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z
F mrv
b
一物体在变力作用下从a运动到b,在某一位置
物体受力为
v F
,发生一段位移drv,称为元位移.
dr
F
则力在这段元位移上对物体所作的功称为元
功,d用W
表示,即：
dWv
v F
drv
a
y
则从a到b过程中，变力 F
的功为：
bv
W dW a F
drv
x
v ①.若 F为恒力，
则
W
b
例
质量为m=1.0kg的物体在
v F
(2t
t
2
v )i
N的力作用
下运动,t=0, r1 0.求t=2s, r2 ?
解： 根据动量定理有：
v I
v P2
v P1
v P2
mr2
r2
v
I
t2
v Fdt
2
(2t
t
2
)
v idt
20
v i
t1
0
3
所以：
vv2
20 3
v i
问题：如果
vv1
v 2i
v 3j
说 增量方向相同,而和外力的方向未必相同.
明
②.动量定理的分量式：
Ix
t2 t1
Fx (t)dt
m2x
m1x
I y Iz
t2 tt12 t1
Fy (t)dt Fz (t)dt
m2y m2z
m1y m1z
x方向的冲量为 x方向的动量的增量
③.用动量定理处理碰撞和打击问题十分简单.
④.动量定理可处理变质量问题（如火箭飞行）.
o
以及地面对链条的支持力N′,所以系
统所受的合外力为mg-N′,由牛顿第
x
二定律,有：
L
mg N ' mg ( m v2 mx g)
N'
LL
N ' m v2 mx g 3mgx
LL
L
x
mg
由牛顿第三定律知,链条对地面的作用力N与N′大
小相等方向相反.
例 一质量为m,长为L,密度均匀的柔
o
mgx/L,由牛顿第二定律,有：
还有什么
F m xg m v2
L
L
F m v2 m xg 方法？ LL
3.2 动量守恒定律
3.2.1 内容
v 若 F合外力 0
t2 t1
v F合外力dt
，则有：
n miri n miri0
i 1
vi1 n
P＝
miri
恒矢量
i1
当系统所受外力的矢量和为零时,系统的动量的增量为零,即系
drv)
Wi
即合力对质点所作的功,等于每个分力所作的功的代数和.
4.说明
W
dW
b
v F
drv
b
Fdr cos
a
a
①功是标量,只有大小没有方向,但有正负
φ<π/2，元功dW>0,力对物体作正功；
φ=π/2，元功dW=0,力对物体不作功；
φ>π/2，元功dW<0,力对物体作负功,或物体克服该力作功.
)
(m1v10
m2 v20
)
即：由两个质点组成的质点系,其所受合外力的冲量等于系
统总动量的增量.
2.多个质点的情况
t2
t1
n i 1
v Fi外
t2
dt＋
t1
n i 1
v Fi内
dt
n i 1
miri
n i 1
miri0
nv
Fi内 0
i0
v t2
F合外力dt
n
m 质点系的动量定理
1.两个质点的情况
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2 v2
m2 v20
质点系
F1
F12
m1
F2
F21
m2
因为内力 F12 F21 0，故
t2
t1
(F1
F2 )dt
(m1v1
m2 v2
统的总动量保持不变——动量守恒定律
说明
①.守恒的条件：系统不受外力或所受外力 的矢量和为零;
②.守恒的意义：动量守恒是指系统总动量的矢量和在任意时 刻保持恒定,系统内各质点的动量可以相互转化;
v
③. Fi 0，但若在某个方向上合外力为零，则总动量不守
恒，但该方向动量守恒； ④.爆炸、碰撞过程中,忽略重力,可用动量守恒求近似解; ⑤.表达式中各个物理量应为同一惯性系所观测； 动量守恒定律是自然界最普遍、最基本的定律之一,不仅适用于宏观物
n
miri0
vvv I＝P－P0
即质点系所受t1 合外力的i1冲量等i于1 系统总动量的增
量——质点系的动量定理
说明
①. 分量式为： ②.适用于惯性系.
I x＝Px－Px0 I y＝Py－Py 0 I z＝Pz－Pz 0
③.系统内力会改变系统内的动量分布,但不改变系统 的总动量,只有外力才对系统的动量有贡献.
任一时刻作用于地面的压力.
L
x
解：建立如图所示坐标系,设链条下
落高度为x时,其对地面的作用力为N,
此时链条的动量为：
p(t) m (L x)v mv m xv
x
链条的动L量随时间的变化率（L速度为变量）为 ：
dp(t) mg ( m v2 mx g)
dt
LL
作用在整个链条的外力,有重力mg,
v P
t1
mr
r2 r1
mdr
mr2
mr1
单位： kg m / s
方向： 速度方向
2）冲量
v I
t2
v Fdt
t1
单位： N s 方向：
讨论：冲 量的方向
讨论：冲量的方向？
I
t2
Fdt
t1
①.若
F为恒力，
则I
F (t，2 即t1 )与
同I向.
F
②.若 F大小变化，方向不变，则
I
间很短,忽略重力影响.则根据动量定理有：Iv mr2 mr1
取如图所示的直角坐标系,则上式的分量形式为：
Ix m2x m1x m2 cos30o m1 cos135o 0.061N s I y m2y m1y m2 sin 3v0o mv1 covs 45o 0.v007N s v 所以乒乓球得到的冲量为： I Ixi I y j 0.061i 0.007 j
t2F (t ) n dt
t1
(
t2F (t ) dt ) n
t1
F (t2
t1 ) n
F(t)
积分中值定理
F
F (t2 t1 )
即 I与
仍F同向.其t1 中
t 为F平均冲力,其t2方向与
同向I.
③.若
F为变力,则冲量与外力的方向一般不同.
I
t2
Fdt
两边微分
dI Fdt
t1
P2
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb
推开前后系统动量不变
且方向p相反 p则0
pp0
0 0
④动量定理常应用于碰撞问题
F
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意 在 p一定时 t
越小,则
v F
越大 .
例如人从高处跳下、飞机与
鸟相撞、打桩等碰撞事件中，
第3章 动量守恒定律和 能量守恒定律
本章内容
3.1 质点和质点系的动量定理 3.2 动量守恒定律 3.3 动能定理 3.4 保守力与非保守力 势能 3.5 功能原理 机械能守恒定律 3.6 能量守恒定律 3.7 碰撞 3.8 质心 质心运动定律 3.9 质点的角动量定理和角动量守恒定律
v F
mav
（2）设挡板对球的平均冲力为
Fv，由：
v I
v F (t2
t1 )
则有挡板对球的平均冲力为：
v F
v I
v 0.061i
0.007
v j
v 6.1i
v 0.7 j
(t2 t1)
0.01
v
v
F板球 F球板
问题：乒乓球 对挡板的冲量 是多少？
I
t2 t1
v F板球dt
t2 t1
v F球板dt
F
x
软链条.将其卷成一堆放在地面上.若
v
x
手握链条的一端,以匀速v 将其上提.
当绳端提离地面的高度为x 时,求手
的提力.
o
解：取地面为惯性参考系,地面上一点为坐标原点O,竖直
向上为x轴.以整个链条为一系统(质点系).设在时刻t,链 条一端距原点的高度为x,其速率为v,由于在地面部分的 链条的速度为零,故在在时刻t,链条的动量为
比如一只0.45千克的鸟,撞在 速度为每小时960千米的飞机 上,那就要产生21.6万牛顿的 力,产生的冲击力比炮弹的 冲击力还要大.所以浑身是肉 的鸟儿也能变成击落飞机的 “炮弹”.
2.质点的动量定理
vv v v I P2 P1 P
物体所受合外力的冲量,等于物体动量的增量—动量定理.
①.冲量是合外力的冲量.它是个矢量,其方向与动量的
体,也适用于微观物体;在牛顿定律不成立的领域仍然成立.
3.2.2 用动量守恒定律解题的步骤： 1．选好系统,分析要研究的物理过程; 2．进行受力分析,判断守恒条件; 3．确定系统的初动量与末动量; 4．建立坐标系,列方程求解; 5．必要时进行讨论.
