北京市顺义区2020届高三第二次统练数学试题参考答案
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数学参考答案及评分参考 第 1 页（共 8 页）顺义区2020届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2（12）1,N n a n n *=+∈（13）sin(2)3y x π=+（14）1a =± （15）②③注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）解：选①：在ABC ∆中，1cos 3C =,根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分∵1cos 3C =00数学参考答案及评分参考 第 2 页（共 8 页）∴sin C =-------------12分 所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分选②：在ABC ∆中，1cos 3C =-,当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解. ------------- 12分所以这样的三角形不存在. -------------14分选③：在ABC ∆中，因为sin C =所以1cos 3C =±. -------------2分 当1cos 3C =时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分 且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = -------------8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------12分当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 8 页）又5a b +=，3c =，得到12ab =,此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解.所以这样的三角形不存在. ------------- 14分③法二：在ABC ∆中，因为2222()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,得到cos 0C > ------------- 2分因为sin 3C =所以1cos 3C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------12分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分17. （共14分）解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 8 页）（II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r =311-∴平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角余弦值为311-------------14分 18.（本题15分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分 所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 8 页）为6000.8480⨯=人 -------------4分 （II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人 -------------6分 X 的可能值为：0,1,234361(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,2124361(2)5C C P x C === -------------9分 ∴的分布列为：∴X 的数学期望为()0121555E x =⨯+⨯+⨯= -------------12分(III) D D <甲乙 -------------15分 19.（本题14分）（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分 所求切线方程为1y x =+ ---------------5分 （II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2xe a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x-'=， ---------------8分 令()0g x '=得1x =数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 8 页）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g = ． ------------------11分所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分 分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=， 所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =． 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分 由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分数学参考答案及评分参考 第 7 页（共 8 页）（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分（II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k-⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x +同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r-------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++=222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分数学参考答案及评分参考 第 8 页（共 8 页）解：（I ）14d =，25d =，32d =． ----------------3分（II ）因为10a >，公比01q <<， 所以 12,,,n a a a L 是递减数列．因此，对1,2,,1i n =-L ，1,i i i i A a B a +==． ----------------5分 于是对1,2,,1i n =-L ，1i i i i i d B A a a +=-=-11(1)i a q q -=-． ----------------7分因此 0i d ≠ 且1i id q d +=（1,2,,2i n =-L ）， 即121,,,n d d d -L 是等比数列． ----------------9分(III) 设d 为121,,,n d d d -⋅⋅⋅的公差，则0d >对12i n -≤≤，因为1i i B B +≥，所以1111i i i i i i i i i i A B d B d B d d B d A ++++=-≤-=--<-=，即1i i A A +< ------------11分 又因为11min{,}i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=<≤．从而121,,,n a a a -L 是递减数列．因此i i A a =（1,2,,1i n =-L ）．----------------12分 又因为111111++B A d a d a ==>，所以1121n B a a a ->>>>L ． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -====L ． i i i i n i a A B d a d ==-=-． 因此对1,2,,2i n =-L 都有1+1i i i i a a d d d +-=-=-，即121,,,n a a a -L 是等差数列． ----------------14分。
