数学模型应用问题(讲义和习题)含答案

专题：函数模型的应用1.超市以每千克40元的价格购进夏威夷果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种夏威夷果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价多少元？2.如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h(单位：m)与下行时间x(单位：s)之间具有函数关系h＝－310x＋6，乙离一楼地面的高度y(单位：m)与下行时间x(单位：s)的函数关系如图②所示．(1)求y关于x的函数解析式；(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．3.某智能品牌店，在销售某型号运动手环时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号运动手环8个与将标价直降100元销售7个获利相同.（1）求该型号运动手环的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号运动手环的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出38个；若每个运动手环每降价20元，每月可多售出2辆，求该型号运动手环降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？4.一水果店以进价为每千克16元购进万荣苹果，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（千克），每天获利为w（元）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；该苹果售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果商家规定这种苹果每天的销售量不低于40千克，求商家每天销售利润的最大值是多少元？5.挂灯笼成为我国的一种传统文化. 小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？6.甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg.在乙批发店，一次购买数量不超过50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50 kg时，其中有50 kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x kg(x＞0)．(Ⅰ)根据题意填表：(Ⅱ)设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；(Ⅲ)根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为________kg；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．7.某工厂计划生产甲乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元，设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元)．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨，受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．8.某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x元．每个月的销售为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？9.某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x 之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；(2)设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p (万台)，p 与x 的关系可以用p ＝12x ＋12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？10. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w (元)的三组对应值如下表：(1)①求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件(m >0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值．参考答案1. 解：(1)设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， ∵当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140；∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100.∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100； (2)由题意得(60－40－x )(10x ＋100)＝2090， 整理得x 2－10x ＋9＝0， 解得x 1＝1，x 2＝9. ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x ＝9，答：超市要想获利2090元，则这种夏威夷果每千克应降价9元．2. 解：(1)设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把点(0，6)(15，3)代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧6＝b ，3＝15k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－15，b ＝6，∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－15x ＋6；(2)甲：当h ＝0时，得x ＝20.乙：当y＝0时，得x＝30.∵20＜30，∴甲先到达一楼地面．3.解：(1)设该型号运动手环的进价为x元，根据题意得[(1＋50%)x×0.9－x]×8＝[(1＋50%)x－100－x]×7，∴x＝1000，∴(1＋50%)x＝1500元，∴该型号运动手环的进价为1000元，标价为1500元；(4分) (2)设该型号运动手环降价y元，利润为w元．根据题意得w＝(38＋y20×2)(1500－1000－y)＝(38＋0.1y)(500－y)＝－0.1(y－60)2＋19360，当y＝60时，w有最大值19360.∴降价60元，每月获利最大，最大利润为19360元．4.解：(1)根据题意得y＝50－5(x－20)＝－5x＋150；(2)根据题意得w＝(x－16)(－5x＋150)＝－5x2＋230x－2400，∴w与x的函数关系式为：w＝－5x2＋230x－2400＝－5(x－23)2＋245.∵－5 <0，∴当x＝23时，w有最大值，最大值为245.(5分)答：w与x之间的函数关系式为w＝－5x2＋230x－2400.该苹果售价定为每千克23元时，每天销售利润最大，最大利润是245元；(3)根据题意得－5x＋150≥40，解得x≤22.∵w＝－5(x－23)2＋245.∵－5＜0，w≤23时，w随x增大而增大，∴当x＝22时w有最大值，其最大值为－5×(22－23)2＋245＝240(元)．答：商家每天销售利润的最大值是240元．5.解：(1)设甲种灯笼进价为x元/对，则乙种灯笼的进价为(x＋9)元/对，由题意得3120 x＝4200 x＋9，解得x＝26，经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，∴x＋9＝26＋9＝35，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①y＝(50＋x－35)(98－2x)＝－2x2＋68x＋1470，答：y与x之间的函数解析式为：y＝－2x2＋68x＋1470；②∵a＝－2<0，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝－b2a＝17，物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴x＋50≤65，∴x≤15，∵x<17时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y最大＝2040.∴15＋50＝65.答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．6.解：(Ⅰ)180，900，210，850；【解法提示】甲批发店花费：当x＝30时，花费为30×6＝180；当x＝150时，花费为150×6＝900.乙批发店花费：当x ＝30时，花费为30×7＝210；当x ＝150时，花费为50×7＋(150－50)×5＝850.(Ⅱ)y 1＝6x (x >0)， 当0<x ≤50时，y 2＝7x ；当x >50时，y 2＝7×50＋5(x －50)，即y 2＝5x ＋100；即y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧7x （0＜x ≤50），5x ＋100（x ＞50）.(Ⅲ)①100；②乙；③甲．【解法提示】①当0＜x ≤50时，甲批发店和乙批发店花费不可能相同，则x ＞50时，令y 1＝y 2，则6x ＝5x ＋100，解得x ＝100；②当x ＝120时，y 1＝6×120＝720，y 2＝5×120＋100＝700，∵720＞700，∴在乙批发店购买花费少；③对甲批发店而言：令y 1＝360，则6x ＝360，解得x ＝60.对乙批发店而言：当x ＝50时，花费为350＜360，则令5x ＋100＝360，解得x ＝52，∵60＞52，∴小王花费360元时，在甲批发店购买数量多．7. 解：(1)y ＝x ·0.3＋(2500－x )·0.4＝－0.1x ＋1000； (2)由题意得x ·0.25＋(2500－x )·0.5≤1000，解得x ≥1000. 又∵x ≤2500， ∴1000≤x ≤2500. 由(1)可知，－0.1<0，∴y 的值随着x 的增加而减小，∴当x ＝1000时，y 取最大值，此时生产乙种产品2500－1000＝1500(吨) 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润． 8. 解：(1)根据题意得y ＝ 100－2(x －60)＝－2x ＋220(60≤x ≤110)；(2)由题意可得：(－2x ＋220)(x －40)＝2250. x 2－150x ＋5525＝0， 解得x 1＝65，x 2＝85.答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元； (3)设利润为W 元，∴W ＝(x －40)(－2x ＋220)＝－2x 2＋300x －8800＝－2(x －75)2＋2450. ∵a ＝－2<0， ∴抛物线开口向下． ∵60≤x ≤110，∴当x ＝75时，W 有最大值，W 最大＝2450(元)．答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元． 9. 解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由图象可知，将点(1，7000)，(5，5000)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7000，5k ＋b ＝5000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－500，b ＝7500，∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－500x ＋7500； (2)设销售收入为W ，根据题意得 W ＝yp ＝(－500x ＋7500)·(12x ＋12)，整理得W ＝－250(x －7)2＋16000，∵－250＜0，∴W 在x ＝7时取得最大值，最大值为16000元， 此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．10. 解：(1)①y ＝－2x ＋200； ②40，70，1800；(2)由题意可知w ＝(－2x ＋200)×(x －40－m )＝－2x 2＋(280＋2m )x －8000－200m ，对称轴为直线x ＝140＋m2，∵m ＞0，∴对称轴x ＝140＋m2＞70，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝65时，y max ＝1400，代入表达式解得m ＝5.。

第二十讲 数学建模【趣题引路】某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元.•因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5m 3污水排出,为了净化环境,工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1:工厂污水先净化处理后再排出,每处理1m 3•污水所有原材料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元;方案2:•工厂将污水排到污水厂统一处理,每处理1m 3污水需付14元排污费.问题:(1)设工厂每月生产x 件产品,每月利润为y 元,分别求出依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式;(2)•设工厂每月生产量为6 000件产品时,你若作为厂长在不污染环境,又节约资金的前提下,•应选用哪种处理污水的方案?请通过计算加以说明. 解析 (1)设选用方案1,每月利润为y 1元,选用方案2,每月利润为y 2元,则: y 1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000, y 2=(50-25)x-14×0.5x=18x. 故y 1=24x-30 000,y 2=18x;(2)当x=6000时,y 1=24×6000-30 000=114 000(元),y 2=18x=18×6000=108 •000(元). ∴y 1>y 2.答:我若作为厂长,应选方案1. 点评本例是生产经营决策问题,其难点在于建立相应的数学模型,构建函数关系式,•然后,通过问题中所给的条件判断,若不能判断,就要进行分类讨论.【知识延伸】例 某工厂有14m 长的旧墙一面,现在准备利用这面旧墙,建造平面图形为矩形,•面积为126m 2的厂房,工程条件为:①建1m 新墙的费用为a 元;②修1m 旧墙的费用为4a元;③拆去1m 旧墙,用所得材料建造1m 新墙的费用为2a元.经过讨论有两种方案:(Ⅰ)利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形厂房一面的边长;(Ⅱ)•矩形厂房利用旧墙的一面边长为x(x ≥14).问:如何利用旧墙,即x 为多少米时,建墙费用最省?(Ⅰ)(Ⅱ)两种方案哪个更好?解析 设利用旧墙的一面矩形边长为xm,则矩形的另一边长为126xm . (Ⅰ)利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形一面边长,则修旧墙费用为x ·4a元,•将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为(14-x)·2a元,其余建新墙的费用为(2x+2126x -14)·a 元.故总费用为y=x ·4a +142x -·a+(2x+252x -14)·a=a(74x+252x-7)=7a(364x x +-1).(0<x<14)∴y ≥364x x -1]=35a.当且仅当364x x=,即x=12m 时,y min =35a(元); (Ⅱ)若利用旧墙的一面矩形边长为x ≥14,则修旧墙的费用为4a ·14=72a 元,建新墙的费用为(2x+252x-14)a 元. 故总费用为y=72a+(2x+252x-14)a=72a+2a(x+126x -7) (x ≥14).设14≤x 1<x 2,则x 1-x 2<0,x 1x 2>196. 则(x 1+1126x )-(x 2+2126x )=(x 1-x 2)(1-12126x x ) ∴函数y=x+126x在区间[14,+∞]上为增函数. 故当x=14时,y min =72a+2a(14+12614-7)=35.5a>35a.综上讨论可知,采用第(Ⅰ)方案,建墙总费用最省,为35a 元.点评解答选择方案应用题同处理其他应用题一样,重点要过好三关(1)事理关:•读懂题意,知道讲的是什么事情,要比较的对象是什么;(2)文理关:•把实际问题文字语言转化为数学的符号语言,然后用数学式子表达数学关系式;(3)数理关:在构建数学模型的过程中,要对数学知识有检索的能力,认定或构建相应的数学模型,•完成由实际问题向数学问题的转化.【好题妙解】佳题新题品味例 在一次人才招聘会上,有A 、B 两家公司分别开出他们的工资标准:A 公司允诺第一年月工资为1500元,以后每月工资比上一年工资增加230元;B 公司允诺第一个月工资为2000元,以后每月工资在上一年月工资基础上递增5%,设某人年初被A 、B 两家公司同时录取,试问 :(1)若该人打算在A 公司或B 公司连续工作n 年,则他第n 年的月工资收入各为多少? (2)如该人打算连续在一家公司工作10年,仅以工资收入来看,•该人去哪家公司较合算?解析 (1)此人在A、B公司第n年的月工资数分别为a n=1 500+230(n-1),b n=2 •000(1+5%)n-1.其中n为正整数;(2)若该人在A公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(a1+a2+…+a10)=•304 200(芜).若该人在B公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(b1+b2+•…b10)=301 869(元).故该人应选择在A公司工作.点评最佳方案的选择问题充分体现了数学在生活中的无穷乐趣,•同时也从数学角度诠释了“知识就是力量”,“知识就是财富”的道理.中考真题欣赏例 (2002年长沙市)某商场经营一批进价为2元一件的小商品,在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系:x 3 5 9 11y 18 14 6 2(1)在所给的直角坐标系中:①根据提供的数据描出实数对(x,y)对应点;②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式,并画出图象.(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据日销售规律:①试求出日销售利润p元与日销售单价x元之间的函数关系式,•并求出日销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?试问:日销售利润p是否存在最小值?若有,试求出,若无,试说明理由;②在给定的直角坐标系中,画出日销售利润p元与日销售单价x•元之间的函数图象,观察图象,写出x与p的取值范围.解析 (1)①准确描出四点位置.②猜测它是一次函数y=kx+b.由两点(3,18),(5,14)代入上式求得k=-2,b=24,则有y=-2x+24.(9,6),(11,2)代入同样满足,∴所求函数关系式为y=-2x+24.由实际意义知,所求函数关系式为y=-•2x+24(0≤x<12)和y=0(x≥12).(2)①p=xy-2y,即p=y(x-2)=(24-2x)(x-2)=-2x2+28x-48=-2(x-7)2+50.当x=7时,日销售利润最大值50元.当x>12时,此时无人购买,故此时利润p=0(x≥12).由实际意义知,当销售价x=0即亏完本卖出,此时利润p=-48,即为最小值;②据实际意义有:0≤x<2时,亏本卖出.当x=2或x=12时,利润p=0.当x>12时,即高价卖出,无人购买,p=0.故作出图象,图(20-2)由图象知,x≥0,-48≤p≤50.竞赛样题展示例 (1998年“祖冲之杯”初中数学邀请赛)某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时,每天可卖出60个,商店经理在市场上做了一番调查后发现,•若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元,则日销售就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销售量就增加10个,•为获得每日最大利润,此商品售价应定为多少元?解析设商品每个售价x元,每日利润为y元,则当x>18时,y=[60-5(x-18)](x-10)=-5(x-20)2+500,即在商品提价时,提到20元时,y max=500元;当x<18时,y=[60+10(18-x)](x-10)=-10(x-17)2+490.即在商品降价时,降到17元时,y max=490元 .综上可得,此商品售价定为20元时,才能获得每日最大利润.点评本题首先应搞清题目的意思,设未知数,转化为函数问题,•因为售价的上升或下降,利润的情况是不一样的,故应分情况讨论.全能训练A级1.某移动通讯公司开设了两种通讯业务,“全球通”:使用者先缴50元月租费,•然后每通话1min,再付话费0.4元;“快捷通”:不缴月租费,每通话1min,付话费0.•6元(本题通话均指市内话话).若一个月内通话xmin,两种方式的费用分别为y1元和y2元.(1)写出y1,y2与x之间的函数关系式;(2)一个月内通话多少分钟,两种通讯费用相同?(3)某人估计一个月内通话300min,应选择哪种移动通讯合算些?2.某旅行社有客房120间,每间房的日租金为50元,每天都客满.旅行社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出租后会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房将日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?比装修前日租金总收入增加多少元?3.某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是多少?A级(答案)1.(1)y1=0.4x+50,y2=0.6x;(2)令y1=y2,0.4x+50=0.6x,则x=250;故每一个月内通话250min,通讯费用相同.(3)全球通合算些.2.设每间房的日租金提高x个5元,日租金总收入为y,则y=(50+5x)(120-6x)即y=-30(x-5)2+6 750当x=5时,y max=6 750.∴日租金总收入多6 750-120×50=750(元)3.17%.B级1.某环形道路上顺时针排列着4所中学:A1,A2,A3,A4,它们顺次有彩电15台,8台,5台,12台.为使各校的彩电数相同,允许一些中学向相邻中学调出彩电.问怎样调配才能使调出的彩电台数最小?并求调出彩电的最小总台数.2.某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器,彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台,•已知生产这些家电产品每问:,•最高产值是多少?B级(答案)1.设A1中学调给A2彩电x1台(若x1<0,则认为是A2,向A1调出│x1│台),A2中学调给A3彩电x2台,A3调给A4x3台,A4调给A1x4台.因为共有40台彩电,平均每校10台,•因此,15-x1+x4=10,8-x2+x1=10,5-x3+x2=10,12-x4+x3=10,得x4=x1-5,x1=x2+2,x2=x3+5,x3=x4-2,x3=(x1-5)-2=x1-7,x2=(x1-7)+5=x1-2.本题即求y=│x1│+│x2│+│x3│+│x4│=│x1│+│x1-2│+│x1-7│+│x1-5│的最小值,其中x1是满足-8≤x1≤15的整数.设x1=x,并考虑定义在-8≤x≤15•上的函数:y=│x│+│x-2│+│x-7│+│x-5│, 当2≤x≤5时,y取最小值10,即当x1=2,3,4,5时,│x1│+│x1-2│+│x1-7│+│x1-5│取到最小值10.从而调出彩电的最小台数为10,调配方案有如下4种:2.设3种家电数量分别为x,y,z台,则各自的工时数、产值数、工时总数、•产值总数如下表所示.家电名称空调彩电冰箱总数台数x y z x+y+z=360(z≥60)工时数12x13y14z12x+13y+14z=120产值(千元) 4x 3y 2z A=4x+3y+2z ∵工时总数=12x+13y+14z=112(6x+4y+3z)=14(x+y+z)+112(3x+y)=14×360+112(3x+y)=90+112(3x+y)总产值数A=4x+3y+2z=2(x+y+z)+(2x+y) =2×360+(2x+y)=720+(2x+y)由300,190(3)120,12720(2)720(3).x yx yA x y x y x+≤⎧⎫⎪⎪⎪⎪++=⎨⎬⎪⎪=++=++-⎪⎪⎩⎭⇒A=1 080-x≤1 050.当总产值A取到最大值1 050时, x=30,y=270,z=60.。

数学模型课后习题答案数学模型课后习题答案数学模型作为一门应用数学的学科，通过建立数学模型来解决实际问题。

在学习数学模型的过程中，课后习题是非常重要的一环。

通过解答习题，我们可以巩固和应用所学的知识，提高解决实际问题的能力。

在这篇文章中，我将为大家提供一些数学模型课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、线性规划1. 某工厂生产甲、乙两种产品，每天生产的总量不能超过100个。

甲产品每个利润为5元，乙产品每个利润为8元。

甲产品需要2个工时，乙产品需要3个工时。

每天工厂总共有200个工时可用。

如何确定每天生产甲、乙产品的数量，使得利润最大化？答案：设甲产品的数量为x，乙产品的数量为y。

根据题意，我们可以列出如下的约束条件：x + y ≤ 100 （每天生产的总量不能超过100个）2x + 3y ≤ 200 （每天工厂总共有200个工时可用）利润最大化即为目标函数，设为f(x, y) = 5x + 8y。

我们需要求解目标函数的最大值。

通过求解线性规划问题，可以得到最优解。

2. 某公司生产甲、乙两种产品，每天生产的总量不能超过200个。

甲产品每个利润为10元，乙产品每个利润为15元。

甲产品需要1个工时，乙产品需要2个工时。

每天工厂总共有300个工时可用。

如何确定每天生产甲、乙产品的数量，使得利润最大化？答案：设甲产品的数量为x，乙产品的数量为y。

根据题意，我们可以列出如下的约束条件：x + y ≤ 200 （每天生产的总量不能超过200个）x + 2y ≤ 300 （每天工厂总共有300个工时可用）利润最大化即为目标函数，设为f(x, y) = 10x + 15y。

我们需要求解目标函数的最大值。

通过求解线性规划问题，可以得到最优解。

二、微分方程1. 某物质的衰减速率与其当前的数量成正比。

已知初始数量为100，经过3小时，其数量减少到80。

求该物质的衰减速率。

答案：设物质的数量为N(t)，t表示时间。

数学模型作业六道题 作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV 。

我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。

至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。

我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。

即：V=k 1L 3，因此，模型为：33111M V k l K L ρρ===……………………………模型一 利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。

因此，有必要改进模型。

如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 质量/g765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围/cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.622222M V k d K d L L ρρ===………………………………模型二利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M765 482 1162 737 482 1389 652 454模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。

初中数学数学模型应用练习题及参考答案1. 题目：小明每天骑自行车上学，上一次维修后他发现，每骑行1公里需要250个脚蹬。

如果小明骑行8公里，脚蹬的总脚程是多少个？答案：小明骑行8公里，脚蹬的总脚程为8公里 × 250个脚蹬 = 2000个脚蹬。

2. 题目：甲、乙两个人合作修建一座墙，甲每小时砌砖75块，乙每小时砌砖60块。

如果他们合作8小时，共砌砖多少块？答案：甲每小时砌砖75块，乙每小时砌砖60块，所以他们每小时共砌砖75块 + 60块 = 135块。

他们合作8小时，共砌砖135块 × 8小时 = 1080块。

3. 题目：若一个数的2/5等于20，那么这个数是多少？答案：设这个数为x，则有：2/5x = 20。

通过交叉相乘得到：2x =20 × 5。

计算得到：2x = 100，所以x = 100 ÷ 2 = 50。

所以这个数是50。

4. 题目：某图书店打折促销，原价100元的书现以8折出售，打完折的价格是多少？答案：原价100元的书以8折出售，打完折的价格为100元 × 0.8 = 80元。

5. 题目：一只长方体纸箱的长度是宽度的3倍，而宽度是高度的2倍，已知纸箱的总体积为240立方厘米，求纸箱的长、宽、高分别是多少？答案：设纸箱的高度为h，则宽度为2h，长度为3 × 2h = 6h。

根据体积的计算公式，可得到方程：h × 2h × 6h = 240。

化简得到：12h^3 = 240。

两边同时除以12得到：h^3 = 20。

求解方程，可得到h ≈ 2.714。

所以纸箱的长约为6 × 2.714 ≈ 16.286厘米，宽约为2 × 2.714 ≈ 5.428厘米，高约为2.714厘米。

6. 题目：某班级有50名学生，男生和女生的比例为3:2。

求男生和女生的人数各是多少？答案：男生和女生的比例为3:2，所以男生数与女生数可表示为3x和2x，总学生数为50人，所以有3x + 2x = 50。

数学建模-指数函数模型的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．观察实际情景，提出并分析问题（1）实际情景2022年2月，某地发生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染病，其传染过程的强度和广度分为：（1）散发：是指传染病在人群中散在发生；（2）流行：是指某一地区或某一单位，在某一时期内，某种传染病的发病率，超过了历年同期的发病水平；（3）大流行：指某种传染病在一个短时期内迅速传播、蔓延，超过了一般的流行强度；（4）暴发：指某一局部地区或单位，在短期内突然出现众多的同一种疾病的病人. 如果在新冠肺炎传染的过程中不认为介入，切断其传染链，则对整个社会经济的发展带来严重的后果.（2）提出问题如果没有人工干预，不同时间段内的病例数会按照怎样的规律进行增长呢，对于某个时间内新增的病例数是否可以预测，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失呢？（3）分析问题可以通过收集合适地区的新增病例数并结合建立适当的数学模型，找出病例数增长规律，并对一定时间后新增病例进行估计以支持卫生部门的防疫工作.2.收集数据利用互联网等信息技术，我们可以搜索到一些原始的数据.例如，我们搜集到某地区一周内的累计病例数，请结合上述数据建立合理的数学模型，并估计第9天新增病例数.3．分析数据累计病例数是时间的函数，但没有现成的函数模型．因此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型，散点图如图所示：当然，我们可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型. 4．建立模型根据散点图的形状可设函数模型近似为e at y k =，利用表中的数据可求0.221000e t y =. 5．检验模型画出函数的图形，对比散点图，吻合度很好.6．问题解决该地区病例数y 与时间t 基本满足0.221000e t y =的函数关系，第9天时，预计新增病例数为：0.2291000e 7242y ⨯=≈，我们会发现累计病例数急剧增加，需卫生防疫部门及时介入，采取相应阻断措施.7．问题拓展在上述模型的建立的过程中，我们根据散点图选择了函数模型，然后利用其中的两个点求出模型的两个参数，随着点的选择的不同，所得函数的模型也相异，那么请同学利用课余时间思考如何评价不同模型的优劣？2．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p -=，0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，求高山上该处的海拔．3．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h ，而在22℃的厨房中则约是42h.(1)写出保鲜时间y （单位：h ）关于储藏温度x （单位：℃）的函数解析式；(2)利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间；（参考数据15110.125732⎛⎫ ⎪≈⎝⎭，81170.32832⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，精确到1h ）(3)运用上面的数据，作此函数的图象.二、单选题4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e ktc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h 5．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730012t N N ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（0N 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的2至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据：2log 3 1.6≈） A ．2600年 B ．3100年 C ．3200年D ．3300年参考答案：1．略【详解】略2．约为8719m 【分析】解方程001e 3kh p p -=即可得解. 【详解】解：由001e 3kh p p p -==可得ln3kh -=-，可得()ln 38719m h k =≈. 3．(1)22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x(2)储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．(3)图象见解析【分析】（1）设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则利用牛奶放在0C ︒的冰箱中，保鲜时间约为192h ，放在22C ︒的厨房中，保鲜时间约为42h ，即可得出函数解析式； （2）将30x =与16x =代入函数解析式，求值即可；（3）根据函数解析式画出函数草图．（1）解：设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则有2219242?k k a =⎧⎨=⎩，∴1221927()32k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，22719232xy ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭()0x ．（2）解：30x =时，30227192()3242y =≈，即储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；16x =时，16227192()6332y =≈，即储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．（3）解：因为22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x ，函数图象如下所示：．4．C【分析】利用已知条件()0.100e e 200kt t t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为1t ，转化求解即可.【详解】解：由题意得：()0.100e e 200kt t t c c --==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t()10.1120001000e t t c -=≥10.12e 1t -≥ 故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.930.1t ≤≈ 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h故选：C5．A【分析】根据题意列出不等式，求出22922865t <<，从而求出正确答案.57300001324t N N N ⎛⎫<⋅< ⎪⎝⎭，解得：22922865t <<，故选A. 故选：A。

《数学建模》习题解答第一章部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()01t t r mex t x --+=，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。

甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。

问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。

参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即()vs s t 21+≈其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο180，其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

数学模型习题答案数学模型习题答案数学模型是一门应用数学的学科，它通过建立数学模型来解决实际问题。

数学模型习题是数学模型课程中重要的一环，通过解答这些习题，我们可以更好地理解和应用数学模型的知识。

在本文中，我将为大家提供一些数学模型习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，行驶了4小时后，行驶的总里程是多少？解答：根据题意，汽车的速度是每小时60公里，行驶了4小时，所以行驶的总里程为60公里/小时× 4小时 = 240公里。

2. 一个球从高度为10米的地方自由落下，每次落地后反弹的高度是前一次高度的一半，求球在第5次落地时的总共运动距离。

解答：球第一次落地时的高度为10米，第二次落地时的高度为10米的一半，即5米，第三次落地时的高度为5米的一半，即2.5米，以此类推，第五次落地时的高度为10米× (1/2)^4 = 0.625米。

球在每次落地前的运动距离为高度的两倍，所以总共运动距离为10米 + 5米 + 2.5米 + 1.25米 + 0.625米 = 19.375米。

3. 一个水桶的容量为10升，水龙头每分钟可以注满3升的水，水桶中原有4升的水，问需要多少时间才能将水桶注满？解答：水龙头每分钟可以注满3升的水，所以注满10升的水需要10升÷ 3升/分钟 = 3.33分钟。

水桶中原有4升的水，所以需要的时间为3.33分钟 - 4升÷ 3升/分钟 = 2.33分钟。

4. 一个人每天早上骑自行车上班，速度为每小时15公里，下班时因为疲劳速度减半，求他每天上下班总共需要多长时间？解答：上班的路程和下班的路程是一样的，所以只需要考虑一段路程的时间。

上班时速度为每小时15公里，所以上班需要的时间为路程÷ 速度 = 路程÷ 15公里/小时。

下班时速度减半，所以下班需要的时间为路程÷ (15公里/小时× 1/2) = 路程÷ 7.5公里/小时。

数学模型课后习题答案数学模型课后习题答案数学模型是一门研究数学方法如何应用于实际问题的学科。

通过建立数学模型，我们可以对现实世界中的复杂问题进行抽象和简化，从而得到更好的解决方案。

在学习数学模型的过程中，课后习题是非常重要的一部分。

通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，并且培养解决实际问题的能力。

下面是一些数学模型课后习题的答案，希望对大家有所帮助。

1. 题目：某公司的销售额在过去几年内呈指数增长，已知2015年的销售额为100万美元，2019年的销售额为400万美元。

问：预测2021年的销售额是多少？解答：根据题目中的信息，我们可以得到以下数据点：(2015, 100)和(2019, 400)。

假设销售额的增长率为r，则可以得到以下关系式：100 * (1 + r) ^ 4 = 400。

解这个方程可以得到r ≈ 0.414。

因此，2021年的销售额约为400 * (1 + 0.414) ≈ 565.6万美元。

2. 题目：某城市的人口数量在过去几年内呈线性增长，已知2010年的人口数量为100万人，2018年的人口数量为150万人。

问：预测2022年的人口数量是多少？解答：根据题目中的信息，我们可以得到以下数据点：(2010, 100)和(2018, 150)。

假设人口数量的增长率为k，则可以得到以下关系式：100 + 8k = 150。

解这个方程可以得到k = 6.25。

因此，2022年的人口数量约为150 + 12 * 6.25 = 225万人。

3. 题目：某公司的产品在市场上的销售量在过去几个月内呈正态分布，已知过去6个月的销售量分别为1000、1200、1400、1600、1800和2000。

问：预测下个月的销售量是多少？解答：根据题目中的信息，我们可以计算出过去6个月的销售量的平均值μ为(1000 + 1200 + 1400 + 1600 + 1800 + 2000) / 6 = 1500，标准差σ为√((1000- 1500)^2 + (1200 - 1500)^2 + (1400 - 1500)^2 + (1600 - 1500)^2 + (1800 - 1500)^2 + (2000 - 1500)^2) / 6 ≈ 346.41。

.例1差分方程——资金(de)时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de)：需要借多少钱,用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b．建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为k=0,1,2,3,而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下(1)c. (1)(de)求解.由(2)这就是之间(de)显式关系.d．针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年＝60个月,已知；每月还款x＝1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得(3)A和x之间(de)关系式,如果我们已经知(3)表示N＝60,x＝1200给定时0A.例如,若R ＝0．01,则由(3)可算得道银行(de)贷款利息R,就可以算出053946元.如果该房地产公司说一次性付款(de)房价大于70000十53946＝123946元(de)话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica这样(de)数学软件可把(3)(de)图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款”(de)意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子(de)产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你(de)不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0．01,贷款期25年＝300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢解：现在(de)问题就是要求使 (de)x,由(2)式知现＝60000,R＝0．01,k＝300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房.例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司(de)一则广告：“若借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了(de)关系要你预付三个月(de)款,即316×6＝1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18％元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来(de)钱可是22752元哟,是1896元(de)十几倍哪这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们(de)钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意(de)回答.具体解法略.问题2：养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 (de)养老基金,所在单位（若经济效益好(de)话）每月再投入一定数量(de)钱,再存入某种利息较高而又安全(de)“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用.也就是说,若退休金不足以维持一定(de)生活水平时,就可以动用自己(de)养老基金,每月取出一定(de)款项来补贴不足部分.假设月利率及＝0．01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入A(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入(de)总和)；通常从一笔钱0三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化(de)假设,但作为估算仍可作为一种考虑(de)出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出(de)款项.习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己(de)养老基金,他把已有(de)积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0．01 (以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休时,他(de)退休基金有多少又若,他退休后每月要从银行提取l000元,试问多少年后他(de)退休基金将用完你能否根据你了解(de)实际情况建立一个较好(de)养老基金(de)数学模型及相应(de)算法和程取软件).习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条,鱼(de)平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼条,则池内鱼数按年(de)变化规律为注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数(de).若对某海域(de)渔业作业中＝100000吨,R＝0．02,x＝1000吨,试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了（资源枯竭了）例2比例分析法——席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,（1）试确定学生会席位分配方案.（2）若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化（4）因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10： 10(de)平局,会议决定下一届增加1席,若在第（3）问中将学生会席位增加一席呢（5）试确定一数量指标衡量席位分配(de)公平性,并以此检查（1）—（4）.公平而又简单(de)席位分配办法是按人数(de)比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示系别学生人数所占比例（%）按比例分配(de)席位按惯例分配(de)席位甲10310乙636第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列)．在将取得整数(de)19席分配完毕后,剩下(de)1席按照惯例分给余数最大(de)丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10：10(de)平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算(de)结果令人吃惊：总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表．看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”(de)办法．下面就介绍这样一个席位分配模型．设A、B两方人数分别是p1 和p2,分别占有n1 和n2 个席位,则两方每个席位所代表(de)人数分别是p1 ／n12和p2／n2．很明显,仅当这两个数值相等时,席位(de)分配才是公平(de)．但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平(de)程度可以用数值来表示,它衡量(de)是“绝对不公平”．从下表所举(de)例子来看,A、B之间(de)“绝对不公平”与C、D之间是一样(de).但是从常识(de)角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重(de)不公平．所以“绝对不公平”不是一个好(de)衡量标准．p n p/n p1/n1-p2/n2 A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准．因为p／n越大,每个席位代表(de)人数越多,或者说,总人数一定时分配(de)席位越少.所以,如果p1／n13＞p2/n2,则A方是吃亏(de),或者说,对A是不公平(de),由此,我们这样定义“相对不公平”：若p1／n1＞p2／n2,则称为对A(de)相对不公平值,记做若p1／n1＜p2／n2,则称为对B(de)相对不公平值,记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平(de)城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方不失一般性,可设p1／n1＞p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义．当再分配1个席位时,关于p／n(de)不等式有以下三种可能：1)p1／(n1十1)＞p2／n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2)p1／(n1十1)＜p2／n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B(de)相对不公平值3）说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A (de)相对不公平值是（注意：在p1/n1p2/n2(de)假设下,不可能出现p1／n1＜p2／(n2+1)(de)情况因为公平(de)席位分配方法应该使得相对不公平(de)数值尽量地小,所以如果则这1席应给A方；反之应给B方．根据(3)、（4）两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况(de)p1／(n1十1)＞p2／p2也可推出. 于是我们(de)结论是：当(6)式成立时,增加(de)1席应分配A方；反之,应分配给B方．若记,则增加(de)1席位应分配给Q值较大(de)一方．将上述方法可以推广到有m方分配席位(de)情况．下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出(de),三个系分配21个席位(de)问题．首先每系分配1席,然后计算：甲系n1＝1,乙系, n2=1,丙系,n3=1,因为最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算：甲系n1＝2,将与上面(de)相比,最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止（详见列表）．n甲系乙系丙系1（4）（5）578（9）2（6）（8）（15）3（7）（12）（21）4（10）（14）5（11）（18）6（13）7（16）8（17）9（19）10（20）11可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失(de)1席.你觉得这个方法公平吗习题：学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合．学生们要组织一个10人(de)委员会,试用下列办法分配各宿舍(de)委员数．1）惯例(de)方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者. 2）Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化 ,例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类(de)进化,人们为了揭示生命(de)奥秘,越来越注重遗传学(de)研究,特别是遗传特征(de)逐代传播,引起人们(de)注意.无论是人,还是动植物都会将本身(de)特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲(de)基因,形成自己(de)基因对,基因对将确定后代所表现(de)特征.下面,我们来研究两种类型(de)遗传：常染色体遗传和x—链遗传.根据亲体基因遗传给后代(de)方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型(de)分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体(de)基因对中各继承一个基因,形成自己(de)基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑(de)遗传特征是有两个基因A和控制(de),那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花(de)颜色,基因型是AA(de)金鱼草开红花,型(de)开粉红色花,而型(de)开白花.又如人类(de)眼睛(de)颜色也是提高通过常染色体遗传控制(de).基因型是(de)人,眼睛是棕色,基因型是(de)人,眼睛是兰色.这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因,也可以认为基因对于A 来说是隐性(de)农场(de)植物园中某种植物(de)基因型为AA,A 和.农场计划采用AA 型(de)植物与每种基因型植物相结合(de)方案培育植物后代.那么经过若干年后,这种植物(de)任一代(de)三种基因型分布如何 第一步：假设：令 ,2,1,0=n .（1） 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中,基因型为AA,Aa 和aa(de)植物占植物总数(de)百分率.令)(n x 为第n 代植物(de)基因型分布:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(当n=0时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000)0(c b a x表示植物基因型(de)初始分布（即培育开始时(de)分布）,显然有1000=++c b a（2） 第n 代(de)分布与第n-1代(de)分布之间(de)关系是通过上表确定(de).第二步：建模根据假设（2）,先考虑第n 代中(de)AA 型.由于第n-1代(de)AA 型与AA 型结合,后代全部是AA 型；第n-1代(de)Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型(de)可能性为1/2,第n-1代(de)aa 型与AA 型结合,后代不可能是AA 型.因此,当 ,2,1,0=n 时11102/1---•++•=n n n n c b a a即2/11--+=n n n b a a 类似可推出2/11--+=n n n b c a 0=n c将式相加,得111---++=++n n n n n n c b a c b a根据假设（1）,有1000=++=++c b a c b a n n n对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012/1002/11M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(式递推,得)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--式给出第代基因型(de)分布与初始分布(de)关系.为了计算出n M ,我们将M 对角化,即求出可逆矩阵P 和对角阵D,使1-=PDP M因而有,2,1,1==-n P PD M n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn D 321321000000000λλλλλλ这里321,,λλλ是矩阵M(de)三个特征值.对于式中(de)M,易求得它(de)特征值和特征向量:0,2/1,1321===λλλ因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100210111321P通过计算1-=P P ,因此有)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0001002101110000)21(0010100210111c b a n 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,1→→n n b a 和n c =0即在极限(de)情况下,培育(de)植物都是AA 型. 第三步：模型讨论若在上述问题中,不选用基因AA 型(de)植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型(de)概率如下表：并且)0()(x M xn n =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M(de)特征值为2/1,1,1321===λλλ通过计算,可以解出与21,λλ相对应(de)两个线性无关(de)特征向量1 和2 ,及与3λ相对应(de)特征向量3 ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 因此[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111200101321P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-02/1011102/111P)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=00002/1011102/11)2/1(0001001111200101c b a n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(bb c c b b b b a a n nn n n n当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→因此,如果用基因型相同(de)植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因AA 和aa. 例4 合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体（个人、公司、党派、国家）相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多(de)经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究(de)问题.请看下面(de)例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元(de)收入.甲(de)收入应按照甲对各种形式(de)合作(de)贡献来确定．对于某一合作(de)贡献定义为：有甲参加时这个合作(de)收入与无甲参加时这个合作(de)收入之差．例如甲对甲乙二人合作(de)贡献是7—1＝6 (因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元)．甲可以参加(de),合作有四个：甲自己(单干视为合作(de)特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙．甲对这些合作(de)贡献分别是甲：1一0＝1元；甲乙：7—1＝6元；甲内：5—1＝4元；甲乙丙：10—4＝6元,甲应分得(de)收入是这四个贡献(de)加权平均值,加权因子将由下面(de)一般模型给出．这个问题叫做3人合作对策,是对策论(de)一部分,这里介绍它(de)一种解法.一般(de)n人合作对策模型可以叙述如下：记n人集合为I=,如果对于I中 (de)任一子集,都对应一个实值函数v（s）,满足则称为定义在I上(de)特征函数．所谓合作对策是指定义了特征函数(de)I中n个人(de)合作结果,用向量值函数来表示．在实际问题中．常可把I中各种组合(de)合作获得(de)利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作(de)获利定义为特征函数v,v是满足(1)、(2)(de)．为了确定,Shapley在1953年首先制定了一组应该满足(de)公理,然后证明了满足这组公理(de)(de)唯一解是其中是I中包含{i}(de)所有子集,是集合s中(de)人数,是加权因子,由确定．(3)式中可看作成员{i}对合作s(de)贡献；表示对所有包含{i}(de)集合求和．称为由v定义(de)合作(de)Shapley值．我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到(de)收入．甲、乙、丙分别记作{1},{2},{3},包含{1}(de)集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表．S{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}V(s)17510V(s-{1})0114V(s)- V(s-{1})1 6 4 612 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})]1/31 2/3 2.同样可以算出乙、丙应得收入为＝3．5元,＝元.问题二：三城镇(de)污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4；6所示．污水需处理后才能排入河中．三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流(de)上游城镇向下游城镇输送).以Q 表示污水量(吨／秒),工表示管道长度(公里).按照经验公式,建立处理厂(de)费用为712.0173Q P =,铺设管道(de)费用为LQ P 51.0266.0=．今已知三城镇(de)污水量分别为5,3,5321===Q Q Q ．L(de)数值38,202312==L L ．试从节约总投资(de)角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等．三城镇或单干或不同形式(de)联合,共有五种方案.下面一一计算所需(de)投资．方案一 三城镇都单干.投资分别为总投资：方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资(de)角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2(de)投资为：=3500C（3）=2300总投资：方案三城2、3合作.C（1）=2300总投资：方案四城1、3合作.C（2）=1600总投资：方案五三城镇合作=5560总投资：比较五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂(de)方案． 下面(de)问题是如何分担总额为5560(de)费用．城3(de)负责人提出,联合建厂(de)费用按三城(de)污水量之比5：3：5分担,铺设管道费应由城1、2担负．城2(de)负责人同意,并提出从城2到城3(de)管道费由城1、2按污水量之比5：3分担；从城1到城2(de)管道费理应由城1自己担负．城1(de)负责人觉得他们(de)提议似乎是合理(de),但因事关重大,他没有马上表示同意；而是先算了一笔账．联合建厂(de)费用是4530)535(73712.0=++,城2到城3(de)管道费是730,城1到城2(de)管道费是300,按上述办法分配时,城3负担(de)费用为1740,城2(de)费用为1320,域1(de)费用为2500．结果出乎意料之外,城3和城2(de)费用都比单独建厂时少,而城1(de)费用却比单独建厂时(de)C(1)还要多.城1(de)负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理(de)解决办法．为了促成联合(de)实现,你能为他们提供一个满意(de)分担费用(de)方案吗首先,应当指出,城3和城2负责人提出(de)办法是不合理(de)：从前面(de)计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640(de)效益应该分配给三城,使三城分配(de)费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定(de)一条原则．至于如何分配,则是下面要进一步研究(de)问题． 把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担(de)费用反比单独建厂费用高(de)情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约(de)投资定义为特征函数.于是有v(φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} V(s) 0 400 0 640 V(s-{1}) 0 0 0 250 V(s)- V(s-{1})0 400 0 39012 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})] 0 67 0 130即197)(1=v ϕ同理得321)(2=v ϕ,122)(3=v ϕ那么, 城1分担(de)费用为2300-197=2103, 城2分担(de)费用为1600-321=1279, 城3分担(de)费用为2300-122=2178,合计5560. 习题：某甲（农民）有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人(de)所得才能达成协议例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程(de)最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产计划和存储等问题．动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题(de)最优化方法,它(de)基本特征是包含多个阶段(de)决策．1951年,美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人,提出了解决多阶段决策问题(de)“最优化原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划·动态规划方法(de)基本思想是：将一个复杂问题分解成若干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程(de)决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”(de)含义,然而,一些与时间无关(de)静态规划中(de)最优化问题,也可人为地把问题分成若干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机．求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态(de)最优化决策；②再顺序地求出整个题(de)最优策略和最优路线．下面,结合一个求最短路径(de)例子,来说明动态规划(de)一些基本概念．最短路径问题如图所示(de)交通网络,节点连接线路上(de)数字表示两地距离,计算从A 到E(de)最短路径及长度.1．阶段．把所要处理(de)问题,合理地划分成若干个相互联系(de)阶段,通常用k 表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4. 2．状态和状态变量．每一个阶段(de)起点,称为该阶段(de)状态,描述过程状态(de)变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用k x 来表示第k 阶段(de)某一状态．如果状态为非数量表示,则可以给各个阶段(de)可能状态编号,i x i k =)(()(i k x 表示第k 个阶段(de)第i 状态).第k 阶段状态(de)集合为},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =如例6中,第3阶段集合可记为}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X3．决策和决策变量．决策就是在某一阶段给定初始状态(de)情况下,从该状态演变到下一阶段某状态(de)选择.即确定系统过程发展(de)方案．用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x (de)决策变量．)(k k x D 表示初始状态为k x (de)允许决 策集合,有)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }如例6中},,{)(3211B B B A D =,若先取2B ,则21)(B A u =. 4．策略和子策略．由每段(de)决策)(k k x u 组成(de)整个过程(de)决策变量序列称为策略,记为n P ,1,即n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u从阶段k 到阶段n 依次进行(de)阶段决策构成(de)决策序列称为k 子策略,记为n k P ,即)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++显然,k=1时(de)k 子策略就是策略.如例6,选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略．从允许策略集中选出(de)具有最佳效果(de)策略称为最优策略. 5．状态转移方程．系统在阶段k 处于状态k x ,执行决策)(k k x u (de)结果是系统状态(de)转移,即由阶段K(de)状态k x 转移到阶段K 十1(de)状态1+k x 适用于动态规划方法求解(de)是一类具有无后效性(de)多阶段决策过程．无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后(de)发展,完全由本阶段所处(de)状态以及其往后(de)决策决定,与系统以前(de)状态及决策无关,对于具有无后效性(de)多阶段过程,系统由阶段k 向阶段k+1(de)状态转移方程为))(,(1k k k k k x u x T x =+意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关,而与前面状态无关．))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子．分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划． 6．指标函数和最优指标函数．在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策(de)效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段(de)决策变量(de)函数,设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+指标(de)含义在不同(de)问题中各不相同,可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等．例6中,指标(de)含义就是距离,指标函数为A 到E(de)距离,为各阶段路程(de)和．最常见(de)指标函数取各阶段效果之和(de)形式,即∑==nk j j j j n k u x V V ),(,指标函数nk V ,(de)最优值,称为相应(de)最优指标函数,记为)(k k x fnk k k optV x f ,)(=式中opt 是最优化之意,根据问题要求取max 或min ． 7．动态规划最优化原理．贝尔曼指出“作为整个过程(de)最优策略具有这样(de)性质：即无论过去(de)状态和决策如何,对前面(de)决策所形成(de)状态而言,余下(de)诸决策必须构成最优策略”基于这个原理,可有如下定理：定理 若策略*,1n P 是最优策略,则对于任意(de)k(1<k<n),它(de)子策略*,n k P 对于以),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点(de)k 到n 子过程来说,必是最优策略． 实质上,动态规划(de)方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径(de)一种方法．8．动态规划(de)数学模型．利用最优化原理,可以得到动态规划(de)数学模型)}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-=0)(11=++n n x f这是一个由后向前(de)递推方程．下面以例6(de)最短路径问题说明这种递序解法．指标函数为两点之间(de)距离,记为),(k k u x d ,例中共分4个阶段． (倒推) 第4阶段2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f第3阶段6835)(),(624)(),(min )(2421141113=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{11*4,3E D C P =4431)(),(826)(),(min )(2422141223=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{22*4,3E D C P =6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{33*4,3E D C P =第2阶段7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{221*4,2E D C B P =7734)(),(826)(),(min )(2322131222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{222*4,2E D C B P =91468)(),(945)(),(min )(3333232332=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{223*4,2E D C B P =第1阶段10111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f},,,,{221*4,1E D C B A P =故最短路径为E D C B A →→→→221,从A 到E(de)最短距离为10. 上述步骤可归纳为下述递推公式)}(),(m in{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k ）0)(55=x f此递推关系叫做动态方程,即最短路径问题(de)动态规划模型,应用动态规划方法解决问题(de)关键是根据所给问题建立具体(de)动态规划模型,建立动态规划模型时(de)主要困难在于：如何将所遇到(de)最优化解释为合适(de)多段决策过程问题．从例6看出,划分I 阶段、定义状态、确定指标函数,是动态规划模型化时(de)主要工作,其合适性决定应用动态规划(de)成败．建模时,除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外,还须明确下列几点： (1)正确选择状态变量,使它既能描述过程(de)状态,又。