S2等于( )A2∶3 B3∶4 4∶9 D5∶125如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ c 2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示) 6制作一个底面直径为30 c 、高为40 c 的圆柱形无盖铁桶所需铁皮至少为( ) A1 425π c 2 B1 650π c 2 2 100π c 2 D2 625π c 2 7在半径为27 的广场中央，点O 的上空安装了一个照明光S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光离地面的垂直高度SO(精确到01 ；2=1414，3=1732，5=2236，以上数据供参考)参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1圆锥的底面积为25π，母线长为13 c ，这个圆锥的底面圆的半径为________ c ，高为________ c ，侧面积为________ c 2思路解析：圆的面积为S=πr 2，所以r=ππ25=5(c)；圆锥的高为22513-=12(c)；侧面积为21×10π·13=65π(c 2) 答案：5 12 65π 2圆锥的轴截面是一个边长为10 c 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ c 2，锥角为_________，高为________ c思路解析：S侧面积=21×10π×10=50π(c 2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高答案：50π 60° 533已知Rt△AB 的两直角边A=5 c ，B=12 c ，则以B 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________ c 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ c ，面积为___________ c 2思路解析：以B 为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 c ，高为12 c ，母线长为13 c 利用公式计算答案：65π 10π 65π4如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________图24-4-2-1思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积答案：16π二、课中强化(10分钟训练)1粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 ，母线长为3 ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )A6 2 B6π 2 12 2 D12π 2 思路解析：侧面积=21底面直径·π·母线长=21×4×π×3=6π(2) 答案：B2若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为( ) Aa B 33a 3a D 23a 思路解析：展开图的弧长是a π，故底面半径是2a ，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形答案：D3用一张半径为9 c 、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ c 思路解析：扇形的弧长为1809120⨯⨯π =6π(c)，所以圆锥底面圆的半径为ππ26=3(c) 答案：34如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2若一只小虫从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留根式)图24-4-2-2 思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是ππ818022⨯⨯⨯ =90°，连结AB ，则△AOB 是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB=2288+=82答案：825一个圆锥的高为33 c ，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长锥角是轴截面的等腰三角形的顶角知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积解：如图，AO 为圆锥的高，经过AO 的截面是等腰△AB，则AB 为圆锥母线l ，BO 为底面半径r(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl ，则rl =2 (2)因rl =2，则有AB=2OB ，∠BAO=30°，所以∠BA=60°，即锥角为60° (3)因圆锥的母线l ，高h 和底面半径r 构成直角三角形，所以l 2=h 2＋r 2；又l=2r ，h=33 c ，则r=3 c ，l=6 c所以S 表=S 侧＋S 底=πrl ＋πr 2=3·6π＋32π=27π(c 2)三、课后巩固(30分钟训练)1已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 c ，则它的侧面积为_________ c 2(结果保留π)思路解析：S 圆锥侧=21×2×π×21×4×4=8π 答案：8π2如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 的正三角形AB ，母线A 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ (结果不取近似数)图24-4-2-3思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图)则扇形的圆心角为66180⨯⨯⨯ππ=180°因为P 在A 的中点上， 所以∠PAB=90°在Rt△PAB 中，PA=3，AB=6，则PB=2236+=35答案：353若圆锥的底面直径为6 c ，母线长为5 c ，则它的侧面积为___________(结果保留π) 思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则r=3 c ，l=5 c ，∴S 侧=πr·l=π×3×5=15π(c 2)答案：15π c 24在Rt△AB 中，已知AB=6，A=8，∠A=90°如果把Rt△AB 绕直线A 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt△AB 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2那么S 1∶S 2等于( ) A2∶3 B3∶4 4∶9 D5∶12思路解析：根据题意分别计算出S 1和S 2即得答案在求S 1和S 2时，应分清圆锥侧面展开图(扇形)的半径是斜边B ，弧长是以AB(或A)为半径的圆的周长 ∵∠A=90°，A=8，AB=6，∴B=22AB AC +=2268+=10当以A 为轴时，AB 为底面半径，S 1=S 侧＋S 底=πAB·B＋πAB 2=π×6×10＋π×36=96π当以AB 为轴时，A 为底面半径，S 2=S 侧＋S 底=80π＋π×82=144π∴S 1∶S 2=96π∶144π=2∶3，故选A答案A5如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ c 2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示)图24-4-2-4思路解析：由题意知：S 侧面积=21×30π×20=300π(c 2) 答案：300π6制作一个底面直径为30 c 、高为40 c 的圆柱形无盖铁桶所需铁皮至少为( ) A1 425π c 2 B1 650π c 2 2 100π c 2 D2 625π c 2 思路解析由题意知S铁皮=底面积+侧面积=π×152+40×2π×15=15×95π=1425π答案A7在半径为27 的广场中央，点O 的上空安装了一个照明光S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光离地面的垂直高度SO(精确到01 ；2=1414，3=1732，5=2236，以上数据供参考)图24-4-2-5思路分析：利用勾股定理和30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题 解：在△SAB 中，SA=SB ，∠ASB=120°∵SO⊥AB，∴O为AB的中点，且∠ASO=∠BSO=60°，∠SAO=30°在Rt△ASO中，OA=27 ，设SO=，则AS=2，∴272+2=(2)2∴=93≈156()答：光离地面的垂直高度SO为156。

24. 4. 2 圆锥的侧面积和全面积1．已知圆锥的高为5，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）A ．25π B ．2π C ．5π D ．6π2．圆锥的高为3cm , 母线长为5cm , 则它的表面积是（ ）cm 2．A ．20pB ．36pC ．16pD ．28p3．已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ）A ．180°B ．120°C ．90°D ．135°4．如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ）A ．1∶5B ．2∶5C ．∶D ．2∶35．边长为a 的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180° , 所得几何体的表面积为（ ）A ．243aB ．243a πC ．243a πD ．π2a6．若底面直径为6cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（ ）cm ．A ．8B ．91C ．6D ．47．在一个边长为4cm 正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）cm ．CB AA ．253B ．15C ．7D ．138．用圆心角为120° , 半径为6cm 的扇形围成圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）A ．4B ．42C ．22D ．329．△ABC 中 , AB=6cm , ∠A=30° , ∠B=15° , 则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的表面积为（ ）cm 2．A ．（18+92）πB ．18+92C ．（36+182）πD ．36+18210．圆锥的母线长为10cm , 底面半径为3cm , 那么圆锥的侧面积为（ ）cm 2．A ．30B ．30pC ．60pD ．15p11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m ，母线长3m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）A ．6m 2B ．6πm 2C ．12m 2D ．12πm 212．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为（ ）A ．aB ．a 33C ．a 3D ．a 2313．一个圆锥的高为310cm ，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ）A ．200πcm 2B ．300πcm 2C ．400πcm 2D ．360πcm 214．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm ，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）A ．80cmB ．100cmC ．40cmD ．5cm15．已知圆锥的母线长是10cm ，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是 cm ．16．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是5cm ，则它的侧面积是 ．17．如果圆锥的母线长为l ，底面的半径为r ，那么S 侧= ，S 全= .18. 已知圆锥的母线长6cm ；底面半径为 3cm ，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．1、在最软入的时候，你会想起谁。

24.4.2 圆锥的侧面积和全面积一、选择题（共18小题）1．已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm2．一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是（）A．81πB．27πC．54πD．18π3．用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（）A．l=2r B．l=3r C．l=r D．5．如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（）A．1500πcm2B．300πcm2 C．600πcm2 D．150πcm26．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．2π7．用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．B．C．D．8．一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm210．底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．36π11．已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．30°B．60°C．90°D．180°12．如图，圆锥的侧面积为15π，底面积半径为3，则该圆锥的高AO为（）A．3 B．4 C．5 D．1513．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．πcm2B．2πcm2C．6πcm2D．3πcm214．如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（）cm2．A．4πB．8πC．12πD．（4+4）π15．用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．B．1 C．D．216．一个圆锥的高为4cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．12πcm2B．15πcm2C．20πcm2D．30πcm217．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为（）A．3πB．3 C．6πD．618．如图，圆锥模具的母线长为10cm，底面半径为5cm，则这个圆锥模具的侧面积是（）A．10πcm2B．50πcm2C．100πcm2 D．150πcm2二、填空题（共12小题）19．若圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则它的侧面展开图的面积为______cm2（结果保留π）20．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为______cm．21．如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是______．22．有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是______cm2．（结果保留π）23．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为______．24．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为______．（结果保留π）25．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是______（结果保留π）．26．如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为______度．27．圆锥的底面半径是2cm，母线长6cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为______度．28．如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：（1）AB的长为______米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______米．29．已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为90cm，则圆锥的表面积是______cm2．（结果保留π）30．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是______，它的侧面积是______（结果不取近似值）．24.4.2 圆锥的侧面积和全面积答案一、选择题（共18小题）1．B；2．C；3．B；4．A；5．B；6．B；7．D；8．D；9．B；10．C；11．D；12．B；13．A；14．C；15．B；16．B；17．B；18．B；二、填空题（共12小题）19．15π；20．6；21．R=4r；22．60π；23．300π；24．24π；25．20π；26．120；27．120；28．1；；29．1000π；30．圆锥；2π；。