计算方法--矩阵特征值的数值计算方法(2011).

矩阵特征值计算
1 矩阵特征值计算
矩阵特征值计算是数学分析中一种重要的概念，它与矩阵的属性
密切相关。

一般情况下，矩阵特征值是指与矩阵有关的实值函数。

它
可以提供有关矩阵行列式和特征向量的有关信息。

矩阵特征值计算的定义为：设A是m×n的实矩阵，若存在一个实
数λ，使得A的每个元素都等于λ的倍数，则称λ为A的特征值（eigenvalue）。

所有不同的特征值构成A的特征值多项式，即特征
多项式的多项式，由
λ ^ n+λ ^ (n-1)+...+λ ^ 1+λ ^ 0
组成。

这里λ重复出现n次，证明A有n个线性无关的特征向量。

特征值是矩阵分析中最重要的因素。

一个矩阵的特征值有助于分
析数学问题，特别是矩阵和相对应的特征向量，以及A的分解及A的秩。

特征值及其特征向量也有助于我们解决具体问题，如求解最大值、最小值、最优解等。

计算矩阵特征值一般有两种方法：一种是近似方法，即迭代法；
另一种是精确方法，即行列式法和特征多项式法。

迭代法可以快速求
得与原矩阵几乎相等的特征值，但精确的特征值只能通过行列式法和
特征多项式法求出。

由于矩阵特征值的重要性，众多学者和研究者致力于提出更好的特征值计算方法。

而在数学和计算机科学领域，研究者更多地关注矩阵特征值，研究其计算方法和性能，以求取更好的计算效率提高计算精度。

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。

一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。

它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。

然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。

矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。

具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。

2. 求解矩阵B的行列式det(B)。

3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。

二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。

它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。

具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。

2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。

3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。

三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。

它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。

2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。

在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。

矩阵特征值的数值解法矩阵的特征值是在矩阵与其特征向量之间的关系中的数值解。

特征值在各个领域中都有广泛应用，包括物理、工程、金融等。

在解决实际问题时，我们经常需要计算矩阵的特征值，因此研究如何求解矩阵特征值的数值方法是非常重要的。

1. 幂迭代法（Power Iteration）幂迭代法是求解矩阵特征值的一种简单而常用的数值方法。

它的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量趋近于该矩阵的一个特征向量。

具体步骤如下：（1）初始化一个非零的初始向量x。

（2）进行迭代计算，即$x^{(k+1)}=Ax^{(k)}/，Ax^{(k)}，$。

（3）当向量x的相对误差小于一些预设的精度要求时，停止迭代，此时的x即为矩阵A的一个特征向量。

（4）将x带入特征值的定义式$\frac{Ax}{x}$，计算出特征值。

幂迭代法的优点是简单易实现，计算速度较快，缺点是只能求解特征值模最大的特征向量，而且对于存在特征值模相近的情况，容易收敛到错误的特征值上。

2. QR迭代法（QR Iteration）QR迭代法是一种较为稳定的求解矩阵特征值的数值方法。

它的基本思想是通过不断进行QR分解，使得矩阵的特征值逐渐收敛。

具体步骤如下：（1）将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，令$A_1=RQ$。

（2）将$A_1$再次进行QR分解，得到新的矩阵$A_2=R_1Q_1$。

（3）重复步骤（2），直到得到收敛的矩阵$A_k$，此时$A_k$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

QR迭代法的优点是对于特征值模相近的情况仍然能够收敛到正确的特征值上。

缺点是每次QR分解都需要消耗大量的计算量，迭代次数较多时计算速度较慢。

3. Jacobi迭代法（Jacobi's Method）Jacobi迭代法是一种通过对称矩阵的对角线元素进行迭代操作，逐步将非对角元素变为零的求解特征值的方法。

具体步骤如下：（1）初始化一个对称矩阵A。

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是线性代数中一个非常重要的概念，对于矩阵的特征值和特征向量的求解是解线性代数问题和应用的关键之一。

下面将从基本概念、性质、求解方法等方面全面介绍矩阵特征值的方法。

一、基本概念矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A，存在常数λ，使得线性方程组(A-λI)x = 0有非零解x存在。

其中，I是n阶单位矩阵。

λ称为矩阵A的特征值，而满足(A-λI)x = 0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

二、性质1. 矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值，但对应的特征向量不同。

2. 矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。

3. n阶矩阵A的特征值个数不超过n个，包括相同特征值重数。

即重特征值可以有多个线性无关的特征向量。

4. 矩阵的特征向量是线性无关的。

三、求解方法1. 特征值的定义法根据特征值的定义，我们将(A-λI)x = 0进行变换，得到(A-λI)x = 0，即(A-λI)x = 0。

利用行列式的性质求解此方程，得到特征值λ的值，再带入方程组中求解特征向量。

2. 特征值的代数重数和几何重数特征值λ是使(A-λI)x = 0有非零解的λ值，λ称为矩阵的代数重数。

而对应特征值λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间，零空间的维数称为矩阵的几何重数。

通常，代数重数大于等于几何重数。

3. 矩阵的特征向量特征向量是矩阵A与特征值λ的关联，通过求解(A-λI)x = 0可以得到特征向量。

特征向量是在特征值确定的情况下，通过解方程组取出的非零向量。

4. 特征值和特征向量的计算法常用的计算特征值和特征向量的方法有幂法、反幂法、QR方法、稀疏特征问题求解方法等。

（1）幂法幂法是求解矩阵最大特征值和特征向量的一种迭代方法。

首先初始化一个非零向量b0，然后进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。

迭代过程为：b(k+1) = A*b(k)，其中b(k)表示第k次迭代后的向量。

最后得到的向量b即为矩阵A的最大特征值对应的特征向量。

矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)以下是矩阵特征值求法的十种经典求法：1. 幂法（Power Method）幂法（Power Method）幂法是求解特征值的常用方法之一。

它基于一个重要的数学原理：对于一个非零向量$x$，当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后，$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。

这种方法通常需要进行归一化，以防止向量过度增长。

2. 反幂法（Inverse Power Method）反幂法（Inverse Power Method）反幂法是幂法的一种变体。

它通过计算矩阵$A$的逆来求解最小的特征值。

使用反幂法时，我们需要对矩阵$A$进行LU分解，以便更高效地求解线性方程组。

3. QR方法QR方法QR方法是一种迭代方法，可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形式来逐步逼近特征值。

这种方法是通过多次应用正交变换来实现的，直到收敛为止。

QR方法不仅可以求解特征值，还可以求解特征向量。

4. Jacobi方法Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。

在每个迭代步骤中，Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。

这种方法适用于对称矩阵。

5. Givens旋转法Givens旋转法Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。

它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。

这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。

6. Householder变换法Householder变换法Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。

它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式，然后再进一步将其变为上三角形式。

这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。

7. Lanczos方法Lanczos方法Lanczos方法是一种迭代方法，用于对称矩阵的特征值求解。

该方法创建一个Krylov子空间，并使用正交投影找到最接近特征值的Krylov子空间中的特征值。

矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。

结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。

（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。

结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。

（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。

但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。

二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。

矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。

所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。

如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。

逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。

上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。

结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。

相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。

(证明略)正交相似变换：中。

正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。

容易验证：。

适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。

矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。

则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。

适当x z —D 。

选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。

矩阵特征值的求法矩阵的特征值是在线性代数中一个非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。

特征值的求法有多种方法，其中最常用的是特征多项式的求解方法、特征向量迭代方法和QR分解方法。

下面将详细介绍这三种方法的原理和步骤。

1.特征多项式的求解方法：特征多项式是指一个与矩阵A有关的多项式，它的根就是矩阵A的特征值。

求解特征多项式的步骤如下：（1）设A是n阶方阵，特征多项式为f(λ)=，A-λI，其中λ是待求的特征值，I是单位矩阵。

（2）计算行列式，A-λI，展开成代数余子式的和：A-λI， = (a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ) - a12...an1(a21-λ)(a33-λ)...(ann-λ) + ..（3）将上式化简为f(λ)=0的形式，得到特征多项式。

（4）求解特征多项式f(λ)=0，得到矩阵A的所有特征值。

2.特征向量迭代方法：特征向量迭代方法的基本思想是利用矩阵A的特征向量的性质来逐步逼近特征值的求解。

具体步骤如下：（1）选取一个n维向量x0作为初始向量。

（2）通过迭代计算x1 = Ax0，x2 = Ax1，...，xn = Axn-1，直到向量序列xn趋于稳定。

（3）计算极限lim┬(n→∞)⁡((xn)^T Axn)/(，xn，^2)，得到特征值的估计值。

（4）将估计值代入特征方程f(λ)=，A-λI，=0中，求解特征方程，得到矩阵A的特征值。

3.QR分解方法：QR分解方法是将矩阵A分解为QR的形式，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

特征值的求解步骤如下：（1）通过QR分解，将矩阵A分解为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

（2）将A表示为相似对角矩阵的形式，即A=Q'ΛQ，其中Λ为对角矩阵，其对角线上的元素就是特征值。

（3）求解Λ的对角线元素，即求解特征值。

需要注意的是，这三种方法各自有适用的情况和算法复杂度。

特征多项式的求解方法适用于任意阶数的方阵，但对于高阶矩阵来说计算量比较大；特征向量迭代方法适用于大型矩阵的特征值求解，但需要选取合适的初始向量；QR分解方法适用于方阵的特征值求解，但要求矩阵能够进行QR分解。

求矩阵特征值方法特征值是线性代数中一个重要的概念，用于描述矩阵的性质和变换特征。

求矩阵特征值的方法有很多种，包括直接求解特征值方程和使用特征值分解等。

下面将介绍这些方法的原理和具体步骤。

1. 直接求解特征值方程直接求解特征值方程是一种常见的求解矩阵特征值的方法。

对于一个n阶矩阵A，特征值方程的定义为：det(A-λI) = 0其中，det表示矩阵的行列式，λ是特征值，I是单位矩阵。

通过求解这个特征值方程，可以得到矩阵A的所有特征值。

具体步骤如下：1) 将矩阵A减去λ倍的单位矩阵I，形成一个新的矩阵B=A-λI。

2) 计算矩阵B的行列式，即det(B)。

3) 将det(B)等于0，得到一个关于λ的方程，即特征值方程。

4) 求解方程，得到矩阵的特征值。

2. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵表示为特征向量和特征值的乘积的形式。

特征值分解的基本思想是，将一个矩阵A分解为一个特征向量矩阵P和一个对角矩阵D的乘积，其中P的列向量是A的特征向量，D的对角线上的元素是A的特征值。

具体步骤如下：1) 求解矩阵A的特征值和相应的特征向量。

2) 将特征向量按列排成一个矩阵P，特征值按对应的顺序排成一个对角矩阵D。

3) 验证特征值分解的正确性，即验证A=PD(P的逆矩阵)。

特征值分解具有很多应用，如对角化、对称矩阵的谱定理等。

3. 幂法幂法是求解矩阵特征值中的一种迭代方法，适用于对称矩阵或有且仅有一个最大特征值的情况。

幂法的基本思想是通过多次迭代得到矩阵A的一个特征向量，这个特征向量对应于矩阵A的最大特征值。

具体步骤如下：1) 初始化一个n维向量x0，可以是任意非零向量。

2) 进行迭代计算：xn=A*xn-1，其中A是待求特征值的矩阵。

3) 归一化向量xn，得到新的向量xn+1=xn/ xn 。

迭代的过程中，xn的方向趋向于特征向量，而xn的模长趋于特征值的绝对值。

当迭代次数足够多时，得到的向量xn就是特征值对应的特征向量。

矩阵的特征值怎么求它是什么意思矩阵的特征值求值方法：设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值。

求矩阵的特征值的方法：计算的特征多项式；求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。

矩阵的特征值怎么求设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值。

求矩阵的特征值的方法：计算的特征多项式；求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx 成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成(A-λE)X=0。

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式|A-λE|=0。

矩阵特征值的求法对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得[λ0E-A]X=0即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是即说明特征根是特征多项式|λ0E-A|=0的根，由代数基本定理有n个复根λ1，λ2，…，λn，为A的n个特征根。

当特征根λi(I=1，2，…，n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

矩阵是什么意思在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵在线性代数中的重要概念之一，它在很多数学和物理问题中都有着重要的应用。

求解矩阵特征值的方法有很多种，下面将介绍常见的几种方法。

1. 通过特征方程求解：设A为一个n阶矩阵，I为n阶单位矩阵，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称λ为矩阵A的一个特征值，x 为对应的特征向量。

特征方程为：A-λI =0。

对于一个n阶矩阵，特征方程是一个n次多项式，其根即为特征值。

根据特征方程求解特征值的一般步骤为：(1) 计算特征方程A-λI =0中的行列式；(2) 求解特征方程，得到特征值。

2. 使用特征值分解：特征值分解是将一个矩阵分解成特征值和特征向量的乘积的形式。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵D，使得A=PDP^ -1，则称D为A的特征值矩阵，P为A的特征向量矩阵。

特征值分解的一般步骤为：(1) 求解矩阵A的特征值和对应的特征向量；(2) 将特征值按降序排列，将对应的特征向量按列排列，得到特征向量矩阵P；(3) 构造对角矩阵D，将特征值按对角线排列；(4) 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^ -1；(5) 得到特征值分解A=PDP^ -1。

特征值分解方法对于对称矩阵和正定矩阵特别有用，可以将这些矩阵转化为对角矩阵，简化了矩阵的计算。

3. 使用幂迭代方法：幂迭代法是一种用于估计矩阵的最大特征值和对应特征向量的迭代方法。

它的基本思想是先任意给定一个非零向量，将其标准化得到单位向量，然后通过矩阵不断作用于该向量使其逐渐趋近于所求的特征向量。

幂迭代法的一般步骤为：(1) 随机选择一个初始向量x(0)，其中x(0)的范数为1；(2) 迭代计算向量x(k+1) = A * x(k)，直到x(k)收敛于所求的特征向量；(3) 使用向量x(k)计算特征值λ(k) = (A * x(k)) / x(k)。

幂迭代法的收敛性与初始向量的选择有关，在实际应用中通常需要进行多次迭代并取得多个结果进行比较，以获得较准确的特征值。

矩阵特征值的求法
矩阵特征值是矩阵在特定方向上的伸缩比率，或者说是矩阵在某
些方向上的重要程度，因此它在数学中有很多的应用。

在这篇文章中，我们将介绍矩阵特征值的求法。

一、定义
矩阵特征值是矩阵 A 的特征多项式P(λ) 的根，即
P(λ)=det(A-λI)=0，其中 I 是单位矩阵，det 表示行列式。

该多项
式的阶数等于矩阵 A 的阶数。

二、求法
1. 直接计算
对于小阶的矩阵，可以直接求解特征多项式的根，得到特征值。

2. 特征值分解
对于大阶的矩阵，可以通过特征值分解的方式求得矩阵的特征值。

特征值分解是一种将矩阵分解为特征向量和特征值的方法，即矩阵
A=QΛQ^-1，其中 Q 是正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素
就是特征值。

3. 幂迭代法
幂迭代法是一种通过连续迭代计算矩阵 A 的最大特征值和对应
特征向量的方法。

该方法的基本思想是利用矩阵特征值的性质，通过
不断迭代对特征向量进行单调放缩，最终得到矩阵的最大特征值和对
应特征向量。

4. QR 分解法
QR 分解法是一种通过 QR 分解求解矩阵特征值和特征向量的方法。

该方法的基本思想是将矩阵 A 分解为一个正交矩阵 Q 和一个上
三角矩阵 R，即 A=QR，然后对 R 迭代求解特征值和特征向量。

三、总结
矩阵特征值的求法有多种方法，其中直接计算适用于小阶矩阵，
而特征值分解、幂迭代法和 QR 分解法则适用于大阶矩阵。

在实际应
用中，需要根据具体情况选择合适的方法，以便快速、准确地求解矩阵的特征值和特征向量。

矩阵特征值的计算方法
矩阵特征值的计算方法指的是求解矩阵的特征值和特征向量的
过程。

矩阵的特征值是一个数，它表示矩阵线性变换后的方向和大小，而特征向量则是指在该方向上不发生变化的向量。

矩阵的特征值和特征向量在很多数学和工程领域中都有着广泛的应用，比如在谱分析、信号处理、图像处理、电力系统等方面都有重要的应用。

矩阵特征值的计算方法有很多种，其中最常见的方法是使用特征值分解。

特征值分解是指将一个矩阵分解成特征向量和特征值的乘积的形式，即 A = QΛQ^-1，其中A是待求解的矩阵，Q是特征向量组成的矩阵，Λ是特征值组成的对角矩阵。

特征值分解的计算方法比较简单，但是它只适用于有n个线性无关特征向量的n阶矩阵，而对于其他类型的矩阵，比如奇异矩阵和非对称矩阵，就需要使用其他的方法。

除了特征值分解之外，还有很多其他的计算方法可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，比如幂法、反幂法、QR分解法、雅可比方法等。

这些方法各有特点，可以根据实际情况选择适合的方法来求解矩阵的特征值和特征向量。

总之，矩阵特征值的计算方法是一个重要的数学问题，它在很多领域中都有着广泛的应用。

不同的计算方法有不同的优缺点，需要根据实际情况选择合适的方法来求解矩阵的特征值和特征向量。

- 1 -。

矩阵特征值的计算步骤
矩阵特征值的计算步骤：
①确定矩阵首先需要有一个给定的方阵A其阶数为nxn即行数和列数相等；
②构造多项式接下来计算行列式|λE-A|其中λ代表待求解特征值E为单位矩阵该表达式称为特征多项式；
③求解方程令上述结果等于零得到关于λ的一元n次方程这就是我们要寻找的特征方程；
④解出根利用因式分解数值法等手段找出所有可能的λ值它们正是我们所求A的特征值；
⑤验证正确性将求得的每一个λ代回到原方程中检验是否真的能使行列式为零从而验证答案正确性；
⑥特殊情况处理如果发现方程存在重根即某个λ出现了两次及以上那么该矩阵就不是可对角化矩阵；
⑦实际意义理解特征值反映了矩阵在变换过程中保持不变的方向以及该方向上的拉伸比例大小；
⑧应用实例在图像处理模式识别等领域常常需要通过计算协方差矩阵的特征值来揭示数据内部结构；
⑨复数情况当矩阵元素为复数时同样可以定义特征值只不过此时λ也可能为复数需用复数域来讨论；
⑩矩阵对角化如果一个矩阵存在n个线性无关的特征向量那么就可以用它们组成新的基从而实现对角化；
⑪几何解释在二维三维空间中特征值直观上表示了变换后图形相对于原图形放大缩小的程度；
⑫高级话题对于非方阵非线性系统也可以引入广义特征值概念来研究其稳定性响应特性等问题。

第9章 矩阵特征值的数值解法9.1 引言矩阵特征值问题有广泛的应用背景. 例如动力系统和结构系统中的振动问题、电力系统的静态稳定分析上、工程设计中的某些临界值的确定等，都归结为矩阵特征值问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，都要用到特征值的理论. 本章介绍n 阶实矩阵n n ⨯∈R A 的特征值与特征向量的数值解法.定义9.1.1 已知n 阶实矩阵()n n ij a ⨯=∈R A ，如果存在常数λ和非零向量x ，使λ=Ax x 或 ()λ-=0A I x (9.1.1)那么称λ为A 的特征值(eigenvalue)，x 为A 的相应于λ的特征向量(eigenvector). 多项式111212122212()det()n n n n n nn a a a a a a p a a a λλλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦LL M M O M LA I (9.1.2) 称为特征多项式(characteristic polynomial)，det()0λ-=A I (9.1.3)称为特征方程(characteristic equation).注 式(9.1.3)是以λ为未知量的一元n 次代数方程，()det()n p λλ=-A I 是λ的n 次多项式. 显然，A 的特征值就是特征方程(9.1.3)的根. 特征方程(9.1.3)在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个特征值. 除特殊情况 (如2,3n =或A 为上(下)三角矩阵)外，一般不通过直接求解特征方程(9.1.3)来求A 的特征值, 原因是这样的算法往往不稳定. 在计算上常用的方法是幂法与反幂法和相似变换方法. 本章只介绍求矩阵特征值与特征向量的这两种基本方法. 为此将一些特征值和特征向量的性质列在此处.定理9.1.2 设n 阶方阵()ij n n a ⨯=A 的特征值为12,,,n λλλL ，那么 (1) 121122n nn a a a λλλ+++=+++L L ; (2) 12det n λλλ=L A .定理9.1.3 如果λ是方阵A 的特征值，那么 (1) k λ是k A 的特征值，其中k 是正整数;(2) 当A 是非奇异阵时，1λ是1-A 的特征值. (3) ()n p λ是()n p A 的特征值，其中()n p x 是多项式2012()n n n p x a a x a x a x =++++L .定义9.1.4 设,A B 都是n 阶方阵. 若有n 阶非奇异阵P ，使得1-=P AP B ，则称矩阵A 与B 相似(similar)，1-P AP 称为对A 进行相似变换(similarity transformation)，P 称为相似变换矩阵(similarity transformation matrix).定理9.1.5 若矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征值相同. 定理9.1.6 如果A 是n 阶正交矩阵，那么 (1) 1T -=A A ，且det 1=A 或1-;(2) 若=y Ax ，则22=y x , 即T T ⋅=⋅x x y y . 定理9.1.7 设A 是任意n 阶实对称矩阵，则 (1) A 的特征值都是实数； (2) A 有n 个线性无关的特征向量.定理9.1.8 设A 是任意n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P ，使得1T -==P AP P AP Λ，其中12diag(,,,)n λλλ=L Λ是以A 的n 个特征值12,,,n λλλL 为对角元素的对角矩阵.定理9.1.9 (圆盘定理) 矩阵()ij n n a ⨯=A 的任意一个特征值至少位于复平面上的几个圆盘中的一个圆盘上。