七桥问题

七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。

当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。

这就是柯尼斯堡七桥问题。

L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。

当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

后来推论出此种走法是不可能的。

他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。

所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。

七桥问题简介七桥问题是欧拉于1736年提出的一道经典问题，它被认为是图论和数学中最著名的问题之一。

该问题描述了一个欧拉图中的岛屿，岛屿之间通过桥连接，玩家需要找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。

欧拉通过解决这个问题，为图论奠定了坚实的基础。

图论的研究对于网络、电路、计算机科学等领域都有重要的应用。

本文将介绍七桥问题的背景、欧拉图的定义、问题解决思路以及相关应用。

七桥问题的背景七桥问题源于基尔岛(Königsberg)的一组岛屿和桥。

这组岛屿位于普鲁士河(Pregel River)中，其中一个岛屿是普鲁士城堡(Königsberg Castle)。

岛屿之间有七座桥，人们想知道是否可以从一个起点，经过每座桥且只经过一次，最后回到起点。

欧拉思考了这个问题，并使用了一种崭新的数学方法解决了这个问题。

他的解决方案不仅解决了七桥问题，而且还为图论奠定了基础。

欧拉图的定义在解决七桥问题之前，欧拉提出了一种新的图形表示方法，称为欧拉图。

欧拉图是由顶点(节点)和边(连接两个节点的线)组成的图形。

欧拉图具有以下特点：•图中的每个边都连接两个不同的顶点；•所有的边都被标志为未被访问过。

欧拉图在解决七桥问题中发挥了关键作用。

欧拉通过观察欧拉图的特性，找到了解决七桥问题的方法。

七桥问题的解决思路欧拉通过分析七桥问题，提出了解决此类问题的一般方法。

他的思路包括以下几个步骤：1.将地图抽象为欧拉图：将地图上的岛屿视为顶点，将岛屿之间的桥视为边，建立起欧拉图的模型。

2.确定欧拉圈和欧拉路径：通过分析欧拉图的特性，判断是否存在一条欧拉路径或欧拉圈。

3.判断是否可以遍历每座桥且只经过一次：如果存在欧拉路径，则可以遍历每座桥且只经过一次；如果存在欧拉圈，则可以遍历每座桥且只经过一次，且最终回到起点。

在七桥问题中，欧拉图的模型具有四座岛屿，其中三座岛屿与普鲁士城堡通过桥相连。

通过观察欧拉图的特性，我们可以发现该图不存在欧拉路径或欧拉圈，因此无法找到一条路径，经过每座桥且只经过一次。

七年级数学七桥问题教案一、教学目标：1. 让学生了解并掌握七桥问题的背景和基本概念。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作交流、思考探究的学习习惯。

二、教学内容：1. 七桥问题的背景介绍。

2. 七桥问题的基本概念：桥、岛屿、连接线。

3. 七桥问题的解决方法：列举法、画图法、算法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：七桥问题的基本概念和解决方法。

2. 教学难点：如何运用算法解决七桥问题。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解七桥问题的背景、基本概念和解决方法。

2. 案例分析法：分析具体案例，引导学生运用算法解决七桥问题。

3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生合作交流的能力。

4. 实践操作法：让学生动手实践，提高解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：介绍七桥问题的背景，激发学生兴趣。

2. 讲解基本概念：讲解桥、岛屿、连接线的概念。

3. 讲解解决方法：列举法、画图法、算法。

4. 案例分析：分析具体案例，引导学生运用算法解决七桥问题。

5. 小组讨论：分组讨论，培养学生合作交流的能力。

6. 实践操作：让学生动手实践，提高解决问题的能力。

7. 总结与反思：总结本节课所学内容，布置课后作业。

8. 课后作业：巩固所学知识，提高解决问题的能力。

六、教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，包括提问、回答问题、讨论等。

2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，包括解题思路、答案准确性等。

3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、交流能力、问题解决能力等。

七、教学资源：1. 教材：提供七桥问题的相关教材，用于引导学生学习和理解七桥问题的概念和方法。

2. 案例材料：准备一些具体的七桥问题案例，用于分析和解决实际问题。

3. 计算器：为学生提供计算器，用于进行数学计算和问题解决。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍七桥问题的背景和基本概念。

2. 第二课时：讲解七桥问题的解决方法。

七桥问题的通用规则七桥问题，也被称为哥尼斯堡七桥问题，是一道著名的数学难题。

该问题最早由瑞士数学家欧拉在18世纪提出，并成为图论的开端之一。

七桥问题描述了一个位于哥尼斯堡的岛屿上的一系列桥梁以及这些桥梁连接的方式。

解决这个问题需要运用到图论中的一些基本原理和规则。

在七桥问题中，岛屿上有一些桥梁，而我们的目标是从一个起点开始，遍历每一座桥且仅经过一次，最终回到起点。

然而，这个问题的挑战在于，岛屿上的桥梁连接方式并不是一个简单的环，而是一个复杂的图。

因此，我们需要运用一些通用规则来解决这个问题。

首先，我们需要了解一些图论的基本概念。

在图论中，桥梁被表示为图中的边，而岛屿则被表示为图中的顶点。

七桥问题中的桥梁连接方式可以被看作是一个图，我们需要将其转化为数学模型，以便进行分析和解决。

在这个过程中，我们可以使用图的邻接矩阵或邻接表来表示桥梁和岛屿之间的连接关系。

接下来，我们可以运用欧拉路径的概念来解决七桥问题。

欧拉路径是指一条路径，该路径恰好经过图中的每一条边一次。

对于七桥问题，我们的目标是找到一条欧拉路径，使得我们可以从一个起点开始，遍历每一座桥且仅经过一次，最终回到起点。

根据欧拉路径的特性，我们可以得出以下的通用规则。

首先，欧拉路径存在的条件是：图中所有顶点的度数为偶数，或者恰好有两个顶点的度数为奇数，其余顶点的度数为偶数。

度数是指与顶点相连的边的数量。

因此，在七桥问题中，如果岛屿上的每一座桥的连接点的度数都是偶数，或者有且只有两座桥的连接点的度数为奇数，我们就可以找到一条欧拉路径。

其次，如果图中存在度数为奇数的顶点，那么我们的欧拉路径的起点和终点一定是这些顶点中的一个。

因为每条桥梁的连接点度数为偶数，除了起点和终点外，其余所有顶点的度数一定是偶数，无法成为欧拉路径的起点和终点。

因此，在七桥问题中，如果岛屿上存在两座或更多的桥梁连接点的度数为奇数，我们就可以从其中一个度数为奇数的连接点出发，找到一条欧拉路径。

1、七桥问题伟大的数学家欧拉（L.Euler 1707-1783）在被请到俄国做研究工作期间,他的一位德国朋友,向他求教了一个令许多哥尼斯堡（德国的一个小城镇Konigsberg）人感到困惑的问题：原来在这座城中有一条河横贯市中心,河中心有两个小岛.在当时有七座桥把这两个小岛和对岸联结起来.见下面的图示：当时有人曾想办法从家里出发走过所有的桥回到家里,他们想是否能够从某座桥出发使得所走过的桥都只过一次呢？许多人都尝试过,但都没有获得成功,那么现在是否有一种办法,能把所有的桥都走过一次呢？欧拉的朋友将这个“哥尼斯堡七桥问题”告诉了欧拉,并且要他想法子解决.欧拉并没有真的去哥尼斯堡,而是把这个问题进行了数学处理：把两岸和两个小岛缩成一点,把桥化为边,两个顶点有边线联结.欧拉得到了下面的图：欧拉考虑这个图能否用一笔画成,如果能够一笔画成的话,则对应的七桥问题也就解决了.为此,欧拉先研究了一般的能一笔画出的图形应该具有什么样的性质？他发现其中的点可以分为两种,全部点都是偶点或者有两个点是奇点（进出点的边数是偶数的点称为偶点；进出点的边数是奇数的点叫奇点）.我们知道,如果一个图能够用一笔画出,那么在这个图上一定有一个点是始点（起笔点）,一个点是终点（收笔点）,其它的点为过路点.首先,我们看过路点具有的性质.在这种点一定是有进有出的,不可能有进无出或者有出无进,即这类点为偶点；其次,考虑始点与终点,并且这两个点不重合的情况,此时它们一定是奇点；再有,始点与终点重合的情况,此时它们也是属于有进有出的点,即为偶点.综上,一个图要是能够一笔画出的话,则其中的点应该有两个奇点,其余的点全部为偶点；或者其中的点都是偶数点.由于七桥问题中的点（4个）都是奇点,所以七桥问题不可能一笔画出.这就是说,一个人要想没有重复地走过7座桥是不可能的.七桥问题是Euler在1736年解决的.一般地,该结论被视为图论历史上的第一个定理.。

课时：1课时年级：大班教学目标：1. 让学生初步了解七桥问题的背景和意义。

2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3. 培养学生合作解决问题的能力。

教学重点：1. 理解七桥问题的基本概念。

2. 学会运用七桥问题的解题方法。

教学难点：1. 空间想象能力的培养。

2. 逻辑思维能力的培养。

教学准备：1. 教学课件2. 七桥问题图示3. 小组讨论卡片4. 解题步骤图示教学过程：一、导入1. 教师展示七桥问题的图示，引导学生观察并提问：“同学们，你们看这是什么？它有什么特点？”2. 学生回答后，教师总结：“这是一个七桥问题，它有七个桥和两个岛屿，我们需要找到一种方法，使得每个桥只通过一次。

”二、新课讲授1. 教师讲解七桥问题的背景和意义，引导学生了解数学在生活中的应用。

2. 教师展示解题步骤图示，引导学生理解解题方法。

3. 教师演示解题过程，让学生跟随步骤进行思考。

三、小组讨论1. 将学生分成小组，发放小组讨论卡片。

2. 教师提出问题：“如何解决七桥问题？”3. 学生在小组内讨论，并记录下解题思路。

四、展示成果1. 各小组派代表展示讨论成果，其他小组进行评价。

2. 教师总结各小组的解题思路，并点评。

五、巩固练习1. 教师展示新的七桥问题图示，让学生独立完成解题。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

六、总结1. 教师引导学生回顾七桥问题的解题方法。

2. 学生分享自己的学习心得。

教学评价：1. 学生对七桥问题的背景和意义有了一定的了解。

2. 学生的空间想象能力和逻辑思维能力得到了锻炼。

3. 学生的合作解决问题的能力得到了提高。

七桥问题小短文
摘要：
1.七桥问题的起源和背景
2.七桥问题的解决方法
3.七桥问题的意义和影响
正文：
七桥问题起源于18 世纪初的波兰，它是一个有趣的图论问题。

这个问题描述了波兰一个城市的维斯瓦河上的七座桥，市民们想要知道是否存在一条路径，使得他们可以从某座桥走到另一座桥，同时不重复经过任何一座桥。

这个问题看似简单，实际上却引发了图论这一数学分支的诞生。

七桥问题的解决方法是通过图论中的“欧拉回路”概念。

欧拉回路是指在一个图中，经过每条边一次且回到起点的一条路径。

通过分析七桥问题，数学家欧拉发现，只有当图中所有顶点的度数都是偶数时，才存在欧拉回路。

在七桥问题中，由于每个顶点的度数都是奇数，因此不存在欧拉回路，市民们无法通过七座桥走一遍回到起点。

七桥问题的意义和影响深远。

它不仅使得图论这一数学分支得到了发展，还对现实生活中的许多问题产生了影响。

例如，在计算机网络、交通运输、电路设计等领域，图论的应用都发挥了重要作用。

同时，七桥问题也成为了图论发展史上的一个经典案例，启发了无数数学家和工程师去研究更多有趣的图论问题。

总之，七桥问题作为一个历史悠久的数学问题，它的解决方法和意义对图
论的发展产生了深远影响。

七桥问题目录七桥问题故事背景推断方法最终成果展开编辑本段七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。

也由此展开了数学史上的新进程。

问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。

七桥问题和欧拉定理。

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。

编辑本段故事背景七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。

有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题(如左图下)——一笔画问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.编辑本段推断方法当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

七桥问题18世纪，东欧的哥尼斯保堡城(现俄罗斯的加里宁格勒)，普雷格尔河静静地流入市区，把奈发夫岛分成两个小岛，形成一个“8”字(如图2－26)．后来，在河两岸及河中两个岛上建立了一座风景优美的公园，并用七座桥把两岸和两个小岛连接起来．当时，市民们都喜欢到这个美丽的公园中游玩，还热衷于一个有趣的数学游戏：一个游人怎样才能够一次走遍这七座桥，每座桥只走过一次，最后又回到出发点．这就是历史上有名的“七桥问题”．七桥问题看似简单，但多少个春秋过去了，成千上万的人试过了，都没有找到答案．这个问题也很快传遍欧洲，成为全欧洲闻名的难题．因工作过度劳累而右眼失明的著名数学家欧拉当时正在彼得堡工作，他也对七桥问题发生了兴趣．许多人的失败引起他的深思，也许并不存在这种走法．但是，猜测不能代替严密的数学证明．欧拉为了证明自己的猜想，首先考虑“穷举法”．他仔细地把所有可能的走法列成表格，逐一检查，实在是太困难了．他又想到，如果在同样的问题中，桥更多时，那这种“穷举法”就毫无实用价值了，因此，他放弃了穷举法．欧拉改变了他考虑问题的方法．从七桥问题仅仅涉及物体的位置关系，而与路程无关这一特点出发，联想到莱布尼茨最先提出的“位置几何学”．这种几何学只讨论与位置有关的关系，研究位置的性质，不考虑长短、大小也不涉及量的计算．欧拉用A、D表示两个小岛，点B、C表示河的两岸，再用连接两点的线表示桥(如图2－27)，由此得到一个由4个点和7条线组成的图形．在这里岛的大小和桥的长短是无关紧要的．这样，七桥问题就转化为该图形能否用一笔画出，并且最后回到起点的“一笔画”问题．1736年，欧拉在彼得堡科学院作了一次精彩的科学报告，用上述方法证明了自己的猜想，从而彻底解决了七桥问题．“七桥问题”或“一笔画问题”显然是一道几何问题，而这种几何问题是我们没有研究过的，它与点的位置无关，与线段长短也无关，与线段长短也无关，只与点线间的相互位置有关．这类问题是属于一种新的数学学科—拓扑学．。

一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。

城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。

欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。

图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。

欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。

图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。

欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。

”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。

兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。

哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。

但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。

七桥问题解法七桥问题解法概述七桥问题是欧拉在1735年提出的一个著名的数学问题，它是图论的开山之作。

问题描述如下：柯尼斯堡城中有一些小岛和七座桥，游客想要走遍所有的桥，但是每座桥只能经过一次。

问是否存在这样的路径？欧拉在解决这个问题时，创造性地引入了图论的概念，并通过对图的分析和转化得出了结论：不存在这样的路径。

这个结论为图论奠定了基础，并成为了数学史上的里程碑。

本文将介绍欧拉提出的解决方法以及其他相关解法。

欧拉方法欧拉方法是通过将问题转化为图论中的欧拉回路来解决七桥问题。

具体步骤如下：1. 将城市和桥看作节点和边，构建无向图。

2. 判断该无向图是否连通。

如果不连通，则不存在一条路径可以经过所有桥；如果连通，则继续下一步。

3. 统计每个节点的度数（即相邻边数），如果存在奇数度节点，则不存在欧拉回路；如果所有节点度数均为偶数，则存在欧拉回路。

4. 如果存在欧拉回路，则可以通过欧拉回路经过所有桥，否则不存在这样的路径。

其他解法1. 哈密顿回路法：哈密顿回路是指一条经过每个节点恰好一次的路径。

如果七桥问题中存在哈密顿回路，则可以通过该路径经过所有桥。

但是，判断一个图是否存在哈密顿回路是一个NP完全问题，难以在多项式时间内解决。

2. 矩阵论法：可以将无向图表示为邻接矩阵，通过对矩阵进行运算得出结论。

但是，该方法复杂度较高，不适合大规模的图。

3. 拓扑排序法：将节点按照拓扑序列排序后，如果相邻节点之间都存在边，则存在欧拉回路。

但是，该方法只适用于有向无环图。

总结七桥问题是图论的开山之作，在解决这个问题时欧拉引入了欧拉回路的概念，并通过对图的分析和转化得出了结论。

除了欧拉方法外，还有其他解法如哈密顿回路法、矩阵论法和拓扑排序法等。

不同的解法适用于不同类型的图，选择合适的方法可以提高求解效率。