经典的连续系统仿真建模方法(实验报告)
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系统工程之连续系统仿真
b1s n 1 b2 s n 2 bn Y (s) G ( s) n n 1 U ( s ) s a1s an 1s an Y (s) X (s) X (s) U (s) (b1s
n 1
b2 s
n2
1 bn ) n s a1s n 1 an 1s an
Part 1 连续系统模型概述
系统的概念：所谓系统，是由相互联系、相互作 用的若干部分，以一定的结构组成的具有特定功 能的整体。 模型的概念：对系统的特征与变化规律的一种定 量抽象，是人们用以认识事物的一种手段。
•模型是现实系统的一种抽象，是在一定假设条件下对系统 的转化。 •模型中必须包含系统中的主要因素。 •模型中必须反映出主要因素之间的逻辑关系和数学关系。
系统仿真的应用
•对已有系统进行分析时，采用系统仿真时仿真成 为系统分析器。 •对尚未有的系统进行设计时，采用仿真技术考察 其性能是否满足预定要求，这时仿真是系统设计 器。 •在系统运行时，利用仿真模型作为观测器。 •在系统运行前，利用仿真模型作为预测器。 •利用仿真模型作为训练器，训练系统操作人员， 仿真成为训练仿真器。
系统
系统建模
模型
仿真试验
计算机
系统是研究的对象 模型是系统的抽象 仿真是对模型实验
仿真建模
计算机仿真的三个活动 • 系统建模是通过对实际系统的观测和检测，在忽略次要因 素及不可检测变量的基础上，用物理或数学的方法进行描 述，从而获得实际系统的简化近似模型。 • 仿真建模是将系统模型转化为仿真模型的过程，仿真模型 反映了系统模型同计算机之间的关系，它能为计算机所接 受并在其上运行。 • 仿真实验是将系统的仿真模型置于计算机上运行的过程。
SIMULINK仿真连续系统建模
• 求和模块：其图形形状Icon shape选择 rectangular，使模块呈矩形。符号列表List of signs设置为+--。
• 积分模块：只是把他们的名称分别改为Int1,Int2。
• G1和G2增益模块：它们的方向旋转可以借助菜 单[Format:Rotate Block]实现。
• Scope示波器：先双击该模块，出现示波窗；点 击工具图标 ，引出参数设置页；在Data history页中，勾选Save data to workspace。这将 送入示波器的数据同时被保存在MATLAB基本空 间的缺省名为ScopeData的构架数组中。
移动标识：点击标识，待编辑框出现后，将光 标指向编辑框，按下鼠标后拖动至新位置。
• 复制标识：类似于移动标识，只是要求同 时按下ctrl键，或者改用鼠标右键操作。
• 删除标识：点击标识，待编辑框出现后， 双击标识使得整个标识被全部选中，按 “delete”键。
常用的Source库信源
名称 模块形状
• 例：物理背景：如图所示喷射动力车的定位控制 问题。要求设计一个控制器，其目标是：当车辆 的位移和速度为正时，控制器点燃右发动机；当 车辆的位移和速度为负时，控制器点燃左发动机， 直至车辆停止在坐标原点。
x
F
m
装置左右喷射发动机的车辆示意图
• 1）根据车辆的动态方程，构作基本仿真模 型
在阻力忽略不计的假设下，据牛顿定理 可写出 mx F 。又设喷射力F=1，车质 量m=5，初始条件是 x(0) 0 ，x(0) 1
• Int2积分模块：它的输入是速度，输出是位移。 初始值为1。
• XY Gragh绘图器：它的上、下端口分别作为图形 坐标的横、纵坐标变量。
• 积分模块：只是把他们的名称分别改为Int1,Int2。
• G1和G2增益模块：它们的方向旋转可以借助菜 单[Format:Rotate Block]实现。
• Scope示波器：先双击该模块，出现示波窗；点 击工具图标 ，引出参数设置页；在Data history页中，勾选Save data to workspace。这将 送入示波器的数据同时被保存在MATLAB基本空 间的缺省名为ScopeData的构架数组中。
移动标识：点击标识，待编辑框出现后，将光 标指向编辑框，按下鼠标后拖动至新位置。
• 复制标识：类似于移动标识，只是要求同 时按下ctrl键，或者改用鼠标右键操作。
• 删除标识：点击标识，待编辑框出现后， 双击标识使得整个标识被全部选中，按 “delete”键。
常用的Source库信源
名称 模块形状
• 例：物理背景：如图所示喷射动力车的定位控制 问题。要求设计一个控制器，其目标是：当车辆 的位移和速度为正时，控制器点燃右发动机；当 车辆的位移和速度为负时，控制器点燃左发动机， 直至车辆停止在坐标原点。
x
F
m
装置左右喷射发动机的车辆示意图
• 1）根据车辆的动态方程，构作基本仿真模 型
在阻力忽略不计的假设下，据牛顿定理 可写出 mx F 。又设喷射力F=1，车质 量m=5，初始条件是 x(0) 0 ，x(0) 1
• Int2积分模块：它的输入是速度，输出是位移。 初始值为1。
• XY Gragh绘图器：它的上、下端口分别作为图形 坐标的横、纵坐标变量。
仿真课件 4 经典的连续系统仿真建模方法学2
x
k
可得前后两步误差之间的关系为
k 1 k (1 h
1 h
h 2 2 2
h 2 2 2
h 33 6
h 4 4 24
)
所以，RK-4法计算稳定的条件是
h 33 6
h 4 4 24
1
(3-26)
3.3
稳定性分析
算欧拉法最大允许步长，将步长从0.1逐渐增大，比较三种
4 x x
function derX=w_SysStateEqu(curt,curx,curu) % function derX=w_stateEqu(curt,curx,curu) % 函数功能：在此函数里写系统的状态方程 % 输入参数：curt当前时间，curx和curu是当前状态和控制 % 输出参数：derX是状态的X的导数值 derX(1)=-4*curx(1);
x
k
3.3
稳定性分析
2 2 3 h h h2 2( ) 2 h 2 2 4 xk 1 xk 6 ( 2 h h 2 3 h3 4 ) 2 4 h 2 2 h3 3 h 4 4 xk 1 h 2 6 24
xk 1 k 1 xk k h ( xk k )
2. 欧拉法计算稳定性分析
欧拉法：
设xk步的误差为εk ，则有
与前式相减，得
k 1 k (1 h )
1 h 1
(3-25)
很显然，要使误差是逐渐减小得，就要求
即
1 1 h 1 2 h 0 h
实验十三 一阶连续时间系统的模拟
实验十三一阶连续时间系统的模拟一、实验目的1．了解用集成运算放大器构成基本运算单元——标量乘法器、加法器和积分器，以及它们的组合全加积分器的方法。
2．掌握用以上基本运算单元以及它们的组合构成模拟系统，模拟一阶连续时间系统的原理和方法，并用实验测定模拟系统的特性。
二、实验内容1．熟悉集成运算放大器构成基本运算单元的工作原理。
2．用示波器观察模拟一阶连续时间系统的频率特性。
三、实验仪器1．信号与系统实验箱一台2．信号系统实验平台3．连续时间系统的模拟模块（DYT3000-67）一块4．20MHz双踪示波器一台5．连接线若干四、实验原理1.模拟连续时间系统的意义由于自然界的相似性，许多不同的系统具有相同的特性。
不论是物理系统还是非物理系统，不论是电系统还是非电系统，只要是连续的线性时不变系统，都可以用线性常系数微分方程来描述。
把一具体的物理设备经过数学处理，抽象为数学表示，从而便于研究系统的性能，这在理论上是很重要的一步；有时，也需要对一系统进行实验模拟，通过实验观察研究当系统参数或输入信号改变时，系统响应的变化。
这时并不需要在实验室里去仿制真实系统，而只要根据系统的数学描述，用模拟装置组成实验系统，它可以与实际系统完全不同，只要与实际系统具有同样的微分方程数学表示，即输入输出关系（也即传输函数或系统响应）完全相同即可。
系统的模拟是指数学意义上的模拟。
本实验即由微分方程的相似性出发，用集成运算放大器组成的电路来模拟一阶RC系统。
2. 集成运算放大器构成基本运算单元——标量乘法器、加法器和积分器，以及它们的组合全加积分器连续时间系统的模拟，通常由三个基本运算单元——标量乘法器、加法器和积分器构成，实际上还常常用到它们的组合全加积分器，这些运算单元都可以用集成运算放大器构成。
① 标量乘法器（又称比例放大器）图13-1(a) 反相标标量乘法器 图13-1(b) 同相标量乘法器电路反相标量乘法器电路如图13-1（a ）所示：01F i i R U U k U R=-=⋅，式中比例系数k 为：1F R k R =-当R 1＝R F 时，k ＝－1，则u 0＝－u i ，称为反相跟随器。
建模仿真连续系统实例timewl
Re m0 L20 /(kT0t02 ),~p p / Re,~w w / Re, ~ V0 /(qn0L20 ), C ND N A
2020年11月1日星期日
3
半导体器件建模与仿真
2. 仿真模型的建立 （有限元方法）
边界条件如下，其中 n 、 分 别为边界的法向量和切向量。
在发射极边界Γs有：
2
半导体器件建模与仿真
2. 仿真模型的建立
v
v
0,
t
T t v t
v
(v
T
)v
2
T
v
m
*
v
3
3
(T )
m * Re
2 (~1w T m * Re
2 ~p
)
2（ k
0 3
v
~p Re
0,
noT
)
2k0 no 3
T
(T 1) ~w Re
0,
(~ ) (e C) 0
1.0 1021 m 3
若y 0.196 若0.124 y 0.196
若y 0.124
m#=0.26，q=1.60218x10-19C，Vg=0，
p
m* n0T0
qT
,
w
p
2
3 2
qvks2(nT0TTT0 0
)
2020年11月1日星期日
6
半导体器件建模与仿真
3. 仿真实例（MESFET)
n C, v 0,T 1, 0。表示电子密度为C，温度为1
n
在集电极边界Γd有： 在栅极边界Γg上有：
（即300K），相对势能为0。
n n n
C0,,(nvv )0,T0,v
第四章 连续仿真
单步法：欧拉法、梯形法、龙格－库塔法 多步法：阿达姆斯法 预测校正法
离散相似法
频域相似法、时域相似法
数值积分法
数学模 型——差分方程，并求出其数值解（也成数 值解法）。 单步法与多步法 显式与隐式
仿真模型误差
截断误差
基于泰勒展开公式的数值计算法，积分方法的阶次越高， 截断误差越小，减小步长可缩小每一步的截断误差。
二是状态事件(state-event) 一条件时发生。
系统达到某
思考题
交通系统仿真中那些属于连续仿真？
离散相似法
数值积分法将微分方程转换成计算机可编程的 迭代式，通过计算各采样点的模型数值求解微 分方程。 离散相似法就是用离散化的模型直接代替连续 系统的数学模型。 常用的方法有吐斯丁法、状态变换法。
仿真算法比较和选择
欧拉法和龙格－库塔法可用于非线性系统；吐斯 丁法、状态转移法限于线性系统。
(2)达到某一阀值后的连续状态变量可引起另一事件 发生。
如化学反应中某一成分达到预设标准后反应关闭。
(3)某些连续变量的功能性描述可以在某些离散时 间点上改变。
如污染物排放可立即改变生态系统的平衡关系。
组合仿真模型
组合仿真中有两类事件： 一是时间事件(time-event) 指在某些特定 时间点上发生的事件。这在离散仿真中很 常见。
连续仿真的一些概念
模型：一般用状态变量的微分来描述： ds(t ) s 2 (t ) t 2 dt s (0) k • S不能用解析方法得到时，可用积分方法来仿真：
ds s (t 2 ) s (t1 ) ( )dt dt t1
t2
离散相似法
频域相似法、时域相似法
数值积分法
数学模 型——差分方程，并求出其数值解（也成数 值解法）。 单步法与多步法 显式与隐式
仿真模型误差
截断误差
基于泰勒展开公式的数值计算法，积分方法的阶次越高， 截断误差越小，减小步长可缩小每一步的截断误差。
二是状态事件(state-event) 一条件时发生。
系统达到某
思考题
交通系统仿真中那些属于连续仿真？
离散相似法
数值积分法将微分方程转换成计算机可编程的 迭代式，通过计算各采样点的模型数值求解微 分方程。 离散相似法就是用离散化的模型直接代替连续 系统的数学模型。 常用的方法有吐斯丁法、状态变换法。
仿真算法比较和选择
欧拉法和龙格－库塔法可用于非线性系统；吐斯 丁法、状态转移法限于线性系统。
(2)达到某一阀值后的连续状态变量可引起另一事件 发生。
如化学反应中某一成分达到预设标准后反应关闭。
(3)某些连续变量的功能性描述可以在某些离散时 间点上改变。
如污染物排放可立即改变生态系统的平衡关系。
组合仿真模型
组合仿真中有两类事件： 一是时间事件(time-event) 指在某些特定 时间点上发生的事件。这在离散仿真中很 常见。
连续仿真的一些概念
模型：一般用状态变量的微分来描述： ds(t ) s 2 (t ) t 2 dt s (0) k • S不能用解析方法得到时，可用积分方法来仿真：
ds s (t 2 ) s (t1 ) ( )dt dt t1
t2
第3章连续系统的数字仿真通用算法
h y (t n +1 ) ≈ yn +1 = yn + ( K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6 K1 = f (t n , yn ) K 2 = f (t n + h , yn + h K1 ) 2 2 式中 : K = f (t + h , y + h K ) n n 2 3 2 2 K = f (t + h, y + hK ) n n 3 4
da ( t ) a (t + t ) = a (t ) + t dt
b (t + t ) = b (t ) + db ( t ) t dt
(3-2)
c (t + t ) = c (t ) +
dc ( t ) t dt
假定模拟周期为T,可将T分成N个小的时间步长 t,即:T=N t 在时间为0时,我们知道a(0),b(0)和c(0)的实始值, 从这些初始值及常数K1和K2值出发,就可以计算 出t时间内的化学量的变化值.
(3)龙格--库塔法的精度取决于步长h的大小及求解的 方法.实践证明:为达到同样的精度,四阶方法 的步长h可以比二阶方法的h大10倍,而四阶方法 的每步计算量仅比二阶方法大一倍,所以总的计 算星仍比二阶方法小,使用的CPU机时也少.一 般工程中四阶龙格--库塔公式已能达到要求的精 度,故不再使用更高阶的公式.表3-1示出了f的 计算次数与精度阶数的关系. 表3-1 计算f的次数与精度阶数的关系 第一步计算f的次数 精度阶数 2 2 3 3 4 4 5 4 6 5 7 6 ≥8 n-2
y ( t n + 1 ) ≈ y n + f ( t n , y n ) h = y n +1
连续系统仿真概述
第一篇 连续系统仿真篇第一章 连续系统仿真概论按系统模型的特征分类，可以有连续系统仿真及离散事件系统仿真两大类。
本篇讨论连续系统仿真问题。
过程控制系统、调速系统、随动系统等这类系统称作连续系统，它们共同之处是系统状态变化在时间上是连续的，可以用方程式（常微分方程、偏微分方程、差分方程）描述系统模型。
1.1 连续系统模型描述连续系统仿真中的数学模型有很多种，但基本上可分为三类：连续时间模型、离散时间模型及连续－离散混合模型。
本节将对它们的线性定常形式作一介绍，1.2节将介绍几种模型结构变换的方法。
1.1.1 连续时间模型如果一个系统的输入量u(t)，输出量y(t)，系统的内部状态变量x(t)都是时间的连续函数，那么我们可以用连续时间模型来描述它。
系统的连续时间模型通常可以有以下几种表示方式：常微分方程，传递函数，权函数，状态空间描述．本节仅对其一般描述形式作一简要介绍，偏微分方程将在第8章讨论。
1.常微分方程常微分方程可用(1.1)式表示：u c dt ud c dt u d c y a dt dy a dt y d a dt y d n n n n n n n n n nn +++=++++------- 1221111111(1.1) 其中n 为系统的阶次，a i n i (,,,,)=012 为系统的结构参数，),,2,1(n j c j =为输入函数的结构参数，它们均为实常数。
2.传递函数若系统的初始条件为零，即系统在 t=0时已处于一个稳定状态，那么对（1.1）式两边取拉氏变换后可得：)()()()()()()(2211111s U c s U sc s U sc s Y a s sY a s Y s a s Y s n n n n n n n +++=++++----稍加整理，并记：jn j jn n j jjn s a s cs U s Y s G ∑∑=--=-==10)()()( (1.2)(1.2)式称为系统的传递函数。
控制系统仿真连续系统数学模型表示方法及实现
Z变换
a
0
a1 z 1 a n z n Y z b1 z 1 bn z n U z
H z Y ( z) U ( z)
j b z j j a z j j 0 j 1 n n
系统的Z传递函数
10
2015/5/22
2015/5/22 控制系统仿真
a0 y n k a1 y n k 1 an y k
Байду номын сангаас
9
离散时间模型
（2）Z传递函数
若系统的初始条件为零，对差分方程两边取Z变换。
b1u n k 1 bn u k
a 0 y n k a1 y n k 1 a n y k
1）输入输出模型与状态空间模型的转换（本节内容） 2）模型的离散化（第三章）
2015/5/22
控制系统仿真
18
数学模型之间的转换
（1）状态空间模型与传递函数模型之间的转换 状态空间模型传递函数模型
t AX t BU t X Y t CX t DU t
yk a1 yk 1 an yk n b1uk 1 bnuk n
Z k 1 A* Z k B *u k
0 * A 0 a n
2015/5/22
yk H *Z k
I n 1
a n 1
a1
i 0
k
权序列 h(k)
Z变换
Z传递函数 H(z)
2015/5/22
控制系统仿真
12
离散时间模型
清华出版社 系统仿真导论 答案Chapter 2习题答案 经典的连续系统仿真建模方法学
Chapter 2习题答案 经典的连续系统仿真建模方法学1. 数值积分法已知微分方程为1)0(,2=--=x t x x，取仿真步长2.0=h ，利用RK2计算4.0=t 时x 的值。
解：RK2公式为：),(),()(2121211hK x h t f K x t f K K K hx x k k k k k k ++==++=+，而k k k k t x x t f --=2),(则：ht h x h h t hK x hK x h t f K t x x t f K k k k k k k kk k k --+-=+-+-=++=--==)12()24()()(2),(2),(1121故：02.016.068.01--=+k k k t x x 列表计算：2. 仿真步长对计算稳定性的影响0)0(,x x x x==λ （1） 其中0<λ，讨论用梯形法计算该模型时，仿真步长h 与算法稳定性的关系。
解：梯形法计算公式的计算公式为)],(),([2111+++++=n n n n n n t x f t x f hx x （2）将（1）代入（2），有：112112)21()(2)(2+++++=++=++=n n n n n n n x h x h x x h x K K h x x λλλλ （3） 即： n n x h x h )21()21(1λλ+=-+ （4）设n x 为x 的一个仿真解，设n n x ε+为其准确解，即))(21())(21(11n n n n x h x h ελελ++=+-++ （5） （5）式减去（4）式，有：n n h h ελλε⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=+21211（6）上面的（6）式可以认为描述的是一个离散时间系统，改系统稳定时，估计误差n ε会趋于零。
根据离散系统稳定性要求，有：12121<-+λλh h （7）显然0<λ时，上式恒成立，所以选取任何仿真步长都能使仿真稳定。
第二章 经典的连续系统仿真建模方法学-8-3
（3）在步长h比较小情况下，用直边梯形面积代替曲边梯形面积， 得到差分方程：
h 1 y n1 y n [ f (t n , y n ) f (t n1 , y n1 )], 即y n1 y n ( f n f n1 ) 2 2
（4）计算中的预估和校正 原因：差分方程中右边含有待求量yn+1,公式无法起步计算。 解决方法： A 每次计算时先用Euler法计算出y(tn+1)的近似值ypn+1作为初值；
解及其导数f(tn,yn)求得的。
(2) 方法简单、计算量小 (3) 精度低
例
对于线性微分方程
Y 3Y 4Y 0, Y (0) 1, Y (0) 0
试采用Euler法进行计算，取步长h=0.2。
y z , y ( 0) 1 解：令 z 3 z 4 y , z ( 0 ) 0 采用Euler法可得到： yn 1 yn hzn yn 1 yn 0.2 z n , 代入初值可得到 z n 1 z n h(3z n 4 yn ) zn 1 0.4 z n 0.8 yn y1 1 y2 1.16 y3 1.384 y4 1.6592 y5 1.9907 计算结果 ， ， ， ， z1 0.8 z2 1.12 z3 1.376 z4 1.6576 z5 1.9904
ˆ 相对误差准则：e y (t n ) y (t n ) y (t n ) ˆ y (t n )
其中 规定精度的误差量。
3 数值方法的基本数学描述
将仿真系统表示成1阶微分方程组或状态方程的形式 若1阶微分方程及其初值为：
Y F (t , Y ) Y (t 0 ) Y0
5连续系统的建模设计与仿真
(4)消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出 量的方程，这就是系统的微分方程。
例5-1 图5-2
图5-2 （5-1）
例5-2 机械平移系统。
设有一个弹簧一质量一阻尼器系统， 如图5—3所示。阻尼器是一种产生黏性 摩擦或阻尼的装置。它由活塞和充满油 液的缸体组成，活塞杆与缸体之间的任 何相对运动都将受到油液的阻滞，因为 这时油液必须从活塞的一端经过活塞周 围的间隙(或通过活塞上的专用小孔)而 流到活塞的另一端。阻尼器主要用来吸 收系统的能量，被阻尼器吸收的能量转 变为热量而散失掉，而阻尼器本身不储 藏任何动能或热能。
5.3.1典型环节的选择
利用系统模型结构图，选择积分环节 作为典型模块在程序实现上固然十分简便， 但是当系数比较复杂时，要将系统的各个 环节都变成由积分模块组成的仿真模型需 要一定的时间和技巧。所以，目前许多面 向结构图的线性系统都采用更复杂一些的 环节，如一阶超前、滞后环节(图5-8)来作 为典型模块，这一典型模块可以十分方便 地表示上述一些常用的典型环节。
第五章 连续系统的建模设计 与仿真
基于微分方程的建模方法 状态空间模型的建模方法 面向结构图的模型 数值积分法 离散相似法 转移矩阵法
按系统模型的特征分类，可以有连续 系统仿真及离散事件系统仿真两大类。 过程控制系统、调速系统、随动系统等 这类系统称作连续系统，它们共同之处 是系统状态变化在时间上是连续的，可 以用方程式或结构图来描述系统模型。
(4)对于统一元件或系统，由于所取的输出量不同，其运 动方程式的形式也就不同。
（5-4）
5.2 状态空间模型的建模方法
5.2.1根据物理学定律直接建立状态空 间模型
基于物理学定律的系统状态空间模型的建模步骤如下。
例5-1 图5-2
图5-2 （5-1）
例5-2 机械平移系统。
设有一个弹簧一质量一阻尼器系统， 如图5—3所示。阻尼器是一种产生黏性 摩擦或阻尼的装置。它由活塞和充满油 液的缸体组成，活塞杆与缸体之间的任 何相对运动都将受到油液的阻滞，因为 这时油液必须从活塞的一端经过活塞周 围的间隙(或通过活塞上的专用小孔)而 流到活塞的另一端。阻尼器主要用来吸 收系统的能量，被阻尼器吸收的能量转 变为热量而散失掉，而阻尼器本身不储 藏任何动能或热能。
5.3.1典型环节的选择
利用系统模型结构图，选择积分环节 作为典型模块在程序实现上固然十分简便， 但是当系数比较复杂时，要将系统的各个 环节都变成由积分模块组成的仿真模型需 要一定的时间和技巧。所以，目前许多面 向结构图的线性系统都采用更复杂一些的 环节，如一阶超前、滞后环节(图5-8)来作 为典型模块，这一典型模块可以十分方便 地表示上述一些常用的典型环节。
第五章 连续系统的建模设计 与仿真
基于微分方程的建模方法 状态空间模型的建模方法 面向结构图的模型 数值积分法 离散相似法 转移矩阵法
按系统模型的特征分类，可以有连续 系统仿真及离散事件系统仿真两大类。 过程控制系统、调速系统、随动系统等 这类系统称作连续系统，它们共同之处 是系统状态变化在时间上是连续的，可 以用方程式或结构图来描述系统模型。
(4)对于统一元件或系统，由于所取的输出量不同，其运 动方程式的形式也就不同。
（5-4）
5.2 状态空间模型的建模方法
5.2.1根据物理学定律直接建立状态空 间模型
基于物理学定律的系统状态空间模型的建模步骤如下。
哈尔滨工业大学《系统建模与仿真》系统建模与仿真-第三章-连续系统仿真方法
本章目次
3.1离散化原理及要求
3.4纯延迟环节仿真模型
3.2连续系统仿真算法
3.5采样控制系统仿真方法 3.6间断特性仿真方法
3.3连续系统实时仿真算法 3.7 病态系统仿真方法
3.1 离散化原理及要求
在计算机上仿真面临的问题：数字计算机的数值及时间均具有 离散性，而被仿真系统的数值及时间均具有连续性。后者如何用 前者来实现？
t
x(t) exp( A t)x(0) exp( A (t ))Bu( )d 0
x(n1)T (T ) x(nT ) u m(T ) (nT )
其中：(T ) exp( A T ),
T
m(T ) exp( A (T ))Bd 0
(2)步长 h 在整个计算中并不要求固定，可以根据精度要求改变，
但是在一步中算若干个系数 Ki (俗称龙格—库塔系数)，则必须
用同一个步长 h。
3.2 连续系统仿真算法
3.2.2 非线性连续系统仿真算法—龙格库塔法
龙格库塔法特点
(3)龙格—库塔法的精度取决于步长 h 的大小及方法的阶次。许 多计算实例表明：为达到相同的精度，四阶方法的 h 可以比二 阶方法的h 大10倍，而四阶方法的每步计算量仅比二阶方法大1
令(t) L1 (sI A)1 ,则
其中：
x(s) L (t) x(0) L (t) Bu(s)
t
x(t) (t) x(0) (t )Bu( )d 0
(t) exp( At)为状态转移矩阵,则得线性状态方程的解析解：
数字计算机：从根本意义上讲，所进行的计算仅仅是“数字”计 算，它表示数值的精度受限于字长，这将引入舍入误差；另一方 面，这种计算是按指令一步一步进行的，因而，还必须将时间离 散化，这样就只能得到离散时间点上系统的（离散数值）状态 （性能）。
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实验一经典 的连续系统仿真建模方法
一 实验目的:
1 了解和掌握利用仿真技术对控制系统进行分析的原理和步骤。
2 掌握机理分析建模方法。
3 深入理解阶常微分方程组数值积分解法的原理和程序结构，学习用Matlab编写
数值积分法仿真程序。
4 掌握和理解四阶Runge-Kutta法，加深理解仿真步长与算法稳定性的关系。
二 实验原理:
1非线性模型仿真
221122112111HH
Adt
dH
HQuk
Adt
dH
du
duQ
u
AA
k
H
H
ARAR
AR
H
00
1
11
0
1
2
1
212
12
三 实验内容:
1. 编写四阶 Runge_Kutta 公式的计算程序，对非线性模型（3）式进行仿真。
（1） 将阀位u 增大10％和减小10％，观察响应曲线的形状;
（2） 研究仿真步长对稳定性的影响，仿真步长取多大时RK4 算法变得不稳定？
（3） 利用 MATLAB 中的ode45()函数进行求解，比较与（1）中的仿真结果有何区别。
2. 编写四阶 Runge_Kutta 公式的计算程序，对线性状态方程（18）式进行仿真
（1） 将阀位增大10％和减小10％，观察响应曲线的形状;
（2） 研究仿真步长对稳定性的影响，仿真步长取多大时RK4 算法变得不稳定？
（4） 阀位增大10％和减小10％，利用MATLAB 中的ode45()函数进行求解阶跃响
应，比较与（1）中的仿真结果有何区别。
四 程序代码:
龙格库塔:
%RK4文件
clc
close
H=[1.2,1.4]';u=0.55; h=1;
TT=[];
XX=[];
for i=1:h:200
k1=f(H,u);
k2=f(H+h*k1/2,u);
k3=f(H+h*k2/2,u);
k4=f(H+h*k3,u);
H=H+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
TT=[TT i];
XX=[XX H];
end;
hold on
plot(TT,XX(1,:),'--',TT,XX(2,:));
xlabel('time')
ylabel('H')
gtext('H1')
gtext('H2')
hold on
水箱模型:
function dH=f(H,u)
k=0.2;
u=0.5;
Qd=0.15;
A=2;
a1=0.20412;
a2=0.21129;
dH=zeros(2,1);
dH(1)=1/A*(k*u+Qd-a1*sqrt(H(1)));
dH(2)=1/A*(a1*sqrt(H(1))-a2*sqrt(H(2)));
三 实验结果:
2编写四阶 Runge_Kutta 公式的计算程序，对线性状态方程（18）
式进行仿真：
1 阀值u对仿真结果的影响
U=0.45;h=1; U=0.5;h=1;
U=0.55;h=1;
2 步长h对仿真结果的影响:
U=0.5;h=5; U=0.5;h=20;
U=0.5;h=39 U=0.5;h=50
由以上结果知,仿真步长越大,仿真结果越不稳定。
采用ode45算法程序如下:
function dH=liu(t,H)
k=0.2;
u=0.45;
Qd=0.15;
A=2;
a1=0.20412;
a2=0.21129;
dH=zeros(2,1);
dH(1)=1/A*(k*u+Qd-a1*sqrt(H(1)));
dH(2)=1/A*(a1*sqrt(H(1))-a2*sqrt(H(2)));
在命令窗口运行以下程序:
[t,H]=ode45('liu',[1 200],[1.2 1.1]);
plot(t,H(:,1),['r','+'],t,H(:,2),['g','*'])
u=0.45 u=0.5
u=0.55
用ode45与用龙格库塔法仿真结果基本一致。
2编写四阶 Runge_Kutta 公式的计算程序，对线性状态方程（18）
式进行仿真：
%RK4文件
clc
clear
close
x=[1.2,1.4]';u=0.5; h=5;
TT=[];
XX=[];
for i=1:h:200
k1=f2(x,u);
k2=f2(x+h*k1/2,u);
k3=f2(x+h*k2/2,u);
k4=f2(x+h*k3,u);
x=x+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
TT=[TT i];
XX=[XX x];
end;
hold on
plot(TT,XX(1,:),'--',TT,XX(2,:));
xlabel('time')
ylabel('x')
gtext('x1')
gtext('x2')
hold on
线性函数：
function dx=f2(x,u)%线性
Qd=0.1;
a1=0.20412;a2=0.21129;
A=2;k=0.2;
dx=zeros(2,1);
dx(1)=1/A*(k*u-x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)+Qd);
dx(2)=1/A*(x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)-x(2)/(2*sqrt(1.4)/a2));
1 阀值u对仿真结果的影响:
U=0.45；h=1； U=0.5；h=1；
U=0.55；h=1；
2 步长h对仿真结果的影响:
U=0.5；h=5； U=0.5；h=20；
U=0.5；h=35； U=0.5；h=50；
当步长为50时仿真结果开始不稳定，仿真步长越大,仿真结果越不稳定。
采用ode45算法程序如下:
function dx=liu2(t,x)%ÏßÐÔ
Qd=0.1;
u=0.45;
a1=0.20412;a2=0.21129;
A=2;k=0.2;
dx=zeros(2,1);
dx(1)=1/A*(k*u-x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)+Qd);
dx(2)=1/A*(x(1)/(2*sqrt(1.5)/a1)-x(2)/(2*sqrt(1.4)/a2));
在命令窗口运行以下程序:
>> [t,x]=ode45('liu2',[1 200],[1.2 1.4]);
>> plot(t,x(:,1),['r','+'],t,x(:,2),['g','*'])
U=0.45； u=0.5；
U=0.55
用ode45与用龙格库塔法仿真结果基本一致。
五 思考讨论：
1 仿真步长越短，仿真结果越稳定，越精确。
2 通过改变u来改变阀的开度，线性系统和非线性系统方法一样。
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6 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
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