2020届广东省广州市广州大学附属中学2017级高三一模考试数学(理)试卷参考答案

第1页，共28页绝密★启用前2020届广州市高三一模模拟卷考试时间：120分钟；命题人：高三备课组第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合，集合，则 A={x|x2-2x-3<0}B={x|2x+1>1}

∁

BA=()

A. B. [3,+∞)(3,+∞)

C. D.

2.若，则z=1+2i

4i

z⋅-z-1=( )

A. 1B. C. iD. -1-i

3.若，则tanα=34cos2α+2sin2α=( )

A. B. C. 1D. 642548251625

4.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，x2a2+y2b2=1(a>b>0)F1F233

过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为F2△AF1B43( )

A. B. C. D. x23+y22=1x23+y2=1x212+y28=1x212+y2

4=1

5.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为 ()

A. B. C. D. 262324256.已知数列满足：，，且{an}a1=-13a6+a8=-2an-1=2an-an+1(n≥2)

，则数列的前13项和为{1anan+1}( )

A. B. C. D. 113-113111-1117.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( )

A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种

8.函数的图象大致为f(x)=(1-2x1+2x)cosx( )第2页，共28页

A. B. C. D. 9.某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则该抽样可能是系统抽样；①

该抽样可能是随机抽样：②

该抽样一定不是分层抽样；③

本次抽样中每个人被抽到的概率都是．④

1

5其中说法正确的为( )

函数011、已知函数()y g x =的图像与函数31x y =+的图像关于直线y x =对称，则(10)g 的值为【答案】2【解析】因为()y g x =的图像与函数31x y =+的图像关于直线y x =对称，则()y g x =与31x y =+互为反函数。

所以由3110x y =+=得39x =，解得2x =，所以(10)2g =。

2、函数)2(log 2-=x y 的定义域为【答案】),3[+∞【解析】要使函数有意义，则有2log (2)0x -≥，即21x -≥，所以3x ≥，即函数)2(log 2-=x y 的定义域为),3[+∞。

3、已知函数241)(+=x x f ，若函数1()2y f x n =++为奇函数，则实数n 为（ ） A 12- B 14- C 14 D 0 【答案】B【解析】因为函数1()2y f x n =++为奇函数，所以1(0)02f n ++=，即12111()2442n f =-=-==-+，所以选B 4、函数22log (1)y x =-的定义域为【答案】(1,1)-【解析】要使函数有意义，则有210x ->，即21x <，所以11x -<<。

即函数的定义域为(1,1)-。

5、函数1y =0≥x ）的反函数是【答案】2(1)y x =-，(1)x ≥【解析】由1y =2(1)x y =-，所以2'()(1)f x x =-。

当0≥x时，11y =≥，即2'()(1)f x x =-，（1≥x ）。

6、已知函数2cos ,11()21,||1x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___ _．【答案】5【解析】由2()3()20f x f x -+=得()1f x =或()2f x =。

当11x -≤≤时，222xπππ-≤≤，此时0()1f x ≤≤，由()1f x =，得0x =。

圆锥曲线058、 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，2ABF ∆的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以,,=,=A （0b ）a 2c 4a 822=4,=3b ∴a ，椭圆E 的方程为22+=143x y（2）①由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得方程222(43)84120k x kmx m +++-=由直线与椭圆相切得220,0,430.m k m ≠∆=⇒-+= 求得43(,)k P m m -，(4,4)Q k m +，PQ 中点到x 轴距离 223(2)22m d k m=++ 2222212()(1)0(4302)2kPQ d k m m k m-=->-+=⇒≠。

所以圆与x 轴相交。

（2）②假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性知点M 在x 轴上，设点M 坐标为1(,0)M x ，1143(,),(4,4)k MP x MQ x k m m m=--=-+ 。

由0MP MQ ⋅=得2111(44)430k x x x m-+-+=所以211144430x x x -=-+=，即11x =所以定点为(1,0)M 。

9、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C 上，点T满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与QT 的位置关系，并说明理由.【答案】(1)由222211112a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得 …………………… ……………………..2分 a 2=2,b 2=1,所以，椭圆方程为2212x y +=. …………… …………………..4分 (2)设PQ:y=x-1，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3y 2+2y-1=0, ………..6分 解得： P(41,33),Q(0,-1)，由条件可知点(2,0)T , PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2|=23. ….. ……………10分(3) 判断：P Q '与QT 共线. ….. …… …………11分 设1122(,),(,)P x y Q x y则P '(x 1,-y 1)，P Q '=(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ =(x 2-2,y 2), …… ………..12分由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. ………………………..13分(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=(x 2-x 1)k(x 2-1)-(x 2-2)(kx 1-k+kx 2-k)=3k(x 1+x 2)-2kx 1x 2-4k=3k 22412k k +-2k 222212k k -+-4k=k(2222124441212k k k k---++)=0. ………..15分 所以，P Q '与QT 共线. …………… …………..16分10、已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. 1.求动点A 的轨迹方程；2.记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 的面积.【答案】（1）由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分 所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形………2分 4||=KF …………2分所以84421=⨯⨯=∆AFK S …………2分（第20题图）11、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别是()0,11-F 、()0,12F ，且焦距是椭圆C 上一点P 到两焦点21F F 、距离的等差中项. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点2F 的直线交椭圆C 于N M 、两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点 ),0(0y Q ，求0y 的取值范围.【答案】解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………1分 由题意得 a c 24=，2=a2223b a c =-=. ………4分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………6分（2）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………7分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………10分所以212324234x x k x k +==+，3323(1)34k y k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k k k k y 4314320+=+=. ………12分当0k <时，34k k +≤-；当0k >时，34k k +≥.所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………13分 综上，0y的取值范围是[. ………14分。

函数051、设函数12,02()12(1),12x x T x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩ （1）求函数2()y T x =和()2)(x T y =的解析式；（2）是否存在实数a ，使得2()+()T x a T x a =+恒成立，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由；（3）定义1()(())n n T x T T x +=，且1()()T x T x =，()n N *∈ ① 当10,16x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求4()y T x =的解析式； 已知下面正确的命题： 当11,1616i i x -+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时(115)i N i *∈≤≤，，都有44()()8i T x T x =-恒成立 ② 若方程4()T x k x =恰有15个不同的实数根，确定k 的取值；并求这15个不同的实数根的和【答案】（1）函数2222-22()2(1)-11x x y T x x x ⎧⎛∈⎪ ⎪⎝⎭==⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 函数()222140,2()14(1),12x x y T x x x ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭==⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩…………………………………4分 （2）22212,02()12(1),12x a x T x a x a x ⎧+≤<⎪⎪+=⎨⎪-+≤≤⎪⎩， 122,02()12(1),12x a x a T x a x a x a ⎧+≤+<⎪⎪+=⎨⎪--≤+≤⎪⎩……6分 则当且仅当2222a a a a ==-且时，即0a =综上可知当0a =时，有2()()()T x a T x a T x +=+=恒成立 ……………8分（3）① 当10,16x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对于任意的正整数13j N j *∈≤≤，， 都有1022j x ≤≤，故有 234321()(2)(2)(2)16y T x T x T x T x x ===== ……13分 ② 由①可知当10,16x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有4()16T x x =，根据命题的结论可得， 当1202,,16161616x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，10102,,816161616x ⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故有4411()()=16()16288T x T x x x =--=-+， 因此同理归纳得到，当1,1616i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(015)i N i ∈≤≤，时，4444211()(1)(2)=2221i x i i T x x i x i i ⎧-⎪=---+⎨-++⎪⎩，是偶数，是奇数…………………15分 1,1616i i x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 解方程4()T x kx =得，()21(1)32(1)2ii i x k +--=-- 要使方程4()T x kx =在[]0,1x ∈上恰有15个不同的实数根，则必须()()141514152141(1)2151(1)32(1)232(1)2k k⋅+--⋅+--=---- 解得1615k = 方程的根()21(1)32(1)2n n n n x k -+-=+-(115)n N n *∈≤≤，………………………17分这15个不同的实数根的和为：121415S x x x x =++++0+2+4+6+8+10+12+142+4+6+8+10+12+14225+16163216-16+1515== …………18分2、如果函数()y f x =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得()()f x a f x +=-，则称此函数具有“()P a 性质” （1）判断函数sin y x =是否具有“()P a 性质”，若具有 “()P a 性质”，求出所有a 的值；若不具有“()P a 性质”，请说明理由（2）已知()y f x =具有“(0)P 性质”，且当0x ≤时，()()2f x x m =+，求()y f x =在[]0,1上的最大值（3）设函数()y g x =具有“(1)P ±性质” 且当1122x -≤≤时，()g x x =，若()y g x = 与y mx =交点个数为2013个，求实数m 的值【答案】解：（1）由)s i n ()s i n (x a x -=+得x a x sin )sin(-=+，根据诱导公式得ππ+=k a 2)(Z k ∈．∴x y sin =具有“)(a P 性质”，其中ππ+=k a 2)(Z k ∈． ………………4分（2） )(x f y =具有“)0(P 性质”，∴)()(x f x f -=．设0≥x ，则0≤-x ，∴22)()()()(m x m x x f x f -=+-=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+=0)(0)()(22x m x x m x x f ……………………6分当0≤m 时， )(x f y =在]1,0[递增，∴1=x 时2max )1(m y -= 当210<<m 时， )(x f y =在],0[m 上递减，在]1,[m 上递增，且22)1()1()0(m f m f -=<=， ∴1=x 时2max )1(m y -= 当21≥m 时， )(x f y =在],0[m 上递减，在]1,[m 上递增，且22)1()1()0(m f m f -=≥=，∴0=x 时2max m y = 综上所述：当21<m 时， 2max )1()1(m f y -==；当21≥m 时，2max )0(m f y == ………………………………11分（3） )(x g y =具有“)1(±P 性质”，∴)()1(x g x g -=+，)()1(x g x g -=+-， ∴)()1()11()2(x g x g x g x g =--=++=+，从而得到)(x g y =是以2为周期的函数． 又设2321≤≤x ，则21121≤-≤-x ， )1(11)1()11()2()(-=-=+-=+-=-+-=-=x g x x x g x g x g x g ． 再设2121+≤≤-n x n （z n ∈），当k n 2=（z k ∈），212212+≤≤-k x k 则21221≤-≤-k x ， n x k x k x g x g -=-=-=2)2()(；当12+=k n （z k ∈），21122112++≤≤-+k x k 则23221≤-≤k x ，n x k x k x g x g -=--=-=12)2()(；∴对于，2121+≤≤-n x n （z n ∈），都有n x x g -=)(，而2111211++≤+≤-+n x n ，)()1()1()1(x g n x n x x g =-=+-+=+∴，∴)(x g y =是周期为1的函数．①当0>m 时，要使得mx y =与)(x g y =有2013个交点，只要mx y =与)(x g y =在)1006,0[有2012个交点，而在]1007,1006[有一个交点．∴mx y =过)21,22013(，从而得20131=m ②当0<m 时，同理可得20131-=m ③当0=m 时，不合题意． 综上所述20131±=m …………………………18分 3、某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为40R cm =，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上 该车的涉水安全要求．．．．．．是：水面不能超过它的底盘高度 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC 形成顶角为0120的等腰三角形，且60AB BC cm ==，如果地面上有()h cm (40h <)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计)(1) 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为10d h =-； (2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求．．．．．．)，求h 的最大值(精确到1cm)【答案】解：(1) 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，设轮胎与AB 边的切点为T ，轮胎中心为O ，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600， ………………… 2分故………… ……………………… 4分所以，从B+40 ……… 6分此轮胎露在水面外的高度为+40-(060cos 60⋅10h +-，得证… 8分(2)只要d ≥40， …………… ………………………… 12分 10h +-≥40，解得h ≤16cm ，所以h 的最大值为16cm … 14分。

绝密★启用前2020届广州市高三理科数学一模模拟卷考试时间：120分钟；命题人：高三备课组注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|2x+1>1}，则∁B A=()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次不等式的求解及指数不等式的求解，同时考查集合的补集，属于基础题．根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．【解答】解：因为A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={x|2x+1>1}={x|x+1>0}={x|x>−1}，则∁B A=[3,+∞)．故选A．2.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的代数形式混合运算，共轭复数的概念，属于基础题．利用复数的四则运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则4iz·z−−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i，故选C．3.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=()A. 6425B. 4825C. 1D. 1625【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34 916+1=6425．故选A．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4√3，则C的方程为()A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=1【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF1B的周长为4√3，求出a=√3，根据离心率为√33，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4√3，且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4√3，∴a=√3，∵离心率为√33，∴ca =√33，解得c=1，∴b=√a2−c2=√2，∴椭圆C的方程为x23+y22=1．故选A．5.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为()A. √26B. √23C. √24D. √25【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体，线线、线面、面面间的位置第2页，共16页关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．取BC中点E，DC中点F，连接DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连接MN，则MN//AO，从而∠BMN是异面直线BM与AO所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线BM与AO所成角的余弦值．【解答】解：取BC中点E，DC中点F，连接DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连接MN，则MN//AO，∴∠BMN是异面直线BM与AO所成角(或所成角的补角)，设正四面体ABCD的棱长为2，BM=DE=√4−1=√3，OD=23DE=2√33，∴AO=√4−43=√23，∴MN=12AO=√2√3，∵O是点A在底面BCD内的射影，MN//AO，∴MN⊥平面BCD，BN⊂平面BCD，∴MN⊥BN，∴cos∠BMN=MNBM =√2√3√3=√23，∴异面直线BM与AO所成角的余弦值为√23．故选B．6.已知数列{a n}满足：a1=−13，a6+a8=−2，且a n−1=2a n−a n+1(n≥2)，则数列{1a n a n+1}的前13项和为()A. 113B. −113C. 111D. −111【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的递推式和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由条件可得a n+1−a n=a n−a n−1，可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式解方程可得d，求得通项公式，则1a n a n+1=1(2n−15)(2n−13)=12×(12n−15−12n−13)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．第4页，共16页【解答】解：a n−1=2a n −a n+1(n ≥2)， 可得a n+1−a n =a n −a n−1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ，由a 1=−13，a 6+a 8=−2，即为2a 1+12d =−2， 解得d =2，则a n =a 1+(n −1)d =2n −15．1a n a n+1=1(2n −15)(2n −13) =12×(12n−15−12n−13)， 即有数列{1an a n+1}的前13项和为12(1−13−1−11+1−11−1−9+⋯+111−113) =12×(−113−113)=−113．故选B ．7. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( ) A. 360种 B. 300种 C. 150种 D. 125种 【答案】C【解析】解：分2步分析：先将5名学生分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有C 53=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法，则一共有10+15=25种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个社区，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种不同的安排方式； 故选：C ． 分2步分析：先将5名大学生分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个城市，由分步计数原理计算可得答案；本题考查排列、组合的应用，注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组与不平均分组，要用对公式．8. 函数f(x)=(1−2x1+2x )cosx 的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可，属于中档题． 【解答】 解：函数f(x)=(1−2x 1+2)cosx ，当x =π2时，是函数的一个零点，所以排除A ，B ；当x ∈(0,1)时，cosx >0，1−2x 1+2x <0，函数f(x)=(1−2x 1+2x)cosx <0，函数的图象在x 轴下方；排除D ； 故选C ．9. 某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样； ②该抽样可能是随机抽样： ③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15． 其中说法正确的为( )A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④【答案】A【解析】【分析】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假． 【解答】解：①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30； 第二步确定分段间隔k =305=6；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l ≤10)；第四步将编号为l +6k(0≤k ≤4)依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男三女，抽的比例不同，故③正确；④该抽样男生被抽到的概率220=110；女生被抽到的概率=310，故前者小于后者．因此④不正确．故选A ．10.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=√2，则球O的表面积等于()A. 4πB. 3πC. 2πD. π【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，以及外接球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的表面积公式求解即可．【解答】解：如图所示：取SC的中点O，连接AO，BO，因为SA⊥平面ABC，，，∴SA⊥AC，SA⊥BC，∴在Rt△ASC中，OA=OS=OC，又AB⊥BC，SA∩AB=A，，又，∴BC⊥SB，∴在Rt△SBC中，有OB=OS=OC，又SA=AB=1，BC=√2，AB⊥BC，∴SC=2，∴OA=OB=OC=OS=1，即球O的半径为1，∴球O的表面积为4πR2=4π．故选A．11.已知函数f(x)=e x(x−b)(b∈R).若存在x∈[12,2]，使得f(x)+xf′(x)>0，则实数b的取值范围是()第6页，共16页A. (−∞,83)B. (−∞,56)C. (−32,56)D. (83,+∞)【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题． 求出f′(x)，问题转化为b <x 2+2x x+1在[12,2]恒成立，令g(x)=x 2+2x x+1，x ∈[12,2]，求出b 的范围即可． 【解答】解：∵f(x)=e x (x −b)，∴f ′(x)=e x (x −b +1)， 若存在x ∈[12,2]，使得f(x)+xf ′(x)>0，则若存在x ∈[12,2]，使得e x (x −b)+xe x (x −b +1)>0， 即存在x ∈[12,2]，使得b <x 2+2x x+1成立，令g(x)=x 2+2x x+1，x ∈[12,2]， 则g′(x)=x 2+2x+2(x+1)2>0，g(x)在[12,2]递增， ∴g(x)max =g(2)=83， 故b <83， 故选A ．12. 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n ，若不等式a 2a 1+a 3a 2+⋯+a n+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( )A. 38B. 34C. 78D. 74【答案】D【解析】【分析】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题． 先求出a n =n2(n+1)，进而变形可知a n+1a n=1+12(1n −1n+2)，裂项相加、放缩即得结论．【解答】解：a n+1=14−4a n，设b n =22an −1，则b n+1=22a n+1−1 =224−4a n−1=22an −1−2=b n −2，则 b n+1−b n =−2，又a 1=14，第8页，共16页∴b 1=22a1−1=−4，∴b n =−4+(n −1)×(−2)=−2n −2， ∴22a n −1=−2n −2，∴a n =12−12n+2=n2(n+1)，由此可知：a n =n2(n+1)，∵a n+1a n=n +12(n +2)n 2(n +1)=(n +1)2n(n +2)=1+1n(n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴a 21+a 32+⋯+a n+2n+1=n +1+12(1−13+12−14+⋯+1n−1n +2+1n +1−1n +3) =n +1+12(1+12−1n +2−1n +3)=n +74−12(1n+2+1n+3)，又∵不等式a 2a 1+a 3a 2+⋯+an+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，∴实数λ的最小值为74， 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m =______． 【答案】7【解析】【分析】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．利用平面向量坐标运算法则先求出a ⃗ +b ⃗ ，再由向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值． 【解答】解：∵向量a⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)， ∴a ⃗ +b ⃗ =(−1+m,3)， ∵向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =(−1+m)×(−1)+3×2=0， 解得m =7． 故答案为7．14.已知实数x，y满足{y≤23x−y−3≤02x+y−2≥0，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a=．【答案】−3【解析】【分析】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．由题意，不等式组{y≤23x−y−3≤02x+y−2≥0，表示一个三角形区域(包含边界)，求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数z=3x+y+a的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组{y≤23x−y−3≤02x+y−2≥0，表示一个三角形区域(包含边界)三角形的三个顶点的坐标分别为(0,2)，(1,0)，(53,2)，目标函数z=3x+y的几何意义是直线y=−3x+z的纵截距，作直线y=−3x的平行线，由图可知在点A(53,2)处取得最大值4．3×53+2+a=4，解得a=−3故答案为−3．15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，则f(2)=______．【答案】12【解析】【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．由已知当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，先求出f(−2)，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，∴f(−2)=−12，又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2)=−f(−2)=12，故答案为12．16.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若PF22PF1的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为________．【答案】(1,3]【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|=4a，|PF2|=2a是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．依题意，双曲线左支上存在一点P使得|PF2|2|PF1|=8a，|PF1|−|PF2|=−2a，可求得，|PF1|= 2a，|PF2|=4a，再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|−|PF2|=−2a，∴|PF2|=|PF1|+2a，①又|PF2|2|PF1|=8a，②∴由①②可得，|PF1|=2a，|PF2|=4a．∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即2a+4a≥2c，∴ca≤3，③又|PF1|+|F1F2|>|PF2|，∴2a+2c>4a，∴ca>1.④由③④可得1<ca≤3．故答案为(1,3]．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=sin(2x+π6)+2sin2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A2)=32，b+c=7，△ABC的面积为2√3，求边a的长．第10页，共16页【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin(2x+π6)+2sin2x，可得f(x)=sin2xcosπ6+cos2xsinπ6+1−cos2x=sin(2x−π6)+1，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π；令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，所以f(x)的单调递减区间是[kπ+π3,kπ+ 5π6](k∈Z)；(Ⅱ)∵f(x)=sin(2x−π6)+1，f(A2)=32，∴sin(A−π6)=12，又−π6<A−π6<5π6可得A−π6=π6即A=π3，∵b+c=7，△ABC的面积为2√3，即12bcsinA=√34bc=2√3，∴bc=8，a2=b2+c2−2bccosπ3=(b+c)2−3bc=25，∴a=5．【解析】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简函数f(x)，再由正弦函数的周期公式和单调减区间，解不等式可得减区间；(Ⅱ)由A的范围，结合正弦函数值，可得A，再由三角形的面积公式和余弦定理可得所求值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．(Ⅰ)证明：AE⊥PD；(Ⅱ)设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为√5，求二面角E−AF−C的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴三角形ABC为正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD//BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，而PA、AD为平面PAD内两条相交直线，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD；(Ⅱ)解：过A作AH⊥PD于H，连接HE，由(Ⅰ)得AE⊥PD，第12页，共16页AH 、HE 为平面AHE 内两条相交直线， ∴PD ⊥平面AHE ，又EH 在平面AHE 内，∴EH ⊥PD ，此时线段EH 长最小，即EH =√5， ∵AE =√3，∴AH =√2，则PA =2．以A 为原点，AE ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(√3,0，0)，D(0,2，0)，C(√3,1，0)，P(0,0，2)，F(√32,12,1)，B(√3,−1,0)．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1)， 设平面AEF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y +z =0，取z =1，可得m⃗⃗⃗ =(0,−2,1)； ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，又∵BD ⊥AC ，PA 、AC 为平面AFC 内两条相交直线， ∴BD ⊥平面AFC ，故BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)为平面AFC 的一个法向量， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√12=√155． 即二面角E −AF −C 的余弦值为√155．【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．(Ⅰ)连接AC ，证明AE ⊥BC ，AE ⊥AD ，推出PA ⊥平面ABCD ，即可证明AE ⊥PD ； (Ⅱ)过A 作AH ⊥PD 于H ，连接HE ，由(Ⅰ)得AE ⊥平面PAD ，可得EH ⊥PD ，即EH =√5，，以A 为原点，AE ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面AFC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E −AF −C 的余弦值．19. 已知函数f(x)=xe x −ln (x +1)−x ．(1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)证明：函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点． 【答案】解：(1)当x =0时，f(0)=0， 由f(x)=xe x −ln(x +1)−x ， 得f′(x)=e x (x +1)−1x+1−1， 故斜率k =f′(0)=−1，故切线方程是：y =−x ；(2)由题意可知，函数的定义域是(−1,+∞)， 由(1)知，f′(x)=e x (x+1)2−x−2x+1，记g(x)=e x (x +1)2−x −2， 故g′(x)=e x (x 2+4x +3)−1， 易知x ∈(0,+∞)时，g′(x)>0， 故g(x)在区间(0,+∞)递增， 故g(x)>g(0)=−1， ∵g(1)=4e −3>0，故在区间(0,1)内必存在ξ，使得g(ξ)=0， 故当x ∈(0,ξ)时，g(x)<0，即f′(x)<0， 故f(x)递减，当x ∈(ξ,1)时，g(x)>0，即f′(x)>0， 故f(x)递增，故当x =ξ时，f(x)有最小值且为f(ξ)， ∵f(0)=0，∴f(ξ)<f(0)=0，而f(1)=e −ln2−1>0，故在区间(ξ,1)内存在唯一零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查分类讨论思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，求出直线的斜率，求出切线方程即可；(2)求出函数的定义域，记g(x)=e x (x +1)2−x −2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．20. 已知椭圆C ：x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0)的离心率为√32，椭圆C 的长轴长为4． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y =kx +√3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c ，则由题设，得：{2a =4e =c a =√32, 解得{a =2c =√3, 所以b 2=a 2−c 2=4−3=1， 故所求椭圆C 的方程为y 24+x 2=1．(2)存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 理由如下：设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 将直线l 的方程y =kx +√3代入y 24+x 2=1，并整理，得(k 2+4)x 2+2√3kx −1=0，(∗) 易知Δ>0，第14页，共16页则x 1+x 2=−2√3kk 2+4，x 1x 2=−1k 2+4，因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=0． 又y 1y 2=k 2x 1x 2+√3k(x 1+x 2)+3， 于是−1+k 2k 2+4−6k 2k 2+4+3=0， 解得k =±√112，所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．【解析】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，属于中档题．(1)设椭圆的半焦距为c ，则由题设，得：{2a =4e =c a=√32，解得a ，c 的值，即可求出b 的值，从而可得椭圆C 的方程；(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线l 的方程y =kx +√3代入y 24+x 2=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k 值．21. 2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算第(1)问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973． (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券，已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k 到k +1)，若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k 到k +2)，直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第n 格的概率为P n ，试说明{P n −P n−1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【答案】解：(1)x =0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300(千米)； (2)因为X 服从正态分布N(300,502)， 所以P(250<X ⩽400)≈0.9545−0.9545−0.68272=0.8186；(3)遥控车开始在第0格为必然事件，P 0=1.第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第1格，其概率为12，即P 1=12．遥控车移到第n(2≤n ≤49)格的情况是下列两种，而且也只有两种： ①遥控车先到第n −2格，又掷出反面，其概率为12P n−2；②遥控车先到第n −1格，又掷出正面，其概率为12P n−1.所以P n =12P n−2+12P n−1． 所以P n −P n−1=−12(P n−1−P n−2)．所以当1≤n ≤49时，数列{P n −P n−1}是首项为P 1−P 0=−12，公比为−12的等比数列． 所以P 1−1=−12，P 2−P 1=(−12)2，P 3−P 2=(−12)3，…，P n −P n−1=(−12)n ． 以上各式相加，得P n −1=(−12)+(−12)2+⋯+(−12)n ，所以P n =1+(−12)+(−12)2+⋯+(−12)n =23[1−(−12)n+1](n =0,1,2,⋯,49)． 所以获胜的概率为P 49=23[1−(12)50]，失败的概率P 50=12P 48=12×23[1−(−12)49]=13[1+(12)49]． 所以P 49−P 50=23[1−(12)50]−13[1+(12)49]=13[1−(12)48]>0．所以获胜的概率大．所以此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【解析】 本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布，等比数列证明及应用等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．(1)将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可；(2)因为X 服从正态分布N(300,502)，根据概率公式求解即可；(3)遥控车开始在第0格为必然事件，分析得出P n −P n−1=−12(P n−1−P n−2)，从而即可证明{P n −P n−1}是等比数列，判断P 49−P 50>0，即可得出此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车．第16页，共16页22. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标是ρ=2asinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +a y =45t(t 为参数)． (1)若a =2，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求|MN|的最大值； (2)若直线l 被圆C 截得的弦长为2√6，求a 的值． 【答案】解：(1)直线l 的参数方程是{x =−35t +ay =45t，a =2时， 化为普通方程：y =−43(x −2)．令y =0，解得x =2，可得M(2,0)．圆C 的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x 2+y 2−4y =0， 即x 2+(y −2)2=4． |MC|=2√2，∴|MN|的最大值为2√2+2．(2)圆C 的方程为：x 2+(y −a)2=a 2，直线l 的方程为：4x +3y −4a =0， 圆心C 到直线l 的距离d =|3a−4a|5=|a|5．∴2√a 2−a225=2√6，解得a =±52．【解析】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)直线l 的参数方程是{x =−35t +a y =45t，a =2时，化为普通方程：y =−43(x −2).可得M(2,0).圆C 的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，求出|MC|=2√2，可得|MN|的最大值为2√2+2．(2)圆C 的方程为：x 2+(y −a)2=a 2，直线l 的方程为：4x +3y −4a =0，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．。

函数078、已知x x f 21log )(=，当点),(y x M 在)(x f y =的图像上运动时，点),2(ny x N -在函数)(x g y n =的图像上运动（*N n ∈）． （1）求)(x g y n =的表达式；（2）若方程)2()(21a x g x g +-=有实根，求实数a 的取值范围；（3）设)(2)(x g n n x H =，函数)()()(11x g x H x F +=（b x a ≤≤<0）的值域为]22log ,22[log 4252++a b ，求实数a ，b 的值．【答案】解：（1）由⎩⎨⎧-==)2(),(x g ny x f y n 得x n x nf x g n 21log )()2(==-，所以)2(log )(21+=x n x g n ，（2->x ）． ······················································································ 4分 （2）)(log 2)2(log 2121a x x +=+，即a x x +=+2（02>+x ） ······························ 6分2++-=x x a ，令02>+=x t ，所以4922≤++-=t t a ，当47-=x 时，49=a ．即实数a 的取值范围是]49,(-∞ ··································································································· 10分（3）因为n x n n x x H )2(12)()2(log 21+==+，所以)2(log 21)(21+++=x x x F ．)(x F 在),2(+∞-上是减函数． ······························································································· 12分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22log )(22log )(5242b b F a a F 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=+++22log )2(log 2122log )2(log 2152214221b b b a a a ，所以⎩⎨⎧==3,2b a9、我们把定义在R 上，且满足)()(x af T x f =+（其中常数T a ,满足0,0,1≠≠≠T a a ）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数)(x f y =满足1=T 且图像关于直线1=x 对称．求证：函数)(x f 是偶函数；（2）当2,1==a T 时，某个似周期函数在10<≤x 时的解析式为)1()(x x x f -=，求函数)(x f y =，[)Z n n n x ∈+∈,1,的解析式；（3）对于确定的T x T ≤<>00且时，x x f 3)(=，试研究似周期函数函数)(x f y =在区间),0(+∞上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．【答案】因为R x ∈关于原点对称，……………………………………………………1分 又函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，所以)1()1(x f x f +=-① ………………………………………………………2分 又1=T ，,)()1(x af x f =+∴用x -代替x 得,)()1(x af x f -=+-③ ……………………………………………3分 由①②③可知,)()(x af x af -=01≠≠a a 且 ，)()(x f x f -=∴．即函数)(x f 是偶函数；…………………………………………4分（2）当)(1Z n n x n ∈+<≤时，)(10Z n n x ∈<-≤)1)((2)(2)2(2)1(2)(2x n n x n x f x f x f x f n n -+-=-==-=-= ；……10分（3）当)()1(N n T n x nT ∈+≤<时，)(0N n T nT x ∈≤-<nT x n n a nT x f a T x f a T x af x f -=-==-=-=3)()2()()(2 …………………12分 显然0<a 时，函数)(x f y =在区间),0(+∞上不是单调函数 …………………13分 又0>a 时，N n T n nT x a x f nT x n ∈+∈=-],)1(,(,3)(是增函数，此时N n T n nT x a a x f T n n ∈+∈∈],)1(,(],3,()(……………………………………14分 若函数)(x f y =在区间),0(+∞上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有T n n a a 31≥+， ………………………………………………………16分解得Ta 3≥ ． ………………………………………………………18分10、如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD 内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD 的面积为S ，x AB =，求函数)(x f S =的解析式；（2）求试验田ABCD 占地面积的最小值．【答案】解：设ABCD 的长与宽分别为x 和y ，则800)2)(4(=--y x （3分）42792-+=x x y （2分） 试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x x x （2分） 令t x =-4，0>t ，则96880832002≥++=tt S ， （4分） 当且仅当t t 32002=时，40=t ，即44=x ，此时，22=y ． （2分） 答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2（1分）11、设定义域为R 的奇函数)(x f y =在区间)0,(-∞上是减函数．（1）求证：函数)(x f y =在区间),0(+∞上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在),(+∞-∞内不是单调递减的函数．（不必证明）【答案】解（1）任取),0(,21+∞∈x x ，21x x <，则由210x x ->-> （2分） 由)(x f y =在区间)0,(-∞上是单调递减函数，有)()(21x f x f -<-， （3分） 又由)(x f y =是奇函数，有)()(21x f x f -<-，即)()(21x f x f >． （3分） 所以，函数)(x f y =在区间),0(+∞上是单调递减函数．（1分） （2）如⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-=.0,2,0,0,0,2)(x x x x x x f 或⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1)(x x x x f 等（6分）。

圆锥曲线011、双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…… ……（ ） （A ）)0,4(± （B ）)0,2(± （C ）)4,0(± （D ）)2,0(± 【答案】B【解析】因为97<<λ，所以90λ->，70λ-<，即22197x y λλ+=--为22197x y λλ-=--，所以双曲线的焦点在x 轴上，所以2972c λλ=-+-=，即c =，所以焦点坐标为(，选B2、若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 【答案】1【解析】根据椭圆的方程可知224,1a b ==，所以222413c a b =-=-=，所以2c a =。

设1,M F x =a c x a -≤≤+，即23x ≤≤，所以224MF a x x =-=-，所以21211114444(4)(4)(2)4x x MF MF x x x x x x x -++=+===-----+，因为22x ≤≤+，所以当2x =时，24(2)4x --+有最小值414=，即212114(2)4MF MF x +=--+的最小值为13、抛物线22x y =的焦点坐标是_______________．【答案】)81,0(【解析】抛物线的标准方程为212x y =，所以焦点在y 轴，且112,24p p ==，所以焦点坐标为)81,0(。

4、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……v ………………（ ）．A x y 2±= .B x y 2±=C x y 21±=D x y 22±=【答案】D【 解析】由题意知22,2b c ==1,b c ==a ==，所以双曲线的渐近线方程为b y x x x a =±==，选D5、抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ． 【答案】24yx =【 解析】由椭圆方程可知225,4a b ==，所以222541c a b =-=-=，即1c =，所以椭圆的右焦点为(1,0)，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以12p=，所以2p =。

函数078、已知x x f 21log )(=，当点),(y x M 在)(x f y =的图像上运动时，点),2(ny x N -在函数)(x g y n =的图像上运动（*N n ∈）．（1）求)(x g y n =的表达式；（2）若方程)2()(21a x g x g +-=有实根，求实数a 的取值范围；（3）设)(2)(x g n n x H =，函数)()()(11x g x H x F +=（b x a ≤≤<0）的值域为]22log ,22[log 4252++a b ，求实数a ，b 的值．【答案】解：（1）由⎩⎨⎧-==)2(),(x g ny x f y n 得x n x nf x g n 21log )()2(==-，所以)2(log )(21+=x n x g n ，（2->x ）． ······················································································ 4分 （2）)(log 2)2(log 2121a x x +=+，即a x x +=+2（02>+x ） ······························ 6分2++-=x x a ，令02>+=x t ，所以4922≤++-=t t a ，当47-=x 时，49=a ．即实数a 的取值范围是]49,(-∞ ··································································································· 10分（3）因为n x n n x x H )2(12)()2(log 21+==+，所以)2(log 21)(21+++=x x x F ．)(x F 在),2(+∞-上是减函数． ······························································································· 12分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22log )(22log )(5242b b F a a F 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=+++22log )2(log 2122log )2(log 2152214221b b b a a a ，所以⎩⎨⎧==3,2b a9、我们把定义在R 上，且满足)()(x af T x f =+（其中常数T a ,满足0,0,1≠≠≠T a a ）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数)(x f y =满足1=T 且图像关于直线1=x 对称．求证：函数)(x f 是偶函数；（2）当2,1==a T 时，某个似周期函数在10<≤x 时的解析式为)1()(x x x f -=，求函数)(x f y =，[)Z n n n x ∈+∈,1,的解析式；（3）对于确定的T x T ≤<>00且时，xx f 3)(=，试研究似周期函数函数)(x f y =在区间),0(+∞上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．【答案】因为R x ∈关于原点对称，……………………………………………………1分 又函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称，所以)1()1(x f x f +=-① ………………………………………………………2分 又1=T ，,)()1(x af x f =+∴用x -代替x 得,)()1(x af x f -=+-③ ……………………………………………3分 由①②③可知,)()(x af x af -=01≠≠a a 且 ，)()(x f x f -=∴．即函数)(x f 是偶函数；…………………………………………4分（2）当)(1Z n n x n ∈+<≤时，)(10Z n n x ∈<-≤)1)((2)(2)2(2)1(2)(2x n n x n x f x f x f x f n n -+-=-==-=-= ；……10分（3）当)()1(N n T n x nT ∈+≤<时，)(0N n T nT x ∈≤-<nT x n n a nT x f a T x f a T x af x f -=-==-=-=3)()2()()(2 …………………12分 显然0<a 时，函数)(x f y =在区间),0(+∞上不是单调函数 …………………13分 又0>a 时，N n T n nT x a x f nT x n ∈+∈=-],)1(,(,3)(是增函数， 此时N n T n nT x a a x f T n n ∈+∈∈],)1(,(],3,()(……………………………………14分若函数)(x f y =在区间),0(+∞上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有T n n a a 31≥+， ………………………………………………………16分解得Ta 3≥ ． ………………………………………………………18分10、如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD 内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD 的面积为S ，x AB =，求函数)(x f S =的解析式；（2）求试验田ABCD 占地面积的最小值．【答案】解：设ABCD 的长与宽分别为x 和y ，则800)2)(4(=--y x （3分）42792-+=x x y （2分） 试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x x x （2分） 令t x =-4，0>t ，则96880832002≥++=tt S ， （4分） 当且仅当t t 32002=时，40=t ，即44=x ，此时，22=y ． （2分） 答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2（1分）11、设定义域为R 的奇函数)(x f y =在区间)0,(-∞上是减函数．（1）求证：函数)(x f y =在区间),0(+∞上是单调减函数；（2）试构造一个满足上述题意且在),(+∞-∞内不是单调递减的函数．（不必证明）【答案】解（1）任取),0(,21+∞∈x x ，21x x <，则由210x x ->-> （2分） 由)(x f y =在区间)0,(-∞上是单调递减函数，有)()(21x f x f -<-， （3分） 又由)(x f y =是奇函数，有)()(21x f x f -<-，即)()(21x f x f >． （3分） 所以，函数)(x f y =在区间),0(+∞上是单调递减函数．（1分） （2）如⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-=.0,2,0,0,0,2)(x x x x x x f 或⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1)(x x x x f 等（6分）。

广 州 市 教究 院 广 州 市 教 育 研 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院2020届广州市高三年级调研测试参考答案理科数学一． 选择题二．填空题 13.524 14. 135 15.6 16. 610三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（1）解法1：设{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为单调递增的等差数列，所以，0>d .由253418,80,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩得343418,80.a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得348,10.a a =⎧⎨=⎩所以234=-=a a d .所以()2233+=-+=n d n a a n . 解法2：设{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为单调递增的等差数列，所以0>d .由253418,80,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩得()()1112518,2380,a d a d a d +=⎧⎪⎨+⋅+=⎪⎩解得14,2.a d =⎧⎨=⎩所以()2211+=-+=n d n a a n .（2）由（1）得122422++==n n a n，当2≥n 时由42222233221-=++++n a n n b b b b ，………………………① 得42222211133221-=++++---n a n n b b b b ，……………………② ①-②得2,434421≥⨯=-=+n b n n n n n ， 所以 2,23≥⨯=n b n n .当1=n 时，6221622211=-=-=a b 符合上式.所以n n b 23⨯=.所以()21216--=nn S 6231-⨯=+n . 广州调研广 州教 育 研 究 院 广州市 教育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院18．（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC .又因为⊂BD 平面ABCD ，平面⊥AEFC 平面ABCD .平面AEFC 平面=ABCD AC ，所以⊥BD 平面AEFC . 因为⊂BD 平面BDE ，所以平面⊥BED 平面AEFC .（2）设 AC BD = O ，连接OF ，可知平面四边形 AEFC 为直角梯形，EA ⊥AC ，又因为AE ⊂平面 AEFC ，平面AEFC 平面 ABCD = AC ， 平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥平面 ABCD ． 因为EF //AC ，1=2AC AO EF =，所以AE //OF ，所以OF ⊥平面 ABCD ． 解法1：以OB ，OC ，OF 分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示空间坐标系． 则)B，()010C ，，， ()D ，()0,1,0A -，()0,1,2E -，()0,0,2F ，设平面 BCF 的法向量()1111,,z y x n =，因为()0,1,3-=，()2,0,3-=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，即1111020y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令12x =，解得()3,32,21=n .设平面的CDF 法向量()2222,,z y x n =，因为()2,1,0-=，()0,1,3--=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ，即2222200y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令22x =，解得()3,32,21--=n . 因为1911-==， 结合图像可知二面角B FC D --的余弦值为1119-.广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 教 育 研 究院州 教 研 究 院解法2：因为ABCD FO 面⊥且ABCD BD 面⊂，所以BD FO ⊥.因为O 为BD 中点，所以FD BF =. 又CD BC =，FC FC =， 所以DFC BFC ∆≅∆.过B 作FC BG ⊥交FC 于G 点，连结GD ，则FC DG ⊥， 所以BGD ∠为二面角D FC B --的平面角. 在Rt FBO ∆中，3232=⨯=BO ，2=FO ， 所以()73222=+=BF ，322==BO BD ，同理5=CF ，在Rt FBC ∆中，7=BF ，2=BO ，5=CF .由三角形面积公式得519=BG ，则519=DG .在BGD ∆中，1911519212519519cos -=⨯-+=∠BGD . 所以二面角B FC D --的余弦值为1119-. 19. 解：（1）因为Y X =且](600,300,∈Y X ，所以()()Y g X g =，当](400300,X ∈时，()()()()03003210041800>-=+-+=-X X X X g X f . 当](600400,X ∈时，()()()()03004210041800<-=+-+=-X X X g X f .故当](400300,X ∈时，()()X g X f >， 当](600400,X ∈时，()()X g X f <．（2）（ⅰ）送餐量x 的分布列为：则()16151201511851175216511415113=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x E .送餐量y 的分布列为：广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州市 育研 究 院 广 州 市 育 研 究院 州 市 教 育 研 究院则()14301186116101155214611315211=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y E .（ⅱ）()()](60030048030,x E X E ∈==，()()()+∞∈==,y E Y E 40042030.A 公司外卖配送员，估计月薪平均为()372041800=+X E 元.B 公司外卖配送员，估计月薪平均为()378042100=+Y E 元.因为3780元3720>元，所以小王应选择做B 公司外卖配送员．20．解：（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）解法1：因为过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），所以设:1l x ty =+，由()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为OE OA OB =+，∴AOBE 为平行四边形，所以3AGBE AOBE OGB AOB S S S S ∆∆=+=1232y y =-==1=m ，得218181313==++m S m m m， 由函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 92=S ． 解法2：因为OE OA OB =+，所以AOBE 为平行四边形，所以3AGBE AOBE OGB AOB S S S S ∆∆=+=．当直线AB 的斜率不存在时，93=2AGBE AOB S S ∆=. 当直线AB 的斜率存在时，设为()1y k x =-，广州调研广 州 市育 研 究 院 广 州 市 教 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院由()()22222143690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩. 设()11,A x y 、()22,B x y ，则1222122643943k y y k k y y k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 所以3AGBE AOBS S ∆=1232y y =-==， 令2433k m +=>，得92S =<， 综上可知，max 92=S ．21．（1）解：由x k x x )x (f ln +-=2知函数的定义域为)(+∞,0.则xkx x x k x )x (f +-=+-='2212.令0=')x (f 得022=+-k x x . 其k 81-=∆.①当081≤-=∆k 即81≥k 时，0≥')x (f 在)(+∞,0上恒成立， 所以)(x f 在)(+∞,0上为单调递增函数. ②当081>-=∆k 即81<k 时，(1)式的两根为48111k x --=，48112k x -+= 若810<<k ，则210x x <<，当)(10x ,x ∈，),(+∞2x 时有0>')x (f ，当)(21x ,x x ∈时有0<')x (f ，从而知函数)x (f 在)(10x ,和),(+∞2x 单调递增，在)(21x ,x 单调递减.若0≤k ，则210x x <≤，当)(20x ,x ∈时有0<')x (f ，)(x x 2+∞∈,时0>')x (f ，从而知函数)x (f 的在)(20x ,单调递减，在),(+∞2x 单调递增.综上，当81≥k 时，)(x f 在)(+∞,0上为单调递增函数；当810<<k 时， )x (f 在)(10x ,和),(+∞2x 单调递增，在)(21x ,x 单调递减; 当0≤k 时，)x (f 的在)(20x ,单调递减，在),(+∞2x 单调递增.广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院（2）证明：设()22g x x x k =-+，由题意和（1）得810<<k . 则极值点12,x x 为方程()0g x =的两根，且12104x x <<<， 所以1212x x +=，1212x x k =. 且()y f x =在1(0,)x 上单增，在12(,)x x 上单减，在2(,)x +∞上单增， 所以1212()()()()f x f x f x f x -=-22111222(ln )(ln )x x k x x x k x =-+--+ 11221()ln 2x x x k x =--+……………………………① 11211(2)ln 22x x k x =--+1112212ln 4x x x x x =-+. 要证11121221112ln 24444x x x x k x x x -+<-=-， 即证1122221ln222x x x x x x +<-=-， 即证1122ln1x x x x <- . 构造()ln (1)h x x x =-- （(01)x <<2'11()1x h x x x-=-=，(0,1)x ∈时， '()0h x >， 所以()y h x =在(0,1)上单增，()(1)0h x h ∴<=. 即1ln -<x x 成立. 综上可知，原不等式成立.广州调研广 州 市 教 育研 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院广市 教 育 研 究院州 市 育 研 究 院【说明】化简到①后的其他变形思路：思路1：由()0g x =，解得1x =，2x =. 则212x x -=，12144x k x k -=. 先证明1ln -<x x .则由①得12()()f x f x -<11221()12x x x k x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭124k =-. 思路2：令12x t x =，结合1212x x +=，1212x x k =，其中01t <<. 可得()121t x t =+，()2121x t =+，()221t k t =+.则由①得，需证明12()()f x f x -<112211()ln 224x x x k k x --+<-. 整理得，需证明ln 1t t <-（01t <<）.22．（1）解：因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y m m x 11，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=++=+=21)1(21)1(22222222m m m m y m m m m x ，所以422=-y x .所以曲线C 的直角坐标方程为422=-y x .把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线的极坐标方程03cos sin 3=--θρθρ， 得直线的直角坐标方程为033=--x y ．所以直线的直角坐标方程为033=+-y x .（2）解法1：由220,4,x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得13,22A ⎛⎪⎝⎭，13,22B ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为点(0,1)P ，所以1PA =，1PB =. 所以115PA PB +==. 广州调研广州 市 教 育研 院 广 州 市 教 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院解法2：因为点(0,1)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将211+2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y t 代入422=-y x ， 得22100--=t t ，044)10(14)2(2>=-⨯⨯--=∆， 所以122+=t t ，12100⋅=-<t t ．因为1=PA t ，2=PB t ，所以1212121111-+=+====t t PA PB t t t t 所以11+=PA PB ．23．解：（1） 当2a =时，()22(2)f x x x =--，由22(2)0x x --<，解得2x <；所以不等式()0f x <的解集为(),2-∞．（2）因为(2)0=f ，所以由(),x a ∈-∞时，()0f x <，得2a ≤．当2a ≤，(,)x a ∈-∞时，()(2)2()=--+--f x x a x x x a()(2)(2)()=--+--a x x x x a2()(2)0=---<a x x ，所以a 的取值范围是(],2-∞．广州调研。