中学数学开放式教学模式
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构建开放式的数学课堂教学实施开放式的教学,能够为学生创造和谐的情感氛围,有利于激发学生的主体性、能动性和创造性,有利于促进学生的主体发展。
教师要通过开放的教学方式来转变学生的学习方式,让学生进行开放式的学习。
课堂教学要辐射到教学内容、教学资源、学习空间等多方面。
在中学数学课堂教学中如何构建开放式的课堂教学呢?以下是本人在教学实践中的点滴感悟。
一、教师要尊重学生学生是平等教学的首席,教师要放下师道尊严的面孔,与学生站在同一位置和他们交流。
中学生独立意识较强,教师要尊重学生的思想,把学生当成朋友,而不是主观地说教。
单纯的说教会让学生对教师产生反感,不能融入课堂教学互动,整堂课下来,教师和学生都吃力,课堂气氛死气沉沉。
教师要以平等的态度信任、尊重每一个学生,满足他们的心理需要。
学生在教师的包容下,敢于发言,勇于探究,与教师进行良好的互动。
这样课堂气氛在民主的师生关系中才能活跃起来。
二、教师要热爱学生爱是教育的前提。
教师要把爱心带进课堂,把微笑带进课堂。
把激励带进课堂,把成功带进课堂,把信任的目光投给每个学生,把温暖的语言播撒给每个学生。
教师要关心学生的生活和学习,对学生动之以情,晓之以理。
教师对学生的一言一行都会影响学生,学生也会反馈给教师。
由于心理的迁移效应,学生会由喜欢教师发展到对其所教学科感兴趣,进而产生学习的积极性。
教师爱的渗透比单纯的说教更能说服学生学习。
三、创建开放式的教学空间教师应该从学生的生活经验和已有的知识背景出发,联系生活讲数学,联系生活学数学,把生活经验数学化,体现“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的思想,使学生体会到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,体验到数学的魅力。
比如,学习了相似三角形和函数等知识后,让学生利用数学知识测量建筑物或树的高度,四、运用现代信息技术辅助课堂教学信息技术与课程的整合是我国面向21世纪基础教育教学改革的新视点。
教育部提出了要加快信息技术教育与其他课程的整合,改革传统教学模式,培养学生的创新和实践能力。
南昌教育学靛鬻报J O U R N A L O F N A N C H A N G C O LL EG E O F E D U CA T I O N第23卷第4期V01.23N o.42008新课标下中学数学开放性教学模式初探陈矗(江西省南康中学江西南康341400)摘要:辫谦椽正逐渐改爱著烽生待统的教学观念,呈现绦人钔新辑教学视野,从单一的知识传授到建构学生的学霹活动,试学生露验学零过穆,体验擎霉徐馕已为天势。
在这臻镦秘教学呼唤多中,秀放式教擎以英独骞酶徐馕_驭向,成为我们当前教学中新的热点。
开放性教学提出教师要转凳观念,营造宽松的学习环境,实施费放性的任务型教学,启发学娥的创新思维,培养学生的参与意议和合作精神以鼠自主学习能力。
关键词:新课标开放式教学创新思维中图分类弩:C,633.6文献标识码:A文章编豸:1008—6567(2008)04—0070—04优化中学数学教学,探索开放性的数学教学模式,提高学生学习的主动性、自主性和积极性,形成使学生真正处于主体地位的课堂教学氛围,进而培养其创造能力,是当前数学教育界颇为关注的问题。
日本学者桥本吉彦提出“开放式数学教学——思维开放,题目开放,过程开放”,这是对开放性教学的明确解释。
这种舞放性教学将成为数学教学改革懿趋势。
这里,笔者结合自己的教学实践,谈谈数学开放式教学的一些实践与探索,与圈行靛探讨。
一、开放性教学的重要性课堂教学是中学教学的主要组成部分,因此,开放性教学的主阵地是课堂教学。
在实施课堂教学中,应把“激发学生独立思考,含作研究,创新思维习惯,让学生自己去感受探究理解知识的产生和发展过程,壤养学生辩学搴毒棒与刽耨愚维习惯以及收集、分耩、判断处理信息锈力、鳃决阕题的熊力、语言文字表达能力张社会活动能力”褫为主要研究瓣标。
应把如何调动学生参与的积极性,培育参与热情,锻炼研究能力作为研究的重点。
素质教育的核心是创新精神,开放性教学能够充分激发学生的思维火花,并在教师蛊导下将“火花”燃烧起来,墩予思考未知的阕题,敢于否定已有结论,敢于使用多种思路并形成选择最优豹能力。
中学数学开放式教学的实验研究蔡国瑛(甘肃武威六中,甘肃武威733000)摘要:数学开放式教学是基于新课程理念,兼收并蓄传统或现代教学思想之长形成的一种教学方式。
数学开放式教学能够提高学生的数学“双基”水平,增强学生的数学综合能力和创新能力,发展学生个性,形成学生良好的综合素质。
关键词:开放式教学;认识;实验研究;创新能力;综合素质1 问题的提出随着社会、教育、数学的发展,开放化、数字化的时代呼唤着优质的数学创新教育。
而具有“双基”教学传统优势的我国的数学教育,就需要探究“双基”与“创新”之间的新的平衡。
我国《普通高中数学课程标准》(实验)中提出了十个课程基本理念[1],其开放性是课程改革的一个重要特点,它涉及课程选择多样化、学习方式自主化、问题解决开放化、技术手段现代化、评价方式多元化等。
1998年,国际数学教育委员会在韩国召开的第一届东亚国际数学教育大会,会议的第三个集中课题是数学教学的“开放化”,有许多专家倡导“开放性问题”、“开放式教学”,其中,美国伊利诺大学的J.Becker教授专门谈了开放式教学的价值,日本筑波大学的能田伸彦教授作了《日本课堂活动中的开放式数学教学》报告,谈了开放式教学的概念[2]。
2000年,在日本召开的第九届国际数学教育大会上,日本桥本吉彦教授演讲指出:“开放式数学教学——思维开放、题目开放、过程开放”[3]。
1997年,由我国戴再平教授主持研究全国教育科学“九五”规划重点课题《开放题——数学教学的新模式》[4]。
可以说,近20年在国内对数学开放题的研究成为一个热点,对数学开放式教学的提法也众多,但缺乏对数学开放式教学的系统研究和实证研究。
本研究试图通过教学实验揭示数学开放式教学让学生主动获取数学知识和应用知识、形成良好人格、发展智力、培养创新能力的功能和价值,为实施数学开放式教学提供实证依据。
2 对数学开放式教学的认识2.1 数学开放式教学的界定通过学习借鉴国内外有关对数学开放式教学的论述观点,结合我们课题组的实证研究认为:数学开放式教学是以人才培养目标、现代教育理论、数学习题理论和新课程理念为指导,以尊重学生个体差异和发展潜能为出发点,以开放的数学问题为载体,在数学教学中,打破以往“师道尊严”的封闭型教学,兼收并蓄各教学方法之长,开放教学设计、开放教学内容、开放教学关系、开放教学方法、开放教学过程、开放评价形式,以引导和鼓励学生积极思考、自主探索、动手实践、合作交流等为主要方式,以促进学生的好奇心和求知欲,促进学生的丰富活动和数学思维,促进学生的积极探索态度和探究策略,鼓励学生提出新问题、探索新问题,让学生主动获取知识和应用知识、形成良好人格、发展智力、培养创新能力为目的的一种教学思想。
初中数学教学方法有哪些树立科学合理的初中数学教学观念,进展科学的教学设计以及分析和确定学生的实际状况,是有效开展初中数学教学的前提和根底。
下面是我整理的初中数学教学方法有哪些,欢送大家阅读共享借鉴。
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不断改良教学方法数学教学目的。
就是规定了数学教学应当完成的学问传授、实力造就、思想、特性品质等方面的教育任务,是依据我国教育的性质、任务和课程目标,并结合数学科学的特点和中学生的年龄特征而制定的。
特殊是现行初中数学的教学目的。
就明确提出了“要运用所学学问解决问题”“在解决实际问题过程中要让学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练”“形成用数学的意识”。
作为数学老师,必需对教学目的有明确的相识,并紧紧围绕教学目的绽开教学。
因为它是考核学生成果和检查、评估老师教育教学质量的重要标准。
因此,我们必需全面、深刻地驾驭数学教学目的。
并在教学过程中,经常以此来检查和评价自己的教学水平和教学效果,从而不断改良数学教学方法。
2、切实抓好课堂教学。
进一步提高教学效果课堂教学过程是师生相互沟通的互动过程。
师生均以一种踊跃的心态进入教学过程。
是学生主动参加学习并取得教学效果的前提。
(1)留意学生学习爱好的造就,激发学生学习热忱学习爱好是学生学习主动性的表达,也是学生学习活动的动力源泉。
古往今来,许多教育家都特别重视对学生学习爱好的造就、引导和利用。
孔子曰:“知之者不如好之者”,说明“好学”对教育的重要性。
作为老师要做到以“趣”引路,以“情”导航。
在教学活动中,老师的讲授和学生的学习总是或多或少地带有一些感情色调。
即教育情感性。
任何学生对老师的第一节课都会产生期盼心情。
这种期盼主要表现为:①对老师外表形象的期盼;②对老师言谈举止的期盼;③对老师课堂教学的期盼。
在教学实践中,我们发觉有很多学生对于自己宠爱的老师、感爱好的教学内容、引人入胜的教学方法等都会表现出极大的投入,其学习思维就会与老师的教学保持着和谐、完备的统一。
9 “开放式”教学法开放式教学在实践上逐步得到社会、学校、学生和家庭的认可,同时伴有扎实的教育理论依据。
几十年来教育理论家对这一概念作出了丰富的理论解释,试图探讨开放教育的目的、内容以及根源等。
迄今已有20多个重要概念应运而生,如开放式课程,开放式教学,开放式学校等。
二十世纪九十年代以来教育理论与实践家仍在不断探索这方面的研究,他们认为开放式教学是:“不同理论研究的综合概念,涉及内容的开放,方法的开放,组织的开放等等,目的在于为变化了的学习概念组织变化了的教学情景。
”开放式教学主要特点:1.师生关系开放。
教师的角色既是知识的传递者又是学生构建知识结构的促进者;既是课程的执行者也是课程的设计者。
2.教学内容的开放。
问题的条件往往不完全,答案也常常是不确定的,教师和学生需要收集其他必要的信息,才能着手解决,这就为数学教学留下了自我创造的空间。
3.教学过程开放。
由于内容开放,便于学生主动参与和激起多数学生的好奇心,特别是由于问题的终端是开放的,起点较低,几乎全体学生都可以参与解答。
因为没有唯一的解题模式,预留了想象空间,有些答案可以易于直觉地发现,解答过程也需要从多种角度思考和探索。
4.开放的教学有利于因材施教。
开放题的答案有易有难,反应了学生多层次参与。
可能会出现两个学生都做出了某个开放题,但做出的答案的多少不同,以及参考问题是否有序,这更能反应学生的思维水平,体现出不同的层次。
开放题的特征:1.问题的答案常常是不确定的。
2.没有现成的解题模式。
3.在寻求解答的过程中可促进主体的认知结构改进。
4.问题的答案多,入门不难,全体学生都可以参与。
5.思维发散度大,因而一般不可能采用注入式教学。
6.求解过程具有发散性,往往题中有题,可以不断引出新的问题。
开放题的类型:1.条件开放题,即问题的条件不完备或满足结论的条件不惟一。
如要使两个数相加为20,这两个是多少?2.结论开放题,即在给定条件下,结论不惟一。
如日本“五子问题”:在平面上任意抛掷5个石子,如何衡量它的散度?3.策略开放题,即思维策略与解题方法不惟一。
浅谈中学数学的开放性教学【摘要】课堂教学是中学教学的主要组成部分,因此,开放性教学的主阵地是课堂教学。
传统的教学内容相对滞后,习题偏窄、偏深、偏旧、情景缺少现实性,脱离生活的现象比较突出,不利学生的发展。
本文以开放性教学为切入点,尊重学生个体的发展性,重视发挥学生的实践性、创造性。
迎合新课程改革的需要,实现学生在课堂上的有效学习。
【关键词】中学数学课堂教学开放性一、开放性教学的核心概念及其界定数学教学的开放性与其说是一种教学形式,倒不如说是一种教学思想。
研究教学方法如发现法、问题的解决、数学建模、教师讲授、学生自主探究与合作研究。
它的宗旨是要有一定的开放性,减少预先给学生设置的种种限制,尽可能地提供给学生足够大的自主活动和探究的空间。
日本学者桥本吉彦提出“开放式数学教学——思维开放,题目开放,过程开放”,这是对开放性教学的明确解释。
二、中学数学教学中存在的问题(一)使用的教材比较偏重逻辑性,强调结构严谨;偏重知识的传授,对知识的发生发展过程,学生的数学学习特点、应用数学知识解决实际问题重视不够。
强调统一性,关注差异性不够,学生和教师在教学中可选择性较少,变化性不够,教学内容偏窄、偏难、偏旧。
没有符合现在的学生需求,给教学带来一定的困难。
(二)学生学习方法比较单一、被动,在学习数学上主要靠老师的传授,及老师所布置的作业,有的学生对老师布置的作业机械地完成,没有深入的思考。
同时学生缺乏自主探索、合作学习的精神,独立获取知识的机会不多,对学习过程的反思和调节重视不够。
(三)教学过程过分强调认知性目标,知识和技能成为课堂教学关注的中心,对学生的数学学习情感关注不够,从而使学生对数学失去兴趣。
教学在强化知识的同时,从根本上失去了对人的生命存在及其发展的整体关怀,使学生成为被“肢解”的人,课堂教学因此丧失了素质教育的功能。
(四)评价方法比较单一,没有发挥其在数学学习中的综合功能。
三、开放性的数学教学具体内容(一)以开放性作为切入点传统数学教学,总是以传授确切和无可质疑的数学知识为己任。
谈在初中数学教学中开放型教学模式的构建【摘要】新课程改革期待教师变革教学模式。
实践证明,在初中数学教学中开放型教学模式的构建能大大提高学生探究能力。
笔者通过从开放教学目标、教学内容及活动方式三个方面去探讨构建开放型教学模式,从而促使学生学会多角度思考问题,培养学生合作意识和自主探究的能力,提高学生数学成绩。
【关键词】初中数学;开放型教学;模式构建在实施课程改革的过程中,我们不难发现现代教育的真正意义在于发现人的价值、发挥人的潜力、发展人的个性。
因此,新课程的改革呼唤着教学方式的变革,教学方式的变革期待着教师变传统封闭型教学为开放式教学。
所谓开放式教学是指根据学生个性发展的需求而进行的教学,以激活学生主动地去发现、去想象、去探索,形成科学品质、创新意识和实践能力为目标的一种教学实践,变“学知”为“知学”,使学生成为具有初步的创新精神和实践能力的人。
在初中数学教学中如何有效地实行开放式教学呢?一、开放教学目标,促使学生多角度思考问题在开放式的教学活动中,教学目标不再受“知识中心”的束缚,而是知识型、智能型、教育型目标的完美整合。
开放式教学的目标应是:充分尊重学生的主体地位,通过数学教学,让学生在获取数学知识的同时,并主动学习自行获取数学知识的方法,学习主动参与数学实践的本领,进而获得终身受用的数学能力、创造能力和社会活动能力,在教学中,让学生能够按各自不同的目的、不同的选择、不同的能力、不同的兴趣选择不同的教学并得到发展。
能力较强者能够积极参与数学活动,有进一步的发展机会;能力较低者也能参与数学活动,完成几项特殊的任务。
这种开放性的目标具有更高的灵活性,进而也就成为连接学科教育、学校教育、社会教育以及学生个性发展的枢纽,体现素质教育全面发展的目标要求。
二、开放教学内容,引导学生自主探究“开放教育是学生自主的学习行为,在学习中充分认同,发挥学生个体的能动性……所以,最有效的方法是学生之间即时的讨论、互助。
中学数学开放研究式教学模式高龙初中:向宇杰开放研究式教学模式是在教师指导下,从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究,并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。
这种模式是我国教育界当前研究的热点问题之一,其基本特点是以发展探索思维能力为目标,以学科基本结构为内容,以再发现为学习方法,强调学生是发现者,激发学生数学学习的兴趣,对培养学生的创新思维能力来说,开放研究式教学模式是最佳选择。
基本程序是:创设情境、激趣导入—提出问题、探索新知—合作交流、尝试练习—联系实际、应用拓展—归纳小结、巩固新知—作业布置—教学反思。
1、“开放研究式”教学模式的认识长期以来,数学课程总是强调它的“逻辑性”、“演绎性”和“封闭性”。
自从70年代日本数学教育家提出“开放性问题”以来,在美国、英国、欧洲大陆都已引起了广泛的注意。
美国南伊利诺大学的教授专门谈了开放式教学的重要价值。
他指出,问题的答案开放是第一步,接着是问题解决方法的开放,即多样性。
最后,数学问题本身的开放,一个数学问题可以变化出许多新的问题。
“开放性”教学现已成为数学教育的一个研究热点,并且形成了“开放性”数学教学模式。
“开放研究式”数学教学模式是充分建立在对学生学习过程的认识上的一种模式,它充分注重人在学习时表现出的强连结心理。
通过教师有效引导,包括设置开放性问题、问题的层次性推进以及教学诊断优化控制教学进程,有效地发展学生的能力。
“开放研究式”数学教学模式中,“数学问题”的开放性设计是施行此模式的关键性因素。
“开放性”问题可以是条件开放(条件是在不断变化的),结论开放(多结论或无固定结论的),解题策略开放(可以采用多种方法和途径去解决的)的问题,也可以是一个实际问题。
“开放研究式”数学教学模式作为新的教学模式,为学生由课堂走向社会实际架起了一座桥梁,为学习知识、学与做的结合开辟了课程形式的新渠道。
“开放研究式”模式比较充分地体现了结构优化与组织同构,在师生开放自如的双边活动中能够促成面向全体形成高潮,在适应水平差异的学生个体诊断纠偏教学中,实施因材施教。
当然,与任何一种教学模式一样,“开放研究式”数学教学模式也应是一个复合模式,可以不必单一地运用,其运用、选择应当适应具体的教学内容和教育对象。
2、“开放研究式”数学教学模式的特点“开放研究式”数学教学模式的运用,不仅使得学生经历一个知识获得的过程和能力获得的过程,更在于学生数学素养和人文精神形成的过程。
这个模式具有以下特征:(1)主体性与主动性“开放研究式”数学教学模式的实践就是一种数学活动,通过活动让学生学习自行获取数学知识的方法,学习主动参与数学实践的本领,进而获得终身受用的数学基本能力和创造才能,特别适用于创新教育所考虑选用的基本模式。
如,在学习“平行四边形的判定”这一节时,可以安排这样一堂开放式教学课:一开始,老师拿出了一个平行四边形,并告诉学生:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
紧接着学生分小组研讨:满足什么条件的四边形可以被判定是平行四边形?同学们一起猜想,争论质疑,互相补充,他们不仅找到了一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分这三种教材上载明的判定方法,还发现用两组对角分别相等、一组对边平行且一组对角相等这些条件也能判定平行四边形。
对照教材,这些发现令同学们欣喜不已。
不仅如此,在解决这一问题过程中,同学们还归纳出了解决四边形问题的三条主要途径:这就是边、角和对角线。
在运用“开放研究式”数学教学模式的教学过程中,知识本身似乎成了成功的副产品,对于学生来说,更重要的是他们在主动的参与和探索中,经历了历史上数学家门曾经经历的创造过程(观察、试验,用直觉、推理、猜想加以证实),并开始形成一种很强烈的主体意识和学习需求。
(2)有利于数学交流我们认识到,把学生培养成为有数学素养的社会成员的一条重要标记就是他们会用数学交流。
“开放研究式”数学教学模式就是要提供更多的机会,鼓励学生不仅读(数学书)、写(数学作业),还要去讲(表达自己的数学思想),去听(倾听别人的想法),因为数学不仅仅是模式的科学,也是一种交流形式,一种语言,它是自然语言的补充。
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过:“数学学习的过程就是要通过数学语言,用它特定的符号、词汇、句法和成语去交流,去认识世界。
”运用此模式可以使学生看到生动的、形象的、简约的数学,体验数学的美,体验表达、交流与深入理解的愉悦,他们在交流中学习数学,在交流中学会数学交流。
(3)民主性与合作性施行“开放研究式”数学教学模式,可以让学生接触尽量多的实际问题,例如有许多甚至有无数个答案的问题,可以用多种方法去解决的问题,条件在不断变化而结论却始终不变的问题,其中的许多问题几乎不可能靠一个人的力量在有限的时间内完成,必须依靠集体的智慧和大家的力量。
这样的实践使同学们深切地感受到集体的重要和合作的意义。
同时也使他们体验到问题的答案和结论固然重要,而常常被他们忽视的解决问题的过程也同样重要,很多规律恰恰蕴藏于其中。
(4)人人都有收获数学的思想方法是数学的灵魂和精髓,数学正是通过其思想方法、思维方式来影响人们的思维方式,进而影响人们的生活方式甚至生存方式的。
在运用“开放研究式”数学教学模式中,数学开放题是我们挖掘、提炼数学思想方法,充分展示应用数学思想方法的良好载体。
同时,努力通过对数学思想方法不同深度的要求真正实现"面向全体学生",使人人都有收获。
3、“开放研究式”数学教学模式运用示例§2.1 花边有多宽(一)(配北师大版)P41---P47万州天兴学校熊艳一.教材分析方程是刻画现实世界的一个有效数学模型,随着数学应用的日趋广泛,方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中数学中占有重要的地位.本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础,是通过丰富的实例,让学生建立一元二次方程,并通过观察归纳出一元二次方程的概念,进而通过夹逼思想估算方程的解.二.教学目标1.知识与技能理解掌握一元二次方程的定义,会判断满足一元二次方程的条件。
2.过程与方法目标经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
3.过程,态度与价值观目标从现实生活中抽象出数学问题,让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具。
增加对一元二次方程的感性认识。
三.教学重、难点一元二次方程的概念及其近似解.四.教学方法,教学准备启发诱导式教具准备投影片四张第一张:花边有多宽(记作投影片§2.1.1 A)第二张:数学问题(记作投影片§2.1.1 B)第三张:实际问题(记作投影片§2.1.1 C)第四张:想一想(记作投影片§2.1.1 D)五.教学过程1.创设情景、激趣导入[师]前面我们学过黄金分割,知道黄金比是多少吗?[生]黄金比是0.618.[师]很好,你知道黄金比为什么是0.618吗?[师]好,经济时代的今天,你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……从今天开始,我们来学习能解决这些问题的知识:第二章:一元二次方程.与一次方程和分式方程一样,一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型.下面我们来学习第一节:花边有多宽.2.提出问题,探索新知[师]我们来看一个实际问题(出示投影片§2.1.1 A);大家来讨论讨论.一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5 m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?[生]我们可以利用列方程来求解.[师]很好,那如何列方程来求解实际问题呢?想一想,前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法.[生]要从题中,找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系.这个题已知:这块地毯的长为8 m,宽为5 m,它中央长方形图案的面积为18m2.这个题所要求的是;地毯的花边有多宽.本题是以面积为等量关系.[师]这位同学分析得很好,下面我们共同来利用这些数量关系列出方程.[师生共析]如果设花边的宽为x m,那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m,宽为(5-2x)m,根据题意,可得方程(8-2x)(5-2x)=18注意:(1).利用列方程解实际问题时,关键是要找到等量关系,如本题中的面积等于长乘以宽.(2).用一个含有未知数的代数式表示一个量,并且这个量有单位时,需要把这个代数式用括号括起来,如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等.[师]好,下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2.1.1 B):观察下面等式102+112+122=132+142.你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?[生]这个题我们也可以利用数量关系列方程.[师]很好,如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面的四个数该如何表示呢? [生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以,如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.[生乙]根据题意,则可得到方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.[生丙]老师,我觉得这个题也可以设中间的那个数为x,那么其余四个数依次为x-2,x-1,x+1,x+2,由此也可得方程(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2.这样行吗?[师]丙同学的思路很好,这个问题可以有不同的设未知数的方法,同学们可灵活设未知数,即可设这五个数中的任意一个,其他四个数可随之变化.下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2.1.1C):如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?[师]同学们分组讨论,列出方程.[生甲]墙与地面是垂直的,因而墙、地面和梯子构成了直角三角形.已知梯子的长为10m,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,所以由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙有6m.[生乙]设梯子底端滑动xm,那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m,根据题意,利用勾股定理,可得方程.(x+6)2+(8-1)2=102,即(x+6)2+72=102.[师]同学们讨论得很完整,接下来想一想,议一议(出示投影片§ 2.1.1 D):由上面三个问题,我们可以得到三个方程:(8-2x)(5-2x)=18,x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,(x+6)2+72=102.这三个方程有什么共同特点?[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式.[生乙]我把这三个方程进行了化简,即(1)(8-2x)(5-2x)=18,40-26x+4x2=18,4x2-26x+22=0.(2)x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2,x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16,x2-8x-20=0.(3)(x+6)2+72=102,x2+12x+36+49=100,x2+12x-15=0.由此可以知道:这三个方程可以化简为三项的和.[生丙]把这三个方程经过化简后,最高次数是二次.[生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数.[师]同学们总结得很好.上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程,称为整式方程,如:我们学习过的一元一次方程,二元一次方程等都是整式方程.这三个方程还都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown),即只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.注意:1.一元二次方程必须同时满足以下三点;(1)方程是整式方程.(2)它只含有一个未知数.(3)未知数的最高次数是2,即化简为ax2+bx+c=0时,a≠0.2.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分,不可漏掉,否则就不是一元二次方程了.因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式,所以我们把ax2+bx+c=O(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项,a、b分别称为二次项系数和一次项系数.注意:(1)当a=0,b≠0时,方程就是一元一次方程,当一个方程是一元二次方程时,则隐含了条件:a≠0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式.3.合作交流,尝试练习课本P43随堂练习1.从前有一天,二个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程.解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺,根据题意,得x2=(x-4)2+(x-2)2,即x2-12x+20=04.联系实际,应用拓展(1).当d、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?[过程]让学生通过讨论、总结,知道:对于方程ax2+bx+c=0,当a≠0时.是一元二次方程;当a=0且b≠0时,方程为bx+c=0,是一元一次方程.[结果]当a≠1时,方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程,这时,方程的二次项系数是a-1,一次项系数是-b.当a=1且b≠0时,方程是一元一次方程.(2).把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解:方程(3x+2)2=4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32=0.方程的二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.5.归纳小结.巩固知新本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念.(1).一元二次方程属于“整式方程”,其次,它只含有一个未知数,并且都可以化为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的形式.(2).一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=O(a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.(3).在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性.6..课后作业(一)课本P44习题2.1 1、2(二)1.预习内容:P44-P462.预习提纲探索一元二次方程的解或近似解,六.教学反思(由教师课后填写)。