【数学】浙江省温州市瑞安中学2014-2015学年高二上学期期中考试

浙江省瑞安中学高二上学期期中考试（数学理）考试时间100分钟，不能使用计算器）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．要得到函数)42sin(π+=x y 的图象，可以把函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向右平移8π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 2．下列正确的是（ ）A ．平行于同一个平面的两条直线平行B ．垂直于同一条直线的两条直线平行C ．若直线a 与平面α内的无数条直线平行，则a ∥αD ．若一条直线平行于两个平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一个 3．根据表格中的数据，可以判定方程062=-+x e x的一个根所在的区间为（ ）A ．(1,0)- B.(0,1)C ．(1,2)D.(2,3)4． 已知a 、b 是平面内两个不共线的向量，,5+=b a BC 82-=，b a CD -=，则（ ）A. ,,A B D 三点共线B. ,,A C D 三点共线C. ,,B C D 三点共线D. ,,A B C 三点共线5．函数xxay x=)1(>a 的图象的大致形状是( )6．如下图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y的结果恰好是31，则空白 处的关系式可以是（ ） A ．3x y = B ．xy -=3C ．xy 3= D ． 31x y =7．通过下面程序：若输入a=333，k=5，则输出的b 为（ ）A ．(5)2313 B. (5)3132 C. (5)93 D. (10)938．已知βα,都是锐角，ββααcos ,21)cos(,21sin 则=+=等于 （ ）A ．231- B ．213- C ．21 D ．23 9．设等差数列{a n }的前7项1a ，2a ， 3a ，4a ，5a ，6a ，7a 的方差．．为1，则{a n }的公差d 等于( ) A ．1± B ．21±C . 2±D ．.147±10．设函数)(x f 的定义域为R ，且)(x f 是以．．3．为周期的奇函数．．．．．．．，4log )2(,2|)1(|a f f => （10≠>a a ，且），则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2>a 或210<<a B ．210<<a 或12>>a C ． 121<<a 或2>a D ． 121<<a 或12>>a二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共把答案填在题中横线上。

2014学年第一学期瑞安四校期中联考高 二 数 学 (文)答 案(完卷时间：100分钟； 满分：120分)二、填空题：（本题总共6小题，每题4分，总分为24分）11、 1 12、 平行,相交 13、 4x -y -8=0 14、 4S π 15、316 、 ⑵⑶⑷三、解答题（本题共4小题，总分为52分。

解题必须有文字说明、解题过程和演算步骤。

） 17．（本题满分13分）已知直线,012:1=++y ax l 直线0:2=+-a y x l ，（1）若直线21l l ⊥，求a 的值及垂足P 的坐标； （2）若直线21//l l ，求a 的值及直线1l 与2l 的距离. 解：（1）∵ ,212:1--=x a y l ,:2a x y l +=∴直线1l 的斜率为21a k -=，在y 轴上的截距211-=b 直线2l 的斜率为12=k ， 在y 轴上的截距a b =2 -----------------2分21l l ⊥ ∴ 11)2(21-=⋅-=ak k ----------------4分∴2=a ----------------5分由⎩⎨⎧=+-=++020122y x y x 解得43,45=-=y x ，P 的坐标为（43,45-）。

----------------7分（2） 21//l l ∴ 12=-a 且21-≠a - ----------------9分 ∴ 2-=a --------------------------10分 在直线2l 上取点（2，0），则1l 与2l 的距离4232)2-(10222-22=++⨯+⨯=d ----13分A B 1BC 18. （本题满分14分） 如图,在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,13AC CC ==, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证: 1AC ∥平面1CDB ;(2)求异面直线1AC 与1CB 所成的角的余弦值.(1)证明： 令1BC 与1CB 的交点为E , 连结DE . 因为D 是AB 的中点, E 为1BC 的中点,所以 DE ∥1AC . ---------- 3分 又 因为1AC ⊄平面1CDB , DE ⊂平面1CDB ,所以1AC ∥平面1CDB . --------- - 7分(2)因为DE ∥1AC ，所以CED ∠即为异面直线1AC 与1CB 所成的角或其补角。

2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高一（上）期中数学试卷一.选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（4分）设集合P={x|x≤3}，则下列四个关系中正确的是（）A．0∈P B．0∉P C．{0}∈P D．0⊆P2．（4分）已知lg3=a，lg7=b，则lg的值为（）A．a﹣b2B．a﹣2b C．D．3．（4分）三个数a=log 20.4，b=0.42，c=20.4的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a4．（4分）已知函数f（x）=，则f（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数5．（4分）设集合P={x|0≤x≤4}，M={y|0≤y≤2}，则下列表示P到M的映射的是（）A．f：x→y=x B．f：x→y=C．f：x→y=﹣1 D．f：x→y=（x﹣3）26．（4分）函数y=（）x2﹣2的单调递减区间为（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，] D．[，+∞）7．（4分）函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7） B．（7，8） C．（8，9） D．（9，10）8．（4分）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，则a的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣39．（4分）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件：y=f（x+1）是偶函数，且当x ≥1时，f （x ）=5x 则f （），f （），f （）的大小关系是（ ）A ．f （）＜f （）＜f （）B ．f （）＜f （）＜f （）C ．f （）＜f（）＜f （） D ．f （）＜f （）＜f （）10．（4分）已知关于x 的方程为+x 2=2x +，则该方程实数解的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二.填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）． 11．（4分）计算（﹣）﹣2+160.75= ．12．（4分）当a ＞0且a ≠1时，函数f （x ）=a x ﹣1﹣2的图象必过定点 ． 13．（4分）计算（log 23）•（log 34）+16log43= ． 14．（4分）已知f （x 3）=log 2x ，那么f （8）= ．15．（4分）已知幂函数y=f （x ）的图象过（8，2），则f （x ）= ． 16．（4分）已知函数f （x ）=x 2﹣a |x ﹣2|在[0，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是 ．17．（4分）已知函数f （x ）=，当0＜a ＜b 且f （a ）=f （b ）时，则ab 的值为 ．三、解答题：（第18小题10分，第19小题10分，第20小题12分，解答应写出文字、符号说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）已知：集合A={x |﹣3≤x ≤4，x ∈R }，集合B={x |x ﹣a +1＞0，x ∈R }（a 是参数）．（1）求C R A （A 在R 中的补集），若a=1，求A ∪B ．（R 是实数集） （2）若A ∩B=∅，求实数a 的取值范围． （3）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 19．（10分）已知：函数f （x ）=﹣（a ＞0且a ≠1）（1）判断函数f（x）的奇偶性．（2）记号[m]表示不超过实数m的最大整数（如：[0.3]=0，[﹣0.3]=﹣1），求函数[f（x）]+[f（﹣x）]的值域．20．（12分）已知函数f（x）=log a[（﹣2）x+1]，（a＞0且a≠1，a是参数）．（1）求f（x）的定义域；（2）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立；求a的取值范围．2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（4分）设集合P={x|x≤3}，则下列四个关系中正确的是（）A．0∈P B．0∉P C．{0}∈P D．0⊆P【解答】解：∵集合A={x|x≤3}，是所有不大于3的实数组成的集合，∴0是集合中的元素，故0∈A，故选：A．2．（4分）已知lg3=a，lg7=b，则lg的值为（）A．a﹣b2B．a﹣2b C．D．【解答】解：∵lg3=a，lg7=b，∴lg=lg3﹣lg49=lg3﹣2lg7=a﹣2b．故选：B．3．（4分）三个数a=log20.4，b=0.42，c=20.4的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵a=log20.4＜0，0＜b=0.42，＜1，c=20.4＞1，∴a＜b＜c．故选：C．4．（4分）已知函数f（x）=，则f（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【解答】解：x=0时，f（﹣x）=﹣f（x），当0＜x≤2时，f（x）=2+，则﹣2≤﹣x＜0，则有f（﹣x）=﹣2﹣=﹣f（x）；当﹣2≤x＜0时，f（x）=﹣2，则0＜﹣x≤2，则有f（﹣x）=﹣+2=﹣f（x）．故不管x取[﹣2，2]内的任一个数，都有f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数．故选：A．5．（4分）设集合P={x|0≤x≤4}，M={y|0≤y≤2}，则下列表示P到M的映射的是（）A．f：x→y=x B．f：x→y=C．f：x→y=﹣1 D．f：x→y=（x﹣3）2【解答】解：∵集合P={x|0≤x≤4}，M={y|0≤y≤2}，若f：x→y=x，则当3＜x≤4时，在M中不存在对应的元素，不满足映射的定义；若f：x→y=，则当x=1时，在M中不存在对应的元素，不满足映射的定义；若f：x→y=﹣1，则P中任一元素在M中都存在唯一对应的元素，满足映射的定义；若f：x→y=（x﹣3）2，则当0≤x＜3﹣时，在M中不存在对应的元素，不满足映射的定义；故选：C．6．（4分）函数y=（）x2﹣2的单调递减区间为（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，] D．[，+∞）【解答】解：令t=x2﹣2，则y=（）t，即有y在t∈R上递减，由于t在x∈[0，+∞）上递增，则由复合函数的单调性，可知，函数y的单调减区间为：[0，+∞）．故选：B．7．（4分）函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7） B．（7，8） C．（8，9） D．（9，10）【解答】解：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）=lg9﹣1＜0，f（10）=1﹣=＞0，f（9）•f（10）＜0，故函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选：D．8．（4分）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，则a的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【解答】解：根据函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=，而已知函数f（x）的图象关于直线x=2对称，可得=2，求得a=5，故选：A．9．（4分）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件：y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）=5x则f（），f（），f（）的大小关系是（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函数，∴y=f（x）的图象关于x=1对称，∴f（）=f（），f（）=f（），又∵当x≥1时，f（x）=5x，∴f（）＜f（）＜f（），即f（）＜f（）＜f（）．故选：D．10．（4分）已知关于x的方程为+x2=2x+，则该方程实数解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当x＞0时，方程+x2=2x+可化为：+x2=2x+3，即=﹣x2+2x+3，由y=和y=﹣x2+2x+3的图象在x＞0时有两个交点，可得当x＞0时，=﹣x2+2x+3有两个解，即方程+x2=2x+有两个解，当x＜0时，方程+x2=2x+可化为：﹣+x2=2x﹣3，即=x2﹣2x+3，由y=和y=x2﹣2x+3的图象在x＜0时没有交点，可得当x＜0时，=x2﹣2x+3无解，即方程+x2=2x+无解，综上所述方程+x2=2x+有2解，故选：B．二.填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）．11．（4分）计算（﹣）﹣2+160.75=．【解答】解：（﹣）﹣2+160.75=﹣=﹣=．故答案为：．12．（4分）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x﹣1﹣2的图象必过定点（1，﹣1）．【解答】解：∵a0=1，∴令x﹣1=0，则1﹣2=﹣1，故x=1，故函数f（x）=a x﹣1﹣2的图象必过定点（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）．13．（4分）计算（log23）•（log34）+16log43=11．【解答】解：（log23）•（log34）+16log43==2+9=11．故答案为：11．14．（4分）已知f（x3）=log2x，那么f（8）=1．【解答】解：∵f（x3）=log2x，令x3=8，x==2，∴f（8）==1，故答案为：1．15．（4分）已知幂函数y=f（x）的图象过（8，2），则f（x）=．【解答】解：设所求幂函数为：f（x）=xα，∵幂函数f（x）的图象经过点（8，2），∴2=8α，∴α=，∴f（x）=．故答案为：．16．（4分）已知函数f（x）=x2﹣a|x﹣2|在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是[0，4] ．【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣a|x﹣2|=在[0，+∞）上是增函数，∴≤2，且﹣≤0，求得0≤a≤4，故答案为：[0，4]．17．（4分）已知函数f（x）=，当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，则ab的值为1．【解答】解：由于函数f（x）=，则f（x）在（0，1）内递减，在（1，+∞）内递增．由0＜a＜b，且f（a）=f（b）⇒0＜a＜1＜b，﹣a=b﹣，即有=a+b，则有ab=1．故答案为：1．三、解答题：（第18小题10分，第19小题10分，第20小题12分，解答应写出文字、符号说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）已知：集合A={x|﹣3≤x≤4，x∈R}，集合B={x|x﹣a+1＞0，x∈R}（a是参数）．（1）求C R A（A在R中的补集），若a=1，求A∪B．（R是实数集）（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．（3）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A=[﹣3，4]，∴C R A=（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞），∵B={x|x﹣a+1＞0，x∈R}，∴B=（a﹣1，+∞），当a=1时，B=（0，+∞），A∪B=[﹣3，+∞），（2）∵A∩B=∅，∴a﹣1≥4，即a≥5；（3）∵A⊆B，∴a﹣1＜﹣3，即a＜﹣2．19．（10分）已知：函数f（x）=﹣（a＞0且a≠1）（1）判断函数f（x）的奇偶性．（2）记号[m]表示不超过实数m的最大整数（如：[0.3]=0，[﹣0.3]=﹣1），求函数[f（x）]+[f（﹣x）]的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣（a＞0且a≠1）定义域为R，关于原点左右对称．函数f（﹣x）=（a＞0且a≠1，∴f（x）+f（﹣x）=﹣+=﹣+=0，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）是奇函数（2）∵a x＞0，∴＜＜1，∴＜f（x）当＜f（x）＜0时，[f（x）]+[f（﹣x）]=[f（x）]﹣[f（x）]=﹣1+0=﹣1，当0时，时，[f（x）]+[f（﹣x）]=[f（x）]﹣[f（x）]=0﹣1=﹣1，当f（x）=0时，[f（x）]+[f（﹣x）]=[f（x）]﹣[f（x）]=0+0=0，综上所述：[f（x）]+[f（﹣x）]的值域是{﹣1，0}．20．（12分）已知函数f（x）=log a[（﹣2）x+1]，（a＞0且a≠1，a是参数）．（1）求f（x）的定义域；（2）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立；求a的取值范围．【解答】解：（1）∵（﹣2）x+1]＞0，（﹣2）x＞﹣1，．当﹣2＞0时，即0时，x=定义域为（，+∞），当﹣2=0时，即=定义域为R，当即a且a≠1时，x＜定义域为（﹣∞，），（2）当x∈[1，2]时，f（x）有意义得：解得0设t=（﹣2）x+1则y=log a t关于t是减函数．①当0，即﹣2≥0，由x∈[1，2]，t=（﹣2）x+1≥1∴f（x）=log a[（﹣2）x+1]≤0，这与f（x）＞0恒成立矛盾．②当，即由x∈[1，2]有0＜t=（﹣2）x+1＜1∴f（x）=log a[（﹣2）x+1]＞0符合题意，综上所述：a的取值范围是（，）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

二、选择题
21222324252627282930ACADACCDCA三、填空题（本大题共2小题，共8分）
31⑴
⑵
32 C2H6O CH3COOH
33⑴蒸馏烧瓶 冷凝管 ⑵D⑶防止暴沸
34⑴
⑵吸收乙酸，溶解乙醇，减小乙酸乙酯在水中的溶解度以利于分层⑶防止倒吸
⑷分液漏斗分液
35⑴4.4 ⑵1：3 ⑶C2H6O⑷CH3CH2OH(或CH3OCH3)
考场号座位号
2013级（ ）班
姓名
学号
………………………………………密……………………………………封…………………………………线
………………………………………………………
A
B
A
B
瑞安中学2014学年第一学期高二期中考试
化学（文科）试卷
试卷I
一、选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分。每小题只有1个是符合题意的，不选、多选、错选均不得分）
1．下列化学用语中，不正确的是
A．氯原子结构示意图：
B．HCl的电子式：
C．D．乙炔的比例模型：
2．下列物质中，与化合物C2H6互为同系物的是
⑴该燃料完全燃烧生成CO2的质量为
g。
⑵该燃料分子中碳、氢原子的数目比为
。
⑶已知该燃料分子的式量为46，且每个分子中含有1个氧原子，则其分子式为，结构简式为
化学（文科）答题卷
试卷Ⅱ
三、填空题（本大题共2小题，共8分）
31．
⑵
32．（4分）
四、实验题（本题18分）
关于该反应的说法中，正确的是
A．生成物是CH3CH3
B．生成物是CH3CH2OH
C．属于取代反应
D．属于加成反应

瑞安中学2013级理科实验班高二10月份适应性考试数学（理科）试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知函数21()1f x x =-的定义域为M ,()ln(1)g x x =+的定义域为N ,则()R MC N = （ ）A ．{|1}x x <B ．{|1}x x ≥C ．φD ．{|11}x x -≤<2．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖ B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖3. )(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如右图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）A B C D 4.如图，三棱锥V ABC -的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A ．32B ．33C ．34D ．365．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 （）AB 6．在长方体1111DC B A ABCD -中，AB AD AA 21==．若FE ,分别为线段11D A ，1CC 的中点，则直线EF 与平面11A ADD 所成角的正弦值为 （ ）A ．36B ．22C ．33D ．317.已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a •<，且数列{}n a 的前n 项和nS 有最大值，那么nS 取得最小正值时n 等于（ ）A ．20B ．17C ．19D ．218.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（）A ．62 B ．92 C ．122 D ．1529.已知函数32()f x x bx cx =++的图象如右图所示，则2221x x +等于（ A ．32 B ．34C ．38D ．31610．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值X 围 （）A ．[)+∞,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1C ．[)2,1+D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2014-2015学年浙江省温州市瑞安市八校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°2．（5分）已知a＞b，则下列不等式正确的是（）A．ac＞bc B．a﹣c＜b﹣c C．a3＞b3D．＜3．（5分）已知直线l1：3x+4y﹣3=0，l2：3x+4y+7=0，则这两条直线间的距离为（）A．B．1 C．2 D．44．（5分）方程x2+y2﹣2x+6y+m=0表示圆，则实数m的取值范围（）A．m＞10 B．m≥10 C．m≤10 D．m＜105．（5分）三条直线x=2，x﹣y﹣1=0，x+ky=0相交于一点，则实数k=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣6．（5分）已知点（1，1）、（0，﹣2）在直线x+ay+1=0的两侧，则实数a的取值范围（）A．（﹣2，﹣）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）7．（5分）已知点M与两个定点（1，0），（﹣2，0）的距离的比为，则点M 的轨迹所包含的图形面积等于（）A．9πB．8πC．4πD．π8．（5分）直线l：ax﹣y+b=0与圆M：x2+y2﹣2ax+2by=0，则l与M在同一坐标系内的图形可能是（）A．B． C．D．9．（5分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）在R上定义运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是（）A．B．C．﹣1＜y＜1 D．0＜y＜2二、填空题（本大题共7题，每小题4，共28分）11．（4分）已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），则|AB|=．12．（4分）若x＞1，则的取值范围．13．（4分）点A（2，3）关于直线x+y=0的对称点A′的坐标是．14．（4分）直线y=x+1被圆x2+y2﹣2x﹣2y=0截得弦长为．15．（4分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为．16．（4分）已知点A（1，2）在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则+的最小值为．17．（4分）若直线l1：x+ay+a=0与2x+3y﹣6=0的交点M在第一象限，则l1的倾斜角的取值范围．三、简答题（本大题共4题，共42分，解答应写出文字符号说明，证明过程或演算步骤）18．（8分）三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，8）、C（9，3）．（1）求AB边所在的直线方程．（2）求AB边上高的长度．19．（10分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP ⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．20．（12分）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＞0．（1）若不等式的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值．（2）若不等式对一切x∈（0，3）恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知点P（1，a）和圆x2+y2=4．（1）若过点P的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；（2）若a=，过点P的圆的两条弦AC、BD互相垂直，求四边形ABCD面积的最大值．2014-2015学年浙江省温州市瑞安市八校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°【解答】解：因为直线的方程为x=﹣1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=﹣1的倾斜角为90°，故选：C．2．（5分）已知a＞b，则下列不等式正确的是（）A．ac＞bc B．a﹣c＜b﹣c C．a3＞b3D．＜【解答】解：A．若c=0，则不等式ac＞bc不成立，B．∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，故B不成立，C．函数y=x3是增函数，则a3＞b3成立，D．当a＞0＞b时，＜不成立，故选：C．3．（5分）已知直线l1：3x+4y﹣3=0，l2：3x+4y+7=0，则这两条直线间的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：直线l1：3x+4y﹣3=0，l2：3x+4y+7=0，则这两条直线间的距离为：=2．故选：C．4．（5分）方程x2+y2﹣2x+6y+m=0表示圆，则实数m的取值范围（）A．m＞10 B．m≥10 C．m≤10 D．m＜10【解答】解：由圆的一般式方程可得D2+E2﹣4F＞0，即4+36﹣4m＞0，求得m ＜10，故选：D．5．（5分）三条直线x=2，x﹣y﹣1=0，x+ky=0相交于一点，则实数k=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【解答】解：∵三条直线相交于一点P，∴直线x=2，x﹣y﹣1=0，相交于一点P则，解得：，∴P（2，1）；∴直线x+ky=0过点P，即2+k=0，∴k=﹣2；故选：C．6．（5分）已知点（1，1）、（0，﹣2）在直线x+ay+1=0的两侧，则实数a的取值范围（）A．（﹣2，﹣）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）【解答】解：∵点A（1，1）与B（0，﹣2），在直线x+ay+1=0的两侧，∴A，B两点对应式子x+ay+1的符号相反，即（1+a+1）（0﹣2a+1）＜0，即（a+2）（1﹣2a）＜0，∴（a+2）（2a﹣1）＞0，解得a＞或a＜﹣2，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞），故选：D．7．（5分）已知点M与两个定点（1，0），（﹣2，0）的距离的比为，则点M 的轨迹所包含的图形面积等于（）A．9πB．8πC．4πD．π【解答】解：设M（x，y），由点M与两个定点（1，0），（﹣2，0）的距离的比为，得=整理得：（x﹣2）2+y2=4．∴点M的轨迹所包含的图形面积为4π．故选：C．8．（5分）直线l：ax﹣y+b=0与圆M：x2+y2﹣2ax+2by=0，则l与M在同一坐标系内的图形可能是（）A．B． C．D．【解答】解：圆M：x2+y2﹣2ax+2by=0的标准方程为：（x﹣a）2+（y+b）2=a2+b2，圆心M（a，﹣b），半径直线l：ax﹣y+b=0的斜率为：a，y轴上的截距为：b，对于A，由直线方程可知：a＞0，b＞0，圆心M（a，﹣b），满足题意，但是圆与y轴不相交，图形不满足题意，A不正确；对于B，由直线方程可知：a＞0，b＜0，圆心M（a，﹣b），满足题意，但是圆与x，y轴相交，图形满足题意，所以B正确；对于C，由直线方程可知：a＜0，b＞0，圆心M（a，﹣b），不满足题意，图形不满足题意，所以C不正确；对于D，由直线方程可知：a＜0，b＜0，圆心M（a，﹣b），不满足题意，图形不满足题意，所以D不正确；故选：B．9．（5分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选：B．10．（5分）在R上定义运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是（）A．B．C．﹣1＜y＜1 D．0＜y＜2【解答】解：由题意可得，（x﹣y）*（x+y）=（x﹣y）（1﹣x﹣y）＜1对于任意的x都成立即y2﹣y＜x2﹣x+1对于任意的x都成立设g（x）=x2﹣x+1=所以，所以解可得，故选：A．二、填空题（本大题共7题，每小题4，共28分）11．（4分）已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），则|AB|=．【解答】解：点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），则|AB|==．故答案为：．12．（4分）若x＞1，则的取值范围（0，1）．【解答】解：∵函数y=在x＞1上是减函数，∴此时0＜＜1，故答案为：（0，1）13．（4分）点A（2，3）关于直线x+y=0的对称点A′的坐标是（﹣3，﹣2）．【解答】解：设点A（2，3）关于直线x+y=0的对称点A′的坐标为（m，n），则由求得，故A′（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．14．（4分）直线y=x+1被圆x2+y2﹣2x﹣2y=0截得弦长为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y=0即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，表示以C（1，1）为圆心，半径等于的圆．由于圆心到直线y=x+1的距离为d==，故弦长为2=2=，15．（4分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为 2.5．【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=x+y，可化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，故过点A（1，1.5）时有最大值，最大值为1+1.5=2.5，故答案为：2.5．16．（4分）已知点A（1，2）在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则+的最小值为9．【解答】解：∵点A（1，2）在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+2n=1．则+=（m+2n）=5+≥5+2×2=9，当且仅当n=m=取等号，∴+的最小值为9．17．（4分）若直线l1：x+ay+a=0与2x+3y﹣6=0的交点M在第一象限，则l1的倾斜角的取值范围（，）．【解答】解：联立两直线方程得：，解得：所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，解得：﹣，设直线l的倾斜角为θ，则ta nθ＞，所以θ∈（，）．故答案为：（，）．三、简答题（本大题共4题，共42分，解答应写出文字符号说明，证明过程或演算步骤）18．（8分）三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，8）、C（9，3）．（1）求AB边所在的直线方程．（2）求AB边上高的长度．【解答】解：（1）∵k AB==4，则AB的直线方程：y=4（x﹣4），即：4x﹣y﹣16=0．（2）AB边的高的长度为点C到直线AB的距离，则=．则AB边上的高的长度为．19．（10分）已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．【解答】解：将x=3﹣2y代入方程x2+y2+x﹣6y+m=0，得5y2﹣20y+12+m=0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=．∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0．而x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，∴x1x2=9﹣6（y1+y2）+4y1y2．9﹣6×4+5×=0∴m=3，此时△＞0，圆心坐标为（﹣，3），半径r=．20．（12分）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＞0．（1）若不等式的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值．（2）若不等式对一切x∈（0，3）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵不等式kx2﹣2x+6k＞0的解集是{x|﹣3＜x＜﹣2}，∴k＜0，且﹣3和﹣2是方程kx2﹣2x+6k=0的实数根，由根与系数的关系，得；（﹣3）+（﹣2）=，∴k=﹣；（6分）（2）根据题意kx2﹣2x+6k＞0，得：k＞在（0，3）上恒成立；设y==，x∈（0，3），∵x+≥2，即=2，当且仅当x=时取“=”；∴==，∴k的取值范围为（，+∞）．（12分）21．（12分）已知点P（1，a）和圆x2+y2=4．（1）若过点P的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；（2）若a=，过点P的圆的两条弦AC、BD互相垂直，求四边形ABCD面积的最大值．【解答】解：（1）若过点P的圆的切线只有一条，则知点P圆上，则1+a2=4，解得a=±；当a=时，点P（1，），切线方程为x+y﹣4=0，当a=﹣时，点P（1，﹣），切线方程为x﹣y﹣4=0，（2）设原点O到AC、BD的距离为d 1，d2，（d1≥0，d2≥0）则，于是|AC|=，|BD|=，由AC、BD相互垂直，则四边形ABCD的面积S====2，∵d12+d22≥2d1d2，则d1d2，当且仅当d1=d2=时取“=”则d12d22，从而S=2≤5，即：四边形ABCD的面积最大值为5．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2014学年第一学期瑞安四校期中联考高 二 数 学 (理)答 案(完卷时间：100分钟； 满分：120分)二、填空题：（本题总共6小题，每题4分，总分为24分）11、 1 12、 4S π 13、14、 E 为SA 的中点 15、 31(,)55- 16 、 ⑴⑵⑶ 三、解答题（本题共4小题，总分为52分。

解题必须有文字说明、解题过程和演算步骤。

） 17．（本题满分13分）已知直线,012:1=++y ax l 直线0:2=+-a y x l ，（1）若直线21l l ⊥，求a 的值及垂足P 的坐标； （2）若直线21//l l ，求a 的值及直线1l 与2l 的距离. 解：（1）∵ ,212:1--=x a y l ,:2a x y l +=∴直线1l 的斜率为21a k -=，在y 轴上的截距211-=b 直线2l 的斜率为12=k ， 在y 轴上的截距a b =2 -----------------2分21l l ⊥ ∴ 11)2(21-=⋅-=ak k ----------------4分∴2=a ----------------5分 由⎩⎨⎧=+-=++020122y x y x 解得43,45=-=y x ，P 的坐标为（43,45-）。

----------------7分（2） 21//l l ∴ 12=-a 且21-≠a - ----------------9分 ∴ 2-=a --------------------------10分 在直线2l 上取点（2，0），则1l 与2l 的距离4232)2-(10222-22=++⨯+⨯=d ----13分18. （本题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .．证明：(1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD . ---------------2分 又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. ----------------4分 又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1. ----------------7分(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1. ----------------8分因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F . ----------------9分又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. ----------------10分由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD . ----------------11分又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE . ----------------14分19.（本题满分14分）如图，直角△BCD 所在的平面垂直于正△ABC 所在的平面，P A ⊥平面ABC ，2DC BC PA ==,E 为DB 的中点， (1)证明：AE ⊥BC ；(2)求直线PB 与面DBC 所成的角的余弦值。

姓名 班级 密 封
线
5
20．（本小题满分 12 分）已知一个几何体的三视图如图所示。求此几何体的表面积；
（2）如果点 P, Q 在正视图中所示位置： P 为所在线段中点， Q 为顶点，求在几何体 表面上，从 P 点到 Q 点的最短路径的长。
a
P
正视图
a
2a
Q
侧视图
2a
r a
俯视图
21、 （本小题满分 12 分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO 底面 ABCD， E 是 PC 的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面 BDE；（Ⅱ）平面 PAC 平面 BDE．
BAD 90 ， PA 底面 ABCD ，且 PA AD AB 2 BC ， M 、N 分别为 PC 、 PB 的中点。
（Ⅰ）求证： PB DM ；（Ⅱ）求 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值。
（解答文字说明、 证明过程或演算步骤写在答题纸上）
4
2014 学年第一学期瑞安八校高二期中联考数学答题卷
22、 （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥 P ABCD 中， 底面为直角梯形，AD // BC ，
M 、N 分别为 PC 、 BAD 90 ，PA 底面 ABCD ， 且 PA AD AB 2 BC ， PB
的中点。（Ⅰ）求证： PB DM ；（Ⅱ）求 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值。
D1 A1 B1 C1
D A B
C
（第 14 题图）
（第 15 题图）
15、如图，已知正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2 3 ,其高为 3，则侧面与底面所成的二面角 等于 。
2
16、将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD 2 ,则三棱锥 D—ABC 的体积 为 。 17、设 a 0, b 0. 若 3是3 与3 的等比中项，则

A BDA 瑞安中学度第一学期高二年级期中考试数学（理科）试题总分：100分 时间：100分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 直线042=--y x 绕着它与x 轴的交点逆时针方向旋转4π所得的直线方程是 （ ）A.063=-+y xB.023=--y xC.063=+-y xD.02=--y x2. 给出以下命题，其中正确的有（ ）①在所有的棱锥中，面数最少的是三棱锥；②棱台上、下底面是相似多边形，并且互相平行；③直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；④用两个平行截面去截圆柱，得到的几何体还是圆柱.A.1个B.2个C.3个D.4个3. 从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则这两条切线的夹角为 （ ） A ．300B ．600C ．900D ．14.△A B C '''表示水平放置的△ABC 在斜二测画法下的直观图，A B ''在x '轴上，B C ''与x '轴垂直，且B C ''=3，则△ABC 的边AB 上的高为（ ）A.5. 下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①、③B. ①、④C. ②、③D. ②、④6. 已知BC 是圆2225x y +=的动弦，且｜BC ｜＝6，则BC 的中点的轨迹方程是（ ）A.122=+y x B. 922=+y x C. =+22y x 16 D.4=+y x 7.圆()3122=++y x 绕直线01=--y kx 旋转一周所得的几何体的体积为（ ）A. π36B. π12 C ．π4 D. π348. 已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是（ ）A ．[1，13]B ．[2，13]C ．4[,13]5D．9. 如图所示的正方体中，E 、F 分别是AA 1,D 1C 1的中点，G 是正方形BD D 1B 1的中心，则空间四边形AGEF 在该正方体面上的投影不可能是（ ）10. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是对角线A 1B 上的动点，则AM+MD 1的最小值为（ ）B.2 D.2二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，满分21分）11. 已知直角坐标平面上的点(2,3)A ，则点A 关于直线0x y +=的对称点A '的坐标是 ．12. 在空间直角坐标系中，点P 在x 轴上，它到1P 的距离为它到2(0,1,1)P -的两倍，则点P 的坐标为 ．13. 一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为__________．14. 在正四棱锥P ABCD -中，二面角P AB C --的余弦值为3，则异面直 线PC 和AB 所成角等于 ．15. 已知点A B 、、C 在球心为O 的球面上，ABC ∆的内角A B 、、C 所对边的长分别为a b c 、、，且222a b c bc =++，a =，球心O 到截面ABC 的距离为，则该球的表面积为 .16. 设l 、m 、n 是两两不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，A 为一点，下列命题:①若,, l l m m αα则；②若,A,A ,l m l αα⊂=∉ l m 则与必为异面直线；③,,, , l m l m l m αββααβ⊂⊂且与为异面直线，则； ④若 αβ⊥，l α⊂, l β⊥则； ⑤,l αβ= , , m n βγγα== , l m n γ则.其中正确的有： ．（要求把所有正确的序号都填上）17. 已知平面内一点},16)sin 2()cos 2(|),{(22R y x y x P ∈=-+-∈ααα，则满足条件的点P 在平面内所组成的图形的面积是 ．瑞安中学度第一学期高二年级期中考试……………………数学（理科）答题卷二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，满分21分）11．______________ 12．______________ 13．_______________ 14．______________ 15．______________ 16．_________ _____ 17．_______________ 三、解答题（本大题共4小题，共39分，解答应写出文字说明或演算步骤）18．（本题8分）已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y +-=. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .19．（本题9分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2P A P D A D ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PDC .本题10分）已知圆C:222430x y x y ++-+=.（Ⅰ）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（Ⅱ）从圆C 外一点P 11(,)x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM PO =，求使得PM 取得最小值的点P 的坐标．21．（本题12分）如图，在五棱锥ABCDE P -中，PA ⊥平面ABCDE ，//AB CD ，//AC ED ，//AE BC 。

温州中学2014学年第二学期期中考试高二数学（理科）试题卷注意事项：1、本试卷共两部分，满分100分。

2、本试卷全部答案需答在答题纸上。

选择题部分必须用2B 铅笔填涂；非选择题部分必须用黑色签字笔在每题规定的答题区域内答题，答在试卷和草稿纸上的答案无效。

一．选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1. 在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．计算21og 63 +log 64的结果是（ ） A ．log 62 B ．2 C ．log 63 D ．3 3．如果1()1xf xx=-，则当0x ≠且1x ≠时，()f x =（ ） A ．1x B ．11x - C ．11x - D ．11x-4的图象是（ ）5．设集合101x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}1Bx x a =-<，则“1a =”是“A B φ⋂≠”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知二次函数f(x)图象的对称轴是x=x 0，它在区间值域为,则( ) A ． 0x b ≥B ． 0x a ≤C ．0(,)x a b ∈D ．0(,)x a b ∉7．记实数1x ,2x ,,n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,,最小数为{}12min ,,n x x x …,,则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，（ ）A ．B ．D ．C ．A ．34B ．1C ．3D ．728．已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能．．．为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定： ； 10.函数212log (32)y x x =-+的递增区间是 ；11.设4()42xx f x =+，若01a <<，则()(1)f a f a +-= ，1232014()()()()2015201520152015f f f f ++++= ； 12. 若关于x 的方程210x ax a -+-=在区间[2,)+∞上有解，则a 的取值范围是 ； 13. 已知函数x x f x2log )31()(-=，0a b c <<<，0)()()(<c f b f a f ，实数d 是函数()f x 的一个零点．给出下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的是 （填序号） 14．4个不同的球放入编号为1，2，3，4的三个盒子中，每个盒子中球的个数不大于盒子的编号，则共有 种方法（用数字作答）。

瑞安中学2013学年第一学期高三期中考试数学（理科）试卷 2013.11一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P=（ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y2. 已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-且,a b 则23a b += （ ） A.(2,4)-- B. (3,6)-- C. (4,8)-- D. (5,10)--3. 若α、β都是第一象限的角，则“αβ>”是“tan tan αβ>” （ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4. 已知ABC ∆中，5tan 12A =-，则cos A = （ ） A. 1213 B. 513 C. 513- D. 1213-5.抛物线2y x =的焦点关于直线:l y x =-的对称点是 （ ）A .1(,0)4-B. 1(0,)4-C. 1(,0)4D. 1(0,)46. 一束光线从点(1,1)-出发经x 轴反射到圆C ：22(2)(3)1x y -+-=上的最短路程是 （ ）A. 4B. 1-C. 5D.7. 已知双曲线的渐近线方程为,y = 焦点坐标为(4,0)-、(4,0),则该双曲线的方程为 （ ）A. 221824x y -=B. 221124x y -=C. 221248x y -=D. 221412x y -=8.已知12,F F 为双曲线C:221916x y -=的左、右焦点，点P 在曲线C 上，123,PF PF = 则12cos F PF ∠= （ ） A. 527 B. 527- C. 725- D. 7259. 如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数()sin ,f x x = 1()g x x=，则Q(x)是( ) A ．)()(x g x f B ．f (x)g (x) C ．f ( x ) – g ( x ) D ．()()f xg x +10. 若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 （ ） A.B. C.D.二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共计28分. 11. 双曲线221x y -=的离心率是 ▲12.函数lg(2cos 1)y x =+-的定义域为 ▲ ．13．已知12,F F 为椭圆221369x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A,B 两点，若2216F A F B +=，则AB = ▲ 。

2015-2016学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离3．已知不同直线a，b，l，不同平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若a⊥l，b⊥l，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若β⊥γ，b⊥γ，则b∥βD．若α⊥l，β⊥l，则α∥β4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．26．点P在直线l：x﹣y﹣1=0上运动，A（4，1），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值是（）A．B．C．3 D．47．如图，∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，则B'N与平面ABC所成角的正切值是（）A．B．C．D．8．已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE 上的动点（包括端点），PQ=．设线段PQ中点的轨迹为l，则l的长度为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．在空间直角坐标系o﹣xyz中，点A（1，2，2），则|OA|= ，点A到坐标平面yoz的距离是．10．已知直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a= ，此时点P的坐标为．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是个，它的表面积是．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则AE= ．13．已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是．14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是．15．已知点P（1，1），圆C：x2+y2﹣4x=2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为M（M不同于P），若|OP|=|OM|，则l的方程是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（Ⅰ）证明：M，N，C，D1四点共面；（Ⅱ）求几何体AMN﹣DD1C的体积．17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（Ⅰ）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（Ⅱ）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，，∠DAB=45°．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．19．如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使FG⊥BG．（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；（Ⅱ）求二面角G﹣BF﹣E的余弦值．20．如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B两点．当时，．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠AT B始终被y轴平分？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．四、附加题（本小题满分15分，实验班学生做）21．己知椭圆+=1的离心率为，且它的一个焦点F1的坐标为（0，1）（Ⅰ）试求椭圆的标准方程：（Ⅱ）设过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求△NAB 的面积的最大值．2015-2016学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】直线的倾斜角．【专题】常规题型．【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．【解答】解：将已知直线化为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为30°，故选A．【点评】本题考察直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．2．两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于半径之差，而小于半径之和，可得两圆相交．【解答】解：两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心距为，它大于半径之差2﹣1，而小于半径之和2+1，故两圆相交，故选：B．【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的判定，属于基础题．3．已知不同直线a，b，l，不同平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若a⊥l，b⊥l，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若β⊥γ，b⊥γ，则b∥βD．若α⊥l，β⊥l，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】对四个选项进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a⊥l，b⊥l，则a，b平行、相交或异面，不正确；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系；对于C，若β⊥γ，b⊥γ，则b∥β或b⊂β，不正确；对于D，垂直于同一直线的两个平面平行，正确．故选：D．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）=π，解得：r=，l=，故圆锥的高h==，故选：B【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．6．点P在直线l：x﹣y﹣1=0上运动，A（4，1），B（2，0），则|PA|+|PB|的最小值是（）A．B．C．3 D．4【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】求出A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′，|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|，由此能求出结果．【解答】解：∵设A（4，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为A′（x，y），则，解得x=2，y=3，∴A′（2，3）∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P、A′、B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|==3．故选：C．【点评】本题考查动点到两定点的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称性及两点间距离公式的合理运用．7．如图，∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，则B'N与平面ABC所成角的正切值是（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所成角的定义要找到斜线B′M在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B′在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可．【解答】解：∵∠C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，将△BMN沿直线MN折起，使二面角B′﹣MN﹣B的大小为，∴∠BMB′=，取BM的中点D，连B′D，ND，由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，∴折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MD=60°，并且B′在底面ACB内的投影点D就在BC上，且恰在BM的中点位置，∴B′D⊥BC，B′D⊥AD，B′D⊥面ABC，∴∠B′ND就为斜线B′N与平面ABC所成的角设AC=BC=a，则B′D=，B′N=，DN=，tan∠B′ND===．故B'N与平面ABC所成角的正切值是．故选：D．【点评】本题考查平面图形的翻折与线面角的问题，应注意折前与折后的各种量变与不变的关系，而对于线面角的求解通常有传统的求作角、解三角形法及向量方法，这个内容是高考中三个角的重点考查内容之一，一般不会太难，但对学生的识图与空间想象能力的要求较高，是很好区分学生空间想象能力的题型．8．已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE 上的动点（包括端点），PQ=．设线段PQ中点的轨迹为l，则l的长度为（）A．2 B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】由题意作出图形，建立空间直角坐标系，设出P、Q、M的坐标，由中点坐标公式把P、Q的坐标用M的坐标表示，然后利用PQ=列式，求出PQ中点的轨迹为四分之一圆周，则l 的长度可求．【解答】解：如图，以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设P（m，1，0）（0≤m≤1），Q（0，0，n）（0≤n≤1），M（x，y，z），则由中点坐标公式得：．∴m=2x，n=2z ①，∵|PQ|=，∴m2+n2=1 ②，把①代入②得，4x2+4z2=1．即．∵0≤m≤1，0≤n≤1，∴．∴PQ中点M的轨迹方程为．轨迹l为在垂直于y轴的平面内，半径为的四分之一圆周．∴l的长度为．故选：D．【点评】本题考查了轨迹方程，训练了利用空间坐标系求解动点的轨迹，体现了参数思想在解题中的应用，考查了学生的空间想象能力，属难题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．在空间直角坐标系o﹣xyz中，点A（1，2，2），则|OA|= 3 ，点A到坐标平面yoz的距离是 1 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】根据空间中两点间的距离公式，求出|OA|的值．利用点A（x，y，z）到坐标平面yoz 的距离=|x|即可得出．【解答】解：根据空间中两点间的距离公式，得：|OA|==3．∵A（1，2，2），∴点A到平面yoz的距离=|1|=1．故答案为：3，1【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式的应用问题，熟练掌握点A（x，y，z）到坐标平面yoz的距离=|x|是解题的关键，属于中档题．10．已知直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a= 1 ，此时点P的坐标为（3，3）．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由直线垂直的性质得a×1+1×（a﹣2）=0，由此能求出a，再由直线l1和l2联立方程组，能求出点P的坐标．【解答】解：∵直线l1：ax+y﹣6=0与l2：x+（a﹣2）y+a﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a×1+1×（a﹣2）=0，解得a=1，解方程，解得x=3，y=3，∴P（3，3）．故答案为：1，（3，3）．【点评】本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法，考查两直线交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是 1 个，它的表面积是21 ．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2，高是2的等腰三角形；底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为1；另两个侧面是等腰三角形，底边长为，腰长为，即可得出结论．【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2，高是2的等腰三角形，其面积为=2与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为1，故是直角三角形，其面积为=1，另两个侧面是等腰三角形，底边长为，腰长为，其面积为=9∴表面积是2+1+18=21，故答案为：1，21．【点评】本题考查三视图，几何体的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是90°，若D1E⊥EC，则AE= 1 ．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设E（1，t，0），0≤t≤2，分别求出和，由•=0，能求出直线D1E与A1D所成角的大小；分别求出，，由=0，能求出AE的长．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．故答案为：900，1．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．13．已知圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是 1 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】求出圆的圆心和半径，再求出|OC|的最小值，用|OC|的最小值减去半径，即得所求．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2=1表示圆心为C（﹣2，﹣m+4），半径R=1的圆，求得|OC|=，∴m=4时，|OC|的最小值为2故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|的最小值﹣R=2﹣1=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系，两点间的距离公式的应用，属于中档题．14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是60°．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】本题考查的知识点是线面角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，∴tan∠ADE==，∴∠ADE=60°．故答案为：60°．【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角；②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角；③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值．15．已知点P（1，1），圆C：x2+y2﹣4x=2，过点P的直线l与圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为M（M不同于P），若|OP|=|OM|，则l的方程是3x+y﹣4=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】圆C的方程可化为（x﹣2）2+y2=6，所以圆心为C（2，0），半径为，设M（x，y），运用•=0，化简整理求出M的轨迹方程．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，可得ON⊥PM，由直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由点斜式方程可得直线l的方程．【解答】解：圆C的方程可化为（x﹣2）2+y2=6，所以圆心为C（2，0），半径为，设M（x，y），则=（x﹣2，y），=（1﹣x，1﹣y），由题设知•=0，故（x﹣2）（1﹣x）+y（1﹣y）=0，即（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x﹣1.5）2+（y﹣0.5）2=0.5．M的轨迹是以点N（1.5，0.5）为圆心，为半径的圆．由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为，所以l的斜率为﹣3，故l的方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣4=0．故答案为：3x+y﹣4=0．【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系，直线和圆相交的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（Ⅰ）证明：M，N，C，D1四点共面；（Ⅱ）求几何体AMN﹣DD1C的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：MN∥A1B，即可证明M，N，C，D1四点共面；（Ⅱ）证明几何体AMN﹣DD1C是一个三棱台，再求几何体AMN﹣DD1C的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵A1D1∥AD，A1D1=AD，又BC∥AD，BC=AD，∴A1D1∥BC且A1D1=BC连接A1B，则四边形A1BCD1是平行四边形所以A1B∥D1C…在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3所以，所以MN∥A1B…所以MN∥D1C，所以M，N，C，D1四点共面．…（Ⅱ）解：因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，又M，N，C，D1四点共面．所以平面AMN∥平面DD1C延长CN与DA相交于点P，因为AN∥DC所以，即，解得，同理可得，所以点P与点Q重合所以D1M，DA，CN三线相交于一点，所以几何体AMN﹣DD1C是一个三棱台，…所以…【点评】本题考查四点共面的证明，考查求几何体AMN﹣DD1C的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（Ⅰ）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（Ⅱ）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）当直线过原点时，a=2，当直线l不过原点时，由截距相等，得a=0，由此能求出直线l的方程．（Ⅱ）由题意知l在x轴，y轴上的截距分别为，由题意知，由此能求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a+1≠0，即a≠﹣1．…当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时a=2，直线l的方程为3x+y=0；…当直线l不过原点时，即a≠2时，由截距相等，得，即a=0，直线l的方程为x+y+2=0，综上所述，所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0．…（Ⅱ）由题意知，a+1≠0，a﹣2≠0，且l在x轴，y轴上的截距分别为…由题意知，，即（a﹣2）2=12|a+1|，…当a+1＞0时，解得…当a+1＜0时，解得a=﹣4，综上所述或a=﹣4．…【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程中参数a的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD的中点，PA=PD=AD=2，，∠DAB=45°．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：平面DEF⊥平面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（Ⅱ）运用余弦定理，可得BD=2，BD⊥AD，运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，因为底面ABCD是平行四边形，所以F是AC中点．在△PAC中，又E是PA中点，所以EF∥PC．又因为EF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC；（Ⅱ）在△ABD中，因为，∠DAB=45°，由余弦定理得：BD==2，所以BD⊥AD．因为面PAD⊥底面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥面PAD．因为BD⊂面DEF，所以平面DEF⊥平面PAD．【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．19．如图所示，正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、CD、AD的中点，将ABCD沿EF折起，使FG⊥BG．（Ⅰ）证明：EB⊥平面AEFD；（Ⅱ）求二面角G﹣BF﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）设正方体的棱长为2，证明EF⊥面AEB．EB⊥AE，推出EB⊥面AEFB．（Ⅱ）取EF的中点H，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，说明∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E 的平面角，在Rt△GHO中，求解二面角G﹣BF﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，在Rt△BGF中，所以…∵EF⊥AE，EF⊥EB，∴EF⊥面AEB．∵AD∥EF，∴AD⊥面AEB，∴AD⊥AB所以在Rt△BGF中，得…在△AEB中，又A E=BE=1∴EB⊥AE又EF⊥EB∴EB⊥面AEFB…（Ⅱ）解：取EF的中点H，则GH⊥EF，由（Ⅰ）知，EB⊥面AEFB，所以面EFCB⊥面AEFB，所以GH⊥面EFCB，作HO⊥BF，垂足为O，连接GO，由三垂线定理知，GO⊥BF，所以∠GOH就是所求二面角G﹣BF﹣E的平面角．…在Rt△GHO中，GH=1，，所以，所以所以二面角G﹣BF﹣E的余弦值为．…【点评】本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．如图，已知圆C的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆C与直线y=kx+3相交于A，B两点．当时，．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点T，使得∠ATB始终被y轴平分？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）设圆心C（0，b），b＞0，则半径r=b，利用勾股定理，建立方程，即可求出b，从而求圆C的方程；（Ⅱ）假设存在点T（0，t），联立方程组，利用韦达定理，结合k AT+k BT=0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（0，b），b＞0，则半径r=b，…则圆心C（0，b）到的距离∴…得∴b=2或b=﹣4（舍）∴圆C的方程为∴x2+（y﹣2）2=4…（Ⅱ）假设存在点T（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组得（1+k2）x2+2kx﹣3=0则…由k AT+k BT=0即…∴2kx1x2+（3﹣t）（x1+x2）=0，∴6k+2k（3﹣t）=0对k取任意实数时都成立，∴t﹣3=3即t=6故存在定点T（0，6），使得∠ATB始终被y轴平分．…【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．四、附加题（本小题满分15分，实验班学生做）21．己知椭圆+=1的离心率为，且它的一个焦点F1的坐标为（0，1）（Ⅰ）试求椭圆的标准方程：（Ⅱ）设过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，N是椭圆上不同于A、B的动点，试求△NAB 的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦距即可求出标准方程；（Ⅱ）设过焦点F1的直线为l，分两类，若l的斜率不存在，求出答案，若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，根据韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，得到S△2=6（1﹣）2（1﹣），构造函数f（t）=6（1﹣t）2（1﹣t2），利用导数求出函数的最值，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则c=1，又e==，可解得a=，∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的标准方程为+=1；（Ⅱ）设过焦点F1的直线为l，①若l的斜率不存在，则A（0，），B（0，），即|AB|=2，显然当N在短轴顶点（0，）或（0，﹣）时，△NAB的面积最大，此时，△NAB的最大面积为×2×=．②若l的斜率存在，不妨设为k，则l的方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，消去y整理得：（2k2+3）x2+4kx﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，则|AB|=|x1﹣x2|=，∵当直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，设切线l′：y=kx+m，（m≤﹣），联立方程：，消去x整理得：（2k2+3）y2+4kmy+2m2﹣6=0，由△=（4km）2﹣4（2k2+3）（2m2﹣6）=0，解得m2=2k2+3，（m＜﹣），又点N到直线l的距离d=，∴S△=d|AB|=×，∴S△2==6（1﹣）2（1﹣），令t=（﹣，0）设f（t）=6（1﹣t）2（1﹣t2），∴f′（t）=12（1﹣t）2（2t+1），∵当t∈（﹣，﹣）时，f′（t）＞0，当t∈（﹣，0）时，f′（t）＜0，∴f（t）在（﹣，﹣）上是增函数，在（﹣，0）为减函数，∴f（t）min=f（﹣）=，故k2=时，△NAB的最大面积为，显然＜，∴当l的方程为y=±x+1，△NAB的面积最大，最大值为．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，利用导数求函数的最值问题，考查运算能力，考查化归思想，属于难题．。

2014-2015学年浙江省瑞安四校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）直线2x+3y+1=0的斜率为（）A．B．C．D．2．（4分）下列命题正确的是（）A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面3．（4分）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．4．（4分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，E、F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为（）A．30°B．60°C．0°D．120°6．（4分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．7．（4分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ8．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与面BCC1B1所成角的正切值为（）A．B．C．D．9．（4分）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是（）A．4x+y﹣6=0 B．x+4y﹣6=0C．3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0 D．2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=010．（4分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中错误的是（）A．BD⊥AC B．△ABC是等边三角形C．平面ADC⊥平面ABC D．二面角A﹣BC﹣D的正切值为二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线的倾斜角等于45°，则a的值是．12．（4分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是．13．（4分）已知直线的斜率为4，且在x轴上的截距为2，此直线方程为．14．（4分）圆柱的底面积为S，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是．15．（4分）一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是．16．（4分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；（2）=1；（3）二面角F﹣AC1﹣C的大小为90°；（4）三棱锥D﹣ACF的体积为．正确的有．三、解答题（本题共4小题，总分为56分．解题必须有文字说明、解题过程和演算步骤．）17．（13分）已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1∥l2，求a的值及直线l1与l2的距离．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，AC=CC1=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC 1∥平面CDB1；（2）求异面直线AC1与CB1所成的角的余弦值．19．（14分）已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点．（1）求证：DE⊥平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．20．（15分）如图，已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，∠BAP=45°，CA=CB，直线CA和平面α所成的角为30°．（Ⅰ）证明BC⊥PQ；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣P的大小．2014-2015学年浙江省瑞安四校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）直线2x+3y+1=0的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：化直线2x+3y+1=0的方程为斜截式可得：y=x﹣，由斜截式的特点可知已知直线的斜率为：故选：A．2．（4分）下列命题正确的是（）A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面【解答】解：由平面的公理2及推论可知：不共线的三点可以确定一个平面，故A不正确；直线和直线外的一点可以确定一个平面，故B不正确；四边形可以为空间四边形，故C不正确；两条相交直线可以确定一个平面，故D正确．故选：D．3．（4分）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．【解答】解：所给图形的正视图是A选项所给的图形，满足题意．故选：A．4．（4分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：B．5．（4分）如图，E、F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为（）A．30°B．60°C．0°D．120°【解答】解：取AC的中点G，连接EG，GF，由中位线定理可得：GE∥PC，GF∥AB且GE=5，GF=3，∴∠EGF或补角是异面直线PC，AB所成的角．在△GEF中由余弦定理可得：cos∠EGF===﹣∴∠EGF=120°，则异面直线PC，AB所成的角为60°．故选：B．6．（4分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．7．（4分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ【解答】解：若m∥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若α∥β，m⊄β，m∥α，则由直线与平面平行的判定定理得m∥β，故B正确；若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行．故D错误．故选：B．8．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与面BCC1B1所成角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空直角坐标系，∵E为BC1的中点，∴D（0，0，0），E（1，2，1），∴=（1，2，1），设DE与面BCC1B1所成角的平面角为θ，∵面BCC1B1的法向量=（0，1，0），∴sinθ=|cos＜，＞|=||=，∴cosθ=，∴tanθ==．故选：C．9．（4分）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是（）A．4x+y﹣6=0 B．x+4y﹣6=0C．3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0 D．2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0【解答】解设所求直线为l，由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，…（2分）（1）AB的斜率为=﹣4，当直线l∥AB时，l的方程是y﹣2=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6=0．…（6分）（2）当直线l经过线段AB的中点（3，﹣1）时，l的斜率为=，l的方程是y﹣2=（x﹣1），即3x+2y﹣7=0．…（10分）故所求直线的方程为3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0．…（12分）故选：C．10．（4分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中错误的是（）A．BD⊥AC B．△ABC是等边三角形C．平面ADC⊥平面ABC D．二面角A﹣BC﹣D的正切值为【解答】解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC=a，对于A，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，∴BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，∴BD⊥AC，故A正确；对于B，由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，又BD=CD=a，∴由勾股定理得：BC=•a=a，又AB=AC=a，∴△ABC是等边三角形，故B正确；对于C，∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC 为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC 不垂直，故C错误；对于D，依题意知，AD⊥底面BDC，过点D作DE⊥BC于点E，连接AE，则AE⊥BC，∴∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，设为θ，则tanθ====，故D正确；故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线的倾斜角等于45°，则a的值是1．【解答】解：∵过点A（a，4）和B（﹣2，a）的直线的倾斜角等于45°，∴tan45°==1，解得a=1．故答案为：1．12．（4分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是平行或相交（直线b在平面α外）．【解答】解：由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α，平行时b与平面α平行，当a，b，所在平面与平面α相交时，b与平面α相交，故答案为：平行或相交（直线b在平面α外）．13．（4分）已知直线的斜率为4，且在x轴上的截距为2，此直线方程为4x﹣y﹣8=0．【解答】解：直线的斜率为4，且在x轴上的截距为2，所以所求直线方程为：y=4（x﹣2），即4x﹣y﹣8=0．故答案为：4x﹣y﹣8=0．14．（4分）圆柱的底面积为S，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是4πs．【解答】解：圆柱的底面积为S，所以底面半径为：，底面周长为：；侧面展开图为一个正方形，所以圆柱的高为：，所以圆柱的侧面积为：=4πS故答案为：4πs15．（4分）一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，其底边上的高也为2的正四棱锥，故其体积V==．故答案为：．16．（4分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；（2）=1；（3）二面角F﹣AC1﹣C的大小为90°；（4）三棱锥D﹣ACF的体积为．正确的有（2）（3）（4）．【解答】解：（1）连接AB 1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，在三角形AB1C1中，B1C1=2，AB1=2，AC1=2，cos∠B1C1A==，故（1）错；（2）连接AF，C1F，则易得AF=FC1=，又FD⊥AC1，则AD=DC1，故（2）正确；（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则∠CDF为二面角F﹣AC1﹣C的平面角，CD=，CF=，DF===，即CD2+DF2=CF2，故二面角F﹣AC1﹣C的大小为90°，故（3）正确；（4）由于CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则AD⊥平面CDF，=V A﹣DCF=•AD•S△DCF=×××=．故（4）正确．则V D﹣ACF故答案为：（2）（3）（4）三、解答题（本题共4小题，总分为56分．解题必须有文字说明、解题过程和演算步骤．）17．（13分）已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0．（1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；（2）若直线l1∥l2，求a的值及直线l1与l2的距离．【解答】解：（1）∵直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x﹣y+a=0，当直线l1⊥l2时，a×1+2×（﹣1）=0，解得a=2，∴l1：2x+2y+1=0，直线l2：x﹣y+2=0，联立解得∴a的值为2，垂足P的坐标为（，）；（2）当直线l1∥l2时，，解得a=﹣2，∴l1：﹣2x+2y+1=0，直线l2：﹣2x+2y+4=0，由平行线间的距离公式可得d==∴a的值为﹣2，直线l1与l2的距离为18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，AC=CC1=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求异面直线AC1与CB1所成的角的余弦值．【解答】（1）证明：连接BC1，交CB1于E，连接DE，由于D为中点，E为中点，则DE∥AC1，DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，则有AC1∥平面CDB1；（2）解：由（1）可得DE∥AC1，DE=AC1，则DE和CB1所成的角或补角即为异面直线AC1与CB1所成的角．在三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则△ABC为直角三角形，AB为斜边，即有CD=，AC1==3，DE=，CE==，在三角形CDE中，cos∠CED==．故异面直线AC1与CB1所成的角的余弦值为．19．（14分）已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点．（1）求证：DE⊥平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．【解答】解：在△ADE中，AD2=AE2+DE2，∴AE⊥DE∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE又PA∩AE=A，∴DE⊥平面PAE（2）∠DPE为DP与平面PAE所成的角在Rt△PAD，，在Rt△DCE中，（12分）在Rt△DEP中，PD=2DE，∴∠DPE=30°20．（15分）如图，已知直二面角α﹣PQ﹣β，A∈PQ，B∈α，C∈β，∠BAP=45°，CA=CB，直线CA和平面α所成的角为30°．（Ⅰ）证明BC⊥PQ；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣P的大小．【解答】解：（I）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，又因为CA=CB，所以OA=OB．而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．从而BO⊥PQ．又CO⊥PQ，所以PQ⊥平面OBC．因为BC⊂平面OBC，故PQ⊥BC．（II）由（I）知，BO⊥PQ，又α⊥β，α∩β=PQ，BO⊂α，所以BO⊥β．过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．故∠BHO是二面角B﹣AC﹣P的平面角．由（I）知，CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，不妨设AC=2，则，．在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以，于是在Rt△BOH中，．故二面角B﹣AC﹣P的大小为arctan2．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

瑞安中学2014学年第一学期高二期中考试数学(实验班)试卷、选择(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。

)1.若直线\1: ax • 3y • 1 =0与l 2:2x (a 1)y -1=0互相平行，则a 的值是 (▲)A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3设m,n 是两条不同的直线，-,是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若 m _ ： - , n II 】，贝 y m _ n ②若 m//「，n II 】，贝 y m//n③若〉11 ::11 , m_ ［，则 m_ ④若：•—，：—，则〉II -其中正确命题的序号是(▲) A ①和③B ②和③C ②和④D ①和④X _1I4.已知a 〉0,x ,y 满足约束条件$x + y 兰3 ，若z = 2<^ 的最小值为1，则a=(^ )、工a(x -3)1厂1 A.—B. -C . 1D . 2425•已知函数 f x = log a x(0：： a 1)的导函数 f x , A=f a,b = f(a1)-f(a)C = f (a ，1),D = f (a • 2) - f(a • 1)，则 代 B,C,D 中最大的数是(▲)A . AB . BC . CD . D6•如图，P 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1对角线AC 1上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD的面积为f(x)，贝U f (x)的图象大致是(▲)A. -3 2.已知复数B. 2 i i 2C. -3或2D. 3或-2 ，则复数z 在复平面内对应的点位于f （x ） 企的部分图象，ABCD 是矩形,x +1A ,B 在图像上，将此矩形绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积 的最大值为（▲）A .二 C . 3 二二、填空题：（本大题共5展开式中的常数项为—▲ 12•已知点E （2,1）和圆O ： x 2 • y 2 =16,过点E 的直线l 被圆0所截得的弦长为 2 15，则 直线l 的方程为▲.13.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。

浙江省瑞安中学2014—2015学年度上学期10月月考高二数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知点,直线,平面，以下叙述正确的是 ( )A. αα∈⇒⊂∈A a a A ,B. αα∉⇒⊄∈A a a A ,C. αα∉⇒⊄∉A a a A ,D. αα⊂⇒⊂∈A a a A ,2．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ）A. B. 2 C. 4 D ．3．已知表示两条不同直线，表示平面，①若则 ②若，，则③若，，则 ④若，，则以上四个命题中正确命题个数( )A.0B.1C.2D.34. 空间直线、、，则下列命题中真命题的是（ ）A. 若⊥,⊥,则//B. 若与是异面直线,与是异面直线, 则与也是异面直线C.若//,⊥,则⊥D. 若a // ，与是异面直线，则与也是异面直线5．已知三棱柱的三个侧面都是全等的正方形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）俯视图侧视图正视图53A.54B.60C.66D.728. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1 的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线（ ）A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条9.已知异面直线分别在平面内，且,则直线a ( )A.同时与都相交B.至少与中的一条相交C.至多与中的一条相交D.只能与中的一条相交10.(理)如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(文)如图，在正方体中，与平面所成的角为，则的值是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是_____▲ ________12.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的母线长为 ▲ .13．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则该长方体的外接球的表面积_____▲ ____.14. 三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则___▲ _____.15.如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，①与平行；②与为异面直线；③与成角；④.以上四个命题中，正确命题的序号是 ▲ .16．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则的最大值为 ▲ ．三、解答题（本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）如图，正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面的中心）底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．B18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，，PA=3，∠ABC=120°，G 为（1）证明：PA//平面BGD ；（2) 求直线DG 与平面PAC 所成的角的正切值.19.（本小题满分14分）如图，在四面体A −BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD=2，BD=22,∠BDC= 60︒.（1）求异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦值． （2）EFGH//AB,EFGH//CD 截面截面,求证： EFGH 截面为平行四边形. （3）在（2）条件下，求面积的最大值,并说明理由.B C参考答案一、选择题1—5ADBCA 6—10CCDBB二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）．11．12．13．14．15．②③④16．三、解答题（本大题共3小题，满分36分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17．（本题满分10分）177分18．（本题满分12分）解: (1)证明：设点O为AC、BD的交点，由AB=BC,AD=CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O 为AC的中点，连结OG又因为G为PC的中点，所以，又因为PA BGD OG⊄⊂平面，平面BGD所以PA//面BGD—————————————（6分）(2)PA ABCD BD ABCD⊥⊂平面，平面，,又由(1)知=BD AC PA AC A⊥，,所以与面所成的角是.由(1)知:，，AC=，所以，在直角中，2OD=，在直角中，tanODDGOOG∠==12分）19．（本题满分14分）解:（1）（4分）(2)////(6//////EFGH CDACD EFGH FG CD FGFG EHCD ACD EFGHCD EHEF HG⎫⎫⎫⎪⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⎪⇒⎬⎪⎪⊂⇒⎬⎭⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎭面面面分）面四边形为平行四边形（8分）同理同理(3)//1(10)//FG AFFG CDFG EFCD ACEF CF CD ABEF ABAB AC⎫⇒=⎪⎪⇒+=⎬⎪⇒=⎪⎭分11=)4FG EFEF FGCD AB+=+≥⇒⋅≤⋅=分sinEFGHS EF FG EFG=⋅⋅∠≤=分）10分。

2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（3分）直线的倾斜角的大小是（）A．135°B．120°C．60°D．30°2．（3分）直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．（3分）如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．4．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m5．（3分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣26．（3分）已知圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣2y﹣6=0，则两圆的公共弦长为（）A．B．2 C．2 D．17．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．8．（3分）若圆x2+y2﹣4x+2my+m+6=0与y轴的两个交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣6 B．m＞3或﹣6＜m＜﹣2 C．m＞3或﹣6＜m＜﹣1 D．m＞3或m＜﹣19．（3分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 10．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．（3分）已知直线ax+y+1=0恒过一定点，则此定点的坐标是．12．（3分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．13．（3分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．14．（3分）已知点E（2，1）和圆O：x2+y2=16，过点E的直线l被圆O所截得的弦长为4，则直线l的方程为．15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．16．（3分）在直角坐标系xOy中，设A（3，2），B（﹣2，﹣3），沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长为．17．（3分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（8分）若空间某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．19．（9分）已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l 上，直线PA交x轴正半轴于点B，（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．20．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：DE⊥BC；（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．21．（10分）已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．22．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．2014-2015学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（3分）直线的倾斜角的大小是（）A．135°B．120°C．60°D．30°【解答】解：由题意可得直线的斜率k=，设直线的倾斜角为α则tan∵0≤α＜π∴α=60°故选：C．2．（3分）直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：由于圆心（﹣1，1）到直线2x+y+1=0的距离为d==0，小于半径，故直线和圆相交，故选：A．3．（3分）如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选：D．4．（3分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解答】解：若l⊥α，l∥m，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，所以m⊥α所以选项A正确；若l⊥m，m⊂α，则l⊥α或l与α斜交或l与α平行，所以选项B不正确；若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m是异面直线，所以选项C错误；若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m异面或l∥m相交，所以选项D错误；故选：A．5．（3分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线l1：ax+3y+1=0，的斜率存在，斜率为﹣，l2：2x+（a+1）y+1=0，斜率为﹣∵直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行∴﹣=﹣解得：a=﹣3或2当a=2时，两直线重合，∴a=﹣3故选：A．6．（3分）已知圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣2y﹣6=0，则两圆的公共弦长为（）A．B．2 C．2 D．1【解答】解：圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣2y﹣6=0的方程相减可得公共弦所在的直线方程为y=﹣1，由于圆x2+y2=4的圆心到直线y=﹣1的距离为1，且圆x2+y2=4的半径为2，故公共弦的长为2=2，故选：B．7．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选：D．8．（3分）若圆x2+y2﹣4x+2my+m+6=0与y轴的两个交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣6 B．m＞3或﹣6＜m＜﹣2 C．m＞3或﹣6＜m＜﹣1 D．m＞3或m＜﹣1【解答】解：令x=0，则y2+2my+m+6=0，∵A，B位于原点的同侧，∴关于y的方程有一是有根，二是两根积大于0∴△=4m2﹣4（m+6）＞0且m+6＞0解得﹣6＜m＜﹣2或m＞3故选：B．9．（3分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．10．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED 内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.11．（3分）已知直线ax+y+1=0恒过一定点，则此定点的坐标是（0，﹣1）．【解答】解：因ax+y+1=0，∵与a的取值无关，∴x=0，解得y=﹣1．所以定点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．12．（3分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．【解答】解：把l2：2x+2y+3=0化为．∵l1∥l2，∴l1与l2的距离d==．故答案为：．13．（3分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径：=4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．14．（3分）已知点E（2，1）和圆O：x2+y2=16，过点E的直线l被圆O所截得的弦长为4，则直线l的方程为x=2，或3x+4y﹣10=0．【解答】解：由题意可得圆心到直线的距离为=2，当直线l的斜率不存在时，方程为x=2，当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k=0．由弦心距等于2可得=2，求得k=﹣，故要求的直线l的方程为x=2，或3x+4y﹣10=0，故答案为：x=2，或3x+4y﹣10=0．15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．【解答】解：将三棱锥D 1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，ED的距离等于棱长1，其==，F到底面D所以=××1=S故答案为：16．（3分）在直角坐标系xOy中，设A（3，2），B（﹣2，﹣3），沿y轴把坐标平面折成120°的二面角后，AB的长为2．【解答】解：作AC垂直y轴，BD垂直y轴，AM平行等于CD，连接AB，MD，CD=5，BD=2，AC=3=MD，BD=2，AC=MD=3，而BD⊥y轴，MD⊥y轴（MD∥AC），∠BDM就是二面角的平面角，∴∠BDM=120°，∴由余弦定理得：BM=，AM=5，∴由勾股定理得AB=2，故答案为：217．（3分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），又P（1，1），则x1+x2=x+1，y1+y2=y+1，，．由PA⊥PB，得，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0．整理得：x1x2+y1y2﹣（x1+x2）﹣（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1﹣2=x+y ①又∵点A、B在圆上，∴②再由|AB |=|PQ |，得，整理得：=（x ﹣1）2+（y ﹣1）2③把①②代入③得：x 2+y 2=6．∴矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为：x 2+y 2=6． 故答案为：x 2+y 2=6．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（8分）若空间某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面直径为6，高为5的圆柱，与圆锥的组合体； 其中圆锥的底面直径为6，高为=4，∴该几何体的体积为，V=V 柱+V 锥=π32•5+•π32•4=57π； 表面积为：S=S 底面圆+S 圆柱侧+S 圆锥侧 =π•32+2π•3•5+π•3•5=54π．19．（9分）已知直线l ：y=4x 和点P （6，4），点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线PA 交x 轴正半轴于点B ，（1）当OP ⊥AB 时，求AB 所在直线的直线方程；（2）求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时的B 的坐标．【解答】解：（1）∵点P（6，4），∴k OP=，∵OP⊥AB，∴k AB=，∵AB过点P（6，4），∴AB的方程为y﹣4=（x﹣6）化为一般式可得：3x+2y﹣26=0（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，则直线PA的斜率为=，解得b=，故B的坐标为（，0），故△OAB面积为S=××4a=，即10a2﹣Sa+S=0．由题意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解，故判别式△=S2﹣40S≥0，S≥40，故S的最小值等于40，此时方程为a2﹣4a+4=0，解得a=2．综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．20．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：DE⊥BC；（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO，因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点，在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．而EO⊂面EDB，PA⊄面EDB，所以PA∥面EDB．（2）因为PD⊥面ABCD，且BC⊂面ABCD，所以PD⊥BC．因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥CD．而CD∩DP=D，所以BC⊥面CDP，因为DE⊂面CDP，所以BC⊥DE．（3）解：因为PD⊥面ABCD，且DC⊂面ABCD，所以PD⊥DC．因为PD=PC，所以DE⊥PC．由（2）知DE⊥BC，而BC∩PC=C．所以DE⊥面PCB，而PB⊂面PCB，所以DE⊥PB．又有EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥面EFD．所以∠BDF即BD和面EFD所成的角．令PD=DC=1，则DB=，PB=，所以cos．故直线BD与面DEF所成角的余弦值为．21．（10分）已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（1）∵圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，即点A（4，0），B（0，2）是圆的一条直径，则圆心坐标为（2，1）．半径r=，则圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）点B关于直线l：x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上的点的最短距离为|B′C|﹣r，∴|PB|+|PQ|的最小值为，直线B′C的方程为y=，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标满足，解得，即P（﹣，﹣）．22．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由；（3）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取AC的中点H，连接BH，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；（2）存在这样的点N，当CN=CA时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．所以当CF=CN时，MN∥OF．所以CN=CA=CA（3）解：设AB=BC=2a，B在EF上的射影为B′，则B′F=a，==，∴S△DB′F==∵S△ABD′∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为．。