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组合数学第08讲_必胜策略游戏策略中往往有一类比较复杂的，需要逐步来递归的问题，这就需要对必胜与必败转态进行标记．一．网格移动类1．含义：给定一个东西和固定的表格，给出移动该物体的规则，最终谁移动到不能再移谁就算胜（或者输），求必胜（或必败）策略．2．方法：从最后必胜（或必败）的转态进行倒推，找出一般的规律，将必胜（或必败）的格子都标记出来即可找出必胜策略．二．其他类型1．特点：操作次数比较有限，没有周期规律．2．方法：由于操作次数较少，所以通常用枚举法，将必胜的操作标记出来，就可以得到必胜策略．重难点：从最后的必胜条件出来，进行倒推，将必胜的操作标记出来．题模一：网格移动类例1.1.1如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？BA【答案】（1）甲必胜；（2）甲必胜【解析】（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．（2）与第（1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中 即可．例1.1.2如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：（）一定能获胜？A ．甲B ．乙C ．甲和乙都有可能【答案】B【解析】如下图标a 都是必胜格，A 本身就在必胜格里，所以先走的到达不了下一个必胜格，所以乙胜． 例1.1.3如图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B 的人赢．请问：（）一定能获胜？√ × √ × √ × B 1 × × 2 3 √ × √ A × √× √ × √ × B × × × × × × × √ × √ × √ × √ × × × × × × × √ × √ × √ × √ A × × × × × ××× × × × × B × × × × √ × × × × × × × √ × × √ × × × × × × × × × × × × A × × √ × × ×B AB a a ABAA．甲B．乙C．甲和乙都有可能【答案】A【解析】如图表有a的都是必胜格，只要甲第一步走到标有a个格必胜，选A．BaaaA a例1.1.4把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿45°角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？【答案】乙必胜．从右上角开始分析哪些位置是必胜的，哪些位置是必败的，结果如图所示．因此甲第一步必然走到“√”上，而乙必然可以每一步都给甲留下“×”．【解析】首先看图最右面的那列，在这列中，如果棋子在右上角的下面，那么先走的只能把棋子向上走，所以他必败；如果棋子不在这个位置，那么他只要把棋子走到这个位置便可确保胜利．而为了方便分析，下面在图中先走必胜的位置标“√”，先走必败的位置标“×”，此时图如下所示：对1和2这两个位置，第一步只要走到右上的“×”处，便可取胜，所以标“√”；对3来说，怎么先走的如何走，都是走到一个“√”处，因为“√”处先走必胜，所以对3先走必败，应当标“×”．从上面的分析中，可以发现，对一个位置来说，如果它的上，右或右上有一个“×”，那先走的只需要把棋子移动到这些“×”处便可确保胜利；相反，如果它的三个方向上全是“√”，那无论如何走，都是后走的获胜．根据这个规律，便不难知道对任意一个位置来说，是否先走必胜，从而可以完成这个图，完成后的图如下所示：因为棋子最开始在左下角，甲只能向右走，而它右侧全部是“√”，所以乙必胜，每步时× √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √× 1 √ 2 3 √ √ √ √ √ √ √ ● √× √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ ● √ √ √ √ √ √ √ √ √ √乙只需要把棋子移动到“×”即可． 题模二：其它例1.2.1桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜．如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？【答案】切走12个小方块【解析】当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了．当剩2行（或2列）时，如果剩22⨯的方块，那么先切的人切完后成为12⨯的方块，所以后切的人必胜；如果剩23⨯、24⨯、…等情况，先切的人只要切剩下一个22⨯的方块就可以取胜．当剩3行（或3列）时，如果剩33⨯的方块，先切的人切一刀后只能剩下13⨯或23⨯的方块，此时后切的人获胜．当有37⨯块时，先切的人切走3412⨯=块，给对手留下一个33⨯的正方形，接着每次都给对手留下一个11⨯或22⨯的正方形即可获胜． 例1.2.2如图为“狡兔三窟”的游戏，游戏中只有两个棋子：一为“猎人”，一为“狡兔”，它们的位置如图所示，棋盘的北端X 是一方飞第，这意味着任何一方棋子，都可以“飞”过X ，即：由C 直接到达D ，或由D 直接到达C ，游戏开始，由“猎人”先走，接下去双方轮流运子，每次一步，每次只能沿着黑线走到其相邻的点上，当猎人和兔子都到同一点时，猎人可以抓住兔子．那么，“猎人”至少要走（ ）步才能抓住兔子．A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】如果猎人第一步就开始往下抓兔子，那么兔子也会往下跑，这样猎人紧追兔子中间只差一步的话是永远抓不到兔子．那么猎人的对策就是第一步向上走，前三步向上绕一圈，这是猎人在空心点上，兔子在实心点上，如果兔子在1号位置，第4步抓到，若兔子在2，至多再3步抓到，最终在第6步被抓到例1.2.3在黑板上写有999个数，2、3、4、……、1000．甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜．请判断：__________有必胜策略．【答案】乙【解析】共有500个偶数，甲共擦499个数．若甲想获胜，他必须擦499个偶数，否则乙只要先擦奇数，最终必能剩两个偶数，乙胜．但当甲全擦偶数时，乙只要保留两个个位为5的奇数至最后即可，故乙有必胜策略．随练1.1如右图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略？必BA【答案】甲必胜【解析】策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．√×√× B×××××√×√×√A ××××随练1.2如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B的人赢．请问：（）一定能获胜？BAA．甲B．乙C．甲和乙都有可能【答案】B【解析】如下图标a都是必胜格，A本身就在必胜格里，所以先走的到达不了下一个必胜格，所以乙胜，选B．BaaaA随练1.3如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走任意步（不能拐弯），最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：（）一定能获胜？BAA．甲B．乙C．甲和乙都有可能【答案】A【解析】甲第一步走到如图所示的a处，无论乙怎么走，甲都有方法取胜，所以选A．BaA随练1.4桌上有一块巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下： ① 每次只许沿一条直线把巧克力切成两块； ② 拿走其中一块，把另一块留给对手再切； ③ 谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？【答案】切走12块，给对手留下一个33⨯的正方形，接着每次都给对手留下一个正方形 【解析】如果只剩1行或1列，但不是一个小方块，那么先切的人只要剩一个小方块就赢了；如果剩2行，如果是22⨯的方块，那么先切的人切完后成为12⨯的方块，所以后切的人必胜；如果比22⨯多的话（23⨯，24⨯……），因为22⨯的时候是后切的人获胜，所以这时先切的人只要剩下一个22⨯的方块就可以取胜；在33⨯的时候，先切的切完后，剩下的巧克力是13⨯或者23⨯，根据上面的分析可以知道后切的一定获胜．所以第一刀切完后剩下33⨯的就可以保证获胜了，即是切下3412⨯=块巧克力．随练1.5如图所示，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A 点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，……，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略？【答案】甲没有必胜策略，且乙必胜．一旦甲由角上的点走到中间，乙就再走回相邻的角上去．【解析】一枚棋子如果处在五角星的某个角上的话，先走的人只能把它从角上移到中心．而如果在中心的话则可以选择移到角上或者其他中心位置．据此可以给乙想出如下的方案：一旦甲由角上的点走到中间，乙就再走回相邻的角上去，角上的点是5个，中心点也只有5个，最后必然是连成一个封闭图形，甲无路可走．作业1如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？A【答案】甲必胜【解析】我们给必胜格子（如方格B ）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B 逆推，能一步走到B 的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．作业2（1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。
5-1-1-2.算式谜（二）教学目标五年级奥数算式谜（二）教师版知识点拨一、基本概念填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号）,从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
算符：指+、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
二、解决巧填算符的基本方法（1）凑数法：根据所给的数,凑出一个与结果比较接近的数,再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少,从而使等式成立。
（2）逆推法：常是从算式的最后一个数字开始,逐步向前推想,从而得到等式。
三、奇数和偶数的简单性质（一）定义：整数可以分为奇数和偶数两类（1）我们把1,3,5,7,9和个位数字是1,3,5,7,9的数叫奇数.（2）把0,2,4,6,8和个位数是0,2,4,6,8的数叫偶数.（二）性质：①奇数≠偶数.②整数的加法有以下性质：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.③整数的减法有以下性质：奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数.④整数的乘法有以下性质：奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数.模块一、填横式数字谜【例 1】 将数字1~9填入下面方框,每个数字恰用一次,使得下列等式成立；()200724=+÷+-★□□□□□□□现在“2”、“4”已经填入,当把其它数字都填入后,算式中唯一的减数（★处）是 ．【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】4星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级,初赛,3试题【解析】 方法一：首先可以估算四位数的取值范围：四位数不大于()2007913428010+-⨯-=,不小于()2007198427638+-⨯-=．显然四位数的千位数字只能是7．再由四位数与2的和能被4整除,可以确定四位数的个位数字一定是偶数,只能是6或8．若为6,由个位是8而能被4整除的数其十位数字是偶数,可知四位数只能为7986,而()7986241997+÷=,故只需利用剩下的数凑出10即可．剩下的数字是1,3,5,不能凑出10．所以四位数的个位数字不是6．四位数的个位数字是8时,由个位是0而能被4整除的数其十位数字是偶数,故四位数的十位数字是1、3、7或9．当四位数的十位数字是1时,四位数只可能是7918,而()7918241980+÷=,故只需利用剩下的数凑出27即可．剩下的数字是3,5,6,不能凑出27；当四位数的十位数字是3时,四位数只可能是7938,而()7938241985+÷=,故只需利用用剩下的数凑出22即可．剩下的数字是1,5,6,不能凑出22；当四位数的十位数字是5时,四位数只可能是7658或7958,若为7958,则由()7958241990+÷=,需利用剩下的数凑出17即可．剩下的数字是1,3,6,不能凑出17；若为7658,有()7658249312007+÷+-=；当四位数的十位数字是9时,四位数只可能是7698,而()7968241925+÷=,故只需利用剩下的数凑出82即可．剩下的数字是3,5,6,不能凑出82；故此题只有惟一答案：()7658249312007+÷+-=．算式中唯一的减数是1．方法二：根据弃九法,7□□□+2+4+□□+★被9整除,而(7□□□+2)÷4+□□-★也被9整除。
![[教学研究]用逆推法解题](https://img.taocdn.com/s1/m/9e0c3208b6360b4c2e3f5727a5e9856a57122640.png)
用逆推法解题【知识要点】1.逆推法：是用还原思想解题的方法。
就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢原始的条件2.用逆推法解答某些题目时，比用顺推法解答更清晰容易3.解题关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算、原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘【典型题解】例1.某数加上10，减去7，乘以3，除以5，等于12。
这个数是多少？分析：用逆推法思考：这个数没除以5时是多少？这个数没乘以3时是多少？这个数没减去7时是多少？这个数没加上10时是多少？也可以顺序画表如下：()()()()1073512+-⨯÷−−→−−→−−→−−→③②① 从12入手逆推依次计算出①②③三个数，最后求出这个数是多少解：12560 60320 20727 271017⨯=÷=+=-= 答：这个数是17例2.在求几个数之和时，把其中的一个加数的十位数字少写了5，个位数字上本应该是零而写成了6，千位数应该是7而写成了1，这时得到的和是3212。
那么，原来要求的几个数的和应该是多少？分析：加数的十位上少写5，和就少了50；个位是0写成6，和就多了6；千位是7写成1，和就少了6000；这题可以看成是正确的和先减少了50，又增加了6，再减少了6000后是3212，用逆推法即可求解解：()32127110009212+-⨯= 921269206-= 92065109256+⨯=答：原来要求的几个数的和应该是9256例3.小明的三层书架中共放着48本书。
有一次他清书，先从上层拿8本放入中层；又从中层拿6本放入下层，这时三层书的本数相等。
原来每层放多少本书？分析：以三层书的本数相等入手分析，可得现在每层书的本数48316÷=。
再分析各层书是怎样变化得到16本书的，即上层原有书的本数－8本＝16本；下层原有书的本数＋6本＝16本；中层原有书的本数＋8本－6本＝16本，最后用逆运算使问题得解解：48316÷=（本） 16824+=（本） 16610-=（本） 166814+-=（本）答：原来上层放24本，下层放10本，中层放14本书例4.在一只篮子里，有若干枚李子。
第7讲整数四则混合运算学问点一：不含括号的三步混合运算的运算挨次1.运算挨次：在没有括号的算式里，既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。
假如加号或减号两边同时有乘、除法，则乘、除法可同时计算。
2.关键点：一看、二想、三算、四查。
一看：看清算式中含有哪几级运算；二想：想运算挨次，确定先算什么，再算什么；三算：认真计算；四查：检查是否算错，运算符号和数字是否抄错。
学问点二：含有小括号的混合运算含有小括号的混合运算的运算挨次：在一个算式里，有小括号的要先算小括号里面的，再算小括号外面的。
小括号里面的算式也要先算乘、除法，后算加、减法。
学问点三：含有中括号的混合运算含有中括号的混合运算：在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
考点一：整数四则混合运算【例1】“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉利物，“冰墩墩”是以熊猫为原型设计的，“雪容融”是以灯笼为原型设计的。
某单位花费5280元购买了同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”毛绒玩偶共35个，作为冬奥学问竞赛的奖品。
“冰墩墩”毛绒玩偶192元一个，“雪容融“毛绒玩偶96元一个。
该单位购买“冰墩墩”和“雪容融”玩偶各多少个？【分析】假设35个都是“冰墩墩”，是用“冰墩墩”毛绒玩偶的单价乘35，得出35个冰墩墩”毛绒玩偶的价钱，再减花的总钱数，除以1个“冰墩墩”毛绒玩偶比1个雪容融“毛绒玩偶多花的钱数，即可得，“雪容融“毛绒玩偶的个数，再求“冰墩墩”毛绒玩偶的个数即可。
【解答】解：（192×35﹣5280）÷（192﹣96）＝（6720﹣5280）÷96＝1440÷96＝15（个）35﹣15＝20（个）答：该单位购买“冰墩墩”20个，“雪容融”玩偶15个。
【点评】本题主要考查了两位数除多位数的应用，本题假设35个都是“冰墩墩”来解决。
1.脱式计算．35×（320﹣170）÷50（36×54﹣984）÷24150÷[90÷（67﹣52）]【分析】本题依据四则混合运算的运算挨次计算即可：先算乘除，再算加减，有括号的要先算括号里面的．35×（320﹣170）÷50计算过程中可运用乘法结合律计算．【解答】解：35×（320﹣170）÷50＝35×150÷50，＝35×（150÷50），＝35×3，＝105；（36×54﹣984）÷24＝（1944﹣984）÷24，＝960÷24，＝40；150÷[90÷（67﹣52）]．＝150÷[90÷15]，＝150÷6，＝25．【点评】在完成脱式计算题目时，要留意计算过程的完整性，中间不要有太大跳动．2.如图是星美花店玫瑰花的进货价和零售价状况。
第16 讲统筹与对策整理人：张肖内容概述生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推.典型问题1．妈妈让冬冬给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟?答案：16分钟解析：在试题中，烧开水之前一定要洗开水壶，但是在烧开水的同时，可以把洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶三件事都做完。
所以根据先洗水壶，然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，共需要1+15=16分钟。
2．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少?答案：A先理发，然后B，最后C；81分钟解析：因为理发时间固定，为使所花时间总和最短，则只需三人等待时间最短，因此按照理发时间从短到长的顺序理发，这样A只理板寸，花费7分钟，B等待A并理光头，共花费7+10=17分钟，C等待A、B并烫卷发，共花费7+10+40=57分钟，三人共花费7+17+57=81分钟。
3．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?答案：76元解析：5个一袋的面包单价为8÷5=1.6元，3个一袋的面包单价为5÷3=1.67元，1.6<1.67，所以要尽量多购买5个一袋的面包，同时不要让面包有剩余。
47÷5=9……2，2不能被3整除，将两袋5个的与剩余的两个凑成12个，可正好换成4袋3个的，因此需购买7袋5个的和4袋3个的，共花8×7+5×4=76元。
EET国际教育三年级数学第十讲逆推问题知识点，重点，难点逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要依照题意的表达序次，有后向前逆推计算。
逆推问题还被称为逆推法，主要包含一下两层意思。
1.要依照题意的表达序次，从最后一组数量关系逆推至第一组的数量关系，这就是逆推法中运算序次的逆推含义。
2.原题相加，逆推用减；原题用减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题用除，逆推用乘，这就是逆推法受骗算方法的逆运算含义。
例1：某数若是先加上 3，再乘以 2，尔后除以 3，最后减去 2，结果是 10，问原数是多少？解析：我们用代替原数，则□经过一系列运算后是 10，这一系列过程，我们可以用以下图来表示：图 1观察图 1 可以发现，从最后结果 10 往回推，第个横线上的数应该是 10+2=12，第个横线上的数是12×3=36，第个横线上的数应该是 36÷2=18，则就是 18－ 3=15.例2：小明从家到学校去，先走了全场的一半后，又走了剩下行程的一半。
这时离学校还有 1 千米，问小明家到学校共多少千米？解析：如图 2，采用倒退的方法，可以发现 1 千米是第一次剩下行程的一半，所以第一次剩下的行程就是 1×2=2（千米），而第一次剩下行程 2 千米又是全程长的一半，所以全程长为 2× 2=4（千米）。
图2例 3：做一道整数加法题时，一个同学把个位上的数 6 看是 9，把十位上的数 8 看作3，结果得出和为 123，问正确的和是多少？解析：学生把个位上的数 6 看是 9，使和增加了 9－6=3，把十位上的数 8 看作 3，使和减少了 80－ 30=50，将多增加的部分去掉，加上少加的部分，就能得出原来的和。
别的，依照题意可知原来的加数应为 86，而这个学生误以为是 39，所以只要将错误的和 123 减去错误的加数，得出原来的另一个加数，再重新加上正确的加数86，也能得出正确之和。
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题． 1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．3. 培养学生“倒推”的思想．一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.模块一、计算中的还原问题【例 1】 一个数的四分之一减去5，结果等于5，则这个数等于_____。
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第3题【解析】 方法一：倒推计算知道，一个数的四分之一是10，所以这个数是104=40⨯。
方法二：令这个数为x ,则1554-=x ，所以40=x 。
【答案】40【例 2】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？例题精讲知识点拨教学目标6-1-2.还原问题（一）【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。
这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。
如果没减去2，此数是：10212+=，如果没除以2，此数是：12224⨯=，如果没乘以3，此数是：2438÷=，如果没加上3，此数是：835-=，综合算式()1022335+⨯÷-=，原数是5.【答案】5【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是 。
逆推教学目标：1．能结合树状算图理解逆推的思想方法。
2．运用加减法和乘除法的关系，有根据地说出推算的原因，培养学生思维的严密性。
3．能列综合算式表达逆推的推算过程，解决实际问题，并能用正推的思想进行检验。
教学重点：运用加减法和乘除法的关系，有根据地说出推算的原因。
教学难点：列综合算式表达逆推的推算过程。
教具准备：多媒体、数字卡片教学设计：一、复习正推，游戏引入。
1.出示正推的计算盒，请学生上黑板摆树状图。
2.其余学生在练习纸上填写树状图并列综合算式。
（7+13）÷2—8=23.猜数游戏，引入新课。
我能猜出你心中想的数，想不想试一试？每个同学想一个数，写在卡片上。
按照我给你的游戏规则运算一下。
你只要告诉我运算结果，我就能猜出你们纸上所写的数。
规则：想一个数；把这个数减去1；再乘以2；最后加上4；告诉老师结果。
你们的心思我都知道。
刚才都是老师在猜你们想的数，其实你们也能猜出我所想的数。
只要根据一定的规则，你们保证也能行。
想不想学学这个本领？二、结合树状图，理解逆推的思想方法。
1.多媒体演示：一个数球通过计算通道后显示的数是55，你能猜猜这个数是几吗？2.观察：这个计算盒与正推中出现过的计算盒有什么不同？（知道输出的数，不知道输入的数，要求输入的数。
）3.正推可以把数球上的数从进口按顺序计算到出口就行了，现在数球上的数不知道，怎么办呢？（学生讨论，发散思维，各抒己见）4.我们可以用树状算图来表示原来输入的计算过程。
（师在黑板上先放上卡片○？）5.小组学习，摆出树状算图。
（黑板上演示）6.小组讨论：根据树状算图，你准备先求哪个数？（引导学生仔细观察树状图，懂得已知两个数才能求第三个数，从而得出由下而上的计算过程。
）7.大组交流，多媒体辅助演示。
通过输出的数55，求出数球在B处的数：（媒体闪烁）55＋23=78 （板书）说说用加法的依据：被减数=差＋减数（板书）知道B处的数78，可以求出A处的数：（媒体闪烁）78÷6=13 （板书）说说用除法的依据：一个因数=积÷另一个因数（板书）数球进入通道时的数又如何算？（媒体闪烁）13－5=8 （板书）说说用减法的依据：加数=和－另一个加数（板书）8.这种倒过来想的方法就是我们今天学习的逆推。
2023-2024学年四年级上学期数学4.4逆推（教案）教学内容本节课是《数学》四年级上册第四章第四节的课程，主题为“逆推”。
学生将在本节课中学习如何利用逆推法解决数学问题，即从问题的结果出发，逆向推理出问题的条件。
通过本节课的学习，学生将掌握逆推的基本思路和方法，并能将其应用于实际问题的解决中。
教学目标1. 知识与技能：使学生理解逆推的概念，掌握逆推的方法，并能够运用逆推解决实际问题。
2. 过程与方法：通过具体案例的分析，培养学生逆向思维的能力，提高学生解决问题的策略。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生独立思考和合作交流的习惯。
教学难点逆推法的理解和应用是本节课的教学难点。
学生需要克服传统的正向思维习惯，学会从结果出发，逆向推理出问题的条件。
此外，如何引导学生将逆推法应用于解决实际问题，也是教学过程中需要重点关注的问题。
教具学具准备1. 教具：PPT课件，用于展示逆推法的概念、方法和案例。
2. 学具：练习册，用于学生进行课堂练习和课后作业。
教学过程1. 导入：通过一个简单的逆推问题，引起学生的兴趣，激发学生的学习动机。
2. 新课导入：介绍逆推的概念，讲解逆推的方法，并通过具体案例展示逆推的应用。
3. 案例分析：分析几个典型的逆推问题，引导学生理解逆推的思路和方法。
4. 课堂练习：学生分组进行课堂练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
5. 总结：总结逆推法的要点，强调其在解决问题中的应用价值。
6. 课后作业布置：布置相关的逆推问题，要求学生在课后独立完成。
板书设计1. 逆推2. 内容：逆推的概念、方法、案例、课堂练习、课后作业等。
作业设计1. 基础题：设计一些简单的逆推问题，帮助学生巩固逆推的基本方法。
2. 提高题：设计一些稍微复杂的逆推问题，培养学生逆向思维的能力。
3. 拓展题：设计一些与实际生活相关的逆推问题，引导学生将逆推法应用于解决实际问题。
课后反思本节课通过具体的案例和练习，使学生掌握了逆推的基本方法，并能够将其应用于解决实际问题。
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法． 【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？ 【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加． 依次类推可以列出下表： 经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子．【答案】144【例 2】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？ 【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后树上有89条树枝．【答案】89【例 3】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答例题精讲教学目标7-6-4.计数之递推法【解析】 登 1级 2级 3级 4级 ...... 10级1种方法 2种 3种 5种 ...... ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A 0，那么登了1级的位置是在A 1，2级在A 2... A 10级就在A 10．到A 3的前一步有两个位置；分别是A 2 和A 1 ．在这里要强调一点，那么A 2 到A 3 既然是一步到了，那么A 2 、A 3之间就是一种选择了；同理A 1 到A 3 也是一种选择了．同时我们假设到n 级的选择数就是An ．那么从A 0 到A 3 就可以分成两类了：第一类：A 0 ---- A 1 ------ A 3 ，那么就可以分成两步．有A 1×1种，也就是A 1 种；(A 1 ------ A 3 是一种选择)第二类：A 0 ---- A 2 ------ A 3， 同样道理 有A 2 ．类类相加原理：A 3 = A 1 ＋A 2，依次类推An = An -1 + An -2．【答案】89【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 登 1级 2级 3级 4级 5级 ...... 10级1种方法 1种 2种 3种 4种...... ？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面相隔的两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是28.【答案】28【例 4】 1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法． 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 如果用12⨯的长方形盖2n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，22a =,对于3n ≥，左边可能竖放1个12⨯的，也可能横放2个12⨯的，前者有-1n a 种，后者有-2n a 种，所以-1-2n n n a a a =+,所以根据递推，覆盖210⨯的长方形一共有89种．【答案】89【例 5】 用13⨯的小长方形覆盖38⨯的方格网，共有多少种不同的盖法？ 【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如果用13⨯的长方形盖3n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，21a =,32a =,对于4n ≥，左边可能竖放1个13⨯的，也可能横放3个13⨯的，前者有-1n a 种，后者有-3n a 种，所以-1-3n n n a a a =+,依照这【答案】13【例 6】 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 取1根火柴有1种方法，取2根火柴有2种方法，取3根火柴有4种取法，以后取任意根火柴的种【答案】927【巩固】 一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 取1个苹果有1种方法，取2个苹果有2种方法，取3个苹果有4种取法，以后取任意个苹果的种【答案】81【例 7】 有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 本题可以采用递推法，也可以进行分类讨论，当然也可以直接进行枚举．(法1)递推法．假设有n 枚棋子，每次拿出2枚或3枚，将n 枚棋子全部拿完的拿法总数为n a 种． 则21a =，31a =，41a =．由于每次拿出2枚或3枚，所以32n n n a a a --=+(5n ≥)．所以，5232a a a =+=；6342a a a =+=；7453a a a =+=；8564a a a =+=；9675a a a =+=；10787a a a =+=．即当有10枚棋子时，共有7种不同的拿法． (法2)分类讨论．由于棋子总数为10枚，是个偶数，而每次拿2枚或3枚，所以其中拿3枚的次数也应该是偶数．由于拿3枚的次数不超过3次，所以只能为0次或2次． 若为0次，则相当于2枚拿了5次，此时有1种拿法；若为2次，则2枚也拿了2次，共拿了4次，所以此时有246C =种拿法．根据加法原理，共有167+=种不同的拿法．【答案】7【例 8】 如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答BA AB 1357946821235813213455891【解析】 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法．【答案】89【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由A 房间到达B 房间有多少种方法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 斐波那契数列第八项．21种．【答案】21【例 9】 如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 按照蜜蜂只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房的原则，运用标号法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有296种不同的回家方法．【答案】296【例 10】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止．问经过9次操作变为1的数有多少个？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 可以先尝试一下，倒推得出下面的图：2410131112514302831643215167683421其中经1次操作变为1的1个，即2， 经2次操作变为1的1个，即4， 经3次操作变为1的2个，是一奇一偶，以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是一奇一偶，每个奇数变为一个偶数，于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，…这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过n 次操作变为1的数的个数为n a ,则1a =1，2a =1，3a =2，… 从上面的图看出，1n a +比n a 大.一方面，每个经过n 次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过1n +次操作变为1；反过来，每个经过1n +次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n 次操作变为1的数. 所以经过n 次操作变为1的数与经过1n +次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是n a ,因此后者也是n a 个. 另一方面，每个经过n 次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过1n +次操作变为1，反过来.每个经过1n +次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n 次操作变为1. 所以经过n 次操作变为1的偶数经过1n +次操作变为1的奇数恰好一样多. 而由上面所说，前者的个数就是1n a -,因此后者也是1n a -.经过n +1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以11n n n a a a +-=+，即上面所说的规律的确成立.【答案】34【例 11】 有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分，只考虑石子个数） 【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如果没有剩下的不能使质数这个条件，那么递推方法与前面学过的递推法相似，只不过每次都是前面3个数相加．现在剩下的不能是质数个，可以看作是质数个的取法总数都是0，然后再进行递推．【答案】25【巩固】有20个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有 种不同的方法取完这堆棋子. 【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空【解析】 把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成一串，用递推法把所有的方法数写出来：【答案】54【例 12】 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？ 【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 设第n 次传球后，球又回到甲手中的传球方法有n a 种．可以想象前1n -次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有11333333n n --⨯⨯⨯=()个…(种)传球方法．这些传球方法并不是都符合要求的，它们可以分为两类，一类是第1n -次恰好传到甲手中，这有1n a -种传法，它们不符合要求，因为这样第n 次无法再把球传给甲；另一类是第1n -次传球，球不在甲手中，第n 次持球人再将球传给甲，有n a 种传法．根据加法原理，有11133333n n n n a a ---+=⨯⨯⨯=(个…)．由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以10a =．利用递推关系可以得到：2303a =-=，33336a =⨯-=，4333621a =⨯⨯-=，533332160a =⨯⨯⨯-=．这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种． 本题也可以列表求解．由于第n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第1n +次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种．从表中可以看出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种．【答案】60【巩固】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中．问：共有多少种传球方式？ 【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 递推法．设第n 次传球后球传到甲的手中的方法有n a 种．由于每次传球有4种选择，传n 次有4n 次可能．其中有的球在甲的手中，有的球不在甲的手中，球在甲的手中的有n a 种，球不在甲的手中的，下一次传球都可以将球传到甲的手中，故有1n a +种．所以14n n n a a ++=．由于10a =，所以12144a a =-=，232412a a =-=，343452a a =-=．即经过4次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有52种．【答案】52【例13】设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到E的方法总数为种．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空【关键词】清华附中【解析】可以使用递推法．回到A跳到B或H跳到C或G跳到D或F停在E 1步 12步 2 13步 3 14步 6 4 25步10 46步20 14 87步34 148步68 48 289步116 48其中，第一列的每一个数都等于它的上一行的第二列的数的2倍，第二列的每一个数都等于它的上一行的第一列和第三列的两个数的和，第三列的每一个数都等于它的上一行的第二列和第四列的两个数的和，第四列的每一个数都等于它的上一行的第三列的数，第五列的每一个数都等于都等于它的上一行的第四列的数的2倍．这一规律很容易根据青蛙的跳动规则分析得来．所以，青蛙第10步跳到E有48296⨯=种方法．【答案】96【巩固】在正五边形ABCDE上，一只青蛙从A点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D点上就停止跳动．青蛙在6次之内(含6次)跳到D点有种不同跳法．【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】填空ABEC D【解析】采用递推的方法．列表如下：跳到A跳到B跳到C停在D跳到E1步 1 12步 2 1 13步 3 1 24步 5 3 25步8 3 56步13 8 5其中，根据规则，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D点上就停止跳动．所以，每一步跳到A 的跳法数等于上一步跳到B 和E 的跳法数之和，每一步跳到B 的跳法数等于上一步跳到A 和C 的跳法数之和，每一步跳到C 的跳法数等于上一步跳到B 的跳法数，每一步跳到E 的跳法数等于上一步跳到A 的跳法数，每一步跳到D 的跳法数等于上一步跳到C 或跳到E 的跳法数． 观察可知，上面的递推结果与前面的枚举也相吻合，所以青蛙在6次之内(含6次)跳到D 点共有1123512++++=种不同的跳法．【答案】12【例 14】 有6个木箱，编号为1，2，3，……，6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种． 【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，决赛【解析】 (法1)分类讨论．如果1，2号箱中恰好放的就是1，2号箱的钥匙，显然不是“好”的方法，所以“好”的方法有两种情况：⑴1，2号箱的钥匙恰有1把在1，2号箱中，另一箱装的是3～6箱的钥匙． ⑵1，2号箱的钥匙都不在1，2号箱中．对于⑴，从1，2号箱的钥匙中选1把，从3～6号箱的钥匙中选1把，共有248⨯=(种)选法，每一种选法放入1，2号箱各有2种放法，共有8216⨯=(种)放法．不妨设1，3号箱的钥匙放入了1，2号箱，此时3号箱不能装2号箱的钥匙，有3种选法，依次类推，可知此时不同的放法有3216⨯⨯=(种)． 所以，第⑴种情况有“好”的方法16696⨯=(种)．对于⑵，从3～6号箱的钥匙中选2把放入1，2号箱，有4312⨯=(种)放法．不妨设3，4号箱的钥匙放入了1，2号箱．此时1，2号箱的钥匙不可能都放在3，4号箱中，也就是说3，4号箱中至少有1把5，6号箱的钥匙．如果3，4号箱中有2把5，6号箱的钥匙，也就是说3，4号箱中放的恰好是5，6号箱的钥匙，那么1，2号箱的钥匙放在5，6号箱中，有224⨯=种放法；如果3，4号箱中有1把5，6号箱的钥匙，比如3，4号箱中放的是5，1号箱的钥匙，则只能是5号箱放6号箱的钥匙，6号箱放2号箱的钥匙，有212⨯=种放法；同理，3，4号箱放5，2号箱或6，1号箱或6，2号箱的钥匙，也各有2种放法． 所以，第⑵种情况有“好”的放法()1242222144⨯++++=(种)． 所以“好”的方法共有96144240+=(种)．(法2)递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为1k ，2k ，3k ，…，6k ．当箱子数为n (2n ≥)时，好的放法的总数为n a ．当2n =时，显然22a =(11k =，22k =或12k =，21k =)．当3n =时，显然33k ≠，否则第3个箱子打不开，从而13k =或23k =，如果13k =，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有2a 种；当23k =也是如此．于是2n =时的每一种情况对应13k =或23k =时的一种情况，这样就有3224a a ==．当4n ≥时，也一定有n k n ≠，否则第n 个箱子打不开，从而1k 、2k 、……、1n k -中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n 号箱子看作1个箱子，于是还是锁着1k 、2k 、……、1n k -这()1n -把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有1n a -种．所以()11n n a n a -=-． 所以，6542554543225!240a a a a ==⨯==⨯⨯⨯=⨯=，即好的方法总数为240种．【答案】240【巩固】有10个木箱，编号为1，2，3，……，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好．先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种． 【考点】计数之递推法 【难度】5星 【题型】填空【解析】 递推法．设第1，2，3，…，6号箱子中所放的钥匙号码依次为1k ，2k ，3k ，…，6k ．当箱子数为n (2n ≥)时，好的放法的总数为n a ．当2n =时，显然22a =(11k =，22k =或12k =，21k =)．当3n =时，显然33k ≠，否则第3个箱子打不开，从而13k =或23k =，如果13k =，则把1号箱子和3号箱子看作一个整体，这样还是锁着1，2两号钥匙，撬开1，2两号箱子，那么方法有2a 种；当23k =也是如此．于是2n =时的每一种情况对应13k =或23k =时的一种情况，这样就有3224a a ==．当4n ≥时，也一定有n k n ≠，否则第n 个箱子打不开，从而1k 、2k 、……、1n k -中有一个为n ，不论其中哪一个是n ，由于必须要把该箱子打开才能打开n 号箱子，所以可以将锁着这把钥匙的箱子与第n 号箱子看作1个箱子，于是还是锁着1k 、2k 、……、1n k -这()1n -把钥匙，需要撬开1，2两号箱子，所以每种情况都有1n a -种．所以()11n n a n a -=-． 所以，109829989876543229!=725760a a a a ==⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯，即好的方法总数为725760种．【答案】725760。
