广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：三角函数一、选择题1、（潮州市2015届高三）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．3π C ．6π- D ．3π-2、（东莞市2015届高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60º，C ＝45º，c ＝10，则a ＝（ ）A 、6B 、8C 、 D3、（广州市2015届高三）函数()()1cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π4、（江门市2015届高三）将正弦曲线x y sin =上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数的最小正周期=TA ．πB ．π2C ．π4D ．2π5、（汕头市2015届高三）设函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 的最小正周期为π，且在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数D ．把()f x 的图象向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图象 6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+=( ).A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-7、（深圳市2015届高三）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若A ＝060，3=a ，3=+c b ，则ABC ∆的面积为（ ） A.43 B 。

23 C 、3 D 、2 8、（珠海市2015届高三）函数cos(2)4y x π=+的图象可由函数cos 2y x =的图象A 、向左平移8π个单位长度而得到 B 、向右平移8π个单位长度而得到 C 、向左平移4π个单位长度而得到 D 、向右平移4π个单位长度而得到二、填空题1、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)2、（惠州市2015届高三）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，若15a =，10b =，3A π=，则cos =B __________3、（江门市2015届高三）已知定义在区间) 0 , (π-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递减区间是4、（汕头市2015届高三）已知C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60∠A =，2c =，且C ∆AB的面积为2a 边的长为 5、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,abc ，若1,45,a B A B C =∠=∆的面积2S =，则b 边长三、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈． ()1求()f π的值；()2若2635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．2、（东莞市2015届高三）已知函数的最小正周期为，且是它的一个零点.（1）求函数 f (x )的解析式； （2）若的值.3、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>),x ∈R 的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. 图3（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin αβ+的值.5、（江门市2015届高三）已知函数)4sin()(π+=x A x f ，R x ∈，且1)0(=f ．⑴求A 的值；⑵若51)(-=αf ，α是第二象限角，求αcos ．6、（清远市2015届高三）)已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,()1c f C =，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.7、（汕尾市2015届高三）已知函数()sin(),12f x x x R π=+∈(1) 求()4f π-的值(2) 若4cos ,(0,)52πθθ=∈，求(2)3f πθ-。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择、填空题1、（潮州市2016届高三上期末）已知函数322()23(0)3f x x ax x a =-++>的导数'()f x 的最大值为5，则在函数()f x 图象上的点（1，f （1））处的切线方程是A 、3x －15y ＋4＝0B 、15x －3y －2＝0C 、15x －3y ＋2＝0D 、3x －y ＋1＝02、（佛山市2016届高三教学质量检测（一））已知30π=x 是函数)2sin()(ϕ+=x x f 的一个极大值点，则)(x f 的一个单调递减区间是（ ）A ．)32,6(ππ B ．)65,3(ππ C ．),2(ππD ．),32(ππ 3、（广州市2016届高三1月模拟考试）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为__________4、（惠州市2016届高三第三次调研考试）设点P 在曲线x e y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为 ．5、（揭阳市2016届高三上期末）若函数32()21f x x ax =-++存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（A ）[0,)+∞ （B ）[0,3] （C ）(3,0]- （D ）(3,)-+∞6、（汕头市2016届高三上期末）若过点A (2，m )可作函数x x x f 3)(3-=对应曲线的三条切线，则实数m 的取值范围（ ）A ．]6,2[-B ．)1,6(-C ．)2,6(-D ．)2,4(-7、（韶关市2016届高三1月调研）已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<('()f x 是函数()f x 的导函数)成立, 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =,则,,a b c 的大小关系是( ） A ． a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>8、（韶关市2016届高三1月调研）已知函数()f x 的图像在点(1,(1))A f 处的切线方程是2310x y -+=，'()f x 是函数()f x 的导函数，则(1)'(1)f f += .12、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））13、（珠海市2016届高三上期末）14、（湛江市2016年普通高考测试（一））答案：1、B2、B3、04、)2ln 1(2- 【解析】函数x e y 21=和函数)2ln(x y =互为反函数图像关于y x =对称，则只有直线PQ 与直线y x =垂直时||PQ 才能取得最小值。

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合()(){}410x x x M =++=,()(){}410x x x N =--=,则=N M ( ). A. φ B. }4,1{-- C. }0{ D. }4,1{ 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z -=,则=z ( ).A. i 23-B. i 23+C. i 32+D. i 32- 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ). A. x e x y += B. x x y 1+= C. x x y 212+= D. 21x y +=4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1个白球,1个红球的概率为( ). A. 1 B.2111 C. 2110 D. 215 5. 平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052=--=+-y x y x 或B. 052052=-+=++y x y x 或C. 052052=--=+-y x y x 或D. 052052=-+=++y x y x 或6. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ,则y x z 23+=的最小值为( ).A.531 B. 6 C. 523D. 4 7. 已知双曲线1:2222=-by a x C 的离心率45=e ,且其右焦点为)0,5(2F ,则双曲线C 的方程为( ).A. 13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ).A. 大于5B. 等于5C. 至多等于4D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9 ~ 13题)9. 在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为_____________.10. 在等差数列}{n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则=+82a a _____________.11. 设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若6,21sin ,3π===C B a ,则=b ___________.12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字作答)13. 已知随机变量X 服从二项分布),(p n B .若20)(,30)(==X D X E ,则=p __________. (二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2)4sin(2=-πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点 A 到直线l 的距离为____________.15. (几何证明选讲选做题)如图1,已知AB 是圆O 的直径,4=AB , EC 是圆O 的切线,切点为C ,1=BC .过圆心O 作BC 的平行线, 分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则=OD ___________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值.某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====,点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.设0>a ,函数a e x x f x -+=)1()(2. (1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点), 证明:123--≤ea m .20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ; (3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a nn T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案1. 答案: A 提示: {1,4},{1,4},.M N M N φ=--=∴=2. 答案: D 提示: 23,23z i z i =+∴=-.3. 答案: A 提示: 设(),,(),x x f x x e R f x x e -=+-=-+该函数的定义域为(),()(),(),().,,,,.x f x x e f x f x f x f x B C D =--∴-而-不恒等于也不恒等于-故既不是奇函数也不是偶函数三个选项中的函数依次为奇函数偶函数偶函数4.答案: C 提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5. 答案:D 提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a ++==∴==±+依题意即6. 答案: C 提示: 可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2), B(3,2), C(3,0),D(2,0),E 4(1,)5,易知当目标函数过点E 4(1,)5时取到最小值,此时z=423312.55⨯+⨯= 7. 答案: B 提示: 222555,,4,9.4c c e a b c a a a ====∴==-=显然又从而 8. 答案: C. 提示: 显然当以A,B,C,D 四点为顶点构成正四面体时,这四点两两的距离都相等,以下用反证法证明5个或5个以上的点两两距离不可能都相等：假设A,B,C,D,E 五个点两两距离都相等,,26,.3(:2),.A BCD E BCD AE AB AB AE A BCD --=>-则三棱锥和三棱锥是两个全等的正四面体从而这与这五点的距离两两都相等矛盾注的长度为正四面体高的倍故最多四个点两两距离相等9. 答案: 6. 提示: 12422144()(1)(1),212,2r r rr rr r r T C x C xr --+=-=--==令得224(1) 6.x C ∴-=展开式中的系数为 10.答案: 10. 提示:374655555285()()2225,5,210.a a a a a a a a a a a a ++++=++=∴=+==从而11. 答案:1 . 提示:155sin ,(0,),,,,,266666B B BC B B ππππππ=∈∴==∴≠=且或又从而2cos,33, 1.6a b b b π∴==∴=即12. 答案: 1560. 提示:24040,40391560.A =⨯=相当于从人中选取两人的排列数故方法总数为13.答案: 13. 提示:201(,),()30,()(1)20,1,.303X B n p E X np D X np p p p ∴===-=∴-==故14. 答案:522.22:2sin()2,2(sin cos cos sin )2,sin cos 1,44410,7722cos22cos 2,22sin 22sin()2,(2,2),4444|2(2)1|552.221(1)l x y A A l πππρθρθθρθρθππππ-=-=∴-=-+====-=-∴---+==+-提示即即的直角坐标方程为点的直角坐标为从而点到直线的距离为15. 答8.:,//,,,,,,,90,1, 1.2,2,2248.2o OC OD BC BC AC OP AC P AC OD F CF AF COD AOD CBA OCD CODCBA CB CO AB CO CB OD BA ⊥∴⊥=∠∠∠∠∴∆∆====∴==⨯=提示连结又从而为线段的中点设线段与圆交于点则弧弧从而＝＝又＝即三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. 解:(1))4sin(cos 22sin 22)cos ,(sin )22,22(π-=-=⋅-=⋅x x x x x n m ,,0,sin()0,(0,)42m n m n x x ππ⊥∴⋅=-=∈即又,04,444=-∴<-<-∴ππππx x .即4π=x ,14tan tan ==∴πx .(2)依题意)4sin(cos sin )22()22()4sin(||||3cos 2222πππ-=+⋅-+-=⋅⋅=x x x x n m n m , 即)4,4(4,21)4sin(ππππ-∈-=-x x 又,12546,64πππππ=+==-∴x x 即.17. (本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？ 解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36,依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人, 从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.222222222222444036433637444337404343433(2)4040040,9911100[40(4)3(4)(3)43(3)](4443).999x s +++++++++-+--++-==+=+=∴=++-++-+-+++-=⨯+⨯=10102101(3),4036,4043,33333212336,364323,0.638963.89%,3336s x s x s =∴-=-=+=+=≈=易得人中年龄位于与之间的有人即36名工人中年龄在s x -与s x +之间有23人,所占的百分比是63.89%.18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====, 点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.解:(1)证明:,,,PD PC E DC PE DC =∴⊥为中点,,,,,.P D C A B C D P D C A B C D D C P E P D CP E A B C D F G A B C D P E F G⊥⊂∴⊥⊂∴⊥又面面而面面＝面面面22(2),,,,,,114,3,7,2277tan ,.33PDC ABCD AD DC AD PDC AD PD AD DC PDC P AD C PD DE DC AB PE PD DE PE PDC P AD C DE ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∠--====∴=-=∴∠==--面面面从而为二面角的平面角即二面角的正切值为22222222222(3,2,//,634535,345,2545165495c o s ,225253530595.25AF CGAC ACFG PAC PA FG FB GB AC AB BC AP AD DP AP AC PC PAC AP AC PA FG ==∴∠=+=+===+=+=+-+-∴∠====⋅⨯⨯连结从而为直线与直线所成角或其补角,即直线与直线所成角的余弦值为19. (本小题满分14分)设0>a ,函数a e x x f x-+=)1()(2.(1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:123--≤ea m . 解:(1)0)1()21()(22≥+=++=xxe x e x x xf ,上为增函数在),()(+∞-∞∴x f . (2)22221,(0)10,()(1)(1)1(1)0a a f a f a a e a a e a a a a a a a >=-<∴=+->+->+->-=->,.),()(,),()(,),0()(仅有一个零点在上为增函数在又有零点在区间+∞-∞∴+∞-∞∴x f x f a x f(3)由0)('=x f 得1-=x ,又a e a e f -=-=--22)1(1,e a a e k a e P op 20102),2,1(-=----=∴--∴.依题意'()OP f m k =,22(1)m m e a e∴+=-,设1)(--=x e x g x,则1)('-=xe x g ,当0>x 时,01>-x e ; 当0<x 时,01<-xe ,为增函数在为减函数在),0(,)0,()(+∞-∞∴x g , 从而0min ()(0)010g x g e ==--=,即0)(,≥∈∀x g R x .0)(,≥∈∀∴m g R m ,即01≥--m e m,ea e m m m e m mm 2)1()1(,0)1(,1232-=+≤+∴≥+≤+∴又, 33221, 1.m a m a e e∴+≤-≤--即20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.解:(1),495)3(,0562222=+-=+-=+-+y x x y x 即)0,3(1的圆心坐标为圆C ∴.(2)法一: 设),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ,05612121=+-+∴x y x ,05622222=+-+x y x ,即0)(6))(())((2121212121=---++-+x x y y y y x x x x ,,12x x ≠06)()(21212121=---+++∴x x y y y y x x ,0622=-⋅+x y y x 即.22221223930,().245,3,3395()(3).243x y x x y C M x AB M C x y x ∴+-=-+=<≤-+=<≤即考虑到弦的中点只能在圆的内部可解得点的横坐标的范围为故线段的中点的轨迹的方程为. 法二:111,,1,1,C M AB C M MO M AB C M AB k k k k ∴⊥∴⋅=-⋅=-点为弦中点即)335(03,1322≤<=-+-=⋅-∴x x y x x y x y 即. (3)将)4(-=x k y 代入0322=-+x y x 5(3)3x <≤中得:03)168(222=-+-+x x x k x ,2222(1)(83)160k x k x k ∴+-++=,222222216964948)1(64)38(k k k k k k -=-+=+-+=∆,由0=∆得222238()33831254,(,3],342(1)532(()1)4k k k ±++=±==∈+±+此时切点的横坐标值为, 3,4k =±故时直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点;525525(,),(,),,3333252525253,,577743C L L C k k L C ±±±==±≤≤-由于点不在轨迹上故当过点时与轨迹只有一个交点此时依据图形特征知当-时直线与轨迹只有一个交点. 综上所述,2525,]7733[{,}44k ∈--时,直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ; (3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a n n T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<. 解:(1)122331121311222132141,124422,,1134,.22224a a a a a ---+++=-=+=-=-=∴=++=-∴=1212121*111111121(2)2,2(1)4,(4)(4),2222111(2),1,(),22211112{}1,,2.12212n n n n n n n n n n nn n n n n n nn a a n a na a n a a n N a T ---------+++≥+++-=-=---=∴=≥==∴=∈-∴==--时从而又数列是为首项为公比的等比数列从而第 11 页 共 11 页 12111211223312121211111(3),(1),(1),(1),2232321111(1)()(1)2211111(1)(2)2(1).222111()ln 1(1),'()n n n n n n n n a a a a a a b a b a b a b a n nS b b b a a a T n nn nf x x x f x x x x --++++==++=+++=++++∴=+++=++++++=+++=+++-<+++=+->=-记函数则2*10,1,(),11,()(1)ln110,111,2,1,()0,ln 10,ln ,111111213111123ln ,ln ,,ln ,ln ln ln ln ,22133112321311112(1)2x x f x x x f x f k k k k k N k f k k k k k kk n n n n n n n n -=>∴>>>=+-=∈≥>∴>+->>-----<<<+++<+++=------∴+++=当时为增函数从而当时当且时即亦即故11122()22ln ,2311,2(1)22ln .2111(:ln ,23n n nS n nn n ++++<+<+++<++++<综上注证明时也可以使用数学归纳法)。

某某省某某市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）A．+B．C．﹣+i D．2．（5分）抛物线y2=﹣4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣23．（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．B．C．D．4．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．8 B．16 C．24 D．485．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=x+2y的取值X围是（）A．[﹣2，0] B．[0，+∞] C．[0，2] D．[﹣2，2]6．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：=a x（a＞0，且a≠1），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，则实数a的值为（）A．3 B．C．3或D．27．（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角θ，设=λ+，=+μ，有下列四个命题：p1：|+|＞|﹣|⇔θ∈（0，）；p2：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π）；p3：若A，B，C共线⇔λ+μ=1；p4：若A，B，C共线⇔λ•μ=1．其中真命题的是（）A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p48．（5分）在实数集R内，我们用“＜”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“⊂”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，给出如下四个命题：①若⊂，则||≤||；②若⊂，⊂，则，则⊂；③若⊂，则对于任意，都有（+）⊂（+）成立；④对于实数λ≥0，若⊂，则λ⊂λ成立；其中所有命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）如图所示的流程图，输出的结果是10．（5分）设f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于．11．（5分）若（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），则+++…+的值为．12．（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．13．（5分）函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是．三、坐标系与参数方程选做题14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．四、几何证明选讲做题15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=．五、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，且是它的一个零点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β∈[0，]，f（+）=，f（+）=，求cos（α+β）的值．17．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．18．（14分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）（1）求椭圆C的方程．（2）设点Q是椭圆C上一个动点，点A的坐标为（﹣1，0），记|QA|2=1+λ|QO|2，求λ的最大值．20．（14分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N+），把使得乘积a1•a2•a3…a n的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为{b n}（m∈N+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：++…+＜．21．（14分）已知函数f（x）=•（x2+2x+a）+•ln|x|，其中a∈R，g（x）=．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上的两点，且x1＜x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值，并指出此时x1，x2的值；（3）若存在x1，x2使函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，某某数a的取值X围．某某省某某市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）i是虚数单位，记z=，则|z|=（）A．+B．C．﹣+i D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵z===，则|z|==．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2．（5分）抛物线y2=﹣4x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，则抛物线y2=﹣4x的准线方程即可得到．解答：解：由抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，则抛物线y2=﹣4x的准线方程为x=1．故选B．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．3．（5分）如图，容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．B．C．D．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据选项中数据的波动情况，结合方差与标准差的定义，得出正确的结论．解答：解：根据题意，得；对于A，9个数据都是5，∴方差为0；对于B和C，数据的分布比较均匀，B的方差较小些，C的方差较大些；对于D，数据主要分布在2和8处，距离平均数5是最远的一组，∴D的数据方差最大，对应的标准差也最大．故选：D．点评：本题考查了频率分步直方图的应用问题，也考查了数据的方差与标准差的应用问题，是基础题目．4．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．8 B．16 C．24 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，6，10，则该四面体的体积是V=Sh==8．故选A．点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=x+2y的取值X围是（）A．[﹣2，0] B．[0，+∞] C．[0，2] D．[﹣2，2]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化Z=x+2y为，由图可知，当直线过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z最小为﹣2；当直线过C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z最大为2．∴目标函数Z=x+2y的取值X围是[﹣2，2]．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：=a x（a＞0，且a≠1），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），+=，则实数a的值为（）A．3 B．C．3或D．2考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据=a x，结合题中等式建立关于a的方程：a+=，解之得a=3或．再根据f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）可证出y=a x是R上的减函数，得a∈（0，1），由此可得a=．解答：解：∵=a x，∴=a，=，因此+=，即a+．解之得a=3或．设F（x）=，则F'（x）=，∵f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），∴F'（x）＜0在R上成立，故F（x）是R上的减函数．即y=a x是R上的减函数，故a∈（0，1）．∴实数a的值为．故选：B．点评：本题给出含有指数形式的函数，求解关于字母a的方程，着重考查了指数函数的单调性和导数的运算法则等知识，属于基础题．7．（5分）已知与为不共线的单位向量，其夹角θ，设=λ+，=+μ，有下列四个命题：p1：|+|＞|﹣|⇔θ∈（0，）；p2：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π）；p3：若A，B，C共线⇔λ+μ=1；p4：若A，B，C共线⇔λ•μ=1．其中真命题的是（）A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：与为不共线的单位向量，其夹角θ，可得=1，=cosθ．θ∈（0，π）．p1：|+|＞|﹣|⇔＞0⇔θ∈（0，），即可判断出正误；p2：由命题p1正确即可判断出正误；p4：若A，B，C共线⇔存在实数k使得，即λ+=k（+μ），可得，即可判断出正误；p3：由命题p4正确，即可判断出正误．解答：解：∵与为不共线的单位向量，其夹角θ，∴=1，=cosθ．θ∈（0，π）．对于p1：|+|＞|﹣|⇔⇔＞0⇔θ∈（0，），因此正确；对于p2：由命题p1正确可知：|+|＞|﹣|⇔θ∈（，π），不正确；对于p4：若A，B，C共线⇔存在实数k使得，因此，λ+=k（+μ），∴，⇔λ•μ=1．因此是真命题；对于p3：由命题p4正确，可知命题p3不正确．综上可得：只有命题p1，p4正确．故选：A．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）在实数集R内，我们用“＜”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在向量集上也可以定义一个“序”的关系，记为“⊂”，定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，给出如下四个命题：①若⊂，则||≤||；②若⊂，⊂，则，则⊂；③若⊂，则对于任意，都有（+）⊂（+）成立；④对于实数λ≥0，若⊂，则λ⊂λ成立；其中所有命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：新定义；平面向量及应用．分析：根据已知条件中，对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：对于任意两个向量=（x1，y1）•（x1，y1∈R），=（x2，y2）•（x2，y2∈R），当取仅当“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”时，⊂，按上述定义的关系“⊂”．对于①若⊂，则“x1＜x2“或“x1=x2且y1＜y2∈R”，||=，||=，不一定有||≤||，故①不正确；对于②，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），若⊂，⊂，则有“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，“x2＜x3”或“x2=x3且y2＜y3”．故有“x1＜x3”或“x1=x3且y1＜y3”．故有⊂，故②正确；对于③，若⊂，则对于任意，设=（x，y），=（x1，y1），=（x2，y2），由于“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，则“x+x1＜x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＜y+y2”，即有（+）⊂（+）成立，故③正确；对于④，对于实数λ≥0，设向量=（x1，y1），=（x2，y2），若⊂，则有“x1＜x2”或“x1=x2且y1＜y2”，即有“λx1≤λx2”或“λx1=λx2且λy1≤λy2”，则λ⊂λ不成立，故④不正确．综上正确的个数为2．故选B．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“⊂”，正确理解新定义“⊂”的实质，是解答的关键，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）9．（5分）如图所示的流程图，输出的结果是24考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当n=5时，不满足条件n≤4，退出循环，输出s的值为24．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，s=1满足条件n≤4，s=1，n=2满足条件n≤4，s=2，n=3满足条件n≤4，s=6，n=4满足条件n≤4，s=24，n=5不满足条件n≤4，退出循环，输出s的值为24．故答案为：24．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．10．（5分）设f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则f（x）dx的值等于．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，可得mx m﹣1+a=2x+1，f（x）=x2+x．再利用微积分基本定理即可得出．解答：解：∵f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，∴mx m﹣1+a=2x+1，解得a=1，m=2．∴f（x）=x2+x．∴f（x）dx=（x2+x）dx===．故答案为：．点评：本题考查了导数的运算法则、微积分基本定理，属于基础题．11．（5分）若（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），则+++…+的值为﹣1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：由（1﹣2x）2015=a0+a1x+…+a2015x2015（x∈R），到展开式的每一项的系数a r，代入到+++…+求值即可．解答：解：由题意得：a r=C2015r（﹣2）r，∴+++…+=﹣+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015=（1﹣1）2015∴+++…+=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法．12．（5分）将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+6．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：首先找出三角形数阵的规律，求出前n﹣1行正偶数的个数，然后由偶数的特点求出第n行第3个偶数．解答：解：观察三角形数阵知第n行有n个正偶数，则第n行（n≥3）前共有1+2+3+…+（n﹣1）=个数，所以第n行（n≥3）从左向右的第3个数为2[+3]=n2﹣n+6，故答案为：n2﹣n+6．点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．13．（5分）函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是7．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，利用图象得到交点的个数，即可得到函数零点的个数．解答：解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，由图得交点7个故函数f（x）=sinx﹣x的零点个数是7．故答案为：7．点评：本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．三、坐标系与参数方程选做题14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0被曲线C：ρ=2所截得弦的中点的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：把直线和圆的极坐标方程化为极坐标方程，利用直线和圆相交的性质得到×1=﹣1，解得m的值，可得中点A 的直角坐标，再化为极坐标．解答：解：直线ρ（cosθ﹣sinθ）+2=0即 x﹣y+2=0，曲线C：ρ=2 即=2，即 x2+y2=4，表示以原点O为圆心，以2为半径的圆．设弦的中点为A（m，m+2），则由OA垂直于直线可得×1=﹣1，解得m=﹣1，故弦的中点为A（﹣1，1），它的极坐标为，故答案为．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求点的极坐标，直线和圆相交的性质，属于基础题．四、几何证明选讲做题15．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．解答：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．点评：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．五、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，且是它的一个零点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若α，β∈[0，]，f（+）=，f（+）=，求cos（α+β）的值．考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据函数的周期和零点求出ω，φ，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用两角和差的余弦公式进行求解即可．解答：解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，∴=π，解得ω=2，则f（x）=2sin（2x﹣φ）…（2分）又是它的一个零点，即2×﹣φ=kπ，…（4分）则φ=﹣kπ，k∈Z，∵0＜φ＜…（5分）∴当k=0时，φ=…（6分）故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x﹣）…（7分）（2）由（1）f（x）=2sin（2x﹣）又∵f（+）=，f（+）=∴sin（α+）=，sinβ=…（9分）∴cosα=，又α，β∈[0，]，∴α=，β=，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==…（12分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．17．（12分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a的值；（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：图表型；概率与统计．分析：（I）根据频率分布直方图，结合频率之和为1，看出小矩形的高的值即得a的值．（II）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A．先算出学生成绩在[50，60）内的和在[60，70）内的人数，根据成绩在[50，70）内的学生有11人，而且这些事件的可能性相同，根据概率公式计算，那么即可求得事件A的概率．（III）根据题意看出变量X的可能取值，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，写出变量的概率．列出分布列和期望值．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中的数据，可得，所以 a=0.03．…（2分）（Ⅱ）学生成绩在[50，60）内的共有40×0.05=2人，在[60，70）内的共有40×0.225=9人，成绩在[50，70）内的学生共有11人．…（4分）设“从成绩在[50，70）的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60，70）内”为事件A，…（5分）则．…（7分）所以选取的3名学生成绩都在[60，70）内的概率为．（Ⅲ）依题意，X的可能取值是1，2，3．…（8分）；；．…（10分）所以X的分布列为X 1 2 3P…（11分）．…（13分）点评：此题考查了对频率分布直方图的掌握情况，考查的是概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是利用等可能事件的概率公式做出变量对应的概率值．18．（14分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAC⊥平面ABC；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角M﹣AB﹣C的余弦值．解答：解（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B …（3分）∴PC⊥平面ABC，…（4分）又∵PC⊂平面PAC …（5分）∴平面PAC⊥平面ABC …（6分）（2）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）由题意有A（，﹣，0），B（0，2，0）设P（0，0，z），（z＞0），则M（0，1，z），=（﹣，，z），=（0，0，z），由直线AM与直线PC所成的解为60°，得•=||||cos60°，即z2=z，解得：z=1 …（8分）∴=（﹣，，0），=（，，1），设平面MAB的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（，，），…（10分）平面ABC的法向量取为=（0，0，1）…（11分）设与所成的角为θ，则cosθ=，…（13分）显然，二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，故二面角M﹣AC﹣B的平面角余弦值为．…（14分）点评：本题主要考查空间面面垂直的判定依据二面角的求解，根据定义法以及向量法是解决空间二面角的常用方法，考查学生的运算和推理能力．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（，）（1）求椭圆C的方程．（2）设点Q是椭圆C上一个动点，点A的坐标为（﹣1，0），记|QA|2=1+λ|QO|2，求λ的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，以及P满足椭圆方程，解方程可得椭圆方程；（2）设Q（x，y），x∈[﹣2，2]，代入椭圆方程，求得|QA|，|QO|，求得λ关于x的关系式，讨论x的符号，运用基本不等式即可得到最大值．解答：解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则=，又a2﹣b2=c2，∴3a2=4c2，c2=3b2，∴椭圆C的方程为：+=1，代入P（，）得c=，a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（2）设Q（x，y），x∈[﹣2，2]，则|QO|2=x2+y2，又A（﹣1，0），|QA|2=（x+1）2+y2，λ====1+，点P（x，y）满足+y2=1，即有y2=1﹣，λ=1+=1+，当x≤0时，λ≤1，当x＞0时，x∈（0，2]，λ=1+，因为3x+≥2=4，所以λ≤1+，当且仅当x=时，λ取得最大值1+，点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意点满足椭圆方程，同时考成绩基本不等式的运用：求最值，属于中档题．20．（14分）已知a n=log n+1（n+2）（n∈N+），把使得乘积a1•a2•a3…a n的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为{b n}（m∈N+）（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；（2）证明：++…+＜．考点：数列的求和；对数函数的图像与性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）a1×a2×a3×…×a n=log23×log34×log45×…×log n+1（n+2）=log2（n+2），从而n=2k﹣2，根据题意，b m＜2015，得2m+1﹣2＜2015，由此能求出区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和．（2）++…+=++…+，当n＞2时，由≤，能证明++…+＜．解答：（1）解：由已知得a1×a2×a3×…×a n=log23×log34×log45×…×log n+1（n+2）=log2（n+2），…（2分）要a1×a2×a3×…×a n为整数，需要log2（n+2）=k，k∈Z，∴n=2k﹣2，…（3分）∵n∈N*，∴k≥2，即=2，=6，…，，根据题意，b m＜2015，得2m+1﹣2＜2015，∴2m+1＜2017，则m≤9．…（4分）∴区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和为：22+23+…+210﹣2×9=4（29﹣1）﹣18=2026．…（7分）（2）证明：++…+=++…+，…（8分）当n=1时，=成立，当n=2时，==成立，…（10分）当n＞2时，由==≤，…（12分）∴++…+≤==．…（13分）又，∴++…+＜．…（14分）点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．21．（14分）已知函数f（x）=•（x2+2x+a）+•ln|x|，其中a∈R，g（x）=．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上的两点，且x1＜x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值，并指出此时x1，x2的值；（3）若存在x1，x2使函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，某某数a的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆．分析：（1）讨论x＞0，x＜0，由g（x）即可得到f（x）；（2）求出函数的导数，求得切点A，B处的切线的斜率，再由两直线垂直的条件，化简整理，由二次函数的值域即可得到最小值；（3）求出f（x）的图象在点A，B处的切线方程，由两切线重合的条件，再由导数求得单调区间，运用单调性即可求得a的X围．解答：解：（1）由题意有，f（x）=，word（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′（x1），点B处的切线斜率为f′（x2），故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有f′（x1）•f′（x2）=﹣1当x＜0时，对函数f（x）求导，得f′（x）=2x+2．因为x1＜x2＜0，所以（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，即4x1x2=﹣4（x1+x2）﹣5，x2﹣x1===，当x1+x2=﹣2，时，x1x2=，此时x1=﹣，x2=﹣，x2﹣x1取得最小值1．（3）当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′（x1）≠f′（x 2），故x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）的图象在点（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x12+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1），即y=（2x1+2）x﹣x12+a当x2＞0时，函数f（x）的图象在点（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2），即y=•x+lnx2﹣1．两切线重合的充要条件是，由x1＜0＜x2知，﹣1＜x1＜0．a=x12+ln﹣1=x12﹣ln（2x1+2）﹣1．设h（x1）=x12﹣ln（2x1+2）﹣1（﹣1＜x1＜0），则h′（x1）=2x1﹣＜0．所以h（x1）（﹣1＜x1＜0）是减函数．则h（x1）＞h（0）=﹣ln2﹣1，所以a＞﹣ln2﹣1．又当x1∈（﹣1，0）且趋近于﹣1时，h（x1）无限增大，所以a的取值X围是（﹣ln2﹣1，+∞）．故当函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值X围是（﹣ln2﹣1，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件，考查化简运算的能力，属于中档题．- 21 - / 21。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABC ．D ． 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面和共面．．的两直线、，下列命题中为真命题的是( )． A.若，，则 B.若，，则 C.若、与所成的角相等，则 D.若，，则5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为π+2π+2ππαm n m α⊥m n ⊥//n α//m α//n α//m n m n α//m n m α⊂//n α//m nA ．4B ．8C ．π2D ．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿ 8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( ) （1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面A ．1 B2 C3 D 4αααα9、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β恒谦网，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥④若l m ⊥，则//αβ。

导数概念与运算1．导数的概念函数)(x f y =,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆)()(00x f x x f -∆+=，比值x y ∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到0x +x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='。

即)(0x f ' =0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(002．导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。

也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '。

相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'= 4．两个函数的和、差、积、商的求导法则(.)'''v u v u ±=± .)('''uv v u uv += .)(''Cu Cu =(C 为常数)，)('vu=2''v uv v u -（0≠v ） 5．复合函数的求导①一般地，由几个函数复合而成的函数，称为复合函数。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π-B ．6π C ．3π- D ．3π2、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)3、（广州市2015届高三）将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上 平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A ．22cos y x =B ．22sin y x =BADCE图1C ．1sin 23y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．cos 2y x =4、（江门市2015届高三）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=bA ．35B ．65C ．310D ．6105、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆学科网中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若1,45,a B ABC =∠=∆的面积2S =，则b 边长6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+= .A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈． ()1求()f π的值；()2若2635f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．2、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间.3、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点.（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1045f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，33545f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()s i n αβ+的值.4、（惠州市2015届高三）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图2所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．5、（江门市2015届高三）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈．⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ； ⑵若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．6、（揭阳市2015届高三）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，32b =. （1）求a 和c 的值； （2）求cos()BC -的值．7、（清远市2015届高三）已知函数1()3sin cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,3,()1c f C ==，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.8、（汕头市2015届高三）已知函数)32sin(2)(π+=x x f ，R x ∈.图2y x2-1-01-1123456（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈65,6ππx 的图像。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题 1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．233π+ B ．2323π+C ．232π+D ．23π+ 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题: ①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④ 4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面α和共面．．的两直线m 、n ，下列命题中为真命题的是( )．A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若//m α，//n α，则//m nC.若m 、n 与α所成的角相等，则//m nD.若m α⊂，//n α，则//m n 5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为A．4B．8C．π2D．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( )（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面A． 1 B 2 C 3 D 49、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥ ④若l m ⊥，则//αβ学科网。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（广州市2015届高三）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为A． B． C． D．2、（惠州市2015届高三）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则此双曲线的离心率为( )．A. B. C. D.3、（江门市2015届高三）在同一直角坐标系中，直线与圆的位置关系是A．直线经过圆心 B．相交但不经过圆心 C．相切 D．相离4、（汕尾市2015届高三）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（）A． B． C． D．5、（韶关市2015届高三）过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线的渐近线于两点，若（为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )A． B． C． D．二、填空题1、（潮州市2015届高三）已知抛物线（）的准线与圆相切，则的值为2、（佛山市2015届高三）已知点、到直线:的距离相等,则实数的值为_________3、（揭阳市2015届高三）抛物线上到焦点的距离等于6的点的坐标为4、（清远市2015届高三）已知圆C：，直线：L：x＋y＋a＝0（a＞0），圆心到直线L的距离等于，则a的值为＿＿＿5、（深圳市2015届高三）已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长为三、解答题1、（潮州市2015届高三）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．求椭圆的标准方程；求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值．2、（佛山市2015届高三）已知曲线:.(Ⅰ) 若曲线为双曲线,求实数的取值范围；(Ⅱ) 已知,和曲线:.若是曲线上任意一点,线段的垂直平分线为,试判断与曲线的位置关系,并证明你的结论.3、（广州市2015届高三）已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由．4、（惠州市2015届高三）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求的值；（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足，证明：点在椭圆上．5、（江门市2015届高三）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是、，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是．⑴求点M的轨迹方程；⑵若直线经过点，与轨迹有且仅有一个公共点，求直线的方程．6、（揭阳市2015届高三）已知双曲线的焦点分别为,且双曲线经过点.（1）求双曲线的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线上，且，是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.7、（清远市2015届高三）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A、B在轴的上方）.（1）求双曲线的标准方程；（2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.8、（汕尾市2015届高三）椭圆过点，分别为椭圆的左右焦点且。