人教版初三数学上册例题示范 巩固提高

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1．已知抛物线2:310C y x x =+-，将抛物线C 平移得到抛物线C '．若两条抛物线C 、C '关于直线x ＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（ ）． A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛的线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a-2b+c ，2a+b ，2a-b 中，其值大于0的个数为( )．A ．2B ．3C ．4D ．53．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )． A ．0a < B ．abc ＞0 C ．a+b+c ＞0 D ．240b ac ->4．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )A ．2(1)2y x =-++ B ．2(1)4y x =--+ C ．2(1)2y x =--+ D ．2(1)4y x =-++ 5．如图所示，半圆O 的直径AB ＝4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM ＝x ，则y 关于x 的函数关系式是( )． A ．214y x x =+ B ．214y x x =-+ C ．214y x x =-- D ．214y x x =-第5题 第6题6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)；小明说：a ＝1，c=3；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知一次函数y ax b =+的图象过点(-2，1)，则关于抛物线23y ax bx =-+的三条叙述： ①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x ＝l ；③当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3． 其中所有正确叙述的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．（2015•天桥区一模）如图，直线y=kx+b （k≠0）与抛物线y=ax 2（a≠0）交于A ，B 两点，且点A 的横坐标是﹣2，点B 的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y=ax 2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y=kx+b （k≠0）与抛物线y=ax 2（a≠0）的函数值都随着x 的增大而增大； ③AB 的长度可以等于5；④△OAB 有可能成为等边三角形； ⑤当﹣3＜x ＜2时，ax 2+kx ＜b ， 其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ． ①②⑤C ． ②③④D ． ③④⑤ 二、填空题9．由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为 . 10．已知一元二次方程230x bx +-=的一根为-3．在二次函数y=x 2+bx-3的图象上有三点14,5y ⎛⎫-⎪⎝⎭、25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,6y ⎛⎫⎪⎝⎭，y 1、y 2、y 3、的大小关系是 . 11．如图所示，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为________．第11题 第13题12．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x 2相同，试写出这个函数解析式 ．13．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a+b ＝0；④当y ＝-2时，x 的值只能取0，其中正确的有 .（填序号） 14．已知抛物线的顶点为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴下方与x 轴距离为4的点M 在抛物线上，且10AMB S =△，则点M 的坐标为 ．15．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m(am+b)，(m ≠l 的实数)．其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．第15题 第16题16．如图所示，抛物线212y x =-+向右平移1个单位得到抛物线y 2．回答下列问题：(1)抛物线y 2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S ＝________．(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则抛物线y 3的开口方向________， 顶点坐标________．三、解答题 17．（2015•南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？18．如图所示，已知经过原点的抛物线224y x x =-+与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m(m ＞0)个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P ． (1)求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状(不要求说理)；(2)在x 轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m 的式子表示)；若不存在，请说明理由；(3)设△PCD 的面积为S ，求S 关于m 的关系式．19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．20. 如图①所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax c =+与x 轴正半轴交于点F(16，0)、与y 轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A 与点E 重合，顶点C 与点，重合．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图②所示，若正方形ABCD 在平面内运动，并且边BC 所在的直线始终与x 轴垂直，抛物线始终与边AB 交于点P 且同时与边CD 交于点Q(运动时，点P 不与A 、B 两点重合，点Q 不与C 、D 两点重合)．设点A 的坐标为(m ，n)(m ＞0)．①当PO ＝PF 时，分别求出点P 与点Q 的坐标；②在①的基础上，当正方形ABCD 左右平移时，请直接写出m 的取值范围； ③当n ＝7时，是否存在m 的值使点P 为AB 边的中点?若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】22349:31024C y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∴ 其顶点坐标为349,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设C '顶点坐标为049,4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意得03212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， ∴ 072x =，∴ C '的解析式为274924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．由234924y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭到274924y x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭需向右平移5个单位，因此选C ．2.【答案】A ；【解析】由图象知，a ＜0，c ＜0，012ba<-<， ∴ b ＞0，ac ＞0，∴ 2a-b ＜0． 又对称轴12ba-<，即2a+b ＜0． 当x ＝1时，a+b+c ＞0；当x ＝-2时，4a-2b+c ＜0． 综上知选A ． 3.【答案】C ；【解析】由抛物线开口向下知a ＜0，由图象知c ＞0，02ba-<，b ＜0，即abc ＞0，又抛物线与x 轴有两个交点，所以240b ac ->．4.【答案】B ；【解析】抛物线2223(1)2y x x x =++=++，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口向下．∴ 旋转后的抛物线解析式为2(1)4y x =--+．5.【答案】B ；【解析】连接O 1M 、O 1O ，易知两圆切点在直线OO 1上，线段OO 1＝OA-y ＝2-y ，O 1M ＝y ，OM ＝OA-AM ＝2-x ．由勾股定理得(2-y)2＝y 2+(2-x)2，故214y x x =-+． 6.【答案】C ；【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x ＝2；由小彬的条件，抛物线过点(4，3)又过(0，3)点，∴ 对称轴为直线x ＝2；由小明的条件a ＝1，c=3,得到关系式为23y x bx =++，过点(1，0)得b ＝-4，对称轴为4221x -==⨯；由小颖的条件抛物线被x 轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴 不是x ＝2．所以小颖说的不对.故选C.7．【答案】C ；【解析】①若过定点(2，1)，则有4231a b -+=．整理、化简，得-2a+b ＝1，与题设隐含条件相符；②若对称轴是直线x ＝1，这时12ba--=，2a-b ＝0，与题设隐含条件不相符； ③当a ＜0时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为2243()344a b b y a a ⨯⨯--==-．由于20b ≥，0a <．∴ 204b a-≥．∴ 3y =最小． 综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C ．8．【答案】B ；【解析】①抛物线y=ax 2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；②根据图象得：直线y=kx+b （k≠0）为增函数；抛物线y=ax 2（a≠0）当x ＞0时为增函数，则x ＞0时，直线与抛物线函数值都随着x 的增大而增大，本选项正确；③由A 、B 横坐标分别为﹣2，3，若AB=5，可得出直线AB 与x 轴平行，即k=0， 与已知k≠0矛盾，故AB 不可能为5，本选项错误；④若OA=OB ，得到直线AB 与x 轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾， ∴OA≠OB，即△AOB 不可能为等边三角形，本选项错误； ⑤直线y=﹣kx+b 与y=kx+b 关于y 轴对称，如图所示：可得出直线y=﹣kx+b 与抛物线交点C 、D 横坐标分别为﹣3，2，由图象可得：当﹣3＜x ＜2时，ax 2＜﹣kx+b ，即ax 2+kx ＜b ， 则正确的结论有①②⑤．故选B ． 二、填空题9．【答案】y ＝(x+2)2-3；【解析】y ＝x 2的顶点为(0，0)，y ＝(x+2)2+3的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y ＝(x+2)2-3．10．【答案】y 1＜y 2＜y 3. 【解析】设x 2+bx-3＝0的另一根为x 2，则233cx a-==-g ，∴ x 2＝1， ∴ 抛物线的对称轴为3112x -+==-，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大， 所以y 1＜y 3，y 1＜y 2＜y 3，也可求出b ＝2，分别求出y 1，y 2，y 3的值再比较大小．11．【答案】(6,2)或(6,2)；【解析】当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的纵坐标为2，将y ＝22112y x =-得26x =，所以6x =从而圆心P 的坐标为6,2)或(6,2)．12．【答案】y=﹣2（x ﹣2）2+1或y=2（x ﹣2）2+1； 【解析】图象顶点坐标为（2，1）可以设函数解析式是y=a （x ﹣2）2+1又∵形状与抛物线y=﹣2x 2相同即二次项系数绝对值相同 则|a|=2因而解析式是：y=﹣2（x ﹣2）2+1或y=2（x ﹣2）2+1.13．【答案】②③；【解析】由图象知，抛物线与x 轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为1522x -+==，则22ba-=，∴ 4a+b ＝0，故③是正确的； 又∵ 抛物线开口向上，∴ a ＞0，b ＝-4a ＜0， ∴ ①是错误的；又∵1322+=，即x ＝1和x ＝3关于对称轴x ＝2对称，其函数值相等， ∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y ＝-2时，x 的值可取0或4． ∴ ④是错误的．14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)； 【解析】∵ 1|||4|102AMB S AB =-=g g △，∴ |AB|＝5．又∵ 抛物线的对称轴为直线12x =，∴ A 、B 两点的坐标为(2，0)和(3，0)． 设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，则4209301125424a b c a b c a b c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=-⎩ 解得1,1,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴ 抛物线的解析式为26y x x =--．当y ＝-4时，246x x -=--，∴ 220x x --=，∴ x 1＝-2，x 2＝-1． ∴ M 点坐标为(2，-4)或(-1，-4)．15．【答案】③④⑤； 【解析】由题意可知a ＜0，c ＞0，02ba->，即b ＞0，∴ abc ＜0．由图象知x ＝2在抛物线与x 轴两个交点之间，当x ＝-1时，a-b+c ＜0，∴ b ＞a+c ．当x ＝2时，4a+2b+c ＞0．又由对称性知9a+3b+c ＜0，且12b a -=，∴ 9302bb c -++<，∴ 2c ＜3b ．当x ＝1时，y a b c =++最大，而m ≠1，当x m =时，21y am bm c =++，由1y y >最大知2a b c am bm c ++>++，∴ 2()a b am bm m am b +>+=+，故③④⑤正确．16．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)；【解析】抛物线212y x =-+向右平移1个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y 2绕原点O 旋转180°，则抛物线y 2的顶点与点(1，2)关于原点对称．三、解答题17.【答案与解析】 解：（1）y=，（2）在0≤x≤10时，y=100x ，当x=10时，y 有最大值1000；10＜x≤30时，y=﹣3x 2+130x ， 当x=21时，y 取得最大值，∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y 有最大值1408．∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．18.【答案与解析】(1)先令2240x x -+=，得x 1＝0，x 2＝2． ∴ 点A 的坐标为(2，0)．△PCA 是等腰三角形． (2)存在OC ＝AD ＝m ，OA ＝CD ＝2．(3)当0＜m ＜2时，如图所示，作PH ⊥x 轴于H ，设(,)P P P x y ．∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝2-m，∴222AC m CH-==．∴2222Pm mx OH m-+==+=．把22Pmx+=代入224y x x=-+，得2122Py m=-+．∵ CD＝OA＝2，∴221111222(02)2222S CD HP m m m⎛⎫==⨯⨯-+=-+<<⎪⎝⎭g．当m＞2时，如图所示，作PH⊥x轴于H，设(,)P PP x y．∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝m-2．∴22mAH-=．∴22222Pm mx OH-+==+=．把22Pmx+=代入224y x x=-+，得2122Py m=-+．∵ CD＝OA＝2，∴21112()2(2)222PS CD HP y m m==⨯⨯-=->g．19.【答案与解析】(1)设抛物线的解析式为2y ax bx c=++(a≠0)．∵抛物线经过点A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)，∴1640,4,420,a b cca b c-+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得1,21,4.abc⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为2142y x x=+-．(2)过点M作MD⊥x轴于点D．设M点的坐标为(m，n)，则AD＝m+4，MD n=-，2142n m m=+-．∴AMD ABODMBOS S S S=+-△△梯形111(4)()(4)()44222m n n m=+-+-+--⨯⨯228n m=---2124282m m m⎛⎫=-+---⎪⎝⎭24(40)m m m =---<<． ∴ 当2m =-时，4S =最大值． (3)满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：(-4，4)、(4，-4)、(225,225)-+-、(225,225)--+．20.【答案与解析】[解析] (1)由抛物线2y ax c =+经过点E(0，16)，F(16，0)得：2016,16,a c c ⎧=+⎨=⎩ 解得1,1616.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴ 211616y x =-+． (2)①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，连接PF.∵ PO ＝PF ．∴ OG ＝FG ．∵ F(16，0)，∴ OF ＝16，∴ 1116822OG OF ==⨯=，即P 点的横坐标为8， ∵ P 点在抛物线上， ∴ 218161216y =-⨯+=， 即P 点的纵坐标为12，∴ P(8，12)，∵ P 点的纵坐标为12，正方形ABCD 边长是16，∴ Q 点的纵坐标为-4，∵ Q 点在抛物线上，∴ 2141616x -=-+， ∴ 185x =，285x =-， ∵ m ＞0， ∴ 285x =-舍去， ∴ 85x =，∴ (85,4)Q -． ②85168m -<<．③不存在，理由：当n ＝7时，则P 点的纵坐标为7， ∵ P 点在抛物线上，∴ 2171616x =-+， ∴ 112x =，212x =-，∵ 0m >，∴ 212x =-舍去，∴ x ＝12， ∴ P 点坐标为(12，7)． ∵ P 为AB 中点，∴ 182AP AB ==，∴ 点A 的坐标是(4，7)，∴ m ＝4． 又∵ 正方形ABCD 边长是16，∴ 点B 的坐标是(20，7)，点C 的坐标是(20，-9)， ∵ Q 点在抛物线上，∴ 2191616x -=-+， ∴ 120x =，220x =-，∵ m ＞0，∴ 220x =-舍去，∴ x ＝20，∴ Q 点坐标(20，-9)，∴ 点Q 与点C 重合，这与已知点Q 不与点C 重合矛盾，∴ 当n ＝7时，不存在这样的m 值使P 为AB 边的中点．。

人教版九年级数学上册第二十五章概率初步25.1随机事件与概率一、选择题1．下列事件中，是必然事件的是( )A．购买一张彩票，中奖B．打开电视，正在播放广告C．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1~6的骰子，朝上一面的数字小于7D．一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球2．下列事件中，是必然事件的是（）A．内错角相等B．掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上C．13人中至少有两个人的生肖相同D．打开电视，一定能看到三水新闻3．下列成语所描述的事件是随机事件的是（）A．旭日东升B．不期而遇C．海枯石烂D．水中捞月4．在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选一个图形，那么下列事件中为不可能事件的（）．A．这个图形是中心对称图形；B．这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形；C．这个图形是轴对称图形；D．这个图形既不是中心对称图形又不是轴对称图形．5．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件6．下列说法中，正确的是（）A．“掷一次质地均匀的骰子，向上一面的点数是6”是必然事件B．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件C．“发热病人的核酸检测呈阳性”是必然事件D．“13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月”是不可能事件7．下列说法不正确．．．的是( )A．机场对乘客进行安检不能采用抽样调查B．一组数据10，11，12，9，8的平均数是10，方差是2C．“清明时节雨纷纷”是随机事件D．一组数据6，5，3，5，4的众数是5，中位数是38．下列说法正确的是（）A．“穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件B．任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件C．某彩票中奖概率为1%，那么买100张彩票一定会中奖D．“福山福地福人居”这句话中任选一个汉字，这个字是“福”字的概率是1 29．甲口袋有x个黑球与若干个白球，乙口袋有若干个黑球与x个白球．现交换甲乙口袋中的小球，每次交换的数量相等．交换数次后，下列说法错误的是( )A．甲口袋中的黑球数量与乙口袋中的白球数量之和始终为2x个B．甲口袋中的黑球数量与乙口袋中的白球数量之差可能为1个C．甲口袋中的黑球数量可能是乙口袋中的白球数量的2倍D．甲口袋中的黑球数量与乙口袋中的白球数量始终相等10．某初中七（5）班学生军训排列成7 7=49 人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则15 次点名后蹲下的学生人数可能是（）A．3B．27C．49D．以上都不可能二、填空题11．高速公路某收费站出城方向有编号为,,,,A B C D E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：在,,,,A B C D E 五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是___________.12．某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候，各个奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为__________.13．为了了解学生每月的零用钱情况，从甲、乙、丙三个学校各随机抽取200名学生，调查了他们的零用钱情况（单位：元）具体情况如下：在调查过程中，从__（填“甲”，“乙”或“丙”）校随机抽取学生，抽到的学生“零用钱不低于300元”的可能性最大． 14．八年级（4）班有男生24人，女生16人，从中任选1人恰是男生的事件是_______事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）.15．写一个你喜欢的实数m 的值，使得事件“对于二次函数21(53)42y x m x =--+，当2x >时，y 随x 的增大而增大”成为随机事件，这个实数m 的值______________．三、解答题16．在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n 个球，红球、白球、黑球至少各有一个．（1）当n为何值时，这个事件必然发生？（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？（3）当n为何值时，这个事件可能发生？17．在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．()1从口袋中任意取出一个球，是一个白球；()2从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；()3从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．18．如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①①①①①①①;①①①①①①①;(①①①①①①①;①①①①①①①①,估计各事件的可能性大小,完成下列问题.(1)①①①①①①①①①①①① ；(2)多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是；(3)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为: <<< .19．某班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．（1）当n为何值时，男生小强参加是确定事件？（2）当n为何值时，男生小强参加是随机事件？20．一黑色口袋中有4只红球,2只白球,1只黄球,这些球除了颜色外都相同, 小明认为袋中共有三种颜色不同的球,所以认为摸到红球、白球或者黄球的可能性是相同的,你认为呢?21．请用“一定”“很可能”“可能”“不太可能”“不可能”等语言来描述下列事件的可能性.(1)袋中有50个球,1个红的,49个白的,从中任取一球,取到红色的球;(2)掷一枚质地均匀的骰子,6点朝上;(3)100件产品中有2件次品,98件正品,从中任取一件,刚好是正品;(4)早晨太阳从东方升起;(5)小丽能跳100 m 高.22．一盒乒乓球中共有6只，其中2只次品，4只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品指出这些事件分别是什么事件．23．下列事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？(1)用长度分别为2 dm ，3 dm ，5 dm 的三根钢筋，首尾相连能焊成一个三角形；(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；(3)任意画一个三角形，其内角和是180°.【参考答案】1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．D 10．D11．B12．1213．丙14．随机15．m ＞1的实数16．（1）n =5或6；（2）n =1或2；（3）n =3或417．()1不确定事件；()2不可能事件；()3必然事件18．(1)23；(2)16；(3)①、①①①、①. 19．（1）14n n ==或；（2）23n n ==或.20．摸到红球、白球、黄球的可能性不相同.因为红球最多,所以摸到红球的可能性最大,而摸到黄球的可能性最小. 21．(1)不太可能；(2)可能；(3)很可能；(4)一定；(5)不可能.22．略23．(1)是不可能事件．(2)是随机事件．(3)是必然事件．人教版 九年级数学 25.2 用列举法求概率一、选择题1. 某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的三名学生(2男1女)中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是( )A.13B.49C.23D.292. 2019·临沂 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( )A.23B.29C.13D.193. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，这些球除颜色不同外其他都相同．搅匀后任意摸出1个球，是白球．．的概率为( )A.12B.310C.15D.7104. 甲、乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所在区域的数字之和为偶数，则甲获胜；若数字之和为奇数，则乙获胜；若指针落在分界线上，则重新转动转盘．甲获胜的概率是( )A.13B.49C.59D.235. 从如图所示图形中任取一个，是中心对称图形的概率是( )A.14B.12C.34 D ．16. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为( )A.14B.12C.π8D.π47. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”“2”“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a ，b ，c ，则以a ，b ，c 为边长的三角形是等边三角形的概率是( )A.19B.127C.59D.138. 在▱ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，现从以下四个关系式：① AB ＝BC ，②AC ＝BD ，③AC⊥BD ，④ AB⊥BC 中任选一个作为条件，可推出▱ABCD 是菱形的概率为( )A.12B.14C.34D.25二、填空题9. 2018·滨州若从－1，1，2这三个数中任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，则点M 在第二象限的概率是________．10. 某市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另外从“引体向上”“推铅球”中选一项进行测试．小亮、小明和小刚从“引体向上”“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是________.11. 掷一枚硬币三次，其中有两次正面朝上、一次反面朝上的概率为________．12. 如图所示的圆面图案是用半径相同的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为________.13. 如图，A是正方体小木块(质地均匀)的一个顶点，将小木块随机投掷在水平桌面上，则点A与桌面接触的概率是________．14. 淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式决定，那么她们两人都抽到物理实验的概率是________．15. 点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．16. 已知电路AB由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个，则能使电路形成通路的概率是________．三、解答题17. 如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面被分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5.小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次．每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：(1)求前8次的指针所指数字的平均数．(2)小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．(指针指向盘面等分线时视为无效转次)18. 汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同．(1)若前四局双方战成2∶2，则甲队最终获胜的概率是________；(2)现甲队在前两局比赛中已取得2∶0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？19. 2019·孝感一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字－2，－1，0，1，它们除了数字不一样外，其他完全相同．(1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是________；(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图10－ZT－3，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，C(1，0)，D(0，1)，请用画树状图法或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的图形内(含边界)的概率．人教版九年级数学25.2 用列举法求概率-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】C[解析] 列表得：所以甲获胜的概率是59.5. 【答案】C [解析] 因为共有4种等可能的结果，任取一个，是中心对称图形的有3种结果，所以任取一个，是中心对称图形的概率是34. 故选C.6. 【答案】C [解析] 设正方形ABCD 的边长为2a ，针尖落在阴影区域内的概率＝12×π×a24a2＝π8. 故选C.7. 【答案】A [解析] 画树状图如下：由树状图知，共有27种等可能的结果，构成等边三角形的结果有3种，所以以a ，b ，c 为边长的三边形是等边三角形的概率是327＝19.故选A.8. 【答案】A [解析] ①AB ＝BC ，③AC ⊥BD 能够推出▱ABCD 为菱形，4种情形中有2种符合要求，所以所求概率为24＝12.二、填空题9. 【答案】13[解析] 若从－1，1，2这三个数中任取两个分别作为点M 的横、纵坐标，一共有(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)6种等可能结果，其中在第二象限的结果一共有2种，所以点M 在第二象限的概率是13.10. 【答案】14[解析] 分别用A ，B 代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图如图所示．由图可知共有8种等可能的结果，小亮、小明和小刚从“引体向上”“推铅球”中选择同一个测试项目的有2种结果，所以小亮、小明和小刚从“引体向上”“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是28＝14.11. 【答案】38[解析] 画树状图如下：∵共有8种等可能的结果，其中有两次正面朝上、一次反面朝上的结果有3种， ∴掷一枚硬币三次，其中有两次正面朝上、一次反面朝上的概率为38.12. 【答案】1313. 【答案】12[解析] 正方体小木块共有6个面，其中包含点A 的面有3个，所以P(点A 与桌面接触)＝36＝12.14. 【答案】19[解析] 列表如下：由表可知，共有9种等可能的结果，其中两人都抽到物理实验的结果只有1种，所以她们两人都抽到物理实验的概率是19.15. 【答案】15[解析] 画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中点P(a ，b)在平面直角坐标系中第二象限内的结果有4种， 所以点P(a ，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率为420＝15.16. 【答案】35[解析] 列表如下：∴一共有20种等可能的结果，使电路形成通路的结果有12种， ∴使电路形成通路的概率是1220＝35.三、解答题17. 【答案】解：(1)3＋5＋2＋3＋3＋4＋3＋58＝3.5. 答：前8次的指针所指数字的平均数为3.5. (2)可能．若这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，则所指数字之和应不小于33，且不大于35.而前8次所指数字之和为28，所以最后2次所指数字之和应不小于5，且不大于7. 第9次和第10次指针可能所指的数字如下表所示：一共有16种等可能的结果，其中指针所指数字之和不小于5，且不大于7的结果有9种，其概率为916.18. 【答案】解：(1)12(2)画树状图如下：由图可知，共有8种等可能的结果，其中甲至少胜一局的结果有7种， 所以P(甲队最终获胜)＝78.19. 【答案】解：(1)14(2)由题意，列表如下：由表可知，点M 的所有等可能的结果有16种，点M 落在四边形ABCD 所围成的图形内(含边界)的结果有(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(0，－2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，共8个，所以满足条件的概率为P ＝816＝12.25.3用频率估计概率一、填空题1、黔东南下司“蓝每谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg ，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是________ kg ．2、在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是________3、一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球____个．4、为了估算湖里有多少条鱼，从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里，经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后，第二次捕得200条，发现其中带标记的鱼25条，我们可以估算湖里有鱼 条．5、．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个．6、在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有 个．7、某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共60个．通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为 个．8、在一个不透明的盒子中装有n 个规格相同的乒乓球，其中有2个黄色球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到黄色球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n 大约是 ．9、在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有4个，黑、白色小球的数目相同，小明从布袋右随机摸出一球，记下颜色放回布袋中，搅匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出红球频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有________个．10、小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球共3 000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是________．11、在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是12、如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为．二、选择题13、一个口袋中有红球、白球共20只，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50次，发现有30次摸到红球，则估计这个口袋中有红球大约多少只？（）A、8只B、12只C、18只D、30只14、在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组作摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表示活动进行中的一组统计数据：请估算口袋中白球约是( )只．A．8 B．9 C．12 D．1315、在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A．12 B．15 C．18 D．2116、在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，请估计盒子中白球的个数是( ) A．10个B．15个 C．20个D．25个17、为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（）A．300条 B．380条 C．400条 D．420条18、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（）A．24 B．18 C．16 D．619、2015年4月30日，苏州吴江蚕种全部发放完毕，共计发放蚕种6460张（每张上的蚕卵有200粒左右），涉及6个镇，各镇随即开始孵化蚕种，小李所记录的蚕种孵化情况如表所示，则可以估计蚕种孵化成功的概率为（）A．0.95 B．0.9 C．0.85 D．0.820、为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（）A．300条 B．380条 C．400条 D．420条21、某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜．则当x＝________时，游戏对甲、乙双方公平( ) A．3 B．4 C．5 D．622、在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）A．15个 B．20个 C．30个 D．35个参考答案一、填空题1、5602、103、84、800 条．5、15 个．6、12 个．7、15 个．8、109、810、2 100个11、10．12、0.600 ．二、选择题13、B14、C15、B16、B17、C18、C19、B20、C21、B22、D。

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C''').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？【答案与解析】①旋转中心：点A；旋转角度：45°（逆时针旋转）②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．【答案与解析】⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】类型三、平移、轴对称、旋转【: 388636：经典例题2-3】3.（2015•北京校级模拟）如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是；∠EFD的度数为；（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．【思路点拨】（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．（2）延长线段CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，易证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可证明EF=FC，EF⊥FC；（3）基本方法同（2）．【答案与解析】解：（1）EF=FC，90°．（2）延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，如下图2∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，∴△BFC≌△DFM，∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，∴MD=AC，MD∥BC，∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，∴△MDE≌△CAE，∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，∴∠MEC=90°，∴EF=FC，EF⊥FC（3）图形如下，结论为：EF=FC，EF⊥FC．【总结升华】延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决．举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AC=2，AB=23，△ACD 是等边三角形． （1）求∠ABC 的度数．（2）以点A 为中心，把△ABD 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． （3）求BD 的长度．【答案】（1）Rt △ABC 中，AC=2，AB=23, ∴BC=4， ∴∠ABC=30° （2）如图所示：（3）连接BE ．由（2）知：△ACE ≌△ADB ， ∴AE=AB ，∠BAE=60°，BD=EC ， ∴BE=AE=AB=23，∠EBA=60°， ∴∠EBC=90°， 又BC=2AC=4，∴Rt △EBC 中，EC=2223+4=27（）4.（2015•东西湖区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．（1）填空：线段BE、AF的数量关系为，位置关系为；（2）当=时，求证：=2；（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，从而有S△AEG=2S△AFG，即证=2；（3）根据（2）的推理过程，知S△AEG=nS△AFG，则，即可求得n的值．【答案与解析】（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，∴∠ECB=∠ACF．又AC=BC，CE=CF，∴△ECB≌△FCA．∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，又∠CBE+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BE=AF，BE⊥AF．（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，∴GM=GN．∴S△AEG=2S△AFG，∴EG=2GF，∴=2．（3）解：由（2），得当=n时，S△AEG=nS△AFG，则， ∴当n=时，=．【总结升华】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律． 【:388636：经典例题4-5】5.已知：点P 是正方形ABCD 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.【思路点拨】通过旋转，把PA 、PB 、PC 或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APD ． 【答案与解析】(1)∵AB=BC,∠ABC=90°，∴△CBP 绕点B 逆时针旋转90°，得到△ABE, ∵BC=BA,BP=BE,∠CBP=∠ABE ∴△CBP ≌△ABE ∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4 ∴∠BPE=45°，PE=42 又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴222AE AP EP =+ 即AE=6, 所以PC=6.(2)由（1）证得：PE=2BP,PC=AE ∵2222PB PC PA =+ ∴222PA AE PE += ∴∠PAE=90° 即∠PAB+∠BAE=90°又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP∴∠PAB+∠BCP=90又∵∠ABC=90°∴点A,P,C三点共线，即P必在对角线AC上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，AB=BC，，K为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）⑵⑶证明：在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.。

专题21.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知方程20x bx a -+=，有一个根是()0a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）．A ．abB ．a bC ．a b +D ．-a b2．已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-3．若a ，b 10a -=，则2a b -=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法．类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段AE 上，标注点B 的新位置F ，则EF EB =． 类似地，再在AB 上折出点M 使AM AF =，则表示方程210x x +-=的一个正根的是（ ）A ．线段BM 的长B ．线段AM 的长C ．线段BE 的长D ．线段AE 的长5．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a b cd＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ）AB ．C ．3D ．6．若关于x 的方程()()22222280x x x x +++-=有实数根，则22x x +的值为（ ） A ．－4B ．2C ．－4或2D ．4或－27．已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x ，且满足122x x =，则12x x +的值为（ ）A ．4B ．-4C ．4或-2D ．-4或28．若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，且a 2＋b 2＝12，则k 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-或19．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（ ）A ．()2170%a x a -= B ．()2170%a x a += C ．()2130%a x a -=D ．()230%1x a a +=10．如图，在△ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ．动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动，点P 的速度为1cm/秒，点Q 的速度为2cm/秒，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为15cm 2的是（ ）A ．2秒钟B ．3秒钟C ．3秒钟或5秒钟D ．5秒钟11．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M 的值为5，那么输入x 的值为（ ）A ．－8B ．－2C ．1D ．8二、填空题12．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，则a 的值为______．13．若1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则()()22112222x x x x +-+-的值为______．14．已知x ，那么2263x x +-的值是______． 15．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 _____．16．已知一元二次方程214480x x -+=的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．17a =_____________． 18．设12,x x 是一元二次方程2530x x -+=的两个根，则1211x x +=__________． 19．已知26a －100a ＋7＝0以及27b －100b ＋6＝0，且ab ≠1，则ab的值为__________．20．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为___________．21．如图，已知Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△B ＝30°，BC ＝3，D 是边AB 上的一点，将△BCD 沿直线CD 翻折，使点B 落在点B 1的位置，若B 1D △BC ，则BD 的长度为 _____．22．如图，在一块长为22m ，宽为14m 的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m 2，则小路的宽为________m ．23．如图，在矩形ABCD 中，65AB AD ==，，点E 是AB 上一点，且5BE =，连接CE ，点F 是线段DC 上一点，将ADF 沿AF 折叠，使得点D 的对应点D 落在线段CE 上，则DF 的长度为___________．三、解答题 24．解方程（1）2699910x x --=； （2）()()22352360x x ---+=；（3）2223x a ax +=（配方法）； （4）2210mx x -+=.25．阅读材料：若m2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，求m 、n 的值. 解：△m 2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，△(m 2－2mn ＋n 2)＋(n 2－8n ＋16)＝0△(m －n)2＋(n －4)2＝0，△(m －n)2＝0，(n －4)2＝0，△n ＝4，m ＝4. 根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知a 2＋6ab ＋10b 2＋2b ＋1＝0，求a －b 的值；(2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2＋b 2－4a －6b ＋11＝0，求△ABC 的周长；(3)已知x ＋y ＝2，xy －z 2－4z ＝5，求xyz 的值.26．关于x 的方程()()22210x m x m -++-=(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为1，求m 的值：(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长27．苏科版九上数学p 31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2﹣2x ＝0，可以通过因式分解把它转化为x （x 2+x ﹣2）＝0，解方程x ＝0和x 2+x ﹣2＝0，可得方程x 3+x 2﹣2x ＝0的解．（1）问题：方程x 3+x 2﹣2x ＝0的解是x 1＝0，x 2＝ ，x 3＝ ；（2）用“转化”x 的解； （3）拓展：若实数x 满足x 2+2133x x x --＝2，求x +1x的值28．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m 元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了143m 个，“雪容融”的销量比第一周增加了m 个，最终商家获利6600元，求m ．参考答案1．C 【分析】根据方程根的定义，代入化简计算即可．解：△方程20x bx a -+=，有一个根是()0a a -≠，△20a ab a ++=， △(1)0a a b ++=， △0a ≠， △10a b ++=， △1a b +=-， 故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练掌握定义是解题的关键．2．C 【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．解：设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7， x 2-2px +p 2=7， △x 2-2px =7-p 2， △x 2-2px +4=11-p 2，△方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，△-2p =-6，a =11-p 2， △p =3，a =11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C ．【点拨】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键． 3．C【分析】首先根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得a 、b 的值，再把a 、b 的值代入代数式，即可求得其值．解：24410a a +-=0≥，10a -≥2244010a ab b a ⎧++=∴⎨-=⎩由a -1=0解得a =1把a =1代入22440a ab b ++=，得 2440b b ++=，得()220b +=解得b =-2故()2122145a b -=-⨯-=+= 故选：C【点拨】本题考查了算术平方根及绝对值的非负性，代数式求值问题，熟练掌握和运用二次根式及绝对值的非负性质是解决本题的关键．4．B 【分析】设正方形的边长为1，AF AM x ==，根据勾股定理即可求出答案． 解：设正方形的边长为1，AF AM x ==，则12BE EF ==，12AE x =+， 在Rt △ABE 中， △222AE AB BE =+， △22211()1()22x +=+，△210x x +-=，△AM 的长为210x x +-=的一个正根． 故选：B ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据勾股定理列出方程． 5．D 【分析】根据新定义可得方程（x +1）（2x -3）=x （x -1），然后再整理可得x 2=3，再利用直接开平方法解方程即可．解：由题意得：（x +1）（2x -3）=x （x -1），整理得：x 2=3，两边直接开平方得：x故选：D ．【点拨】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法--直接开平方法，关键是正确理解题意，列出方程．6．B 【分析】设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得y 的值，即可得到22x x +的值． 解：设22x x y +=，则原方程可化为2280y y +-=，解得：14y =-，22y =，当4y =-时，224x x +=-，即2240x x ++=，△224140=-⨯⨯<，方程无解， 当2y =时，222x x +=，即2220x x +-=，△()22412=120=-⨯⨯->，方程有实数根，22x x ∴+的值为2，故选：B ．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，的关键是把22x x +看成一个整体来计算，即换元法思想．7．B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m 的值，即可求解．解：关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x ，212122,x x m x x m m ∴+=-⋅=-，22(2)4()40m m m m ∆=--=>0m ∴>，122x x =，即22m m -=，解得2m =或1-，2m ∴=，12224x x ∴+=-⨯=-，故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，如果方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个实数根是12,x x ，那么12b x x a +=-，12cx x a=；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．8．A 【分析】先根据a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，求出∆2416k k =-≥0，由一元二次方程根与系数关系得到a ＋b ＝2k ，ab ＝4k ，利用a 2＋b 2＝12，求出k 的值，再代入∆2416k k =-验证即可．解：△a 、b 是关于x 的一元二次方程x 22-kx ＋4k =0的两个实数根，△2Δ(2)414k k =--⨯⨯ 24160k k =-≥a ＋b ＝2k ，ab ＝4k 22a b + 2()2a b ab =+- 2(2)24k k =-⨯248k k =-△248k k -＝12 解得11k =-，23k = 当11k =-时，∆2416k k =- 24(1)16(1)=⨯--⨯-200=>△11k =-符合题意，当23k =时，∆2416k k =-243163=⨯-⨯120=-<△23k =不符合题意，应舍去，综上，k 的值是﹣1．故选：A【点拨】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a． 9．C【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为x ，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，∴ 去年下半年平均每周作业时长为()1a x -分钟，今年上半年平均每周作业时长为()21a x -分钟，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，()()21170%a x a ∴-=-，()2130%a x a ∴-=． 故选：C ．【点拨】本题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．10．B【分析】设运动时间为t 秒，则PB =（8-t ）cm ，BQ =2t cm ，由三角形的面积公式结合△PBQ 的面积为15cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：设运动时间为t 秒，则PB =（8-t ）cm ，BQ =2t cm ， 依题意，得：12×2t •（8-t ）=15，解得：t 1=3，t 2=5，△2t ≤6，△t ≤3，△t =3．故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．A【分析】利用程序框图的算法列方程，求出x ，然后比较大小即可得出答案．解：如图所示：设x 3＞；输出M 的值为5，△x x 235， 解得()()120x x +-=，解得x x 1212，， △x x 121323＜，＜不合题舍去，设3x ≤；输出M 的值为5， △x152， △8x =，△解得x x 1288，， △x 183＞舍去x 283＜，△当输入x =-8时，输出M 的值为5．故选择A ．【点拨】本题主要考查了程序框图，一元一次特征方程，一元二次方程，比较大小，正确理解计算程序是解题关键．12．32##1.5##112【分析】根据方程根的定义得到223am bm -=，223an bn -=，然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后，利用整体代入，得到关于a 的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可．解：△关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m ，n ，△2230am bm --=，2230an bn --=△223am bm -=，223an bn -=△(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54，△[2（am 2－2bm ＋a ）] [3(an 2－2bn )－2a ]＝54△2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =△ab ≠0△a ，b 均为非零实数， △32a = 故答案为：32【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．13．1【分析】根据题意，22112210,10x x x x +-=+-=，变形代入计算即可．解：△1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，△22112210,10x x x x +-=+-=，△()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，利用定义变形代入计算是解题的关键．14．-5【分析】先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．解：△x =， △2263x x +-()2233x x =+-29152342x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ 2315222x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 21522=-⎝⎭ 21522=⨯-⎝⎭ 51522=- 5=-，故答案为：-5．【点拨】本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．15．22+10a b ab ≥【分析】因为矩形的长和宽分别为a 、b ，所以其周长和面积分别为2(a +b )和ab ，设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．解：设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ， 即()211-++=033x a b x ab ， △存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一△方程有解， △△=21()1433ab a b ⎡⎤-⎥⨯+⎢⎣⎦=221214++-9993a ab b ab =221101-+999a ab b ≥0 △22-10+0a ab b ≥△22+10a b ab ≥故答案为：22+10a b ab ≥．【点拨】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．16．20【分析】求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．解：()()21448680x x x x -+=--=，则x 1=6，x 2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，5=，故菱形的周长为5×4=20，故答案为20【点拨】本题考查解一元二次方程，菱形的性质，周长的求法，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．17．-3【分析】根据同类二次根式的定义可得238103a a -=-，由此求解即可解：△△238103a a -=-，△260+-=a a△3a =-或2a =，△两个根式都是最简根式，△2a =当a =3时，二次根式有意义且符合题意，故答案为-3．【点拨】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式18．53##213【分析】根据根据根与系数的关系得125x x +=，123x x ⋅=，分式通分后相加，再把两根之和与两根之积的结果代入，计算即可．解：△12,x x 是一元二次方程2530x x -+=的两个根△125x x +=，123x x ⋅= △1211221153x x x x x x ++== 故答案为：53【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．当x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时1212b c a ax x x x +=-=，． 19．76【分析】第2个方程两边同除以b ²，得到与第一个方程相似的方程，所以a ,1b可看成一元二次方程2610070x x -+=的两个根，利用根与系数的关系可求得a b的值． 解：△27b －100b ＋6＝0，△211610070b b⨯-⨯+=， △26a －100a ＋7＝0，△a 、1b是方程26x －100x ＋7＝0的两个根， △由根与系数的关系可知：176a ab b ⨯==． 故答案为：76． 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，关键是把两个数看成一个一元二次方程的两个根．20．233(1)3(1)10x x ++++=【分析】若把增长率记作x ，则第二天票房约为3（1+x ）亿元，第三天票房约为3（1+x ）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．解：若把增长率记作x ，则第二天票房约为3（1+x ）亿元，第三天票房约为3（1+x ）2亿元，依题意得：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=10．故答案为：：3+3（1+x ）+3（1+x ）2=10．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21延长B 1D 交BC 于E ，由B 1D △BC ，根据含30角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE ＝12BD ，BE ，设BD ＝x ，在Rt△B 1CE 中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．解：延长B 1D 交BC 于E ，如图：△B1D△BC，△△BED＝△B1EC＝90°，△△B＝30°，△DE＝1BD，2△BE，设BD＝x，△将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，△B1D＝x，△BC＝3，△CE＝3，B1C＝BC＝3，在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，x）2+（3）2＝32△（x+12x x=△(0△x＝0（舍去）或x△BD【点拨】本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含30角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含30角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．22．2【分析】设小路宽为x m ，则种植花草部分的面积等同于长（22-x ）m ，宽（14-x ）m 的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设小路宽为xm ，则种植花草部分的面积等同于长（22-x ）m ，宽（14-x ）m 的矩形的面积，依题意得：（22-x ）（14-x ）=240，整理得：x 2-36x +68=0，解得：x 1=2，x 2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．52【分析】过D'作D 'G △AB 于G ，D 'H △AD 于H ，连结DD'，则由题意和勾股定理可以得到HD'=AG =4，AH =3，DH =2，设DF =y ，则由''2AHD ADF DHD F S SS +=四边形可得关于y 的方程，解方程即可得到DF 的值．解：如图，过D'作D 'G △AB 于G ，D 'H △AD 于H ，连结DD'，由题意可得EB =BC =5，△△CEG =45°，△EG =GD'，设EG =GD '=x ，又由题意可得AD'=AD =5，AG=AE+EG=AB -BE+EG =1+x△在RT △AGD'中，()22215x x ++=，解之可得GD'=x =3，△HD'=AG =4，AH =3，DH =2，设DF =y ，则由''2AHD ADF DHD F S S S +=四边形可得：()423452222y y +⨯⨯+=⨯， 解之可得y =52，即DF =52， 故答案为：52． 【点拨】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握勾股定理的应用、矩形与轴对称的性质及方程思想方法的运用是解题关键．24．（1）1103x =，297x =-；（2）152x =，23x =；（3）12x a =，2x a =；（4）△当0m =时， 12x =；△当0m ≠时，若1m ，x =；若1m ，方程无解【分析】（1）根据配方法的步骤将方程常数项移动右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）利用因式分解法即可求得方程的解；（3）根据配方法的一般步骤，把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的左边，再在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，化为完全平方式，再开方即可得出答案；（4）分m=0和0m ≠两种情况考虑，当0m ≠时，再分△≥0和△＜0两种情况考虑，即可得到方程的解．（1）2699910x x --=解：26910000x x -+= ()2310000x -=3100x -=或3100x -=-1103x =，297x =-；（2）()()22352360x x ---+=解：()()2322330x x ----=2320x --=或2330x --=152x =，23x =； （3）2223x a ax += 解：2222993244x ax a a a -+=-+ 223124x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3122x a a -=± 1322x a a =±+ 12x a =，2x a =； （4）2210mx x -+=解：△当0m =时，210x -+=，解得：12x =；△当0m ≠时，44m ∆=-，若440m -≥，即1m ，x 若440m -<，即1m ，方程无解．【点拨】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是能够根据方程的结构特征选择适当的解法．25．（1）4；（2）7；（3）2试题分析：（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．解：（1）△a 2+6ab+10b 2+2b+1=0，△a 2+6ab+9b 2+b 2+2b+1=0，△（a+3b ）2+（b+1）2=0，△a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a -b=4；（2）△2a 2+b 2-4a -6b+11=0，△2a 2-4a++2+b 2-6b+9=0，△2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，△△ABC的周长为1+3+3=7；（3）△x+y=2，△y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，△x2-2x+1+z2+4z+4=0，△（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，△xyz=2．【点拨】本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.26．(1)答案见解析【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将x=1代入方程可确定m的值；（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．解：(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，△a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，△b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，△在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即b2−4ac＞0，△关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程可得：12−(m+2)+(2m−1)=0，解得：m =2；(3)△m =2，△方程为x 2−4x +3=0，解得：x 1=1或x 2=3，△方程的另一个根为x =3；△直角三角形的两直角边是1、3，，△，△直角三角形的周长为1＋3【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．27．（1）-2，1；（2）x ＝3；（3）4【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）把无理方程化为整式方程x 2﹣2x ﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；（3）先表示得到（x +1x ）2﹣3（x +1x ）﹣4＝0，利用因式分解法得到x +1x ＝4或x +1x＝﹣1，由于x +1x ＝﹣1化为x 2+x +1＝0，此方程没有实数解，从而得到x +1x的值为4． 解：（1）x 3+x 2﹣2x ＝0，x （x 2+x ﹣2）＝0，x （x +2）（x ﹣1）＝0，x ＝0或x +2＝0或x ﹣1＝0，所以x 1＝0，x 2＝﹣2，x 3＝1；故答案为0，﹣2，1；（2）两边平方得2x +3＝x 2，整理得x 2﹣2x ﹣3＝0，因式分解得()()310x x -+=解得x 1＝3，x 2＝﹣1，经检验，x ＝3为原方程的解；（3）22133x x x x+--＝2， 211340x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11410x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 140x x +-=或110x x++=， △11x x +=-化为x 2+x +1＝0，△=1-4=-40<,此方程没有实数解舍去， △x +1x的值为4． 【点拨】本题考查高次方程的解法、无理方程、分式方程的解，掌握高次方程的解法、无理方程、分式方程的解都转化为低次方程，有理方程，和整式方程来解是解题关键．28．(1)每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元(2)m 的值为10【分析】（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为x 元，每个“雪容融”的进价为y 元，再根据题意建立方程，解方程即可；（2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可．(1)解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为x 元，每个“雪容融”的进价为y 元，依题意得△203040x x y y ==-⎧⎨⎩． 解得：12080x y =⎧⎨=⎩． 答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元．(2)解：依题意得：14(150120)(120)(10080)(150)66003m m m -++--+=， 整理得：2100m m -=，解得：110m =，20m =（不合题意，舍去）．答：m 的值为10．【点拨】本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．。

测评练习一、选择题 1．（基础题）有6张背面相同的扑克牌，正面上的数字分别是4，5，6，7，8，9．若将这六张牌背面朝上洗匀后，从中任意抽取一张，那么这张牌正面朝上的数字是9的概率为（ ）A ．32B ．21C ．31D ．61考查目标 考查求概率． 2．（05年武汉中考·课改卷）一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）A ．31B ．81C ．154D ．114考查目标 考查求概率． 3．（05年杭州中考）有一对酷爱运动的年轻夫妇让他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”。

则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（ ）A ．61B ．41C ．31D ．21考查目标 考查求概率． 4．（基础题）下列事件发生的概率与投掷两枚硬币出现都是正面向上的概率相同的是（ ）A ．从没有大、小王的扑克牌中抽一张，正好是黑桃的概率B ．任意写出一个自然数为偶数的概率C ．从装有红、白两种不同颜色的口袋中任意取出一个球，正好是白球的概率D ．任意翻开一本书，页码正好不是2的倍数的概率 考查目标 考查求概率． 5．（05年青岛中考·课改卷）在一个不透明的袋子里放入除颜色外完全相同的2个红球和2个黄球，摇匀后摸出一个记下颜色，放回后摇匀，再摸出一个，则两次摸出的球均是红球的概率为（ ）A ．41B ．31C ．21D ．43考查目标 考查求概率． 6．（05年山东中考·课改卷）如图25-2-9，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处则重转），两个转盘指针指向数字之和不超过4的概率是（ ）A ．65B ．31C ．32D ．21考查目标 考查求概率． 7．（综合题）一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．如图25-2-10是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的21的概率是（ ）A ．61B ．31C ．21D ．32考查目标 考查求概率． 8．（能力题）袋中有8个白球和若干个黑球，小华从中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有（ ） A ．15个 B ．16个 C ．17个 D ．18个考查目标考查用频率估计概率．二、填空题9．（05年海淀中考·课改卷）某校初三（2）班想举办班徽设计比赛，全班50名同学，计划每位同学交设计方案一份，拟评选出10份为一等奖，那么该班某位同学获一等奖的概率为________．考查目标考查概率求法．10．（基础题）在一个布袋里装有红、白、黑三种颜色的玻璃球各一个，它们除颜色外没有其他区别．先从袋中取出一个，然后再放回袋中，并搅匀，再取出一个，则两次取出的都是红色玻璃球的概率为________．考查目标考查求概率．11．（能力题）在一次数学测验中，某同学有两道选择题不会做，就随便选了两个答案．请你算一算，他两道题都选对的概率是________．（注：每道题的选择答案有4个，其中只有一个是正确的）考查目标考查求概率．12．（能力题）用力旋转如图25-2-11所示的转盘A和B的指针，如果想让指针停在黑色区域上，选哪个转盘能使成功的机会大？同学甲说选A成功的机会大，同学乙说选B成功的机会大，同学丙说选A，B成功的机会一样大．________说的正确．考查目标考查概率的应用．13．（应用题）如图25-2-12所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形（取出的两张纸片都画有半圆形）则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形（取出的一张纸片画有半圆、一张纸片画有正方形）则乙方赢．你认为这个游戏对双方公平吗？若不是，有利于谁？________．考查目标考查概率的应用．14．（05年厦门中考·课改卷）如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分．谁先累积到10分，谁就获胜．你认为________（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大．考查目标考查概率的应用．三、解答题15．（基础题）在一个口袋中装有6只白球，3只红球，2只黑球，若从中取出一只白球和一只黑球，放在桌上，再取1只，取出白球、红球、黑球的概率分别是多少？考查目标考查求概率．16．（综合题）把一副中国象棋的全部棋子放入一布袋中搅匀．（1）从袋中摸出一枚棋子，是红棋的概率是多少？是黑棋的概率是多少？（2）从袋中摸出一枚棋子，是黑炮的概率是多少？是马的概率是多少？（3）如果已经从袋中摸出了3枚棋子——红车、黑马、红兵放在外面，再从口袋中摸出1枚棋子，是红棋的概率是多少？是车或马或炮的概率是多少？考查目标考查概率应用．17．（05年河南中考·课改卷）如图25-2-13是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？请你用列举法（列表或画树形图）加以分析说明．考查目标考查求概率．18．（开放题）如图25-2-14所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．（1）若自由转动转盘，当停止转动时，指针指向奇数区的概率是多少？ （2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动转盘停止时，指针指向的区域的概率为32．考查目标考查简单事件的概率及学生动手操作的能力． 19．（应用题）请你依据右面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：（1）用树形图表示出所有可能的寻宝情况； （2）求在寻宝游戏中胜出的概率．考查目标考查概率的应用． 20．（探究题）两袋分别盛着写有0，1，2，3，4，5六个数字的六张卡片，从中各取一张，求所得两数之和等于6的概率，“数学大王”小聪和“数学博士”小明分别给出如下两种不同答案．小聪的解法：两数之和共有0，1，2，3，…，10共11种不同的结果，和为6的情况是11种结果中的一种，所以所求概率为111．小明的解法：从每袋中各取一张卡片，共有62＝36种取法．其中和为6的情况有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）五种．因此所求概率为365．辩论课上，两人各执一词，争得不可开交．到底哪一种解法正确？请你帮他们分析一下．考查目标考查概率的应用．第二十五章答案与导解25．21．D2．C 导解：从中任意摸出一个球，所有可能出现的结果数为30，出现白球结果数为8．3．C 导解：画树形图分析．4．A 导解：抛掷两枚硬币都是正面朝上概率为41，A 的概率为415213＝，B的概率为21，C 的概率无法求出，D 的概率为21．5．A 导解：第一次摸出红球概率为2142＝，第二次摸出红球的概率为21，∴两次都摸到红球的概率为412121＝⨯，或用画树形图法分析．6．D 导解：如图，由树形图可知和不超过的概率为21．7．A 导解：6和3是相对面．8．C 导解：设有黑球x 个，则1003288＝＋x ，∴ x ＝17．9．51 导解：P ＝515010＝． 10．91导解：画树形图分析．11．161 导解：1614141＝⨯．12．丙 导解：P （A ）＝21，P （B ）＝21．13．游戏不公平，对乙方有利 导解：P （圆形）＝31；P （蘑菇）＝32．14．甲 导解：抛掷两枚硬币出现的结果为正正、正负、负正、负负四种结果，而出现两个正面的概率是41，所以甲获胜的机会更大．15．解：取出一只白球和一只黑球后，口袋中还有5只白球，3只红球，1只黑球共9只球，所以P （白球）＝95，P （红球）＝93＝31，P （黑球）＝91．16．解：（1）P （摸出红棋）＝3216＝21，P （摸出黑棋）＝3216＝21；（2）P （摸出黑炮）＝322＝161，P （摸出马）＝324＝81；（3）P （摸出红棋）＝332216－－＝2914，P （摸出车、马、炮）＝2910332112222＝－－－）＋＋（ ．导解：一副中国象棋共有32枚棋子，红、黑双方各有：将1枚，士2枚、象2枚、马2枚、车2枚、炮2枚、兵5枚．另外，解决（3）时要正确理解“是车或炮或马”的含义．17．解：可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和： 1 2 3 4 1 1＋1＝2 2＋1＝3 3＋1＝4 4＋1＝5 2 1＋2＝3 2＋2＝4 3＋2＝5 4＋2＝6 3 1＋3＝4 2＋3＝5 3＋3＝6 4＋3＝7 4 1＋4＝5 2＋4＝6 3＋4＝7 4＋4＝8 从上表可知，共有16种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共出现4次，因此牌面数字之和等于5的概率为41164＝．18．解：（1）P （指针指向奇数区域）＝2163＝． （2）解法一：如图所示，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向阴影部分区域的概率为32．解法二：自由转动转盘，当它停止时，指针指向的数字不大于4时，指针指方块 黑桃向的区域的概率是32．19．解：（1）树形图如下：（2）由（1）中的树形图可知：P （胜出）＝61．20．解：小明的解法是正确的，小聪的解法中所列的11种结果不是等可能的结果，有些机会大，有些机会小，而小明所列的36种结果则是等可能的，因此其概率应为365．。

专题22.30 二次函数与一元二次方程（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一：抛物线与坐标轴交点坐标1．已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣2a ﹣1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交负半轴于点C ，△ABC 的面积为15，则该抛物线的对称轴为（ ）A ．直线x ＝2B ．直线x ＝﹣72C ．直线x ＝13D ．直线x ＝122．四位同学在研究函数2y x bx c =++（b ，c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为2；丁发现当2x =时，3y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．已知抛物线2:23M y x x =+-与抛物线：2:V y x bx c =++关于直线2x =对称，则抛物线V 与x ，y 轴的交点为顶点的三角形的面积为（ ）A ．6B ．12C ．21D ．42类型二：由函数值求自变量的值4．三个方程2(1)(2)1,3(1)(2)1,4(1)(2)1-+-=-+-=-+-=x x x x x x 的正根分别记为123,,x x x ，则下列判断正确的是（ ）A ．321x x x >>B ．123x x x >>C ．132x x x >>D ．213x x x >>5．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ≤6的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．5＜t ≤12B ．﹣4≤t ≤5C ．﹣4＜t ≤5D ．﹣4≤t ≤126．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象上部分点的坐标(),x y 的对应值如表所示，则方程220ax bx ++=的根是（ ）A ．0或6B 3C ．2或4D 6类型三：图象法确定一元二次方程的近似根7．如图，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx h =+交于A 、B 两点，下列是关于x 的不等式或方程，结论正确的是（ ）A ．2()ax b k x c h +-+>的解集是24x <<B ．2()ax b k x c h +-+>的解集是4x >C ．2()ax b k x c h +-+>的解集是2x <D ．2()ax b k x c h +-+=的解是2x =或4x =8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，已知顶点坐标为（﹣2，﹣9a ）．有下列结论：①abc ＜0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如下表给出了二次函数229y x x =+-中，x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程2290x x +-=的一个近似解（精确到0.1）为（ ）x ……2 2.1 2.2 2.3 2.4……y ……－1－0.390.240.89 1.56……A ．2B ．2.1C ．2.2D ．2.3类型四：图象法解一元二次不等式10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，下列结论：①二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4；②b=﹣2；③使y ≤3成立的x 的取值范围是x≤-2或x ≥1；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，下列结论：①20a b +=；②关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为12x -<<；③420a b c ++<；④80a c +<．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知二次函数()2240y ax ax c a =-++>图像上的两点()11,x y 和()26,y ，若12y y >，则1x 的取值范围是（ ）A ．14x >-B ．26x >-C ．141x -<<D ．146x -<<类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围13．下列命题正确的是（ ）A ．若分式方程41(1)(1)(1)m x x x -=+--有增根，则它的增根是±1B ．两边及一角对应相等的两个三角形全等C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D ．已知抛物线2(1)4y x =-++，当0y >时，31x -<<14．已知二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如下图所示，则下列五个结论：①abc ＞0；②a ＋c ＞b ；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④3b ＞2c ；⑤2am bm a b +<+（其中m 为实数，且m ≠1），其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．①②③④15．已知抛物线2y ax bx c =++，()0a >过()1,0-，且对称轴是直线1x =，则当0y >时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．13x -<<C ．12x -<<D ．1x <-或3x >类型六：根据交点确定不等式的解集16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列结论：①0a >；②240b ac ->；③41a b +=；④不等式()210ax b x c +-+<的解集为13x <<，正确的结论个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．417．点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）在抛物线243y x x -+＝上，已知：111x -<<，存在一个正数m ，当21m m x -<<时，都有12y y ¹，则m 的取值范围是（ ）A ．2m ³B ．23m ££C ．23m ££或5m ³D ．23m ££或6m ³18．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0ac >；②当0x >时，y 随x 的增大而增大；③30a c +=；④2a b am bm +³+．⑤b ＝4a其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型七：抛物线与x 轴交点问题19．已知关于x 的二次函数()221y x k x k =+++，下列说法不正确的是（ ）A ．对任意实数k ，该函数图象与x 轴都有两个不同的交点B ．对任意实数k ，该函数图象都经过点11,24æö--ç÷èøC ．对任意实数k ，当x k >-时，函数y 的值都随x 的增大而增大D ．对任意实数k ，该函数图象的顶点在二次函数2y x x =--的图象上运动20．已知二次函数y =a （x +1）（x -m ）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则-1＜a ＜0；③若（-2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点(14，y 1)，(14+n ，y 2)对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则32≤m ＜2．A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④21．如图，是二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象，则下列结论正确的个数有（ ）①0c a<；②80a c +<；③二次函数最小值为2a ；④230c b +=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况22．若三个方程()()2325x x -+-=，()()3325x x -+-=，()()4325x x -+-=的正根分别记为1x ，2x ，3x ，则下列判断正确的是（ ）A ．123x x x <<B ．321x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x <<23．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0a b c ××>；②当0x >时，y 随x 的增大而增大；③3b ＝2c ；④抛物线顶点坐标为()1,m ，则关于x 的方程21ax bx c m ++=+有实数根．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-，与y 轴交于点(0,2)，抛物线的对称轴为直线1x =．关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下：甲：20a c b a b +=+=，；乙：方程20ax bx c ++=的解为1-和3；丙：2c a ->．下列判断正确的是（ ）A ．甲对，乙错B ．甲和乙都错C ．乙对，丙错D ．甲、乙、丙都对类型九：求抛物线与x 轴截线长25．已知二次函数241y ax x =++(0)a >的图像与x 轴分别交于A 、B 两点，图像的顶点为C ，若90ACB Ð=°，则a 的值为（ ）A ．3B ．C ．2D 26．已知：抛物线23y x mx =--与x 轴交于A 、B 两点，且4AB =，则m 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．4±27．对于每个非零的自然数n ，抛物线2(1)(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220182018A B A B A B ++×××+的值是（ ）A ．20182017B ．20172018C ．20192018D ．20182019二、填空题类型一：抛物线与坐标轴交点坐标28．已知二次函数24y x x c =++的图象与x 轴的一个交点坐标是()20,，则它与x 轴的另一个交点坐标是______．29．如图是抛物线2y x bx c =++的部分图象，则方程20x bx c ++=的两个根是____________．30．若抛物线y ＝x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x ＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为_____．类型二：由函数值求自变量的值31．如图，一段抛物线()()1:404C y x x x =--££与x 轴交于点O ，1A ；将1C 向右平移得到第2段抛物线2C ，交x 轴于点1A ，2A ；再将2C 向右平移得到第3段抛物线3C ，交x 轴于点2A ，3A ；又将3C 向右平移得到第4段抛物线4C ，交x 轴于点3A ，4A ；若点()15,P m 在4C 上，则m 的值为______．32．二次函数y =-mx 2+x +m （m 为常数且m ＜0）的图象经过点A （-1，n ）．（1）n =______；（2）己知平面内有两点P （-3，1），Q （0，1），若该函数图象与线段PQ 有交点，则m 的取值范围是______．33．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，抛物线y ＝﹣2x 2+mx +m ﹣2经过B 、C 两点，若OA ＝2OC ，则矩形OABC 的周长为 _____．类型三：图象法确定一元二次方程的近似根34．如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象与y 轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x =1，则下列结论中：①c =3；②2a +b =0；③8a -b +c >0；④方程ax 2+bx +c =0的其中一个根在2，3之间，正确的有_______（填序号）．35．已知函数y ＝|x 2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x 2﹣4|＝m ．（m 为实数）①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m 的值是 ______．②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ______．36．二次函数2241y x x =+-的图象如图所示，若方程22410x x +-=的一个近似根是2.2x =-，则方程的另一个近似根为__________．（结果精确到0.1）类型四：图象法解一元二次不等式37．抛物线21y x mx m =--+的顶点在第四象限，则m 的取值范围是______．38．如图，直线1y kx b =+与抛物线22y ax bx c =++交于点()2,3A -和点()2,1B -，若210y y <<，则x 的取值范围是______．39．抛物线y =ax 2+bx +c 的部分图像如图所示，则不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为______．类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围40．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像与一次函数,y ax c y cx a =+=+图像中的每一条都至多有一个公共点，则c a的最大值是__________．41．已知函数y ＝﹣2x 2＋8x ﹣6，当0≤x ≤3时，y 的取值范围____．42．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x……0123……y ……5212……若A （m ，y 1），B （m +6，y 2）两点都在该函数图象上，当y 1＞y 2时，m 的取值范围是 ___．类型六：根据交点确定不等式的解集43．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，当0y >时，x 的取值范围是__________．44．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于(1,),(2,)A p B q -两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____________．45．二此函数y ＝ax 2+bx +c 中，x 与y 的部分对应关系如表：x ﹣2﹣102ymn2n（其中m ＜0，n ＞0）．下列结论：①a +b +c ＝2；②不等式ax 2+bx +c ＞n 的解集是﹣1＜x ＜2；③若（t ，y 1）、（2﹣t ，y 2）是抛物线上不重合的两个点，则y 1＞y 2；④关于x 的一元二次方程a （x ﹣1）2﹣b （x ﹣1）＝m ﹣2的两个实数根为x 1＝﹣2，x 2＝3．其中正确的（序号）是 _____．类型七：抛物线与x 轴交点问题46．已知抛物线()210y ax bx c a =++¹与x 轴的两个交点的横坐标分别是－3和1，若抛物线()220y ax bx c m m =+++>与x 轴有两个交点A ，B ，点A 的坐标是()4,0，则点B 的坐标是______．47．函数()2221y x m x m m =-+++与x 轴的交点至少有一个在x 轴的左侧，则m 的范围是__________．48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222y x mx m =-++-（m 为常数，且0m >）与直线y ＝2交于A 、B 两点．若AB ＝2，则m 的值为______．类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况49．已知抛物线2y x =与直线()212y k x k =++-的两个不同交点分别为()11,A x y ，()22,B x y ．若1x 和2x 均为整数，则实数k 的值为_________．50．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且2＜x 2＜3，x 1+x 2＝2，则下列结论：①b 2＜4ac ；②若（﹣45，y 1）（72，y 2）是抛物线上的点，则y 1＜y 2；③a ﹣at 2≤bt ﹣b （t 为任意实数）；④若c ＝﹣2，则a ＞23，其中正确的结论是__________（填写序号）．51．如图，抛物线2221y x mx m =-+-与x 轴交于A 、B 两点，且点A 、B 都在原点右侧，抛物线的顶点为点P ，当ABP △为直角三角形时，m 的值为________．类型九：求抛物线与x 轴截线长52．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．若顶点C 到x 轴的距离为6，则线段AB 的长为______．53．已知抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(-3，0)，则线段AB 的长为_______________．54．抛物线()()22y x x m =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且:2:1OA OB =，那么m 的值是______.三、解答题55．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C -，连接AC ，过点C 作CD AC ^交抛物线于点D ．(1)试确定a ，b 的数量关系；(2)当抛物线对称轴在y 轴的左侧时，试确定a 的取值范围；(3)若AC CD =，试求点B 的坐标．56．如图，已知抛物线的顶点坐标为A （1，4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式．(2)求C ，D 两点坐标及△BCD 的面积．(3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足13PCD BCD S S =V V ，求点P 的坐标．57．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，根据图象解答下列问题(1)写出方程20ax bx c ++=的两个根；(2)写出不等式20ax bx c ++>的解集58．如图，直线y =x +m 和抛物线y =x 2+bx +c 都经过点A （1，0），B （3，2）．(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)求不等式x 2+bx +c ＞x +m 的解集．（直接写出答案）59．设二次函数23y ax bx =+-（a ，b 是常数，0a ¹），部分对应值如下表：x…2-1-012…y…53-4-3-…(1)试判断该函数图象的开口方向；(2)当4x =时，求函数y 的值；(3)根据你的解题经验，直接写出233ax bx +-<-的解．60．如图，在平面直角坐标系y xO 中，抛物线2y x mx m =-+与直线y x b =-+交于点(1,5)A -和B ．(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若D 为抛物线上一点，且在点A 和点B 之间（不包括点A 和点B ），求点D 的纵坐标0y 的取值范围；(3)已知M 是直线AB 上一点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个交点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．61．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()10y ax bx a =++¹的对称轴是直线3x =．(1)直接写出抛物线与y 轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；(3)若抛物线与x 轴相交于,A B 两点，且4AB £，求a 的取值范围．62．如图， 二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴分别交于点(),4,0A B （点A 在点B 的左侧）， 且经过点()3,7-， 与 y 轴交于点 C ．（1） 求,b c 的值．（2） 将线段OB 平移， 平移后对应点 O ¢ 和 B ¢ 都落在拋物线上， 求点B ¢的坐标．参考答案1．A 【分析】先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，根据a 的取值范围求出AB ，OC ，根据三角形的面积求出a 的值，再求出对称轴即可．解：令y =0，则x 2﹣2ax ﹣2a ﹣1=0，即()()2110x a x éù-++=ëû，解得12121,x x a =-=+，∴A （-1，0）B （2a +1，0）令x =0，y =-2a -1，∴C （0，-2a -1）∵点C 与y 轴交于负半轴，∴-2a -1＜0∴a ＞12-，∴AB =2a +1-(-1)=2a +2，OC =2a +1，∴()()()()211·22211212311522ABC S AB OC a a a a a a ==´+´+=++=++=V ，解得12722,a a ==-（舍去），∴245y x x =--，∴对称轴为422x ==，故选：A ．【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点，三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交点坐标．2．B 【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论(本题选择的甲和丙,利用顶点坐标求出b 、c 的值，然后利用二次函数图像上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．解：假设甲和丙的结论是正确的，则212424bc b -ì=ïïí-ï=ïî，解得23b c =-ìí=î，\抛物线解析式为223y x x =-+，当1x =-时，2(1)2(1)36--´-+=，\乙的结论是错的；当2x =时，222233y =-´+=，\丁的结论是正确的；故选：B ．【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握知识点，能够利用二次函数的性质求出b 、c 值是解题的关键．3．D 【分析】先求出抛物线M 的顶点坐标为（-1，-4），再根据轴对称的性质求出抛物线V 的顶点坐标为（5，-4），则抛物线V 的解析式为()254y x =--，再求出抛物线V 与坐标轴的交点，即可得到答案．解：∵抛物线M 的解析式为()222314y x x x =+-=+-，∴抛物线M 的顶点坐标为（-1，-4），∵抛物线V 与抛物线M 关于直线x =2对称，∴抛物线V 的顶点坐标为（5，-4），∴抛物线V 的解析式为()254y x =--，∴抛物线V 与x 轴的交点坐标为（3，0），（7，0），与y 轴的坐标为（0，21），∴抛物线V 与x ，y 轴的交点为顶点的三角形的面积为()73124212´-´=，故选：D ．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，正确求出抛物线V 的解析式是解题的关键．4．A 【分析】分别设：12(1)(2)y x x =-+- ，23(1)(2)y x x =-+-，34(1)(2)y x x =-+-，三个方程的根即为三个二次函数与直线1y = 的交点，画出图像，即可求解．解：设12(1)(2)y x x =-+-，23(1)(2)y x x =-+-，34(1)(2)y x x =-+-，将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图：则三个方程2(1)(2)1,3(1)(2)1,4(1)(2)1-+-=-+-=-+-=x x x x x x 的正根123,,x x x 即为：直线1y = 分别与123,,y y y 在第一象限交点的横坐标，则由图可知：213x x x ＜＜ ．故选A ．【点拨】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键．5．D 【分析】根据对称轴方程可得b =-4，可得二次函数解析式，可得顶点坐标为（2，-4），关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解为二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，当﹣1＜x ≤6时，﹣4≤t ≤12，进而求解；解：∵对称轴为直线x ＝2，∴221b-=´，∴b ＝﹣4，∴二次函数解析式为y ＝x 2﹣4x ，∴顶点坐标为（2，-4），∵﹣1＜x ≤6，∴当x =-1时，y =5，当x =6时，y =12，∴二次函数y 的取值范围为﹣4≤t ≤12，∵关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解为y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，∴﹣4≤t ≤12，故选：D ．【点拨】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．6．D【分析】根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为23y ax bx =++，对称轴为3x =，根据抛物线经过点)，得到抛物线也经过点()6，将方程220ax bx ++=变形为231ax bx ++=，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出220ax bx ++=的根．解：由抛物线经过点（0,3）得c=3，∴抛物线解析式为23y ax bx =++，∵抛物线经过点（0,3）和（6,3），∴抛物线对称轴为0632x +==，∵抛物线经过点)，∴抛物线也经过点()6，方程220ax bx ++=变形为231ax bx ++=，∴方程231ax bx ++=的根可以理解为二次函数23y ax bx =++的函数值为1时所对应的的自变量的取值，所以方程220ax bx ++=的根为126x x ==故选：D【点拨】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点()6，并能将方程220ax bx ++=变形为231ax bx ++=是解题的关键．7．D【分析】根据函数图象可知，不等式ax 2+bx +c >kx +h ，即2()ax b k x c h +-+>的解集为：x <2或>4；方程ax 2+bx +c =x +h ，即2()ax b k x c h +-+=的解为2x =或4x =．据此即可求解．解：由函数图象可得，不等式ax 2+bx +c >kx +h ，即2()ax b k x c h +-+>的解集为：x <2或>4；故A 、B 、C 不符合题意；方程ax 2+bx +c =x +h ，即2()ax b k x c h +-+=的解为2x =或4x =，故D 符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．8．C【分析】利用顶点式得到245y ax ax a =+-，根据抛物线的开口向上得到0a >，则0b >，0c <，于是可对①进行判断；解方程2450ax ax a +-=得抛物线与x 轴的交点坐标为(5,0)-，(1,0)，利用2x =时，0y >可对②进行判断；把4b a =，5c a =-代入5a b c -+中可对③进行判断；根据抛物线(5)(1)y a x x +-=与直线1y =-有两个交点，交点的横坐标分别为1x 和2x ，则可对④进行判断．解：Q 抛物线的顶点坐标为(2,9)a --，22(2)945y a x a ax ax a \=+-=+-，Q 抛物线的开口向上，0a \>，40b a \=>，50c a =-<，0abc \<，所以①正确；当0y =时，2450ax ax a +-=，解得5x =-或1x =，\抛物线与x 轴的交点坐标为(5,0)-，(1,0)，2x =Q 时，0y >，420a b c \++>，所以②正确；55454a b c a a a a -+=--=-Q ，而0a >，50a b c \-+<，所以③错误；Q 方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ，\抛物线(5)(1)y a x x +-=与直线1y =-有两个交点，交点的横坐标分别为1x 和2x ，1251x x \-<<<，所以④正确；综上：正确的个数为3个，故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数2(0)y ax bx c a =++¹，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．9．C【分析】由表格信息可得：当 2.1x =时，0.39,y =- 当 2.2x =时，0.24,y = 再判断点()()2.1,0.39,2.2,0.24-哪个点离x 轴最近，从而可得答案.解：由表格信息可得：当 2.1x =时，0.39,y =-当 2.2x =时，0.24,y =而()0.2400.24,00.390.39,-=--= 0.240.39,<所以一元二次方程2290x x +-=的一个近似解： 2.2,x »故选C【点拨】本题考查的是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，一元二次方程的解，熟练的运用数形结合的方法解题是关键.10．C【分析】①只需通过观察图象即可确定最大值；②将点坐标代入解析式，可以根据求出的解析式来判定；③观察图象即可得到取值范围；④可根据二次函数的性质得到结论；解：将（-3，0）、（1，0）、（0，3）代入解析式可求出二次函数的解析式，∴y =-x 2-2x +3，①观察图象，可确定顶点坐标为（-1，4），故该结论正确；②代入三点坐标后解析式为y =-x 2-2x +3，b=-2，故该结论正确；③使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≤-2或x ≥0，故该结论错误；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜4）的两根之和，可理解成关于二次函数与y =m 的解析式的交点，这两个交点的横坐标是关于x =-1对称，即两根之和为-1×2=-2．故选：C ．【点拨】本题考查二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数与一元二次方程根的关系；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，并熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键．11．B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由函数图象可得：对称轴为直线12b x a=-=，∴b =-2a ，∴b +2a =0，①正确；②由图象及对称轴可得，抛物线与x 轴的两个交点关于x 轴对称，∴与x 轴的另一个交点为（3,0），∴20ax bx c ++<的解集为：13x -<<，②错误；③当x =2时，y =4a +2b +c ，由②可得当13x -<<时，y <0，∴4a +2b +c <0，③正确；④当x =-1时，a -b +c =0，∵b =-2a ，∴c =-3a ，∴8a +c =8a -3a =5a ，∵开口向上，∴a >0，∴8a +c >0，④错误；综上可得：①③正确，故选B ．【点拨】题目主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，熟练运用是解题关键．12．D【分析】根据二次函数y =－2ax 2＋4ax ＋c (a >0)，可求得抛物线的对称轴为直线1x =，继而求得(6，y 2)关于对称轴的对称点为(－4，y 2)，然后根据二次项系数a <0时图像的性质即可求得结果．解：二次函数y =－2ax 2＋4ax ＋c (a >0)，∴函数对称轴为：直线()41222b a x a a =--=´-，∴(6，y 2)关于对称轴的对称点为(－4，y 2)，∵a >0，∴－2a <0，∴该函数开口向下，∵两点分别为(x 1，y 1)，(6，y 2)，y 1> y 2，∴－4<x 1<6．故选：D ．【点拨】本题主要考查二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像与性质，能根据题意画出二次函数的图像是解题的关键．13．D【分析】用分式方程的增根是去分母后得到的整式方程的根，两边及一边的对角相等的两个三角形不一定全等，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，抛物线2(1)4y x =-++，当0y >时，()2140x -++>，()214x +<，-2<x +1<2，-3<x <1，逐项判断．解：A ． 分式方程41(1)(1)(1)m x x x -=+--去分母，得，4-m (x +1)=(x +1)(x -1)，当x =1时，4-2m =0，m =2，当x =-1时，4-0=0，4=0，矛盾，故不正确；B ．两边及一边的对角相等的两个三角形不一定全等，故不正确；C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故不正确；D ． 抛物线2(1)4y x =-++，当0y >时，()2140x -++>，()214x +<，-2<x +1<2，-3<x <1，故正确．故选：D ．【点拨】本题主要考查了分式方程的增根问题，全等三角形的判定定理，平行四边形的判定定理，二次函数与不等式的关系，熟练掌握这些性质，定理等是解决问题的关键．14．C【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y 轴右侧，则a 、b 异号，所以ab ＜0．抛物线与y 轴交于正半轴，则c ＞0，所以abc ＜0，故①错误；②当x =-1时，y =a -b +c ＜0，即b ＞a +c ，故②错误；③由图可知，x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故③正确；④当x =3时函数值小于0，y =9a +3b +c ＜0，且x =-2b a=1，即a =-2b ，代入得9（-2b ）+3b +c ＜0，得3b ＞2c ，故④正确；⑤当x =1时，y 的值最大．此时，y =a +b +c ，而当x =m 时，y =am 2+bm +c ，所以a +b +c ＞am 2+bm +c ，故a +b ＞am 2+bm ，即2am bm a b +<+，故⑤正确．综上所述，③④⑤正确．故选：C ．【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．15．D【分析】根据抛物线开口方向及抛物线与x 轴交点横坐标求解．解：∵ a > 0，∴抛物线开口向上，∵抛物线经过点(-1， 0)，抛物线对称轴为直线x =1，∴抛物线经过点(3， 0)，∴当y >0时，x <-1或x >3.故选： D ．【点拨】本题考查抛物线与x 轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质.16．C【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：抛物线开口向上，则a ＞0，故①正确；由图象可知：抛物线与x 轴无交点，即Δ=b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x =1时，y =a +b +c =1，当x =3时，ax 2+bx +c =9a +3b +c =3，则8a +2b =2，即b =1-4a ，4a +b =1，故③正确；点（1，1），（3，3）在直线y =x 上，由图象可知，当1＜x ＜3时，抛物线在直线y =x 的下方，则ax 2+（b -1）x +c ＜0的解集为1＜x ＜3，故④正确；故答案为：C ．【点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．17．D【分析】先根据二次函数的对称性可知，当满足12y y =时，35x <<，即只要2x 的范围不在此范围即可．解：∵抛物线解析式为243y x x -+＝，∴对称轴为2x =，由二次函数的对称性可知，当1x =-和5x =时，函数值y 相等，当1x =和3x =时，函数值y 相等，即当满足11x -<<和35x <<的函数值相同，当111x -<<，存在一个正数m ，当21m m x -<<时，都有12y y ¹，∴113m m -³ìí£î或15m -³，解得23m ££或6m ³；故选：D ．【点拨】本题考查二次函数的大小判断，根据函数的对称性，准确找到函数值与自变量之间的关系是解题的关键．18．B【分析】把点A （-1，0），B （3，0）代入二次函数y =ax 2+bx +c ，可得二次函数的解析式为：y =ax 2-2ax -3a ，由图象可知，函数图象开口向下，所以a ＜0，可得b 和c 的符号，及a 和c 的数量关系；由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：x =1，根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性．解：把点A （-1，0），B （3，0）代入二次函数y =ax 2+bx +c ，可得二次函数的解析式为：y =ax 2-2ax -3a ，∵该函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∴b =-2a ＞0，c =-3a ＞0，∴ac ＜0，3a +c =0，①错误，③正确；∵对称轴为直线：x =-2b a=1，∴x ＜1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小；②错误；∴当x =1时，函数取得最大值，即对于任意的m ，有a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确．∵对称轴为直线：x =-2b a=1，∴b =-2a ，⑤错误，综上，正确的个数有2个，故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．19．C【分析】根据二次函数图象及性质逐项判断可得答案．解：∵△=（2k +1）2-4k =4k 2+1≥1＞0，∴二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 图象与x 轴都有两个不同的交点，故A 正确，不符合题意；∵y =x 2+(2k +1)x +k =x 2+2kx +x +k =（2x +1）k +x 2+x ，∴当2x +1=0，即x =-12时，y =-14，∴二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 图象都经过点（-12，-14），故B 正确，不符合题意；∵抛物线开口向上，对称轴x =-212k +，∴x ≥-212k +时，函数y 的值都随x 的增大而增大，故C 不正确，符合题意；∵二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 图象的顶点为（-212k +，-k 2-14），把（-212k +，-k 2-14）代入2y x x =--，y =-（-212k +）2-（-212k +）=-k 2-14，∴函数y =x 2+(2k +1)x +k 图象的顶点在抛物线2y x x =--上运动，故D 正确，不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查二次函数的图象性质及点坐标特征，解题的关键是掌握并能熟练应用抛物线相关的性质．20．B【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1＜m＜2），∴x1=-1，x2=m，x1＜x2，又∵当x＜-1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；又∵对称轴为直线x=12m-+，1＜m＜2，∴0＜12m-+＜12，∴若（-2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；若图象上两点（14，y1），（14+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，∴该函数与x轴的两个交点为（-1，0），（m，0），∴0＜12m-+≤14，解得1＜m≤32，故④错误；∵二次函数y=a（x+1）（x-m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜-1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1=a（0+1）（0-m），得1=-am，∵a＜0，1＜m＜2，∴-1＜a＜-12，故②错误；∴①③正确；②④错误，故选：B．【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21．A【分析】根据抛物线与x轴的交点得到方程ax2+bx+c=0有两个根为-1，3，根据根与系数的关系可对①进行判断；由于x=-2时，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入计算，则可对②进行判断；由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴方程为x=1可对③进行判断；根据x=-1时，y=a-b+c=0，。

人教版九年级数学上册《21.3 一元二次方程》巩固练习-附带答案一、单选题知识点一、一元二次方程的定义1．下列关于x 的方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．x 2＋2x ＝x 2﹣1 B ．m 2x 2﹣7＋x 2＝0 C ．x 2＋1x﹣1＝0D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x = 则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．03．方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程 则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±l B ．m≥-l 且m≠1 C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠14．下列方程中 是一元二次方程的有（ ）个①25x x =；①()22360x --=；①21x =；①27(2)7x x x -=；①2120x x+-=． A ．1B ．2C ．3D ．4知识点二、一元二次方程的一般形式5．将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式 其中二次项系数为2 则一次项系数、常数项分别是（ ）A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－16．一元二次方程()()2412351x x x +-=+化成一般式后,,a b c 的值为（ ）A ．3 －10 －4B ．3 －12 －2C ．8 －10 －2D ．8 －12 47．如果a b k 均为整数 则满足下面等式()()218x a x b x kx ++=++的所有k 的取值有( )A ．2个B ．3个C ．6个D ．8个8．把方程143xx y +=+化为y kx b =+的形式 下列选项正确的是（ ）A ．113y x =+ B ．1164y x =+ C ．116y x =+ D ．1134y x =+知识点三、一元二次方程的解9．已知实数a 是一元二次方程x 2+x ﹣8＝0的根 则a 4+a 3+8a ﹣1的值为（ ）A ．62B ．63C ．64D ．6510．已知a 是方程2202210x x -+=的一个根 则22202220211a a a -++的值为（ ）． A ．12022B ．2022C ．2021D ．无法计算11．若关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x = 则方程2(1)3a x bx b -+-=必有一根为（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．202212．根据下列表格的对应值 由此可判断方程2x +12x ﹣15=0必有一个解x 满足（ ）A ．﹣1<x <1B ．1<x <1.1C ．1.1<x <1.2D ．﹣0.59<x <0.84二、填空题知识点一、一元二次方程的定义13．若方程2(1)30m x mx ---=是关于x 的一元二次方程 则m 的取值范围是_____．14．当m =___________时 方程(2150mm xmx --+=是一元二次方程．15．已知21370m x x m ---=是关于x 的一元二次方程 则m 的值为_________． 16．下列方程中 ①7x 2+6＝3x ；①212x＝7；①x 2﹣x ＝0；①2x 2﹣5y ＝0；①﹣x 2＝0中是一元二次方程的有_____．知识点二、一元二次方程的一般形式17．一元二次方程（1﹣3x ）（x +3）＝2x 2+1的一般形式是_____；它的二次项系数是_____ 一次项系数是_____ 常数项是_____．18．一元二次方程()()213321x x x +-=+二次项系数为______ 常数项为______.19．若m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0是关于x 的一元二次方程 且不含x 的一次项 则m ＝___ n ＝___．20．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣2x+a 2﹣4＝0的常数项是0 则a ＝_____． 知识点三、一元二次方程的解21．关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m n 且(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn－2a )＝54 则a 的值为______．22．若1x 2x 是方程210x x +-=的两根 则()()22112222x x x x +-+-的值为______．23．定义新运算：*(1)a b a b =- 若x a = x b =是关于一元二次方程2104x x m -+=的两实数根 则**b b a a -的值为_________．24．若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0 称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程 求a 2+2022a +220211a a +﹣20211aa +的值是 ___． 三、解答题25．（1）若方程2(1)1m x -=是关于x 的一元二次方程 求m 的取值范围． （2）如果1x =是方程230ax bx ++=的一个根 求2()4a b ab -+的值．26．根据下列问题 列出关于x 的方程 并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25 求正方形的边长x ； （2）一个矩形的长比宽多2 面积是100 求矩形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段 使较短一段的长与全长的积 等于较长一段的长的平方 求较短一段的长x ．27．若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1- 且2a = 求2019()2019a b c+的值．28．试证明关于x 的方程22(820)210a a x ax -+++=无论a 取何值 该方程都是一元二次方程；参考答案1．B 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数 并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．解：A. x 2＋2x ＝x 2﹣1 整理后是一元一次方程 故此选项不符合题意；B. m 2x 2﹣7＋x 2＝0是一元二次方程 故此选项符合题意；C. x 2＋1x﹣1＝0不是整式方程 所以方程不是一元二次方程 故此选项不符合题意；D. ax 2＋bx ＋c ＝0 a ＝0时 不是一元二次方程 故此选项不符合题意． 故选：B ．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义 解题时 要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程 ①只含有一个未知数 ①所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．2．C 【分析】把x =0代入方程（k -1）x 2+3x +k 2-1=0得方程k 2-1=0 解关于k 的方程 然后利用一元二次方程的定义确定k 的值．解：把x =0代入方程（k -1）x 2+3x +k 2-1=0得方程：k 2-1=0解得k 1=1 k 2=-1 而k -1≠0 所以k =-1． 故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．D 【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．解：①方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程①210m -≠ 解得1m ≠±10m +≥解得：1m ≥- ①1m >-且1m ≠ 故选：D ．【点拨】本题考查了一元二次方程的概念 判断一个方程是否是一元二次方程 首先要看是否是整式方程 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．B 【分析】根据一元二次方程的定义判断 应仅有一个未知数 且是最高次数为2的整式方程． 解：①变形为250x x -= 是一元二次方程；①()22360x --= 整理变形为42063x x -+= 最高次数为4 不是一元二次方程； ①21x = 变形为210x -= 是一元二次方程； ①27(2)7x x x -=变形为140x = 不是一元二次方程； ①2120x x+-= 是分式方程； 故①①满足 共有2个一元二次方程 故选B ．【点拨】本题考查了一元二次方程 一元二次方程应仅有一个未知数 且是最高次数为2的整式方程．5．A 【分析】一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0（a b c 是常数且a ≠0） a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．解：2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式2x 2-5x +1=0 一次项系数、常数项分别是-5 1 故选：A ．【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0（a b c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项 bx 叫一次项 c 是常数项．其中a b c 分别叫二次项系数 一次项系数 常数项．6．A 【分析】通过去括号、移项合并同类项将方程化为一般形式即可得．解：()()2412351x x x +-=+去括号 得22810351x x x --=+ 移项合并同类项 得231040x x --= 则化成一般式后,,a b c 的值为3,10,4-- 故选：A ．【点拨】本题考查了整式的乘法与加减法、一元二次方程的一般形式 熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键．7．C 【分析】先把等式左边展开 由对应相等得出a +b =k ab =18；再由a b k 均为整数 求出k 的值即可．解：①（x+a ）（x+b ）=x 2+kx+18①x 2+（a+b ）x+ab=x 2+kx+18 ①a+b=k ab=18 ①a b k 均为整数 ①a=±1 b=±18 k=±19； a=±2 b=±9 k=±11； a=±3 b=±6 k=±9； 故k 的值共有6个 故选C ．【点拨】本题考查了多项式乘以多项式 是基础知识要熟练掌握． 8．B 【分析】先移项 再合并同类项 系数化为1即可． 解：移项 4y=x+1-3x合并同类项 2413x y =+ 系数化为1得1164y x =+故选 B【点拨】把方程143xx y +=+变形为y=kx+b 的形式 就是解关于y 的方程 根据等式的性质变形是解本题的关键．9．B 【分析】把方程的解代入方程得到关于a 的等式 然后利用等式对代数式进行化简求值． 解：①a 是一元二次方程280x x +-=的一个根①280a a +-= ①28a a +=①()()43222281818818164163a a a a a a a a a a a ++-=++-=+-=+-=-=故选：B【点拨】本题考查的是一元二次方程的解 把方程的解代入方程 得到关于a 的等式 利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值．10．C 【分析】先根据一元二次方程的解的定义 得到2202210a a -+= 然后将其变形得到a 2=2022a -1 a 2+1=2022a 最后整体代入代数式求值即可．解：①a 是关于x 的一元二次方程2202210x x -+=的一个根①2202210a a -+= ①a 2=2022a -1 a 2+1=2022a ①原式=2022a -1-2021a +20222022a=a -1+1a =211a a+-=2022aa-1 =2021 故C 正确． 故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解 分式的运算 整体代入求代数式的值 关键是运用整体代入的思想．11．D【分析】把2(1)3a x bx b -+-=化为：21130,a x b x 再结合题意可得12021,x 从而可得方程的解.解：2(1)3a x bx b -+-=可化为：21130,a x b x关于x 的一元二次方程()2300ax bx a +-=≠有一个根为2021x =∴ 把1x -看作是整体未知数 则12021,x 2022,x即2(1)3a x bx b -+-=有一根为2022.x 故选D【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的含义 掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.12．C 【分析】利用表中数据得到x=1.1时 x 2 +12x ﹣15=-0.59<0 x=1.2时 x 2 +12x ﹣15=0.84>0 则可以判断方程x 2 +12x ﹣15=0时 有一个解x 满足1.1<x <1.2．解：①x=1.1时 x 2 +12x ﹣15=-0.59<0x=1.2时 x 2 +12x ﹣15=0.84>0 ① 1.1<x <1.2时 x 2 +12x ﹣15=0即方程x 2 +12x ﹣15=0必有一个解x 满足1.1<x <1.2 故选C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．m ≠1 【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式 再求解即可．解：根据一元二次方程的定义可得：m -1≠0 解得：m ≠1 故答案是：m ≠1．【点拨】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式是ax 2+bx +c =0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．14【分析】根据一元二次方程的定义解答．解：①(2150m m xmx --+=是一元二次方程①212m -=且0m解得m =【点拨】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 一般形式是20ax bx c ++=（且0a ≠）．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．15．32．【分析】根据一元二次方程的定义 令2m -1=2 求出m 的值即可． 解：①3x 2m -1-7x -m=0是关于x 的一元二次方程①2m -1=2 ①m=32故答案是：32．【点拨】此题考查一元二次方程的概念．解题关键在于掌握只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．16．①①①． 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证 满足这四个条件者为正确答案．解：①①①是一元二次方程 ①是分式方程 ①是二元二次方程故答案为：①①①．【点拨】此题考查一元二次方程的概念 解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程 首先要看是否是整式方程 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．17． 5x 2+8x ﹣2＝0 5 8 -2【分析】将等式左边利用整式的乘法法则计算 再整理为一元二次方程的一般形式 根据一元二次方程的定义解答．解：一元二次方程（1﹣3x ）（x +3）＝2x 2+1的一般形式是5x 2+8x ﹣2＝0；它的二次项系数是5 一次项系数是8 常数项是﹣2．故答案为：5x 2+8x ﹣2＝0 5 8 ﹣2．【点拨】此题考查一元二次方程的定义 一元二次方程的一般形式 整式的乘法计算法则 熟记一元二次方程的定义是解题的关键．18． 1 4-【分析】将原方程化简整理 然后根据一元二次方程的定义求解即可.解：原方程整理得2-840x x -=∴二次项系数为1 常数项为-4故答案为：1 -4.【点拨】本题主要考查了一元二次方程的概念 通过已知条件对原方程进行整理是解题的关键.19． 0 7【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式2324(7)40m x x n x -+-+= 再根据题意可得20,70m n =-= 进而可得答案．解：m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0整理得 2324(7)40m x x n x -+-+=①为一元二次方程且不含x 的一次项①20,70m n =-=解得0,7m n ==故答案为：0 7．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式 关键是掌握任何一个关于x 的一元二次方程经过整理 都能化成如下形式ax 2+bx +c =0（a ≠0）．20．﹣2．【分析】根据常数项是0列式求出a 值 结合一元二次方程的定义a -2≠0 即可得答案. 解：①一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣2x+a 2﹣4＝0的常数项是0①a 2﹣4＝0解得：a ＝±2①a ﹣2≠0①a≠2①a ＝﹣2故答案为﹣2．【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0(a≠0) ax 2叫做二次项 a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项 b 叫做一次项系数；c 叫做常数项；解题时注意不要漏掉a≠0这个隐含条件.21．32##1.5##112【分析】根据方程根的定义得到223am bm -= 223an bn -= 然后把(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54变形后 利用整体代入 得到关于a 的一元二次方程 解方程后去掉不合题意的解即可．解：①关于x 的方程ax 2－2bx －3＝0(ab ≠0)两根为m n①2230am bm --= 2230an bn --=①223am bm -= 223an bn -=①(2am 2－4bm ＋2a )(3an 2－6bn －2a )＝54①[2（am 2－2bm ＋a ）] [3(an 2－2bn )－2a ]＝54①2(3)(92)54a a +-=解得0a =或32a =①ab ≠0①a b 均为非零实数 ①32a = 故答案为：32【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法 熟练掌握整体代入的方法是解题的关键．22．1【分析】根据题意 22112210,10x x x x +-=+-= 变形代入计算即可．解：①1x 2x 是方程210x x +-=的两根①22112210,10x x x x +-=+-=①()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1故答案为：1．【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值 利用定义变形代入计算是解题的关键．23．0【分析】由a 、b 是关于一元二次方程2104x x m -+=的两实数根 可得出a 2-a =-14m 、b 2-b =-14m 根据定义新运算的定义式 将b *b -a *a 展开 代入数据即可得出结论．解：①a 、b 是关于一元二次方程2104x x m -+=的两实数根①a 2-a =-14m b 2-b =-14m ①b *b -a *a =b （b -1）-a （a -1）=b 2-b -（a 2-a ）=-14m -（-14m ）=0． 故答案为：0．【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及实数的运算 根据一元二次方程的解找出a 2-a =-14m b 2-b =-14m 是解题的关键． 24．2023-【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为1x =- 则2202110a a ++= 然后利用整体代入的方法计算．解：①关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0①“天宫”方程的一个解为1x =-方程22202110(0)a x ax a -+=≠是“天宫”方程2202110a a ∴++=220211a a ∴+=- 212021a a +=- 220211a a +=- ∴2220212022120211a a a a a a ++-++ 2220212021120211a a a a a a a =+++-++ 2202112021a a a a a=-++--- 111a a =-+-+ 12a a=+- 212a a+=- 20212a a-=- 20212=--2023=-．故答案为：2023-．【点拨】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．25．（1）0m ≥且1m ≠；（2）9【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；（2）把1x =代入230ax bx ++=中得到3a b +=- 再由22()4()a b ab a b -+=+进行求解即可．解：（1）①方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程①100m m -≠⎧⎨≥⎩①0m ≥且1m ≠；（2）①1x =是方程230ax bx ++=的一个根①30++=a b 即3a b +=-①222222()4242()9a b ab a ab b ab a ab b a b -+=-++=++=+=．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义 一元二次方程的解 二次根式有意义的条件 完全平方公式 解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．26．（1）22425,4250x x =-=；（2）2(2)100,21000.x x x x -=--=；（3）221(1),310x x x x ⋅=--+=【分析】（1）利用边长的平方的4倍为25列出一元二次方程即可；（2）用未知数表示出矩形的长和宽后利用长乘以宽等于面积列出一元二次方程即可； （3）根据使较短一段的长与全长的积 等于较长一段的长的平方 列方程即可． 解：（1）依题意得 4x 2＝25化为一元二次方程的一般形式得 4x 2−25＝0．（2）依题意得 x （x −2）＝100化为一元二次方程的一般形式得 x 2−2x −100＝0．（3）依题意得 21(1)x x =-化为一元二次方程的一般形式得 2310x x -+=．【点拨】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识 列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．27．0．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a、c的值再把1x=-代入已知方程求得b的值最后代入计算求出结果即可．解：2a中①40c-≥且40c-≥解得：4c=①2a=-①关于x的一元二次方20ax bx c++=有一个根为1-①0a b c-+=①2b=①20192019()(22)0 201920194a bc+-+==⨯．【点拨】本题考查了一元二次方程的解二次根式有意义的条件求出a、c、b的值是解此题的关键．28．证明见分析.解：根据一元二次方程的定义只需证明此方程的二次项系数a2-8a+20不等于0即可．试题解析：①a2−8a+20=(a−4)2+4⩾4①无论a取何值a2−8a+20⩾4 即无论a取何值原方程的二次项系数都不会等于0①关于x的方程(a2−8a+20)x2+2ax+1=0 无论a取何值该方程都是一元二次方程．。

2022年人教版初中数学9年级上册实际问题与二次函数—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.已知某商品的销售利润y(元)与该商品的销售单价x(元)之间满足220140020000y x x =-+-，则获利最多为()元.A.4500B.5500C.450D.200002．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为2y ax bx c =++(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()．A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒3.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）.A．5元B．10元C．0元D．3600元4．（2020•路南区二模）设计师以y=2x 2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（）.A ．17B ．11C ．8D ．75．某民俗旅游村为接待游客住宿的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是()．A．14元B．15元C．16元D．18元6．如图，某幢建筑物从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，抛物线所在平面与墙面垂直，且抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流落点离墙的距离OB 是()A.2米B.3米C.4米D.5米二、填空题7．出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6-x)个，则当x＝_______元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．8．（2020•六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是.9．有一个抛物线形状的拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则此抛物线的解析式为____________.10．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是m .第10题第11题第12题11．某幢建筑物，从10m 高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1m，离地面340m，则水流落地点B 离墙的距离OB 是m .12．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1m，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1m)．三、解答题13．某商场将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售量就减少20个，当单价定为多少时，能够获得最大利润?14.（2020•东西湖区校级模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．（1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．15．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大?最大利润是多少元?【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】，所以当时，获利最多为4500元，故选A.2.【答案】B；【解析】根据抛物线的对称性知，抛物线的对称轴为x＝10.5．即在第10秒中炮弹所在高度最高．3.【答案】A；【解析】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出y与x之间的函数关系式，写成顶点式后直接解答．4.【答案】B；【解析】∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB=4，∴B点的横坐标为x=3，把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，∴CD=14﹣6=8，∴CE=CD+DE=8+3=11．故选：B．5.【答案】C；【解析】设每张床位的定价为x元，总租金为y元，则y与x之间的函数关系式为10100102xy x-⎛⎫=-⨯⎪⎝⎭25(15)1125x=--+，因为要使租出的床位少且租金高，所以x＝16．6.【答案】B；【解析】以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，则A(0，10)，M(1，)，故设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+，把A(0，10)代入解析式得a=-，解析式为y=-(x-1)2+.当y=0时，x=3(负值已舍去).二、填空题7．【答案】3；【解析】y＝x(6-x)，当632(1)x =-=⨯-时，y 最大．8．【答案】64m 2；【解析】设BC=xm ，则AB=（16﹣x ）m ，矩形ABCD 面积为ym 2，根据题意得：y=（16﹣x ）x=﹣x 2+16x=﹣（x ﹣8）2+64，当x=8m 时，y max =64m 2，则所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2．9．【答案】；【解析】由图知其顶点为(20，16)，所以令，把点(40，0)代入得，所以解析式为.10．【答案】10；【解析】令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x x ，2x =-（舍去），10x =.11．【答案】3；【解析】顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=3.12．【答案】21218y x x =-++；24.5米.【解析】设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a 12819)8(8122++-=+--=x x x y 令0=y ，得09)8(812=+--=x y 98)8(2⨯=-x 268±=x ，)0,268(+C ，∴86216.5OC =+≈(米)三、解答题13.【答案与解析】设单价定为x 元时，月利润为y 元，根据题意，得50(40)500202x y x -⎛⎫=--⨯ ⎪⎝⎭210(70)9000x =--+．即单价定为70元时，可获得最大利润9000元．14.【答案与解析】解：（1）∵AB=x ，∴BC=24﹣4x ，∴S=AB •BC=x （24﹣4x ）=﹣4x 2+24x （0＜x ＜6）；（2）S=﹣4x 2+24x=﹣4（x ﹣3）2+36，∵0＜x ＜6，∴当x=3时，S 有最大值为36；（3）∵，∴4≤x ＜6，∴当x=4时，花圃的最大面积为32．15.【答案与解析】(1)15010y x =-（0≤x≤16，且x 是10的正整数倍）．(2)21150(18020)3480001010W x x x x ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭．(3)2211348000(170)108901010W x x x =-++=--+．当170x <时，W 随x 增大而增大，但0≤x≤160，∴当160x =时，10880W =最大．当160x =时，1503410y x =-=．答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元。

人教版2019学年度九年级数学上册21.1 一元二次方程巩固提升卷一、选择题1.若方程（m -1）x 2+m x =1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A.m ≠1B.m ≥0C.m ≥0且m ≠1D.m 为任意实数2.若一元二次方程22-m 242x x x +=+中不含x 的一次项,则m=( )A.1B.2C.3D.43.已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 4．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-15．一元二次方程（m ﹣1）x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0的一根是0，则m 的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．﹣ 6．方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是（ ）．A ．x 1=b ，x 2=aB ．x 1=b ，x 2=-aC ．x 1=a ，x 2=a 1 D ．x 1=a 2，x 2=b 2 7.若方程有一个根是，则常数的值为（ ） A. B. C. D.8.关于的方程与方程的解相同，则A. B. C. D. 9.若x ＝1是方程（k ﹣1）x 2+（k 2﹣1）x ﹣k +1＝0的一个根，则k 值满足（ ）A ．k ＝±1B ．k ＝1C ．k ＝﹣1D ．k ≠±110.已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，且（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）＝8，则a 的值等于（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣9D ．9 二、填空题11.方程21323x x +-=的一般形式为12.若关于的一元二次方程的一根为，则的值是________． 13.已知a 、b 为正整数，a ＝b ﹣2005，若关于x 方程x 2﹣ax +b ＝0有正整数解，则a 的最小值是 ．14.关于x 的方程x 2+mx ﹣9＝0和x 2﹣3x +m 2+6m ＝0有公共根，则m 的值为 ．15.已知一元二次方程2+b 0ax x c +=,若x=1是它的一个根,则a+b+c= ;若a-b+c=0,则方程必有一个根是16. 若x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2019(a+b+c)的值三、解答题17.已知是方程的两个不相等的实数根，求的值18.若2是关于x 的方程x 2－(3＋k )x ＋12＝0的一个根，求以2和k 为两边长的等腰三角形的周长19.已知实数a 是方程x 2-2020x+1=0的一个根,求2212020a a a a +-+的值20.关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，a ，b 满足b ＝a －2＋2－a －1，求方程14y 2＋c ＝0的解．21.已知a 是方程x 2﹣3x +1＝0的根．（1）求a 3﹣2a 2+2a +1的值；（2）求a 3﹣2a 2﹣2a +1的值．22.把关于的一元二次方程整理成一般形式后为． （1）能否肯定？请说明理由；（2）求的值．。