线性规划讲义

第一章 线性规划【教学内容】线性规划模型，图解法，可行区域的几何结构，基本可行解及线性规划的基本定理，单 纯形方法，单纯形表，两阶段法，关于单纯形方法的几点说明，对偶线性规划，对偶理论， 对偶单纯形法，求解线性规划问题的几个常用软件。

【教学要求】要求学生理解线性规划的标准形式，能熟练的将一般的线性规划问题化为标准形式；掌 握图解法，能用单纯形法求解线性规划问题；掌握灵敏度分析方法，能够建立线性规划模型 及用常用软件求解线性规划问题。

【教学重点】线性规划模型，图解法，单纯形方法，单纯形表，两阶段法，对偶线性规划，对偶单纯 形法，灵敏度分析。

【教学难点】基本可行解及线性规划的基本定理，单纯形方法，对偶线性规划，对偶理论，对偶单纯 形法。

第一节 线性规划模型线性规划(Linear Programming ， 简记为 LP )问题研究的是在一组线性约束条件下一个线 性函数最优问题。

§1．1 线性规划问题举例例 1.1.1 某工厂用 3 种原料 3 2 1 , , P P P 生产 3 种产品 3 2 1 , , Q Q Q 。

已知单位产品所需原 料数量如表 1.1.1 所示，试制订出利润最大的生产计划。

453 单位产品的利润（千元）20005 2 800 4 2 0 P 2 1500 0 3 2 P 1 原料可用量Q 3Q 2 Q 1 单位产品所需产品原料数量(kg)原料3P 3表 1.1.1分析 设产品 j Q 的产量为 j x 个单位， 3 , 2 , 1 = j ，它们受到一些条件的限制。

首先， 它们不能取负值，即必须有 3 , 2 , 1 , 0 = ³ j x j ；其次，根据题设，三种原料的消耗量分别不 能超过它们的可用量，即它们又必须满足：1223 123 231500 24800 3252000 x x x x x x x +£ ì ï+£ í ï ++£ î我们希望在以上约束条件下，求出 3 2 1 , , x x x ，使总利润 3 2 1 4 5 3 x x x z + + = 达到最大， 故求解该问题的数学模型为：123 12 23 123 max 354 231500 24800 .. 3252000 0,1,2,3j z x x x x x x x s t x x x x j =++ +£ ì ï +£ ï í++£ ï ï ³= î 类似这样的问题非常多。

线性规划讲义一、引言线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。

本讲义将介绍线性规划的基本概念、问题形式化、求解方法以及应用领域。

二、线性规划的基本概念1. 线性规划定义线性规划是一种在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解的数学问题。

线性规划的目标函数和约束条件都是线性的。

2. 线性规划的数学模型线性规划可以用数学模型来表示，一般形式为：最大化（或最小化）目标函数约束条件：线性规划的目标函数和约束条件可以包含多个变量和多个约束条件。

3. 线性规划的基本假设线性规划的求解过程基于以下假设：- 可行解存在：问题存在满足约束条件的解。

- 目标函数有界：问题存在有限的最优解。

- 线性关系：目标函数和约束条件都是线性的。

三、线性规划的问题形式化1. 目标函数的确定线性规划的目标函数可以是最大化或最小化某个特定的指标，如利润最大化、成本最小化等。

2. 约束条件的确定约束条件是限制问题解的条件，可以包括等式约束和不等式约束。

约束条件可以来自于问题的实际限制，如资源的有限性、技术要求等。

3. 决策变量的确定决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。

决策变量的选择应该与问题的实际需求相匹配。

四、线性规划的求解方法1. 图解法图解法是线性规划求解的一种直观方法，通过绘制约束条件的图形和目标函数的等高线，找到目标函数取得最大（或最小）值的点。

2. 单纯形法单纯形法是一种常用的线性规划求解算法，它通过迭代计算，逐步接近最优解。

单纯形法的基本思想是通过不断地移动到更优的解，直到找到最优解。

3. 整数规划的分支定界法整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量的取值为整数。

分支定界法是一种用于求解整数规划的方法，它通过将问题分解为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。

五、线性规划的应用领域线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：- 生产计划与调度- 运输与物流管理- 金融投资组合优化- 能源调度与优化- 供应链管理等六、总结线性规划是一种重要的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。

线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。

二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和一组线性约束条件组成。

目标函数是要最小化或者最大化的线性表达式，而约束条件是对决策变量的限制条件。

2. 决策变量决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。

决策变量通常用符号x表示。

3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，可以是等式约束或者不等式约束。

等式约束表示某些决策变量之间的关系，不等式约束表示某些决策变量的取值范围。

4. 目标函数目标函数是线性规划模型中要最小化或者最大化的线性表达式。

它通常由决策变量和系数构成。

三、模型建立1. 确定决策变量根据问题的具体情况，确定需要决策的变量，并用符号x表示。

2. 建立目标函数根据问题要求，建立一个线性表达式作为目标函数。

目标函数可以是最小化或者最大化的。

3. 建立约束条件根据问题中给出的限制条件，建立一组线性不等式或者等式作为约束条件。

每一个约束条件都要写成决策变量的线性表达式。

4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。

这些范围可以是非负数、整数或者其他限制条件。

四、求解方法1. 图形法当决策变量的个数较少时，可以使用图形法来求解线性规划问题。

图形法通过绘制约束条件的图形，并找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。

它通过迭代计算，逐步逼近最优解。

单纯形法的核心是构造单纯形表，并进行基变量的选择和迭代计算。

3. 整数线性规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法来求解。

整数线性规划是一种复杂的优化问题，通常需要使用分支定界等算法来求解。

五、案例分析以一个生产计划问题为例，假设一个工厂有两个产品A和B，需要决定每一个产品的生产数量，以最大化利润。

线性规划讲义标题：线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化技术，用于在给定约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。

它在各种领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将详细介绍线性规划的基本概念、解题方法以及实际应用。

一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学方法，用于寻觅一个线性函数的最大值或者最小值，同时满足一组线性等式或者不等式的约束条件。

1.2 线性规划的基本要素：线性规划包括目标函数、约束条件和决策变量三个基本要素。

目标函数用于描述要最大化或者最小化的目标，约束条件描述了问题的限制条件，决策变量是需要确定的未知数。

1.3 线性规划的标准形式：线性规划问题通常被转化为标准形式，即最小化目标函数，同时满足一组线性等式和不等式约束条件。

二、线性规划的解题方法2.1 图形法：图形法是线性规划的基本解法之一，通过在坐标系中画出约束条件和目标函数的等高线图，找到最优解的方法。

2.2 单纯形法：单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过逐步挪移顶点，找到最优解的方法。

2.3 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。

三、线性规划的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。

3.2 资源分配：线性规划可以匡助企业合理分配资源，以达到最优的效益。

3.3 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如货物运输路线的最优规划和运输成本的最小化。

四、线性规划的工具4.1 MATLAB：MATLAB是一种常用的数学建模工具，可以用于解决线性规划问题。

4.2 Excel：Excel也可以用于线性规划问题的建模和求解，通过插件或者函数实现。

4.3 Gurobi：Gurobi是一种专业的线性规划求解器，可以高效地解决大规模线性规划问题。

五、线性规划的发展趋势5.1 混合整数线性规划：混合整数线性规划是线性规划的扩展，将决策变量限制为整数，适合于更多实际问题。

第二章 线性规划教学重点：线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及可行区域的基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶和对偶理论，灵敏度分析。

教学难点：线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及可行区域的基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶性，灵敏度分析。

教学课时：24学时主要教学环节的组织：首先通过各种形式的例子归纳出线性数学规划的一般形式，然后在详细讲解主要内容的基础上，尽可能以图形和例题的形式给以形象的说明，使学生对知识点有更直观、具体的认识。

再通过大量习题巩固知识，也可以应用软件包解决一些实际问题。

第一节 线性规划问题教学重点：线性规划问题的实例，线性规划的一般形式、规范形式和标准形式教学难点：线性规划一般形式转换成标准形式。

教学课时：2学时主要教学环节的组织：首先通过几个实例总结出线性规划问题的一般形式，再介绍如何将一般形式转换成标准形式。

1、线性规划问题举例 生产计划问题某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如下表所示，试制订总利润最大的生产计划可控因素(所求变量)：设每天生产3种产品的数量分别为321,,x x x . 目标：使得每天的生产利润最大，就是使得利润函数：321453x x x ++ 达到最大. 受制条件：每天原料的需求量不超过可用量：原料1P ：15003221≤+x x原料2P ：8004232≤+x x原料3P ：2000523321≤++x x x蕴含约束：产量为非负数0,,321≥x x x模型321453max x x x ++15003221≤+x xs.t. 8004232≤+x x2000523321≤++x x x0,,321≥x x x运输问题一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库2,1;=i A i 发送到零售点4,3,2,1;=j B j ，仓库 i A 能供应的产品数量为2,1;=i a i ，零售点 j B 所需的产品的数量为4,3,2,1;=j b j 。

简单的线性规划问题高三复习讲义一：画出不等式组表示的平面区域1. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>，则1-a b 的取值范围是 ．2.已知点(),M a b 在由不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内，则点(),N a b a b +-所在平面区域的面积是( )A.4B.2C.1D.83.不等式组⎩⎨⎧≤≤≥+-+300)5)((x y x y x ，表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角三角形C ．梯形D ．矩形4.若点),(y x M 满足{mx y x <≥-022，区域内整点不少于18个，则m 的取值范围为（ ）2.≥m A2.>m B3.>m C3.≥m D5.已知集合A={(x,y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤y ，2x －y ≤1},集合B={(x,y)|3x+2y-m=0},若A ∩B ≠∅,则实数m的最小值等于__________.6. 设关于,x y 的不等式组2100y x a y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,,x 表示的平面区域为D .若在平面区域D 内存在点),(00y x P ，满足00345x y -=，则实数a 的取值范围是 ____________.7．已知直线01)1()2(=++++y m x m 上存在点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103203x y x y x ，则m 的取值范围为( )A ．),35[∞+-B ．]35,(--∞ C ．]21,1[- D ．]21,41[-8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 39.若函数2xy =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为A ．12B ．1C ．32D ．2二：简单的线性规划问题10.[14·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．811．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为A ．10B ． 8C ． 3D ．212．满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 ．13.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为（ ） A ．50,0 B ．30.0C ．20,30D ．0,5014.[2014·四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( C)图1-1A ．0B ．1C ．2D ．315.若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为________.16.[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．17.已知(,)P x y 是不等式组10300x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点,A 点坐标为(1,2),且O为坐标原点,则OA OP ⋅的最大值为( )A ．2B ．3C ． 5D ． 618．已知正实数,x y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则1142x yz ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为______.19.抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．20.设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为___________.21. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈，是z x y=+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.22.设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________.23.已知约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋4≥0x ＋2y －1≥03x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．0＜a ＜13B ．a ≥13C ．a ＞13D ．0＜a ＜1224．[2014·安徽卷] x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯．．一．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－125．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．[2,1]-C ．[1,2]-D ．[1,3]-26．[2014·浙江卷] 当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________.27.[2014·北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( D )A ．2B ． －2 C.12 D ．－1228．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－229.[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 2≥≥30．设1>m ，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．(1，1＋2)B ．),21(+∞+C ．(1，3)D ．),3(+∞线性规划问题的拓展应用31．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ⎧⎪<⎨⎪+- ⎩，221z x y =--，则z 的取值范围是 ( )A ．5[,5]3B ．[]0,5C ．[)0,5D ．5[,5)332．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．33．当实数x 满足约束条件020x y x x y k >⎧⎪≥⎨++≤⎪⎩（其中k 为小于零的常数）时，x y 1+的最小值为2，则实数k 的值是 .34．设实数,x y 满足约束条件202502x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22x y u x y +=+的取值范围是（ ）A ．39,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．47,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦35.已知z 、y 满足 203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则264x yx +--的最大值是________．36.若点P 在平面区域2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩上，则()2x y u xy +=的取值范围为37. 已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则||OA OM +的最小值是 .38. 已知实数,x y 满足条件001x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1()2y x -的最大值为__12_____.40.已知,x y 满足230490ln x y x y y x+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则12z x y =-的最小值是41.若实数x ，y 满足：，则x ＋2y 的最大值是（ ）A ． 3B ．C ．5D ．42.已知,x y 满足不等式组40x y e x y ⎧≥⎨-≥⎩,则2y xx +的取值范围是A.[1,4]B.[21,9]e +C.[3,21]e +D.[1,]e。

线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。

它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将从五个大点来详细阐述线性规划的相关概念和应用。

正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和形式线性规划是一种数学模型，其目标函数和约束条件均为线性函数。

一般形式为：最大化（或最小化）目标函数 Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数。

约束条件一般为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为系数，b1, b2, ..., bm为常数。

1.2 线性规划的可行解和最优解可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在所有可行解中使目标函数达到最大（或最小）值的解。

线性规划问题的解空间是一个多面体，最优解通常位于多面体的顶点。

1.3 线性规划的图解法和单纯形法线性规划问题可以通过图解法和单纯形法求解。

图解法适用于二维或三维问题，通过画出目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。

单纯形法适用于高维问题，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。

2. 线性规划的应用领域2.1 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。

通过考虑生产能力、资源约束和市场需求等因素，可以确定最优的生产数量和产品组合。

2.2 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。

通过考虑资源供应量、需求量和优先级等因素，可以实现资源的有效调配。

2.3 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的调度和路径规划。