四川省内江市2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题(含答案解析)

专题一 压轴选择题第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题【名师综述】1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于221()b e a=+，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．常见的几何方法有：（1）直线外一定点P 到直线上各点距离的最小值为该点P 到直线的垂线段的长度；（2）圆C 外一定点P 到圆上各点距离的最大值为||PC R +，最小值为||PC R -(R 为圆C 半径)；（3）过圆C 内一定点P 的圆的最长的弦即为经过P 点的直径，最短的弦为过P 点且与经过P 点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为2a (实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[,]a c a c -+，a c -与a c +分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值.【典例剖析】类型一 求圆锥曲线的离心率问题典例1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦典例2．3．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点()0,P x a 为双曲线上的一点，若12PF F △的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A 32B 33C 2D 3【来源】江西省上饶市六校2022届高三第一次联考数学试题【举一反三】1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，B 是椭圆的上顶点，过点1F 作2BF 的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，若1137PF FQ =，则椭圆的离心率是（ ） A 36B 255C 2127 D ．59214【来源】浙江省温州市普通高中2022届高三下学期返校统一测试数学试题类型二 与圆锥曲线有关的最值问题典例3．已知点F 为拋物线2:4C y x =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则9AB DE +的最小值为（ ） A ．32B ．48C ．64D ．72【来源】江西省五市九校（分宜中学、高安中学、临川一中、南城一中、彭泽一中、泰和中学、玉山一中、樟树中学、南康中学）协作体2022届高三第一次联考数学（理）试题【举一反三】坐标原点O 且斜率为()0k k <的直线l 与椭圆2214x y +=交于M 、N 两点.若点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MAN △ 面积的最大值为（ ） A 2B ．22C ．22D ．1【来源】四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题类型三 平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例4．（多选）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线的左支上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的离心率为2B ．若12PF PF ⊥，且123PF F S =△，则2a =C ．以线段1PF ，12A A 为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则12212PF A PA F ∠=∠【来源】广东省2022届高三上学期第三次联考数学试题【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .点P 在C 上且位于第一象限，圆1O 与线段1F P 的延长线，线段2PF 以及x 轴均相切，12PF F △的内切圆为圆2O .若圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 与圆2O 的面积之比为4，则C 的离心率为（ ） A ．12B ．35C 2D 3【来源】衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（一）【精选名校模拟】1．点F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，斜率为34的直线l 过点F 且与双曲线C 的右支交于点P ，过切点P 的切线与x 轴交于点M .若FM PM =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ） A ．207B ．165C ．259D ．143【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．y x =±C ．32y x =±D ．52y x =±【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题3．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是( ) A ．QA QB ⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为2C ．112||||AF BF += D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52【来源】江西省吉安市2022届高三上学期期末数学（理）试题4．已知点(5A ，(0,5B -，若曲线()222200,0y xa b a b-=>>上存在点P 满足4PA PB -=，则下列正确的是（ ） A ．1b a <+B ．2b a <C ．1b a >+D ．2b a >【来源】浙江省嘉兴市2021-2022学年高三上学期期末数学试题5．已知圆()2222p x y b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭与抛物线22(0)y px b p =>>的两个交点是A ，B ．过点A ，B 分别作圆和抛物线的切线1l ，2l ，则（ ）A ．存在两个不同的b 使得两个交点均满足12l l ⊥B ．存在两个不同的b 使得仅一个交点满足12l l ⊥C ．仅存在唯一的b 使得两个交点均满足12l l ⊥D ．仅存在唯一的b 使得仅一个交点满足12l l ⊥【来源】浙江省2022届筑梦九章新高考命题导向研究卷Ⅱ数学试题6．已知双曲线22221x y a b -=，(),0a b >的左右焦点记为1F ，2F ，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．53C 3D ．112【来源】浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末数学试题7．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左､右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长C 与面积S 满足2aS C =则该双曲线的离心率的平方为（ ） A ．22B ．842+C ．222+D ．23+【来源】江西省上饶市2022届高三一模数学（理）试题8．椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上，12PF F △的重心为G .若12PF F △的内切圆H 的直径等于1212F F ，且12GH F F ∥，则椭圆E 的离心率为（ ） A 6B ．23C 2D ．12【来源】安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题9．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上不与A ，B 重合的任意一点，直线AM 与直线2x =交于点D ，过点B ，D 分别作BP ⊥直线2MF ，DQ ⊥直线2MF ，垂足分别为P ，Q ，则使BP DQ BD +<成立的点M （ ） A ．有一个B ．有两个C ．有无数个D ．不存在【来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试题10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，3FB FA ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．22⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．2312⎤⎢⎥⎣⎦C ．)31,1⎡⎣D ．232⎢⎣⎦11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，在其渐近线上存在一点P ，满足122PF PF b -=，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(2B ．)2,2C ．2,3D ．()2,3【来源】重庆市巴蜀中学校2022届高三上学期适应性月考（六）数学试题12．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题13．双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q ．当2PF PQ +的最小值为3时，1F Q 的中点在双曲线C 上，则C 的方程为（ ） A ．221x y -=B ．22122x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【来源】陕西省商洛市2020-2021学年高三上学期期末数学试题14．过点()3,0P-作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ） A ．0,55⎡+⎣B ．55,5⎡⎤⎣⎦C ．5,55⎡+⎣D ．55,55⎡⎣15．（多选）已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，()()12,0,,0F c F c -分别为椭圆C 的左､右焦点，2PF =21212,6F F PF PF c ⋅=，线段12,PF PF 分别交椭圆于1122,,,M N F M F P F N F P λμ==，设椭圆离心率为e ，则下列说法正确的有( ) A ．若e 越大，则λ越大 B ．若M 为线段1PF 的中点，则31e = C ．若13μ=，则131e -=D ．334eλμ=- 【来源】湖北省部分重点中学2022届高三上学期第二次联考数学试题16．（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +--=，则（ ） A ．直线l 与蒙日圆相切B ．C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为(323bD ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b 【来源】湖南省永州市2021-2022学年高三上学期第二次适应性考试数学试题17．（多选）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为4，过焦点F 的直线与抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列结论中正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线l 的方程为2x =- B ．MN 的最小值为4C ．若()4,2A ，点Q 为抛物线C 上的动点，则QA QF +的最小值为6D ．122x x +的最小值2【来源】山东省滨州市2021-2022学年高三期末数学试题。

四川省内江市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|y ，B ＝{－2，－1，0，1，2，3}，则(A)∩B＝R ðA.{－2，－1，0，1，2} B.{0，1，2，3} C.{1，2，3} D.{2，3}2.若i 为虚数单位，则复数z ＝－sin ＋icos 的共轭复数在复平面内对应的点位于23π23πz A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“φ＝－”是“函数f(x)＝sin(3x ＋φ)的图象关于直线x ＝－对称”的8π8πA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，n 2这n 2个数填入n×n 方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方。

定义f(n)为n 阶幻方对角线上所有数的和，如f(3)＝15，则f(10)＝A.55B.500C.505D.50505.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是A.若m//α，α//β，则m//β或m βB.若m//n ，m//α，n α，则n//α⊂⊄C.若m ⊥n ，m⊥α，n⊥β，则α⊥β D.若m⊥n，m⊥α，则n//α6.(x 2－2)(x ＋2)5的展开式中含x 4的项的系数为A.－20B.60C.70D.807.若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，z ，y 成等比数列，则x y z +=A.－ B.－2 C.2 D.52728.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化。

2020年四川省内江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x|2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．（1，）B．（1，]C．[1，）D．[1，]2．（5分）复数z满足（4+3i）z＝3﹣2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（）A．5B．C．2D．14．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在•（x﹣）6的展开式中，x的系数为（）A．B．C．﹣D．﹣6．（5分）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线7．（5分）设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l⊥α，l∥β，则α⊥βB．若l∥α，m⊥l，则m⊥αC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），有＜0，若n∈N*，则（）A．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）9．（5分）设平面上向量＝（cosα，sinα）（0≤α＜π），＝（﹣，），若|+|＝|﹣|，则角α的大小为（）A．B．C．或D．或10．（5分）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．32+16πC．32+8πD．16+16π11．（5分）已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点A（1，），设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k ＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（）A．B．2C．D．112．（5分）函数f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在区间（，3）内有极小值，则a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣）B．（﹣2，﹣）C．（﹣2，﹣）∪（﹣，+∞）D．（﹣2，﹣）∪（﹣，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是．14．（5分）已知tan（5π﹣α）＝﹣，tan（β﹣α）＝1，则tanβ＝．15．（5分）函数f（x）＝2x•|ln（x+1）|﹣4的零点个数为．16．（5分）椭圆的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.）（-）必考题：共60分17．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：男女需要40m不需要n270若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%．（1）求m，n的值；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参加公式：K2＝．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828 18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，且满足a6＝6+a3，a6﹣1是a5﹣1与a8﹣1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}满足b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n，并求S n的最小值．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝4．（1）证明：面ACD1⊥面BB1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D1的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝+bx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≤kx在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：++…+＜．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（﹣，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作箸，如果多做，则按所做的第一题记分．（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．选修题（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣4|，函数g（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）求解不等式f（x）≤8．参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每个小题所给出的四个选项中,只有-项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.)1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x+1}，B＝{x|2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．（1，）B．（1，]C．[1，）D．[1，]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{y|y＝2x+1}＝{y|y＞1}，B＝{x|2x﹣3≤0}＝{x|x≤}，故选：B．2．（5分）复数z满足（4+3i）z＝3﹣2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：由（4+3i）z＝3﹣2i，得z＝，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），位于第四象限．故选：D．3．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（）A．5B．C．2D．1【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sin B的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cos B的值，利用余弦定理求出AC的值即可．解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB＝c＝1，BC＝a＝，∴S＝ac sin B＝，即sin B＝，利用余弦定理得：AC5＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B＝1+6+2＝5，即AC＝，利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos B＝1+2﹣2＝7，即AC＝1，则AC＝．故选：B．4．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得正方形的面积，则S（M）＝S△DGH+S△AEH+S扇形EGH，根据几何概率概率公式可知：P（M）＝，即可求得满足|PH|＜的概率．解：（1）如图所示，正方形的面积S正方形ABCD＝2×2＝4．设“满足|PH|＞的正方形内部的点P的集合”为事件M，∴P（M）＝＝+．故选：B．5．（5分）在•（x﹣）6的展开式中，x的系数为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】先求出（x﹣）6中的展开式通项，然后求出含x2项的系数即可．解：因为（x﹣）6展开式通项为：（﹣1）k＝，令7﹣2k＝2，得k＝2，故选：B．6．（5分）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2＝1，⊙F：x2+y2﹣8x+12＝0都外切得|PF|＝2+r、|PO|＝1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，5），半径为1；依题意得|PF|＝2+r|，|PO|＝1+r，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：C．7．（5分）设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A．若l⊥α，l∥β，则α⊥βB．若l∥α，m⊥l，则m⊥αC．若l∥α，m∥α，则l∥m D．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m【分析】本题中的直线，平面的位置关系最好放在正方体中研究比较容易分析，考虑线和面之间两种位置关系，线和线之间三种位置关系．解：B选项m和α应该是平行或者是斜交，或者是垂直．C选项结论应该是线和线平行，相交，或者异面．D选项结论应该是线和线平行，相交，或者异面．故选：A．8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），有＜0，若n∈N*，则（）A．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【分析】由条件函数f（x）满足对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，可知函数f（x）为单调递减函数，然后根据单调性进行判断．解：∵函数f（x）满足对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，∴函数f（x）在[6，+∞）上为单调递减函数，∴f（n+1）＜f（n）＜f（n﹣1），∴f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）．故选：A．9．（5分）设平面上向量＝（cosα，sinα）（0≤α＜π），＝（﹣，），若|+|＝|﹣|，则角α的大小为（）A．B．C．或D．或【分析】对两边平方，进行数量积的运算即可得出，然后根据α的范围得出的范围，进而求出α．解：∵，∴，∴＝，∴，且0≤α＜π，，故选：B．10．（5分）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．32+16πC．32+8πD．16+16π【分析】连A1D，由题设知A1、D关于B1C1对称，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用异面直线BD和AB1所成角的余弦值为求得AA1，再由柱体体积公式求解．解：连A1D，由题设知A1、D关于B1C1对称，以A为坐标原点，分别以AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，D（2，2，h），＝（2，0，h），＝（0，2，h），∴，∴该几何体的体积V＝•AB•AC•h+•π••h＝+•π•22•5＝16+8π．故选：A．11．（5分）已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点A（1，），设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k ＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（）A．B．2C．D．1【分析】设P（x，y），由两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理可得曲线C 的方程，设直线l的方程为y＝kx（k＜0），与曲线C的方程联立，解得交点，可得弦长|MN|，求得A到直线l的距离，由三角形的面积公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最大值．解：设P（x，y），由题意可得＝，两边平方整理可得x2+y2﹣3x+3＝x6﹣2x+4，设直线l的方程为y＝kx（k＜8），与x2+4y7＝4联立，|MN|＝•，可得△MAN面积S＝•••＝，≤1+＝8，则△MAN面积的最大值为．故选：A．12．（5分）函数f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在区间（，3）内有极小值，则a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣）B．（﹣2，﹣）C．（﹣2，﹣）∪（﹣，+∞）D．（﹣2，﹣）∪（﹣，+∞）【分析】求出函数的导数，问题转化为f′（x）在（，3）先小于0，再大于0，得到关于a的不等式组，解出即可．解：f′（x）＝ax+（1+2a）﹣＝＝，当a＝0时，f′（x）＝x﹣2，在（3，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a＞0时，令f′（x）＝0，得x＝﹣，x＝2，且﹣＜0＜2，在（5，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a＜0时，令f′（x）＝0，得x＝﹣，x＝2，且0＜﹣＜2，只需或﹣＞6，综上所述，﹣2＜a＜﹣，或﹣＜a，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是5≤a＜7．【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围．解：满足约束条件的可行域如下图示由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，故答案为：5≤a＜714．（5分）已知tan（5π﹣α）＝﹣，tan（β﹣α）＝1，则tanβ＝3．【分析】根据诱导公式求出tanα的值，再利用三角恒等变换求出tanβ的值．解：由tan（5π﹣α）＝﹣tanα＝﹣，所以tanα＝；所以tanβ＝tan[（β﹣α）+α]＝＝＝3．故答案为：3．15．（5分）函数f（x）＝2x•|ln（x+1）|﹣4的零点个数为2．【分析】可将函数f（x）＝2x|ln（x+1）|﹣4的零点个数问题转化为两个函数y＝2﹣x+2与y＝|ln（x+1）|的交点问题，作出两个函数的图象，由图象选出正确选项解：由题意，函数f（x）＝2x|ln（x+1）|﹣4的零点个数⇔两个函数y＝2﹣x+2与y＝|ln（x+1）|的交点个数，两个函数的图象如图．由图知，两个函数有2个交点，故函数f（x）＝8x•|ln（x+1）|﹣4的零点个数是2，故答案为：2．16．（5分）椭圆的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是．【分析】根据F在AP的垂直平分线上，知|PF|＝|FA|．|FA|＝，|PF|∈（a﹣c，a+c]，所以∈（a﹣c，a+c]，从而求出离心率的取值范围．解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，于∈（a﹣c，a+c]，即ac﹣c2＜b2≤ac+c2，故答案为：三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.）（-）必考题：共60分17．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：男女需要40m不需要n270若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%．（1）求m，n的值；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参加公式：K2＝．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%和总人数为500人列方程求解即可得答案；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值与临界值进行比较，即可得到结论．解：（1）因为调查的500位老年人中有40+m位需要志愿者提供帮助，所以，（2）K2的观测值，因为9.967＞4.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，且满足a6＝6+a3，a6﹣1是a5﹣1与a8﹣1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}满足b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n，并求S n的最小值．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题设列出a1与d的方程组，求解出a1与d，即可求出a n；（2）先由（1）中求得的a n求出b n，再利用错位相减法即可求得其前n项和S n，进而求出其最小值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：，解得：，∴a n＝﹣5+2（n﹣1）＝2n﹣7；∵S n＝﹣5×6﹣3×22﹣4×23+…+（2n﹣7）•2n①，由①﹣②可得：﹣S n＝﹣10+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣7）•2n+1＝﹣10+2×+（7﹣2n）•2n+1＝﹣18+（9﹣2n）•2n+1，又S1＝﹣10，S5＝﹣22，S3＝﹣30，S4＝﹣14，∴S n的最小值为﹣30．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝4．（1）证明：面ACD1⊥面BB1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D1的余弦值．【分析】（1）由线面垂直的性质可得BB1⊥AC，又AC⊥BD，结合面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，由已知条件求得各点的坐标，进而求得平面ACD1及平面ACB1的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：由直棱柱ABCD﹣A1B1C2D1可知，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB5D，∴面ACD1⊥面BB1D；则A（0，0，5），B（t，0，0），B1（t，7，4），C（t，1，0），C1（t，1，4），D （0，2，0），D1（0，4，4），∵AC⊥BD，∴，同理可得平面ACB1的一个法向量为，∵二面角B1﹣AC﹣D1为锐二面角，∴二面角B1﹣AC﹣D1的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）＝+bx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≤kx在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：++…+＜．【分析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于a，b的方程组，解出即可求出f（x）的解析式；（2）问题等价于不等式k≥在区间（0，+∞）上恒成立，令h（x）＝，求出函数的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，求出k的范围即可；（3）根据＜（﹣），累加即可证明．解：（1）∵f（x）＝+bx，∴f′（x）＝+b，又∵已知函数f（x）在x＝1处的切线为y＝x﹣1，即切点为（2，0），故函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝；等价于不等式k≥在区间（0，+∞）上恒成立，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜，令h′（x）＜0，解得：x＞，故h（x）≤h（）＝，（3）证明：由（2）知：≤，≤•（x≥5），＜•＜•＝（﹣），…，∴：++…+＜（5﹣）＜．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（﹣，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据椭圆定义可求得a的值，由椭圆的离心率可求得c的值，进而可求得b的值，由此可得出椭圆C的标准方程；（2）先利用对称性说明定点T在x轴上，设点T（t，0），对直线l是否与x轴重合进行分类讨论．在直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为，设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理由题意得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求得t的值；在直线l与x轴重合时，验证即可．进而可得出结论．解：（1）由椭圆定义可得，则又椭圆C的离心率为，∴c＝1，因此，椭圆C的标准方程为设点A（x1，y4），B（x2，y2）如下图所示：由题意可知，直线l1，l2关于x轴对称，由椭圆的对称性可知，点T在x轴上，设点T的坐标为（t，0），消去x并整理得（18m2+9）y2﹣12my﹣16＝0，由韦达定理得，由于点T为定点，则t为定值，所以，当直线l与x轴重合时，则AB为椭圆的短轴，综上所述，直线l恒过定点T（1，0）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选-题作箸，如果多做，则按所做的第一题记分．（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∴ρ2＝4ρsinθ，（Ⅱ）曲线C6：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝8cosθ，∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣6cosα|＝4|sin（）|＝4，∵0＜α＜π，∴﹣，∴，解得．选修题（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣4|，函数g（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）求解不等式f（x）≤8．【分析】（1）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据g（x）＝的定义域为R，得到f（x）≥m恒成立，再求出m的取值范围；（2）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤8，利用零点分段法解不等式即可．解：（1）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝7，∴f（x）min＝6，∵g（x）＝的定义域为R，∴m的取值范围为[6，+∞）．∵f（x）≤8，∴或﹣2≤x≤4或，∴不等式的解集为[﹣3，5]．。

2021届四川省绵阳市普通高中高三上学期二诊考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ＝{x ∈N|－1≤x ≤1},B ＝{x|log 2x<1},则A ∩B ＝A.[－1,1)B.(0,1)C.{－1,1}D.{1}2.已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0,直线l 2：2x ＋ay ＋1＝0,若l 1⊥l 2,则a ＝A.0B.2C.±2D.43.已知平面向量a ＝(1,3),b ＝(2,λ),其中λ>0,若|a －b|＝2,则a ·b ＝A.2B.23C.43D.84.二项式(2x －x)6的展开式中,常数项为 A.－60 B.－40 C.60 D.1205.已知函数f(x)＝x 3＋sinx ＋2,若f(m)＝3,则f(－m)＝A.2B.1C.0D.－16.已知曲线y ＝e x (e 为自然对数的底数)与x 轴、y 轴及直线x ＝a(a>0)围成的封闭图形的面积为e a －1。

现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC 内随机投入400个点,其中恰有255个点落在图中阴影部分内,若OA ＝1,则由此次模拟实验可以估计出e 的值约为A.2.718B.2.737C.2.759D.2.7857.已知命题p ：若数列{a n }和{b n }都是等差数列,则{ra n ＋sb n }(r,s ∈R)也是等差数列；命题q ：∀x ∈(2k π,2k π＋2)(k ∈Z),都有sinx<x 。

则下列命题是真命题的是A.¬p ∧qB.p ∧qC.p ∨qD.¬p ∨q8.对全班45名同学的数学成绩进行统计,得到平均数为80,方差为25,现发现数据收集时有两个错误,其中一个95分记录成了75分,另一个60分记录成了80分。

纠正数据后重新计算,得到平均数为x ,方差为s 2,则 A.x ＝80,s 2<25 B.x ＝80,s 2＝25 C.x ＝80,s 2>25 D.x <80,s 2>259.已知双曲线E ：22221x y a b -=(a>0,b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,P 为其渐近线上一点,若△PF 1F 2是顶角为23π的等腰三角形,则E 的离心率为10.若函数f(x)＝x 3－(2a ＋3)x 2＋2ax ＋3在x ＝2处取得极小值,则实数a 的取值范围是 A.(－0,－6) B.(－∞,6) C.(6,＋∞) D.(－6,＋∞)11.已知正实数x,y 满足ln x y >lg y x,则 A.lnx>ln(y ＋1) B.ln(x ＋1)<lgy C.3x <2y －1 D.2x －y >112.已知点O 为坐标原点,|OP|＝,点B,点C 为圆x 2＋y 2＝12上的动点,且以BC 为直径的圆过点P,则△OBC 面积的最小值为二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。

绵阳南山中学高2018届高三“二诊”热身考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】=因为所以故选C2. 已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为（）A. B. -4 C. 3 D. 4【答案】B【解析】=，所以共轭复数为即虚部为-4故选B3. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（）A. 100B. 150C. 200D. 250【答案】A【解析】试题分析：根据已知可得：，故选择A考点：分层抽样视频4. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的，则输入的可能是（）A. 15,18B. 14,18C. 12,18D. 9,18【答案】B【解析】根据题意，执行程序后输出的a=2，则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是2，分析选项中的四组数，满足条件的是选项B故选B5. 已知，直线与直线互相垂直，则的最小值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】b＞0，两条直线的斜率存在，因为直线（b2+1）x+ay+2=0与直线x一b2y一1=0互相垂直，所以（b2+1）-ab2=0，ab=b+≥2故选B6. 在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的最小值是（）A. 0B.C.D. -1【答案】D【解析】，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac），又∵函数有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2-4（a2+c2-ac）＞0，即ac＞a2+c2-b2，即ac＞2accosB；即cosB＜，故∠B的范围是（所以，当时的最小值是-1故选D7. 某学校需要把6名实习老师安排到三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（）A. 24B. 36C. 48D. 72【答案】C【解析】先考虑甲不能到A班的方案：种，减去其中乙和丙安排到同一班级的方案：种，即48种；故选C8. 以下四个命题中：①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分；②已知命题，，则，；③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关.0.15 0.1 0.05 0.0252.072 2.7063.841 5.024其中真命题的序号为（）A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④【答案】B【解析】对于①，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（80＜ξ≤100）=0.40，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5-0.40=0.1，则该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10，故①错误；对于②，已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p：∃x∈R，sinx＞1，故②正确；对于③，由()2−8≥0，解得m≤-2或m≥2，∴在[-4，3]上随机取一个数m，能使函数在R上有零点的概率为，故③正确；对于④，填写2×2列联表如下：晕机不晕机合计男乘客 5 15 20女乘客8 4 12合计13 19 32则k2的观测值k＝有97%以上的把握认为晕机与性别有关.故④对故选B9. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：零件数（个）10 20 30加工时间（分钟）21 30 39现已求得上表数据的线性回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A. 84分钟B. 94分钟C. 102分钟D. 112分钟【答案】C【解析】试题分析：,,回归直线过样本点的中心，，解得，加工100个零件大约需要分钟.考点：回归直线方程的应用.10. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圆可化为则圆心为（-2，2），半径为3，则由圆x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤32=即则a2+b2-4ab≤0，若b=0，则a=0，故不成立，故b≠0，则上式可化为1+由直线l的斜率k=-则上式可化为k2+4k+1≤0解得故选B11. 如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据双曲线的定义，可得|AF1|-|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|∴|BF1|=2a又∵|BF2|-|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|•|BF2|cos120°即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-））=28a2，解得c2=7a2，又c=所以方程为故选C点睛：本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．12. 已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（）A. B. C. -1 D. 1【答案】D【解析】令f（x）=0，分离参数得a=令h（x）=由h′（x）=得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=则a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，对于μ=，则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，则μ1=，=（1-μ1）2（1-μ）（1-μ3）2=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．故选D．点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知的展开式中，的系数为，则__________．【答案】4【解析】，所以由得，从而点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14. 在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示，从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为__________．【答案】【解析】从得分超过10分的队员中任取2名，一共有以下10种不同的取法：(12,14)，(12,15)，(12,20)，(12,22)，(14,15)，(14,20)，(14,22)，(15,20)，(15,22)，(20,22)，其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种：(14,22)，(15,22)，(20,22)，故所求概率P ＝.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15. 在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，，则的最短边的边长为__________．【答案】【解析】因为，所以sinB=又∴正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA=sinC．即sinA（cosCsinA+sinCcosA）=sinC∴sinAsinB=sinC∵A+B+C=π，∴C=π-（A+B）∴sinAsinB=sin（A+B），sinA=×sinAcosB+cosAsinB，∴sinA=cosA．即tanA=1，∵0＜A＜π，D是AC的中点，且cosB=∴A=，根据余弦定理得c2+b2-bc=26，sinA=sinC，且sinB×=sinC，的最短边的边长为故答案为16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，平面向量满足：，则对任意的实数和任意满足条件的向量，的最小值__________．【答案】【解析】设C由得,=等价于圆M:上一点与函数图象上一点的距离，可先求圆心M到曲线上一点的距离最小值减去半径即为所求，在曲线上取点P在点P处切线斜率为，当MP 垂直于切线时即可满足题意，即令则有令在递增，且点P此时MP=，所以所求最小值为故答案为点睛：本题考查了向量数量积的坐标表示，考查了利用点点距离求最小值，利用了构造函数法，线与线垂直的应用，综合性强,属于难题,三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知等差数列中，公差，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由题意可得解得即可求得通项公式(2),裂项相消求和，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.试题解析：（1）由题意可得即又因为，所以所以.（2）因为，所以.因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又（当且仅当时取等号）.所以，即实数的取值范围是.18. “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：0 1 2数学期望【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出．........................试题解析：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.（2）40名读书者年龄的平均数为.设中位数为，则解得，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：0 1 2数学期望.19. 已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求得值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合可求得的值；（2）对进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.试题解析：（1）由题意可得函数的最小正周期为，再根据图象关于直线对称，可得结合，可得（2）再根据考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.视频20. 如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值.【答案】(1) (2) 面积的最大值为.【解析】试题分析：（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．考点：1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．21. 已知函数（且）（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，设，若有两个相异零点，求证：.【答案】(1) 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由知分，两种情况讨论即得解（2），设的两个相异零点为，设，因为，，所以，，相减得，相加得.要证，即证，即，即，换元设上式转化为.构造函数求导研究单调性即可得证.试题解析：（1）由知当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.（2），设的两个相异零点为，设，∵，，∴，，∴，.要证，即证，即，即，设上式转化为.设，∴，∴在上单调递增，∴，∴，∴.点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了不等式的证明，利用零点的式子进行变形，采用变量集中的方法构造新函数即可证明，综合性强属于中档题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点.（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）已知直线与轴的交点为，与曲线的交点为，若的中点为，求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）求出曲线C1的直角坐标方程为，设点N（x′，y′），Q（x，y），由中点坐标公式得，由此能求出点Q的轨迹C2的直角坐标方程．（2）的坐标为，设的参数方程为，（为参数）代入曲线的直角坐标方程得，根据韦达定理，利用t的参数意义得即可得解.试题解析：（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为.设点，，由中点坐标公式得，代入中，得点的轨迹的直角坐标方程为.（2）的坐标为，设的参数方程为，（为参数）代入曲线的直角坐标方程得：，设点对应的参数分别为，则，，.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）分离，得到，令，结合函数的图象求出的范围即可．试题解析：（1）原不等式等价于或或，得或∴不等式的解集为.（2）由方程可变形为，令，作出图象如下：于是由题意可得.点睛：本题考查了利用分类讨论思想解绝对值不等式问题，考查数形结合思想处理方程的根的个数问题，是一道中档题．。

石室中学高2020届2019～2020学年度下期成都二诊模拟考试理科综合能力测试卷考生注意：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷、机读卡上。

考生认真核对。

2、第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答，在试卷上作答，答案无效。

3、考试结束后，请将答题卷和机读卡一并上交。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 S-32 Fe-56第I卷(选择题)一、选择题：本题共7小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.化学与生产、生活密切相关，下列说法正确的是（）A. 含钙、钡、铁等金属元素的物质有绚丽的颜色，可用于制造焰火B. 将煤气化后再作为能源，可减少PM2.5引起的危害C. 用激光笔分别照射盛有蓝墨水、FeCl3溶液的玻璃杯均出现光亮的通路D. 氨气液化时能吸收大量的热，常用来做致冷剂【答案】B【解析】【详解】A. Fe没有明显的焰色反应，不可用于制造焰火，故A错误；B. 将煤气化后得到可燃性气体，减少污染物排放，可以减少PM2.5，故B正确；C. FeCl3溶液不是胶体，没有丁达尔现象，故C错误；D. 液氨气化时吸收热量导致其周围温度降低，所以液氨是一种重要的制冷剂，而氨气在液化时放出热量，故D错误。

综上所述，答案为B。

2.N A代表阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）A. 0.1molH2和0.1molI2(g)于密闭容器中充分反应，容器内原子总数为0.2N AB. 常温常压下，28gFe和足量浓硝酸混合，转移电子数为1.5N AC. 标准状况下22.4LHF 中含有的氟原子数目为N AD. 2gD 2O 和H 2l8O 混合物中所含中子数为N A 【答案】D 【解析】【详解】A. 根据原子守恒，因此0.1molH 2和0.1molI 2(g)于密闭容器中充分反应，容器内原子总数为0.4N A ，故A 错误；B. 常温常压下，Fe 和足量浓硝酸发生钝化，故B 错误；C. 标准状况下，HF 是液态，因此22.4L HF 物质的量大于1mol ，含有的氟原子数目大于N A ，故C 错误；D. 2gD 2O 物质的量1m 2g n=0.1mol M 20g mol-==⋅，一个D 2O 含有10个中子，因此2gD 2O 中含中子数为N A ，2g H 2l8O 物质的量1m 2g n=0.1mol M 20g mol-==⋅，一个H 2l8O 含有10个中子，因此2gH 2l8O 中含中子数为N A ，所以2gD 2O 和H 2l8O 混合物中所含中子数为N A ，故D 正确。

专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________． 五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数． （1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值； （2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， 所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值． 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=， 即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列， 所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误， 因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=， 因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误； 因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确． 【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增； 所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+， 则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x f x e =>恒成立； 当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==， 而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理） 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________． 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案． 【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+． 当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ， 令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=， 再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <）， 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减， 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-． 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。

注意事项：宜宾市普通高中2020级第二次诊断性测试理科综合能力测试I .答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对j主题目的答案标－＇.｝涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非�择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答Im卡一并交囚。

可能用到的相对原子质量：H I Cl2 016 K39 Fe56 Se79一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

I.四川人爱喝茶，爱坐茶铺着川剧、I听消音、遛鸟打盹、看闲书、唠家常，迫适自在，自得其乐，这就是川入2丧事。

下列有关茶叶中元索和化合物的叙述，正确的是A.新鲜茶叶中含量最高的化学元素是CB.新鲜茶叶在炒审lj过程中主要失去的水是自由水C茶叶细胞内蛋白质中通常含有微量元素Fe或SD.晒干后的茶叶中含量最高的化合物是无机盐2.研究表明，癌细胞浴酶体中的pH低于正常细胞。

BODIPY荧光染料对pH不敏感，具良好的光学和化学稳定性。

以BODIPY为母体结构，以即匠嗦环为溶酶体定位基团，设计成溶酶体荧光探针。

该探牵十在中性或碱性条件下不显荧光，在E酸性条件下荧光强度升高。

下列说法，错误的是A.荧光探针能进入越细胞的溶酶体，是因为其对pH不敏感B.洛自每体内的酸性环境有利于其分解衰老、损伤的细胞器C若某区域的荧光强度较强，则该区域的细胞可能是癌细胞D.洛酶体执行功能的过程中，存在生物膜的流动现象3.徒步是一种健康的户外运动方式，但较长时间的徒步会使脚掌磨出“7］（泡”，几天后“7）＜泡”又消失了。

下列有关叙述，正确的是A.较长时间的快速徒步会使人体出汗且体温明显上升B.人体内环境中发生丙酬酸氧化分(ft!�为徒步提供能量c.7)<j包自行消失的原因是其中的液体渗入到毛细血管和毛细淋巴管中D.可以使用针成剪刀直接将水泡戳破，从而将7］（泡里面的＊排出4.糖皮质激素（GC）是机体内极为亟耍的一类调节分子，它对机体的发育、生长、代谢以及免疫功能等起着重要调节作用，是机体应激反应最重要的调节激素，也是l临床上使用最为广泛而有效的抗炎和免疫仰制剂。

2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（ ）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（ ） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（ ）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 ．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 ．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是 ． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4， 则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4． 故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12， 即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作， 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作， 基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积． 解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心． 又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π． 故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)． 故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3； 故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用， 考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”． （Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ． 由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ， 又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)． 设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)． 设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切， 记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ， 所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆， 所以a =√6，c ＝2，b =√2， 故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2， 当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02， 所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0， 将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围． 解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）； （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立， 即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ， 由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3， 可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年四川省内江市高考数学二诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7，9}，B={0,3，6，9，12}，则A∩(∁N B)=()A. {1,5，7}B. {3,5，7}C. {1,3，9}D. {0,6，9}2.在复平面内，复数21+i对应的点与原点的距离是()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.“φ=π2”是“曲线y=sin(x+φ)关于y轴对称”的()A. 充要条件B. 充分且不必要条件C. 必要且不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第4个数是()A. 580B. 577C. 576D. 5745.已知l、m是两条不同的直线，a是个平面，则下列命题正确的是()A. 若l//a，m//a，则l//mB. 若l⊥m，m//a，则l⊥aC. 若l⊥m，m⊥a，则l//aD. 若l//a，m⊥a，则l⊥m6.在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，含x2项的系数是()A. 119B. 120C. 121D. 7207.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a6=()A. 2B. 0C. −2D. −48.八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“”.在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是()A. 37B. 314C. 38D. 3169. 在△ABC 中，D 是AB 的中点，H 是CD 的中点，若AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,μ∈R)，则λ+μ=( )A. 34B. 54C. 32D. 7410. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =2√3，将△BAC 沿对角线AC 翻折成△B 1AC ，则三棱锥B 1−ACD 外接球的表面积为 ( )A. 4πB. 12πC. 16πD. 48π11. 已知关于x 的方程e x −2x −k =0有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )．A. (−∞,2−2ln2]B. (−∞,2−2ln2)C. [2−2ln2,+∞)D. (2−2ln2,+∞)12. 如图，O 是坐标原点，过E(p,0)的直线交抛物线y 2=2px(p >0)于A ，B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x =p 相交于点N.则|ME|2−|NE|2等于 ( )A. 2pB. p 2C. 2p 2D. 4p 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为________． 14. 某中学举行电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30、0.15、10、0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是______ ；成绩优秀的频率是______ ．15. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为点A ，直线l ：y =x +a 与其两条渐近线分别交于点B 、C ，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为坐标原点，则双曲线的离心率是______． 16. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，其导函数为f′(x)，且当x <0时，2f(x)+xf′(x)<0，则不等式(x −2018)2f(x −2018)−f(−1)<0的解集为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的300名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率。

数学试卷_一、选择题1.i 为虚数单位，复数21iz =+在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.若集合2{N |1},1A x x a =∈≤=-，则下列结论正确的是（ ）A. a A ∉B. a A ∈C. {}a A ∈D. {}a A ∉3.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 31B. 32C. 62D. 64 4.若点2π2π(sin ,cos )33在角α的终边上，则sin 2α的值为（ ）A. 12-B.C. 12 5.已知双曲线22122:1y x C a b -=及双曲线22222:1(0,0)y x C a b b a -=>>，且1C ，若直线(0)y kx k =>与双曲线12,C C 都无交点，则k 的值是（ ）A.2B.12 D. 16.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π7.已知等差数列{}na 的前n 项和为12,16,25,49n m m m S S S S -+===（2m ≥，且N m ∈），则m 的值是（ ）A. 7B.6C.5D. 48.设:p 实数,a b 满足1a >，且1b >；:q 实数,a b 满足212log ()1log 0a b ab +>⎧⎪⎨<⎪⎩则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.设1{(,)|1}240x x y y x y ≥⎧⎪Ω=≥⎨⎪+-≤⎩，有下面两个命题:(,),2(1)3(1)p x y y x ∃∈Ω+≤+;:(,),23q x y x y ∀∈Ω--，则下面命题中真命题是（ ）A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D.p ⌝10.已知3515a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ）A.4a b +>B.4ab >C.22(1)(1)2a b -+->D. 228a b +<11.我们把221(0,1,2)nn F n =+=L 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设2log (1),1,2,,n n n a F n S =-=L 表示数列{}n a 的前n 项之和，则使不等式21223222211200n nn n S S S S S S +++<+L 成立的最小正整n 数的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 1112.若(0,)x ∈+∞，1e ln x x x a x-≥-+恒成立，则a 的最大值为（ ） A.1 B. 1e C.0 D. e -二、填空题13.若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =__________．14.4名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需1人，其中甲不能当文娱委员，则共有_____种不同结果（用数字作答）15.点0(,2)B x 在曲线2sin (0)y x ωω=>上，T 是2sin y x ω=的最小正周期，设点(1,0)A ，若1OA OB ⋅=u u u r u u u r ，且00x T <<，则T =__________．16.已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线121,,l l l 直线与抛物线C 交于,A B 两点，直线2l 与抛物线C 交于,D E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为2，则AB DE +的最小值为___．三、解答题17.在ABC △中，4cos ,tan 103A B ==. 1.求角C ； 2.若21BA BC ⋅=u u u r u u u r ，求AC 的长.18.设矩形ABCD 中，4AD =，AB =F E 、分别是BC CD 、的中点，如图1.现沿AE 将AED △折起，使点D 至点M 的位置，且ME MF ⊥，如图2.1.证明：AF ⊥平面MEF ；2. 求二面角M AE F --的大小.19.火把节是彝族、白族、纳西族、基诺族、拉祜族等民族的古老传统节日，有着深厚的民俗文化内涵，被称为“东方的狂欢节”凉山州旅游局为了解民众对火把节知识的知晓情况，对西昌市区 A,B 两小区的部分居民开展了问卷调查，他们得分(满分100分)数据，统计结果如下：1.以每组数据的中点值作为该组数据的代表，求B 小区的平均分；2.若A 小区得分在[80,90)内的人数为45人，B 小区得分在[80,90)内的人数为15人，求在 A ，B 两小区中所有参加问卷调查的居民中得分不低于分的频率；3. 为感谢大家参与这次活动袁州旅游局还对各小区参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：本小区得分低于80分的可以获得次抽奖机会，得分不低于80分的可获得2次抽奖机会，若在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品的概率为23，抽中价值为30元的纪念品的概率为13，现有B小区市民张先生参加了此次问卷调查，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望. 20.椭圆长轴右端点为A ，上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1MF FA ⋅=u u u r u u u r ，离心率为2. 1.求椭圆的标准方程；2.直线l 交椭圆于P Q 、两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM △的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.设函数ln ()(0),R a x f x x x a x=+>∈ 1.当1a =时，求()f x 的单调区间；2. 当0a >时，若()f x 存在极值点0x ，证明：320()4e f x >.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.1.求直线l 的普通方程和极坐标方程；2.设点A 的极坐标为π(2,)6，求点A 到直线l 的距离.23.已知()2321f x x x =+--.1.求不等式()2f x <的解集；2.若存在R x ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围.参考答案1.答案：D 解析：22(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z --====-++-，在复平面内的对应点位(1,1)-，故选：D ． 2.答案：A解析：集合2{N |1}{0,1},1A x x a =∈≤==-,根据元素和集合的关系得到a A ∉.故答案为：A.3.答案：C解析：模拟程序的运行，可得01S k ==，满足条件6k <，执行循环体，102,2S k =+=满足条件6k <，执行循环体，222,3S k =+=满足条件6k <，执行循环体，23222,4S k =++=满足条件6k <，执行循环体，2342222,5S k =+++=满足条件6k <，执行循环体，23452222262,6S k =++++==此时，不满足条件6k <，退出循环，输出S 的值为62．故选：C ．4.答案：B解析：由题意，2π2π1sin cos ,1332x y r ====-=，1sin ,cos 2y x αα∴==-=．1sin 22sin cos 2()2ααα∴==⨯-= 5.答案：B 解析：双曲线22122:1y x C a b -=及双曲线22222:1y x C b a-=,是共渐近线的双曲线，则直线(0)y kx k =>与双曲线12,C C 都无交点，只能是直线和双曲线重合，渐近线方程为:221,152,2a cb b a y x b a a a b =±=+=⇒==Q 因为0k >，故得到值为12. 故答案为：B.6.答案：C解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接四面体P ABC -．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长=．∴此四面体的外接球的表面积为表面积24π12π⨯=．故选：C ．7.答案：C解析：等差数列{}na 的前n 项和为1,16,25n m m S S S -==，故得到129,25,49m m m m m a S S S S -+=-===同理得到1224232,9m m m m a a a d d a +++==+⇒==由等差数列的通项公式和求和公式得到11(1)9,(1)25m m a a m d S ma m m =+-==+-=联立两个方程组得到5m =.故答案为：C.8.答案：A解析：设:p 实数,a b 满足1a >，且1b >；:q 实数,a b 满足 212log ()1log 0a b ab +>⎧⎪⎨<⎪⎩根据对数不等式解出结果得到21a b ab +>⎧⎨>⎩，当实数,a b 满足1a >，且1b >时，一定有1,2ab a b >+>，故p 能推出q 命题；反之，21a b ab +>⎧⎨>⎩，可使得18,2a b ==，均满足这个不等式组，但是不满足p 命题中的条件，故q 推不出p.故p 是q 的充分不必要条件.故答案为：A.9.答案：A解析：不等式组11240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图：由可行域可知：143[,]152y x +∈+，故命题p 为真命题； 2z x y =-经过(1,2)C 时，z 的最小值为-3，故命题q 为真命题，故选：A10.答案：D解析：由3515a b ==，可得(3)15,(5)15a b b b a a ==∴315,515ab b ab a ==∴351515ab ab b a ⋅=⋅，即1515ab a b +=∴a b ab +=又a ，b 为不相等的正数，∴a b +> ∴ab >4ab >，故A ，B 正确；22(1)(1)2a b -+->等价于222()a b a b +>+又222a b ab +>，且a b ab +=，故C 正确；222a b ab +>, 4ab >∴228a b +>故D 错误。

2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。

内江市高2020届三模考试数学（理）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设集合{}21xA y y ==+，{}230B x x =-≤，则A ∩B ＝（ ） A. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【详解】由题意{}{}211xA y y y y ==+=>，{}32302B x x x x ⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭， 所以{}333111,222A B y y x x x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎤⋂=>⋂≤=<≤=⎨⎬⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭⎩⎭.2.复数z 满足（4+3i ）z ＝3﹣2i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【详解】232(32)(43)1298661743(43)(43)252525i i i i i i z i i i i -----+====-++-，对应点为617,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．3.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5 C. 2D. 1【答案】B【解析】由面积公式得：1122B =，解得sin 2B =，所以45B =或135B =，当45B =时，由余弦定理得：21245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =，由余弦定理得：212AC =+-=5，所以AC = B.4.已知正方形ABCD 的边长为2，H 是边AD 的中点，在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足||PH <概率为A.1 84π+ B.8πC.144π+ D.4π【答案】A【详解】如图所示，以H为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分，可拆为一个扇形与两个直角三角形，其中扇形的半径为2，圆心角为90，两个直角三角形都是直角边为1的等腰直角三角形，其面积为112Sπ=+，正方形面积4S=，概率为1184SPSπ==+，故选A.5.614x xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，52x的系数为（）A.1532B.1516C.516D.516-【答案】B【详解】由题意分析可知，要求52x的系数，只需求解614xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式中2x项的系数，因为614xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式通项为6621661144r rr r r rrT C x C xx--+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2r时，222236115416T C x x⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故52x的系数为1516.6.一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线【答案】C【详解】设动圆圆心(,)M x y ，半径为r ，圆x 2+y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +12＝0，得22(4)4x y -+=，则圆心(4,0)C ，半径为2，根据圆与圆相切，则||1MO r =+，||2MC r =+，两式相减得||||1MC MO -=， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C7. 设l ，m 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若l∥α，α∩β=m，则l∥m B. 若l⊥α，l∥β，则α⊥β C. 若l∥α，m∥α，则l∥m D. 若l∥α，m⊥l，则m⊥α 【答案】B【解析】：A 中，若//,l m ααβ⋂=，则,l m 平行或异面，只有l β⊂，才有//l m 所以A 错误；B 中，若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，所以B 正确；C 中，若//,//l m αα，则由线面平行的性质定理可知l ，m 平行、相交或异面，所以C 错误；D 中，//,l m l α⊥，则m 与α平行、相交或在平面内，所以D 错误，故选B ． 考点：线面位置关系的判定．8.定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞），有()()2121f x f x x x --＜0，若n ∈N *，则（ ）A. f （n +1）＜f （﹣n ）＜f （n ﹣1）B. f （n ﹣1）＜f （﹣n ）＜f （n +1）C. f （﹣n ）＜f （n ﹣1）＜f （n +1）D. f （n +1）＜f （n ﹣1）＜f （﹣n ）【答案】A【详解】由对任意的x 1，x 2∈[0，+∞），有()()2121f x f x x x --＜0，可得()f x 在[0,)+∞单调递减，再由()f x 为偶函数，则()()f n f n -=，又110n n n +>>->， 则(1)()(1)f n f n f n +<<-，即(1)()(1)f n f n f n +<-<-. 故选：A.9.设平面上向量()()cos ,sin ,0a αααπ=≤<,1,22b ⎛=- ⎝⎭，3b a b +=-，则角α大小为（ ）A.56π B.6π C.6π或56π D.6π或76π【答案】B【详解】因为()cos ,sin a αα=，13,2b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1==a b ，因为33a b a b +=-，所以2233a b a b +=-，所以2222323233a a b b a a b b +⋅+=-⋅+即32311233a b a b +⋅+=-⋅+， 所以13cos sin 02a b αα⋅=-+=，所以3tan α=， 由0απ≤<可得6πα=.10.如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A. 16+8πB. 32+16πC. 32+8πD. 16+16π【答案】A【详解】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=. 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB所成的角的余弦值为23， 所以212212388BD AB h BD AB h h ⋅==⋅+⋅+， 即2222,16,483h h h h ===+. 所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A11.已知平面内的一个动点P 到直线l ：x 43的距离与到定点F 3，0）23点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（ ） 2 2C.22D. 1【答案】A【详解】设动点(),P x y 到l 的距离为d , 由题意得23d PF =()22433233x x y -=-+， 化简整理得曲线C 的方程为2214x y +=，若直线l 存在斜率，设其方程为y kx =，设直线l 与曲线C 的交点()()1122,,,M x y N x y ，将y kx =代入曲线2214xy +=中得()221440k x +-=，1212240,14x x x x k ∴+==-+，所以||MN ==== 又点A 到直线l的距离1d =，故MAN △的面积11||2S MN d =⋅= 所以2222(21)411414k kS k k-==-++， （1）当0k =时，21S =，则1S =； （2）当>0k 时，21S <，则1S <； （3）当k 0<时，241121(4)S k k =+≤+=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭（当且仅当14k k -=-，即12k=-取等号），则S ≤若直线l 不存在斜率， MN =2. 于是MAN △的面积12112S =⨯⨯=，综上得：MAN △. 故选：A.12.函数f （x ）＝22ax +（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是（ ）A. 12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C. 112,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【详解】解：由2()(12)2ln 2ax f x a x x =+--，得2'2(12)2(2)(1)()(12)ax a x x ax f x ax a x x x+---+=+--==， （1）当0a =时，'2()x f x x-=， 当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点， （2）当0a ≠时，令'()0f x =，则2x =或1x a=-，①当0a >时，当02x <<时，'()0f x <，当2x >时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点， ②当0a <时， i)若12a ->，即102a -<<时，02x <<时，'()0f x <，当12x a <<-时，'()0f x >，所以2x =为函数的一个极小值点， ii)若12a -=，即12a =-时，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，函数无极值； iii)若1122a <-<，即122a -<<-时，当10x a <<-时，'()0f x <，当12x a -<<时，'()0f x >，所以1x a =-为1,32⎛⎫⎪⎝⎭上的极小值点， 综上a 的取值范围是112,,22⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若不等式组50{02x y y a x -+≥≥≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 【答案】[)5,7【详解】解：由图可知移动y a =这条直线易得57a ≤<，故答案为：57a ≤<.14.已知tan(5π﹣α)＝﹣12，tan(β﹣α)＝1，则tan β＝_______.【答案】3【详解】因为()1tan 52πα-=-，所以()1tan tan 52απα=--=， 所以()()()11tan tan 2tan tan 311tan tan 12βααββααβαα+-+=-+===⎡⎤⎣⎦--⋅-.15.函数()()2ln 14xf x x =⋅+-的零点个数为_______.【答案】2【详解】令()()2ln 140xf x x =⋅+-=，则()24ln 122x x x -+==， 在同一直角坐标系中作出函数()ln 1y x =+与22xy -=的图象，如图：由图象可知，函数()ln 1y x =+当1x →-时，()ln 1y x =+→+∞则与22xy -=的图象有必有两个交点，所以方程()24ln 122x x x -+==有两个不同实根，所以函数()()2ln 14x f x x =⋅+-的零点个数为2.16.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是_____ 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ， 即F 点到P 点与A 点的距离相等，而22a b FA c c c =-=，(],PF a c a c ∈-+ 于是(]2,b a c a c c∈-+，即222ac c b ac c -<≤+，222222ac c a c a c ac c ⎧-<-⎨-≤+⎩⇒11 12cac c a a ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或， 又()01e ∈，，故1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分17.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%. （1）求m ，n 的值；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参考公式：K 2＝2()()()()()()a b c d ad bc a b c d a c b d +++-++++.【答案】（1）30,160m n ==（2）答案见解析 【详解】（1）4050014%m +=⨯，30m ∴=500(4030270)160n ∴=-++=（2）22500(4027016030)9.97 6.635(40160)(30270)(4030)(160270)K⨯⨯-⨯=≈>+⨯+⨯+⨯+即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关18.已知数列{a n}是等差数列，且满足a6＝6+a3，a6﹣1是a5﹣1与a8﹣1的等比中项.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}满足b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n，并求S n的最小值.【详解】（1）设数列{}n a公差为d，由636a a=+，得36d=，得2d=，又2658(1)(1)(1)a a a-=--，得2111(9)(7)(13)a a a+=++，得15a=-，由1(1)na a n d=+-，得()*27na n n N=-∈.（2）由（1）得(27)2nnb n=-⋅，则23(5)2(3)2(1)2(27)2nnS n=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯232(5)2(3)2nS=-⨯+-⨯+1(29)2(27)2n nn n++-⨯+-⨯两式相减得，341(10)222nnS+-=-++++-1(27)2nn+-⨯()()11181210(27)21892212nn nn n-++-=-+--⨯=-+-⨯-，即()()1*29218nnS n n N+=-⋅+∈.又111(25)2nn n nS S b n+++-==-⨯，则当2n≤时1n nS S+<，当3n≥时，1n nS S+>，即123456S S S S S S>><<<<故当3n=时，nS有最小值为330S=-.19.如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝4.（1）证明：面ACD1⊥面BB1D；（2）求二面角B1﹣AC﹣D1的余弦值.【详解】（1）由1BB⊥面ABCD，又AC⊂面ABCD，则1BB AC⊥，又AC BD⊥，1BB BD B⋂=，BD⊂面1B BD，1BB⊂面1B BD，则AC⊥面面1B BD，又AC⊂面1ACD，则面ACD1⊥面BB1D.（2）以A为原点，建立空间直角坐标系1A BDA-，如图所示：设AB x=，则(,0,0)B x，(0,4,0)D，(,1,0)C x，则(,1,0)AC x=，(,4,0)BD x=-，由AC BD⊥，则240x-+=，得2x=，则1(2,0,4)B，(2,1,0)C，1(0,4,4)D，得(2,1,0)AC=，1(2,0,4)AB=，1(0,4,4)AD=，设(,,)m x y z=且m⊥面1ACB，则120240m AC x ym AB x z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z=-，则(2,4,1)m =--，设(,,)n x y z=且n⊥面1ACD，则120440n AC x yn AD y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x=，则(1,2,2)n=-，设二面角B1﹣AC﹣D1为θ，则cos cos,||||m nm nm nθ⋅=<>=82163213==⨯.20.已知函数()ln a xf x bx x=+在1x =处的切线方程为1y x =-. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x kx ≤在区间()0,∞+上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<. 【详解】（1）()ln a xf x bx x =+，该函数的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x b x -'=+， 由题意可知，点()()1,1f 在直线1y x =-上，()10f ∴=，由题意得()()1011f b f a b ⎧==⎪⎨=+'=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()ln x f x x ∴=；（2）对任意的()0,x ∈+∞，由()f x kx ≤，得ln x kx x≥，即2ln xk x ≥，令()2ln xg x x =，其中0x >，则()max k g x ≥， ()312ln xg x x -'=，令()0g x '=，可得x =所以，函数()y g x =在x =()max 12g x ge==. 12k e ∴≥，因此，实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）由（2）可知，当x >()ln 2x xf x x e=≤，则42ln 112x x e x ≤⋅，当2n ≥时，42ln 11111221n n e n e n n ⎛⎫<⋅=- ⎪-⎝⎭， 4ln 2111222e ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，4ln 31113223e ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，，4ln 11121n n e n n ⎛⎫<- ⎪-⎝⎭，上述不等式全部相加得444ln 2ln 3ln 11112322n n e n e ⎛⎫+++<-< ⎪⎝⎭. 因此，对任意的2n ≥，444ln 2ln 3ln 1232n n e+++<.21.已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论直线l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由椭圆定义可得222a =，则2a =，又椭圆C 的离心率为2c e a ==，1c ∴=，则221b a c =-=， 因此，椭圆C 的标准方程为2212y x +=；（2）当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为13x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 考虑直线11:3l x ky =-，21:3l x ky =--， 设直线1l 与椭圆相交于1A 、1B 两点，直线2l 与椭圆C 相交于2A 、2B 两点，如下图所示：由题意可知，直线1l 、2l 关于x 轴对称，则定点T 是分别以11A B 、22A B 为直径的圆的交点， 由椭圆的对称性可知，点T 在x 轴上，设点T 的坐标为(),0t ，联立221312x my y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 并整理得()2218912160m y my +--=，()()22214464189144940m m m ∆=++=+>恒成立，由韦达定理得122212418963m m y y m m +==++，12216189y y m =-+， 由于以AB 为直径的圆恒过点T ，则TA TB ⊥，111,3TA my t y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，221,3TB my t y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ()()2212121************TA TB my t my t y y m y y m t y y t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=----+=+-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222222116112122016113018933189m m t m t m t t m m ⎛⎫-+-+⨯ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由于点T 为定点，则t 为定值，所以，122016189t +=，解得1t =， 此时2416039TA TB ⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭，合乎题意；当直线l 与x 轴重合时，则AB 为椭圆的短轴，此时，点T 与点A 或点B 重合，合乎题意. 综上所述，直线l 恒过定点()1,0T .（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（共1小题，满分10分）22.在直角坐标系.xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB ，求α的值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为22cos .2sin x y φφ=+⎧⎨=⎩,消去参数得到普通方程：22(2)4x y -+=曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin ρρθ=故C 2的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=.（2）曲线C 122(2)4x y -+=化为极坐标方程4cos ρθ=,设1122(,),(,)A B ραρα因为曲线C 3的极坐标方程为：(0),R θααπρ=<<∈点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB12|||||4sin 4cos |sin()|4AB πρρααα∴=-=-=-=sin()1,04πααπ∴-=±<<3424πππαα∴-=∴=选修题（共1小题，满分0分）23.已知函数()24f x x x =++-，函数()g x =R .（1）求实数m 的取值范围； （2）求解不等式()8f x ≤. 【详解】（1）因为函数()g x =R ，所以()0f x m -≥，当x ∈R 时恒成立，即当x ∈R 时，不等式()m f x ≤恒成立， 因此只需min ()m f x ≤，因为()2424246f x x x x x x x =++-=++-≥++-=， 当且仅当24x x +=-时取等号，即1x =时，取等号，所以min ()6f x =，因此6m ≤，所以实数m 的取值范围为(,6]-∞；（2）22,4()246,2422,2x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-+≤-⎩.当4x ≥时，()82285,4,45f x x x x x ≤⇒-≤⇒≤≥∴≤≤；当24x -<<时，()6f x =，显然()8f x ≤成立，所以24x -<<； 当2x -≤时，()82283,2,32f x x x x x ≤⇒-+≤⇒≥-≤-∴-≤≤-，综上所述：不等式()8f x ≤的解集为：[3,5]-。