地震层析反演与地质构造约束正则化

第24卷第6期2012年12月岩性油气藏LITHOLOGIC RESERVOIRSVol.24No.6Dec.20120引言地震波反演成像包含2个层次，即反射系数估计（或称真振幅成像，其简化形式为一般的叠前偏移成像，仅仅定位反射系数出现的位置）；全波形反演（Full Waveform Inversion ，简写为FWI ）估计速度和密度（也可估计各向异性参数和吸收衰减参数等，但多参数反演的难度更大）。

地震波反演的基本思想是Bayes 估计理论。

Tarantola ［1］详细而深入地分析了地震波全波形反演的理论问题。

在整个地震数据处理与反演成像过程中，去噪音、反褶积、数据规则化、一维波阻抗反演、AVA （叠前）弹性参数反演、叠前偏移成像、速度分析、层析成像等都是在此框架下进行的。

根据Bayes 估计理论，首先假设存在一个正演算子，它可以预测观测数据，并预测噪音为高斯白噪，此时的Bayes 估计可以在最小二乘意义上实现；在一定的范数意义下建立一个预测误差，数据误差一般用L2范数，模型约束一般用L1或Cauchy 范数等；根据正算子的线性与否，选择用线性最小二乘方法或非线性最小二乘方法求解反演问题。

预测观测数据正算子的作用十分重要，如褶积算子用于反褶积，一维波动方程用于预测自激自收的地震道（波阻抗反演），AR 模型算子常用于线性信号预测（压制噪音），旅行时计算算子用于预测实测数据中的旅行时（层析成像），Zoeppritz 方程及各种简化形式用于预测角度反射系数（AVA 弹性参数反演），Fourier 变换算子用于预测规则无假频数据的谱，动校正时距关系用于预测实测CMP 道集中的双曲时距关系（估计均方根速度），各种形式的波动方程用于预测实际观测的炮记录（全波形反演）。

反演问题是典型的不适定问题，包括解的存在性、唯一性和稳定性问题。

在地球物理反演中，解的存在性是有物理保证的，主要问题是解的不唯一性收稿日期：2012-07-20；修回日期：2012-08-25基金项目：国家重点基础研究发展计划“973”项目“基于散射点道集的全波形速度反演与成像”（编号：2011CB202402）资助。

地球物理反演方法在地震勘探中的优化与应用地球物理反演方法在地震勘探中起着至关重要的作用。

地震勘探是一种常用的地球物理勘探方法，通过记录地震波传播的信息，可以获取地下地质结构的信息。

地震波的传播受到地下介质的物理性质影响，因此需要利用地球物理反演方法将地震观测数据转化为地下模型。

本文将介绍地球物理反演方法在地震勘探中的优化与应用。

由于地球物理反演方法受到多种因素的影响，如数据噪声、不确定性和非线性等，因此在地震勘探中的应用仍然具有挑战性。

然而，通过改进和优化反演方法，可以提高地下模型的准确性和分辨率，从而更好地理解地下构造。

首先，地震勘探中常用的反演方法包括全波形反演和走时反演。

全波形反演是一种较为精确的反演方法，它通过计算从震源到记录点之间的完整波形，从而获得更多的信息。

然而，全波形反演计算量巨大，需要花费大量的时间和计算资源。

为了优化全波形反演，可以采用并行计算和高性能计算技术，提高计算效率，减少计算时间。

走时反演是一种常用的速度反演方法，它通过计算从震源到记录点之间的波传播时间来推测地下速度结构。

在地震勘探中，速度模型是确定地下结构和定位油气储层的重要因素。

为了提高速度反演的准确性，可以采用多重走时层析反演方法，利用多尺度多频段的波形信息来约束速度模型。

此外，结合统计学方法和人工智能方法，如神经网络等，也可以提高速度反演的精度和稳定性。

另外，为了应对地球物理反演中的不确定性问题，可以采用正则化技术和贝叶斯统计方法。

正则化技术通过添加先验信息和约束条件来解决反演中的不适定性问题，从而提高反演结果的可靠性。

贝叶斯统计方法则利用先验信息和后验概率分布来描述反演问题的不确定性，从而提供更全面的反演结果评估。

此外，还可以利用模型约束技术来优化地球物理反演。

模型约束技术是将地质知识和先验信息融入到反演中，以提高地下模型的可解释性和物理意义。

例如，可以利用地质模型或边界条件作为约束条件，从而改善反演结果并提高地下结构的解释。

地震波谱元法正演及地质信息复合约束多参数全波形反演地震波谱元法正演是一种通过建立波动方程和边界条件，模拟地震波在地下介质中传播和反射的方法。

它利用数值求解波动方程的方法，将地下介质抽象成网格单元（波谱元），通过迭代求解波动方程，获得每个网格单元内的地震波场。

通过合并所有网格单元的地震波场，可以得到整个地震波传播过程的重构图像。

地震波谱元法正演可以根据不同的地下介质特征进行模拟，例如不同的尺度、速度和密度等。

在模拟过程中，可以通过改变波谱元的尺度和位置，对地下介质进行不同比例的成像。

通过调整波谱元的速度和密度，可以模拟地下介质的不同物性变化，例如岩性、孔隙度和饱和度等。

通过对正演模拟结果进行反演，可以获得地下介质的参数估计，进而优化地震成像结果。

地质信息复合约束是指利用已知的地质信息对地下介质的参数进行约束。

这些地质信息可以是地震勘探、地球物理勘探或地质地球化学勘探等不同类型的数据。

通过将地质信息与地震波传播过程相结合，可以提高反演结果的可靠性和精度。

多参数全波形反演是指利用多种地震波形数据对地下介质的多个参数进行反演。

这些参数可以包括速度、密度、衰减系数等。

与传统的单参数反演方法相比，多参数全波形反演可以更全面地描述地下介质的物理特性，提高成像结果的准确性。

在实际的地质勘探中，地震波谱元法正演及地质信息复合约束多参数全波形反演具有广泛的应用价值。

首先，该方法可以在不同的地质条件下进行模拟和反演，适用于不同类型的地下介质和地质问题。

其次，通过引入地质信息的约束，可以提高反演结果的可靠性和精度，减少估计误差。

最后，多参数全波形反演可以提供更全面的地下介质参数信息，为地质勘探和资源开发提供更准确可靠的预测结果。

综上所述，地震波谱元法正演及地质信息复合约束多参数全波形反演是一种可以在不同地质条件下进行模拟和反演的方法，它通过建立波动方程和边界条件，模拟地震波在地下介质中的传播和反射过程，利用地质信息对地下介质进行约束，实现地下介质的高精度成像和参数估计。

地震波阻抗反演方法综述地震波阻抗反演方法可以分为直接方法和间接方法。

直接方法是指直接根据地震波观测数据反演地下结构的方法，常见的直接方法有全波形反演。

间接方法是指通过建立模型和计算地震波传播路径来反演地下结构的方法，常见的间接方法有层析成像、正则化反演和遗传算法等。

全波形反演是一种直接方法，它利用完整的地震波观测数据来反演地下结构。

全波形反演的核心是通过比较实际观测数据和模拟数据的差异来优化模型参数。

全波形反演可以获取高分辨率的地下结构信息，但由于计算复杂度高、非线性程度强等因素，全波形反演面临着一些挑战。

层析成像是一种常用的间接方法，它通过在空间上离散化模型并计算地震波在传播路径上的传播时间与振幅的差异来重建地下结构。

层析成像的原理是建立了地震波传播路径上的散射模型，通过优化模型参数使计算值与实际观测值吻合。

层析成像具有分辨率高、计算效率高等优点，适用于复杂地质环境的反演。

正则化反演是一种常用的间接方法，它通过在反演过程中引入先验信息来约束模型的解。

正则化反演的核心是将反演问题构建成最优化问题，并添加正则化项以保证解的稳定性。

常见的正则化方法有Tikhonov正则化、L1正则化和全变差正则化等。

正则化反演可以提高反演结果的稳定性，但其分辨率相对较低。

遗传算法是一种通过模拟进化过程来求解最优问题的优化方法。

在地震波阻抗反演中，遗传算法可通过定义模型参数的染色体编码、适应度函数以及遗传操作等步骤来最优解。

遗传算法能够全局，适用于非线性、多峰反演问题，但也存在计算复杂度高、空间维度大等问题。

除了上述的方法，还有一些其他地震波阻抗反演方法，如基于人工神经网络的反演、基于模糊数学的反演等。

这些方法各有特点，适用于不同的反演问题。

地震波阻抗反演方法在地球物理勘探、地震灾害预测等领域有着广泛的应用。

不同的反演方法具有不同的优点和缺点，需要根据具体问题的需求选择合适的方法。

未来地震波阻抗反演方法的发展方向将是提高反演的分辨率和稳定性，减少计算复杂度，开展多物理场的耦合反演研究。

理论地球物理学的地震层析成像方法引言地震层析成像是一种利用地震数据推断地下结构的方法，它在地球物理学研究中具有重要的理论和实际意义。

理论地球物理学的地震层析成像方法是基于地震波传播理论和信号处理原理，通过对地震数据进行处理和解释，得到地球内部结构的信息。

本文将介绍理论地球物理学的地震层析成像方法的基本原理、算法和应用。

地震波传播理论地震波是地表上发生的地震源产生的机械波动力。

根据波动方向的不同，地震波可分为纵波（P波）和横波（S波）。

P波是一种有压缩和扩张性的波动，其传播速度较快；S波是一种只能沿垂直于波动方向传播且传播速度较慢的波动。

地震波在地下的传播受到地球结构的影响，由此可以推断地球内部的物理性质和结构。

地震层析成像的基本原理地震层析成像方法基于地震波的传播特性，通过对地震波数据的采集和处理，推断出地下结构的信息。

其基本原理是利用地震波的反射、透射、散射等现象，将地震数据的波形分析和解释，定量地反映地下介质的速度、密度和衰减等特性。

地震层析成像算法地震层析成像算法是将地震数据通过一系列的数学和物理方法进行处理和分析，从而得到地下结构的信息。

常用的地震层析成像算法包括正演算法、反演算法、匹配滤波算法等。

正演算法正演算法是一种将地下结构和初始条件作为输入，通过对地震波方程进行求解，得到地震波的传播情况的方法。

常用的正演算法有有限差分法、波动方程正演法等。

反演算法反演算法是将地震数据作为输入，通过对地震波反问题的求解，推断出地下结构的方法。

常用的反演算法有共轭梯度法、正则化反演法、全波形反演等。

匹配滤波算法匹配滤波算法是一种基于地震数据的频率和波形特征进行分析和处理的方法。

它通过与地下结构的响应进行匹配，提取出地下介质的特征信息。

地震层析成像的应用地震层析成像方法在地球物理学的研究和实践中具有广泛的应用。

以下是地震层析成像在不同领域的应用示例。

石油勘探地震层析成像方法在石油勘探中得到广泛应用。

通过分析地震数据，确定石油或天然气藏的位置、形状和分布，指导油气勘探与开发。

关于地震反演的⼀些认识其实反演，确切的应该叫做“反演预测”。

很多⼈忽略了这个“预测”的真正含义。

利⽤已知少数井点，通过地震资料，提取与钻井揭⽰的地质特征相对最吻合的信息，来对⼤⽚⽆井空⽩区的属性做预测，最终反应的是对地质特征的⼀个预测。

既然是⼀门技术，就有它的可适⽤性和不可靠性。

这就需要反演⼈员有软件操作的技术，更重要的是要有⾜够的地质思维如果没有后者，那就需要地质⼈员来指导！不同的反演⼈员，即使针对相同的资料，反演出来的结果也不完全⼀样。

换句话说，往往是按照熟悉区块地质特征的地质⼈员的要求来做出反演预测。

不然反演的不确定性就会被放⼤。

真正的地质⼈员，是不会否定地震反演。

概括⼀下，只不过有两点：1、反演⼀般是在没有⾜够的井资料控制整个区块的时候采⽤（那⾮均质性强的地⽅呢？）。

2、反演结果的好坏，需要操作⼈员的技术，更需要地质⼈员的把握。

对于反演有2点感性认识：第⼀点：井越多（测录井数据越全⾯），反演结果越准确。

在井控制范围内，预测精度⾼，井控制范围以外，随着距离的增⼤，精度降低。

第⼆点：反演⼈员的地质概念和经验，对反演结果有很⼤的影像。

相同的数据与流程，不同⼈员作出来的差别还是很⼤，⽽且都是在加载了相同解释成果的前提下。

反演分为三种，⼀种是基本是没有井资料，通常在勘探前期，第⼆种是有少量井资料，在勘探开发中期，第三种就是井资料很丰富，通常已经是开发中后期。

随着井资料的丰富反演结果肯定越来越好啊，如果没有或者很少井，就只能通过插值或者数值模拟的⽅法搞出来伪井资料，这个往往误差很⼤反演结果的好坏，地震资料的质量⾮常重要，反演结果的分辨率要⾼于地震资料的分辨率，因为加⼊了测井资料的⾼纵向分辨率。

反演预测的物性分布只是⼀个定性的描述，效果特别好也只是个半定量的描述。

反演的解具有⾼度不唯⼀性，需要测井来约束，道理上是井越多越好，但是井多了，约束的⽅法就⽐较复杂，能否约束好，是个关键问题。

反演的可信度⾼的判别标准是：该井参⼊反演与未参⼊反演的结果应该差别不⼤，井多井少结果差别不⼤，当然与钻井资料的吻合率要⾼，这就是最好的反演⽅法。

1751 南川区块概况南川区块位于渝东南盆缘复杂构造带，面积约为1604km 2 ，构造改造作用相对较强，整体北东向展布，呈“四隆四凹”构造格局，南部志留系页岩出露，页岩分布面积525km 2，资源量5500×108m 3。

工区内页岩气主要开发构造单元为平桥、东胜、阳春沟构造带。

开发的目的层段为上奥陶统五峰组-下志留统龙马溪组地层，主力气层段（①-⑤小层）厚33～33.7m。

2 地震-地质导向技术地震数据作为覆盖了整个产建区的唯一三维立体数据，蕴含丰富的地质信息，具有钻井、测井、录井这些点、线数据无法比拟的优势[1]。

在钻头钻进过程中，应用少量高精度的点、线信息迭代校正地震解释成果，及时更新地质模型，地震、地质、测井、录井多专业协同工作，能够极大程度的排除各类地质异常对钻井工程的影响，提高靶窗钻遇率[2]。

2.1 速度模型构建为实现工区复杂高陡构造准确成像，减小井震误差，处理-解释一体化合作，交互作业，形成了层控、断控、井控的“三控”特色速度建模技术。

（1）构造层位约束的局部速度模型构建技地震-地质导向技术在盆缘复杂构造带的应用——以南川区为例倪锋中国石化华东油气分公司勘探开发研究院 江苏 南京 210000摘要：南川页岩气田位于川东南盆缘构造带，目标层系五峰组—龙马溪组经过多期构造运动改造，地层变形强烈，断裂、褶皱发育，地层产状变化剧烈，水平井的地质导向工作难度大。

为保证水平井顺利入窗，提高靶窗钻遇率，本文以地震-地质一体化导向技术为研究目标。

建立了层控、断控、井控的“三控”特色速度建模技术，得到较为可靠的深度域数据体。

以深度域地震数据为基础，建立工区构造模型、地质模型，立体把控目的层空间展布形态，优化了靶点深度和水平段地层产状的预测方法。

综合分析认为，地震-地质导向技术在水平井精准着窗、靶窗平稳穿行等导向关键环节均呈现了良好的指示意义。

是复杂构造带油气效益勘探开发行之有效的技术方法，值得在同类型区块推广应用。

地震层析成像的正演与反演初步摘要本文通过设立一个平行层的地球模型，初始的震源位置和发震时刻，并改变震源出射角的值，求出射线到达地面的位置，以及射线到达台站的到时，获得了正演模型得走时。

并将正演结果用于反演。

在反演中，本文采用了赵大鹏的反演程序1，2，反演速度结构并与设立的模型比较，得到较满意的结果。

1、引言最初用于医学造影的成像技术自从上个世纪七八十年代引入地学后已经发展成为一项成熟的技术，越来越多地用于地球动力学，地幔对流，板块俯冲带及其演化历史，以及消亡的板块的演化历史的研究，并为板块构造理论提供有力的证据。

由于到达台站的地震波的到时与地震波在所穿过的物质中的波速有关，因此，分析地震波的到时数据就可以得到地下波速结构。

结合其它的地学证据，层析成像揭示出地幔由集中的上升结构与下降结构组成10。

高速带通常是冷的岩石圈板块在板块的会聚边界陷入地幔的区域3，6，10，11，12；集中的低速结构通常预示着热的岩浆活动3，10，例如太平洋板块与欧亚板块碰撞形成的火山岛弧下的岩浆活动3，以及东非裂谷带下大规模的岩浆活动，导致了非洲大陆的抬升10。

在对地震波的各向异性的研究中，James Wookey等8根据澳大利亚地震台站接收到的来自Tonga-Kermadec和New Hebrides俯冲带的深源地震的s波分裂，揭示出在该地区地幔中部约660km深处可能存在中部地幔分界层，阻断上下地幔的对流。

随着成像解析度的提高，现在已经能反演出地球深部的速度结构和异常，追述消亡的板块的演化历史5，11，12。

例如Van der Voo等10在西伯利亚1500-2800km深处发现了高速异常带，揭示了大约150-200百万年前Kular-Nera洋关闭，Mongolia-North China陆块与Omolon陆块结合的演化历史。

目前层析成像技术正向着高精确性，大数据量和适用性的方向发展，正反演数值计算方法的开发，成像方法的评价，成像结果的地学解释都是目前研究的方向。

地震反演中的正则化方法研究地震反演是一种获取地下结构信息的重要方法。

在地震勘探中，通常使用正演模拟得到地震波场，然后通过与地震记录（观测数据）的匹配，反演得到地下构造模型。

由于正演模拟得到的波场与实际观测数据存在差异，因此需要使用反演算法来提高反演结果的准确性。

正则化方法是常见的一种地震反演算法，它通过在目标函数中引入正则化项，来抑制反演结果中的噪声和不稳定性。

正则化方法的基本思想是在目标函数中加入正则化项，将反演结果的复杂度作为正则化项，来抑制反演结果中的噪声和不稳定性。

具体来说，假设反演目标为一个参数p，目标函数f(p)可以表示为：f(p) = χ^2(p) + λR(p)其中χ^2(p)是观测数据与反演模拟数据之间的误差函数，R(p)是参数p的复杂度，λ是正则化参数，控制正则化项在目标函数中的权重。

目标函数目标函数f(p)越小，表示反演结果越好。

正则化方法常见的正则化项包括L1正则化项和L2正则化项。

L1正则化项可以使反演结果更加稀疏，即更多的参数值为0，而L2正则化项可以控制反演参数的幅度，使反演结果更加平滑。

正则化方法在地震反演中有广泛的应用。

在反演地震速度结构时，L1正则化方法可以控制反演结果中的噪声和不稳定性，让反演结果更加可靠。

在地震成像中，L2正则化方法可以控制反演结果的分辨率，避免过分追求高分辨率而导致反演结果的噪声和不稳定性增加。

在地震监测中，正则化方法可以用于反演地下水文参数，从而实现对地下水文过程的监测与预测。

正则化方法也存在一些问题。

正则化参数λ的选取对反演结果的影响较大，而λ的选取常常具有一定的主观性和经验性。

此外，正则化方法假设反演参数具有某种先验性，即反演参数的分布具有特定的统计特征，这个先验假设的合理性未必总能得到保证。

为解决这些问题，近年来也不断涌现出各种新的正则化方法。

例如，Tikhonov 正则化方法可以通过交叉验证或模型选择方法来确定正则化参数λ的大小；Bayesian正则化方法则可以通过引入先验信息来解决正则化参数的选取和先验假设的问题。

地球物理反演在地震勘探中的应用与挑战地球物理反演是一种从地震数据中重建地下结构的方法，它在地震勘探领域中具有广泛的应用。

通过地球物理反演，我们可以获取地下地层的速度、密度和岩性等信息，进而帮助地球科学家和勘探人员更好地理解地球内部结构，探测矿产资源，定位油气储层，并进行地质灾害预测等。

地球物理反演在地震勘探中的应用主要包括速度模型构建、油气勘探和地质灾害预测等方面。

首先，速度模型构建是地球物理反演在地震勘探中的重要应用之一。

地震勘探通常使用地震波在地下传播产生的地震数据，通过地球物理反演技术可以反演得到地下介质的速度模型。

速度模型是勘探地震数据处理和解释的基础，它对于油气勘探和地质灾害预测都具有重要意义。

准确的速度模型可以帮助勘探人员更好地定位油气储层，提高勘探效果；同时，在地质灾害预测中，通过反演得到的速度模型可以帮助预测地震、火山喷发等地质灾害的发生概率和强度。

其次，地球物理反演在油气勘探中具有重要应用。

油气勘探是地球物理反演最广泛的领域之一。

通过地震勘探获得的数据，结合地球物理反演技术，可以重建地下油气储层的模型。

这有助于勘探人员确定油气资源的分布、形态和储量大小，进而指导油气勘探的后续开发和生产工作。

地球物理反演在油气勘探中的应用主要包括岩相分析、构造解析和油气储层预测等方面。

通过岩相分析，勘探人员可以确定地层中的岩性信息，为油气储层预测提供基础；构造解析可以帮助勘探人员理解地下构造特征，确定储层的承载能力；油气储层预测则是通过反演得到的模型，进行沉积学解释和预测储层的目的。

另外，地球物理反演还在地质灾害预测中发挥着重要作用。

地震、火山喷发等自然灾害的预测对人们的生命财产安全至关重要。

地球物理反演技术可以通过反演得到的速度模型和弹性参数等信息，帮助地球科学家分析地下构造和岩层应力状况，预测地震、火山喷发等地质灾害的可能发生位置和强度。

这为地震预警、灾害防控等提供了重要的科学依据，有助于减少地质灾害对人类造成的损失。

地震波形反演的稀疏约束正则化方法王薇;韩波;唐锦萍【摘要】本文考虑地震波形反演问题.为了克服传统的Tikhonov正则化方法过度光滑的弊端,引入了非线性稀疏约束正则化方法,并采用对偶方法求解稀疏约束泛函的极小点.基于二维声波方程波形反演问题进行了数值模拟,针对不同模型对稀疏约束正则化方法进行了测试.结果表明,稀疏约束正则化方法对不连续介质模型的介质边缘具有良好的识别能力.%This paper studies the problems of seismic waveform inversion. In order to overcome the oversmoothness of the traditional Tikhonov regularization, we introduce the nonlinear regularization with sparsity constraints, and adopt the dual method to obtain the minimizer of the functional with sparsity constraints. Numerical simulations are carried out based on waveform inversion of the 2-D acoustic wave equation, and lots of tests are conducted for various models. The numerical results show that the regularization method with sparsity constraints has the ability to recover the boundary of discontinuous media.【期刊名称】《地球物理学报》【年(卷),期】2013(056)001【总页数】9页(P289-297)【关键词】波形反演;稀疏约束正则化方法;对偶方法;不连续介质【作者】王薇;韩波;唐锦萍【作者单位】哈尔滨工业大学数学系,哈尔滨 150001;复旦大学数学科学学院,上海200433;哈尔滨工业大学数学系,哈尔滨 150001;哈尔滨工业大学数学系,哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】P6311 引言采用弹性动力学中的波动方程来描述地震波在地下介质中的传播过程，具有能够利用完全的波场信息的优势，因此一直都是地震勘探中的研究热点.如在定位地下分布的油气资源时，一般的做法是在地面上人工激发地震波.由于介质的非均匀性，当地震波在地层介质中向各方向传播时会产生反射、衍射、散射和透射等现象，部分地震波返回到地面就构成了所接收的地震观测数据.地震勘探的主要工作就是基于波动方程，从这些观测数据中，反演出地层剖面及介质的物性参数，进而确定地下构造，以此作为油气勘探或工程物探的基础.从位移响应的理论合成数据应与实际测量数据相吻合的观点出发，应用中把波动方程速度反演问题转化为非线性函数的极小值问题.近些年，从线性［1－2］到非线性［3－4］，从时域［5］到频域［6－7］及Laplace域［8］，从叠后反演到叠前反演［9－10］，波形反演获得了广泛研究.在实际应用中，相比较线性地震波反演，非线性地震波形反演更接近实际情况，并且Mora也证明了在正常的勘探条件下，只有采用完全非线性地震波形反演方法才能观测到地震速度波场的所有波长分量.Tarantola［3］、Mora［4］等对完全非线性波形反演进行了详细研究，力求通过迭代下降方法，寻求使得目标函数最小的速度模型.随后，各类优化算法，如最速下降法，牛顿法，共轭梯度法等得以应用.由于波形反演的非线性性，使得目标函数存在大量的局部极小值，反演结果对初值依赖较强.为了克服局部极值问题，各类方法被讨论，其中包括模拟退火法［11］与遗传算法［12］等统计学方法，将多尺度思想、同伦思想与各类优化算法相结合的多种方法［13－15］，以及小波变换的多尺度方法［16］等.由于波形反演是不适定的，即数值结果对数据比较敏感，而观测数据不可避免地存在噪声，所以必须采用正则化方法求其近似解，解决这一问题首选方法是Tikhonov正则化方法.传统的Tikhonov正则化方法选取二次罚项，其作用在于减弱原不适定问题近似解的震荡性，使得近似解具有一定的光滑性，从而给出稳定的近似解.但同时也会导致解的过度光滑，而偏离实际.然而，在实际应用中，常常会遇到解为不连续函数或含尖点的函数，此时经典的正则化方法因其过度光滑的特点已不再适用，而TV正则化［17］（Total variation regularization）与稀疏正则化方法（Regularization with sparsity constraints）（又称lp约束正则化方法（1≤p＜2））则能很好地反演出跳跃性较大的参数部分.为了更好地刻画参数的性态，本文引入稀疏约束正则化方法.2 稀疏约束正则化方法稀疏约束正则化方法可以看作是选取罚项为加权的lp范数，适用于求解反演参数且具有稀疏性的反问题.所谓的“稀疏性”是指解序列大部分为零（近似为零）或者解在正交基或框架下具有稀疏表示，即大部分系数为零（近似为零）.稀疏性成为刻画解的一种方式，特别是在压缩感知中，应用l1约束正则化方法，可以有效地减少采样数据，节省存储空间，并且通过少量的信号实现信号的准确或近似重构，因此稀疏正则化方法在信号处理及图像去噪中获得了广泛应用［18－19］，同时在地震层析反演［20－21］，地震波阻抗反演［22］中体现了明显的优势.2004年Daubechies等［23］给出了稀疏正则化方法与迭代伸缩算法的理论分析，指出其用于求解反演参数且具有稀疏性的线性反问题的有效性.随后，Ramlau等［24］将稀疏约束正则化方法推广到非线性问题.对非线性不适定算子方程F（x）＝y，F：X →Y，若X，Y为序列空间（X＝lp，Y＝l2），相应的稀疏约束泛函可表示为当p＝2时即为经典的Tikhonov正则化方法.若X为Hilbert空间，适当地引入框架理论，任意x∈X存在序列｛φi｝使x＝，稀疏约束泛函可写为其中α＞0为正则参数.同时在数值算例中指出，随着p的减少，近似解呈现更加稀疏的性态；但从优化的角度考虑，当0＜p≤1时，罚项部分失去了凸性与零点的可微性，因此本文的讨论限定在1＜p＜2上.易知，泛函（1）的极小点满足其中为符号函数）.求解方程（3）首选方法是梯度型方法，但Wang［22］分析到普通的梯度型方法会导致混沌现象（Chaotic nature），因此需要引入适当的投影算子.类似地，Ramlau［24］指出，迭代伸缩算法亦可看作是一种投影算法.另一想法是，考虑到在Banach空间（序列空间lp）中将求解梯度型方法推广为这里p，q＞1为满足1／p＋1／q＝1的对偶对，μk为尺度参数.上式可看作是对普通的最速下降法（p＝2）（又称之为Landweber方法）的推广.文献［25］对这一方法的收敛性进行了详细分析.本文将应用对偶方法（4）求解稀疏约束泛函（1）的极小点，类似地，为求解稀疏化后的约束泛函（2），迭代公式（3）可写为3 波形反演模型本文基于二维声波方程波形反演问题探讨稀疏约束正则化方法的可行性和有效性.描述地震波传播的二维声波方程的模型是其中，x，z分别是水平方向和垂直方向，z＝0为地表.u（x，z，t）为质点的位移函数.s（x，z，t）为震源函数，并且s（x，z，t）＝0，t＜0.v（x，z）为介质在（x，z）处的速度.波动方程的边界条件为初始条件为这样，（5）—（8）就构成了一个声波方程的正演模型.如果加上地表的测量数据就构成了确定速度v的声波方程反演问题.首先对（5）式进行数值差分离散，即有相应的边界条件（6），（7）式与初始条件（8）式可写为其中nx，nz分别为矩形剖分在x，z方向的网格个数，nt为时间间隔个数，Δx，Δz，Δt分别为空间、时间网格上的剖分步长，记v＝v（i，j），为待反演的速度模型，y＝u（i，1，k）（i＝1，2，…，nx－1，k＝2，3，…，nt）为观测数据，用F表示模型空间到数据空间的映射，即离散正演算子，则通常的地震勘探反演问题可描述为有限维非线性算子方程：具体可参见文献［14，17］.4 数值模拟本节将考虑孔洞和分层两类不同模型，应用对偶方法进行数值模拟，以验证稀疏约束正则化方法的有效性.算例1与算例2记录了当模型本身为稀疏时稀疏约束正则化方法的反演结果；当模型为不稀疏时，先应用小波变换对其进行稀疏化处理，再应用稀疏约束正则化方法反演，如算例3、4与5.在数值模拟中，选取空间范围为800m×800m，空间间隔Δx＝Δz＝40m，时间采样间隔为Δt＝0.004s，震源子波选取最常用的雷克（Ricker）子波.其数学表达式为其中，f＝60Hz为子波主频.为了测试稀疏正则化方法的抗噪能力，分别对模型1—3添加1%的随机噪声，对模型4与模型5添加25%的随机噪声.在求解稀疏约束的优化问题中，应用对偶方法（4）式，选取背景值v0＝2800作为反演的初值，正则参数为其中，ξ∈（0，1），α0＝10－3.选取迭代的停止准则为广义偏差原则，即其中，k＊为迭代步数，τ＞1，具体值可依靠经验选取.本文在算例1、2中选取τ＝1.3，算例3～5中选取τ＝3.为了比较算法精度，定义相对误差为这里v为反演结果，v＊为真实值，其中范数皆为l2范数.4.1 孔洞模型反演结果算例1：真实模型如图1a所示，在对偶方法中，选取不同的p值（2，1.6，1.2），得到的反演结果分别如图1（b，c，d）所示.结果表明，随着p的减少，稀疏约束正则化方法可以获得更稀疏的解，这与稀疏约束正则化方法的预期是一致的.表1记录了不同p相应的迭代步数k＊，CPU运行时间T（s）及近似解与真解的相对误差err的计算结果；具体的相对误差（err）及偏差（disp＝‖F（vδk）－yδ‖）的变化情况可见图2（a，b），不难看到随着p的减少，在迭代误差与计算效率上，稀疏约束正则化方法都呈现一定的优势.表1 算例1的数值结果Table 1 The numerical results of model 1p k＊ err t／s 2 327 0.007351 1295.851.6 138 0.005830 1161.311.2 68 0.004676 787.67算例2：考虑更复杂的介质，真实模型如图3a所示，在对偶方法中，选取不同的p值（2，1.2，1.1），得到的结果如图3（b，c，d）所示.结果表明，对比经典方法，稀疏约束正则化方法反演效果要好的多.算例3：选取真实模型如图4a所示，应用尺度为4的Haar小波对其进行稀疏化，再利用对偶方法，选取不同的p值（2，1.2，1.1）进行求解，结果如图4（b，c，d）所示.结果表明，对比经典方法，稀疏约束正则化方法反演效果要清晰得多.但是可以注意到，当p减少到一定程度时，反演结果会过度稀疏化，即出现能量集中的现象，导致某些网格点反演值偏高.因此导致了p＝1.1时的计算结果反不如p ＝1.2好.为此，记录选取不同的p值相应的小波系数重构情况，如图5所示，其中横坐标代表小波系数指标i，纵坐标表示小波系数值.首先可以看到，应用小波分解获得的小波系数的确是稀疏的；其次对比真实模型的小波系数值（实线）与近似解的小波系数值（星号），随着p的减少，重构系数确实呈现更稀疏的性态；特别注意的是的当p＝1.1时，重构的小波系数确实更稀疏了，但是真实模型的小波系数却没那么稀疏，即称为过度稀疏的现象，因此参数p需适当选取；从另一角度，也可以认为经小波变换后的小波系数不够稀疏，因此为了获得更稀疏系数，如何选择适当的框架或基底，也是我们进一步考虑的问题.4.2 分层介质反演结果考虑分层模型，真实模型如图6a，7a所示，此时模型不稀疏，为了稀疏化本文应用小波变换对其进行稀疏化处理，选取尺度为4的Haar小波.图3 算例2（a）真实模型速度；（b）Landweber方法（p＝2）的反演结果；（c）p＝1.2对偶方法的反演结果；（d）p＝1.1的对偶方法的反演结果.Fig.3 Model 2（a）Velocity of the real model；（b）Inversion result of Landweber method（p＝2）；（c）Inversion result of dual method with p ＝1.2；（d）Inversion result of dual method with p＝1.1.图4 算例3（a）真实模型速度；（b）Landweber方法（p＝2）的反演结果；（c）p＝1.2对偶方法的反演结果；（d）p＝1.1的对偶方法的反演结果.Fig.4 Model 3（a）Velocity of the real model；（b）Inversion result of Landweber method（p＝2）；（c）Inversion result of dual method with p ＝1.2；（d）Inversion result of dual method with p＝1.1.算例4：在对偶方法中，选取不同的p值（2，1.4，1.2），结果如图6（b，c，d）所示.算例5：在对偶方法中，选取不同的p值（2，1.6，1.2），结果如图7（b，c，d）所示.综合图4与图5的反演结果，可见对比经典Landweber方法，随着p的减少，对偶方法对不连续介质模型的边缘具有良好的识别能力.5 结语完全的地震波形反演问题本质上是非线性的，在反演过程中经常会遇到介质不规则或不连续的情况，而应用传统的Tikhonov正则化方法又会出现解过度光滑现象，从而使反演结果失效.为此，本文引入了非线性稀疏约束正则化方法，将其应用于二维声波方程波形反演问题.数值结果表明，在稀疏约束正则化方法中，随着p的减少，反演结果会呈现更稀疏的性态，且对非连续介质模型的边缘具有更好的识别能力.这项试验无疑是有实际意义的，下一步我们将尝试将这一理论应用到更复杂的地震波形反演问题中.同时，从稀疏约束泛函来看，当p逐渐减少时，罚项部分凸性变弱，我们有理由怀疑此时对偶方法的收敛域变小，因此如何克服局部极小值问题，仍需进一步探讨.图5 算例3的小波系数结果（a）p＝2的反演系数结果；（b）p＝1.3的反演系数结果；（c）p＝1.2的反演系数结果；（d）p＝1.1的反演系数结果.Fig.5 The wavelet coefficient of Model 3（a）The wavelet coefficient of inversion with p＝2；（b）The wavelet coefficient of inversion with p＝1.3；（c）The wavelet coefficient of inversion with p＝1.2；（d）The wavelet coefficient of inversion with p＝1.1.参考文献（References）［1］Tarantola A.Linearized inversion of 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地质构造约束高斯束层析反演方法与应用万弘;杨勤勇;蔡杰雄;倪瑶;李辉【摘要】高斯束层析介于射线类层析和波动方程类层析之间,兼具了计算效率高和过程稳定的优势,是速度建模的一种重要手段.但是,常规高斯束层析灵敏度矩阵建立在射线的基础上,不能遍历整个模型,求解过程不收敛.为此,建立了高斯束层析反演的完整流程,给出了高斯束层析灵敏核函数的构建方法,并且为了使层析反演过程趋于稳定且快速收敛,提出了将地质构造反射界面的倾角场和反射点的位置信息融入高斯光滑矩阵对高斯束层析矩阵进行正则化的方法.理论模型和实际地震资料测试结果验证了方法的可行性和有效性.%Gaussian beam tomography is a compromise method between ray-based tomography and wave equation tomography,which has advantages of high computational efficiency and robust processing ability.However,the sensitivity matrix of the conventional Gaussian beam tomography is built on ray theory.It still cannot illuminate the whole model and the solver of Gaussian beam tomography maybe non-convergent.We have established a complete process of tomographic inversion based on Gaussian beam and proposed a construction method for sensitivity kernel of the Gaussian beam tomography.In order to guarantee stability,and accel erate the convergence of tomographic inversion process,we proposed to merge the dip field of the reflection interface and the position information of the reflection point into Gaussian smoothing matrix,which is used for the regularization of Gaussian beam tomographic matrix.From the tests of theoretical model and seismic field data,the geological structure constraints can not only reduce theuncertainty of the inversion and make the inversion process stable,but also recover more geological details,thus verifying its feasibility and effectiveness.【期刊名称】《石油物探》【年(卷),期】2017(056)005【总页数】11页(P707-717)【关键词】高斯束;灵敏核函数;地层倾角;地质构造约束;层析反演;正则化【作者】万弘;杨勤勇;蔡杰雄;倪瑶;李辉【作者单位】中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院,江苏南京211103;中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院,江苏南京211103;中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院,江苏南京211103;中国石油化工股份有限公司石油物探技术研究院,江苏南京211103;同济大学海洋与地球科学学院波现象与反演成像研究组,上海200092【正文语种】中文【中图分类】P631地震波成像技术主要包括偏移成像和反演成像两个方面。