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第五章连续系统的计算机模拟技术1 微分方程建模法微分方程建模方法是研究函数变化规律的有力的工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。
微分方程模型的建立常常有如下步骤：（1）翻译或转化在实际问题中，有许多表示导数的常用词，如速率、增长率（生物学或人口问题中）、衰变（放射性问题）以及边际（经济）等。
（2）建立瞬间表达式根据自变量有微小改变t∆时因变量的增量w∆，建立起在t∆时段上的增量表达dw的表达式。
式，令0t→∆，即得到dt（3）配备物理单位在建模中应注意每一项采用同样的物理单位。
（4）确定条件这些条件是关于系统在某一特定时期或边界上的信息，他们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。
为了完整充分的给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起给出。
建立微分方程模型较常用的有两种方法：（1）按变化规律直接列出方程即利用人们熟悉的数学、物理、化学等学科中规律，如牛顿第二定律等，对实际问题直接列出微分方程。
（2）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定条件下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。
建立微分方程模型只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但大多数微分方程是求不出其解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的手段。
1新产品销售的Malthus模型新产品销售的Malthus模型著名的英国统计学家托马斯•马尔萨斯（Thomas Malthus）在1798年提出了商品广告模型一个新产品要在市场打开销路，产品质量固然重要，广告宣传也是不可忽视的，随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越重要了，它是商品促销的强有力手段，然而，广告与销售之间的关系如何？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业，对于那些为推销商品做广告的企业更为重要。
第四章 连续系统的数字仿真连续系统是最常见的系统，它的仿真方法是系统仿真技术中最基本、最常用和最成熟的。
进行数字仿真首先要建立被仿真系统的数学模型，并将此模型转换成计算机可接受的、与原模型等价的仿真模型，然后编制仿真程序，使模型在计算机上运转。
如何将连续系统的数学模型转换成计算机可接受的等价仿真模型，采用何种方法在计算机上解此模型，这是连续系统数字仿真算法要解决的问题。
本章介绍了连续系统数字仿真常用的数值积分法和离散相似法。
4.1 连续系统仿真的数值积分法4.1.1 数值积分法原理考察一阶微分方程，形如0)( , ))(,()(y t y b t a t y t f t y =≤≤= （4.1） 设式（4.1）的解)(t y 在区间],[b a 上是连续变化的。
我们将区间],[b a 分成若干个小区间，时间间隔为h ，在一个区间],[1+=k k t t t 内积分，则有⎰++=+11),(k k t t k k dt y t f y y （4.2）在],[b a t ∈，对应于每个离散时间点k ，均可求出对应的k y ，并将这些离散的),2 ,1( =k y k 作为解)(t y 的在离散点上的近似值，如图4.1所示。
式（4.2）中的积分项很难求得。
但由于泰勒公式，存在,2 ,1 ,0 ! 31! 21321=+'''+''+'+=+k h y h y h y y y k k k k k（4.3） 式中，h 为积分步长。
图4.1 数值积分计算示意图这是一个递推公式，借助计算机按一定算法可以依次求出 ,,21y y 各点的值。
当h 足够时，这些点的y 值可作为方程（4.1）的近似解，由式（4.2）我们可以引出多种数值积分方法。
以下介绍几种常用的数值积分法。
1．欧拉（Euler ）法已知一阶微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy （4.4） 式（4.3）右边取两项，则hy t f y y hy t f y y h y t f y h y y y k k k k y y t t ),( ),(),(111120000100+=+=+=+=+==（4.5）很明显，由上式可以求出各点的k y 值。
第3章 连续系统仿真的方法3.1 数值积分法连续系统数值积分法，就是利用数值积分方法对广微分方程建立离散化形式的数学模型——差分方程，并求其数值解。
可以想象在数学计算机上构造若干个数字积分器，利用这些数字积分器进行积分运算。
在数字计算机上构造数字积分器的方法就是数值积分法，因而数字机的硬件特点决定了这种积分运算必须是离散和串行的。
把被仿真系统表示成一阶微分方程组或状态方程的形式。
一阶向量微分方程及初值为()(),00t Y Y t Y ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭Y =F =（3-1）其中，Y 为n 维状态向量，F （t ，Y ）为n 维向量函数。
设方程（3-1）在011,,,,n n t t t t t +=…处的形式上的连续解为()()()()n+1n+1t t n+10t t t =Y t +,(),n Y F t Y dt Y t F t Y dt=+⎰⎰（3-2）设 n =()n Y Y t ，令1n n n Y Y Q +=+（3-3）则有：()1n+1t n Y Y +=也就是说，1(,)n nt n t Q F t Y dt +≈⎰（3-4）如果n Y 准确解()n Y t 为近似值，n Q 是准确积分值的近似值，则式（3-4）就是式（3-2）的近似公式。
换句话说，连续系统的数值解就转化为相邻两个时间点上的数值积分问题。
因此，所谓数值解法，就是寻求初值问题（3-1）的真解在一系列离散点12n t t t <…<…上的近似解12,,,n Y Y Y ……，相邻两个时间离散点的间隔1n n n t t +=-h ，称为计算步距或步长，通常取n =h h 为定值。
可见，数值积分法的主要问题归结为对函数(,)F t y 的数值积分问题，即如何求出该函数定积分的近似解。
为此，首先要把连续变量问题用数值积分方法转化成离散的差分方程的初值问题，然后根据已知的初值条件0y ，逐步地递推计算后续时刻的数值解(1,2,)i y i =…。
