第8章矩阵特征值计算

矩阵特征值求解的分值算法12组1. 1矩阵计算的基本问题(1) 求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求 一个n 维向量X,使得Ax =b (1.1.1 )(2) 线性最小二乘问题，即给定一个mx n 阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量使得 |A X -b | =min{ |Ay -比严 R n }(3) 矩阵的特征问题，即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特 征值以及对应的特征向量，也就是求解方程Ax = Z xA 的属于特征值A 的特征向量。

在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用，如大型桥梁或建筑物的振动问题： 机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题 ；无线电电子学及光学系统的电磁 振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题 .又如天文、地 震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。

在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马 尔可夫链模拟等实际问题，最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问 题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用，因此对矩阵的特征值问题的求解理 论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的 重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。

1.2矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个nxn 阶实(复)矩阵A,它的特征值问题，即求方程(I.1.3)式的非平凡 解,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来 许多计算问题.为了求(1.1.3)式中的A , —个简单的想法就是显式地求解特征方 程det(A —几I) = 0除非对于个别的特殊矩阵，由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由 行列式的计算来求得，既使能精确计算出特征方程的系数，在有限精度下，其特征 多项式f ") =det(A-ZJ)的根可能对多项式的系数非常敏感 能在理论上是有意义的，实际计算中对一般矩阵是不可行的 数较大，则行列式det(A -几I)的计算量将非常大；其次，根据 数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法 ，基于上述原因，人们只能寻求其 它途径.因此,如何有效地！精确地求解矩阵特征值问题，就成为数值线性代数领 域的一个中心问题.目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类：一类称为变换方法，另一类称为 向X,(1.1.2 )(1.1.3 ) 一对解(4 X),其中R(C),x- R n (C n ),即A 为矩阵A 的特征值，X 为矩阵(121 ).因此，这个方法只 .首先,若矩阵A 的阶 Galois 理论,对于次量迭代方法.变换方法是直接对原矩阵进行处理，通过一系列相似变换，使之变换成一个易于求解特征值的形式，如Jacobi算法,Givens算法,QR算法等。

第8章特征值和特征向量M A T L A B中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在线性代数教学时很有用。

注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。

8.1 特征值和特征向量的计算假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解：其中λ是一个标量，x是一个长度为n的列向量。

标量λ是A的特征值，x是相对应的特征向量。

对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。

一个n×n的矩阵有n个特征值，表，λ2，. ..，λn。

示为λ1M A T L A B中用命令e i g来确定矩阵A的特征值和特征向量。

特征向量的规格化，就是每个特征向量的欧几里得范数为1；参见7 .6节。

命令e i g自动完成对矩阵A的平衡化。

这就要求M A T L A B找出一个相似变换矩阵Q，满足条件。

求的特征值比求A的特征值条件更好些。

万一A有一个和机器错误大小一样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。

带有参数n o b a l a n c e的命令e i g可用来计算没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。

命令集7 9特征值和特征向量e i g(A)求包含矩阵A的特征值的向量。

[ X,D]=e i g(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。

为了得到有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。

[ X,D]=不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是e i g(A,’n o b a l a n c e’)不进行平衡相似变换。

b a l a nc e(A)求平衡矩阵。

[ T,B]=b a l a n c e(A)找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T－1AT。

B是用命令b a l a n c e求得的平衡矩阵。

e i g s(A)返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令e i g一样，但是不返回全部的特征值。

矩阵特征值及特征向量计算例程1.1.1 乘幂法例程该程序是用乘幂法计算实矩阵按模最大实特征值的C语言程序。

运行该程序时可根据提示按行输入（阶数小于等于100的）实矩阵，程序输出矩阵按模最大实特征值及特征向量。

1. 说明：（1）该程序计算阶数小于等于100的实矩阵的按模最大特征值及特征向量。

（2）当矩阵阶数大于100时（如120），则只要修改程序行：double m,lm,mk,e,A[101][101], x[101] ,y[101];中101为121既可。

（3）只有当矩阵的按模最大特征值为实数时，程序有效。

（4）在按模最大特征值为实数的情况下，如果程序失败，则应适当调整误差限或最大迭代次数。

2. 乘幂法例程源代码#include <stdio.h>#include <math.h>void main(){float s,m,lm,mk,e,A[101][101], x[101] ,y[101];int n, i,j,k ,nn;printf("请输入矩阵的阶数（小于等于100）n：\n");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){printf("请输入矩阵的第%d行：\n",i);for(j=1;j<=n;j++)scanf("%f",&A[i][j]);}printf("请输入最大迭代次数nn：\n");scanf("%d",&nn);printf("请输入误差限e：\n");scanf("%f",&e);printf("请输入初始向量x[i]：\n");for(i=1;i<=n;i++)scanf("%f",&x[i]);printf("正在进行计算，请等待\n");k=0; mk=0;do{k=k+1;lm=mk;mk=0;for(i=1;i<=n;i++)if (fabs(x[i]>mk))mk=x[i];for(i=1;i<=n;i++){s=0;for(j=1;j<=n;j++)s=s+A[i][j]*x[j];y[i]=s;}for(i=1;i<=n;i++){s=0;for(j=1;j<=n;j++)s=s+A[i][j]*y[j];x[i]=s/mk;}}while ((fabs(lm-mk)>e)&&(k<nn));if (k>=nn){printf("超出最大迭代次数仍不满足误差要求，计算失败！\n"); return;}else{m=0;lm=0;for(i=1;i<=n;i++){if (fabs(y[i]>m))m=y[i];if (fabs(x[i]>lm))lm=x[i];}s=m/fabs(m)*sqrt(lm);printf("按模最大特征值为:%f\n",s);printf("对应的特征向量为：\n");for(i=1;i<=n;i++){x[i]=(y[i]/(s*s*s)+x[i]/(s*s))/2;printf("%f\n",x[i]);}}}1.1.2 化实对称矩阵为三对角矩阵例程该程序是用Househoulder变换将对称矩阵化为对称三对角矩阵的C语言程序。

一． 问题描述用幂法与反幂法求解矩阵特征值求n 阶方阵A 的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。

对于n 阶矩阵A ，若存在数λ和n 维向量x 满足 Ax=λx （1） 则称λ为矩阵A 的特征值，x 为相应的特征向量。

由线性代数知识可知，特征值是代数方程 |λI-A|=λn+a 1λ1-n +…+a 1-n λ+a n =0 （2）的根。

从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值λ，再解齐次方程组（λI-A ）x=0 （3） 的解，就可得到相应的特征向量。

上述方法对于n 很小时是可以的。

但当n 稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程（2）未必是精确的特征方程，自然就不必说求解方程（2）与（3）的困难了。

幂法与反幂法是一种计算矩阵主特征值及对应特征向量的迭代方法, 特别是用于大型稀疏矩阵。

这里用幂法与反幂法求解带状稀疏矩阵A[501][501]的特征值。

二． 算法设计1． 幂法（1）取初始向量u )0(（例如取u)0(=(1,1,…1)T）,置精度要求ε，置k=1.（2）计算v)(k =Au)1(-k , m k =max(v)(k ), u)(k = v)(k / m k（3）若| m k -m 1-k |<ε，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值1λ，u )(k 作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2） 2. 反幂法 （1）取初始向量u)0(（例如取u)0(=(1,1,…1)T）,置精度要求ε，置k=1.（2）对A 作LU 分解，即A=LU （3）解线性方程组 Ly )(k =u)1(-k ,Uv)(k =y)(k（4）计算mk =max(v)(k), u)(k= v)(k/ mk（5）若|mk -m1-k|<ε，则停止计算（1/m k作为绝对值最小特征值nλ，u)(k作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.三．程序框图1.主程序2.子程序(1). 幂法迭代程序框图(2). 反幂法迭代程序框图四． 结果显示计算结果如下：矩阵A 的按模最大特征值为:-1.070011361487e+001 矩阵A 的按模最小特征值为:-5.557910794230e-003 矩阵A 最大的特征值为:9.724634101479e+000 矩阵A 最小的特征值为:-1.070011361487e+001与各k μ(1,2,...,39)k =最接近的ik λ（用[]V k 表示）的值如下：v[ 1]=-1.018293403315e+001 u[ 1]=-1.018949492196e+001 v[ 2]=-9.585707425068e+000 u[ 2]=-9.678876229054e+000 v[ 3]=-9.172672423928e+000 u[ 3]=-9.168257536145e+000v[ 4]=-8.652284007898e+000 u[ 4]=-8.657638843237e+000 v[ 5]=-8.0934********e+000 u[ 5]=-8.147020150328e+000 v[ 6]=-7.659405407692e+000 u[ 6]=-7.636401457419e+000 v[ 7]=-7.119684648691e+000 u[ 7]=-7.125782764510e+000 v[ 8]=-6.611764339397e+000 u[ 8]=-6.615164071601e+000 v[ 9]=-6.0661********e+000 u[ 9]=-6.104545378693e+000 v[10]=-5.585101052628e+000 u[10]=-5.593926685784e+000 v[11]=-5.114083529812e+000 u[11]=-5.0833********e+000 v[12]=-4.578872176865e+000 u[12]=-4.572689299966e+000 v[13]=-4.096470926260e+000 u[13]=-4.062070607058e+000 v[14]=-3.554211215751e+000 u[14]=-3.551451914149e+000 v[15]=-3.0410********e+000 u[15]=-3.040833221240e+000 v[16]=-2.533970311130e+000 u[16]=-2.530214528331e+000 v[17]=-2.003230769563e+000 u[17]=-2.019595835422e+000 v[18]=-1.503557611227e+000 u[18]=-1.508977142514e+000 v[19]=-9.935586060075e-001 u[19]=-9.983584496049e-001 v[20]=-4.870426738850e-001 u[20]=-4.877397566962e-001 v[21]=2.231736249575e-002 u[21]=2.287893621262e-002 v[22]=5.324174742069e-001 u[22]=5.334976291214e-001 v[23]=1.052898962693e+000 u[23]=1.044116322030e+000 v[24]=1.589445881881e+000 u[24]=1.554735014939e+000 v[25]=2.060330460274e+000 u[25]=2.065353707848e+000 v[26]=2.558075597073e+000 u[26]=2.575972400756e+000 v[27]=3.080240509307e+000 u[27]=3.086591093665e+000 v[28]=3.613620867692e+000 u[28]=3.597209786574e+000 v[29]=4.0913********e+000 u[29]=4.107828479483e+000 v[30]=4.603035378279e+000 u[30]=4.618447172392e+000 v[31]=5.132924283898e+000 u[31]=5.129065865300e+000 v[32]=5.594906348083e+000 u[32]=5.639684558209e+000 v[33]=6.080933857027e+000 u[33]=6.150303251118e+000 v[34]=6.680354092112e+000 u[34]=6.660921944027e+000 v[35]=7.293877448127e+000 u[35]=7.171540636935e+000 v[36]=7.717111714236e+000 u[36]=7.682159329844e+000 v[37]=8.225220014050e+000 u[37]=8.192778022753e+000 v[38]=8.648666065193e+000 u[38]=8.703396715662e+000 v[39]=9.254200344575e+000 u[39]=9.214015408571e+000五．程序#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 501void main(){double Q[5][501];double mifa(double A[5][501]);double fanmifa(double A[5][501]);double lm,lmax,lmin,ls,delta,u[39],v[39];int i,j,k;double A[5][501];A[0][0]=A[0][1]=A[1][0]=A[3][500]=A[4][499]=A[4][500]=0.0;//输入*501矩阵for(i=2;i<N;i++)A[0][i]=-0.064;for(i=1;i<N;i++)A[1][i]=0.16;for(i=0;i<N;i++)A[2][i]=(1.64-0.024*(i+1))*sin(0.2*(i+1))-0.64*exp(0.1/(i+1));for(i=0;i<500;i++)A[3][i]=0.16;for(i=0;i<499;i++)A[4][i]=-0.064;for(i=0;i<5;i++)//保存Afor(j=0;j<501;j++)Q[i][j]=A[i][j];lm=mifa(A);//按模最大特征值,函数mifa()不会改变矩阵A的值，不需还原for(i=0;i<N;i++) //平移A{A[2][i]=A[2][i]-lm;}lmax=mifa(A);//平移后A的按模最大特征值lmax=lmax+lm;//最大特征值或最小特征值if(lmax<lm){lmin=lmax;lmax=lm;}elselmin=lm;for(i=0;i<N;i++)//还原Afor(j=0;j<5;j++)A[j][i]=Q[j][i];ls=fanmifa(A);//按模最小特征值for(i=0;i<N;i++)//还原Afor(j=0;j<5;j++)A[j][i]=Q[j][i];for(k=0;k<39;k++)//计算u1-u39u[k]=lmin+(k+1)*((lmax-lmin)/40);for(k=0;k<39;k++){for(j=0;j<N;j++)A[2][j]=A[2][j]-u[k];v[k]=fanmifa(A)+u[k];for(i=0;i<N;i++)//还原Afor(j=0;j<5;j++)A[j][i]=Q[j][i];}printf("矩阵的按模最大特征值为:%.12e",lm);printf("\n");printf("矩阵的按模最小特征值为:%.12e",ls);printf("\n");printf("矩阵最大的特征值为:%.12e",lmax);printf("\n");printf("矩阵最小的特征值为:%.12e",lmin);printf("\n");for(k=0;k<39;k++){printf("v[%2d]=%.12e ",k+1,v[k]);printf("u[%2d]=%.12e",k+1,u[k]);printf("\n");}}double sgn(double a)//符号函数{if(a>0)return 1;else if(a=0)return 0;else return -1;}int max2(int a,int b){return a>b?a:b;}int max3(int a,int b,int c)return max2(a,b)>c?max2(a,b):c;}int min(int a,int b){return a<b?a:b;}void LU(double A[5][501],double u[501],double B[501])//LU分解法{double X[501];int i,j,k,t,l;double m=0,n=0;for(k=1;k<=N;k++)//求L，U{for(j=k;j<=min(N,k+2);j++)//U{m=0;for(t=max3(1,k-2,j-2);t<=k-1;t++){m+=A[k-t+2][t-1]*A[t-j+2][j-1];}A[k-j+2][j-1]=A[k-j+2][j-1]-m;}for(i=k+1;i<=min(N,k+2);i++)//Lif(k<N){n=0;for(l=max3(1,i-2,k-2);l<=k-1;l++){n+=A[i-l+2][l-1]*A[l-k+2][k-1];}A[i-k+2][k-1]=(A[i-k+2][k-1]-n)/A[2][k-1];}}for(i=2;i<=N;i++)//回代过程{m=0;for(t=max2(1,i-2);t<=i-1;t++)m+=A[i-t+2][t-1]*B[t-1];B[i-1]=B[i-1]-m;}X[N-1]=B[N-1]/A[2][N-1];//回代过程for(i=N-1;i>=1;i--){n=0;for(t=i+1;t<=min(N,i+2);t++)n+=A[i-t+2][t-1]*X[t-1];X[i-1]=(B[i-1]-n)/A[2][i-1];}for(i=1;i<=N;i++)//输出方程结果{u[i-1]=X[i-1];}}double mifa(double A[5][501])//幂法{int i,j,l=0;double u[501],t[501];double y[501];double h,b,c;c=0;for(i=0;i<N;i++)//幂法初始向量u[i]=1;while(1){for(i=0;i<N;i++)t[i]=0;h=u[0];for(i=0;i<N;i++)//无穷范数{if(fabs(h)<fabs(u[i])){h=u[i];l=i;}}for(i=0;i<N;i++)y[i]=u[i]/fabs(h);for(i=2;i<499;i++){for(j=i-2;j<=i+2;j++){t[i]=t[i]+A[i-j+2][j]*y[j];}u[i]=t[i];u[0]=A[2][0]*y[0]+A[1][1]*y[1]+A[0][2]*y[2];u[1]=A[3][0]*y[0]+A[2][1]*y[1]+A[1][2]*y[2]+A[0][3]*y[3];u[499]=A[4][497]*y[497]+A[3][498]*y[498]+A[2][499]*y[499]+A[1][N-1]*y[N-1];u[N-1]=A[4][498]*y[498]+A[3][499]*y[499]+A[2][N-1]*y[N-1];b=sgn(h)*u[l];if((fabs(b-c)/fabs(b))<=1e-12){//printf("幂法成功！");//printf("\n");break;}c=b;}return b;}double fanmifa(double A[5][501])//反幂法{double u[501],y[501];double P[5][501],Y[501];//LU分解前用于保存A和y的值double m=0,n=0,b=0,c=0;int i,j;for(i=0;i<N;i++)//反幂法初始向量u[0]=1;while(1){b=0;n=0;for(i=0;i<N;i++)n=n+u[i]*u[i];n=sqrt(n);for(i=0;i<N;i++)y[i]=u[i]/n;for(i=0;i<N;i++)//保存A和y{Y[i]=y[i];for(j=0;j<5;j++){P[j][i]=A[j][i];}}LU(A,u,y);//LU分解法,会改变A，y，u的值（目的只需求出u）for(i=0;i<N;i++)//还原A和yy[i]=Y[i];for(j=0;j<5;j++){A[j][i]=P[j][i];}}for(i=0;i<N;i++)b=b+y[i]*u[i];if((fabs(b-c)/fabs(b))<=1e-12){//printf("反幂法成功！");//printf("\n");break;}c=b;}return 1/b;}。

特征方程的根与特征值的计算方法特征方程常常在矩阵计算和微分方程中出现。

在这两个重要的数学领域中，特征方程的使用是非常重要的。

对于矩阵问题，特征方程的解决有助于找到矩阵的特征值，而针对微分方程，它可以用来描述一个微分方程的稳定性。

在本篇文章中，我们将会介绍特征方程的根与特征值的计算方法。

一、特征方程的定义特征方程是指一个矩阵减去一个标量矩阵后的行列式，表示为det(A-λI)=0。

其中，A是一个n阶方阵，λ是一个标量，I是一个n 阶单位矩阵。

二、特征值与特征向量在特征方程中，一个标量λ称为矩阵A的特征值，而特征向量则是指矩阵A与它的特征值所对应的非零向量。

特征方程的根与特征值有很大的关联性，因为特征值就是特征方程的根。

三、特征方程的解法要求解特征方程，必须要先计算出它的根，也就是特征值。

一般来说，根据求解特征值的方式，可以将特征方程的计算方式分为以下两种：1. 直接求解根据特征方程的定义，即求出A-λI的行列式，并令其等于0。

这个过程中，λ相当于是一个未知的变量，因此该方程式是一个关于λ的一元多项式，而根据代数基本定理，不存在大于n阶的关于λ的一元多项式。

因此，该方程式的根的个数正好等于它的次数。

举个例子：对于一个2阶矩阵的特征方程det(A-λI)=0，可以列出一个2次的关于λ的一元多项式。

这个方程式的根有可能是实数，但也有可能是复数。

对于一个n阶矩阵来说，这个特征方程是一个n次的关于λ的一元多项式，它也有可能有实数根与复数根。

2. 利用迭代计算法求解以幂迭代法为例来说明。

Step 1：初始化随机生成一个n维向量x0，并将其归一化。

不妨先令i=0，然后执行以下的迭代计算法：Step 2：迭代求解i. 计算矩阵和向量的乘积。

y=Axiii. 求得y中的最大值yi和对应的下标iiii. 创建一个新的向量x，并计算x=1/yi*yiv. 计算向量x与扰动项之和的范数，并判断其是否已经收敛若范数小于一个给定的精度，则停止迭代计算法；反之，则转到Step 2并令i=i+1，继续循环迭代计算。

第八章 λ—矩阵一 内容概述 1 基本概念 1)λ— 矩阵 设p 是一个数域，λ是一个文字，则称以数域P 上λ的多项式作为元素的矩阵为λ—矩阵，记为 A （λ）,B(λ)等。

2)λ—矩阵的运算：加法，减法，乘法，数乘和转置等，伴随矩阵，行列式，λ—矩阵的秩。

可逆λ—矩阵，λ—矩阵的初等变换，λ—矩阵的等价。

3)行列式因子：设m*n 的 —矩阵A(λ)的秩为r ，对于正整数k,1≤k ≤r 在A(λ)中所有k 级子式的首项系数为1的最大公因式称为 A(λ) 的K 级行列式因子。

记为D K (λ). 4)—矩阵的标准形，不变因子()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0...0...21x r x x d d d r ≥1,d i (λ)(i=1,2….r )是首项系数为1的多项式且d i (λ)|d 1+i (λ)(i=1,2,…r -1)称为A(λ) 的标准形。

d 1(λ),d 2(λ),…d r (λ)称为A(λ) 的不变因子。

5)行列式因子与不变因子的关系：D K (λ)=d 1(λ)…d k (λ)k=1,2,…r. d 1(λ)=D 1(λ)d k (λ)=()()λλ1-K K D D K=2,3…r6)初等因子，设 A 与 n*n 矩阵，把A 的每个次数大于0不变因子分解成互不相同的一次因式之方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为A 的初等因子。

A 的初等因子和不变因子相互唯一决定。

7）若当标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S J J J ...21 J i 为若当块 2. 矩阵等价的充分必要条件：设A ()λ与B ()λ都是s ⨯n 的λ--矩阵 则A ()λ≅B ()λ 〈=〉P ()λA ()λQ ()λ=B ()λ其中P ()λ和Q ()λ都是可逆矩阵A ()λ与B ()λ有相同的标准形 〈=〉A ()λ 与B ()λ有相同的行列式因子 〈=〉A ()λ与B ()λ有相同的不变因子3．矩阵相似的充分必要条件： 设A,B 都是n 阶方阵则 〈=〉λE-A ≅λE-B〈=〉A 与B 有相同的初等因子 〈=〉A 与B 有相同的不变因子〈=〉λE-A 与λE-B 有相同的标准形4矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件： （1） 有个线性无关的特征向量 （2） 初等因子全是一次的 （3） 最小多项式无重根5如何求矩阵A 的若当标准形。

第八章矩阵特征值8.1特征值的定义在线性代数中，一个n阶方阵A的特征值（Eigenvalue）是指一个标量λ，使得下面的等式成立：Ax=λx其中x是一个非零的n维向量，被称为对应于特征值λ的特征向量（Eigenvector）。

特别地，一些情况下，我们有:AX=λX。

这是一个常见的特殊情况，被称为多重特征值（Multiple Eigenvalues）。

8.2特征值与特征向量的求解我们可以通过以下方式求解矩阵的特征值与特征向量。

1.设A是一个n阶方阵，特征值为λ，特征向量为X，我们有AX=λX。

2.将等式重写为AX–λX=0，再移项得到(A–λI)x=0。

3.构造(A–λI)矩阵，其中I是单位矩阵。

4.解方程组(A–λI)X=0，求解零空间的基础解系（基础特征向量）。

5.基础特征向量的线性组合即为所有特征向量。

8.3特征值的性质矩阵的特征值具有一些性质，包括：1.特征值的个数等于矩阵的阶数。

一个n阶矩阵A最多有n个不同的特征值。

2.特征值的乘积等于矩阵的行列式。

即特征值λ1，λ2，…，λn与矩阵A的特征多项式p(λ)=，A-λI，的系数关系为λ^n+a_{n-1}λ^(n-1)+…+a_1λ+a_0。

3.特征值的和等于矩阵的迹。

即矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn 满足λ1+λ2+…+λn=Tr(A)，其中Tr(A)为矩阵A的迹（对角线上元素之和）。

4.特征值与行列式的关系。

矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn都满足，A-λI，=0，即他们是矩阵A的特征方程的根。

8.4矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，将其转化为对角矩阵的过程。

对角化的主要目的是将矩阵的运算简化为对角矩阵的运算，从而更易于求解。

一个n阶方阵可以对角化的条件是它有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量数量等于A的阶数。

通过对角化，可以将矩阵A表示为：A=P^(-1)DP其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，P的列向量是A的特征向量。