北京市海淀区年高三一模数学(理科)试卷及标准答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合1Ax x ，B x x m ，且A B R ，那么m 的值可以是（A ）1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14 （D ）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A ）sin 2ρθ （B ）cos 2ρθ（C ）sin 2ρθ（D ）cos 2ρθ（4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a（A（B（C ）2 （D ）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a （B ）2a （C ）22a（D ）2a或2a（8）在正方体''''ABCD A B C D 中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1ia 在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若1tan 2α，则cos(2)απ2= . （12）设某商品的需求函数为1005QP ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB 于点F ，3AF BF ，22BE EC ，那么CDE = ，CD = .（14）已知函数1,,()0,,x f x xRQ Q 则（ⅰ）(())f f x = ； （ⅱ）给出下列三个命题：FEDCBAA'B'C'D'ABCD①函数f x 是偶函数； ②存在(1,2,3)i x iR ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在(1,2,3,4)ix iR ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列. （Ⅰ）若13b，3a ，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.(16)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD 中，AB //CD ，ABAD ，4,22,2AB AD CD ，PA平面ABCD ，4PA .（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC，求PQPB的值．(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；PDCBA（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.(20)（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A ，{1,2,4,8,16}B.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q AB ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）2 （10）43200xy （11）45（12）(10,20)（13）60°（14）1 ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3B π=. ………………………………………2分 因为13b，3a，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π， 所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )22A A A =+11cos22()22A A -=+11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.………………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP平面ABCD ，ABAD ，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C .………………………………………5分所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQ PBλ（其中01λ），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQPB λ.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ.所以4,0,44,xy zλλ即(4,0,44)Q λλ.所以 (42,22,44)CQλλ. ………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB . ………………………………………14分(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x . ………………………………………2分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………4分因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,).………………………………………3分 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)k-.………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-.………………………………………7分（Ⅱ）当1k时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k-<，1102k <-<， 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<， 所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. ………………………………………12分 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分(19)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c .所以 2222ab c . ………………………………………2分所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分 所以||AB ====同理||CD =. ………………………………………7分 因为 ||||AB CD =,所以=.因为 12m m ≠，所以 120m m +=. ………………………………………9分 （ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则 1221m m dk.因为 120m m +=， 所以 1221m dk. ………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=（或S ==所以 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S取得最大值为 ………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若aC 且aX ，则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆-；②若a C 且a X，则(({})()1Card C Xa Card C X ∆=∆+.所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分 （Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，所以 A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅， ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅. 所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以 P Q ∆∆∅=∅. 所以 P Q ∆=∅，即P Q .因为 ,P Q AB ⊆，所以 满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.………………………………………14分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答题应写出解答步骤。

15. （本题满分13分）（Ⅰ）2()cos 2cos 16666f ππππ=+- 2121222⎛=⨯+⨯- ⎝⎭ 2= ······················ 3分（Ⅱ）()2cos 2f x x x =+2sin(2)6x π=+ 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）， 令222262k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得 36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），故()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+（k ∈Z ） ···· 13分16. （本题满分13分）（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用i A 表示事件抽取的月份为第i 月，则123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件，26891011{,,,,,}A A A A A A A =共6个基本事件，所以，61()122P A ==. ················ 4分 （Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2. 242662(0)155C P X C ====，1124268(1)15C C P X C ===，22261(2)15C P X C === 随机变量X 的分布列为（Ⅲ）M 的最大值为58%，最小值为54%. ·········· 13分17.（本题满分14分）（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥，因为 在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以 PO OB ⊥因为 AC OB O =I ，,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ················ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC方法2：OC A B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥，因为 PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以 PO OB ⊥因为 AC OB O =I ，,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ················ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC方法3：OC A设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以 PO AC ⊥设AB 的中点Q ， 连接PQ ，OQ 及OB .因为 在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以 OQ AB ⊥.因为 在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以 PQ AB ⊥.因为 PQ OQ Q =I ，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以 AB ⊥平面OPQ因为 OP ⊂平面OPQ所以 OP AB ⊥因为 AB AC A =I ，,AB AC ⊂平面ABC OPC ABQ所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC················4分所以平面PAC⊥平面ABC（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB AC⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(1,0,0)C，(0,1,0)B，(1,0,0)A-，(0,0,1)P由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为(0,1,0)OB=u u u r由(1,1,0)BC=-u u u r，(1,0,1)PC=-u u u r设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=r，则由BCPC⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u ru u u rnn得：x yx z-=⎧⎨-=⎩令1x=，得1y=，1z=，即(1,1,1)n=rcos,||||n OBn OBn OB⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --········· 9分 （Ⅲ）设BN BP μ=u u u r u u u r ，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r令0BM AN ⋅=u u u u r u u u r得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈， 所以12[,]45BNBP ∈ ··················14分18. （本题满分13分）（Ⅰ）当0a =时，ln ()xf x x =故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ············ 4分（Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a a x x x x f x x a x a +-+-==++ 令()1ln ag x x x=+- 则221'()0a x a g x x x x+=--=-< 由()0a g =>e e ，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故021()f x =e故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e············ 13分 故a 的值为2e .（Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e 且存在0(0,)x ∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e 且存在 0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a . Q 2'()1g x x=-e ， 令'()0g x =，得2x =e .故()g x 的最大值为22222()ln g =-=e e e e e ，即2a =e . ···· 13分（19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意222224112a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =b =c = 故椭圆C 的标准方程为22182x y += ··········· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440x x -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=--故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+--1212224()111122x x x t x t--=-++-+-121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++-22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+-4= ··················· 14分方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k 由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩ 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+-- 121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=-- 21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=-- 0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零故TMN TNM ∠=∠故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ················· 14分20. （本题满分13分）（Ⅰ）A 是“N -数表 ”，其“N -值”为3，B 不是“N -数表”. 3分 （Ⅱ）假设,i j a 和','i j a 均是数表A 的“N -值”，① 若'i i =，则,,1,2,',1',2',','max{,,...,}max{,,...,}i j i i i n i i i n i j a a a a a a a a ===； ② 若'j j =，则,1,2,,1,'2,','','min{,,...,}min{,,...,}i j j j n j j j n j i j a a a a a a a a === ；③ 若'i i ≠，'j j ≠，则一方面,,1,2,,'1,'2,','','max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=，另一方面','',1',2',',1,2,,,max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=； 矛盾. 即若数表A 是“N -数表”，则其“N -值”是唯一的. 8分 （Ⅲ）方法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯=. 定义数表,1919()j i B b ⨯=如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即,,j i i j b a =（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有：① 数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③ 数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素 ④ 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值. 定义数表,1919()j i C c ⨯=如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即,,362j i j i c b =-（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表B 中，,j i b 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯= ① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表A 中，,i j a 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值 则数表C 中，,j i c 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值 即对任意的19A ∈Ω，其“N -值”为,i j a （其中119i ≤≤，119j ≤≤），则19C ∈Ω，且其“N -值”为,,,362362j i j i i j c b a =-=-.记()C T A =，则()T C A =，即数表A 与数表()C T A =的“N -值”之和为362， 故可按照上述方式对19Ω中的数表两两配对，使得每对数表的 “N -值”之和为362，故X 的数学期望()181E X =. ·············· 13分 方法2：X 所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.记19Ω中使得X k =的数表A 的个数记作k n ，19,20,21,...,341,342,343k =，则218182136119[(18)!]k k k n C C --=⨯⨯⨯.则218182362361119[(18)!]k k k k n C C n ---=⨯⨯⨯=，则343343343362191919343343343191919(362)()k k k k k k k k kk k k nk n k n k E X n n n -======⋅⋅⋅-===∑∑∑∑∑∑， 故34334319193433431919(362)2()362k k k k k kk k nk n k E X n n ====⋅⋅-=+=∑∑∑∑，()181E X =. ··· 13分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准、选择题共8小题，每小题 5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答题应写出解答步骤。

15.(本题满分13分)(I) f ( )2』3 sin cos 2cos 1(□) f(X ) 、、3sin 2x cos2x因为函数y sinx的单调递增区间为2k -,2k-( k Z)，令2k2x - 2k(k Z ),2 62解得kx k _ (k Z ),36故f (x)的单调递增区间为[k , k ]( k Z ).................. 13分3616.(本题满分13分)(I )设事件A :从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气 月平均相对湿度 有利于病毒繁殖和传 播•用A 表示事件抽取的月份为第i 月，则{A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A s , A 7, A s , A 9, A 10, A 1, A 2}共 12 个基本事件， A {A 2,A 6,A 8,A 9, AI 0,A 11}共 6 个基本事件，所以，P( A) 6- . ................................................................................. 4分 12 2(n)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地 空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月2018.46 6 62 .................................................................................................... •分份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0 , 1, 2 .2随机变量的分布列为（川）的最大值为58%，最小值为54%. ................................................................-13分 17.（本题满分14分）（I ）方法1 :设AC 的中点为0,连接BO ，PO .由题意PA PB PC 2， P0 1，AO BO CO 1因为 在 PAC 中，PA PC ，O 为AC 的中点 所以PO AC ，因为在 POB 中，PO 1，OB 1，PB 、、2 所以PO OB因为 AC^OB O ，AC,OB 平面 ABC 所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC ............................................................................. 4分 所以平面PAC 平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ,连接BO , PO . 因为 在 PAC 中,PA PC ,O 为AC 的中点所以 PO AC ,因为 PA PB PC , PO PO PO , AO BO CO所以 POA 也 POB 也 POC所以POAPOBPOC 90所以 PO OB因为 AC |>B O , AC,OB平面ABC所以 PO平面 ABC因为 PO 平面 PAC ................. 4分所以平面PAC 平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ,连接PO ，因为在 PAC 中，PA PC , 所以PO ACP(X0)Cl6_ C !15 -,P(X 5C 1C 1 i )CC C 6 -,P(X152)1 15x设AB 的中点Q ,连接PQ , OQ 及OB . 因为 在 OAB 中，OA OB , Q 为AB 的中点 所以OQ AB .因为 在 PAB 中，PA PB , Q 为AB 的中点 所以PQ AB .因为 PQ^OQ Q , PQ,OQ 平面 OPQ 所以 AB 平面OPQ 因为 OP 平面OPQ 所以 OP AB因为 AB p| AC A , AB, AC 平面 ABC 所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC ......................................................... 所以平面PAC 平面ABC(n)由PO 平面ABC , OB AC ，如图建立空间直角坐标系，则O(0,0,0) , C(1,0,0) , B(0,1,0), A( 1,0,0) , P(0,0,1) 由OB 平面APC ，故平面 APC 的法向量为O B 由 B C (1,1,0), P C (1,0,1)0得:1 2当［3刁时,设平面PBC 的法向量为n(x,y,z)，则(0,1,0)令x 1，得y 1 (1,1,1)由二面角A PC B 是锐二面角, 所以二面角APC B 的余弦值为(出)设B N B P ,令B M AN1，则得(1(1) (1,□是关于 入的单调递增函数,所以 B N [I,：2]BP 4 514分18.(本题满分13分)(I)当a 0时,f(x)In x故 f'(x)In令 f '(x)1 ln x 2x0，得0故f (x)的单调递增区间为(0,e)(n)方法1： f'(x)x a ,ln x x ______彳 a i1 ln x x (x 令 g(x) 1 a .In xXa 1 x a -则 g2 2 0X XX由 g(e) a a 1a 0，g(e ) 1a 1(1 a)1a (F1)。

2023年北京市海淀区高三一模考试数学试卷1. 已知集合，则( )A. B. C.D.2. 若，其中i 是虚数单位，则( )A.B. 1C.D. 33. 在等差数列中，，，则( )A. 9B. 11C. 13D. 154. 已知抛物线的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 的横坐标为4，则( )A. 2B. 3C. 4D. 55. 若，则( )A.B. 1C. 15D. 166. 已知直线与圆交于A ，B 两点，且为等边三角形，则m 的值为( )A. B. C.D.7.在中，，的平分线交BC 于点若，则( )A.B.C. 2D. 38. 已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是( )A.B. C. D.9. 已知等比数列的公比为q 且，记、则“且”是“为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 刘老师沿着某公园的环形道周长大于按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了11km，恰好回到起点，前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为( )A. 7B. 8C. 9D. 1011. 不等式的解集为_________.12. 已知双曲线的渐近线方程为，则它的离心率为________.13. 已知函数若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________.14. 设函数①当时，_________；②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________.15. 在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点不与A，B重合，过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥如图所示．给出下列四个结论：①平面PEF；②不可能为等腰三角形；③存在点E，P，使得；④当四棱锥的体积最大时，其中所有正确结论的序号是_________.16. 如图，直三棱柱中，，，，D是的中点．证明：平面BCD；求直线CD与平面所成角的正弦值．17. 在中，求；若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率；从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小．结论不要求证明19. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，，四边形的周长为求椭圆E的方程；设斜率为k的直线l与x轴交于点P，与椭圆E交于不同的两点M，N，点M关于y轴的对称点为、直线与y轴交于点若的面积为2，求k的值．20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；求的单调区间；若存在，使得，求a的取值范围．21. 已知数列给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意连续三项，均有分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：有穷数列：；无穷数列：若有穷数列满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；若数列满足性质①和性质②，且，求的通项公式．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合，所以故选：分析：求交集可得答案.2.【答案】B【解析】解：由题设，故，，所以故选：B分析：利用复数乘法及相等求a，b，即可得结果.3.【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，则，则故选：分析：设等差数列的公差为d，求出2d的值，即可得出，即可得解.4.【答案】D【解析】解：抛物线的准线方程为，因为点P在抛物线上，P的横坐标为4，抛物线的焦点为F，所以等于点P到直线的距离，所以，故选：分析：直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.5.【答案】C【解析】解：因为，令得，，令得，，所以，故选：分析：利用赋值法结合条件即得.6.【答案】D【解析】解：圆的圆心为，半径，若直线与圆O交于A，B两点，且为等边三角形，则圆心O到直线的距离，又由点到直线的距离公式可得，解得，故选：分析：根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离d，结合点到直线的距离公式列出方程求出m的值即可.7.【答案】B【解析】解：设，因为，，所以，又AD是的平分线，所以，，，又，所以，，所以故选：分析：设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用，表示出，从而求得，，得出结论.8.【答案】A【解析】解：因为对任意的，有，令，则，所以，排除C，即，设二次函数，所以，，由可得，则，所以任意的恒成立，则，，故排除故选：分析：令中，则，排除C，又由可得，任意的恒成立，则，，排除B ，即可得出答案.9.【答案】B【解析】解：由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，当，不论取何值，总存在，不满足要求;当，，则，不满足要求;，总存在，不满足要求;当，，则，不满足;，若，，显然，即，不满足;，则在上恒成立，满足.所以为递增数列有且综上，“且”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B分析：由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、，，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.10.【答案】B【解析】解：设公园的环形道的周长为t ，刘老师总共跑的圈数为x ，，则由题意，所以，所以，因为，所以，又，所以，即刘老师总共跑的圈数为故选：B分析：利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程，即可求解.11.【答案】或【解析】解：根据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或所以不等式的解集为或故答案为：或分析：将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.12.【答案】2【解析】解：由题意，得13.【答案】不唯一【解析】解：由，因为在区间上单调递减，且，所以有，因此的一个取值可以为，故答案为：分析：根据正弦型函数的单调性进行求解即可.14.【答案】【解析】解：当时，所以，所以，令，可得当时，，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，，所以当时，，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，，当时，函数有两个零点，1，当时，函数有三个零点，，，当时，函数有两个零点，，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是故答案为：分析：由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a 的取值范围.15.【答案】①③【解析】解：①因为，平面PEF，平面PEF，所以平面PEF，故①正确;②因为是等腰直角三角形，所以PEF也是等腰直角三角形，则，因为，，所以，且当时，≌，所以，此时是等腰三角形，故②错误;③因为，且，，且平面PCF，平面PCF，所以平面PCF，平面ABC，所以平面平面PEF，且平面平面，如图，过点P作，连结DM，则平面ABC，平面ABC，所以，若，，平面PDM，平面PDM，所以平面PDM，平面PDM，所以，如图，，延长MD，交AB于点N，则和都是等腰直角三角形，则，点N到直线AC的距离等于，这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则，设，则，则，则存在点E，P，使得，故③正确;④当底面ACFE的面积一定时，平面平面PEF时，即平面ABC时，四棱锥的体积最大，设，，，得舍或，当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时，故④错误;故答案为：①③分析：根据线面平行的判断定理，判断①证明≌，即可判断②利用垂直关系转化，结合反证法，即可判断③表示四棱锥的体积后，利用导数计算最值，即可判断④点睛：思路点睛：本题考查几何体的线线，线面位置关系，以及动点问题，和导数相联系的最值问题，本题的关键是第三问，需在变化过程中找到位置关系，建立不等式，即可判断.16.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面ABC，且，以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点、、、，、、，所以，，，则，，又因为，CB、平面BCD，因此，平面解：设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，，，因此，CD与平面所成角的正弦值为【解析】分析：以点C为坐标原点，CA、CB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立;利用空间向量法可求得直线CD与平面所成角的正弦值.17.【答案】解：因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以选条件①由知，，根据正弦定理知，，即，所以角C有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以选条件③因为，所以，由，得到，又，由知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以【解析】分析：利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果;条件①，由，角C可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①条件②，利用条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果;条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果;18.【答案】解：设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件C，在A组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，X的可能取值为0，1，2，所以，，，，依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，，，，，，，因为，，所以，，，所以，【解析】分析：根据古典概型的概率公式即可求出;由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出;根据方差公式计算可知，19.【答案】解：由，得，即，由四边形的周长为，得，即，所以椭圆的方程为设直线l的方程为，，，则，，联立方程组，消去y得，，，得，，，直线MN的方程为，令，得，又因为，所以，的面积，得，经检验符合题意，所以k的值为【解析】分析：由短轴长，即四边形的周长得a，b的值，得椭圆的方程;设直线l的方程为，由题，，与椭圆联立方程，得，，表示出的面积，解得k的值.20.【答案】解：当时，，则，得，，所以曲线在点处的切线方程为由，则，当时，恒成立，此时在R上单调递减;当时，令，解得，此时与的变化情况如下：x-0+↘极小值↗由上表可知，的减区间为，增区间为，综上，当时，的减区间为，无增区间;当时，的减区间为，增区间为将在区间上的最大值记为，最小值记为，因为存在，，使得，所以，使得成立，即或，当时，，若，使得成立，只需，由可知在区间上单调或先减后增，故为与中的较大者，所以只需当或即可满足题意，即只需或，解得或，综上所述，a的取值范围是【解析】分析：当时，求出函数的导数，求出曲线在点处切线的斜率，然后求解切线的方程即可;先求出函数的导数，分和两种情况讨论即可得到单调区间;将题中条件转化为若，使得成立，再结合函数放缩得到若，使得成立，再根据中的单调情况可知为与中的较大者，从而得到当或即可满足题意，进而求解即可.点睛：关键点点睛：函数不等式恒成立问题，要进行适当转化.解答小问的关键在于转化为若，使得成立，再结合函数放缩得到若，使得成立，再根据中的单调情况求解即可得到a的取值范围.21.【答案】解：不满足.令，则不是数列n中的项，故有穷数列不满足性质①满足.对于任意，，有，由于，令即可，故无穷数列满足性质①对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，故令时，存在一项，又是数列非零项中绝对值最大的，所以，即再令时，存在一项，又是数列非零项中绝对值最小的，所以，即，又，所以数列所有非零项的绝对值均为1，又数列的各项均不相等，所以其至多有0，，1共3项，所以，构造数列，，1，其任意两项乘积均为0，，1之一，满足性质①其连续三项满足，满足性质②又其各项均不相等，所以该数列满足条件，此时，综上，m的最大值为首先证明：当，时，数列满足，且，，2，因为对于任意数列的连续三项，，，总有，即或，不论是哪种情形，均有当时，，即当时，，亦有，又，故性质得证.考虑，，三项，有或，若，则，此时令，有，由性质知不存在k 使得，且，故只有，此时，因为，所以令时，，由性质知，只有或，当时，，，此时令，，，但，即，由性质知不存在k 使得，所以，即，从而，经验证，数列满足条件，下面证这是唯一满足条件的数列，假设是第一个不满足上述通项公式的项，，当，时，只能为，令，，则，但，由性质，不存在k 使得，当，时，只能为，则，令，，则，但，由性质，不存在k使得，故不存在不满足上述通项公式的项，综上，数列的通项公式为【解析】分析：令，代入求解即可判断对于任意，，直接相乘得到即可判断;对于有穷数列，记其非零项中绝对值最大的一项为，绝对值最小的一项为，令时，得到再令时，得到，从而得到数列至多有0，，1共3项，再构造数列，，1，证明其满足性质①和性质②，进而即可求得项数m的最大值;首先证明：当，时，数列满足，且，，2，，再考虑，，三项，结合性质得到，从而，最后经验证，数列满足条件，再通过反证法证明这是唯一满足条件的数列即可.点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2013.4一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.集合，则（ ）A. B. C. D. 2.在极坐标系中, 曲线围成的图形面积为（ ） Ａ. B. Ｃ. Ｄ.3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的值为5，则输出的值为Ａ. B. C. D.4.不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则的值为Ａ. B. C. D. 5. 若向量满足，则 的值为 A. B. C. D. 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种7. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（ ） A.B.D. 8. 设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①，使得是直角三角形；2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|AB ={3,4,5}{4,5,6}{|36}x x <≤{|36}x x ≤<4cos ρθ=π44π16x y 2-1-1221,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩k 2-1-01,a b ||||||1==+=a b a b ⋅a b 12-121-124y x =F (,)P x y (1,0)A -||||PF PA 1223123,,l l l i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆②，使得是等边三角形；③三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是 A. ① B.①② C. ①③ D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实轴上，则=_______. 10.等差数列中,, 则 11.如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，，则弦的长为_______.12.在中，若，则 13.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.14.已知函数，任取，定义集合： ，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记. 则 （1）函数的最大值是_____；（2）函数的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.（13分）已知函数. （Ⅰ）求的值和的最小正周期； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.i i A l ∃∈(1,2,3)i =123A A A ∆(1,2,3,4)i A i =1234A A A A + i a b ,a b ∈R b {}n a 34259,18a a a a +==16_____.a a =AP O A DB P B O AP C 90ACB ∠=︒3,4BC CP ==DB ABC ∆4,2,a b ==1cos 4A =-_____,sin ____.c C ==22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩a π()sin2f x x =t ∈R {|t A y =()y f x =(,())P t f t (,())Q x fx ||PQ ≤, t t M m t A ()t t h t M m =-()h t ()ht 2()2cos )f x x x =--π()4f ()f x ()f x [,]63ππ-D CBPAO16.（13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.（14分）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且P ABCD -PA ⊥ABCD ABC ∆AC BD M AC 4PA AB ==120CDA ∠=N PB PN =（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面; （Ⅲ）求二面角的余弦值．18.（13分）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I) 当时，求的单调区间； (II) 若在上的最大值为，求的值.19.（14分）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆. （I ）求椭圆的方程；BD PC ⊥//MN PDC A PC B --2()ln f x x ax bx =++,a b 0a ≠1x =1a =()f x ()f x (]0,e 1a M 222(x y r -+=0r >C 22221x y a b +=0a b >>M C（II ）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.20.（13分）设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.（Ⅰ）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若与重合，一定为偶数；（Ⅲ）若，且，记，求的最大值.l y kx =l C A B M G H G AB AG BH =M r (,),(,)A A B B A x y B x y ,,,A A B B x y x y ∈Z B A x x x ∆=-B A y y y ∆=-x ∆+=3y ∆||||0x y ∆⋅∆≠B A ()B A τ=0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z {}i P 1()i i P P τ-=i P (,)i i x y 1,2,3,...,i n =0P 0P n P n 0(1,0)P 100n y =0ni i T x ==∑T海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 （理）参考答案及评分标准 2013．4一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--9．0 10．14 11.12． 13．14．2453, 16491a <≤2,(21,2), Z k k k -∈…2分……4分……6分所以………7分 所以 的周期为 ………9分 （II ）当时，， 所以当时，函数取得最小值 ……11分 当时，函数取得最大值 ……13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有人 ……1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为……7分（Ⅲ）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 ……8分，， 22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+-2= 12sin 2x x -+cos22x x =+π= 2sin(2)6x +πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==()f x 2π2π= π||2T ω==ππ[,]63x ∈-π2π2[,]33x ∈-ππ5π(2)[,]666x +∈-π6x =-π()16f -=-π6x =π()26f =100.2540÷=40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ξξ2621015(16)45C P C ξ===116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=11222104(19)45C C P C ξ===所以的分布列为………………11分 所以 所以的数学期望为……13分17.证明：(I) 因为是正三角形，是中点， 所以,即………………1分 又因为，平面， …2分又，所以平面………………3分又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，5分在中，因为为中点，，所以，所以 ………6分 在等腰直角三角形中，，所以，，所以 ……8分又平面，平面，所以平面 ……9分（Ⅲ）因为， 所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以222101(20)45C P C ξ===ξ1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ865ABC ∆M AC BM AC ⊥BD AC ⊥PA ABCD ⊥平面BD ⊂ABCD PA BD ⊥PAAC A =BD ⊥PAC PC ⊂PAC BD PC ⊥ABC BM =ACD ∆M AC DM AC ⊥AD CD =120CDA ∠=3DM =:3:1BM MD =PAB 4PA AB ==PB =:3:1BN NP =::BN NP BM MD =//MN PD MN ⊄PDC PD ⊂PDC //MN PDC 90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=AB AD ⊥,AB AD AP , x y z (4,0,0),(0,0,4)B C D P yx由（Ⅱ）可知，为平面的法向量 ……10分 ，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为 ……12分 设二面角的大小为， 则 所以二面角余弦值为…14分 18. 解：（I ）因为所以 ……2分 因为函数在处取得极值， ……3分当时，，，随的变化情况如下表：………………5分所以的单调递增区间为,；单调递减区间为 ………6分 (II)因为 令, ……7分 (4,3DB =-PAC 4)PC =-(4,0,4)PB =-PBC (,,)n x y z =00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩3,z =PBC (3,3,3)n =A PC B --θ7cos n DB n DBθ⋅==⋅A PC B --72()ln ,f x x ax bx =++1()2f x ax b x'=++2()ln f x x ax bx =++1x =(1)120f a b '=++=1a =3b =-2231()x x f x x-+'='(),()f x f x x ()f x 1(0,)21+∞（，）1(,1)2222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==()0f x '=1211,2x x a==因为在 处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 所以在区间上的最大值为，令，解得 ……9分 当， 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而 所以，解得 ………11分 当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾 ………12分 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. ………13分 1９.（14分）解：（I ）设椭圆的焦距为，因为，所以， ()f x1x =21112x x a=≠=102a<()f x (0,1)(1,e]()f x (]0,e (1)f (1)1f =2a =-0a >2102x a=>112a <()f x 1(0,)2a 1(,1)2a(1,e)12x a=e x =2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-11e 2a ≤<()f x (0,1)1(1,)2a 1(,e)2a1x =e x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-211e 2x a<=<21e 2x a=≥()f x (0,1)(1,e)1x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<12a e =-2a =-2c a =2c a =1c =A BGH所以.所以椭圆： ……4分 （II ）设（，），(，)由直线与椭圆交于两点，，则 所以 ，则， ……6分 所以……7分 点，0）到直线的距离………9分 显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，所以要使，只要 所以 ……11分 当时，……12分 当时， 又显然,14分 20.解：（Ⅰ）因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个 ……2分又因为，即 所以这些可能值对应的点在以为半径的圆上 ……4分1b =C 2212x y +=A 1x 1y B 2x 2y l C A B 22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩22(12)20k x +-=120x x +=122212x x k =-+AB ==M l d =GH =H AB y kx =y AG BH =AB GH =222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++0k =r =0k ≠242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++24212(1)2132r k k =+>++<r ≤<x ∆+=3(,y x y ∆∆∆1,2x y ∆=∆=2,1x x ∆=∆=0P 22()()5x y ∆+∆=221010()()5x x y y -+-=0P（Ⅱ）依题意与重合则，即，两式相加得（*） 因为故为奇数，于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以一定为偶数 ……8分（Ⅲ）令，依题意，因为………………10分因为有，且为非零整数，所以当的个数越多，则的值越大，而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大 而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大. 当时，令所有的都为1，都取2，则.当时，若， (,)n n n P x y 000(,)P x y 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----n n 11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆3i i x y ∆∆=+i i x y ∆∆，2i x ∆=T 123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆2T i y ∆1-i x ∆T 100n =i y ∆i x ∆1012(12100)10201T =++++=100n >*2(50,)n k k k =>∈N此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大 此时=. 若,令,其余的中有个，个1.相应的，对于，有,其余的都为2，则当时，令 则相应的取则=+综上， ………13分i y ∆50k +50k -1-i x ∆()S n T 212((1)1)21n n n n n +++-++=++*21(50,)n k k k =+≥∈N 2n y ∆=i y ∆49k -1-49k +i x ∆1n x ∆=212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+50100n ≤<1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤T 1n +2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-=22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.。

北京海淀区2022高三一模-数学（理）数 学（理科）2020.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合1A x x ，B x x m，且ABR ，那么m 的值能够是（A ）1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等比数列{}na 中，14358aa a a ，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14 （D ）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A ）sin 2ρθ （B ）cos 2ρθ（C ）sin 2ρθ（D ）cos 2ρθ（4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a（A（B（C ）2 （D ）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范畴是（A ）2a （B ）2a （C ）22a（D ）2a或2a（8）在正方体''''ABCD A B C D 中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45的点P 的个数为 （A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i 1ia在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = .（10）过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于通过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若1tan 2α，则cos(2)απ2= . （12）设某商品的需求函数为1005Q P ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，假如商品需求弹性EQ EP大于1（其中'EQQ P EPQ，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范畴是 .（13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB 于点F ，3AF BF ，22BEEC，那么CDE = ，CD = .FEDC BAA'B'C'D'AB CD（14）已知函数1,,()0,,x f x xRQ Q 则（ⅰ）(())f f x = ； （ⅱ）给出下列三个命题： ①函数f x是偶函数；②存在(1,2,3)ix iR ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i 为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在(1,2,3,4)ixiR ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列. （Ⅰ）若13b，3a，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.(16)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD 中，AB //CD ，ABAD ，4,22,2AB AD CD，PA平面ABCD ，4PA.（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC ，求PQPB 的值．(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时刻（单位：分钟），并将所得数据绘制成PD CBA频率分布直方图（如图），其中，上学所需时刻的范畴是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）假如上学所需时刻许多于1小时的学生可申请在学校住宿，请估量学校600名新生中有多少名学生能够申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时刻少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时刻少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时刻少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=; （ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.(20)（本小题满分14分）关于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩关于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A，{1,2,4,8,16}B .（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)Bf 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q AB ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2020．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 DBACBDAB二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）2 （10）43200xy （11）45（12）(10,20)（13）60°（14）1 ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 因此2B A C =+. 因为A B C ++=π， 因此3B π=. ………………………………………2分因为13b ，3a ，2222cos b a c ac B =+-，因此2340c c --=. ………………………………………5分因此4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π，因此2sin sin()3t A A π=-1sin sin )2A A A =+11cos22()22A A -=+11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分 因为203A π<<， 因此72666A πππ-<-<.12999 因此当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34. ………………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，因此CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，因此CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP平面ABCD ，ABAD ，因此以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C .………………………………………5分因此(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，因此(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.因此 BD AC ⊥，BD AP ⊥. 因为 APAC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，因此 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQPBλ（其中01λ），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 因此PQPB λ.因此 (,,4)(4,0,4)x y z λ.因此4,0,44,x y zλλ即(4,0,44)Q λλ.因此(42,22,44)CQλλ. ………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ，因此=.解得7[0,1]12λ=∈. 因此 712PQPB. ………………………………………14分(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.因此 0.0125x. ………………………………………2分（Ⅱ）新生上学所需时刻许多于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………4分因为6000.1272⨯=，因此600名新生中有72名学生能够申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时刻少于20分钟的概率为14，4381(0)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭,3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭,22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.因此的分布列为：………………………………………分812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=） 因此X 的数学期望为1. ………………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+， 即 '()e (2)(1)(0)kx f x kx x k -=--+<. ………………………………………2分 令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,).………………………………………3分 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情形如下：因此，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-. ………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情形如下：因此，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k+∞，单调递减区间是2(1,)k-. ………………………………………7分（Ⅱ）当1k时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值. 当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f k k k-=+， ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k -<，1102k <-<， 因此2e 1e 2k k --<. 因为 221e 3e2--<，因此 ()f x 的极大值不可能等于23e -. ………………………………………12分 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分(19)（本小题满分13分） （Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，因此1bc.因此 2222a b c . ………………………………………2分因此 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分因此||AB ==== 同理||CD =………………………………………7分 因为 ||||AB CD =, 因此=. 因为 12m m ≠，因此 120m m +=. ………………………………………9分（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则1221m m dk .因为 120m m +=，因此1221m dk ………………………………………10分因此||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=.（或S ==因此 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S 取得最大值为. ………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1Bf -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）依照题意可知：关于集合,C X ，①若aC 且aX ，则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆-；②若a C 且a X，则(({})()1Card C Xa Card C X ∆=∆+.因此 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不阻碍()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.因此 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分 （Ⅲ）因为{()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，因此 A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A Bf x f x f x ∆=⋅.因此 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅， ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅.因此()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=.因此 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 因此 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 因此 P Q ∆∆∅=∅. 因此 P Q ∆=∅，即P Q .因为 ,P Q AB ⊆，因此 满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.………………………………………14分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4本试卷共 4 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（1）已知会合 A {0, a}, B { x | 1 x 2} ，且A B ，则a能够是(A) 1 (B) 0(C) 1 (D) 2（2）已知向量 a (1,2) ， b ( 1,0) ，则a 2b(A) ( 1,2) (B) ( 1,4)(C) (1,2) (D) (1,4)（3）履行以下图的程序框图，输出的S值为(A) 2 (B) 6(C) 8 (D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点构成的会合记为M , 且P( x, y)为 M 中随意一点，则 y x 的最大值为(A) 1 (B) (C) 1 (D) 2 2（5）已知a，b为正实数，则“ a 1 ， b 1”是“lg a lg b 0 ”的()(A) 充分而不用要条件(B)必需而不充分条件(C) 充分必需条件(D)既不充分也不用要条件（6）以下图，一个棱长为 1 的正方体在一个水平搁置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光芒照耀，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则 S 的值不行能是6(A) 1(B)54 3(C)(D)3 2（ 7）以下函数 f ( x) 中，其图象上随意一点P( x, y) 的坐标都知足条件 y x 的函数是(A)f ( x) x3 (B) f ( x) x (C) f ( x) e x 1 (D) f (x) ln( x 1) （8）已知点M 在圆 C1 : ( x 1)2 ( y 1)2 1上，点N 在圆C2 :( x 1)2 ( y 1)2 1 上，则以下说法错误的选项是uuuur uuur3 2 2,0]（A）OM ON 的取值范围为 [uuuur uuur2]（B）| OM ON |的取值范围为 [0, 2uuuur uuur2,2 2 2]（C）| OM ON | 的取值范围为 [2 2uuuur uuur的取值范围为 [ 3 2 2, 3 2 2]（D）若OM ON ，则实数第二部分（非选择题，共110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

高三第二学期期中练习 数 学（理科）20XX ．5学校________________ 班级_______________姓名_________________参考公式:三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=l c c S )(21/+=台侧， 其中/c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=示斜高或母线长 )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= 台体的体积公式)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-= h S S S S V ）（台体++=//31其中S /、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 函数y =xx --2)1(log 2的定义域是 ( )(A) (1,]2 (B) (1, 2) (C) (2, +∞) (D) (-∞,2)(2) 极坐标系内，点（2,2π）关于直线 1cos =θρ 的对称点坐标为 ( ) (A) (4,22π) (B) (2, 4π) (C) (0, 0) (D) (2, 0)(3) 直角梯形ABCD 中，AB//DC, AB = 2CD, ∠A = 45, AD = 2. 以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体的体积为 ( )BDA C(A)π328 (B)π34(C) π3210 (D) π24 (4) 已知复数i z +=1，复数23-+=z z ω，那么ω的三角形式为 （ ）(A) 2)4sin 4(cos2ππi + (B) 2)43sin 43(cos 2ππi + (C) 2)45sin 45(cos 2ππi + (D) 2)47sin 47(cos 2ππi +(5) 函数y = cosx (-π< x < 0) 的反函数为 ( )(A) y = arccosx (-1 < x < 1) (B) y = - arccosx (-1 < x < 1) (C) y = -π+ arccosx (-1 < x < 1) (D) y =π- arccosx (-1 < x < 1)(6) 将正方体的纸盒展开(如图)，直线AB, CD 在原正方体中的位置关系是 ( ) (A) 平行 (B)垂直 (C) 相交且成60角 (D) 异面且成60角(7)从7人中选出5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）（A ）5551057P P C 种 （B ）5551057P C P 种 （C ） 57510C C 种 （D ）51057P C 种(8) 已知a, b 是直线，γβα,,,是平面，给出下列命题：①b a a =βαβα ,//,//，则b a //；②γβγα⊥⊥,,则βα//；③b a b a ⊥⊥⊥,,βα,则βα⊥；④αγββα⊥a ,//,//，则γ⊥a . 其中正确命题的序号是 ( )(A) ①②④ (B) ①③④ (C) ②④ (D) ②③（9）等比数列{a n }公比为q, 则“a 1 > 0, 且q > 1”是“对于任意自然数n, 都有a n+1 > a n ”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件（10）已知f (x )是奇函数，定义域为{x | x ∈R, x ≠0}. 又f (x )在区间(0, +∞)上是增函数，且f (-1) = 0, 则满足f (x) > 0的x 的取值范围是 ( ) (A) (1, +∞) (B) (0, 1) (C) (-1, 0) (1, +∞) (D) (-∞, -1) (1, +∞)（11）若不论k 为何值，直线y = k(x – 2) + b 与曲线x 2 – y 2 = 1总有公共点，则b 的取值范围是 ( )(A) )3,3(- (B) []3,3- (C) (-2, 2) (D) [-2, 2]（12）在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 （ ） (A) 22 (B) 23 (C) 24 (D) 25二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上. (13) 若 (x +x )n 的展开式中第三项系数为36，则自然数n 的值是_________. (14) 若集合{(x, y )| x + y – 2 = 0且x – 2y + 4 = 0}⊂{(x, y )| y = 3x + b }, 则b = _________ . (15) 现有两个定值电阻,串联后等效电阻值为R,并联后等效电阻值为r.若R=k r ,则实数k 的 取值范围是 ________________.(16) 已知函数f (x) = |x 2 –2ax + b | (x ∈R).给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2–b < 0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2–b |. 其中正确命题的序号是___________________ .三.解答题:本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分) 已知3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f . （I ）化简)(x f 的解析式;（II ）若πθ≤≤0,求θ使函数)(x f 为偶函数;（III ）若)(x f 为偶函数, 求满足)(x f =1,],[ππ-∈x 的x 的集合.(18) (本小题满分12分)解关于x 的不等式:]1)2([log )1(log 42+->-x a x (1>a )(19) (本小题满分12分)如图所示，正四棱锥P-ABCD 中,侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26. （I ）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小 ;(II) 若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值; (III) 在侧面PAD 上寻找一点F, 使EF ⊥侧面PBC.试确定F 点的位置, 并加以证明.BCPDE(20) (本小题满分12分)矩形ABCD 的顶点A 、B 在直线m x y +=2上,C 、D 在抛物线x y 42=上,该矩形的外接圆方程为0422=---+t y x y x .(I)求矩形ABCD 对角线交点M 的坐标; (II)求此矩形的边长,并确定t m ,的值.(21) (本小题满分12分)这是一个计算机的程序的操作说明： (1)初始值x = 1，y = 1, z = 0, n = 0；(2) n = n + 1 （将当前n + 1的值赋予新的n ）； (3) x = x + 2（将当前x + 2的值赋予新的x ）； (4) y = 2y （将当前2y 的值赋予新的y ）； (5) z = z + xy (将当前z + xy 的值赋予新的z ); (6)如果z > 7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； (7)打印n, z ； (8)程序终止.由语句（7）打印出的数值为______,_______. 以下写出计算过程：(22) (本小题满分14分) 已知函数xxa x f 22)(-=. (I)将)(x f y =的图象向右平移两个单位,得到函数)(x g y =,求函数)(x g y =的解析式; (II)函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称,求函数)(x h y =的解析式. (III)设)()(1)(x h x f ax F +=,已知)(x F 的最小值是m 且72+>m ,求实数a 的取值范围.高三数学期中练习（理科）参考答案20XX ．5一．选择题（每小题5分，共60 分）(1) B (2) A (3) A (4) D (5) B (6) D (7) D (8) B (9) A (10) C (11) B (12) C二．填空题 (每小题4分，共16分)(13) 9 (14) 2 (15) [4, +∞﹚ (16) ③三.解答题(17) 本小题满分12分解：(I) ]1)2(cos 2[3)2sin()(2-+++=θθx x x f 2分=)]2cos(3)2sin(θθ+++x x 4分 =)62cos(2πθ-+x（或)32sin(2)(πθ++=x x f 6分（II ） 当6πθ=时,)(x f 为偶函数. 8分(III) 由212cos ,12cos 2,1)(=∴=∴=x x x f 10分 .665],,[ππππ±=±=∴-∈x x x 或 ∴所求x 的集合是=x x {}.665ππ±=±x 或 12分（18）本小题满分12分解：原不等式可化为]1)2([log )1(log 222+->-x a x 1分原不等式成立的必要条件是⎩⎨⎧>+->-.01)2(,01x a x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧->>.12,1a x x 3分 由 1>a 且 0111)12(>-=--a a , 故 .12ax -> 5分∴原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+->-->.1)2()1(,122x a x ax ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>--->.0)2)((,12x a x ax 7分 若,21<<a 则⎪⎩⎪⎨⎧><->212x a x a x 或又0)1()12(2<--=--a a a a ， ∴a a<-12. 9分 ∴212><<-x a x a或. 若2=a , 则 ⎪⎩⎪⎨⎧≠>.2,23x x ∴23>x 且.2≠x 10分 若a >2,则⎪⎩⎪⎨⎧><->.2,12a x x ax 或 ∵ 2>2-a 1, ∴ 212或<<-x aa x >. 12分 综上,当1< 2<a 时 ,不等式的解集是{x 12或a x a<<-2>x }当 2=a 时 , 不等式的解集是{x23>x 且2≠x } 当 a >2时 , 不等式的解集是{x 212或<<-x aa x >}(19) 本小题满分12分DOCPG F BM E解：(Ⅰ) 连结AC,BD 交于O,连结PO. ∵P-ABCD 为正四棱锥, ∴PO ⊥底面ABCD.作PM ⊥AD 于M,连结OM, ∴OM ⊥AD.∴ ∠PMO 为侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的平面角. 2分 ∵ PO ⊥底面ABCD,∴ ∠PAO 为PA 与底面ABCD 所成的角.∴tg ∠PAO=26. 设AB=a , ∴ AO=,22a MO=2a. ∴PO=26⨯a a 2322=. ∴tg ∠PMO=3=MOPO .∴ ∠PMO=60，即侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为60. 4分 (Ⅱ) 连结EO,∵E 为PB 的中点，O 为BD 的中点，∴EO//PD.∴∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成角 6分 ∵ Rt △PAO 中, AO=,22a PO=,23a ∴PA=a 25. ∴EO=21PD=a 45.由AO ⊥截面PDB,可知AO ⊥EO. 在Rt △AOE 中 tg ∠AEO=1052=EO AO . 即异面直线AE 与PD 所成角的正切值是1052. 8分(Ⅲ) 延长MO 交BC 于N,连结PN,取PN 中点G ,连结EG,MG .∵P-ABCD 为正四棱锥且M 为AD 的中点, ∴N 为BC 中点. ∴BC ⊥MN,BC ⊥PN. ∴BC ⊥平面PMN. ∴平面PMN ⊥平面PBC.∵PM=PN, ∠PMN=60,∴△PMN 为正三角形, ∴MG ⊥PN, ∴MG ⊥平面PBC. 取AM 中点为F,连结FE, 则由EG//MF 且EG=MF 得到MFEG 为平行四边形,∴FE//MG. ∴FE ⊥平面PBC. 12分 (20) 本小题满分12分解: (I)∵M 是矩形外接圆的圆心,外接圆的方程为417)2()21(22+=-+-t y x ∴ M 点坐标为()2,21. 3分 (II) ∵CD//AB, ∴可设CD 的直线方程为n x y +=2.与抛物线方程联立,消x ,得0222=+-n y y (*) 设弦CD 的中点为N,则22122,12nn y x y y y N N D C N -=-==+=. 由MN ⊥CD,得21-=--N M N M x x y y ,即 2121-=n ,解得4-=n . 6分由方程(*),684=-=-n y y D C ,53)()(22=-+-=D C D C x x y y CD 8分N 点坐标为（)1,25，N 关于M 的对称点是N /坐标为（-)3,23， N /在直线AB 上，代入方程可得.6=m 10分 M 点到CD 的距离为,55421=--=MN ∴522==MN AD . 圆半径r 满足,465||||222=+=NC MN r ∴.12=t 12分 即此矩形的分别边长为.12,6,52,53==t m (21) 本小题满分12分解: 设n= i 时,x ,y ,z 的值分别为i i i z y x ,,,.依题意,.2,110+==-n n x x x ∴{}n x 是等差数列, 12+=n x n . 2分.2,110-==n n y y y ∴{}n y 是等比数列, nn y 2=. 4分.,010n n n n y x z z z +==- 5分 ∴n n n y x y x y x z +++= 2211=nn 2)12(27252332⋅+++⋅+⋅+⋅ ∴=n z 214322)12(2)12(272523+⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅n nn n以上两式相减,得 z n =1322)12(22222223+⋅++⋅--⋅-⋅-⋅-n nn=22)12(2)12(22112+⋅-=⋅+++-+++n n n n n 9分依题意,程序终止时：7000,70001≤>-n n z z ，即⎩⎨⎧≤+->+-+.700022)32(,700022)12(1nn n n 可求得7682,8==z n . 12分 (22) 本小题满分14分 解: (I) 2222)2()(---=-=x x a x f x g . 2分(II) 设)(x h y = 图象上一点P ),(y x ,点P 关于1=y 的对称点为Q )2,(y x -, 4分 由Q 在)(x g y =的图象上, ∴y a x x -=---22222, 于是-=2y 2222--+x x a , 即 =)(x h -22222--+x x a . 7分(III) 2)21)(14(2)411(244222121)(+-+-=+-+-=x x x x x x a a a a x F . 8分 (1) 当0<a 时,0411<-a , ,014<-a 由xx )21(,2值域是),0(+∞,可得,2)(<x F 这与72)(+>≥m x F 矛盾;(2) 当410≤<a 时, 0411>-a ,,014≤-a )(x F 是(-+∞∞,)上的增函数, 设,)(0m x F =则当0x x <时, ,)(m x F <这与已知矛盾. (3) 当4≥a 时,0411≤-a ,,014>-a )(x F 是(-+∞∞,)上的减函数, 设,)(0m x F =则当0x x >时, ,)(m x F <这与已知矛盾. 11分 由(1),(2),(3)可知,.441<<a 此时0411>-a ,,014>-a24)14)(4(22)21)(14(2)411(2)(+--=+--≥aa a a a x F x x , 当且仅当x x a a )21)(14(2)411(-=-,即aa a x --=4)14(42时,)(x F 取得最小值 24)14)(4(2+---=aa a m .由72+>m 及441<<a 得⎪⎩⎪⎨⎧<<>--,441,474)14)(4(a a a a 解得, 221<<a . 14分说明:其它正确解法按相应步骤给分.。