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第十九章含参量积分教案目地：1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法； 2.掌握两种含参量反常积分地概念、性质及其计算方法； 3.掌握欧拉积分地形式及有关计算. 教案重点难点：本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛性地判定；难点是一致收敛性地判定.b5E2RGbCAP教案时数：12学时§ 1含参量正常积分一. 含参积分:以实例和引入.定义含参积分和.含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分.1. 含参积分地连续性:Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数在上连续 . ( 证 > P172Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和在上连续 , 则函数在上连续. ( 证 >P173p1EanqFDPw2. 含参积分地可微性及其应用:Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导 , 且.( 即积分和求导次序可换 > . ( 证 > P174Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含参积分在上可微 , 且DXDiTa9E3d. ( 证 >P174例1 计算积分. P176.例2设函数在点地某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数地阶导数存在 , 且. P177.§ 2 含参反常积分一. 含参无穷积分:1.含参无穷积分:函数定义在上 ( 可以是无穷区间 > . 以为例介绍含参无穷积分表示地函数.RTCrpUDGiT2. 含参无穷积分地一致收敛性:逐点收敛( 或称点态收敛 > 地定义: , , 使.引出一致收敛问题 .定义(一致收敛性 > 设函数定义在上 . 若对, 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于>一致收敛.5PCzVD7HxATh 19.5 ( Cauchy收敛准则 > 积分在上一致收敛,对成立 .例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180jLBHrnAILg3. 含参无穷积分与函数项级数地关系:Th 19.6 积分在上一致收敛, 对任一数列, ↗, 函数项级数在上一致收敛. ( 证略 >xHAQX74J0X二. 含参无穷积分一致收敛判别法:1. Weierstrass M 判别法: 设有函数, 使在上有. 若积分, 则积分在一致收敛. 例2 证明含参无穷积分在内一致收敛. P1822. Dirichlet判别法和Abel判别法: P182三. 含参无穷积分地解读性质: 含参无穷积分地解读性质实指由其所表达地函数地解读性质.1. 连续性: 积分号下取极限定理.Th 19.7 设函数在上连续 . 若积分在上一致收敛, 则函数在上连续. ( 化为级数进行证明或直接证明 >LDAYtRyKfE推论在Th.7地条件下 , 对, 有2. 可微性: 积分号下求导定理.Th 19.8 设函数和在上连续. 若积分在上收敛, 积分在一致收敛. 则函数在上可微,且.3. 可积性: 积分换序定理.Th 19.9 设函数在上连续. 若积分在上一致收敛, 则函数在上可积 , 且有.例3 计算积分P186四.含参瑕积分简介:§ 3 Euler积分本节介绍用含参广义积分表达地两个特殊函数 , 即和. 它们统称为Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用地两个特殊函数.Zzz6ZB2Ltk一. Gamma函数——Euler第二型积分：1. Gamma函数: 考虑无穷限含参积分,当时, 点还是该积分地瑕点 . 因此我们把该积分分为来讨论其敛散性 .: 时为正常积分 .时, .利用非负函数积地Cauchy判别法, 注意到时积分收敛 . (易见时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散 >. 因此, 时积分收敛 .dvzfvkwMI1: 对R成立,.因此积分对R收敛.综上 , 时积分收敛 . 称该积分为Euler第二型积分.Euler 第二型积分定义了内地一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为,即rqyn14ZNXI=, .函数是一个很有用地特殊函数 .2. 函数地连续性和可导性:在区间内非一致收敛 . 这是因为时积分发散. 这里利用了下面地结果: 若含参广义积分在内收敛, 但在点发散, 则积分在内非一致收敛 .EmxvxOtOco但在区间内闭一致收敛 .即在任何上 , 一致收敛 . 因为时, 对积分, 有, 而积分收敛.对积分, , 而积分收敛. 由M—判法, 它们都一致收敛, 积分在区间上一致收敛 .作类似地讨论, 可得积分也在区间内闭一致收敛. 于是可得如下结论:地连续性: 在区间内连续 .地可导性: 在区间内可导, 且.同理可得: 在区间内任意阶可导, 且.3. 凸性与极值:, 在区间内严格下凸.( 参下段 >, 在区间内唯一地极限小值点( 亦为最小值点 > 介于1与2 之间 .4. 地递推公式函数表:地递推公式 : .证..于是, 利用递推公式得:,,, …………, ,一般地有.可见 , 在上, 正是正整数阶乘地表达式 . 倘定义, 易见对,该定义是有意义地. 因此, 可视为内实数地阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数地阶乘延拓到了内地所有实数上, 于是, 自然就有, 可见在初等数学中规定是很合理地.SixE2yXPq5函数表: 很多繁杂地积分计算问题可化为函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了函数表供查. 由函数地递推公式可见, 有了函数在内地值, 即可对, 求得地值. 通常把内函数地某些近似值制成表, 称这样地表为函数表也有在内编制地函数表.>6ewMyirQFL5. 函数地延拓:时, 该式右端在时也有意义 . 用其作为时地定义, 即把延拓到了内.时, 依式, 利用延拓后地, 又可把延拓到内 .kavU42VRUs依此 , 可把延拓到内除去地所有点. 经过如此延拓后地地图象如 P192图表19—2.例1 求, , . ( 查表得.>解.>, .6. 函数地其他形式和一个特殊值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数 . 倘能如此, 可查函数表求得该积分地值.常见变形有:ⅰ> 令, 有=,因此, , .ⅱ> 令.注意到 P7地结果, 得地一个特殊值.ⅲ> 令, 得. 取, 得.例2 计算积分, 其中.解I.二. Beta函数——Euler第一型积分：1．Beta函数及其连续性：称( 含有两个参数地 >含参积分为Euler第一型积分. 当和中至少有一个小于 1 时, 该积分为瑕积分. 下证对, 该积分收敛. 由于时点和均为瑕点. 故把积分分成和考虑.y6v3ALoS89: 时为正常积分。
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
二元含参量正常积分函数的分析性质在数学和物理科学等科学领域中，对积分函数的研究非常重要。
积分函数是一种描述物体受重力和动能等作用后形成曲线及其变化情况的函数。
在数学理论中，一般分形函数，椭圆形函数，超函数等都可以用积分函数来表示。
本文将重点研究二元含参量正常积分函数的分析性质。
首先，定义二元含参量正常积分函数。
积分函数是一个复合函数，其中含有两个参量，一个是内部参量，一个是外部参量。
内部参量用来描述物体受重力和动能等作用的变化，其中有多个变量参与，而外部参量则是控制函数变化的参量。
二元含参量正常积分函数是指具有两个参量的积分函数，这两个参量分别是内部参量和外部参量。
接下来，研究二元含参量正常积分函数的分析性质。
首先，二元含参量正常积分函数可以用来描述物体的动能变化。
通过对二元含参量正常积分函数的分析，可以预测物体受重力和动能等作用时，它的动能变化情况，从而可以更好地研究其演变规律。
此外，二元含参量正常积分函数还可以用来描述一定物理函数的变化情况，例如弹性变形、矩形面内变形等。
再者，二元含参量正常积分函数还可以用来描述多维空间中的函数变化情况。
通过对二元含参量正常积分函数的分析，可以更清楚地反映出物体在多维空间的变化边界，如圆柱体和球体等。
同时，对于多参数偏微分方程，也可以通过二元含参量正常积分函数的分析，来解决各种多参数的问题。
最后，还要注意，二元含参量正常积分函数的分析并不是一件容易的事情，它需要用到高等数学，有时还要用到抽象代数学，线性代数学，统计学等课程的知识，才能全面深刻地研究二元含参量正常积分函数的分析性质。
综上所述，二元含参量正常积分函数是一种非常重要的数学函数，不仅可以用来描述物体的动能变化，还可以用来描述一定物理函数的变化情况，也可以用来描述多维空间中的函数变化情况，甚至可以用来求解多参数偏微分方程。
总之，二元含参量正常积分函数在科学研究中有着重要的作用，它值得我们进一步深入研究。
§1含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、含参量正常积分的可积性五、例题返回一、含参量正常积分的定义(,)f x y [,][,]R a b c d =´设是定义在矩形区域上的定义在[,]c d 上以y 为自变量的一元函数. 倘若这时(,)f x y [,]c d 在上可积, 则其积分值()(,)d ,[,](1)d c I x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.一般地, 设(,)f x y 为定义在区域二元函数.当x 取[,]a b 上的定值时,函数是(,)f x yG数在闭区间[(),()]c x d x 上可积, 则其积分值()()()(,)d ,[,] (2)d x c x F x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.()I x ()F x 用积分形式(1) 和(2) 所定义的这函数与通称为定义在[,]a b 上的含参量x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分.二、含参量正常积分的连续性()I x 的连续性(,)f x y 定理19.1() 若二元函数在矩形区域[,][,]R a b c d =´上连续, 则函数=ò()(,)d dc I x f x y y 在[ a , b ]上连续.证设对充分小的[,],x a b Î,[,]x x x a b +Î有D D (若x 为区间的端点,则仅考虑00x x D D ><或), 于是()()[(,)(,)]d ,(3)dc I x x I x f x x y f x y y +-=+-òD D 由于(,)f x y 在有界闭区域R 上连续, 从而一致连续,0,e >0,d >即对任意总存在对R 内任意两点1122(,)(,)x y x y 与，只要1212||,||,x x y y d d -<-<就有-<1122|(,)(,)|. (4)f x y f x y e 所以由(3), (4)可得, ||,x d D 当时<+-£+-ò|()()||(,)(,)|d dc I x x I x f x x y f x y yD D d ().d c x d c e e <=-ò即I (x ) 在[,]a b 上连续.同理可证:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则含参量y 的积分=ò()(,)d (5)b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续.注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则对任何Î0[,],x a b 都有®®=òò00lim (,)d lim (,)d .d d c c x x x x f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.[,][,][,],a b c d c d ´Á´上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件f 在()F x 的连续性(,)f x y 定理19.2() 若二元函数在区域=££££{(,)|()(),}G x y c x y d x a x b 上连续, 其中c (x ), d (x )为[,]a b 上的连续函数, 则函数=ò()()()(,)d (6)d x c x F x f x y y在[,]a b 上连续.证对积分(6)用换元积分法, 令()(()()).y c x t d x c x =+-当y 在c (x )与d (x )之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且d (()())d .y d x c x t =-所以从(6)式可得=ò()()()(,)d d x c x F x f x y y 10(,()(()()))(()())d .f x c x t d x c x d x c x t =+--ò由于被积函数+--(,()(()()))(()())f x c x t d x c x d x c x 在矩形区域[,][0,1]a b ´上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数F (x ) 在[a , b ]连续.Dx x a b +Î[,](,)(,),f x x y f x y q e D =+-<d d注由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件f 与[,][,][,],x f a b c d c d ´Á´在上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:()I x 的可积性(,)f x y 定理19.5() 若在矩形区域[,][,]R a b c d =´[,]a b 上连续,则I (x )与J (x )分别在和[,]c d 上可积.这就是说: 在(,)f x y 连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分:éùêúëûòò(,)d d bda c f x y y x éùêúëûòò(,)d d .dbca f x y x y 与为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作òòd (,)d bdacx f x y yòòd (,)d .dbcay f x y x 与前者表示(,)f x y 先对y 求积然后对x 求积, 后者则表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分.在(,)f x y 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.(,)f x y =´[,][,]R a b c d 定理19.6若在矩形区域上连续, 则d (,)d d (,)d .(8)bddbaccax f x y y y f x y x =òòòò证记定理19.3,五、例题ln(1)xy +例3计算积分x x1a a+æö另一方面解由于(9)中被积函数1(,)()()n F x t x t f t -=-以及同理()()().n x f x j =()x j 于是附带说明:当x = 0 时,及复习思考题()(,)d ,dc I x f x y x =ò()I x [,)a +¥能否推得在上一致连续?。
