一类Lipschitz离散非线性系统的观测器设计

基于拟单边Lipschitz条件的非线性系统观测器设计徐铭鞠;徐明跃【摘要】一类拟单边Lipschitz非线性系统的观测器设计问题．基于拟单边Lipschitz条件，给出一系列这类非线性系统观测器存在性的充分条件，这些条件至少是已有文献中相关结论的补充，而且和已有文献中的结论相比，所给出的充分条件要减少保守性．论文表明了对于大多数非线性系统观测器的设计而言，拟单边Lipschitz常数矩阵要优于单边Lipschitz常数和传统的Lipschitz常数．需要指出的是所提出的方法不仅可以直接应用于一些重要的Lipschitz非线性系统，对于拟单边Lipschitz非线性系统而非通常的Lipschitz非线性系统也同样适用．最后，仿真算例验证了结论的可行性．%In this systems is investigated paper, the observer design for the class of quasi - one - sided Lipschitz nonlinear Based on the quasi- one- sided Lipschitz condition, we propose sufficient conditions of the existence of the observers for the class of nonlinear systems, these conditions are complements of those based on Lipschitz condition in literature at least, and some of these conditions are less conservative than those in literature. This paper shows that the one - sided Lipschitz constant matrix is superior to the one - sided Lipschitz constant and Lipschitz constant for observer design of a large number of nonlinear systems. It should be noticed that some of the present results are directly applicableto not only the important class of the Lipschitz nonlinear systems but also the quasi - one - sided Lipschitz nonlinear systems which are not the usual Lipschitz nonlinear systems. Some examples are given to illustrate the proposed approach.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2012(028)003【总页数】6页(P32-37)【关键词】非线性系统;观测器设计;单边Lipschitz条件;拟单边Lipschitz条件【作者】徐铭鞠;徐明跃【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文【中图分类】TP131 状态描述在过去的数十年中，非线性系统的观测器设计问题是一个非常积极的领域，出现了大量这方面的文献专著.非线性系统的状态观测器可以分为全维观测器和降维观测器.降维观测器只需估计与系统输出独立的部分状态即可.因此，和全维观测器相比，维数得以降低，即降维观测器可以由较少的积分器构成进而使整个控制系统变得相对简单.一般而言，非线性系统观测器的设计有两种方法.第一种是基于一种非线性状态变换，令动态误差系统线性化，因此设计状态观测器需运用到线性技术.第二种方法是则是不需要进行变换，直接基于原始的系统进行观测器设计［1-3，5-6，8-10］.为便于叙述，本文引入如下记法:考虑如下的一类Lipschitz非线性系统:其中x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp，A∈Rn×n，C ∈Rp×n，Φ(x，u):Rn→Rn关于x 是非线性的.笔者总是假定(A，C)可观测，并且C是行满秩的.定义1.1 对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果存在常数γ使得则γ称为Φ(x，u)关于 x的 Lipschitz常数.称Φ(x，u)是关于x的Lipschitz非线性函数.对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果存在正定矩阵P和依赖于P的常数vp 使得则vp称为Φ(x，u)关于x的单边Lipschitz常数称Φ(x，u)是关于x的单边Lipschitz非线性函数.对于n维的向量函数Φ(x，u)，如果其中f(x，u)=PΦ(x，u)，P是待求正定阵，M是一个实对称矩阵(不必负定或正定)称为PΦ的带有拟单边常数矩阵.称Φ(x，u)是关于x的拟单边Lipschitz非线性函数［6］，不等式(2)，(3)和(4)分别叫做Lipschitz条件，单边Lipschitz条件和拟单边Lipschitz条件.注1.1 一个单边Lipschitz函数［5］显然是一个拟单边Lipschitz函数.另外，通过文献［11］中的注2知一个Lipschitz非线性函数一定是一个拟单边 Lipschitz 非线性函数.即，拟单边Lipschitz条件是单边Lipschitz条件的推广，单边Lipschitz条件是Lipschitz条件的推广.首先给出如下假设:假设(i) 系统(1)满足单边Lipschitz条件(2)，并且存在适当维数的矩阵K和P(P是正定矩阵)，使得下式成立假设(ii) 系统(1)满足拟单边Lipschitz条件(4)，并且存在适当维数的矩阵K和P(P 是正定矩阵)，且下面的不等式成立尽管拟单边Lipschitz常数矩阵在非线性系统观测器设计上更优于单边Lipschitz 常数和Lipschitz常数，但很难获得(4-5)的正定解P［13］，原因有两个:(Ⅰ)很难去计算(4)(5)中的Mp.(Ⅱ)即使可以从中计算出来Mp，但是矩阵不等式(4)(5)的可行性和可解性一样是很难讨论，因为 Mp要依赖于正定解 P.即不等式(4)(5)并不是LMIS.因此研究其可行性和可解性就变得尤为重要.2 文献的结论考虑系统(1)的如下形式的观测器则误差系统为其中~=x-^x.下面先介绍几个引理［5，6，11］.引理2.1［6］如果假设(ii)成立，则(7)为系统(1)的渐进稳定估计.引理2.2［12］假定(4)的正定解P有分块矩阵表示形式其中P1 ∈ Rp×p，P2 ∈ Rp×(n-p)，P3 ∈ R(n-p)×(n-p).如果C=(IpO)并且条件(i)成立，则带有单边Lipschitz条件(2)的非线性系统(1)有一个如下形式的降维观测器:其中下面的引理指出假定C有形式(IpO)并不是至关重要的.引理2.3［12］对于带有单边Lipschitz条件(2)的系统(1)，如果C是行满秩的且可以选择一个增益阵K，使得下列不等式有一个正定对称解P，则系统(1)有由(7)给出的全维观测器，以及如下的降维观测器:其中这里的符号S，D和在文献［12］中有所定义.3 主要结论在这一节，将提出非线性系统(1)在几种重要情况下观测器存在性的充分条件.给出的结论至少是已有文献的补充，并且较之已有条件要减少保守性.结论表明对于大量的非线性系统观测器的设计来说，拟单边Lipschitz常数矩阵要优于单边Lipschitz常数和Lipschitz常数.首先，类似引理2.2和引理2.3，我们给出下面重要的定理定理3.1 (1)如果C=(IpO)，并且条件(ii)成立，那么带有拟单边Lipschitz条件(3)的非线性系统(1)具有一个全维观测器(7)及降维观测器(9).(2)如果C是行满秩的，并且条件(ii)成立，那么带有拟单边Lipschitz条件(9)的非线性系统(1)有一个全维观测器(7)及降维观测器(10).其证明完全类似于引理2.2.和引理2.3，在此省略.注3.1 如果C=(IpO)，对于满足条件(3)的系统(1)来说，如果只考虑降维观测器，那么拟单边Lipschitz条件(3)可以减弱为对于所有的u∈Rm成立.现在我们研究不等式(4)和(5)的可行解.通过注1.1知不等式(5)是不等式(4)的延伸，所以只需研究不等式(5)的可行解即可.下面对于特定结构的Φ(x，u)研究如何将矩阵不等式(5)变换为一个线性矩阵不等式(LMI).3.1 假定其中fi(x，u)(i=1，2，…，n)是带有Lipschitz常数γi的非线性Lipschitz函数.定理3.2 考虑系统(1)带有假定条件(2).如果存在正实数 m1，m2，…，mn 和增益矩阵K使得下列LMI:有一个正定解，则非线性系统(1)有一个全维观测器(7)及降维观测器(10)(当C=(IpO)时为(9)).证明根据定理3.1，只需证明对于任意的是PΦ 的拟单边Lipschitz常数矩阵.根据所讨论的非线性项的形式计算得知对于任意的正实数m1，m2，…，mn和，有其中Rn，可见是PΦ的拟单边Lipschitz常数矩阵.注3.2 如果只考虑降维观测器设计，则由(14)式及注3.1的(11)式可知是PΦ的拟单边Lipschitz常数矩阵，且可以通过m1，m2，…，mn来适当的调整和的值. 3.2 在上一种情形中LMI(13)给出了一类非线性系统观测器存在性的充分条件.然而它需要(13)式的正定解P下面我们考虑不等式(5)的正定解可以是任意结构的情况.假设系统(1)的非线性部分Φ有以下结构:其中fi(xi，u)(i=1，2，…，n)单调递增且关于xi可微，且满足，则有定理3.3.考虑系统(1)的非线性系统部分满足如上假设，如果存在增益矩阵K使得下列LMI:有正定解P，其中，则非线性系统(1)具有(7)形式的全维观测器及(11)形式的降维观测器(当C=(IpO)时为(9)).证明根据定理3.1知只需证对于任意的正定矩阵P，Mp=是PΦ 的拟单边Lipschitz常数矩阵.下面分情形由特殊到一般给予证明:如果对于每个i≠k，存在k(1≤k≤n)使得则有 .对于任意正定矩阵P=(pij)n×n × Rn×n，令该矩阵表示中空白的部分为0元素，非空白部分的元素在第k行k列.显然TkPTk ＞0，且可推得TkPTk＞P(k).因此，对于任意的正定矩阵P∈Rn×n，由中值定理知存在ξ∈ Co(xk，)使得因此，Mp=γkTkPTk是PΦ的拟单边Lipschitz常数矩阵.对于一般情形我们可以将Φ(x，u)写成如下形式:其中Rn.利用(18)式，类似定理3.2的证明我们有即是PΦ 的一个拟单边Lipschitz常数矩阵3.3 第三种情形可由下述定理直接阐述定理3.4 如果非线性系统(1)满足下列条件:有一个正定解P，那么(9)是系统(1)的降维观测器.证明依据向量值函数中值定理，对于任意的正定矩阵P=(pij)m×n∈Rm×n及x-^x=(0，0，…，xn-^x)T∈ Rn，存在ξ∈ Co(x，^x)使得因此，Φ(x，u)满足注3.1中的不等式(10)，其中Mp=vP.依据定理3.1和注3.1知，(9)是系统(1)的降维观测器.4 数值算例在这一章，将通过数值算例来验证本文所给结论的有效性.例考虑在文献［7］中研究的三角Lipschitz非线性系统:其中这个系统是Lipschitz非线性系统并且Lipschitz常数是γ=2＞1，引理2.3失效.然而Φ(x，u)满足定理3.3第一部分的条件.解LMI(19)即有所以利用定理3.1和定理3.3，(7)是其全维观测器.图1 x的仿真结果初始条件为 x(0)=(0.5，1)'，^x(0)=(4，6)'.下面考虑该系统的降维观测器，我们可以利用定理3.8，解LMI(3.13)即可以得到正定矩阵从降维观测器(9)，我们得到x2的状态仿真图2，其中初始条件为x2(0)=1，^x2(0)=4.4.5 结束语图2 x的状态仿真拟单边Lipschitz条件是对单边Lipschitz条件的推广，单边Lipschitz条件是Lipschitz条件的推广.论文表明对于大量非线性系统的观测器设计而言，拟单边Lipschitz常数矩阵要优于单边Lipschitz常数和Lipschitz常数.我们希望mp可以尽可能多的利用非线性部分所提供的信息进行观测器设计，但这样的mp是很难找到的，并且解不等式(5)也存在困难，原因是不等式(5)并非直接就是LMI.本文研究了不等式(5)的可行性和可解性.对几种重要的情况加以讨论，获得了使不等式(5)成为LMI的的拟单边Lipschitz常数矩阵mp.需要指出的是所给结论不仅可以直接应用于一些重要的Lipschitz非线性系统，同时对一些非传统意义的Lipschitz非线性系统(只需是拟单边Lipschitz非线性系统)也同样适用，所提出的方法是对文献［11，12］中相关理论的补充.最后给出仿真算例对结论加以验证.参考文献［1］ Besancon G，Hammouri H.On uniform oberservationnonuniformly observable systems，Syst.Control Lett.，1996，29:9-19.［2］ Besancon G，Hammouri H.Reduced order observer for a classof nonuni-formly observable systems，in Proc.34th Conf.Decision and Control，New Orleans，L A，1995:121-125.［3］ Dawson D M.On the state observation and output feedbackproblems for nonlinear uncertain dynamic systems，Syst.ControlLett，1992，18:217-222.［4］ Dekker K，Verwer J G.Stability of Runge-Kutta methods for Stiff Nonlinear Differential Equations.Amsterdam:North-Holland.［5］ Guangda H，2006，Observers for one-sided Lipschitz nonlinear Systems.IMA J.Math.Control Inf，1984，23:395-401.［6］ Guangda H.A note on observer for one-sided Lipschitz non-linear Systems.IMA J.Math.Control inf，2008，25:297-303.［7］ Gauthier J P.Hammouri H，Othman S.A simple observer fornonlinear system.Applications to bioreactors，IEEE Tran.Automat.Contro.，1992，37(6)，875-880.［8］ Ibrir S.Circle-criterion approach to discrete-time nonlinear observer design，Automatica，2007，43，1432-1441.［9］ Kazantzis N，Kravaris C.Nonlinear observers design using Lyapunoov’s auxiliary theorem，Systems and Control Letters，1998，34:241-247.［10］ Khalil H K，Esfandiari F.Semiglobal stabilization of a class of nonlinear systems using output feedback，IEEE Trans.Automat.Contr，1993，38:1412-1415.［11］ Mingyue X，Guang da H，Yan bin.Reduced-order observer design for one-sided Lipschitz non-linear systems.IMA J Math Control Inf，2009，26(2):299-311.［12］ Zhu F，Han.Anote on observer for Lipschitz nonlinear systems.IEEE Trans，Autom Control，2002，47(2):1751-1754.。

一类Lipschitz离散非线性系统的观测器设计杨迎娟;沈明轩【摘要】研究非线性项满足Lipschitz条件的一类离散非线性系统观测器设计问题. 应用Schur引理,并结合构造Lyapunov函数, 获得了观测误差渐近趋于零的三个新的充分条件,且观测增益矩阵可通过求解线性矩阵不等式得到. 文中仿真实例验证了所获方法的有效性.【期刊名称】《安徽工程大学学报》【年(卷),期】2010(025)001【总页数】5页(P69-73)【关键词】Lipschitz离散非线性系统;线性矩阵不等式;Lyapunov稳定性;观测器设计【作者】杨迎娟;沈明轩【作者单位】安徽工程科技学院,应用数理系,安徽,芜湖,241000;安徽工程科技学院,应用数理系,安徽,芜湖,241000【正文语种】中文【中图分类】O231在过去的几十年里,非线性动态观测器设计的研究得到了很大的发展.不同类型的非线性系统的各种观测器设计方法已被提出.这些方法大致可分为两种.第一种是使用一个非线性坐标变换把原来的系统变换为标准型,然后对标准型系统进行观测器设计[1-3].第二种方法是直接对原系统进行观测器设计.这种方法常常用在带Lipschitz非线性项的系统中[4-10].文献[4-10]都是研究连续时间系统的观测器设计问题.对于离散非线性系统的观测器设计相对来说文献较少.文献[11-12]基于扩展的Kalman滤波方法提出了非线性离散系统的局部的观测器设计方法.文献[13-14]在对系统的非线性项没有任何限制条件的基础上提出了观测器设计方法.文献[15]基于标准Lyapunov函数提出了一个简单的稳定性条件,但是这个条件只适用于Lipschitz常数小于1的Lipschitz系统.文献[16]推广了文献[15]的结果,基于线性矩阵不等式提出了Lipschitz非线性系统的观测器设计方法.文献[17]利用线性矩阵不等式给出了凸最优条件,在这个条件下讨论了带时滞和干扰输入的Lipschitz离散非线性系统的观测器设计问题.文献[18]给出了一个误差动态可线性化的离散非线性观测器存在的充分必要条件,这个结果可以应用到线性项是可观测的非线性系统中.文献[19]在文献[18]的基础上利用坐标变换给出了一类离散非线性观测器设计的直接方法,并给出了变量变换的明确表达式.文献[20]讨论了适用于带线性输出方程的Lyapunov稳定性离散非线性系统的降维观测器设计,这种观测器也是线性系统的Luenberger降维观测器的概括.文献[21]提出了一类离散Lipschitz非线性系统观测器的设计方法,得到了观测器增益阵的存在条件及其解析表达式,但是这个条件很难在工程上实现.文献[22]针对离散时间Lipschitz非线性系统,研究了观测器的设计问题,将观测器增益矩阵的设计问题表述为一组线性矩阵不等式的求解问题,但是没有给出仿真实例.本文针对一类Lipschitz离散非线性系统,提出了新的观测器设计方法.基于不同的Lyapunov函数构造方法,利用线性矩阵不等式和Schur补引理,证明了在适当条件下观测误差渐近收敛于零,并给出增益矩阵的计算方法.在后续的讨论中,本文涉及到的矩阵与向量的范数均为F-范数.1 问题描述考虑如下非线性系统其中是状态向量,是输出向量.A和C是适当维数的矩阵是一个非线性映射,并且关于x(k)是Lipschitz的.即对所有的x1,x2∈Rn都成立,并且γ是与y(k)无关的正实数.对于系统(1)构造如下的观测器令估计误差e(k)=x(k)-ˆx(k),则可得误差动态系统为其中本文的任务是寻求观测器增益矩阵K,使得误差动态系统(4)渐近稳定,即在介绍主要结果之前,先给出下面的引理.引理1 对于任意满足P＜εQ的正数ε及适当维数的正定矩阵P,Q有证明令,则因为YYT≥0,所以有证毕.引理2 (Schur补引理)[23]给定适当维数的常数矩阵N,以及对称矩阵M,Q,则＜0,当且仅当或者等价于2 主要结果定理1 如果存在正常数ε,适当维数的矩阵P＞0,Q＞0,R,使得P＜εQ和同时成立,其中则对误差动态系统(4)有并且增益矩阵证明选取Lyapunov函数则由引理1得由(2)式有于是得到,故有因为P＜εQ,所以-(εQ-P)＜0,根据引理2可知(8)式等价于把RT=PK代入(9)式可得所以对所有的e(k)≠0,有ΔV＜0.由Lyapunov稳定性定理知证毕.下面重新构造Lyapunov函数,利用Schur补引理得到估计误差渐近趋于零的新的充分条件如下.定理2 如果存在正常数ε,α,适当维数的矩阵P＞0,使得成立,其中则对误差动态系统(4)有并且增益矩阵证明选择Lyapunov函数则由(2)式可知所以注意到¯R=KT~P,由引理2知(10)式等价于所以对所有的.由Lyapunov稳定性定理知证毕.下面将Lyapunov函数进行改进,可得观测误差渐近趋于零的改进结果.定理3 如果存在正常数β,适当维数的矩阵P＞0,~Q＞0,~R使得下面的线性矩阵不等式成立其中,则对误差动态系统(4)并且增益矩阵由(2)式可知,对于任意β＞0有下面的不等式成立即所以注意到~R=KT¯P,由引理2可知(11)式等价于所以对所有的e(k)≠0,有ΔV＜0.由Lyapunov稳定性定理证毕.3 例子考虑如下非线性系统其中显然,系统(12)的非线性项的Lipschitz常数γ=1.25.取极易验证定理1的条件满足,由计算得增益矩阵为令初值为仿真结果如图1、2所示.从图可以看出,估计误差渐近趋于零(k→∞).图1 误差e1(k)=x1(k)-ˆx1(k)的仿真图图2 误差e2(k)=x2(k)-ˆx2(k)的仿真图4 结论本文研究了一类Lipschitz离散非线性系统的观测器设计问题.不同于文献[15],本文所讨论的系统不是仅适用于Lipschitz常数小于1的Lipschitz系统.结合线性矩阵不等式,提出了一类Lipschitz离散非线性系统的观测器设计的新方法.文中构造了不同的Lyapunov函数,基于Schur补引理、Lipschitz非线性条件及Lyapunov 稳定性定理,给出了文中所提出的观测器保证观测误差渐近趋于零的三个充分条件.不同于文献[21],本文所提出的充分条件很容易实现.最后,用本文所提出的设计方法,对一个具体的实例进行了仿真,仿真结果表明该方法的正确性和有效性.参考文献:【相关文献】[1] JPGauthier,IA K Kupka.Observability and observers for nonlinear system s[J].SIAMJ.Control Optim.,1994,32(4):975-994.[2] M Hou,A C Pugh.Observer with linear error dynamic for noninear multi-output systems[J].Syst.Control Lett.,1999,37.[3] H Keller.Non linear observer design by transformation into a generalized observer canonical form[J].Int.J.Control,1985,23(2):197-216.[4] S Raghavan.Observers and compensators for non linear systems with application to flexible lo int robots[D].Univ.California:Berkeley,1992.[5] FE Thau.Observing the state ot non linear dynamic systems[J].Int.J.Control,1973,3:56-61.[6] SH Zak.On the stabilization and observation of nonlinear/uncertain dynamic system s[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1990,35(5):604-607.[7] R Rajesh.Observers for Lipschitz nonlinear systems[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1998,43(3):397-401.[8] A Alessandri.Design of observers for Lipschitz nonlinear system s using LMI[J].NOLCOS,Stuttgart,2004,2(9):603-608.[9] F Zhu,Z han.A note on observers for Lipschitz non linear systems[J].IEEE Trans.Autom Contr.,2002,47(10):1 751-1 754.[10] P R Pagilla,Y Zhu.Controller and observer design for Lipschitz nonlinear systems[J].in Proc.IEEE Amer.Control Conf.,Boston,MA,2004:2 379-2384.[11] M Boutayeb,D Aubry.A strong tracking extended Kalman observer for nonlineardiscrete-time systems[J].IEEE T rans.Autom Contr.,1999,44(8):1 550-1 556.[12] M Boutayeb,M Darouach.A reduced-order observer for nonlinear discrete-time systems[J].Syst.Control Lett.,2000:39.[13] A De Angeli,R Genesio,A Tesi.Dead-beat chaos synchronization in discrete-time systems[J].IEEE Trans.Circuits Syst.I.Fundam.Theory Appl.,1995,42(1):54-56.[14] G Grassi,D A Miller.Theory and experimental realization of observer-based discrete-time hyperchaos synchronization[J].IEEE Trans.Circuits Syst.Ⅰ.Fundam.Theory Appl.,2002,49(3):373-378.[15] G IBara,A Zemouche,M Boutayeb.Observer synthesis for Lipschitz discrete-time system s[A]//Proc.IEEE Int.Sym p Circuits Syst.,Kobe,Japan,2005:3 195-3 198.[16] A Zemouche,M Boutayeb.Observer design for Lipschitz nonlinear system s:the discrete-time csae[J].IEEE Trans.Circuits Syst.Ⅱ.Exp ress Briefs.,2006,53(8):777-781. [17] Guoping Lu.Robust observer design for lipschitz nonlinear discrete-time systems with time-delay[A]//Contro l,Automation,Robotics and Vision,ICARCV＇06.9th International Conference on,Singapore,2006.[18] Ming Qing Xiao,Niko laos Kazantzis,Costas Kravaris,Arthur JKrener.Nonlinear discrete-time observer design with linearizable error dynamics[J].IEEE Trans.AutomContr.,2003,48(4):622-626.[20] V Sundarapandian.Reduced order observer design for discrete-time nonlinear systems.App lied Math[J].Letters,2006,19:1013-1018.[22] 曲铁军,马克茂,田自耘.离散时间非线性系统的观测器设计[J].电机与控制学报,2005,9(5):469-472.。

浅谈非线性系统状态观测器设计问题本文综述了非线性系统状态观测器设计问题的研究成果，包括发展简介，研究现状和发展趋势等。

标签：非线性状态观测器；类Lyapunov方法；Luenberger观测器方法；Lipschitz非线性系统；H∞状态观测器。

1、引言简单的说，观测器是基于模型和测量信息的闭环信息重构器。

具体来说，观测器设计问题即状态重构问题，就是重新构造一个系统，它以原系统的输入量和输出量作为输入量，而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值，或者某种线性组合，则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值，并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量构成状态反馈律，这个用以实现状态重构的新系统通常称为原系统的观测器，它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统，也可以是由计算机和计算模型及软件实现的软系统。

对线性系统而言，著名的Kalman滤波器和Luenberger观测器为该领域的观测器设计问题提供了较为完美的答案。

与线性系统不同，对非线性系统不存在一个总的方法来设计观测器，但对不同的非线性系统可以找出不同的设计方法，因而对非线性系统观测器的研究要复杂得多。

因此，非线性观测器问题是国内外控制界学者当今研究的热点之一。

2、非线性状态观测器的发展简介对于非线性系统状态观测器的研究始于上世纪70年代，在80年代取得了较大的进展，但由于非线性系统本身的复杂性，非线性观测器理论还未能系统化。

对非线性系统，观测器理论方面最初的系统性结果是在观测误差是线性的等一系列条件下得出的。

这类观测器存在的充分必要条件是相当严格的。

在1989年，Tornambe[1]提出了基于“高增益”近似抵消的方法。

然而此方法不能保证增益任意高时，估计的状态渐近收敛到真正的状态，即使观测器与系统的初值一致，一般情况观测器误差只是有界的，而不能保证是渐近收敛到零。

对于能够转换成能观标准型的单输入单输出非线性系统，1988年，Bastin和Gevers给出了系统转换成这类标准型的充要条件，然而此类观测器所需要的转换是很难找到的，并且Bastin和Gevers提出的条件是相当严格的。

一类非线性系统连续非光滑自适应观测器设计沈艳军;胡俊波【摘要】在已有文献的基础上增加非线性齐次误差项，给出一类具有单边或拟单边Lipschitz 条件的非线性系统连续非光滑自适应观测器的设计方法，并进行仿真。

所设计的观测器有线性部分和非线性齐次部分，其中，线性部分可以确保观测误差全局Lyapunov 稳定，而非线性齐次部分可以加快状态误差和参数误差收敛速度，提高抗干扰性。

仿真结果表明，所设计的观测器是有效的。

%In thispaper,continuous but nonsmooth adaptive observer design is studied for a class of one-sided Lipschitz and quasi-one-sided Lipschitz nonlinear systems.The observer has two part:Linear part and homogeneous nonlinear part.The linear part can guarantee that the obser-vation errors are globally Lyapunov stable.The homogeneous nonlinear part can speed up con-vergent rate of the state error and the parameter error.It can also improve robust against noi-ses.At last,numerical simulations show the validity of the proposed methods.【期刊名称】《广西科学》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】4页(P421-424)【关键词】非线性系统;连续非光滑;自适应观测器【作者】沈艳军;胡俊波【作者单位】三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌 443002;三峡大学电气与新能源学院，湖北宜昌 443002【正文语种】中文【中图分类】O230 引言近年来，非线性系统自适应观测器的设计成为研究热点，主要表现为3个方面：1）具有自适应观测器标准型的非线性系统自适应观测器设计，这类设计主要通过变量变换把一个非线性系统变成自适应观测器标准型，再给出其状态和参数估计，在持续激励条件下，保证了状态误差和参数误差同时渐近收敛到零点［1］；2）对非线性项满足Lipschitz条件并与所有状态变量均有关的非线性系统，通过构造满足某些条件的Lyapunov函数，再设计其自适应观测器［2］.这两类方法适用于未知参数是线性化的非线性系统；3）未知参数非线性化的非线性系统自适应观测器的设计［3］。

一类非线性系统的观测器设计方法非线性系统观测器设计一直是控制理论中一个重要的研究课题。

由于非线性系统的复杂性和不确定性，设计一个有效的观测器对系统状态的估计具有重要意义。

本文将介绍一类常见的非线性系统观测器设计方法，并详细讨论其原理和应用。

在非线性系统的控制中，观测器的作用是通过测量系统的输入和输出来估计系统内部的状态变量。

观测器可以帮助控制系统实现闭环控制，提高系统的鲁棒性和性能。

目前常见的非线性系统观测器设计方法主要包括基于扩展状态观测器（ESO）和基于高次观测器的方法。

1.基于扩展状态观测器（ESO）的设计方法扩展状态观测器（ESO）是一种常用的非线性系统观测器设计方法，它是一种一阶滤波器，通过估计系统内部的状态变量来实现系统的状态观测。

ESO的基本结构包括两部分：状态估计器和参数估计器。

状态估计器用于估计系统的状态变量，参数估计器用于估计系统的未知参数。

ESO通过利用系统的输入和输出信息，能够准确地估计系统的状态变量和参数，从而实现对系统的状态观测。

2.基于高次观测器的设计方法除了ESO外，还有一种常见的非线性系统观测器设计方法是基于高次观测器的设计方法。

高次观测器是一种高阶的非线性观测器，在系统状态估计的基础上，还可以估计系统的高阶导数，从而实现对系统状态的更加精确的观测。

高次观测器通过引入更多的状态变量和参数，能够提高系统的观测精度和性能。

二、非线性系统观测器设计的应用非线性系统观测器设计方法在实际工程中有着广泛的应用。

例如，在飞行器控制系统中，非线性系统观测器可以帮助飞行器实现精确的姿态控制和轨迹跟踪。

在机器人控制系统中，非线性系统观测器可以帮助机器人实现精确的位置估计和轨迹规划。

在工业控制系统中，非线性系统观测器可以帮助实现对工业过程的监测和控制。

总的来说，非线性系统观测器设计方法在各个领域都有着重要的作用。

通过选择合适的观测器设计方法，可以提高系统的鲁棒性和稳定性，从而实现对非线性系统的精确观测和控制。