北京市顺义区2020届高三第二次统练数学试题

2020年北京市顺义区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 43.在等比数列{a n}中，若，a4=-4，则a7=（）A. 32B. 16C. 8D.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.过原点作圆的两条切线，则这两条切线所成的锐角为（）A. B. C. D.6.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（）A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥βB. 若m∥α，n⊥α，则m⊥nC. 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD. 若m∥α，n∥α，则m∥n．7.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A. M1，M2B. M2，M3C. M1，M4D. M3，M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.设双曲线C经过点（4，0），且与双曲线具有相同渐近线，则C的方程为______；渐近线方程为______．12.已知α为锐角，，则=______．13.“当c＞1时，能使不等式log a c＞log b c”成立的一组正数a，b的值依次为______．14.F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，P是C上的任意一点．则|PF1|•|PF2|的最大值为______，若，则|AP|-|PF2|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共79.0分）15.在△ABC中，b=8，c=3，．（Ⅰ）求a及sin C的值；（Ⅱ）求BC边上的高．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ADC=90°，M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角M-BC-D的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM与平面PAB的是否平行，并说明理由．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市，，，，五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.752.562.361.058.81988年54.248.351.955.452.61998年44.741.643.549.047.42008年37.936.529.241.342.72018年28.627.719.835.734.2（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有极小值2，求a．19.已知M，N为抛物线C：y2=4x上两点，M，N的纵坐标之和为4，O为坐标原点．（Ⅰ）求直线MN的斜率；（Ⅱ）若点B（-2，0）满足∠OBM=∠OBN，求此时直线MN的方程．20.在数列{a n}中，若a n2-a n-12=D（n≥2，n∈N*，D为常数），则称{a n}为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，写出b3，b4的值；（Ⅱ）如果一个公比为q的等比数列为“平方等差数列”，求证：q=±1；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{c n}满足c1=2，c2=2＞0，设数列的前n项和为T n．是否存在正整数p，k，使不等式T n＞-1对一切n∈N*都成立？若存在，求出p，k的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.答案：B解析：解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．3.答案：A解析：解：数列{a n}是等比数列，所以，所以==32．故选：A．根据等比中项的性质，即可得到结果．本题考查了等比中项的性质，属基础题．4.答案：D解析：解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.答案：C解析：解：由得x2+（y-6）2=9，易求得两条切线方程为y=±，这两条切线所成的锐角为，故选：C．把圆的方程化成直角坐标方程后求得两条切线方程，可得它们所夹的锐角．本题考查了圆的参数方程，属基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，属于中档题．根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断即可．【解答】解：对于A，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B，若m∥α，则存在直线b⊂α，使得m∥b，由n⊥α可知n⊥b，所以m⊥n，故B正确；对于C，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交，或m，n为异面直线，故D错误．故选：B．7.答案：B解析：【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.答案：D解析：解：对于M 1，取点（0，1），假设存在（x，y）∈M1满足0+y=0，解得y=0，而y=x2+1≥1，矛盾，因此不满足条件．对于M2，取点（1，0），假设存在（x，y）∈M2满足x+0=0，解得x=0，而函数y=ln x的定义域为{x|x＞0}，矛盾，因此不满足条件．对于M3，假设∀取点A（x1，y1）∈M3，∃B（x2，y2）∈M3，使得x1x2+y1y2=0成立，即k OA•k OB=-1．结合图象即可得出，正确．对于M4，画出图象，同理可得：正确．只有M3，M4正确．故选：D．集合M={（x，y）|y=f（x）}，对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，称集合M是“互垂点集”．利用此定义即可判断出正误．本题考查了新定义、数形结合方法、举例法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：1+i解析：解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.答案：60°解析：解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.答案：y=±x解析：解：双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为：=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（4，0），∴m=4，即双曲线方程为，对应的渐近线方程为y=±x，故答案为：，y=±x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12.答案：-解析：解：∵α为锐角，且，∴cos=．∴=-sinα=-2sin=．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式求得cos，再由诱导公式及倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．13.答案：（2，）解析：解：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lg c＞0，所以，则a，b可依次取2，，故答案为：（2，）．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lg c＞0，所以，则a，b可依次取2，，得解．本题考查了对数不等式的解法，属简单题．14.答案：9 4解析：解：∵P点在椭圆C：上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=9，∴|PF1|•|PF2|有最大值9，如图，连接AF1，AF2，|AP|-|PF2|的最小值在如图所示的位置，此时AP比较小，|PF2|比较大，|AF1|是定值．|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6-|PF2|，|AF1|=|AP|+|PF1|==10，|AP|=10-|PF1|=10-6+|PF2|=4+|PF2|则|AP|-|PF2|的最小值为4．故答案为：9；4．利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值2a，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值；画出图形利用椭圆的定义转化求解|AP|-|PF2|的最小值．本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．15.答案：（本题满分为13分）【解答】解：（Ⅰ）∵b=8，c=3，，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=82+32-2×=49，…4分∴a=7，…6分∴由正弦定理，可得：sin C===…8分（Ⅱ）在△ABC中，BC边上的高为b sin C=8×=…13分解析：【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得a的值，根据正弦定理可求sin C的值．（Ⅱ）由已知可求BC边上的高为b sin C，即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的定义，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：（I）证明：∵∠ADC=90°，∴AD⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PCD．（II）解：取CD的中点O，连接PO，OB．∵△PCD是等边三角形，∴PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO⊥平面ABCD，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=DO，∴四边形ABOD是正方形，故OB⊥CD，以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），M（0，-，），∴=（0，-，），=（1，-1，0），设=（x，y，z）为平面MBC的一个法向量，则，∴，令x=1可得=（1，1，）．又OP⊥平面ABCD，故=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞===．∴二面角M-BC-D的余弦值为．（III）∵AB∥CD，∴CD∥平面PAB，假设CM∥平面PAB，则平面PCD∥平面PAB，显然与P是平面PCD和平面PAB的公共点矛盾．故假设不成立，所以直线CM与平面PAB的不平行．解析：（I）根据面面垂直的性质即可得出结论；（II）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；（III）假设线CM与平面PAB平行，结合CD∥平面PAB可得平面PCD∥平面PAB，得出矛盾．本题考查了面面垂直的性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，X123P------------------------------------------（11分）（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223解析：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以，（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，，然后写出分布列；（Ⅲ）先列一个表格，再根据表格可得．本题考查了离散型随机变量及其分布列，属中档题．18.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，------------------------------------------（1分）又，------------------------------------------（3分）所以------------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0------------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），--------------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以不存在极小值------------------------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得------------------------------------------（9分）xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（11分）所以=，所以=2解得a=2（舍负）------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）利用已知条件求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）求出导函数，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值．推出a．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．19.答案：解：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），则依题意可知：相减可得：即（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）又y1+y2=4，所以，即直线MN的斜率为1．------------------------------------------（4分）（II）由（I）知直线MN的斜率为1，所以可设直线MN的方程为y=x+a讨论：当（1）M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM+k BN=0，---------------------（6分）又所以即--------------------（7分）又y1=x1+a，y2=x2+a，所以（x1+a）（x2+2）+（x2+a）（x1+2）=0，化简得2x1x2+（a+2）（x1+x2）+4a=0 ①---------------------（8分）联立方程组消去y得x2+（2a-4）x+a2=0，所以x1+x2=4-2a，---------------------（12分）代入①式可得a=-2所以直线MN的方程为y=x-2--------------------（13分）（2）当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM=k BN即直线MN过点B，所以此时直线方程为y=x+2，经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去--------------------（14分）综上可知：直线MN的方程为y=x-2．解析：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），则依题意可知：相减可得直线MN的斜率．（II）由（I）知直线MN的斜率为1，所以可设直线MN的方程为y=x+a．讨论：当（1）M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM+k BN=0，得2x1x2+（a+2）（x1+x2）+4a=0（1）联立方程组消去y利用韦达定理，代入（1）式可得a=-2得到直线MN的方程．（2）当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧时，验证即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．20.答案：解：（Ⅰ）由题意，可知：∵{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，∴D==22-12=3．∴，．∴，．（Ⅱ）由题意，可设：数列{a n}是公比为q的等比数列，∴所以，（q为公比且q≠0）．∴，n∈N*．又∵数列{a n}为“平方等差数列”，∴．∵D为与n无关的一个常数．∴q2=1，∴q=1或q=-1．（Ⅲ）由题意，可知：∵数列{c n}是“平方等差数列”，，∴D==4，∴∴，n∈N*．∴，n∈N*．∴数列的前n项和．由题意，可假设存在正整数p，k使不等式对一切n∈N*都成立．即：对一切n∈N*都成立．①当n=1时，化简上式，可得：，整理，得：．又∵p，k为正整数，∴p=k=1．②当n≥2时，可猜想：对一切n≥2都成立．下面证明：对一切n∈N*都成立．∵=，（n∈N*）．∴＞2[]=．∴存在p=k=1使不等式对一切n∈N*都成立．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题意及b1=1，b2=2算出常数D，然后根据b2及递推式算出b3，再根据b3及递推式算出b4；第（Ⅱ）题可设一个等比数列{a n}为“平方等差数列”，然后根据等比数列的通项公式代入题干中的递推式，然后根据D为与n无关的一个常数，可得出q的值；第（Ⅲ）题先根据题意算出T n的表达式，然后先思考n=1时是否存在正整数p，k，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题第（Ⅰ）题主要考查对新定义数列的理解能力，然后代值进行计算；第（Ⅱ）题主要考查等比数列的概念及新定义数列的理解能力；第（Ⅲ）题主要考查先思考n=1时的结论，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题是一道偏难题．。

2022年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷1.函数的定义域为( )A.B.C.D.2.如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数( )A.B.C.D.3.的展开式中的常数项是( )A.B. 15C.D. 304.已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C 的一条渐近线方程为( )A.B. C. D.5.设等比数列的前n 项和为，公比为若则( )A. 8B. 9C. 18D. 546.为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．该样本数据的分位数大约是( )A. 220B. 224C. 228D. 2307.在中，，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要件8.已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数k的值为( )A. B. C. D.9.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则的最小值是( )A. 2B.C.D.10.如图，设E，F分别是长方体棱CD上的两个动点，点E在点F的左边，且满足，有下列结论：①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面其中，所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④11.已知集合，，则______.12.已知函数，若，则______.13.已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直抛物线准线于点若为等边三角形，则点M的横坐标为______，的面积是______.14.已知是定义在R上的函数，其值域为，则可以是______写出一个满足条件的函数表达式即可15.向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：①集合是“凸集”；②若S为“凸集”，则集合也是“凸集”；③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．其中，所有正确的命题的序号是______.16.已知函数求在区间上的最大值和最小值；设，求的最小正周期．17.如图，在正方体中，E为的中点．过点作出一条与平面ACE平行的直线，并说明理由；求直线与平面ACE所成角的正弦值．18.为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的班班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测．经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数：若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；若从以上统计的高一班的10名学生中抽出2人，设X表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀…，写出方差，，，的大小关系不必写出证明过程19.已知椭圆过定点，离心率求椭圆C的标准方程；斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值及此时直线AB的方程．20.若函数判断方程解的个数，并说明理由；当，设，求的单调区间．21.设正整数数列满足…若，请写出所有可能的取值；记集合，证明：若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数；若为周期数列，求所有可能的取值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，解得，函数的定义域是故选：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由图可得，复数z对应的点为，则，故故选：根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，有，要求常数项，必有，则，故常数项为，故选：根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则，将代入二项展开式计算可得答案．本题考查二项式定理的应用，应该牢记二项展开式的通项公式．4.【答案】A【解析】解：双曲线的一个焦点为，可得，所以，双曲线C的一条渐近线方程为：，故选：利用双曲线的焦点坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：等比数列的前n项和为，公比为，，，，，是等比数列，，，解得或，若，则，，，若，则，，，不满足题意，舍去，故故选：对通过赋值，结合数列是等比数列，求出q，即可求出本题考查等比数列的第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由直方图的性质可得：，解得，由已知，设该样本数据的分位数大约是a，由，解得，故选：由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出x的值，然后设出样本数据的分位数为a，根据题意列出等量关系，求解即可．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的估计，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由正弦定理得，，当时，，由可得，故或，当时，，故“”是“”的必要不充分条件．故选：由已知结合正弦定理及三角形大边对大角分别检验充分性及必要性即可判断．本题主要考查了充分必要条件的判断，正弦定理及三角形大边对大角的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：圆心到直线的距离为，由弦长公式知，，，解得，故选：先由点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再由弦长公式，即可得解．本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：建立如图坐标系，则：，，，，时，取最小值故选：可建立坐标系，写出向量的坐标，进而求出的坐标，从而得出，然后配方即可求出最小值．本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法和数乘运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：与显然不垂直，而，因此与EF显然不垂直，从而平面是错误的，①错；，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，EF的长不变，到EF的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；平面就是平面，而与平面相交，③错；长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．故选：根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．本题考查面面垂直，考查学生的推理能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：，故答案为：直接进行集合运算即可得解．本题考查集合基本运算，属基础题．12.【答案】4【解析】解：函数，，，，故答案为：求出，，从而本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：设点，抛物线的准线为，焦点坐标为，由题意可知，因为为等边三角形，所以有，因此有，，所以点M的横坐标为；因此，因此的面积是故答案为：3；利用等边三角形的性质，结合抛物线的定义，两点间距离公式进行求解即可．本题考查抛物线的几何性质，属中档题．14.【答案】【解析】解：结合已知基本初等函数，满足条件故答案为：结合指数函数的性质即可直接求解．本题主要考查了基本初等函数性质的应用，属于基础题．15.【答案】①②④【解析】解：由题意得，若对于任意，，线段AB上任意一点C，都有，则集合S是“凸集”，由此对结论逐一分析：对于①，，若对于任意，满足，，则，，由函数的图象知，对线段AB上任意一点，都有，即，故M为“凸集”，①正确；对于②，若S为“凸集”，则对于任意，，此时，，其中，，对于任意，，故N为“凸集”，②正确；对于③，可举反例，若，，易知，都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误对于④，若，都是“凸集”，则对于任意，，任意，则，且，故，故也是“凸集”，故④正确．故答案为：①②④．理解新定义，对结论逐一判断．本题属新概念题，考查了学生推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．16.【答案】解：由得，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为；，故函数的最小正周期【解析】由已知结合正弦函数的值域即可求解；先结合和差角及二倍角，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求．本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的周期公式及最值的应用，属于基础题．17.【答案】解：连接，则平面ACE，理由如下：连接AC、BD，交于点O，连接OE，因为是正方体，所以O是BD中点，又因为E为的中点，所以，又因为平面ACE，平面ACE，所以平面建系如图，不妨设，，，，，，令，因为，，所以是平面ACE的一个法向量，因为，所以，所以直线与平面ACE所成角的正弦值为【解析】连接、AC、BD，因为O是BD中点，E为的中点，所以，再根据直线与平面平行的判定定理说明即可；用向量数量积计算直线与平面ACE所成角的正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．18.【答案】解：抽取的80人中，身体素质监测成绩达到优秀的有人，故从高一年级学生中任意抽测1人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率由散点图可知，高一班的10名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的有4人，X所有可能取值为0，1，2，，，，故X的分布列为：X 0 1 2P故，，则，，，则，，，则，，，则，故【解析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．根据已知条件，结合两点分布的期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望和方差公式，属于中档题．19.【答案】解：依题意可得，所以可解得，，，所以椭圆C的标准方程为设直线AB的方程为，，，联立方程组，消去y得，化简得，所以，，即，所以，又原点O到直线AB的距离，所以，当且仅当即时取等号，所以，面积的最大值为1，此时直线AB的方程为【解析】由题意得出a，b，c后写标准方程；待定系数法设直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理表示弦长与面积，转化为函数求最值．本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的最值与范围问题，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：，令，解得：，故在递减，递增，且，故仅有一个实数解；当时，，，令，解得：或，当时，，此时令，解得：或者，故的单调增区间为：，，单调减区间为，当时，令时，解得或者，故的单调增区间为R，无单调减区间，综上所述：当时，的单调增区间为：，，单调减区间为，当时，单调增区间为R，无单调减区间．【解析】对函数求导后直接判断出函数单调性从而得出函数在处取得极值1，从而判断函数的解得个数；对函数求导，根据未知数的不同范围判断函数单调增减区间．本题主要考查函数单调性的求解，及根据未知数范围判断函数单调性．21.【答案】解：若，可得，，；证明：如果存在正整数，满足是3的倍，则对，都是3的倍数；如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；综上所述，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数；证明：首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为t，下证或3；当t为偶数时，设，则，与t是最小值矛盾；所以t是奇数；不妨设，则是偶数，，假设，则，与t是最小值矛盾；综上，t只能是小于5的正奇数，即1或3；当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；经检验，当时，数列确实是周期数列．【解析】由条件易求所有可能的取值；如果存在正整数，满足是3的倍，则对，都是3的倍数；由已知可得可知也是3的倍数，另一方面，当时，由于，可知也是3的倍数，可得结论；首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为t，下证或3；利用分类讨论可得或3；从而可求本题考查了数列递推关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B ．3C ．12D ．2 【答案】B【解析】【分析】【详解】设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =，所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+，所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得3sin 3θ=（负值舍去）， 所以椭圆Г的离心率33e =．故选B ． 2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π 【答案】C【解析】【分析】 设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得3R =， 所以该球的体积为334433633V R πππ==⨯⨯= . 故选：C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 3．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D【解析】【分析】 设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】设2m a b =+r r r ，则2m =r， []22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r ，，， ∴（14a m -rr ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r r r 21m r配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r r r ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦rr ，， 又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+r r r r r r 则a ∈r [0，2]．故选：D ．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 4．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．58 B ．34 C ．54 D ．52【答案】C【解析】【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32n n a -的通项公式，可计算出n a ，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-， 因为14a =也适合上式，所以432n a n =-. 依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L .本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.【详解】 {}n a 为等比数列，若1322a a a +<成立，有()21201q a q -+<， 因为2210q q -+≥恒成立，故可以推出10a <且1q ≠，若210n S -<成立，当1q =时，有10a <，当1q ≠时，有()211101n a q q --<-，因为21101n q q-->-恒成立，所以有10a <， 故可以推出10a <，q ∈R ，所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.6．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3. 只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 7．设m u r ，n r 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅>u r r”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．充分不必要条件【分析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n o u r r =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n o o u r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=u r r m n ，则,0m n o u r r =，cos00m n m n m n o u r r u r r u r r ⋅==>，得证；必要性：若0m n ⋅>u r r ，则),0,90m n o o u r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，故不成立； 所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 8．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318 B ．1318或1936 C ．139 D ．136【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-， 所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅. 故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.9．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A【解析】【分析】 根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容．【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3…观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1．故选：A ．【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．10．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( )A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a ．∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+,∴()()1111a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩， 解得1a ＝﹣10，d ＝3，∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种【答案】D【解析】【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 12．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈【答案】A【解析】【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值.【详解】 由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12x g x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

顺义区2024年高三第二次质量监测数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A = A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为 A.80− B.40− C.40 D.804. 已知4log 2a =，e1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ， 则9S = A.511 B.61 C.41 D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.87. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值； ③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ； ④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形， 其中，不正确．．．的是 A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+−，则λ的值是A.23B.12C.14 D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥−，则122367||||||a a a a a a −+−++−的最大值是A.23B.21C.20D.18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。