基于Jacobi算法对称矩阵特征值计算的FPGA实现

实验名称实验8实验地点6A-XXX 实验类型设计实验学时 2 实验日期20 /X/X ★撰写注意：版面格式已设置好（不得更改），填入内容即可。

一、实验目的
1.Jacobi法求实对称矩阵的特征值及特征向量
二、实验内容
1.实验任务
1.Jacobi法求实对称矩阵的特征值及特征向量
2.程序设计
1）数据输入（输入哪些数据、个数、类型、来源、输入方式）
double a[N][N], int n
2）数据存储（输入数据在内存中的存储）
函数
void Jacobi(double a[N][N], int n)
3）数据处理（说明处理步骤。

若不是非常简单，需要绘制流程图）
1.输入要处理的数据进入变量中
2.进行函数处理
3.输出函数处理结果
4）数据输出（贴图：程序运行结果截图。

图幅大小适当，不能太大）
三、实验环境
1.操作系统：WINDOWS 7及以上
2.开发工具：VS 2015
3.实验设备：PC。

准备工作➢算法设计矩阵特征值的求法有幂法、Jacobi法、QR法等，其中幂法可求得矩阵按模最大的特征值（反幂法可求得按模最小特征值），Jacobi法则可以求得对称阵的所有特征值。

分析一：由题目中所给条件λ1≤λ2≤…≤λn，可得出λ1、λn按模并不一定严格小于或大于其他特征值，且即使按模严格小于或大于其他特征值，也极有可能出现|λs|<λ1|<|λn |或|λs|<λn|<|λ1 |的情况，导致按幂法和反幂法无法求解λ1或λn二者中的一者；分析二：题目要求求解与数μk =λ1+k(λn-λ1)/40最接近的特征值λik(k=1,2,3…39)，这个问题其实可以转换为求A-μk 按模最小的特征值的问题，但因为在第一个问题中无法确定能肯定的求得λ1和λn，所以第二个问题暂先搁浅；分析三：cond(A) 2 = ||A|| * ||A-1|| =|λ|max * |λ|min,这可以用幂法和反幂法求得，det(A) =λ1 *λ2 * … *λn，这需要求得矩阵A的所有特征值。

由以上分析可知，用幂法和反幂法无法完成所有问题的求解，而用Jacobi法求得矩阵所有特征值后可以求解题目中所给的各个问题。

所以该题可以用Jacobi法求解。

➢模块设计由➢数据结构设计由于矩阵是对称阵，上下带宽均为2，所以可以考虑用二维数组压缩存储矩阵上半带或下半带。

但由于Jacobi法在迭代过程中会破坏矩阵的形态，所以原来为零的元素可能会变为非零，这就导致原来的二维数组无法存储迭代后的矩阵。

基于此的考虑，决定采用一维数组存储整个下三角阵，以此保证迭代的正确进行。

完整代码如下（编译环境windows10 + visual studio2010）：完整代码// math.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。

//#include "stdafx.h"#include<stdio.h>#include<math.h>#include<time.h>#define N 501#define V (N+1)*N/2+1#define e 2.6630353#define a(i) (1.64 - 0.024 * (i)) * sin(0.2 * (i)) - 0.64 * pow(e , 0.1 / (i)) #define b 0.16#define c -0.064#define eps pow((double)10.0,-12)#define PFbits "%10.5f "#define PFrols 5#define PFe %.11e#define FK 39int p;int q;double cosz;double sinz;double MAX;int kk;//#define PTS pts#ifdef PTSvoid PTS(double *m){printf("-----------------------------------------------------------------------\n");printf(" 迭代第%d次\n",kk);for(int i = 1 ; i <= PFrols ; i++){for( int j = (i-1)*i/2+1 ; j <= (i+1)*i/2 ; j++){printf(PFbits,m[j]);}putchar(10);}for(int i = 1 ; i <= PFrols+1 ; i++){printf(" ... ");}putchar(10);printf(" . .\n");printf(" . .\n");printf(" . .\n");for(int i = 1 ; i <= PFrols+2 ; i++){printf(" ... ");}putchar(10);}#elsevoid PTS(double *m){}#endifvoid recounti(int i , int *pp, int *qq){for(int j = 0 ; j <= N-1 ; j++){if( (i - (j+1)*j/2) <= j+1){*pp = j+1;*qq = i - (j+1)*j/2;break;}}}void refreshMetrix(double *m){int ipr,ipc,iqr,iqc;m[(p+1)*p/2] = m[(p+1)*p/2] * pow(cosz,2) + m[(q+1)*q/2] * pow(sinz,2) + 2 * m[(p-1)*p/2+q] * cosz * sinz;m[(q+1)*q/2] = m[(p+1)*p/2] * pow(sinz,2) + m[(q+1)*q/2] * pow(cosz,2) - 2 * m[(p-1)*p/2+q] * cosz * sinz;for(int i = 1; i <= N ;i++){if(i != p && i != q){if(i > p){ipr = i;ipc = p;}else{ipr = p;ipc = i;}if(i > q){iqr = i;iqc = q;}else{iqr = q;iqc = i;}m[(ipr-1)*ipr/2+ipc] = m[(ipr-1)*ipr/2+ipc] * cosz + m[(iqr-1)*iqr/2+iqc] * sinz;m[(iqr-1)*iqr/2+iqc] = -m[(ipr-1)*ipr/2+ipc] * sinz + m[(iqr-1)*iqr/2+iqc] * cosz;}}m[(p-1)*p/2+q] = 0;PTS(m);}//void calCosSin(double *m){double app = m[(p+1)*p/2];double aqq = m[(q+1)*q/2];double apq = m[(p-1)*p/2+q];cosz = cos(atan(2 * apq / (app - aqq))/2);sinz = sin(atan(2 * apq / (app - aqq))/2); }//void find_pq(double *m){double max = 0.0;int pp = 0;int qq = 0;for(int i = 1 ; i <= V ; i++){if(fabs(m[i]) > max){recounti(i,&pp,&qq);if(pp != qq){max = fabs(m[i]);p = pp;q = qq;}}}MAX = max;}void init(double *m){for(int i = 1 ; i <= N ;i++)m[(i+1)*i/2] = a(i);for(int i = 2 ; i <= N ; i++)m[(i-1)*i/2+i-1] = b;for(int i = 3 ; i <= N ; i++)m[(i-1)*i/2+i-2] = c;PTS(m);}void calFinal(double *m){printf("---------------------------------------------------------------------------------------------------\n");printf("结果输出:\n\n");double conda;double deta = 1.0;double minlumda = pow((double)10.0,12);double maxlumda = pow((double)10.0,-12);double absminlumda = pow((double)10.0,12);for(int i = 1 ; i <=N ;i++){if(m[(i+1)*i/2] > maxlumda)maxlumda = m[(i+1)*i/2];if(m[(i+1)*i/2] < minlumda)minlumda = m[(i+1)*i/2];if(fabs(m[(i+1)*i/2]) < absminlumda)absminlumda = fabs(m[(i+1)*i/2]);deta *= m[(i+1)*i/2];}if(fabs(minlumda) < fabs(maxlumda))conda = fabs(maxlumda) / absminlumda;elseconda = fabs(minlumda) / absminlumda;printf(" Lumda(1)=%.11e Lumda(%d)=%.11e Lumda(s)=%.11e\n",minlumda,N,maxlumda,absminlumda);printf(" Cond(A)=%.11e\n",conda);printf(" Det(A)=%.11e\n\n",deta);for(int i = 1 ; i <= FK ; i++){double muk = minlumda + i * (maxlumda - minlumda) / 40;double lumdak = 0.0;double tempabsmin = pow((double)10.0,12);for(int j = 1 ; j <= N ;j++){if(fabs(muk - m[(j+1)*j/2]) < tempabsmin){lumdak = m[(j+1)*j/2];tempabsmin = fabs(muk - m[(j+1)*j/2]);}}printf(" Lumda(i%d)=%.11e ",i,lumdak);if(i%3==0)putchar(10);}putchar(10);printf("------------------------------------------------------------------------------------------------------\n");putchar(10);putchar(10);}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){double m[(N+1)*N/2+1] = {0.0};kk=0;MAX=1.0;time_t t0,t1;t0 = time( &t0);init(m);#ifndef PTSprintf("正在计算...\n\n");#endifwhile(true){kk++;find_pq(m);if(MAX<eps)break;#ifdef PTSprintf(" p=%d q=%d |max|=%e\n",p,q,MAX);printf("-----------------------------------------------------------------------\n\n"); #endifcalCosSin(m);refreshMetrix(m);}#ifdef PTSprintf(" p=%d q=%d |max|=%e\n",p,q,MAX);printf("-----------------------------------------------------------------------\n\n");#endifprintf("矩阵最终形态...\n");for(int i = 1 ; i <= PFrols ; i++){for( int j = (i-1)*i/2+1 ; j <= (i+1)*i/2 ; j++){printf(PFbits,m[j]);}putchar(10);}for(int i = 1 ; i <= PFrols+1 ; i++){printf(" ... ");}putchar(10);printf(" . .\n");printf(" . .\n");printf(" . .\n");for(int i = 1 ; i <= PFrols+2 ; i++){printf(" ... ");}putchar(10);t1 = time(&t1);#ifdef PTSprintf("计算并输出用时%.2f秒\n\n",difftime(t1,t0));#elseprintf("迭代次数%d,计算用时%.2f秒\n\n",kk,difftime(t1,t0)); #endifcalFinal(m);return 0;}运行结果如下：中间运行状态如下：结果分析➢有效性分析1.由输出结果可见矩阵经过21840次迭代后，非对角元全部为零或接近于零；2.代码中有定义预编译宏//#define PTS控制程序运行过程是否输出中间迭代结果，如果输出中间迭代结果，可以发现对角元素在迭代的后期变化非常小，达到收敛的效果；3.算法在多次运行中基本可以在45秒左右完成计算（酷睿i5双核处理器，10G存，64位windows10操作系统）。

对称矩阵特征值分解的FPGA实现刘永勤【摘要】针对应用于MUSIC DOA估计的数据协方差矩阵特征值分解的需要,给出一个特征值分解的硬件实现方案,并阐述了基本思想.设计采用基于CORDIC的Jacobi算法实现实对称矩阵特征值分解,并在FPGA上对5×5矩阵进行了硬件仿真,经过理论分析和实验验证,该设计可以计算出全部特征值和特征向量,为MUSIC算法的FPGA实现奠定了基础.%Aiming at the needs of the data covariance matrix eigenvalue decomposition used in DOA estimation such as MUSIC,a hardware implementation scheme of the eigenvalue decomposition is provided and the basic idea is described in this paper. The Jacobi algorithm based on CORDIC is adopted in the design to achieve real symmetric matrix eigenvalue decomposi-tion,and conduct the hardware emulation for 5×5 matrix in FPGA. The results of theoretical analysis and experimental verifica-tion show that the design can calculate all eigenvalues and eigenvectors,and has laid the foundation for FPGA implementation of MUSIC algorithm.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2017(040)012【总页数】4页(P15-18)【关键词】MUSIC算法;特征值分解;Jacobi算法;CORDIC算法;FPGA【作者】刘永勤【作者单位】西安理工大学自动化与信息工程学院,陕西西安 710048;渭南师范学院数学与物理学院,陕西渭南 714099【正文语种】中文【中图分类】TN911-34;TN929.1多信号分类（MUSIC）[1]算法是波达方向（DOA）估计技术中最具代表性的高分辨力算法之一，因其突破了传统方法的瑞利极限而广受人们青睐。

1、用jacobi方法计算对称矩阵A的特征值和对应的特征向量。

function [k,Bk,V,D,Wc]=jacobite(A,jd,max1[n,n]=size(A;P0=eye(n;Vk=eye(n;Bk=A;k=1;state=1;while ((k<=max1&(state==1aij=abs(Bk-diag(diag(Bk;[m1 i]=max(abs(aij;[m2 j]=max(m1;i=i(j;Aij=(Bk-diag(diag(Bk;mk=m2*sign(Aij(i,j;Wc=m2;Dk=diag(diag(Bk;Pk=P0;c=(Bk(j,j-Bk(i,i/(2*Bk(i,j;t=sign(c/(abs(c+sqrt(1+c^2;pii=1/(sqrt(1+t^2;pij=t/(sqrt(1+t^2;Pk(i,i=pii;Pk(i,j=pij;Pk(j,j=pii;Pk(j,i=-pij;B1=Pk'*Bk;B2=B1*Pk;Vk=Vk*Pk;Bk=B2;state=0;if (Wc>jdstate=1;endk,k=k+1;Pk,Vk,Bk=B2,Wc,endif (k>max1disp('迭代次数k已经达到最大迭代次数ma1,迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D如下:'elsedisp('迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D如下:'endk=k-1;Bk=B2;V=Vk;D=diag(diag(Bk;Wc;[V1,D1]=eig(A,'nobalance'>> A=[12 -56 3 -1;-56 7 2 0;3 2 5 1;-1 0 1 12];>> [k,Bk,V,D,Wc]=jacobite(A,0.0001,100k =1Pk =0.7227 0.6912 0 0-0.6912 0.7227 0 00 0 1.0000 00 0 0 1.0000 Vk =0.7227 0.6912 0 0-0.6912 0.7227 0 00 0 1.0000 00 0 0 1.0000 Bk =65.5558 0 0.7858 -0.7227-0.0000 -46.5558 3.5189 -0.69120.7858 3.5189 5.0000 1.0000-0.7227 -0.6912 1.0000 12.0000 Wc = 56k =2Pk =1.0000 0 0 00 0.9977 0.0678 00 -0.0678 0.9977 00 0 0 1.0000 Vk =0.7227 0.6896 0.0468 0-0.6912 0.7210 0.0490 00 -0.0678 0.9977 00 0 0 1.0000 Bk =65.5558 -0.0533 0.7840 -0.7227-0.0533 -46.7948 0 -0.75740.7840 0.0000 5.2391 0.9509-0.7227 -0.7574 0.9509 12.0000 Wc = 3.5189k =3Pk =1.0000 0 0 00 1.0000 0 00 0 0.9906 0.13670 0 -0.1367 0.9906 Vk =0.7227 0.6896 0.0464 0.0064-0.6912 0.7210 0.0485 0.00670 -0.0678 0.9883 0.13640 0 -0.1367 0.9906Bk =65.5558 -0.0533 0.8754 -0.6088-0.0533 -46.7948 0.1035 -0.75020.8754 0.1035 5.1079 -0.0000-0.6088 -0.7502 -0.0000 12.1312 Wc = 0.9509k =4Pk =0.9999 0 -0.0145 00 1.0000 0 00.0145 0 0.9999 00 0 0 1.0000 Vk =0.7233 0.6896 0.0359 0.0064-0.6904 0.7210 0.0585 0.00670.0143 -0.0678 0.9882 0.1364-0.0020 0 -0.1367 0.9906 Bk =65.5685 -0.0518 -0.0000 -0.6087-0.0518 -46.7948 0.1043 -0.7502-0.0000 0.1043 5.0952 0.0088-0.6087 -0.7502 0.0088 12.1312 Wc = 0.8754k =5Pk =1.0000 0 0 00 0.9999 0 -0.01270 0 1.0000 00 0.0127 0 0.9999 Vk =0.7233 0.6896 0.0359 -0.0024-0.6904 0.7211 0.0585 -0.00250.0143 -0.0660 0.9882 0.1372-0.0020 0.0126 -0.1367 0.9905 Bk = 65.5685 -0.0595 -0.0000 -0.6080-0.0595 -46.8044 0.1044 0.0000-0.0000 0.1044 5.0952 0.0075-0.6080 0.0000 0.0075 12.1407 Wc = 0.7502k =6Pk =0.9999 0 0 0.01140 1.0000 0 00 0 1.0000 0-0.0114 0 0 0.9999 Vk =0.7233 0.6896 0.0359 0.0059-0.6903 0.7211 0.0585 -0.01030.0127 -0.0660 0.9882 0.1374-0.0132 0.0126 -0.1367 0.9905 Bk = 65.5754 -0.0595 -0.0001 -0.0000-0.0595 -46.8044 0.1044 -0.0007-0.0001 0.1044 5.0952 0.0075-0.0000 -0.0007 0.0075 12.1338 Wc =0.6080k =7Pk =1.0000 0 0 00 1.0000 0.0020 00 -0.0020 1.0000 00 0 0 1.0000 Vk =0.7233 0.6895 0.0373 0.0059-0.6903 0.7209 0.0600 -0.01030.0127 -0.0680 0.9881 0.1374-0.0132 0.0129 -0.1366 0.9905 Bk = 65.5754 -0.0595 -0.0002 -0.0000-0.0595 -46.8046 -0.0000 -0.0007-0.0002 -0.0000 5.0954 0.0075-0.0000 -0.0007 0.0075 12.1338 Wc = 0.1044k =8Pk =1.0000 0.0005 0 0-0.0005 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 1.0000 Vk =0.7229 0.6899 0.0373 0.0059-0.6907 0.7206 0.0600 -0.01030.0128 -0.0680 0.9881 0.1374-0.0133 0.0129 -0.1366 0.9905 Bk = 65.5754 0.0000 -0.0002 0.0000-0.0000 -46.8046 -0.0000 -0.0007-0.0002 -0.0000 5.0954 0.00750.0000 -0.0007 0.0075 12.1338 Wc = 0.0595k =9Pk =1.0000 0 0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 0.00110 0 -0.0011 1.0000 Vk =0.7229 0.6899 0.0373 0.0059-0.6907 0.7206 0.0600 -0.01030.0128 -0.0680 0.9880 0.1384-0.0133 0.0129 -0.1377 0.9903 Bk = 65.5754 0.0000 -0.0002 0.0000-0.0000 -46.8046 0.0000 -0.0007-0.0002 0.0000 5.0954 0.00000.0000 -0.0007 -0.0000 12.1338 Wc = 0.0075k =10Pk =1.0000 0 0 00 1.0000 0 -0.00000 0 1.0000 00 0.0000 0 1.0000 Vk =0.7229 0.6899 0.0373 0.0059-0.6907 0.7206 0.0600 -0.01030.0128 -0.0680 0.9880 0.1384-0.0133 0.0129 Bk = 65.5754 0.0000 0.0000 -46.8046 -0.0002 0.0000 0.0000 -0.0000 Wc = 6.9206e-004 k= 11 Pk = 1.0000 0 0 1.0000 -0.0000 0 0 0 Vk = 0.72290.6899 -0.6907 0.7206 0.0128 -0.0680 -0.0133 0.0129 Bk = 65.5754 -0.0000 -0.0000 -46.8046 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 Wc = 2.0482e-004 k= 12 Pk = 1.0000 0 0 1.0000 0 -0.0000 0 0 Vk = 0.7229 0.6899 -0.6907 0.7206 0.0128 -0.0680 -0.0133 0.0129 Bk = 65.5754 -0.0000 -0.0000 -46.8046 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.1377 -0.00020.0000 5.0954 -0.0000 0.9903 0.0000 0.0000 -0.0000 12.1338 0.0000 0 1.0000 0 0.0373 0.0600 0.9880 -0.1377 0.0000 0.0000 5.0954 -0.0000 0 0 0 1.0000 0.0059 -0.0103 0.1384 0.9903 0.0000 0.0000 -0.0000 12.1338 0 0.0000 1.0000 0 0.0373 0.0600 0.9880 -0.1377 0.0000 -0.0000 5.0954 -0.0000 0 0 0 1.0000 0.0059 -0.0103 0.1384 0.9903 0.0000 0.0000 -0.0000 12.1338Wc = 6.2740e-007 迭代次数 k，对称矩阵 Bk，以特征向量为列向量的矩阵 V，特征值为对角元的对角矩阵 D 如下： V1 = 0.6899 -0.0373 0.0059 -0.7229 0.7206 -0.0600 -0.0103 0.6907 -0.0680 -0.9880 0.1384 -0.0128 0.0129 0.1377 0.9903 0.0133 D1 = -46.8046 0 0 0 0 5.0954 0 0 0 0 12.1338 0 0 0 0 65.5754 k= 12 Bk = 65.5754 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -46.8046 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 5.0954 -0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 12.1338 V= 0.7229 0.6899 0.0373 0.0059 -0.6907 0.7206 0.0600 -0.0103 0.0128 -0.0680 0.9880 0.1384 -0.0133 0.0129 -0.1377 0.9903 D= 65.5754 0 0 0 0 -46.8046 0 0 0 0 5.0954 0 0 0 0 12.1338 Wc = 6.2740e-007。

一、引言Jacobi方法是一种用于计算矩阵特征值和特征向量的迭代数值方法。

它是数值线性代数中的重要算法之一，广泛应用于科学计算、工程技术和金融领域。

本文将通过一个例题来介绍Jacobi方法的原理和求解过程，并分析其在实际问题中的应用。

二、Jacobi方法的原理Jacobi方法是一种通过迭代对矩阵进行相似变换，使得原矩阵逐步转化为对角矩阵的方法。

通过数值迭代，可以逐步逼近矩阵的特征值和对应的特征向量。

其基本原理如下：1. 对称矩阵特征值问题：对于对称矩阵A，存在一个正交矩阵P，使得P^T * A * P = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值。

所以我们可以通过迭代找到P，使得P逼近正交矩阵，从而逼近A的特征值和特征向量。

2. Jacobi迭代：Jacobi方法的基本思想是通过正交相似变换，逐步将矩阵对角化。

具体来说，对于矩阵A，找到一个旋转矩阵G，使得A' = G^T * A * G为对角矩阵，然后递归地对A'进行相似变换，直到达到精度要求。

三、Jacobi方法求解特征值和特征向量的例题考虑以下矩阵A：A = [[4, -2, 2],[-2, 5, -1],[2, -1, 3]]我们将通过Jacobi方法来计算矩阵A的特征值和特征向量。

1. 对称化矩阵我们需要对矩阵A进行对称化处理。

对称化的思路是找到正交矩阵P，使得P^T * A * P = D，其中D为对角矩阵。

我们可以通过迭代找到逼近P的矩阵序列，直到达到一定的精度。

2. Jacobi迭代在Jacobi迭代的过程中，我们需要找到一个旋转矩阵G，使得A' =G^T * A * G为对角矩阵。

具体的迭代过程是：找到矩阵A中绝对值最大的非对角元素a[i][j]，然后构造一个旋转矩阵G，将a[i][j]置零。

通过迭代地对A'进行相似变换，最终使得A'的非对角元素逼近零，即达到对角化的目的。

3. 计算特征值和特征向量经过一定次数的Jacobi迭代后，得到了对称矩阵A的对角化矩阵D和正交矩阵P。

#ifnd‎e f ks‎f loat‎‎#defi‎n e ks‎f loat‎ dou‎b le#‎e ndif‎#if‎n def ‎i nt16‎‎#defi‎n e in‎t16 ‎i nt#‎e ndif‎#if‎n def ‎u int1‎6‎#def‎i ne u‎i nt16‎unsi‎g ned ‎i nt#‎e ndif‎#if‎n def ‎k snew‎‎#def‎i ne k‎s new(‎s,t) ‎((t*)‎m allo‎c((s)‎*size‎o f(t)‎))#e‎n dif‎#ifn‎d ef k‎s free‎‎#defi‎n e ks‎f ree(‎p) if‎(p!=0‎){fre‎e(p);‎p=0;}‎#end‎i f/‎*‎ksJa‎c obiG‎e tRea‎l SymM‎a trix‎F eatu‎r eVal‎u e‎用ja‎c obi方‎法求取*实‎对称*矩阵‎的特征值和‎特征向量‎‎ aM‎a trix‎[in]:‎ n 阶‎实对称阵‎‎ si‎d e[in‎]: 矩阵‎阶大小‎‎ eps‎[in]:‎控制精度‎‎ m‎a xTim‎e s[in‎]: 最大‎迭代次数‎返‎回值：‎‎前si‎d e*si‎d e个单元‎存储特征向‎量，一列为‎一特征向量‎；后sid‎e个存储单‎元为特征值‎，‎‎也就是总大‎小为 si‎z e = ‎s ide*‎(side‎+1) 存‎储单元*‎/ksf‎l oat ‎*ksJa‎c obiG‎e tRea‎l SymM‎a trix‎F eatu‎r eVal‎u e( k‎s floa‎t aMa‎t rix[‎] , u‎i nt16‎side‎,ks‎f loat‎eps ‎, uin‎t16 m‎a xTim‎e s )‎{‎ ksf‎l oat ‎*t, *‎s, *s‎1, *v‎e ctor‎, *q1‎;‎ flo‎a t a1‎, c ‎, s2 ‎, t1 ‎, max‎E ps =‎0 , ‎d1 , ‎d2, r‎= 1;‎‎u int1‎6 i ,‎j , ‎p , q‎, m ‎, tim‎e s = ‎0 , l‎e n = ‎0;‎ ui‎n t16 ‎s tart‎I ndex‎= 0 ‎, end‎I ndex‎;‎ end‎I ndex‎= si‎d e + ‎s tart‎I ndex‎;‎side‎+= s‎t artI‎n dex;‎‎len ‎= sid‎e*sid‎e;‎ t ‎= ksn‎e w(le‎n , k‎s floa‎t);‎ s ‎= ks‎n ew(l‎e n , ‎k sflo‎a t);‎ s‎1 = k‎s new(‎l en ,‎ksfl‎o at);‎‎q1 = ‎k snew‎(len ‎, ksf‎l oat)‎;‎vect‎o r = ‎k snew‎(len ‎+ sid‎e , k‎s floa‎t);‎ me‎m set ‎( vec‎t or ,‎0 , ‎(len+‎s ide)‎*size‎o f(ks‎f loat‎));‎ fo‎r( i ‎= sta‎r tInd‎e x ; ‎i < e‎n dInd‎e x ; ‎i++)‎ {‎‎ v‎e ctor‎[i*si‎d e+i]‎= 1;‎//将初始‎Q[i][‎j]置为单‎位矩阵‎ }‎‎w hile‎(r >=‎eps ‎&& ti‎m es <‎maxT‎i mes)‎‎{‎‎p = q‎= st‎a rtIn‎d ex; ‎m axEp‎s = 0‎;‎‎f or(i‎= st‎a rtIn‎d ex; ‎i < e‎n dInd‎e x; i‎++)‎‎ {‎‎‎for(‎j = s‎t artI‎n dex;‎j < ‎e ndIn‎d ex; ‎j++)‎‎‎ {‎‎‎‎i f( (‎j != ‎i) &&‎fabs‎(aMat‎r ix[i‎*side‎+j]) ‎> max‎E ps) ‎‎‎‎ {‎‎‎‎ m‎a xEps‎= (f‎l oat)‎f abs(‎a Matr‎i x[i*‎s ide+‎j]);/‎/找非对角‎元素绝对值‎最大的元‎‎‎‎‎p = i‎; q =‎j;‎‎‎‎}‎‎ }‎‎ }‎‎‎r = m‎a xEps‎;//重置‎当前误差‎‎ a1‎= (f‎l oat)‎((aMa‎t rix[‎q*sid‎e+q]-‎a Matr‎i x[p*‎s ide+‎p])/(‎2*aMa‎t rix[‎p*sid‎e+q])‎);‎‎if(a‎1 >= ‎0)‎‎{‎‎‎t1 = ‎(floa‎t)(1/‎(fabs‎(a1)+‎s qrt(‎1+a1*‎a1)))‎;‎‎}‎‎e lse‎‎ {‎‎‎ t1 ‎= (fl‎o at)(‎-1/(f‎a bs(a‎1)+sq‎r t(1+‎a1*a1‎)));‎‎ }‎‎ c ‎= (fl‎o at)(‎1/sqr‎t(1+t‎1*t1)‎);‎‎s2 =‎t1*c‎;‎‎mems‎e t ( ‎s , 0‎, le‎n*siz‎e of(k‎s floa‎t));‎‎ fo‎r( i ‎= sta‎r tInd‎e x ; ‎i < e‎n dInd‎e x ; ‎i++)‎‎ {‎‎‎ s[i‎*side‎+i] =‎1;//‎将初始Q[‎i][j]‎置为单位矩‎阵‎‎}‎‎s[p*‎s ide+‎p] = ‎c ;s‎[p*si‎d e+q]‎=s2;‎‎ s[‎q*sid‎e+p] ‎= -s2‎;s[q*‎s ide+‎q]=c;‎‎ f‎o r(i ‎= sta‎r tInd‎e x; i‎< en‎d Inde‎x; i+‎+)‎‎{‎‎‎f or(j‎= st‎a rtIn‎d ex; ‎j < e‎n dInd‎e x; j‎++)‎‎‎{‎‎‎ s‎1[i*s‎i de+j‎] = s‎[j*si‎d e+i]‎;//将矩‎阵s1[i‎][j]化‎为s[i]‎[j]的转‎置‎‎ }‎‎ }‎‎‎f or(i‎= st‎a rtIn‎d ex; ‎i < e‎n dInd‎e x; i‎++)‎‎ {‎‎‎for(‎j = s‎t artI‎n dex;‎j < ‎e ndIn‎d ex; ‎j++)‎‎‎ {‎‎‎‎d1 = ‎0;‎‎‎ f‎o r(m ‎= sta‎r tInd‎e x; m‎< en‎d Inde‎x; m+‎+)‎‎‎ {‎‎‎‎‎d1 +‎= (fl‎o at)(‎s1[i*‎s ide+‎m]*aM‎a trix‎[m*si‎d e+j]‎);//计‎算s1[i‎][j]*‎a Matr‎i x[i]‎[j] ‎‎‎‎}‎‎‎ t[‎i*sid‎e+j] ‎= d1;‎‎‎ }‎‎ }‎‎ f‎o r(i ‎= sta‎r tInd‎e x; i‎< en‎d Inde‎x; i+‎+)‎‎{‎‎‎f or(j‎= st‎a rtIn‎d ex; ‎j < e‎n dInd‎e x; j‎++)‎‎‎{‎‎‎ d‎1 = d‎2 = 0‎;‎‎‎ fo‎r(m =‎star‎t Inde‎x; m ‎< end‎I ndex‎; m++‎)‎‎‎ {‎‎‎‎‎d1 +=‎(flo‎a t)(t‎[i*si‎d e+m]‎*s[m*‎s ide+‎j]);/‎/计算t[‎i][j]‎*s[i]‎[j]‎‎‎‎ d‎2 += ‎(floa‎t)(ve‎c tor[‎i*sid‎e+m]*‎s[m*s‎i de+j‎]);//‎计算Q[i‎][j]*‎s[i][‎j]‎‎‎ }‎‎‎‎ aMa‎t rix[‎i*sid‎e+j] ‎= d1;‎‎‎‎ q1[‎i*sid‎e+j] ‎= d2;‎‎‎ }‎‎ }‎‎ m‎e mcpy‎( ve‎c tor ‎, q1 ‎, len‎*size‎o f(ks‎f loat‎));‎‎ tim‎e s +=‎1;‎ }‎‎// 对特‎征值与特征‎向量进行整‎合‎for(‎i = s‎t artI‎n dex;‎i < ‎e ndIn‎d ex; ‎i++)‎ {‎‎ v‎e ctor‎[len+‎i] = ‎a Matr‎i x[i*‎s ide+‎i];‎ }‎‎k sfre‎e ( t‎);‎ ks‎f ree ‎( s )‎;‎ksfr‎e e ( ‎s1 );‎‎k sfre‎e ( q‎1 );‎‎i f(ti‎m es >‎maxT‎i mes)‎‎{‎‎k sfre‎e ( v‎e ctor‎); ‎‎ ret‎u rn N‎U LL;‎ }‎‎retu‎r n ve‎c tor;‎}‎。

基于jacobi方法的hermitian矩阵特征分解算法Jacobi方法是一种常见的用于特征分解的数值算法，尤其适用于对称矩阵的特征分解，而对于Hermitian矩阵，Jacobi方法同样适用。

下面将介绍基于Jacobi方法的Hermitian矩阵特征分解算法。

算法流程1. 初始化给定Hermitian矩阵A，令B=A。

同时，令一个单位矩阵Q作为变换矩阵。

2. 找到最大非对角线元素在B中找到最大的非对角线元素B(i,j)的位置(i,j)。

3. 计算旋转角度通过B(i,j),B(i,i),B(j,j)，计算旋转角度θ。

$$\theta =\frac{1}{2}arctan\frac{2B(i,j)}{B(i,i)-B(j,j)}$$4. 构造旋转矩阵构造旋转矩阵G，使得G(i,i)=G(j,j)=cosθ，G(i,j)=-G(j,i)=sinθ，G(k,l)=1，其中(k,l)表示非i,j位置的元素。

5. 更新矩阵更新B和Q：$$B'=G^{*}BG$$$$Q'=QG$$6. 判断是否收敛如果经过若干次迭代后，所有的非对角线元素都小于某个阈值，就认为算法已经收敛。

否则，返回第2步。

7. 输出结果得到特征值和特征向量：$$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$$$$x_1,x_2,...,x_n$$其中，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$为矩阵A的特征值，$x_1,x_2,...,x_n$为特征值对应的特征向量。

算法优点相比于其他特征分解算法，在对称矩阵和Hermitian矩阵的特征分解中，Jacobi方法具有以下优点：1. 收敛快在一个比较短的迭代次数内，Jacobi方法就可以将矩阵对角化，从而得到特征值和特征向量。

2. 精度高Jacobi方法的收敛性保证了算法的精度，可以得到高精度的特征值和特征向量。

3. 可并行化Jacobi方法的迭代过程可以被划分为多个子问题，每个子问题都可以被并行计算，从而提高算法的效率。

Jacobi-Davidson迭代方法是一种用于求解对称或非对称特征值问题的迭代方法。

它结合了Jacobi方法和Davidson方法的优点，能够在较短的时间内快速收敛到特征值和特征向量。

本文将从原理、算法流程、收敛性等几个方面介绍Jacobi-Davidson迭代方法的相关内容。

1. 原理Jacobi-Davidson迭代方法的原理基于对称或非对称特征值问题的特征值分解。

在实际问题中，许多矩阵是大规模的、稀疏的，因此直接对其进行特征值分解是非常困难的。

Jacobi-Davidson迭代方法通过迭代的方式，逐步逼近矩阵的特征值和特征向量。

2. 算法流程Jacobi-Davidson迭代方法的算法流程如下：(1) 初始化：选择合适的初始特征向量和雅可比矩阵；(2) 迭代计算：通过迭代计算，逐步逼近特征值和特征向量；(3) 收敛判定：判断迭代过程是否收敛，若收敛则停止计算，否则继续迭代；(4) 输出结果：输出计算得到的特征值和特征向量。

3. 收敛性Jacobi-Davidson迭代方法具有较好的收敛性，尤其适用于对称或近似对称的矩阵。

通过合理的初始化和迭代计算，通常可以在较短的时间内获得较为精确的特征值和特征向量。

然而，由于不同问题的特点不同，有时也需要根据具体情况对算法进行调整，以提高收敛速度和精度。

4. 应用领域Jacobi-Davidson迭代方法在科学计算、物理学、化学、工程学等领域广泛应用。

在材料科学中，通过Jacobi-Davidson迭代方法可以快速求解材料的电子结构和能带结构；在计算流体力学中，可以用于求解流体的稳定性和振动特性等问题。

Jacobi-Davidson迭代方法是一种强大的求解特征值问题的数值方法，它通过结合Jacobi方法和Davidson方法的优点，具有较好的收敛性，适用于大规模、稀疏矩阵的特征值计算。

随着计算机技术的发展和应用需求的不断提高，Jacobi-Davidson迭代方法将在更多的领域得到广泛应用，并为解决实际问题提供重要的数值计算工具。