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一维数据分形维数variogram method -回复什么是一维数据分形维数variogram method？一维数据分形维数variogram method 是一种用于分析和描述一维数据集的方法。
它基于分形理论，通过计算数据集中数据点之间的差异和变化来评估其分形特征。
这个方法常用于地质学、地球物理学、地质工程和环境科学等领域中，用于研究和理解地质和地貌过程以及空间数据的分布和变化。
为了理解一维数据分形维数variogram method，首先需要了解什么是分形。
分形是指具有自相似性和尺度不变性的图形或结构。
自相似性是指一个对象的部分与整体之间具有相似的结构或特征。
尺度不变性是指对象的形态和特征在不同尺度上保持不变。
分形理论认为自然界中的很多现象都具有分形特征，如云朵、树枝、河流网络等。
在一维数据分形维数variogram method 中，我们关注的是数据集中数据点之间的差异和变化。
为了计算分形维数，需要使用半变异函数（semivariogram function）来描述数据点之间的差异程度。
半变异函数是用来衡量数据点的变异性，并且可以通过计算数据点之间的差异值的均方差来定义。
它可以通过以下公式表示：γ(h) = 1/2N(h)∑[z(xi) - z(xi + h)]^2其中，γ(h) 是半变异函数的值，N(h) 是距离为h 的数据对的数量，z(xi) 和z(xi + h) 是数据集中两个点的值，差异之和的平方即为半变异函数的值。
计算半变异函数的值之后，可以通过拟合该函数来获取分形维数。
常用的拟合方法包括线性模型、指数模型和高斯模型等。
根据具体的数据集和研究目的，选择最合适的拟合模型来计算分形维数。
分形维数代表了数据集中数据点之间的分形特征的程度，可以提供有关数据集自相似性和尺度不变性的信息。
一维数据分形维数variogram method 在地质学和地球物理学中有广泛的应用。
它可以帮助研究人员理解地质和地貌过程的变化和演化，从而提供对地下水资源、矿产资源和地震活动等的预测和评估。
数量性状分离分析的精确度及其改善途径第27卷第6期2001年11月作物ACTAAGRONOMICASINICAV ol_27,No.6N0v.,2001数量性状分离分析的精确度及其改善途径章元明盖钩镒戚存扣"南京农业大学大豆研究所.农业部国家大豆改盅中15.江苏南京210095)提要在分析提高数量性状分离分析精度的三种途径基础上,对遗传率较低或试验误差较大的数量性状分离分析.综合上述三方法提出了利用P,F,P,B…,B...和F家系重复试验的联台分离分析法.其基本理论是将分离群体看作由多基因和环境修饰的主基因型正态分布的混台分布通过油菜初花期的遗传分析表明:分析家系重复试验的家系平均数资料获得的AIC值比分析单一重复赍斟获得的AIC值更低;P,F和Pz的加人可增加一阶遗传参数的估计精度;通过方差分析联合估计提供的误差方差可增加二阶遗传参数的估计精度关键词主基因一多基因混台遗传;家系重复试验;数量性状ThePrecisionofSegregatingAnalysisofQuantitativeTraitandItslm- provingMethodsZHANGYuan——MingGAIJun——YiQICun--KoutS~>6eanResearchl描机埘,Na3mgAgricul~ralU~iversa,{NationalCenter.fs0啦n"Im争r…眦,MinistryofAg越-拙re.N口ndng21C095?China) AbstractToimprovetheprecisionofmixedgeneticanalysisofquantitativetraits,threekinds ofmethodswereproposed.Byjointingtheabovemethods.jointsegregatinganalysis(JSA)of quantitativetraitforthereplicatedfamilyexperiment(RFE)ofPl,F..P:,B1.2,B2.2andF2.3wassetupinthepaper.TheresultsofanexampleoftheinheritanceofdatetoflowerofBrassica napusL.showedthattheAkaikeSinformationcriterion(AIC)valuesofgeneticmodelsusing theaverageddataofmultiplereplicationswouldbelowerthanthoseusingthedataofonereplic ation;theprecisionofthefirstordergeneticparameterscanbeimprovedbymeansofaddingthe informationofPL,FIandP2generations;theunbiasederrorvarianceobtainedbyanalysisofv ari—anceofRFEcouldimprovetheprecisionoftheestimatesofsecondordergeneticparameters. KeywordsMixedmajorgenepluspolygeneinheritance;thereplicatedfamilytest;Quantita tivetrait在王建康,盖钧镒在Elkind等(1986,1990),奠惠栋等(1993):和姜长鉴等(1995):;的工作基础上,提出了利用个别世代的数量性状分离分析法,经他人在水稻广国家973项目(G1998010206)和重庆市科委应用基础研究项目资助章元明(1965年5月生),男,重庆永川^.论文博士研究生,副教授,研究方向:数量遗传与生物统计"现在江苏省农科院经作所工作.江苏南京,21O014收稿日期:20000929,接受日期:200101—14Recdvedo:2000—09—29,Acceptedon-gO01-O1—14作物27卷亲和性和白叶枯病抗性.大豆抗食叶性害虫,抗斜纹夜蛾,孢囊线虫l号小种和上部节数相对值等性状的遗传规律研究中应用,提出了相应的育种策略和培育了部分抗病品种应用中发现.该法在不同分离世代结果间有差异,由此提出了联合多个分离世代的联合分析法.经他人在水稻广亲和性,抗白叶枯病和株高.小麦白叶枯病抗性,玉米矮枯叶病.大豆抗食叶性害虫,抗斜纹夜,抗孢囊线虫,抗花叶病毒以及干豆乳产量,干豆腐产量,油分含晕,最长叶柄节位相对值等性状的遗传研究表明它们均符合该遗传模式J.应用中发现该套方法还有必要进行拓展为此.章元明,盖钧镒在分离世代,遗传模型和极大似然估计的算法等方面进行了拓展..～.应用中还发现,遗传率低和试验误差大的数量性状分离分析精度不高,这是因为现有的植物数量性状分离分析法虽进行了拓展但基本上还是针对试验单位为单株或单株一家系的田问试验遗传资料.然而,作物的重要经济性状,如品质性状,产量及其产量因素等许多性状属低遗传力的,且田问试验单株资料的误差又较大因此,分析影响数量性状分离分析精确度的原因井提出改善途径很有必要.本文就是这方面的探索.I提高数量性状分离分析精确度的途径1l采用家系平均数代替单株观察值根据数量性状分离分析的基本假定可知,P.,F.和P!同质群体中单株数量性状观测值服从单一正春分布(.);若采用株观测值的平均数进行分析,则该平均数服从N(./n)由此可见.分析平均数资料的误差比分析单株观测值资料误差小,前者是后者的1"该结论同样适合于分离群体.例如,F:群体中单株数量性状观测值是由k种主基因型I所对应的并由多基因和环境修饰的k1个正态分布混合而成的,即..～.N(),其中.一?一.一一多基因方差组分.然而,由该F群体衍生的F.家系群体的数量性状家系平均数.(每家系观测株)分布由k.种主基因型家系所对应的并由多基因和环境修饰L]的k一个正态分布混合而成的,即～丌.Ⅳ(,!),其中,一./+多基因和主基因方蔗组分(f一】.…,k)显然,的误差方差组分是的误差方差组分的倍.因此.利用家系平均数有更小的误差方差,用具有更小误差方差的家系平均数进行分离分析有更高的精度1.2采用联合多世代分析代替单世代分析文献指出.利用多世代联合分析能够得到的信息量最多,并且可以克服利用几个分离世代独立分析出现的矛盾现象从数量遗传学理论可知,有亲本和F参加的数量性状联合分析有利于精确定位一阶遗传参数估计值大小,从而提高一阶遗传参数估计值的精度此外,利用多世代联合分析的样本容量大为增加也是联合分析精度高的重要原因.1.3采用家系重复试验方法利用家系重复试验能增加数量性状分离分析精度主要有两方面的原因:1)家系试验可以设置重复,增加重复能降低误差达到提高遗传分析精度的目的;2)家系重复试验方差分析可获得无偏试验误差方差估计值,这可增大二阶遗传参数的估计精度,特别是结合重复内分组随机区组设计更能有效地减少试验误差.6期章元明等:数量性状分离分析的精确度及其改善途径通过近j年的工作,已从利用单株资料发展到利用家系平均数资料;从利用单个分离世代发展到利用多个分离世代的联合0'];从未设置重复的试验～.发展到设置重复的试验.,从l对主基因+多基因发展到了2对主基因+多基因...从参数估计的EM算法拓展到了迭代条件EM(IECM)算法～.以上这些发展均只是从一个方面考虑的本文一方面是对以前工作的总结,更重要的方面是同时结合上述提高数量性状分离分析精度的三种途径而提出的一种适合低遗传力和误差较大性状的分析方法.以便提高其分析精度为此,本文提出利用P,F,P,BB.和F:家系重复试验的联合分离分析法2利用P.,F,P,B,B:;:和F=,家系试验的联合分离分析2.1试验设计利用家系进行遗传试验一般采用随机区组设计,但当家系数较多时,随机区组的区组太大控制误差的效果可能不佳.可考虑采用不完全区组设计,其中格子设计较好.但格子设计安排的家系数受平方数限制且环境效应矫正较复杂,其应用也受限制,若供试家系数能被区组容量整除且重复2～4次时,可采用简单广义格子设计方法"]近来一些研究者常采用重复内分组随机医组设计由于这种设计也属不完全区组设计,特别适用于供试样本为随机样本的情形,这时假定分组后的每组家系均为总体代表性样本,组间应无显着差异,若存在显着差异.应为环境误差.可予以剔除设将家系群体供试家系随机分为0组,每组有6个家系,每家系设置c个重复.按重复内分组随机区组设计.每一重复种曲小区.若数据单位为小区时.数量性状.的数学模型为:.=—q十+(ny)+卢.cI)+其中.为群体平均数;q为第i组的效应,服从N(0,);y为重复效应,组与重复问的互作效应ty).～N(O.d);卢)为第i组内第J个家系的效应,服从N(O,d;){试验误差随机变量E～N(o,).若数据单位为小区内单株,其数学模型为:,1-=一+y+(ny)++()m1)+占其中.()Ⅲ与以小区为数据单位的同义.可检测组内家系问的差异显着性;～N(0.)为小区内株间差异,最后,仍以小区平均数为单位进行分析.误差方差通过方差分析提供.以此估计二阶遗传参数若组间差异显着.则剔除组效应q后进行以下分析.若家系间差异不显着,则分析到此为止2.2基本假定与遗传模型数量性状混合遗传分析基本假定参见文献.根据文献一的方法,可推导出1对主基因(A),2对主基因(B),多基因(C),1对主基因+多基因(D)和2对主基因一多基因(E)五类24种遗传模型的迭代公式和遗传参数表达式.其推导方法与文献相似,但因群体成分分布遗传构成的差异,致使迭代公式,约束条件数和约束条件方程组与其他供试群体和试验设计的情况均有较大的不同.本文着眼点还在于从减少试验误差以提高遗传分析精度出发,提出家系重复试验的数量性状混合遗传分析方法.为节省篇幅,只列出利用P,F,P,B, B和:世代联合分离分析的24种独立遗传模型,详见表1.作物裹1利用Pl,FlPl,BmB2和F2一世代的联台分离分析遗传模型TablelThegenetkmodelsofjoin!segregatinganalysisofquantitativetraitsusingPFi,P,B】:,B2iandr3populations2.3多世代联合似然函数及其分布参数和遗传参数的估计利用P,F,P.B,琏:和F家系世代联合分析的样本似然函数为:121^^L厶(y9)一Ⅱ,(¨,)Ⅱf(i.;,)Ⅱf(x¨,)Ⅱ∑f(x,;.,:)Ⅱ∑f(x,i)Ⅱ∑f(i.;.i)l一】=一其中,w～t.～和～表示样本的后验概率,～岛表示BB..和F分离群体的成分分布个数.利用文献13]的IECM算法估计其分布参数最优遗传模型确定后,根据分布平均数向量0与一阶遗传参数向量G的相互关系:e—AG,由最小二乘原理可得一阶遗传参数的估计为G一(AA)A0.各群体表型方差;由试验数据直接算得;误差方差由重复内分组随机区组设计方差分析提供;,和分别为多基因方差组分(,和矗)和环境方差组分(/n)构成:群体主基因方差等于群体表型方差减去该群体纯台主基因型成分分布方差,群体多基因方差等于该群体纯台主基因型成分分布方差减去误差方差.主基因遗传率和多基因遗传率的计算参见前面有关文献r6～12].6期章元明等:数量性状分离分析的精确度及其改善途径当只有一对主基因时,还可利用Bayesian后验概率"～.,5..～Ⅲ:和～Ⅻ*对家系主基因型进行归类.3应用实例以油菜HSTC14【P)×宁油7号(P)组合6家系世代的初花期数据为例说明家系重复试验数据的分析方法.在田间试验设计时,将20份亲本材料分成1O组,每组2份,重复2次;将120个B,B和F::.家系分成10组,每组12个家系.重复2次以家系内单株为单位进行录.考查性状为初花期,以3月1日为1,小区平均数是4株观测值的平均.表2列出亲本及其杂种后代初花期性状相同家系2重复平均数次数分布从表2可知,B.和B_:z群体不是呈单峰分布,F群体呈偏态的单峰分布.因此,可认为有主基因控制初花期的表现表2油菜HSTC14(P.)×宁油7号【Pz)组台6采系世代韧花期分布[able2Thefrequencydistributionsdatetoflowerforsixfamilypopulationsarape㈣为体现利用家系重复试验资料进行混合遗传分析的优点,通过重复内分组随机区组设计方差分析可提供误差方差的无偏估计,并降低误差方差.方差分析结果见表3.无偏的误差方差估计值为:!845—1.3348359'.若分别估计误差方差,如利用亲本和F群体时为9.5759.而分别利用B,Bz.和F一群体时分别为1.3347,l9291和0.9406因此,通过方差分析联合估计误差方差的结果更好从表3可知.分组间差异不显着,即不进行组问调整.然而,两亲本不同材料间却呈现出显着差异,这可能是由于两亲本方差分析的误差方差太小所致,若用方差分析提供的误差方差进行F检验.其显着性将有所改变.衰3方差分析裹Table3Theanalysisofvariance作物27卷为得出用家系蘑复试验资料进行主基固+多基因混合遗传分析可有较高的精度,2种方案:(1)用相同家系重复试验平均数资料进行混合遗传分析;(2)分别用本试验的重复1和2进行混台遗传分析.分别用I,Ⅱ,Ⅱ表示.用IECM算法估计样本似然函数中的分布参数,极大对数似然函数值和AIC值:".3种情况的AIC值见表4裹4各谙传模型AIC值Table4TheAkaiRe'sin[elfnlationcriterion(AIC)vu跨undervariousgeneticmodels参数估计倩参数估计值参数估计值参数估计值PalameterEstimatesParameterEstimatesP~eterEstinmt~PaTameterEstimaces根据表4比较相同模型I～Ⅲ间的AIC值,可发现除极个别情况外用家系平均数资料(I)得到的AIC值比只用个别重复资料(Ⅱ或Ⅱ)的AIC值低;分别在I～Ⅲ资料形式下,D一1模型的AIC值均是最低的,但是只用重复1资料时D-1与n4模型的AIC 值几乎相等,这对模型选择是不利的这说明用相同家系平均数资料的结果比只用个别重复资料的结果为6期章元明等:数量性状分离分析的精确度及其改善途径优.从适合性检验的结果来看也有该特点因此.当使用重复内分组随机区组设计时用家系平均数资料进行混合遗传分析结果要好些.此外,通过该设计方差分析提供的无偏误差方差1.3348均比】～m下D一1模型获得的误差方差极大似然估计值1.9060,2.6883和1.6849要低,这会减少多基因方差和多基因遗传率被低估的可能性由利用重复试验平均数资料获得的分布参数估计值(表5)可估计相应的遗传参数(表6).混合遗传模型分布参数的估计一般采EM用算法】但是,当利用家系群体时是不现实的文献[13-提出的IECM算法有效地解决了这一问题.从表4可知,用相同家系平均数资料的AIC值比用单一重复资料的低,说明用平均数资料更好.由于亲本和F群体的加入联合分析,有效地定位了一阶遗传参数估计值的大小.并认为杂种后代平均数偏向低值亲本即开花提前是由于主基因的显性效应为负所致.利用家系重复试验是减少试验误差提高试验精度的重要手段从方差分析理论知-通过家系重复试验方差分析提供了误差方差的无偏估计.该误差方差估计值1.3348比通过混合遗传分析得到的误差方差估计值小,这就减少低估多基因方差和多基因遗传率的概率,提高了二阶遗传参数的估计精度,使遗传模型及其遗传参数估计值间不致出现大的矛盾.参考文献1E[kindY8ACahanffr7ApGer~et,1986,72:377～383ElkindY&ACahanerHeredv.1990,64{205～2133奠惠埠.作物.1993,19(1):1～64奠惠栋.作钫./993,10(3):193～2005姜长蜉.莫惠栋.作聊,l995,2116):柏l～6486盖钧镒章元朗,王建康着2001.植物数量性状遗传分析体系北京:科学出版社7王建康,盖钧镒遗传,1997.24(5)432～4408盖竹锰,王建康作物,1996,24(4):402～4099GaiJY&JKWangApplGenex,1998t97(7):1162～11681c壬建隶,盖钧镒.作蛔,1998,24(61:651～65911章元明,盖钧镒遗传,200U,27(7):634～640l2盖钩镒.章元明,王建康.作物,2000,26(4):385～391 13章元州,盖钧锚.怍物,2000,26(6):699～706l吴天侠,盖钧锚.马育华.作物,1995,21(3):300～3O。
,生物统计1，总体：根据研究目的确定的研究对象的全体2、个体：总体中的一个研究单位3、样本：实际研究中的一类假象总体4、样本含量：样本中所包含的个体数目称为样本含量或大小5、随机样本：一类从总体中随机抽得到的具有代表性的样本6、统计量：由样本计算的特征数7、参数：由总体计算的特征数8、精确性：指在试验或调查中某一试验指标或性状的重复观察值彼此接近的程度9、系统误差：系统误差又叫做片面误差。
它是在一定的测量条件下，对同一个被测尺寸进行多次重复测量时，误差值的大小和符号（正值或负值）保持不变；或者在条件变化时，按一定规律变化的误差。
10、偶然误差：一类由于偶然的或不确定的因素所造成的每一次测量值的无规则变化（涨落），叫做偶然误差，或随机误差。
11、连续性变数资料：指用量测方式获得的数量性状资料12、离散型变数资料：指用计数方式获得的数量性状资料13、算术平均数：指资料中的各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数14、平均数：资料或代表数，主要包括算术平均数，中位数，众数，几何平均数及调和平均数15、标准差：是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
16、方差：度量总体(或样本)各变量间变异程度的参数(总体)或统计量(样本)。
17、离均差平方和：样本各观测值变异程度大小的另一个统计数18、试验：在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验19、随机事件：随机试验的每一种可能结果20、概率：事件本身所固有的数量指标，不随人的主观意志而改变，人们称之为概率21、正态分布：若连续性随机变量X的概率分布密度函数，则X服从正态分布22、标准正态分布：我们把平均数u=0,σ2＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）23、双侧概率：我们把随机变量X在平均数u加减不同倍数标准差σ区间（u-kσ,u+kσ）之外，取值的概率称为双侧概率24、单侧概率：对应于两尾概率可以求得随机变量x小于小于u-kσ或大于u+kσ的概率标准误：反映样本平均数的抽样误差的大小的一种指标25、假设检验（显著性检验）：假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。
文章编号:1004-132Ⅹ(2000)03-0245-04一维和多维误差分离技术的统一理论洪迈生 教授洪迈生 魏元雷 李济顺 摘要:在回顾和评述误差分离技术的多种方法的基础上,将这些对象迥异、操作各不相同的诸多方法,用多维误差分离技术理论统一起来,给出了基于两个映射矩阵的一维和多维误差分离技术的统一方程。
据此论述了误差分离的通则,以及误差分离技术的反滤波实质。
关键词:多维误差分离技术;映射矩阵;统一方程;形状误差;误差运动中图分类号:T H 161.5 文献标识码:A收稿日期:2000—01—13基金项目:国家自然科学基金资助项目(59775085) 酝酿于20世纪50年代、发源于60年代的误差分离技术(erro r sepa ra tion tech niques,EST),因其潜力深厚,前景一直看好,历经国内外30余年的研究,依然生机勃勃,长盛不衰,所发表的论文几乎呈指数曲线上升,其内涵已十分丰富。
近来更在纳米测量与补偿加工、曲面测量、多自由度精密姿态检测与控制、形成虚拟基准,以及构成虚拟量仪等方面显示出重要作用。
据了解,由日本通产省机械技术研究所、东北大学纳米计测研究室、秋田大学、理光、三菱电机、三丰精密等株式会社共同组织的“精密位置检测研究会”,其重点之一就是继续深入研究EST,扩展EST 在重要领域中的应用。
看来EST “不仅作为跨世纪技术,而且在与其它新技术不断融合的过程中将在下一世纪锐化为新技术”己成定势。
然而可惜的是,迄今为止国内外已发展的为数众多的各种ES 方法,虽然提出者互有借鉴,各有特色,但由于途径不同、对象有异、立论不一,基本上还是“各自为政、不相统一”,认识上差异之大,竟使其中甚至有互相矛盾和谬误者,有时不免误导同行。
这既不利于公正、客观地评价EST,更妨碍了EST 的持续发展。
有鉴于此,笔者不揣冒昧,拟继“一维形状误差分离技术的统一理论——解的确定性准则”[1]之后,继续披露有关多维形状和尺寸误差分离技术的统一理论和准则,以总结并提出一些有普遍意义的、规律性的东西,期望识者斧正。
1 用矩阵表达EST 的原创方程先引用EST 发明者青木-大园的圆度三点法原创测量方程[2](见图1):z 0(θ)=c 0[h (θ+h 0)+W x (θ)co s h 0+W y (θ)sin h 0]z 1(θ)=c 1[h (θ+h 1)+W x (θ)co s h 1+W y (θ)sin h 1]z 2(θ)=c 2[h (θ+h 2)+W x (θ)co s h 2+W y (θ)sin h 2](1)图1 圆度三点法式中,z i (θ)分别为三位移传感器测头的比例读数值,i =0,1,2;h (θ+h i )为被测工件不同方位h i 上的圆度形状误差;W x (θ)、W y (θ)为工件相对于三测头回转时各瞬时误差运动在x方向和y 方向上的分量;h i 分别为三测头与x轴的夹角;c i为反映三传感器信道灵敏度的系数,在以后的统一方程中称为权值系数。
暂不考虑c 0、c 1、c 2,将式(1)改写为矩阵形式并记作离散式,就有z 0(n )z 1(n )z 2(n )=100010001h (n +p 0)h (n +p 1)h (n +p 2)+cos(p 0Δθ)sin(p 0Δθ)cos(p 1Δθ)sin(p 1Δθ)cos(p 2Δθ)sin(p 2Δθ)W x (n )W y (n )(2)式中,n =θ/Δθ;p i =h i /Δθ;Δθ=2c /N ;N 为圆周上数据的每周采样点数。
再分别将式(2)中的列向量和矩阵顺次记作Z 、A 、H 、B 、Δ,则有CZ =C (A H +B Δ)(3)式中,Z 为测量值,即读数列向量;H 、A 分别为形状误差列向量及形状误差映射矩阵;B 、Δ分别为误差运动列向量及误差运动映射矩阵;C 为不为零的权值系数行向量,C =[C 0,C 1,…,C i ]2 EST 的统一方程只需将Z 、C 、A 、H 、B 、Δ的内涵科学地加以·245·一维和多维误差分离技术的统一理论——洪迈生 魏元雷 李济顺延伸、扩展,给以合理的工程意义解释,就可以将这里提出的式(3)作为一维和多维EST 的统一方程。
此时Z 、C 、A 、H 、B 、Δ的含义将因待分离的工件形状尺寸误差、加工或测量系统的误差运动、所用传感器的品种和配置方式而异。
以二维EST 为例,设所用的方法为多点法或多步法,使用的传感器为线位移传感器,则Z =[z (n +p 0,m +q 0),z (n +p 1,m +q 1),…,z (n +p d -1,m +q d -1)]TA =[1]d ×dB =b 00b 01…b 0,e -1b 10b d -1,1……b d -1,e -1H =[h (n +p 0,m +q 0),h (n +p 1,m +q 1),…,h (n +p d -1,m +q d -1)]TΔ=[W x (n ,m ),W y (n ,m ),T (n ,m ),U (n ,m ),V (n ,m )]T C =[C 0,C 1,…,C d -1]式中,Z 为传感器读数信号列向量;d 为多步法的测位数或多点法的测点数;A 为形状误差映射矩阵;B 为运动误差映射矩阵;H 为形状误差列向量;Δ为运动误差列向量;C 为权值系数行向量。
3 EST 的“二次操作”通则展开统一式(3)有z (n ,m )=C Z =CA H +CB Δ(4)注意,此时的z (n ,m )已经是各测头读数z i (n ,m )经各对应的C i 加权后的线性组合。
EST 的“第一次操作”是设法使式(4)中CB Δ=0,这样就可以先分离掉运动误差Δ(或设法使CA H =0,先分离掉形状尺寸误差H )。
通常先分离掉运动误差,此时式(4)只剩下z (n ,m )=C Z =∑d -1c ih (n +p i ,m +q i )i =0,1,…,d -1(5)由于式中仍是为数多达d 处观察到的形状误差h (n +p 0,m +q 0)、h (n +p 1,m +q 1)、h (n +p d -1,m +q d -i )的“混响式”混合,仍然无法直接解出h (n ,m ),所以,通常又有两种“第二次操作”解法:时域(上的递推)法、频域(上的FFT )法。
前者相对简便,后者则更具普遍性。
4 权函数及频域法解法对式(3)两边做Fourier 变换,并应用该变换的时延-相移性质得 z (n ,m )=H (k ,l )∑d -1c iWkp iW lq i =H (k ,l )C K =H (k ,l )G (k ,l )式中,W =e j 2cN ;K =(e jkp 0e jkq 0,e jk p 1e jkq 1,…,e jkp d -1e jkq d -1)T ,取决于测试系统参数结构的相移旋转因子;G (k ,l )=C K 为测试-分离系统的权函数。
于是有h (n ,m )=F -1[Z (k ,l )G (k ,l )](6)权函数G 对EST 的影响殊巨。
5 EST 的反滤波实质现结合图2和图3阐明ES T 的本质。
为便于图3 通用多维误差分离系统说明,以保真地从混有运动误差的测量信号中分离出源信号,即形状误差h (n ,m )为例。
前已说明,分离两种误差的前提是必须先设法安排权值系数C 使CB Δ=0。
而这一分离操作又必须使经多通道获取的读数列向量z i (n ,m )按合理的c i 进行加权线性组合成为z (n ,m )。
由于z (n ,m )蕴含了同一源信号h (n ,m )经空间测位不同的多个传感器的同时采集并混合——多点法,或单个传感器在不同测位上的先后采集并混合——多步法,其效果类似于声信号之被混响。
这不仅使z (n ,m )与源信号h (n ,m )相比明显退化(见图2,下同),而且导致z (n ,m )的频谱中先天性地含有多个待分离的同类谱结构[同属源信号h (n ,m ),只是时延或相移有异],根本无法用“分隔频率并提取感兴趣部分”这种常规的滤波法来恢复源信号,而只能考虑反滤(反卷积):因z (n ,m )=h (n ,m )*g (n ,m )故h (n ,m )=z (n ,m )(1/*)g (n ,m )(7)式中,(1/*)表示反卷积。
由于在时域上直接求解式(7)比较困难,因此通常·246·中国机械工程第11卷第3期2000年3月都变换到频域求解:H (k ,l )=Z (k ,l )/G (k ,l )(8)式中,H (k ,l )、Z (k ,l )、G (k ,l )分别为z (n ,m )、h(n ,m )和g (n ,m )的Fo urier 变换。
再将式(8)反变换到时域就复原了式(6)所示的源信号。
看来一切都很完美,因为在时域、频域上分别记作G 、g 的权函数在ES 过程中设置参数的初始阶段就已经作了考虑,之后且又作了参数合理性检验(见图3),因此用于反滤的G 似乎十分理想,其实不然。
按图3测量系统参数计算所得的G 虽表明了滤波器的性质与类型,但尚可进一步精确、完善,且由于多数实时EST 本身的局限,在测量过程中不可避免地有测量误差和噪声存在[在图2中示意为n (m ,n )],用于反滤的g 并非理想。
在实施多维误差分离、复原各源信号并实现误差形貌的精确重构时尤其如此。
6 统一方程的普遍性限于篇幅,这里仅少量列举若干国内外已发表的ES 方法,且已按上述理论改写以映射矩阵为特征的统一方程形式,有关符号的物理意义参阅原文。
总之,不论是单点式转位(多步)法还是多点法,不论工作的对象是圆、直线、平面还是圆柱体、齿轮……,都可以用式(3)所示的统一方程来表达,且同样有该统一方程决定的反滤波的本质。
所区别的只是内涵和第二次操作而己。
6.1 圆度三点法[2,3]z 0(n )z 1(n )z 2(n)=100010001h (n +p0)h (n +p 1)h (n +p 2)+cos(p 0Δθ)sin(p 0Δθ)cos(p 1Δθ)sin(p 1Δθ)cos(p 2Δθ)sin(p 2Δθ)W x (n )Wy (n )6.2 圆度转位法[4]z 0(n )z 1(n)=1001h (n +p 0)h (n +p 1)+1001W x (n +p 0)W x (n+p 1)p 0=0,p 1Δθ=c ,W x (θ+c )=-W x (θ)c 0=c 1=1,G (k )=c 0W k p 0+c 1W k p 0=1+1=26.3 直线乱序式四点法[5]z 0(n)z 1(n )z 2(n )z 3(n )=1111h (n )h (n +m )h (n +2m )h (n +3m ±1)+10·Δl 1m Δl 12m Δl1(3m ±1)ΔlW (n ) U (n)6.4 直线精密三点法[6]z 0(n )z 1(n )z 2(n )=111h (n)h (n +m )h (n +m +1)+101010W (n )U (n)6.5 圆度混合三点法[7,8]z 0(n )z 1(n )z 2(n )=100010001h (n +p 0)h ′(n +p 1)h (n +p 2)+co s(p 0Δθ)sin(p 0Δθ)-sin((p 1Δθ)R r)co s((p 1Δθ)R r)co s(p 2Δθ)sin(p 2Δθ)W z (n ) W y (n )6.6 圆柱体五点法[9]z 0(n ,m )z 1(n ,m )z 2(n ,m )z 3(n ,m )z 4(n ,m )=1000001000001000001000001h (n +p 0,m )h (n +p 1,m )h (n +p 2,m )h (n ,m +q 3)h (n ,m +q 4)+1000co s(p 1Δθ)sin(p 1Δθ)00co s(p 2Δθ)sin(p 2Δθ)00co s(p 3Δθ)sin(p 3Δθ)0q 3Δl co s(p 4Δθ)sin(p 4Δθ)0q 4ΔlW x (n ,m )W y (n ,m)T (n ,m )U (n ,m )6.7 平面混合四点法(二线二角)[10]z 0(n ,m )z 1(n ,m )z 2(n ,m )z 3(n ,m )=1111h z (n +p 0,m +q 0)h ′z (n +p 1,m +q 1)h z (n +p 2,m +q 2)h ′z (n +p 3,m +q 3)+1p 0Δl q 0Δl 001101p 2Δlq 2Δl 00110W z (n ,m )T (n ,m)U (n ,m )V (n ,m )6.8 摆线齿轮三点法[11]z0(θ)z 1(θ)z 2(θ)=111h 0(θ)h 1(θ)h 2(θ)+co s h 0sin h 0co s h 1sin h 1co s h 2sin h 2W x p (θ)W y p (θ)式中,h i (θ)=d i (θ)+W d (θ-θ0i )cos Y i ;W x p (θ)=W sxp ·(h 1-i a )+W wx c (θ);W y p (θ)=W syp (θi -i a)+W wyc(θ)。
