2021年中考数学 一轮专题训练：矩形及其性质(二)(解析版)

2021中考数学 一轮专题汇编：矩形、菱形一、选择题1. （2020·南通） 下列条件中，能判定□ABCD 是菱形的是 A ．AC ＝BDB ．AB ⊥BCC ．AD ＝BDD ．AC ⊥BD2. （2020·抚顺本溪辽阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE ＝CE ，则OE 的长是（ ）A ．2 B．52C ．3D ．43. 如图，在▱ABCD中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BDC . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC4. （2020·牡丹江）如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为（2，23)，将菱形绕点O 旋转，当点A 落在x 轴上时，点C 的对应点的坐标为 （ ）A ．(2,23)--或(23,2)-B ．(2,23)C ．(2,23)-D ．(2,23)--或(2,23)5. （2020湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC ′D ′．若∠D ′AB ＝30°，则菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是（ ）BOC AyA ．1B ．C ．D ．6. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．72B ．24C ．48D ．967. 如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE ＝BF ，将∠AEH ，∠CFG 分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116时，则AEEB 为( )A. 53B. 2C. 52 D. 48. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个二、填空题9. 已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是 .AB CDEFOMN10. （2020·菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．A BC D QP11. 如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm .12. 如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D ＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．13. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．14. 如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E ＝________度.15. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将∠BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将∠ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；∠∠DEF∠∠ABG ；∠S △ABG ＝32S △FGH ；∠AG ＋DF ＝FG. 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)16. 如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D 分别落在边BC 下方的点C ′、D ′处，且点C ′、D ′、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB ＝t ，那么△EFG 的周长为______________（用含t 的代数式表示）．三、解答题17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∠AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．18. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.19. 已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．20. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．21. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ∠BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．(1)连接EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；(2)连接EP，设∠EPC的面积为y cm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；(3)若∠EPQ与∠ADC相似，请直接写出t的值．2021中考数学一轮专题汇编：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】根据菱形的定义和判断定理判断．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．只有D能够判断出四边形ABCD是菱形．故选D．2. 【答案】B【解析】根据菱形对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再结合等腰三角形的性质及判定得出OE ＝CE ＝DE ，从而求出．∵四边形ABCD 是菱形，∴OC ＝21AC ＝4， OD ＝21BD ＝3， AC ⊥DB ．∵OE ＝CE ，∴∠EOC ＝OE ∠DCO ．∵∠DOE ＋∠EOC ＝∠ODC ＋∠ECO ＝90°，∴∠DOE ＝∠ODC ，∴OE ＝DE ，∴OE ＝21DC ．在R t △DOC 中，CD ＝22OC OD ＝5，∴OE ＝21DC ＝52．故选项B正确．3. 【答案】C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．4. 【答案】D【解析】菱形OABC 中，点A 的坐标为（2，23)，所以OA=4，∠A=∠C=60°，分类讨论，①若顺时针旋转，旋转后的图形如图1所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C 对应点的坐标为（-2，-23)；②若逆时针旋转，旋转后的图形如图2所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C 对应点的坐标为（2，23).5. 【答案】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB 的一半，∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD 的面积为AB2．∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是．故选：B ．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．6. 【答案】 C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ， ∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°，∴BD ＝2OH ，∵OH ＝4，∴BD ＝8， ∵OA ＝6，∴AC ＝12，∴菱形ABCD 的面积．故选：C ．7. 【答案】A【解析】如解图，由折叠的对称性可知，∠A ＝∠J ，∠C ＝∠M ，四边形MNJK 和四边形BENF 都是菱形，则BE ＝NE ，AE ＝JE ，∠菱形MNJK 与菱yxA BCO y xABCO图1图2形ABCD 相似，且菱形MNJK 的面积是菱形ABCD 面积的116，∠⎝ ⎛⎭⎪⎫JN AB 2＝116，∠JN AB＝14，设JN ＝a ，EN ＝b ，则AB ＝4a ，∠AB ＝AE ＋EB ＝EJ ＋EN ＝JN ＋EN ＋EN＝JN ＋2EN ＝a ＋2b ，∠a ＋2b ＝4a ，∠a ＝23b ，AE BE ＝a ＋b b ＝53.8. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 二、填空题 9. 【答案】2 [解析]∵菱形两对角线互相垂直且平分，较长对角线的一半为，∴菱形较短对角线的一半为=1.根据菱形面积等于两对角线长乘积的一半得:×2×2=2 .10. 【答案】317【解析】由于已知BC 的长，故可设想在R t △BCQ 中利用勾股定理求解，则需求CQ 的长，这可通过求DQ 的长得到，结合已知条件BP ＝BA ＝5，易知DQ ＝DP ，显然DP 可求，思路沟通．在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90º，AB ＝5，AD ＝12，∴BD ＝22AD AB +＝13，又∵BP ＝BA ＝5，∴DP ＝13－5＝8，∠BAP ＝∠BP A ．∵AB ∥DQ ，∴∠BAP ＝∠PQD ，∴∠PQD ＝∠BP A ＝∠DPQ ，∴DQ ＝DP ＝8，∴CQ ＝8－5＝3．在R t △BCQ 中，BC =12，CQ =3，∴BQ ＝22312+＝317．11. 【答案】13【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.解图12. 【答案】(3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG∠BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．解图13. 【答案】105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在∠ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在∠DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.解图14. 【答案】15【解析】如解图，连接AC.∠四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∠AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图15. 【答案】①①①【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故∠正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与∠ABG 不相似，故∠不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故∠正确；∠AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故∠正确．综上，答案是∠∠∠.16. 【答案】．思路如下：如图，等边三角形EFG 的高＝AB ＝t ，计算得边长．三、解答题17. 【答案】 证明：∠DE∠AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，(2分)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝90°，(4分)∵四边形AODE 是平行四边形，∠AOD ＝90°，∴四边形AODE 是矩形．(5分)18. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD ，∴AE ∥DC ，∴∠EBO=∠DCO ，∠BEO=∠CDO ，∵点O 是边BC 的中点，∴BO=CO ，∴∠EBO ≌△DCO (AAS)，∴EO=DO ，∴四边形BECD 是平行四边形.(2)100 [解析]若四边形BECD 为矩形，则BC=DE ，BD ⊥AE ，又AD=BC ，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.19. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，AB=CD ，AD ∥BC ，∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE 和△CDF 中，B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF(AAS)；(2)∵AD ∥BC ，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF 是矩形．20. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S =， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5， ∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.21. 【答案】(1)在矩形ABCD 中，∠AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∠CD ＝AB ＝6 cm ，AD ＝BC ＝8 cm ，∠BAD ＝∠ADC ＝∠DCB ＝∠B ＝90°， 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，∠FQ ∠BC ，∠∠FQC ＝90°，∠四边形CDFQ 是矩形，∠DF ＝QC ，FQ ＝DC ＝6 cm ，由题意知，BE ＝2t ，QC ＝DF ＝t ，∠EQ ＝BC －BE －QC ＝8－3t ，∠四边形EQDF 为平行四边形，∠FD ＝EQ ，即t ＝8－3t ，解得t ＝2；(2)∠∠FQC ＝90°，∠B ＝90°，∠∠FQC ＝∠B ，∠PQ ∠AB ， ∠∠CPQ ∠∠CAB ，∠PQ AB ＝QC BC ，即PQ 6＝t 8，∠PQ ＝34t ，∠S ∠EPC ＝12EC ·PQ ，∠y ＝12·(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3，即y ＝－34(t －2)2＋3，∠a ＝－34＜0，∠当t ＝2时，y 有最大值，y 的最大值为3；(3)t 的值为2或12857或12839.【解法提示】分两种情况讨论：若E 在FQ 左边，∠当∠EPQ ∠∠ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝8－3t 8，解得t ＝2；∠当∠EPQ ∠∠CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝8－3t 6，解得t ＝12857.若E 在FQ 右边，∠当∠EPQ ∠∠ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝3t －88，解得t ＝4(舍去)；∠当∠EPQ ∠∠CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝3t －86，解得t ＝12839.综上所述，若∠EPQ 与∠ADC 相似，则t 的值为：2或12857或12839.。

2021年九年级中考数学一轮复习提分专练—图形变化类：找规律（三）1．如图所示，一张桌子可以摆放6张椅子，两张桌子拼在一起则可以摆放10张椅子．（1）按此方式摆放下去的话，4张桌子拼在一起可以摆放张椅子．（2）n张桌子拼在一起可以摆放张椅子．（3）如果按以上方式每5张桌子拼成一起形成一张长桌子，则100张桌子可以摆放多少张椅子？2．下列是小朋友用火柴棒拼出的一组图形：仔细观察，找出规律，解答下列各题：（1）第四个图中共有根火柴棒，第六个图中共有根火柴棒；（2）按照这样的规律，第n个图形中共有根火柴棒（用含n的代数式表示）；（3）按照这样的规律，第20个图形中共有多少根火柴棒？3．用棋子摆成如图所示的图案，请完成下面的问题：（1）按图示规律填写表：（2）第n个图案的棋子数是多少？图形编号①②③④⑤…棋子个数（3）求第100个图案共需多少个棋子？4．如图是由一些火柴棒搭成的图形：（1）搭第①个图形需要根火柴棒，搭第②个图形需要根火柴棒，搭第③个图形需要根火柴棒；（2）按照这样的规律继续搭下去，搭第n个图形需要根火柴棒．5．【阅读】邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作…依此类推，若第n次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为n阶方形．如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形．【探索】（1）如图3，邻边长分别为2和3的长方形是阶方形．（2）已知长方形的邻边长分别为1和a（a＞1），且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出a的值．【拓展】（3）若长方形的邻边长分别为a和b（a＜b），且满足a＝4r，b＝5a+r，则这个长方形是阶方形．6．观察下列点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤的后面的横线上分别写出相应的等式；①1＝12②1+3＝22③1+3+5＝32④⑤．（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．（3）利用以上的规律回答下面的问题：小明将1元的硬币以上面的方式排成正方形，但排完后还剩14个硬币，如果外围再增加一层硬币，则还差3个硬币，请你想一想小明究竟有个硬币．7．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接． （1）若把2张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （2）若把8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （3）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？8．用棋子摆出下列一组图形，请观察图形，根据你发现的规律解答下列问题：（1）填写下表： 图形编号 1 2 3 4 5 6 图形中棋子的枚数69（2）第n 个图形中共有 枚棋子；（3）照这样的方式摆下去，第100个图形中棋子数是多少枚？9．如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究并解答下列问题．。

2021年中考数学《一轮专题训练》—选择题专项：矩形的性质与判定综合（二）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD、BC交于点E、F．连接BE，DF，若EF＝AE+FC，则边BC的长为（）A．2B．3C．6D．2．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，则四边形BCFE的面积为（）A．10 B．9 C．D．3．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（）A．①B．②C．③D．④4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（）A．5 B．6 C．2D．35．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为（）A．1 B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（）A．（，6）B．（，6）C．（，6）D．（，6）7．矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作▱AEDF．在点E 从点B移动到点C的过程中，▱AEDF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变8．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC ＝40°，则∠E的度数是（）A．65o B．60o C．50o D．40°9．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（）A．B．C．D．10．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD11．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CD D．AB∥CD 12．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角13．如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．不能确定14．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②③D．②③④15．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个16．如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（）A．2∠ACE＝∠BAC+∠B B．EF＝2OCC．∠FCE＝90°D．四边形AFCE是矩形17．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°18．如图，直角三角形ABC中，AC＝2，BC＝4，P为斜边AB上一动点，PE⊥BC，PF ⊥CA，则线段EF长的最小值为（）A．B．2 C．D．19．下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形20．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（）A．B．C．2cm D．1cm参考答案1．解：∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OD，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠FBO＝∠EDO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，BF＝DF，∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四边形BFDE为菱形，AE＝CF，∴EO＝FO，∠FBO＝∠OBE，∠ABE＝∠OBE＝∠OBF＝30°，∵EF＝AE+FC，∴AE＝EO＝OF＝CF，∵AB＝3，∴AE＝，BE＝，∴CF＝AE＝，BF＝BE＝，∴BC＝BF+CF＝，故选：B．2．解：∵△GEF为等腰直角三角形，∴GE＝GF，∠EGF＝90°，∴∠AGE+∠DGF＝90°，∵∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠AEG＝∠DGF，∴△AEG≌△DGF（AAS），∴AE＝GD，AG＝DF，∵AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，∴DG＝AE＝2，AG＝DF＝AD﹣DG＝3，∴CF＝CD﹣DF＝4﹣3＝1，∴S四边形BCFE＝（2+1）×5＝，故选：D．3．解：如图所示：∵四边形ABCD和四边形③是矩形，∴AB＝CD，FP＝CG，∵AE＝CG，∴BE＝DG，∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×CD﹣BF×FP＝BF×（CD﹣CG）＝BF×DG＝BF×BE＝矩形②面积，故选：B．4．解：连接GE交AC于O，如图：∵四边形EFGH是菱形，∴GE⊥AC，OG＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CEO与△AOG中，，∴△CEO≌△AOG（AAS），∴AO＝CO，∵AC＝＝＝4，∴AO＝AC＝2，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOG＝∠B＝90°，∴△AOG∽△ABC，∴＝，即＝，∴AG＝5；故选：A．5．解：作BH⊥OA于H，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝5，∴AO＝OB＝，∵BH•AC＝AB•BC，∴BH＝＝，在Rt△OBH中，OH＝＝＝，∵EA⊥CA，∴BH∥AE，∴△OBH∽△OEA，∴＝，∴＝＝＝．∴＝，故选：C．6．解：∵B（8，6），四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCD＝∠OAB＝90°∵将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，∴△OAB≌△OEB，∴∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，∴BE＝OC，在△OCD和△BED中，，∴△OCD≌△BED（AAS），∴CD＝ED，设CD＝ED＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，即CD＝，∴点D的坐标是（，6），故选：B．7．解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：则∠AGE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB，∵四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD 的面积，即▱AEDF的面积保持不变；故选：D．8．解：如图，连接BD，∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，∴△BDE中，∠E＝（180°﹣∠DBE）＝（180°﹣50°）＝65°，故选：A．9．解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，∴四边形DNKM是菱形，∴KM＝MD，∵sinα＝sin∠DMC＝，∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝KM＝acm，则CM＝8﹣a（cm），∵MD2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝（cm），∴sinα＝sin∠DMC＝＝＝，故选：B．10．解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．11．解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠ABC＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，∴AO＝OB＝OD＝OC，即对角线平分且相等，∴四边形ABCD为矩形，正确；C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，无法得出△ABO≌△DCO，故无法得出四边形ABCD是平行四边形，进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∵BO＝DO，∴OA＝OB＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠BAO＝∠ODC，∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；故选：C．12．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．13．解：∵EF∥MN，∴∠AEAC+∠MCA＝180°，∵AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，∠EAF ＝180°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BAD＝90°，∴∠B＝90°，同理可得，∠D＝90°，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故选：C．14．解：∵MN∥CB，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OC＝OE＝OF，故①正确，∵∠BCD＝180°，∴∠ECF＝90°，若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5，故③错误，∴OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．故选：A．15．解：∵MN∥CB，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OC＝OE＝OF，故①正确，∵∠BCD＝180°，∴∠ECF＝90°，若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5，故③错误，∴OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是矩形．故选：C．16．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠BAC+∠B，∵CE平分∠DCA，∴∠ACD＝2∠ACE，∴2∠ACE＝∠BAC+∠B，故A选项正确；∵EF∥BC，CF平分∠BCA，∴∠BCF＝∠CFE，∠BCF＝∠ACF，∴∠ACF＝∠EFC，∴OF＝OC，同理可得OE＝OC，∴EF＝2OC，故B选项正确；∵CF平分∠BCA，CE平分∠ACD，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，故C选项正确；∵O不一定是AC的中点，∴四边形AECF不一定是平行四边形，∴四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误，故选：D．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°故选：A．18．解：连接PC，如图所示：∵PE⊥BC，PF⊥CA，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，∵垂线段最短，∴当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝2，又∵当CP⊥AB时，×AC×BC＝×AB×CP，∴PC＝＝＝．∴线段EF长的最小值为．故选：C．19．解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．20．解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD，∵CD＝1，∴DE＝1，∵AD∥BC，∠ABC＝45°，∴∠EAD＝∠ABC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE＝1，∴AD＝，∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝，故选：B．。

2021年中考（通用版）数学一轮复习矩形及其性质（二）1．平行四边形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F、G、H 分别在矩形的各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．3B．6C．6D．93．如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（）A．1 B．C．4﹣2D．8﹣4 4．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（）cm．A．14 B．20 C．28 D．305．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝3，GC＝4．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积为9．其中正确的结论为（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④6．如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，BC＝6．则矩形的面积为（）A．6B．12C．9 D．187．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边AD上，EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG的值是（）A．4 B．4.8 C．4.5 D．68．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边平行且相等B．每一条对角线所在直线都是它的对称轴C．内角和等于外角和D．对角线互相平分9．在四边形ABCD中，下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB，OC＝OD D．AB∥DC，AB＝DC，OA ＝OB10．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．测量门框的三个角是否都是直角11．下列条件中，不能判断一个四边形是矩形的是（）A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角B．有3个角是直角C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D．一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等12．下列说法错误的是（）A．16的平方根为±4B．⼀组对边平行，⼀组对⻆相等的四边形是平行四边形C．⼀限不循环小数是无理数D．对⻆线相等的四边形是矩形13．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠214．要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量两组对边是否分别相等B．测量两条对角线是否互相垂直平分C．测量其中三个内角是否都为直角D．测量两条对角线是否相等15．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．∠1＝∠2 C．∠ABC＝90°D．AC ⊥BD16．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°18．如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，则BD等于（）cm．A．1 B．2 C．3 D．419．下列说法正确的有（）个①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；④两条对角线相等的四边形是矩形．A．1 B．2 C．3 D．420．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AB边上任一点，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是（）A．10 B．C．4.8 D．7.2参考答案1．解：平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等；故选：A．2．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝3，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝＝3，∴C 四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝6．故选：C．3．解：设乙的直角边为x，依题意得：4x+4x＝×42+x2，整理可得：x2﹣16x+16＝0，解得x＝8±4，∵8+4＞4，不合题意舍去，8﹣4＜4，符合题意，∴x＝8﹣4，故选：D．4．解：设AB＝4xcm，则BC＝3xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∴AC＝＝＝5x（cm），∴5x＝10cm，∴x＝2cm，∴AB＝8cm，BC＝6cm，∴矩形ABCD的周长＝2（8+6）＝28（cm），故选：C．5．解：∵∠FGH＝90°，∴∠BGF+∠CGH＝90°．又∵∠CGH+∠CHG＝90°，∴∠BGF＝∠CHG，故①正确．同理可得∠DEH＝∠CHG．∴∠BGF＝∠DEH．又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH，∴△BFG≌△DHE（AAS），故②正确．同理可得△AFE≌△CHG．∴AF＝CH．∵∠BGF＝∠CHG，∠B＝∠C＝90°，∴△BFG∽△CGH．设矩形GHEF的边GH为a，则EF为a，∴＝，AB＝EF＝a，FG＝3，GC＝4．∴＝∴BF＝，∴AF＝AB﹣BF＝a﹣．∴CH＝AF＝a﹣．在Rt△CGH中，∵CG2+CH2＝GH2，∴42+（a﹣）2＝a2．解得a＝3．∴GH＝3．∴BF＝a﹣＝．在Rt△BFG中，BG＝＝．∴tan∠BFG＝＝＝，故③错误．因为矩形EFGH的面积＝FG×GH＝3×3＝9，故④正确．∴其中正确的结论为①②④．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA，∴AC＝2AB，∵BC＝6．∠ABC＝90°，∴AC2＝AB2+62，解得，AB＝2，∴矩形的面积为：AB•BC＝2×6＝12，故选：B．7．解：设AC、BD交于点O，连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC ＝90°，∴AC＝＝＝10，OA＝OD＝5，△AOD的面积＝矩形ABCD的面积＝×6×8＝12，又∵△AOE的面积+△DOE的面积＝△AOD的面积，∴OA×EF+OD×EG＝12，即×5×（EF+EG）＝12，解得：EF+EG＝4.8，故选：B．8．解：A、对边平行且相等，菱形和矩形都具有的性质；B、每一条对角线所在直线都是它的对称轴，菱形具有而矩形不一定具有的性质；C、内角和等于外角和，菱形和矩形都具有的性质；D、对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质；故选：B．9．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AB∥DC，AB ＝DC，OA＝OB，理由如下：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；其它三个选项的条件均不能判定四边形ABCD是矩形；故选：D．10．解：∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意，∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C符合题意，∵三个角都是直角的四边形是矩形，故D不符合题意；故选：C．11．解：A、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，又∵有一个内角是直角，∴这个四边形是矩形；选项A不符合题意；B、∵有3个角是直角的四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、如图所示：∵两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形，∴△AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC，且OA＝OB，OC ＝OD，∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、∵一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等，∴这个四边形可能为等腰梯形或矩形，故选项D符合题意；故选：D．12．解：A、由于（±4）2＝16，所以16的平方根为±4．故本选项说法正确．B、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形．故本选项说法正确．C、无理数是⼀限不循环小数，故本选项说法正确．D、对⻆线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项说法错误．故选：D．13．解：A、∵AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，错误；B、∵AC⊥BD，∴▱ABCD为菱形，错误；C、∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；D、∵∠1＝∠2，∴▱ABCD为菱形，错误；故选：C．14．解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，A、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；B、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；C、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；D、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：C．15．解：A、AB＝BC，邻边相等，可判定平行四边形ABCD 是菱形；B、对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形；C、一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D、对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；故选：C．16．解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AB∥CD，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝90°﹣55°＝35°，∠OCD ＝∠OAB＝35°，故选：A．18．解：如图，CA⊥l1，BD⊥l2，∴AC∥BD．又∵l1∥l2，∴四边形ABDC是矩形．∴BD＝AC．又∵AC＝3cm，∴BD＝3cm．故选：C．19．解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；正确，可以证明两组对角分别相等．②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；错误；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；正确；④两条对角线相等的四边形是矩形．错误，应该是两条对角线相等的平行四边形是矩形；故选：B．20．解：连接CP，如图所示：∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠PEC＝∠ACB＝∠PFC＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝CP，当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，由三角形面积公式得：AC×BC＝AB×CP，∴CP＝＝＝4.8，即EF的最小值是4.8，故选：C．。

2021年九年级数学中考一轮复习应用题分类训练之：实际问题与二次函数（附答案）1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）2．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x3．记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A．y＝﹣（x﹣60）2+1825B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850C．y＝﹣（x﹣65）2+1900D．y＝﹣2（x﹣65）2+20004．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）5．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x6．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）7．如图1所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的，从正面观察该桥的上面部分是一条抛物线，如图2，若AB＝60，OC＝15，以AB所在直线为x轴，抛物线的顶点C在y轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（）A．y＝﹣+15B．y＝﹣﹣15C．y＝﹣+15D．y＝﹣﹣158．2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝D．y＝9．用40cm的绳子围成一个的矩形，则矩形面积ycm2与一边长为xcm之间的函数关系式为（）A．y＝x2B．y＝﹣x2+40x C．y＝﹣x2+20x D．y＝﹣x2+20 10．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y＝x2B．y＝C．y＝D．y＝11．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点于点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y＝x2﹣8x+14B．y＝x2+8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3 12．如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（）A．B．C．D．13．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写定义域）14．如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：．15．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为．16．学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．17．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为．18．某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是．19．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为．20．某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为x．则y与x的函数解析式．21．某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2009年产量为1万件，那么2011年的产量y与x间的关系式为（万件）．22．如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE＝DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y与BE的长x的函数关系是．23．如图，在靠墙（墙长为20m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为50m，设鸡场垂直于墙的一边长x（m），求鸡场的面积y（m2）与x（m）的函数关系式，并求自变量的取值范围．24．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．求S与x之间的函数表达式，并求自变量x的取值范围．25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．26．小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．27．如图，如图等腰直角△ABC的直角边与正方形MNPQ的边长均为10cm，边CA与边MN在同一直线上，点A与点M重合，让△ABC沿MN方向以1cm/s的速度匀速运动，运动到点A与N重合时停止，设运动的时间为t，运动过程中△ABC与正方形MNPQ的重叠部分面积为S，（1）试写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）当MA＝2cm时，重叠部分的面积是多少？28．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？29．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为多少？参考答案1．解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C．2．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故选：C．3．解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，∵当x＝55，75，80时，y＝1800，1800，1550，∴，解得，∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，故选：D．4．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．故选：A．5．解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是：y＝x•（50+2﹣x）＝﹣x2+26x．故选：D．6．解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．故选：D．7．解：由题意可得：A（﹣30，0），C（0，15），设二次函数解析式为：y＝ax2+c，则，解得：a＝﹣，故此桥上半部分所在抛物线的解析式为：y＝﹣+15．故选：A．8．解；由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）设排球运动路线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c∵排球经过A、B、C三点∴解得：∴排球运动路线的函数解析式为y＝﹣x2﹣x+故选：A．9．解：∵矩形一边长为xcm，周长为40cm，∴另一边长为＝20﹣x（cm），∴矩形的面积y＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x，故选：C．10．解：作出BC边上的高AD．∵△ABC是等边三角形，边长为x，∴CD＝x，∴高为h＝x，∴y＝x×h＝x2．故选：D．11．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2，∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14故选：B．12．解：∵AB＝4，CD＝3，∴B（2，3），设抛物线解析式为：y＝ax2，则3＝4x，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2．故选：A．13．解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，∴y＝10（1+x）2．故答案为：y＝10（1+x）2．14．解：由题意可得：S＝（16+x）•＝（16+x）（（12﹣x）＝﹣x2﹣4x+192．故答案为：S＝﹣x2﹣4x+192．15．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．16．解：由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；∵墙的长度为18，∴0＜30﹣2x≤18，解得，6≤x＜15，即x的取值范围是6≤x＜15；故答案为：y＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）．17．解：设y＝a（x﹣20）2+16，因为抛物线过（0，0），所以代入得：400a+16＝0，解得a＝﹣，故此抛物线的函数关系式为：y＝﹣（x﹣20）2+16．故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16．18．解：由题意可得，y＝100（1+x）2，故答案为：y＝100（1+x）2．19．解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2，故答案为：y＝60（1﹣x）2．20．解：设今年投资额为2（1+x）元，明年投资为2（1+x）2元∴由题意可得y＝2（1+x）+2（1+x）2＝2x2+6x+4．21．解：∵某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，2009年产量为1万件，∴2010年产量为：1×（1+x）；2011年的产量y与x间的关系式为：y＝1×（1+x）×（1+x）＝（1+x）2；即：y＝（1+x）2．故答案为：y＝（1+x）2．22．解：设BE的长度为x（0≤x＜4），则AE＝4﹣x，AF＝4+x，∴y＝AE•AF＝（4﹣x）（4+x）＝16﹣x2．故答案为：y＝16﹣x2．23．解：由题意可得：y＝x（50﹣2x），∵墙长为20m，∴50﹣2x≤20，解得：x≥15，故自变量的取值范围是：15≤x＜25．24．解：∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m，S＝AB•BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，∵篱笆的长为28m，∴0＜x＜28，即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．25．解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：S＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t，（0＜t＜6）．26．解：∵矩形的一边长为x米，∴另一边长为（30﹣x）米，则矩形的面积S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x（0＜x＜30）．27．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，四边形MNPQ是正方形，∴△AMR是等腰直角三角形，由题意知，AM＝MR＝t，S＝S△AMR＝t•t＝（0≤t≤10）；（2）当MA＝2cm时，重叠部分的面积是＝2cm2．28．解：设宽为x cm，则长为：（400﹣x）cm，故它的面积y与x之间的函数关系式为：y＝（400﹣x）x＝﹣x2+400x．故y是x的二次函数．29．解：∵AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，∴BC＝（30﹣x），菜园的面积＝AB×BC＝（30﹣x）•x，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y＝﹣x2+15x．。

考点28 矩形真题回顾1.（2020·怀化）在矩形中，、相交于点O，若的面积为2，则矩形的面积为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【考点】矩形的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点O，∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，∴,∴矩形的面积为,故答案为：C.【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积.2.（2020·十堰）已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【考点】矩形的判定【解析】【解答】解：A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D. 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定进行分析即可.3.（2017·大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A. 2aB. 2 aC. 3aD.【答案】B【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE= a，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，∴AB=2CE=2 a，故选B．【分析】根据勾股定理得到CE= a，根据直角三角形的性质即可得到结论．4.（2019·临沂）如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )A. B. C. D.【答案】A【考点】矩形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形是平行四边形，∴，，∵对角线上的两点、满足，∴，即，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形．故答案为：A．【分析】根据矩形的判定定理，两对角线相等的平行四边形为矩形，可判定。

2021年中考数学一轮专题训练：矩形及其性质（二）1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角∠BCD的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°3．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，2），则第四个顶点的坐标是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣1）D．（3，3）4．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．12 B．10 C．8 D．65．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对边平行6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（）A．10 B．11 C．12 D．137．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD 上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使△BPE与△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或48．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，重足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°9．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，且CE＝EF，求AE的长（）A．2 B．3 C．4 D．610．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．511．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重垂线检查竖门框是否与地面垂直C．测量门框的三个角是否都是直角D．测量两条对角线是否互相平分12．▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠A＝∠B D．BC＝CD 13．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．∠BAC＝∠CAD D．AC⊥BD 14．下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC 15．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（）A．OD＝OC B．∠DAB＝90°C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD 16．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 17．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形18．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（）A．B．1 C．D．19．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3 D．4参考答案1．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．2．解：如图，作AE⊥BC于点E．∵矩形的面积＝BC•CF＝2S平行四边形ABCD＝2BC•AE，∴CF＝2AE，∴AB＝2AE，∴∠ABE＝30°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠ABE＝150°．故选：D．3．解：如图所示：过（﹣1，﹣1）、（3，2）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（3，﹣1），即为第四个顶点坐标．故选：C．4．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，∵DE＝CF＝2，∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，∴S阴＝4+4＝8，故选：C．5．解：矩形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分；故选项A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．6．解：设DE＝x，则AE＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，∵EF⊥AC，AO＝OC，∴AE＝CE＝6﹣x，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2＝EC2，即x2+42＝（6﹣x）2，解得：x＝，即DE＝，CE＝AE＝6﹣＝，∴△DEC的周长为DE+CE+DC＝++4＝10，故选：A．7．解：分两种情况：①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，∵AB＝20cm，AE＝6cm，∴EB＝14cm，∴PC＝14cm，∵BC＝16cm，∴BP＝2cm，∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，∴t＝2÷2＝1（s）；②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，由题意得：2t＝16﹣2t，解集得：t＝4（s），故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．9．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠CED+∠AEF＝90°，∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE＝DC，由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16，DE＝2，∴2AE＝6，∴AE＝3；故选：B．10．解：当AP＝BQ时，AP∥BQ．∵AP∥BQ，AP＝BQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴QP∥AB．∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．∴点Q可在BC间往返4次．∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．故选：C．11．解：∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意；∵三个角都是直角的四边形是矩形，故C不符合题意；∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D符合题意，故选：D．12．解：A、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．13．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项A符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D不符合题意；故选：A．14．解：A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在▱ABCD中，AC＝BD，则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、在▱ABCD中，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，A、OD＝OC时，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ODA＝∠OAD，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．16．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．17．解：如图；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB+∠ADC＝180°；∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，∴∠HAD+∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；同理可证得：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°；故四边形EFGH是矩形．故选：D．18．解：过A作AF⊥BC于F，∵∠D＝∠C＝90°，∴四边形AFCD是矩形，∴AF＝CD＝2，CF＝AD，设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，∵AB2＝AF2+BF2，∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，∴xy＝1，∴AE•BE＝1，故选：B．19．解：A、矩形的对角线互相平分；正确；B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；D、矩形的对角线相等；正确；故选：B．20．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值为；故选：A．。

2021年江苏中考数学冲刺专题训练——专题2整式、因式分解一．选择题（共2小题）1．（2021•龙岗区模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD 的面积是（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2 2．（2019•安徽）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0二．填空题（共8小题）3．（2021春•鼓楼区期中）如图是A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（长为a、宽为b的长方形）、C型卡片（边长为b的正方形）．现有4张A卡片，11张B卡片，7张C 卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是．（只填序号）①可拼成边长为a+2b的正方形；②可拼成边长为2a+3b的正方形；③可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形；④用所有卡片可拼成一个大长方形．4．（2021春•南京月考）三种不同类型的地砖的长、宽如图所示，若现有A型地砖4块，B 型地砖4块，C型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为．5．（2020秋•江汉区期末）将两张边长分别为6和5的正方形纸片按图1和图2的两种方式放置在长方形ABCD内，长方形ABCD内未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影面积为S1，图2中的阴影面积为S2，当AD﹣AB＝3时，S2﹣S1的值是．6．（2020春•沭阳县期末）因式分解：2m2﹣4mn+2n2＝．7．（2020•张家界）因式分解：x2﹣9＝．8．（2020•浙江自主招生）若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．9．（2019春•江宁区期中）已知a=12018+2017，b=12018+2018，c=12018+2019，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝．10．（2019•徐州二模）因式分解4x2﹣4＝．三．解答题（共20小题）11．（2021春•南京期中）探究活动：（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式．知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：（4）计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）；（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．12．（2021春•鼓楼区校级月考）阅读：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．请仿照上例解决下面的问题：（1）补全题目中横线处；（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；（3）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（x﹣2020）的值；（4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝25，长方形EFGD的面积是400，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．13．（2021春•秦淮区校级期中）先化简，再求值：（3a﹣2b）（2a+3b）−12（3a+2b）2﹣a（32a﹣2b），其中|a+12|+|b+1|＝0．14．（2021春•宜兴市期中）计算或化简：（1）﹣22+（23）﹣1+（π﹣3）0（2）a⋅a2⋅a3+（﹣2a3）2﹣a9÷（﹣a）3（3）（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣2）2（4）（m+2n﹣3）（m﹣2n+3）15．（2021•滨湖区一模）（1）计算：|3−2|﹣（12）﹣2+2sin60°；（2）化简：（a+b）2﹣a（a+2b）．16．（2021春•徐州期中）计算：（1）（﹣1）2021+（﹣2）0+（12）﹣3；（2）a•a3•a4﹣4a10÷a2+（﹣3a4）2；（3）（x+5）（x﹣3）﹣x（x+2）；（4）20212﹣2020×2022．17．（2021春•鼓楼区校级月考）计算：（1）（﹣3a3）2÷a2；（2）（﹣2a）3﹣（﹣a）•（3a）2；（3）﹣22+30﹣（−12）﹣1；（4）（318）12×（825）11×（﹣2）3．18．（2021春•鼓楼区校级月考）计算：（1）（﹣3y）5÷（﹣3y）2；（2）2a2•4a4﹣（﹣3a2）3；（3）（π﹣3）0﹣（−12）﹣2+25×（﹣1）﹣2021；（4）x（x+y）﹣（2x+3y）2；（5）（3a﹣2b）（2b+3a）﹣（2a）2．19．（2021春•邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；②若( ，116)=−4，则x＝．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．20．（2021春•南京月考）计算：（1）|−2|+( −3)0−(13)−2+(−1)2021；（2）（﹣2×1012）×（﹣2×102）3÷（0.5×103）3；（3）(−12 2)×(23 2 −6 )；（4）（a﹣2b+3c）×（a+2b﹣3c）；（5）（﹣2m﹣3）2（3﹣2m）2；（6）4×1.632+6.52×6.74+6.742．（用乘法公式计算）21．（2021•滨湖区模拟）计算：（1）2﹣1﹣（﹣0.5）0−4；（2）（x﹣3）2+x（x﹣2）22．（2020秋•江都区期末）先化简，再求值：12x﹣2（x−13y2）+（−32 +13 2），其中x＝﹣2，y=23．23．（2020秋•渑池县期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）24．（2021春•秦淮区校级期中）因式分解：（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2；（2）16ab2﹣6a3﹣4ab2；（3）（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16．25．（2021春•玄武区期中）把下列各式分解因式：（1）ax3﹣16ax；（2）（2x﹣3y）2﹣2x（2x﹣3y）+x2；（3）（m2+1）2﹣4m2．26．（2021春•吴江区期中）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．例如，a（b+c+d）＝ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到sb+ac+ad ＝a（b+c+d），这是运用提取公因式法把多项式因式分解．又如（a±b）2＝a2±2ab+b2、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到a2±2ab+b2＝（a±b）2、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这是运用公式法把多项式因式分解．把多项式乘多项式法则（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd反过来，将得到什么呢？事实上，ac+ad+bc+bd＝a（c+d）+b（c+d）＝（a+b）（c+d），这样多项式ac+ad+bc+bd 就分解为两个因式（a+b）与（c+d）的乘积．类似地，ac+bc+3a+3b＝c（a+b）+3（a+b）＝（a+b）（c+3）．问题一：因式分解：（1）a2﹣ab+ac﹣bc；（2）9a2﹣6a+2b﹣b2．问题二：探究对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x、y都成立，试探究m，n 的数量关系．27．（2020春•赣榆区期中）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如：图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2所表示的数学等式：＝；（2）已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若a＝7k﹣5，b＝﹣4k+2，c ＝﹣3k+4，且a2+b2+c2＝37，请利用（1）所得的结论求ab+bc+ac的值；（3）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形和m张邻边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形，通过拼图求出m的值．（求出1个即可）28．（2020春•玄武区期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2，可得等式；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝．29．（2019秋•海门市期末）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q （p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的完美分解．并规定：F（n）= ．例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的完美分解，所以F（18）=36=12．（1）F（13）＝，F（24）＝；（2）如果一个两位正整数t，其个位数字是a，十位数字为b﹣1，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“和谐数”，求所有“和谐数”；（3）在（2）所得“和谐数”中，求F（t）的最大值．30．（2019秋•柘城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．2021年江苏中考数学冲刺专题训练——专题2整式、因式分解参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．【解答】解：设AB＝x，AD＝y，∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周长是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，故选：B．2．【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，∴a+c＝2b，b= + 2，∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，∴b＜0，∴b2﹣ac=( + 2)2− = 2+2 + 24−ac= 2−2 + 24=( − 2)2≥0，即b＜0，b2﹣ac≥0，故选：D．二．填空题（共8小题）3．【解答】①（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，要用A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片4张，所以可拼成边长为a+2b的正方形．②（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，要用A型卡片4张，B型卡片12张，C型卡片9张，因为B型卡片只有11张，C型卡片只有7张，所以不能拼成边长为2a+3b的正方形．③（2a+4b）（2a+b）＝4a2+2ab+8ab+4b2＝4a2+10ab+4b2，可得A型卡片4张，B型卡片10张，C型卡片4张，所以可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形．④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2＝（4a+7b）（a+b）．所以所有卡片可拼长长为（4a+7b），宽为（a+b）的长方形．故答案为：①③④．4．【解答】解：4块A的面积为：4×m×m＝4m2；4块B的面积为：4×m×n＝4mn；2块C的面积为2×n×n＝2n2；那么这三种类型的砖的总面积应该是：4m2+4mn+2n2＝4m2+4mn+n2+n2＝（2m+n）2+n2，因此，多出了一块C型地砖，去掉一块C型地砖，这两个数的平方为（2m+n）2．这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2故答案为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2．5．【解答】解：设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，则S1＝6（AB﹣6）+（CD﹣5）（BC﹣6）＝6（x﹣6）+（x﹣5）（y﹣6），S2＝6（BC﹣6）+（BC﹣5）（CD﹣6）＝6（y﹣6）+（y﹣5）（x﹣6），∴S2﹣S1＝6（y﹣6）+（y﹣5）（x﹣6）﹣6（x﹣6）﹣（x﹣5）（y﹣6）＝6y﹣36+xy﹣6y﹣5x+30﹣6x+36﹣xy+6x+5y﹣30＝5y﹣5x＝5（y﹣x），∵AD﹣AB＝3，∴y﹣x＝3，∴原式＝5×3＝15，故答案为：15．6．【解答】解：原式＝2（m2﹣2mn+n2）＝2（m﹣n）2，故答案为：2（m﹣n）27．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．8．【解答】解：∵m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），∴m2﹣n2＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1，∴原式＝m（n+2）﹣2mn+n（m+2）＝mn+2m﹣2mn+mn+2n＝2（m+n）＝﹣2．故答案为﹣2．9．【解答】解：∵a=12018+2017，b=12018+2018，c=12018+2019，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=12×(2 2+2 2+2 2−2 −2 −2 )=12[( − )2+( − )2+( − )2]=12×[(−1)2+(−1)2+(−2)2]=12×(1+1+4)=12×6＝3，故答案为：3．10．【解答】解：原式＝4（x2﹣1）＝4（x+1）（x﹣1），故答案为：4（x+1）（x﹣1）三．解答题（共20小题）11．【解答】解：（1）阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以面积为（a+b）（a﹣b）；故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝（a+b）2﹣（2c）2＝a2+2ab+b2﹣4c2；（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）]＝b2﹣（2a﹣3c）2＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2．12．【解答】解：（1）设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝400﹣60＝340；故答案为：30，20，340；（2）设30﹣x＝a，x﹣20＝b，则ab＝﹣10，a+b＝10，∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣10）＝120；（3）设2021﹣x＝m，2020﹣x＝n，则m2+n2＝2019，m﹣n＝1，∵（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，∴1＝2019﹣2mn，∴mn＝1009，即（2021﹣x）（x﹣2020）＝﹣1009；（4）由题意得：DE＝x﹣10，DG＝x﹣25，则（x﹣10）（x﹣25）＝400，设a＝x﹣10，b＝x﹣25，则a﹣b＝15，ab＝400，＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝152+4×400＝1825．∴S阴13．【解答】解：原式＝6a2+9ab﹣4ab﹣6b2−12（9a2+12ab+4b2）−32a2+2ab ＝6a2+9ab﹣4ab﹣6b2−92a2﹣6ab﹣2b2−32a2+2ab＝ab﹣8b2，∵|a+12|+|b+1|＝0，∴a+12=0，b+1＝0，解得：a=−12，b＝﹣1，当a=−12，b＝﹣1时，原式=−12×（﹣1）﹣8×（﹣1）2＝﹣712．14．【解答】解：（1）﹣22+（23）﹣1+（π﹣3）0＝﹣4+32+1=−32；（2）a⋅a2⋅a3+（﹣2a3）2﹣a9÷（﹣a）3＝a6+4a6﹣a9÷（﹣a3）＝a6+4a6+a6＝6a6；（3）（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣2）2＝x2﹣9﹣x2+4x﹣4＝4x﹣13；（4）（m+2n﹣3）（m﹣2n+3）＝[m+（2n﹣3）][m﹣（2n﹣3）]＝m2﹣（2n﹣3）＝m2﹣4n2+12n﹣9．15．【解答】解：（1）原式＝3−3−4+2＝3−3−4+3＝﹣1；（2）原式＝a2+2ab+b2﹣a2﹣2ab＝b2．16．【解答】解：（1）（﹣1）2021+（﹣2）0+（12）﹣3＝（﹣1）+1+8＝8；（2）a•a3•a4﹣4a10÷a2+（﹣3a4）2＝a8﹣4a8+9a8＝6a8；（3）（x+5）（x﹣3）﹣x（x+2）＝x2+2x﹣15﹣x2﹣2x＝﹣15；（4）20212﹣2020×2022＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣20212+1＝1．17．【解答】解：（1）原式＝9a6÷a2＝9a4；（2）原式＝﹣8a3+a•9a2＝﹣8a3+9a3＝a3；（3）原式＝﹣4+1+2＝﹣1；（4）原式=258×（258×825）11×（﹣8）=258×111×（﹣8）=258×1×（﹣8）＝﹣25．18．【解答】解：（1）原式＝（﹣3y）3＝﹣27y3；（2）原式＝8a6+27a6＝35a6；（3）原式＝1﹣4+32×（﹣1）＝1﹣4﹣32＝﹣35；（4）原式＝x2+xy﹣（4x2+12xy+9y2）＝x2+xy﹣4x2﹣12xy﹣9y2＝﹣3x2﹣11xy﹣9y2；（5）原式＝9a2﹣4b2﹣4a2＝5a2﹣4b2．19．【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；②由新定义的运算可得，x﹣4=116，因为（±2）﹣4=1(±2)4=116，所以x＝±2，故答案为：①3，5；②±2；（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，因为5×6＝30，所以4a•4b＝4c，所以a+b＝c．20．【解答】解：（1）|−2|+( −3)0−(13)−2+(−1)2021＝2+1﹣9+（﹣1）＝﹣7；（2）（﹣2×1012）×（﹣2×102）3÷（0.5×103）3＝（﹣2×1012）×（﹣23×106）÷（123×109）＝27×109＝128×109＝1.28×1011；（3）(−12 2)×(23 2 −6 )=−13x3y3+3x2y3；（4）（a﹣2b+3c）×（a+2b﹣3c）＝[a﹣（2b﹣3c）][a+（2b﹣3c）]＝a2﹣（2b﹣3c）2＝a2﹣4b2+12bc﹣9c2；（5）（﹣2m﹣3）2（3﹣2m）2＝（2m+3）2•（3﹣2m）2＝[（3+2m）（3﹣2m）]2＝（9﹣4m2）2＝81﹣72m2+16m4；（6）4×1.632+6.52×6.74+6.742＝（2×1.63）2+2×3.26×6.74+6.742＝3.262+2×3.26×6.74+6.742＝（3.26+6.74）2＝102＝100．21．【解答】解：（1）2﹣1﹣（﹣0.5）0−4=12−1﹣2=−52；（2）（x﹣3）2+x（x﹣2）＝x2﹣6x+9+x2﹣2x＝2x2﹣8x+9．22．【解答】解：原式=12x﹣2x+23y2−32x+13y2=12x﹣2x+23y2−32x+13y2＝﹣3x+y2，把x＝﹣2，y=23代入得：原式＝649．23．【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]＝（2m）2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣n2+2np﹣p2．24．【解答】解：（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2＝（5a+5b）2﹣（3a﹣3b）2．＝（5a+5b+3a﹣3b）[5a+5b﹣（3a﹣3b）]＝（8a+2b）（2a+8b）．＝4（4a+b）（a+4b）．（2）16ab2﹣6a3﹣4ab2＝12ab2﹣6a3＝6a（2b2﹣a2）＝6a（2b+a）（2b﹣a）．（3）原式＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）425．【解答】解：（1）原式＝ax（x2﹣16）＝ax（x+4）（x﹣4）；（2）原式＝（2x﹣3y﹣x）2＝（x﹣3y）2；（3）原式＝（m2+1+2m）（m2+1﹣2m）＝（m+1）2（m﹣1）2．26．【解答】解：问题一、（1）a2﹣ab+ac﹣bc＝a（a﹣b）+c（a﹣b）＝（a﹣b）（a+c）；（2）9a2﹣6a+2b﹣b2，＝（3a+b）（3a﹣b）﹣2（3a﹣b）＝（3a﹣b）（3a+b﹣2），问题二、∵F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），F（y，x）＝（my+nx）（3y﹣x），又∵F（x，y）＝F（y，x），∴（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2＝﹣nx2+（3n﹣m）xy+3my2，∵x2≠y2，∴3m＝﹣n．27．【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为（a+b+c）2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a＝7k﹣5，b＝﹣4k+2，c＝﹣3k+4，a2+b2+c2＝37，∴（7k﹣5﹣4k+2﹣3k+4）2＝37+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣18；（3）如图所示：2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）．∴m＝7．28．【解答】解：（1）由题意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴S＝a2+b2−12（a+b）•b−12a2=12a2+12b2−12ab=12（a+b）2−32ab=12×102−32×20＝阴影50﹣30＝20；（4）①根据题意，作出图形如下：②由上面图形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．故答案为（a+2b）（2a+b）．29．【解答】解：（1）∵13＝1×13，∴F（13）=113∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×624﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4∴F（24）=46=23故答案为：113；23．（2）原两位数可表示为10（b﹣1）+a，新两位数可表示为10a+b﹣1∴10a+b﹣1﹣10（b﹣1）﹣a＝36∴10a+b﹣1﹣10b+10﹣a＝36∴9a﹣9b＝27∴a﹣b＝3∴a＝b+3（1＜b＜6且b为正整数）∴b＝2，a＝5；b＝3，a＝6，b＝4，a＝7，b＝5，a＝8b＝6，a＝9∴和谐数为15，26，37，48，59（3）∵F（15）=35，F（26）=213，F（37）=137，F（48）=68=34，F（59）=159．∵34＞35＞213＞137＞159，∴所有“和谐数”中，F（t）的最大值是34．30．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．。

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——高斯2021年中考数学一轮专练：矩形及其性质（二）1．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM＝6cm，EF＝8cm，则EM＝cm，AB＝cm．2．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上的一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F，当线段EF的长最小时，cos∠EFD＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC 于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当t＝时，△PQA为等腰三角形．5．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为．6．矩形的一个角的平分线分一边为3cm和4cm两部分，则这个矩形的对角线的长为cm．7．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为．9．如图，将长为2，宽为a的矩形纸片（1＜a＜2）按照以下方法裁剪：①剪去一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；②把剩下的矩形剪去一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的图形恰好是正方形，则a的值为．10．已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E 是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为．11．依次连接菱形各边中点所得到的四边形是．12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件：使四边形ABCD为矩形．13．四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是．（不再添加线或字母，写出一种情况即可）14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝1，M，N分别为GD，EC的中点，则MN＝．15．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，连接EF，则EF的最小值为cm．16．如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．17．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边做矩形CDEF，使边EF过点B，连接OF，当点D 与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D运动过程中，当线段OF有最大值时，点F的坐标为．18．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连结CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连结OF，当点D 与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为cm．20．小明在体验四边形的不稳定性时，将八根木条用钉子钉成一个边长为10的菱形ABCD 和矩形EFGH，它们的边BC，EF在直线l上，其中EF＝8，BD＝2AC，点D落在矩形的边HE上（如图①）；在不改变BC、EF位置的前提下，向左推动矩形，使菱形ABCD变成正方形（如图②），此时小明发现点B、D、G三点共线，则矩形的另一边GF的长为．参考答案1．解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，同理：∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠BCM＝∠DCM＝∠BCD，∠CDM＝∠ADM＝∠ADC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC．∴∠DAF＝∠BCN，∠ADF＝∠CBN．在△ADF和△CBN中，∴△ADF≌△CBN（ASA）．∴DF＝BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∴∠EAB+∠EBA＝90°．∴∠AEB＝90°．同理可得：∠AFD＝∠DMC＝90°．∴∠EFM＝90°．∵FM＝6，EF＝8，∴ME＝＝10（cm）．∵∠EFM＝∠FMN＝∠FEN＝90°．∴四边形EFMN是矩形．∴EN＝FM＝6．∵∠DAF＝∠EAB，∠AFD＝∠AEB，∴△AFD∽△AEB．∴＝．∴＝．∴8DF＝6AF．设DF＝6k，则AF＝8k．∵∠AFD＝90°，∴AD＝10k．∵∠AEB＝90°，AE＝8（k+1），BE＝6（k+1），∴AB＝10（k+1）．∵2（AB+AD）＝42，∴AB+AD＝21．∴10（k+1）+10k＝21．∴k＝0.55．∴AB＝15.5（cm）．故答案为：10；15.5．2．解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵四边形CEDF是矩形，∴∠EFD＝∠ECD，∵∠ECD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ECD＝∠A，∴∠EFD＝∠A，在Rt△ABC中，cos∠A＝＝，∴cos∠EFD＝cos∠A＝．故答案为：．3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，连接CP，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE＝CP＝＝4.8，故答案为：4.8．4．解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB＝，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠CAE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．∴EA＝EC，设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm），∵AE2＝BE2＝AB2，∴，解得，x＝8，∴AE＝EC＝8cm，由题意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，则AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），当AP＝AQ时，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；当PA＝PQ时，∠PAQ＝∠AQP＝∠ACB，∴PQ∥CE，∴，即，解得，t＝0（舍去）；当QP＝QA时，∠QPA＝∠QAP＝∠ECA，∵∠PAQ＝∠CAE，∴△APQ∽△ACE，∴，即，解得，t＝5．综上，当t＝4秒或5秒时，△PQA为等腰三角形．故答案为：4或5．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故答案为18．6．解：如图所示：∵△ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AC＝BD，∠C＝90°，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE；当AE＝4cm时，AB＝4cm；AD＝7cm，∴BD＝＝＝（cm）；当AE＝3cm时，AB＝3cm，AD＝7cm，∴BD＝＝＝（cm）；即这个矩形的对角线的长为cm或cm；故答案为：或．7．解：①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M．则CM∥AE，DM＝MF，延长CM交AD于点G，∴AG＝GD＝1，∵AG∥EC，AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形，∴CE＝AG＝1，∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．②DF＝DC时，则DC＝DF＝1，∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝30°则BE＝∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．∵AB＝1，BE＝x，∴AE＝，AF＝，∵△ADF∽△EAB，∴＝，＝，x2﹣4x+1＝0，解得：x＝2﹣或2+（舍弃），∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．故答案为：1或或2﹣．8．解：如图，取AD的中点M，连接MC，OM，过点O作ON⊥AD，如图所示：∵矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6，M为AD的中点，∴DC＝AB＝4，DM＝AM＝AD＝BC＝3，∴在Rt△CDM中，由勾股定理得CM＝5，在Rt△AOD中，OM＝AD＝3，∵当OC不过点M时，OM+CM＞OC∴当O、C、M共线时，点C到点O的距离有最大值，最大值为8．∵当O、C、M共线时，∠DMC＝∠NMO，∠CDM＝∠OMN＝90°，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，∴＝＝，∴MN＝，ON＝，∴在Rt△OAN中，OA＝＝＝．∴此时点A的横坐标为．故答案为：．9．解：第一次操作后剩下的矩形长为：2﹣a，第二次操作后剩下的矩形的边长分别为：2﹣a，2a﹣2，当2﹣a＞2a﹣2，a＜时，2﹣a＝2（2a﹣2），解得：a＝；当2﹣a＜2a﹣2，a＞时，2（2﹣a）＝2a﹣2，解得：a＝；综上所述，a的值为或；故答案为：或．10．解：△ACF为等腰三角形有三种情况：①如图①，当AF＝CF时，点E与点O重合，由题意得OB＝8，BC＝6，∴由勾股定理得OC＝10，∵四边形AOBC为矩形，∴EF＝5；②如图②，当AF＝AC＝8时，由①可知OC＝10，∵四边形AOBC为矩形，∴AB＝OC＝10，AC∥OB，∴△AFC∽△BFE，∴＝＝，∴BE＝BF＝10﹣8＝2，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝2，∴＝＝4，∴EF＝CE＝；③如图③，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥AF于点D，∴AD＝DF，∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝＝，∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DF＝AD＝，AF＝，BF＝DF﹣BD＝，∵AC∥OE，∴△AFC∽△BFE，∴＝，∴＝，∴BE＝，∵CF＝AC，∴EF＝BE，∴EF＝．综上所述，EF的长为5或或．故答案为：5或或．11．解：连接AC、BD交于O，∵E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，∴EF∥BD，FG∥AC，HG∥BD，EH∥AC，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EF∥BD，EH∥AC，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形，故答案为：矩形．12．解：添加条件：AC＝BD；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．13．解：添加AD＝BC，∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：AD＝BC．14．解：作MH⊥CD于H，NQ⊥CD于Q，MK⊥NQ于K，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝4，∵EF∥BC，∴EF⊥CD，∴四边形BCFE为矩形，∴EF＝BC＝4，∴MH∥EF，NQ∥EF，∵MH∥GF，∵＝＝，M点为DG的中点，∴MH＝GF＝，DH＝DF，同理可得NQ＝EF＝2，CQ＝CF，∴HQ＝（DF+CF）＝CD＝2，易得四边形MKQH为矩形，∴KQ＝KH＝，MK＝HQ＝2，∴NK＝NQ﹣KQ＝2﹣＝在Rt△MNK中，MN＝＝．故答案为．15．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF 的最小值为．故答案为．16．解：过F 作FQ ⊥AD 于Q ，则∠FQE ＝90°，∵四边形ABCD 是长方形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝DC ＝4，AD ∥BC ，∴四边形ABFQ 是矩形，∴AB ＝FQ ＝DC ＝4，∵AD ∥BC ，∴∠QEF ＝∠BFE ＝45°，∴EQ ＝FQ ＝4，∴AE ＝CF ＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．17．解：当点D 与点A 重合时，如图：∵S 矩形CDEF ＝2S △CBD ＝12，S 矩形OABC ＝2S △CBD ，∴S 矩形OABC ＝12，∵C 点坐标为（0，3），∴OC ＝3，∴OA ＝4，∵∠CFB ＝90°，C 、B 均为定点，∴F 可以看作是在以BC 为直径的圆上，取BC 的中点M ，则MF ＝BC ＝2，OM ＝＝，∴OF 的最大值＝OM +BC ＝+2，即O 、M 、F 三点共线， 设点F 的横坐标为2x ，则纵坐标为3x ，∴（2x ）2+（3x ）2＝（+2）2，解得：x 1＝，x 2＝﹣（舍去）， ∴点F 的坐标为：（，），故答案为：（，）．18．解：当点D 与点A 重合时，如图：∵S 矩形CDEF ＝2S △CBD ＝12，S 矩形OABC ＝2S △CBD ，∴S 矩形OABC ＝12，∵C 点坐标为（0，3），∴OC ＝3，∴OA ＝4，∵∠CFB ＝90°，C 、B 均为定点，∴F 可以看作是在以BC 为直径的圆上，取BC 的中点M ， 则MF ＝BC ＝2，OM ＝＝，∴OF 的最大值＝OM +BC ＝+2，即O 、M 、F 三点共线， 设点F 的横坐标为2x ，则纵坐标为3x ，∴（2x ）2+（3x ）2＝（+2）2，解得：x ＝（负值舍去）∴2x ＝+2，3x ＝+3∴点F坐标（，+3）故答案为：（，+3）19．解：如图，连接CD．∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝＝5（cm），∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，＝BC•AC＝AB•CD，此时，S△ABC即×4×3＝×5•CD，解得CD＝2.4（cm），∴EF＝2.4cm．故答案为2.4．20．解：如图①，连接AC，BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BD＝2AC，∴BO＝2AO，∵AB＝10，∴设AO＝x，BO＝2x，∴x2+（2x）2＝102，解得：x＝2，∴BD＝2BO＝8，OC＝OA＝2，∵∠BOC＝∠BED＝90°，∠OBC＝∠EBD，∴△BOC∽△BED，∴，∴＝，∴BE＝16，如图②，连接BG，则D点在BC上，∵四边形ABCD是正方形，AB＝10，∴CD＝BC＝10，∴CE＝6，∴DE＝＝2，∵GH∥BF，∴△HDG∽△EDB，∴，∵GH＝EF＝8，∴＝，∴DH＝，∴HE＝3，∴矩形的另一边GF的长为3，故答案为：3．。