人教版八年级下册数学《二次根式的复习》课堂教学实录

1.作业布置
（1）请学生完成教材第24章“二次根式的应用”中的相关习题。
（2）请学生完成教辅资料《初中数学竞赛教程》中关于二次根式的习题及解析。
（3）请学生结合《数学报》中与二次根式相关的论文和案例，深入研究二次根式的性质和应用。
（4）请学生撰写一篇关于二次根式的文章或报告，分享自己的学习心得和感悟。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5.课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对二次根式的认识和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。
其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。
教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。
（1）二次根式的平方等于它的被开方数。
（2）二次根式的乘积等于它们的被开方数的乘积。
（3）二次根式的商等于它们的被开方数的商。
答案：
（1）错误。二次根式的平方等于它的被开方数的平方。
（2）正确。二次根式的乘积等于它们的被开方数的乘积。
（3）错误。二次根式的商等于它们的被开方数的商，当且仅当被开方数不为零时。
（1）PPT：制作精美的PPT，展示二次根式的性质、运算方法和实际应用，帮助学生直观地理解知识。
（2）视频：播放一些与二次根式相关的教学视频，让学生从不同角度了解和掌握知识。
（3）在线工具：利用在线计算器、数学软件等工具，让学生进行二次根式的运算练习，提高运算速度和准确性。
（4）实际案例：收集一些与生活相关的二次根式实际问题，让学生更好地理解知识在实际中的应用。
二次根式复习教案人教版
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点

第16章 二次根式的复习一、教学内容与学情分析1.本课在教材、新课标中的地位与作用本课内容是二次根式章节的复习课，是学生在学完新人教版八年级教材下册所有内容的一个总结复习。

二次根式是初中数学知识体系与结构中一个不可或缺的部分，是中考直接考查的一个重点内容。

本课复习内容的教学将让学习更为系统地认识二次根式，并在学习新知的基础上得到一个升华。

2.在学生已有的知识基础上，本节课的教学其实更主要的是经历回顾、理解、巩固的过程。

本节教学内容的新知并不是真正的“新的知识点、新的知识技能、新的知识能力”，而是一种对已学知识的一种重新加工处理的能力，从已学的 知识上提炼出更精粹的东西来。

这也正是学生在这方面的缺憾，需要教师的有效引导与分析。

这更是学生的主要难点。

二．教学目标【知识与技能】(1)二次根式的性质;(2)二次根式的计算与化简;【过程方法】经历例题的讲解让学生理解和掌握二次根式的性质和计算，从此提高学生的计算正确率【情感态度与价值观】通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质.一．教学重难点教学重点：二次根式的化简和计算教学难点：二次根式的性质，特别突破()2b a -二．教学用具PPT三．教学过程例题讲解例1（1） 3131232-+； （2）()()()1313132-+--． 先引导学生观察是否是最简二次根式，不是最简二次根式要先化简，然后找同类二次根式，最后合并同类二次根式练习1 计算：（1）33162421-+⨯； （2）()()()2525252-+++（3）821212+- （4）226-3628+⨯练习2 当1313-=+=y x ，时，求代数式xy y x +-22的值重点强调格式的书写1.一般地，形如________(a ≥0)的式子叫做二次根式.注意：判断二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即a ≥0.练习1 （1）要使()2b a -在实数范围内有意义，x 的值可以是( ).A.4B.2C.0D.1-（2）若12-m 有意义，则m 的取值范围是 .【补充习题】1. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．62. 正方形的边长是a ，它的面积与长为4，宽为3的矩形面积相等.则a = .3. 若1728+<-<n n ，n 为正整数，则n 的值为 .4. 已知113-=x ，则代数式222++x x 的值为 .5. 已知n 为正整数，若n 12为正整数，则n 的最小值为 .【课堂小测】： 1.计算：_____)2(2=- ； ()_______52=； 612÷=____________.2.若实数a ,b 满足042=-++b a ，则b a =____________. 3.若()x x -=-552，则x 的取值范围是_____________.4. 已知101=+a a ，则aa 1-=___________. 5. 计算： （1）483316122+-； （2）()32748÷- 6. 先化简再求值：当a =9时，求221a a a +-+的值.甲、乙两人的解答如下：甲：原式=()1112=-+=-+a a a a 乙：原式=()1712112=-=-+=-+a a a a a .其中， 的解答是错误的，错误的原因是 课堂小结：()2222yxy x y x ++=+()()22y x y x y x -=-+。

人教版八年级数学下册16二次根式复习课教案（新版）新人教版二次根式教学内容人教版八年级下册（课题）二次根式复习课教学目标（一）知识与技能：1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

(二)数学思考：理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。

（三）问题解决：了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。

（四）情感态度：激情投入，体验学习的快乐。

教学重点：二次根式的计算和化简。

教学难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。

教具准备：教学时数：1教学过程：第 1 课时1．若a ＞0，a 的平方根可表示为___________ a 的算术平方根可表示________ 2．当a ______时，12a -有意义，当a ______时，35a +没有意义。

3．2(3)________π-=2(32)______-=4．________1872_______;4814=÷=?5．_______20125_______;2712=-=+1、式子5454--=--x x x x 成立的条件是什么? 2、计算：(1) 25341122÷? (2)321259x y3．(1) 253375-- (2) 2(3223)--在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22()(0)()(0)a a a a a a =≥=≥与（2）??<-=>==00002a a a a a a a （3）(0,0)(0,0)ab ab a b ab a b a b ?=≥≥=?≥≥与（4）(0,0)(0,0)a a a aa b a b b b b b=≥>=≥>与（5）22222()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与A 组 1、选择题：（1）化简()25-的结果是（） A 5 B -5 C 士5 D 25（2）代数式24-+x x 中，x 的取值范围是（）A 4-≥xB 2>xC 24≠-≥x x 且D 24≠->x x 且（3）下列各运算，正确的是（）A 、565352=?B 、532592519==-- C 、()12551255-?-=-?- D 、y x y x y x +=+=+2 222（4）如果(0)xy y>是二次根式，化为最简二次根式是（） A 、(0)xy y > B 、(0)xy y > C 、(0)xyy y > D 、以上都不对（5）化简2723-的结果是（）2262333A B C D ----2、计算．(1)453227+- (2) 162564(3)(2)(2)a a +- (4)2(3)x -3、已知223,223+=-=b a 求b a 11-的值B 组1、选择：（1）55,51==b a ，则（）A a ,b 互为相反数 B a,b 互为倒数 C 5=ab D a =b （2）在下列各式中，化简正确的是（） A 、15335= B 、22121±=C 、b ab a 24= D 、123-=-x x x x（3）把1(1)1a a ---中根号外的(1a -移人根号内得（）1111A a B a Ca Da------2、计算（1）5426362+-- （2） 0.91210.36100（3）22(3223)(3223)---教学反思：。

新人教版八年级数学下册《二次根式》复习教案本章主要知识:
1.二次根式性质及运算律
1)（）2=a（a≥0）．
a(a≥0)
2)=/a/={-a(a＜0)
3)·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）
4)=（a≥0，b0），反过来=（a≥0，b0）
2.二次根式的应用
(1)二次根式的加减法：通常先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式
(2)二次根式的乘法类似与多项式的乘法，运算中公式·＝（a≥0，b≥0），对于二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的结果都要化成最简二次根式。

基础题A组
1.计算或化简：
(1)×(2)√6/√216(3)(4)在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距离是_________
基础题B组
2.化简下列各式
(1)+(-3)2(2)÷·(3)-(-3)
(4)(-3)(2+1)
3、计算下列各题，并概括二次根式的运算的一般步骤：(1)9+7-5(2)(-4)-(3-4√0.5)
(3)(3+2)(3-2)(4)·(÷√1/y)
5.√
设a、b为实数,且|2-a|+b-2=0
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积?。

②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合为一组
③合并同类二次根式
练习：
1.在函数 中，自变量x的取值范围是
2.若 ，则
3.已知x,y满足关系式 ，求5x+3y的值
4.当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？
5.已知a+b=-7,ab=12,求 的值
6.计算
7.若a,b为实数，且 ，试求 的值
4.二次根式的乘法
一般地，对二次根式的乘法规定： ，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
5.积的算数平方根的性质
，即积的算数平方根等于积中各因式的算数平方根的积。
6.二次根式的除法
一般地，对二次根式的除法规定： ，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
7.商的算数平方根
，即商的算数平方根等于被除式的算数平方根除以除式的算数平方根
教学
目的
能够区分对等式 （a≥0）和 （a≥0）的理解
教
学
内
容
1.二次根式的概念
一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数。
2.二次根式的基本性质
二次根式具有双重非负性，即 ≥0（a≥0）
（a≥0）
3.代数式
用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表达数的字母连接起来的式子叫代数式，其中单独一个数或者字母也是代数式。
1对1个性化教案
学生
学科
数学
年级
教师
肖老师
授课日期
授课时段
课题
二次根式
重点(考点)
难点
利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算

3.教师引导：教师引导学生从实际问题中发现二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.教学内容：教师详细讲解二次根式的定义、性质、化简与运算规则。
（1）二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子，称为二次根式。
（2）二次根式的性质：a≥0时，√a为非负数；√(ab)=√a·√b；√(a/b)=√a/√b（a、b均为非负数）。
（3）二次根式的化简与运算规则：合并同类项、乘除运算、有理化等。
2.教学方法：采用讲解、举例、示范等方式，让学生掌握二次根式的相关知识。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：教师提出讨论问题，学生分组讨论，共同探究二次根式的性质和运算规则。
讨论问题：“请举例说明二次根式的性质和运算规则，并尝试解决实际问题。”
1.注重激发学生的学习兴趣，通过实际例子引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.着重培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生发现二次根式的性质和运算规律，提高学生的自学能力。
3.针对学生存在的问题，进行有针对性的教学，关注学生的个别差异，给予每个学生足够的关注和指导。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识和沟通能力，使学生在互动交流中提高自己的数学素养。
4.创新思维：第六题是一道拓展题，鼓励学生运用所学知识进行创新思考，如探索二次根式的有理化方法，或寻找二次根式运算的新规律。
5.总结反思：要求学生撰写学习心得，总结自己在学习二次根式过程中的收获和遇到的困难，以及对未来学习的规划。
作业布置要求：
1.作业量适中，保证学生在课后有足够的时间进行复习和思考。
2.学生讨论：学生通过小组讨论，共同解决教师提出的问题，加深对二次根式知识的理解。
3.教师指导：教师巡回指导，关注学生的讨论过程，及时解答学生的疑问。

二次根式课堂实录（重温本堂课的学习目标）师：本堂课我们的学习目标是：1.理解二次根式基本概念；掌握二次根式的性质及运算法则，会分母有理化，并进行实数的简单四则运算．2.培养学生严谨求实的良好学习态度，并发展自我的应用数学意识．通过预习，你能基本达到哪些目标？需要继续努力的地方可要在课内认真噢！（小组讨论课前延伸中存在的疑难之处或问题）师：在知识梳理中，你有哪些疑难之处或问题要提交小组讨论？生：最简二次根式含义“（2）被开方数中不含有_________________的因数或因式．” 不理解什么意思？生2：被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．师：对的！你能举例说明“开得尽方”的含义吗？生2：如根号下是4、9、16、a 3b 2、（- π）2 ……师：你说得很好！同学们还有什么疑问吗？生3：b a -1与b a -1的有理化因式有什么不同？生4：前面的是b a +， 后面的是b a -．师：下面我们检查自己的预习作业．我提供的参考答案1．A ；2．C ；3．A ；4．D ；5．D ； 6．C.同学们有需要讨论的吗？生5：把aa 1-根号外的因式移到根号内，我的答案不一样？师：你选的是……生5：我选D ．生6：不对！这里的a 是负数！根号外是负的．师：大家明白了吗？生（齐）：明白啦！选C ．师：下面我们一起来探讨几个典型例题．（出示小黑板）例1：x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)23-+-x x ； (2)x x -12； (3)x x 22-+； （4）xx 32+. 例2：①计算：31627321-++ ②ab ab b a 1⋅÷ （师生分析）师：例1的(1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须怎样？生（齐）：x 的取值必须使两个二次根式都有意义．师：那么x 取值是……（指定学生回答）生7：小于等于3且大于等于2．师：请坐！（板演）解：（1）要使x -3有意义，必须x -3≥0，即x ≤3；要使2-x 有意义，必须2-x ≥0，即x ≥2.所以使式子23-+-x x 有意义的x 值为2≤x ≤3.师：（2）题含有分母，式子的分母不能为0，同时要使x 有意义．生：x 不能取1，1使1-x =0，而且x 大于等于0．师：（板演）∵1-x ≠0∴x ≠1∴ x ≥0且x ≠1.师：(3)题与(4)题的解答由大家自己来！请两位同学来板演！生8（板演）：∵x 2有意义，∴x ≥0，∵x 2-有意义，∴x ≤0，∴x =0生9（板演）：∵2+x 有意义∴≥x -2．∴≥x -2且0≠x师：两位同学做得对不对？生（齐）：对！师：下面来看二次根式的计算题．大家可要注意运算顺序哦！生：（自己解答）．师：请两位同学来板演．生10（板演）：解：原式=2-3+33-32=2.生11（板演）：解：原式=abab b a 11⋅⨯=ab ab b ab 112⋅⋅=2ab ab . 师：大家与两位同学比较一下，对对答案！思考二次根式的计算技巧．（思考后）生12：乘除混合运算可统一成乘法运算，加减运算要分母有理化、合并同类二次根式．师：不错！你们真会反思自己的学习！师：（出示小黑板）二次根式一章中，除了化简和运算之外，还要注意其应用．一起来看！例3：二次根式的应用.（1）在直角坐标系中，点P （1，3）到原点的距离_____．（2）一个台阶如图，阶梯每一层高15cm ，宽25cm ，长60cm.一只蚂蚁从A 点爬到B 点最短路程是多少？（3）已知△ABP 的一边AB= ，101）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP ，使三角形的三边为5、5、10.2）如图所示，AD ⊥DC 于D ，BC ⊥CD 于C ，若点P 为线段CD 上动点．①则AD=____ ， BC=____．② 设DP=a,请用含a 的代数式表示AP=_____，BP=______．③ 当a=1 时，则PA+PB=______． ④ PA+PB 是否存在一个最小值？师：（1）题可以画图，会不会回答？生（齐）：2！师：好！再看清楚（2）的题意！[（2）题学生审题后，思考，再组织学生小组合作探究，组间交流．]2分钟后，教师指定的某小组成员（生13）全班交流．生13：将立体图形展开成平面图形，计算矩形的对角线AB 就是从A 点到B 点的最短路程．师：非常好！这位同学向我们介绍了一种处理立体图形问题的方法．本题的答案是…… 生（齐）：100.师：（3）题谁来画图？（教师指定学生（生14）板演）（生14板演后）师：大家都画好了吗？一起看黑板，这位同学画得对吗？有别的图形吗？生（齐）：对！就这样．师：2）题①大家能回答吗？生（齐）：AD=2 ，BC=1．师：线段AD 和BC 的大小会因P 的运动而改变吗？生（齐）：不会．师：很好！②大家能回答吗？生15（急忙）：AP=a +4，BP=……师：不着急．缪颖，你说．缪颖：BP=()231a -+．师：③呢？ 生（笔算后）齐答：52.师：对的！再来看④．存在最小值吧？生（齐）：存在．师：当A 、B 两点固定位置时，怎样在线段CD 上找准动点P 的位置，使得PA+PB 的和最小？（引导学生小组讨论）师：你来回答你们组的答案！生17：找A 关于CD 的对称点A / ，连结A /B 交CD 于P ，此时PA+PB 的和最小．师：还可以怎样作出P 点？生18：作B 关于CD 的对称点B /，连结AB /交CD 于P ．师：大家理解这是为什么吗？（学生组织语言后，指定回答）周颖，你来说说．周颖：两点之间线段最短，利用轴对称性将PA 转化成PA /，那A /B 就是PA+PB 的最小和．师：很好！大家作图求出这个最小值，是多少？（稍停）生（齐）：23．师：本节课我们重点复习了二次根式的意义和运算．只有当a ≥0时，二次根式a 有意义；同时须考虑其所处位置来确定未知数的取值范围；分母有理化、分解因式是二次根式运算中的常用方法，运算的结果都要化成最简二次根式；数形结合是二次根式应用中常见策略．下面请同学们完成一份测试．生：课堂测试（10分钟）. 师：（行间巡视，将典型问题板书于黑板）=-222425_________2212m m +-=_________ ⎪⎭⎫ ⎝⎛---225a a 的化简 略作评讲：252-242=（25+24）（25-24）=49．2m +21m -2=(m m 1-)2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---225a a =2)2)(2(5-+--a a a =292---a a 小组长收缴测试纸.师：下课！。

人教八下数学《二次根式》复习教案【教学目标】1. 复习二次根式的概念和性质；2. 复习二次根式的计算方法；3. 引导学生理解二次根式的实际意义和应用；4. 提高学生解决实际问题的能力。

【教学重难点】1. 二次根式的计算方法；2. 二次根式的意义和应用。

【教学准备】教材、课件、笔记、习题、工具书等。

【教学过程】一、复习导入（10分钟）1. 让学生回顾二次根式的定义；2. 复习二次根式的性质：乘法性质、开方性质等。

二、概念解释与示例演练（20分钟）1. 解释二次根式的概念：如果a>0，那么形如√a的式子就叫做二次根式；2. 给出一些简单的例子，让学生计算并写成简化形式；3. 引导学生观察和总结计算二次根式的方法。

三、题目讲解与练习（30分钟）1. 分析教材中的例题，引导学生理解二次根式的实际意义和应用；2. 讲解解答题的思路和方法，包括合并同类项、化简等；3. 给学生一些练习题，让学生独立解答，并讲解答案。

四、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考二次根式的实际应用，如计算面积、体积和边长等；2. 提供相关的应用题，让学生思考如何应用二次根式解决问题。

五、总结归纳（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的内容及知识点；2. 强调重点和难点，提醒学生进行复习。

【板书设计】二次根式的复习概念：形如√a的式子二次根式计算方法：合并同类项、化简等性质：乘法性质、开方性质等实际应用：计算面积、体积、边长等【课后作业】1. 完成教材习题；2. 思考并解答一道具体的二次根式应用题；3. 复习并总结本节课所学的知识点和解题方法。

2.教授二次根式的运算规则。通过例题和练习，让学生掌握二次根式的加减乘除以及乘方等运算方法，注重引导学生运用归纳法和演绎法进行学习和解决问题。
3.结合生活实际，讲解二次根式在几何、物理等领域的应用，提高学生的应用能力。
（三）学生小组讨论
1.教师分配任务，让学生分组讨论二次根式的性质和运算方法。鼓励学生发表自己的观点，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.利用多媒体课件、实物模型等教学资源，直观地展示二次根式的运算过程和性质，帮助学生形象地理解和记忆。
3.设计具有挑战性和探究性的问题，激发学生的思考欲望，引导学生主动参与学习。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发他们的思考。例如，在讲解二次根式的性质时，让学生思考：“二次根式有哪些性质？如何运用这些性质进行运算？”
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神风貌。
2.培养学生团队合作意识和互助精神，提高他们的社会适应能力。
3.通过数学教学，培养学生坚持真理、勇于创新的人格品质。
4.引导学生认识数学在实际生活中的重要性，提高他们对数学价值的认识。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣。例如，通过讲解实际问题，引入二次根式的概念和应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学与问题导向相结合：本节课采用启发式教学法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，深入理解和掌握二次根式的相关知识。同时，结合问题导向，鼓励学生提出问题、分享思路，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作与反思评价并重：本节课注重小组合作，组织学生进行讨论和合作交流，培养他们的团队合作意识和沟通能力。同时，引导学生进行自我反思和评价，总结自己在学习过程中的优点和不足，提高他们的自我认知和自我调整能都能发挥自己的特长，提高他们的自信心。

16.1 课 堂 实 录师：请同学们完成下面几道题1.用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)要做一个两条直角边的长分别是7cm 和4cm 的三角尺，斜边的长应为___cm ；(2)面积为S 的正方形的边长为_____；(3)要修建一个面积为6.28m 2 的圆形喷水池，它的半径为_____m （π取3.14）；(4)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h （单位：m ）满足关系h=5t 2。

如果用含有h 的式子表示t ，则t=____.师：好，请同学来说一说答案。

生：（1）65 （2）s （3）2 （4）5h 师：同学们回答得很正确，请同学们观察一下，刚才的答案中都有什么共同的特征？ 生：都有根号。

师：对！那你们还记得什么叫平方根，算术平方根吗?生：一个正数有两个平方根；a （a ≥0）的平方根是a ± ；0的平方根是0；负数没有平方根。

师：回答得很棒！今天我们进一步学习根式，研究它的定义、取值范围、性质，以及有关的计算和应用。

师：二次根式的定义（板书）1、一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

2、二次根式 被开方数a ≥0；根指数为2.师：注意，二次根式的被开方数一定是非负数才有意义！请大家判断下面的式子是不是二次根式。

巩固练习 指出下列哪些是二次根式？师：请同学们来讲讲答案（让学生举手回答）生：二次根式的有：（1）、（2）、（4）、（5）、（8）师：回答得真棒！注意（6）为什么不是二次根式呢?生：因为a<b ，a-b<0，根式没有意义。

师：对！我们要注意被开方数是非负数。

下面我们来探究二次根式中被开方数里字母的取值范围。

（电脑投影例1）探究1 例1、当x 为怎样的实数时，2+x 在实数范围内有意义？解：要使2+x 在实数范围内有意义，()51()32-()3213()()04≥b b ()()225≥-a a ()()b a b a 〈-6()3257m ()182+x必须想x+2≥0∴ x ≥-2∴ 当x ≥-2时，2+x 在实数范围内有意义。

人教版八年级数学下册---《二次根式复习》教案设计知识框架图：二次根式有关的定义：()2a与2a之间的联系：二次根式的化简与运算：例1．当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？10a a-且<0．∴原式＝-a -a a -a ˙2a -a=2()2256⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=192．变式．把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．解:S =[(18-2)×2]×4 =[(32-2)×2]×4 =22×2×4 =16．解:S =[(18-2)×2]×4 =(336-4)×4 =(6-2)×4 =16．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，二次根式复习（第二课时）次方程”，“二次函数”等内容的重要基础．知识框架图：二次根式有关的定义：()2a与2a之间的联系：二次根式的化简与运算：例1．当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？10a a-且<0．∴原式＝-a -a a -a ˙2a -a解:S=[(18-2)×2]×4=[(32-2)×2]×4=22×2×4=16．解:S=[(18-2)×2]×4=(336-4)×4=(6-2)×4=16．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，。

2.7二次根式 第一课时一. 教学目标1.认识二次根式和最简二次根式的概念，并能用二次根式的性质进行化简。

2.用类比的方法，引入二次根式的性质、公式。

3.通过二次根式的化简，培养学生抓住问题的关键来解决问题的基本思路。

二．教学重难点正确运用公式b a b a ∙=⋅（a ≥0，b ≥0），b ab a=（a ≥0， b ＞0）并能进行熟练地运算，理解法则中b a b a ∙=⋅（a ≥0，b ≥0），b aba=（a ≥0， b ＞0）a 、b各满足什么条件。

三．新旧只是连接运用二次根式是在平方根，立方根，实数的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质。

与已学内容实数，整式和勾股定理联系紧密，同时也是以后将要学习的锐角三角函数，一元二次方程和二次函数等内容的重要基础。

本课时研究的内容是下一课时二次根式的运算的基础和依据。

做一做：填空：（1）94⨯94⨯2516⨯2516⨯＝，94＝；9425162516＝，＝；＝，＝；＝，＝．66202023234545有何发现：49⨯＝1625⨯＝49＝1625＝49⨯，1625⨯，49，1625．＝，6.48067⨯76⨯＝；76（2）用计算器计算：＝，＝．6.4800.92550.9255有何发现：6776⨯7649⨯＝，49⨯1625⨯＝，1625⨯49＝，491625＝．1625观察上面的结果你可得出什么规律？＝67⨯，＝67．知识巩固•例1 化简•（1）；•（2）；•（3）。

教师首先讲解第一个例题。

师：【根号下是81乘以64，我们应用第一个公式，就等于728964816481=⨯=⨯=⨯】教师要注意格式。

师：【就是这样简单的应用我们的公式，下面两个题同学们在课堂本上写，我找两个同学来做。

】 学生能很快地写出正确答案。

学生得出答案.35.....65.....72. 师：【我们为什么要学习二次根式的性质呢？是想去化简二化简下面的二次根式.化简：4527319816125。

课堂教学实录二次根式的复习师：同学们好！ 生：老师好!师：同学们，在课前我布置了几道练习题，我想大家都已经完成了，下面我请各组的小组长汇报各组完成的情况及在解题中遇到的一些问题。

生：各组组长汇报完成情况及遇到的问题师：根据完成情况请四个同学到黑板板演,请其他同学们注意观察黑板板演的过程 生：计算。

(1)33－23 (2) －2a +3a(3) （4师：根据板演情况进行讲解【评析】教师通过活动1,让学生进一步巩固二次根式的解法 师：二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 生：)0()()0())(1(22≥=≥=a a a a a a 与)0,0()0,0(2≥≥=⋅≥≥⋅=b a ab b a b a b a ab 与）（； )00()00()3(>≥=>≥=，b a b a ba ，b a b a b a 与 师：你说得对.请看下面的化简.(投影)【评析】通过不同的计算方法让学生懂得解题的方法并不唯一，激发学生在今后的学习中，要多动脑筋勤思考。

师：要注意22)(a a 不一定能化成．.)(,)2()2(2)2(2)2(0;)()0(0)0()5(5)5(0222222222222222a a ，，，a a a ，，，a ≠-≠--==-<=====≥此时所以无意义但时当此时如时当【评析】通过分析板演，让学生知道在计算二次根式的时候把握法则。

让学生进一步巩固二次根式的混合运算。

师：看下面的题目：x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(投影)23)1(-+-x x ；212)2(xx -；x x 22)3(-+；xx 32)4(+．生1：2≤x ≤3 生2: x ≠±1 生3: x =0生4: x ≥-2且x ≠0．师：同学们回答得很好。

再看看例2. 的值求且满足为实数已知n m n n n m n m 36,3499,,22--+-+-=(投影).,,090999.36::2222的值从而确定的值从中求得及有意义的条件分别是与二次根式的值再求多项式的值与先根据已知条件求出分析师m n n n n n n m ，n m ≥-≥----生：板演：解： 因为n 2-9≥0，9-n 2≥0，且n -3≠0，所以n 2=9且n ≠3，所以32643499,322-=-=-+-+-=-=n n n m n ，5)3(3)32(636=---⨯=-n m师：要使二次根式有意义必须a ≥0【评析】通过分析进一步让学生理解二次根式的运算。

第16章二次根式复习一、复习目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质,并能熟练地化简含二次根式的式子;2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．二、课时安排1课时三、复习重难点重点:二次根式的概念以及运算．难点：二次根式有意义的条件．四、教学过程（一)知识梳理1．二次根式的概念一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式；(1）对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数．（2)错误!是非负数，即错误!≥0.2．二次根式的性质(错误!)2＝；错误!＝错误!＝错误!3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式．(1)被开方数不含 ;（2)被开方数中不含能的因数或因式．4．二次根式的运算错误!·错误!＝(a≥0，b≥0)；错误!＝ (a≥0，b>0）．二次根式加减时,可以先将二次根式化成,再将的二次根式进行合并．（二）题型、技巧归纳考点一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例1 若实数x ，y 满足＋(y －）2＝0，则xy 的值是________．考点二 二次根式性质的运用例2 如图21－1所示是实数a 、b 在数轴上的位置，化简：错误!－错误!2－错误!。

图21－1考点三 二次根式的化简例3 设错误!＝a ， 错误!＝b ，用含a ,b 的式子表示错误!，则下列表示正确的是()A ．0。

03abB ．3abC ．0.1ab 3D ．0.1a 3b考点四 二次根式的运算例4 计算下列各题：(1)错误!错误!·错误!错误!·错误!；(2）(1－3＋错误!）(1＋错误!－错误!）．（三）典例精讲1、若a a -=2，则a 的取值范围是( ）（A ）0>a （B)0≠a （C ）0≤a （D ）0≥a2、若a a 21)12(2-=-，则a 的取值范围( )（A ）21≤a （B ）21>a(C ）21≥a （D ）a 为任意实数3、下列计算正确的是（ ）（A ）15)535(2=-- （B )71)71(2-=--（C ）12)32(2-=- (D ）53)535(2=4、若0,0≤>b a ，则b a +2的值是（ ） （A ）b a + （B ）b a - （C ）a b - （D ）b a --5．求下列各式的值（1)221b a +，其中12,9==b a (2）ac b 42-，其中9,23,21-===c b a（四）归纳小结1．本节课学习了哪些主要内容？2．本节课是怎样进行二次根式的运算的？3．在运算时要注意哪些问题?（五）随堂检测1．要使＋有意义,则x 应满足( )A .≤x≤3B ．x≤3且x≠C 。

形如 a （a≥0）的式子，叫做二次根式。
知识特点： 1、被开放数 a 是一个非负数；
2、二次根式 a 是一个非负数，即 a ≥0；
3、有限个二次根式的和等于 0，则每个二次根式的被开方数必须是 0. 考查题型
例 1、若式子 x 5 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是
A.x>-5
B.x<-5
A. x 1 2
B. x 1 2
C. x 1 2
D. x 1 2
解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。答案为 A。
例 2 函数 y
1
5 x
的自变量 x 的取值范围是（
）
x2 x3
A. 2 x 5
B. 2 x 5
C. 2 x 5且x 3 D. 2 x 5且x 3
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识特点： 1、最简二次根式中一定不含有分母； 2、对于数或者代数式，它们不能在写成 an×m 的形式。 考查题型 例 5、下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. a2 1
1、不同点：
与 表示的意义是不同的，
而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在
0，负实数。但
与 都是非负数，即
表示一个正数 a 的算术平方根的平方，
中
，而 中 a 可以是正实数，
，
。因而它的运算的结果
是有差别的，
，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时，
= ； 时，
无意义，而
. 考查题型 二次根式 知识回顾：
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式， 所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式复习课教学目标1 •使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2 •熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算.难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1 •请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式. 2•二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的•把两个二次根式相除，先写威分式形式，即—备再运用二次根式的除法法则进行计算，计算, 计算结果要把分母有理化.3. 在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：⑴了揖『（鼻g（2）国匸・4. 在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：⑴（石尸二已（社》0）与耳壬（石）'（可⑵騙厂Q b>0）与石亠7b - b>Q）i⑶卜#Qm b>0）与护叔4, 5）.例如，化简乡.可以用3种方法：⑴直粥分咅-字-血|⑵分母有理化帶席虫⑶看作二次根式的除法万==、打.5. 总不一定能化咸（掐巴当4时,如（屈'屈■（嶄*（而）?=仲■丽茂此臥二G即;当《时gp■厲=（爲卩,但石3无惫乂所以J（4）%丘几此臥只尹（77）“.二、例题例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(1)V3- x + Js - 2i2H⑵一炉__ |'~（⑦、陋十J-H ; （4）七分析：（1）题是两个二次根式的和，X的取值必须使两个二次根式都有意义;（2）题中'式子的分母不能为零，即皐不能职使1启F的值$（3）题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；（4）题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零.解（1〕要倩-甌龍艮爛“沁即& 第「/U韻义必知2沁即Q厶所以使式子J了-議+ d2有意义的就£为2W 了.⑵因为「播'二1七|,当x二土1时，1-国二$備式没有意义’所凹当声土1时’2盟式子1 - 有J* + J-歆有意义的逋为签=0,⑶因为便后有惫义的临那沏使彳-2盟有意义的諏值为曲山所以便屈(4)因为便如2有意义的st取值加+ 2沁即区》-2|而分母時①即详0・所以便式子竽<意义的諏值为5x x>2且x工0例2己知弧口为实数,且满足斫1求呦亠的值・n - 5分加先讎己縣傅堀昂的值,Mfw-w. -mJ?7? 环匸?有意加綿训岳-9刘妙『沁从啊嫦M,从而錠点优解因为n2-9>0 9-n2>Q且n-3M Q所以n2=9且n^3所以- 9 + \/s — ri2十4 4 2 "7 ”----------------- ---- -------- =寸・丁6m - 3n = 6 X - 3(-3) = 5.指出；例1和例2主要复习二次根式的意义，即当40晒二次根式需有意义.计算"分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式. 把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a>0和1-a>0.解：因为1-a>0, 3-a>0 所以a v 1, |a-2|= 2-a.(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3- a) >.0故a - ■ ■■' v 1 - a T?7! i-- 十~厂日一2 71 - afa -21 . • J3 -日斗1J(a -l)(a -3Ja~ 2 Vl- a 2 -a - a1 Jl - a * V3 ~ d 富_ 2- a1 1—二— r 1 「Vi ■ a Ji -盘=0*指出；由于二决很式的基本性质戸二罔要由日的取值范围确定，即而屈=石*时£ = #麻立的条件是Q0及b 》0 &沁b 》0) I 因此在运用这些性质化简含二次根式的式子时， 要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足 这些条件的.例°己*池・求石齐-仁厂爲值问：如何确定白+2及渎丄的值是正值还是负值？ a a—=+ J2,知玄—>0. a直答：可由已知条件 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式?= (73-72)-(73 + 72)=-2^2<0,当且二更1馬吋,原式=2皈=2〔苗=2厲-2血.|分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算.I. 因为第二个式子中的分母7W-i+x^o f因此X尹1・所以在化简过程中，分子与分母可以同除以尼£2. 例5中运了二次根式的性质诚=Q石魚沁利关系式円遍*(认)进行二则賦的混谨辜上丄苜11 + 2十后T ”仇卡2 ■> Jt? 7例6: n + 2 ™ Vn2 m4 n + 2 + \!n1 - 4分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷.解设玄二11 + 2 +時n+ 2-Jr? 4 那么&+b= 2(n+2), ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2)，rs -t*' 錘I a J + li3+ b)J - 2ah (x + B)J4(n + 2)2F7P C I>Idb db所以愿戏祐十訂—=—^4令出■七―三、课堂练习1 •选择题：(l)7(a _2)2=2 -a,且的取値范围是A. a W2B. a》2C. a^2D. a v2⑵工<J时，J(x十丹等于[](4诺叫恤* 2n 与躺是同类最简二也很朮MlJn =(5) 化简^Q, b<Q) =(◎若DO, b<0? J!lJ|a|-Jb T = ____________(7) 若|乳-纠十J2运+ y 十6 = 0，则茏十歹-1 = (8) 若l<x<2s 则- 2萨-& 1 -孑= ______________ ；(幻化简 V (^a - y a )(H* - y*)(32>y>0)= ；(10) (m -n) J ―；——(ni 〉ii 〉0, a<0)=洁Im -a -----------3. 求也匸匚』1石+ 2002的值.4. 计算：5^2+273 3 ■击 4-2^2B . -x-2C . -x+2D . x-2⑶化简/卜血勾等于 []A . 2xB . 2aC . -2xD . -2a(4)把根号外面的因式移入根号内,①若0<£<血+ 1,贝!||乂 + 片J (囂-J 尸等于 []A.-1B.氏一1D 272-12. 填空题:⑴若如二有意关，则点J 取值范围足X —---------------------创 仏 1-V2心2k l1 + V2 - y= 2I-◎求I 2 J2+町的值.四、小结1本节课复习的五个基本问题是 二次根式”这一章的主要基础知识，同学们 要深刻理解并牢固掌握.2. 在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式 有意义的条件（或题中的隐含条件），即被开方数为非负数，以确定被开方数中的 字母或式子的取值范围.3. 运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每 一个性质中字母的取值范围的条件.4. 通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法 则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、 计算及求值 等问题. 五、作业1. x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？f 11⑴⑵心r（习（1》顾 ⑵I X]护_3.1 yf *(3) I _ 屈；& J 札2.把下列各式化成最简二次根式：⑶厉’（4）产耳〉y ）.。

《二次根式复习》教学设计例2：若实数满足 则的值是_______.知识点： 考点三:二次根式性质的运用 例3：如图21－1所示是实数a 、b 在数轴上的位置，化简：a 2－()b 2－(a －b )2. (图21－1) 知识点:考点四：二次根式的化简与求值例4：计算（１）（２） 知识点:（1）乘法法则（2）除法法则（3）最简二次根式的两个条件： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的 因数或因式；（4）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根就叫做同类二次根式（5）二次根式加减：先化简，再合并。

小组交流，解答，并书写解答过程。

学生独立思考，探索,在小组内对子互帮，小组交流,学生展示讲解并点评，修正，补充，拓展。

学生回忆知识点，独立完成计算题，个别学生上黑板板书例题。

这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解。

通过活动，既锻炼了学生的自主能力，又通过对子互助小组交流，培养了团队协作的能力。

二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律。

（双重非负性）.0,0≥≥a a a a =2).(1)0(≥a ⎩⎨⎧-=a a a 2.2)0(≥a )0(≤a )0,0(≥≥=⋅b a ab b a )0,0(>≥=b a b a ba真题演练1.下列根式中是最简二次根式的是( )2.计算的结果是（）3.函数中，自变量x的取值范围是（）4.计算：5.若，则代数式x2－6x＋9的值为____.6. 在数轴上表示实数a的点如图所示，化简学生先独立思考，然后小组进行交流探讨，最后解答并书写过程，互相纠正并规范做题过程。

通过让课堂留出一定时间让学生独立完成测评任务，达到对学情准确掌握，使我对下一节的目标和学习任务安排得当，更科学、更合理，更具有针对性。

课堂小结一路下来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享.学生各抒己见，畅所欲言通过对知识的梳理，让学生对已学知识有系统的认识，理清知识点之间的联系。